Estatística Multivariada Aplicada

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1 Faculdade de Ecoomia da Uiveridade de Coimbra Etatítica Multivariada Aplicada Pedro Lope Ferreira 000

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3 Sumário Itrodução à etatítica multivariada A orgaização do dado Etatítica decritiva Ditâcia Álgebra matricial e vectore aleatório Algu coceito báico Matrize defiida poitiva Média e covariâcia de combiaçõe lieare Geometria amotral e amotragem aleatória Geometria da amotra Amotragem aleatória Variâcia geeralizada Ditribuição ormal multivariada A deidade ormal multivariada Propriedade da ditribuição ormal A forma amotral da ditribuição ormal multivariada Ditribuição amotral de X e S Iferêcia acerca do vector média T de Hotellig Regiõe de cofiaça Iferêcia para grade amotra Comparação etre dua média multivariada Comparaçõe emparelhada Comparaçõe em deeho de medida repetida Comparaçõe etre dua populaçõe iii

4 7 Aálie de compoete pricipai e aálie factorial Itrodução Compoete pricipai Aálie factorial Aálie de agrupameto (cluter) Itrodução Medida de emelhaça Medida de ditâcia Medida de aociação Critério de agregação e deagregação Critério do viziho mai próimo (igle likage) Critério do viziho mai afatado (complete likage) Critério da média do grupo (average likage) Critério do cetróide Critério de Ward Referêcia bibliográfica iv

5 Itrodução à aálie multivariada. A orgaização do dado Sedo ete um curo de etatítica multivariada, iremo aaliar mediçõe feita em vária variávei ou caracterítica. Eta mediçõe (dado) ão ormalmete apreetada quer graficamete, quer ob a forma matricial. Aim, e coiderarmo mediçõe em p variávei, ij repreetará a medição da variável j o item i. A ua repreetação matricial erá X =. i.. i. j j. ij. j p p. ip. p Eta matriz X cotém o dado de toda a obervaçõe em toda a variávei. Eemplo.: Pretede-e etudar a veda do livro de uma livraria e, para io, recolheu-e uma amotra de 4 recibo, idicado cada um dele o úmero de livro vedido e o total gato (em cetea de ecudo). Numa forma tabular temo o eguite dado: Variável Nome Total No. livro

6 Repreetado uma forma matricial obtemo a matriz X com dua liha (variávei) e quatro colua (ite): X = ' o. Etatítica decritiva Se coiderarmo j, j,, ij,, j como repreetado a mediçõe feita a variável j (colua j da matriz X), podemo deomiar por da variável j j a média amotral j = i= ij j =,,,p dada por Do memo modo, a medida de diperão variâcia amotral da variável i é i = ii = ( ij j) i= i =,,,p A raiz quadrada da variâcia amotral, jj é deomiada devio padrão amotral. Podemo também etar itereado em determiar o grau de aociação liear etre dua variávei j e k. Ito coegue-e atravé da covariâcia amotral repreetada pela média do produto do devio em relação à repectiva média ik = ki = i= ( ij j) ( ik ) k i =,,,p ; k =,,,p

7 Se valore alto de uma variável foram obervado cojutamete com valore alto de outra variável, e valore pequeo também ocorrerem cojutamete, jk erá poitiva. Se valore alto de uma variável ocorrerem com valore pequeo de outra variável, jk erá egativa. Cao ão eita aociação etre o valore de amba a varávei, jk erá aproimadamete ula. Fialmete, coideremo o coeficiete de correlação amotral de Pearo, uma medida de aociação liear etre dua variávei, idepedete da uidade de medida e com valore etre - e +. r jk = r kj = jj jk kk = i= i= ( ( ij ij ) i j ) ( i= ik ( ik k ) ) k para i =,,,p e k =,,,p. Eta última medida cotitui, como facilmete e pode obervar, uma verão etadardizada da covariâcia amotral. De otar que, e ubtituirmo o valore origiai ij e ik pelo correpodete valore etadardizado ( ij - j ) / jj e ( ik - k ) / kk coeficiete de correlação amotral r jk pode er vito como a covariâcia amotral. Apó a etadardização, amba a variávei podem er comparada, poi paam a etar a mema uidade., o Voltado, de ovo, à apreetação matricial, baeado-o a matriz X com mediçõe (liha) em p variávei (colua), a média amotrai ão repreetada por 3

8 4 = p a variâcia e covariâcia amotrai por S = pp p p p p... e a correlaçõe amotrai por R =... p p p p r r r r r r Reparar que a matrize S e R ão matrize imétrica de ordem p. Eemplo. (cot): Pegado de ovo a matriz X = ' podemo determiar o vector _ e a matrize S e R. Aim, _ = = 4 4 i i = ) ( = 50

9 4 _ = i = ( ) = i= e etão, _ 50 = = 4 Do memo modo, = 4 4 i= = [(4 50) + (5 50) + (48 50) + (58 50) ] ( i ) 4 = 34 = 4 4 i= ( i = [(4 4) + (5 4) + (4 4) + (3 4) ] ) 4 =.5 = 4 4 i= ( ) = i ( i ) 4 = [(4 50)(4 4) + (5 50)(5 4) + (48 50)(4 4) + (58 50)(3 4) ] = -.5 S = Fialmete, a correlação amotral é dada por r = r = =.5 = R = o 5

10 .3 Ditâcia A maioria da técica multivariada ão baeada o coceito imple de ditâcia. Se coiderarmo um plao e um poto P = (, ) ee plao, a ditâcia d(o,p) etre a origem e ee poto é dada por P d(o,p) = + O Figura. Teorema de Pitágora Num cao mai geral, e o poto tiverem p coordeada, etão P = (,,, p ), O=(0,0,,0) e d(o,p) = + + p + Deta última equação, e elevado ao quadrado ambo o termo, podemo dizer que todo o poto (,,, p ) que etejam a uma mema ditâcia quadrada da origem, atifazem a equação d (O,P) = p Se e tratar de um epaço ode p=, eta equação ão é mai do que a equação de uma circuferêcia de cetro (0,0) e raio d(0,p). A ditâcia em liha recta etre doi poto quaiquer P e Q com coordeada P=(,,, p ) e Q=(y,y,,y p ) é dada por d(p,q) = ( y) + ( y) + + ( p y p ) 6

11 Ora também aqui e faz etir o evetual problema da vária dimeõe terem uidade de medida ditita. Mai aida, a mediçõe da divera coordeada podem etar ujeita a variaçõe aleatória com iteidade diferete. Por io, uma ditâcia baeada uma liha recta, ou euclideaa, ão é a mai apropriada. Neceitamo etão de um outro tipo de medição de ditâcia e, porque ete ovo tipo de ditâcia vai ter em cota a difereça de variação, deomia-laemo ditâcia etatítica. Para ilutrar o coceito de ditâcia etatítica, upohamo que temo pare de mediçõe em dua variávei idepedete e. Além dio, upohamo também que a variação da mediçõe da variável é maior do que a da mediçõe em. Figura. Diagrama de poto Nete cao, a olução paa, de ovo, pela etadardização da coordeada, dividido cada uma dela pelo repectivo devio padrão amotral. Aim, uma ditâcia etatítica do poto P=(, ) à origem O=(0,0) é dada por d(o,p) = + = + Se compararmo eta equação com a ateriormete apreetada, podemo cocluir que a difereça reide a aplicação de peo k = / e k = /, 7

12 repectivamete, a e. Também aqui todo o poto de coordeada (, ) a uma ditâcia quadrada cotate c da origem devem atifazer a + = c Eta última equação ão é mai do que a equação de uma elipe cetrada a origem com o eio pricipai a coicidirem com o eio do itema de coordeada. c P 0 c Figura.3 Elipe cetrada a origem Eemplo.: Supohamo que temo dua variávei idepedete com média _ = _ = 0 e com variâcia = 4 e =. A ditâcia de um qualquer poto P=(, ) à origem O=(0,0) é dada, ete cao por Figura.4 Elipe d (O,P) = 4 + 8

13 Todo o poto (, ) que etão a uma ditâcia cotate da origem atifazem a equação 4 + = correpodedo à equação da elipe cetrada em (0,0), com o eio pricipai egudo o eio e e com meia ditâcia iguai a 4 = e =, repectivamete. o Geeralizado para p variávei, podemo determiar a ditâcia etatítica etre doi poto P=(,,, p ) e Q=(y,y,,y p ) atravé da equação d(p,q) = ( y y p y ) ( ( ) pp p ) com,,, pp a variâcia cotruída a partir da mediçõe a variávei,,, p, repectivamete. Todo o poto P a uma ditâcia quadrada de Q etão colocado um hiperelipóide cetrado em Q com o eio pricipai paralelo ao eio do itema de coordeada. Obviamete, e toda a variâcia foem iguai, ecotramo a ditâcia euclideaa já atrá apreetada. Temo até agora aaliado a ituação em que o eio da elipe do dado coicidem com o eio do itema de coordeada. Ora, há ituaçõe ode ito ão acotece, ito é, em que a variável ão varia idepedetemete da variável e, ete cao, o coeficiete de correlação amotral ão é ulo. 9

14 ~ Da figura ao lado vemo que bata ~ rodarmo o itema origial de eio de um θ âgulo θ para termo uma ituação emelhate à ateriore. Figura.5 Elipe com âgulo θ Ito correpode a paarmo a uar a ova variávei ~ = co(θ) + i(θ) ~ = - i(θ) + co(θ) A ditâcia etre o poto P=(~, ~ ) e a origem O=(0,0) é etão defiida como d(o,p) = ~ ~ ~ + ~ = + a a a + Neta fae ão é vital abermo como determiar o valore dete a. O que é importate é vermo que eite um termo de produto cruzado idicador da correlação r ão ula. Mai aida, quado olhamo para a equação correpodete à dua variávei idepedete, vemo que a = a = a = 0 De uma maeira geral, a ditâcia etatítica do poto P=(, ) ao poto fio Q=(y,y ) para variávei correlacioada é dada por d(p,q) = a ( y) + a ( y)( y ) + a ( y ) 0

15 A coordeada de todo o poto P=(, ) que etejam a uma ditâcia quadrada cotate c de Q, defiem uma elipe cetrada em Q. A geeralização da fórmula ateriore para p dimeõe é imediata.

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17 Álgebra matricial e vectore aleatório. Algu coceito báico Vejamo algu coceito que o irão er útei mai tarde. Sedo dado um vector = [,,, ] com compoete, defiimo comprimeto dete vector como edo o valor dado por L = Aim, pré-multiplicado pelo ivero do eu comprimeto, L, obtém-e o vector uitário (com comprimeto ) e com a mema direcção de. Um outro coceito também importate é o de âgulo. Se tivermo doi vectore um plao com um âgulo θ etre ele, podemo coiderar que θ = θ - θ, edo θ e θ o âgulo que, repectivamete, e y fazem com a primeira coordeada (ver Figura.). Aim, abedo que co (θ ) = co (θ ) = L y L y 3

18 i (θ ) = i (θ ) = L y L y e que co (θ) = co (θ - θ ) = co (θ ) co (θ ) + i (θ ) i (θ ) y y θ y θ θ Figura. Difereça etre âgulo obtemo co (θ) = co (θ - θ) = y + y Ly L Ly L = y + y L L y Como o produto itero de doi vectore é dado por y = y + y podemo re-ecrever a equaçõe referete a L e a co (θ) da eguite maeira: L = e co (θ) = y L L y = y y y Dete modo, dizemo que e y ão perpediculare quado y = 0. Eemplo.: Sedo dado o vectore = [, 3, ] e y = [ -,, - ], determiar o valor do comprimeto de e de y e o âgulo que ele fazem etre i. 4

19 Como = = 4 y y = (-) + + (-) = 6 y = (-) + 3() + (-) = - etão L = = 4 = 3.74 L y = y y = 6 =.45 co (θ) = y L L y = - (3.74) (.45) = -.09, dode, θ = 96.3 o Diz-e que um cojuto de vectore,,, k é liearmete depedete e eitirem a cotate c, c,, c k, ão toda ula, tal que c + c + + c k k = 0 Eemplo.: Determiar a depedêcia liear do vectore = [,, ], = [, 0, - ] e 3 = [, -, ]. A equação c + c + c 3 3 = 0 implica o itema c + c + c 3 = 0 c - c 3 = 0 c - c + c 3 = 0 que poui uma úica olução c = c = c 3 = 0. 5

20 Nete cao, dizemo que o vectore, e 3 ão liearmete idepedete. o θ y Figura. Projecção de em y A projecção (ou ombra) de um vector um vector y é dada por y y = y y y L y L y y tedo L y y, o comprimeto uitário. O comprimeto deta projecção é y = L L y y L L y = L co(θ) O último coceito muito uado a etatítica multivariada é o de valor próprio e vector próprio. Uma matriz quadrada A tem um valor próprio λ com o correpodete vector próprio 0 e A = λ Ito é, o valore próprio ão a raíze da equação caracterítica A - λ I = 0. Eemplo.3: Determiar o valore e vectore próprio da matriz A = 5 5 A - λ I = 0 λ 5 5 = 0 ( - λ) - 5 = 0 λ=6 ou λ=-4 λ 6

21 5 e e Para λ=6, A e = λ e = 6 5 e e e 5e 5e + e = 6e = 6e e e = = e = é um vector próprio ormalizado correpodete ao valor próprio λ=6. De modo idêtico e ecotra e = como edo o vector próprio correpodete a λ = -4. o. Matrize defiida poitiva Doi do pilare fudametai da etatítica multivariada ão o coceito de ditâcia e o preupoto de que o dado etão ditribuído egudo uma ditribuição ormal multivariada. O produto de matrize reultate da combiação dete coceito ão deomiado forma quadrática. Aim, ete capítulo iremo falar em particular obre a forma quadrática ão egativa e a matrize defiida poitiva aociada. Muita veze, também, o reultado que evolvem forma quadrática e matrize imétrica ão coequêcia directa do que e deomia decompoição epectral defiida uma matriz imétrica A k k defiida como 7

22 A = λ e e + λ e e + + λ k e k e k (k k) (k ) ( k) (k )( k) (k )( k) ode λ, λ,, λ k ão o valore próprio de A e e, e,, e k o correpodete vectore próprio ormalizado, ito é, e i e i = (i =,,, k) e e i e j = 0 (i j). Eemplo.4: Sedo dada a matriz A = 3 3, obtêm-e o valore próprio λ = 4 e λ =. O vector próprio correpodete ao primeiro valor próprio é e = Toramo-lo úico, ormalizado-o (comprimeto igual à uidade), ito é, dividido cada elemeto do vector por e e + = + = Ecotra-e e =. Do memo modo e obtiha e =. Reparar que e e, ito é, e e = 0. Verificado a decompoição epectral, 3 3 = 4 + = 8

23 = = + = 3 o Sempre que a matriz A (k k) imétrica eja tal que A eja empre maior ou igual a zero, qualquer que eja o vector = [ ] [ 0 0 ] 0, deomiamo-la defiida ão-egativa ou emi-defiida poitiva. A é chamada defiida poitiva e A > 0 para todo o vector 0. À compoete A damo o ome de forma quadrática. Para k =, a a A = [ ] = [ ] a a a a + a + a = a + a + a + a = a + a + a = d(0,) = c Pela decompoição epectral; A = λ e e + λ e e e etão A = λ ( e ) + λ ( e ). Aim; c = λ y + λ y é uma elipe em y = e e y = e / Facilmete e verifica que = c λ e atifaz A = λ (c λ / e e ) = c 9

24 e = c λ / e o dá a ditâcia a direcção e Dete modo o poto ituado a uma ditâcia c fazem parte de uma elipe cujo eio ão dado pelo vectore próprio de A com comprimeto proporcioai ao ivero da raíze quadrada do valore próprio. A cotate de proporcioalidade é c. Eta cocluão é ilutrada a figura abaio. e c λ e c λ Figura.3 Elipe de ditâcia cotate Com p >, o poto = [ ] p a uma ditâcia cotate c = A da origem ecotram-e o elipóide c = λ ( e ) + + λ p ( e p ) cujo eio ão dado pelo vectore próprio de A. A meia ditâcia a direcção de e i é igual a c λi, i =,,, p, ode λ, λ,, λ p, ão o valore próprio de A. 0

25 .3 Média e covariâcia de combiaçõe lieare Um vector aleatório é um vector cujo elemeto ão variávei aleatória. Do memo modo, uma matriz aleatória é uma matriz cujo elemeto ão variávei aleatória. A combiação liear c X = c X + + c p X p tem média E(c X) = c µ e variâcia Var(c X) = c c ode µ = E(X) e = Cov(X) = E [( X μ) ( X μ) ] ' Eemplo.5: Coideremo a matriz X = 3 5 ' 0 A média deta matriz é µ = e a matriz da covariâcia é = / 3 / 3 / 3 6 / 3 3 3, 5 0 Aim, a combiação liear Y = 3 X + X, ito é, [ ] 3 = 8 terá a média E(Y X) = [ ] / 3 / = / 3 6 / 3 e a variâcia Var(Y X) = [ ] o

26 Além do reultado ateriore podemo também afirmar que, edo dado dua combiaçõe lieare a X e b X, a covariâcia etre ela é dada por Cov(a X,b X) = a' b

27 3 3 Geometria amotral e amotragem aleatória Nete capítulo iremo aaliar a iterpretaçõe geométrica da etatítica decritiva amotrai _, S e R. Será também itroduzido o coceito de variâcia geeralizada para decrever a variabilidade. 3. Geometria da amotra Tal como já atrá vimo, a obervaçõe em p variávei podem er dipota uma matriz p X = p p p =... ode cada liha repreeta uma obervação multivariada (vector i, i=, ). Aim, a variabilidade ocorre em vária direcçõe e é quatificada atravé da matriz S da variâcia. Um valor umérico deta variabilidade é dado pelo determiate de S.

28 4 Eemplo 3.: Determiar o vector média _ da matriz X = ' , apreete o = 3 poto um epaço a p = dimeõe e localize _. _ = = 3 O gráfico de poto correpodete erá, X 3 X X Figura 3. Repreetação do poto,, 3 e médio o Em alterativa a eta iterpretação geométrica, podemo coiderar o dado como edo p poto um epaço a dimeõe. X = p p p = [y y y p ]

29 Neta ova iterpretação, a coordeada do i-éimo poto y i = [ i, i,, i ] ão a mediçõe da i-éima variável. Eemplo 3.: Uado a mema matriz do eemplo aterior, repreetar o vectore y e y. y = [ 4-3 ] y = [ 3 5 ] O gráfico de poto correpodete erá, y y Figura 3. Repreetação do vectore y e y o Também é poível dar-e uma iterpretação geométrica ao proceo de determiação da média amotral. Para io começamo por defiir o vector = = [ ] que, por defiição, forma âgulo iguai com cada uma da coordeada. 5

30 6 Dete modo, tem comprimeto uitário e direcção do âgulo igualitário. A projecção de y i o vector uitário é dada por y i = i i i = i _ ito é, a média amotral i _ = y i / correpode ao múltiplo de eceário para obter a projecção de y i a liha determiada por. Além dio, para cada y j podemo determiar o vector devio d j, devio etre y j e i. d j = y j - j = i i i i i i 0 Figura 3.3 Difereça etre vectore Eemplo 3.3: Aida com a mema matriz X, _ = _ = Coequetemete, d = y - _ = = 3 d = y - _ = = 0 y

31 Figura 3.4 Vectore devio 3 o y d y d É fácil ver que L d = d i i d i = ( ij j ) i= ito é, o quadrado do comprimeto do vector devio é igual à oma do quadrado do devio. Do memo modo, d i d k = ( ij i ) ( kj k ) = L j= L di k d co(θ ik ) e etão, r ik = ii ik kk = co(θ ik ) O coeo do âgulo é o coeficiete de correlação amotral. Aim, e doi vectore tiverem aproimadamete a mema orietação, a correlação amotral erá próima da uidade. Se ete doi vectore forem quae perpediculare, a 7

32 correlação amotral é quae ula. Se o doi vectore etiverem orietado aproimadamete em direcçõe opota, a correlação amotral erá próima de -. Eemplo 3.4: Com o reultado do eemplo ateriore, d 3 3 = 4 = 3 d = [ ] d 0 0 = 8 = 3 d = [ ] d 3 0 = - = 3 d = [ ] S = r = = = -.89 R = Amotragem aleatória Para etudarmo a variabilidade amotral de _ e S e para podermo iferir o reultado para toda a população, temo de etabelecer algu preupoto relativamete à variávei que cotituem o cojuto da obervaçõe. 8

33 9 Dada a matriz X = p p p =... dizemo que,,, formam uma amotra aleatória e cotituírem obervaçõe idepedete, pouido uma ditribuição cojuta f() = f( ) f( ) f( ). Se µ e repreetarem, repectivamete, o vector média e a matriz de variâcia da amotra aleatória,,,, etão _ é um etimador ão evieado de µ [E( _ ) = µ] e S = S é um etimador ão evieado de, ito é, E( S ) =. A matriz amotral ão evieada da variâcia é S = S = = j j j ' ) ( ) ( 3.3 Variâcia geeralizada A variâcia é ormalmete decrita pela matriz da variâcia

34 S = p p. =.. p jk = ( i= ij j ) ( ik k ) Um úico valor umérico que repreeta toda a variação eprea em S é a variâcia amotral geeralizada dada pelo determiate de S. Variâcia amotral geeralizada = S Eemplo 3.5: Coideremo a matriz S = A variâcia geeralizada é dada por S = (4808) (5538) - (43) (43) = Vejamo de eguida uma iterpretação geométrica para S. Coideremo etão a área gerada pelo doi vectore devio d = y - _ e d = y - _ d θ L d i θ d Área = [ L i( θ )] = L d L d d L d co θ = ( - ) ( ) r Figura 3.5 Área gerada pelo devio 30

35 Por outro lado, S = = r r = - r = ( - r ) Dete doi último reultado, podemo cocluir que S = área ( ) = ( - ) - área Geeralizado para um p-epaço obtemo Variâcia amotral geeralizada = S = ( - ) -p (volume) ito é, para um determiado cojuto de dado, a variâcia amotral geeralizada é proporcioal ao quadrado do volume gerado pelo p vectore devio. A dua figura abaio repreetam, repectivamete, uma grade e uma pequea variâcia amotral geeralizada para p = 3 o epaço da obervaçõe. 3 3 d d 3 d d d 3 d Figura Repreetação geométrica da variâcia geeralizada 3

36 A variâcia geeralizada tem também iterpretação o gráfico de poto um p-epaço. Coideremo, para io, a média amotral _ = [ _, _,, p _ ]. A coordeada =[, ;, p ] do poto a uma ditâcia cotate c de _ atifazem ( - _ ) S - ( - _ ) = c que defie uma elipe (p = ) cetrada em _. Uado o cálculo itegral, podemo verificar que o volume do hiper-elipóide etá relacioado com o valor de S Volume de { : ( ) S ( ) = c } = k p S / c p ou (volume do elipóide) = (cotate) (variâcia amotral geeralizada) Apear da ua iterpretação geométrica, a variâcia amotral geeralizada é limitada como idicador decritivo de uma matriz amotral de variâcia. Para ilutrar ito vejamo o eemplo que e egue. Eemplo 3.6: Coideremo a matrize S = S = S =

37 toda ela com a mema variâcia geeralizada S = 9 ma com ditito coeficiete de correlação, repectivamete,.8, -.8 e 0. o Ora, prova-e que o determiate de uma qualquer matriz A p p pode er ecrito como o produto do eu valore próprio λ, λ,, λ p, ito é, A = λ i. Aim, o valore próprio podem dar-o iformação referete à variabilidade em toda a direcçõe uma repreetação p-epacial e, por io, é útil ão ó aaliarmo o valore idividuai aim como o eu produto. p i= A variâcia geeralizada é ula quado e apea quado pelo meo um vector devio etiver o hiperplao formado por toda a combiaçõe lieare do outro, ito é, quado a liha de uma matriz de devio forem liearmete depedete. Eemplo 3.7: Dada a matriz X = , 4 a matriz da média é _ = [ 3,, 5 ] e etão X - _ = 0 0. O devio reiduai ão d =, d = 0 e d 3 = 0. Como d 3 = d + d, há degeerecêcia a liha e S = 0, poi o volume a trê dimeõe formado pelo trê vectore é ulo. o 33

38 S = 0 igifica, em termo matemático, que a mediçõe em alguma variávei podem er retirada do etudo. Por outro lado S também erá ulo e o tamaho da amotra for meor ou igual ao úmero de variávei, ito é, p. Se etivermo a trabalhar com variávei etadardizada, podemo dizer que a variâcia amotral geeralizada é dada pelo determiate de R: Variâcia amotral geeralizada da variávei etadardizada = R = ( - ) -p (volume) Como S e R etão relacioada por S = ( pp ) R, podemo ecrever ( - ) p S = ( - ) p ( pp ) R Eemplo 3.8: Sedo dada a matriz S = , = 4; = 9 e 33 =. Além dio, R = 3 7. Como S = 4 e R =, cofirma-e que = S = 33 R = (4) (9) () = 4 8 o Cocluímo eta dicuão apreetado o coceito de variâcia amotral total cujo valor correpode ao valor do traço da matriz S, ito é, à oma do elemeto da ua diagoal. 34

39 Variâcia amotral total = pp Eemplo 3.9: A variâcia amotral total da matriz S = é = = A variâcia amotral total da matriz S = é = = 5. o Geometricamete, a variâcia amotral total correpode à oma do quadrado do comprimeto do p vectore reiduai d = y - _,, dp = y p - p _ dividida por -. 35

40 36

41 4 Ditribuição ormal multivariada A geeralização da tão cohecida curva ormal para vária dimeõe deempeha um papel fudametal a aálie multivariada. 4. A deidade ormal multivariada A deidade ormal multivariada coite uma geeralização, para p, da deidade da curva ormal f() = πσ e - [( µ ) / σ ] / - < < O termo µ σ = ( - µ) (σ ) - ( - µ) o epoete da fução deidade ão é mai do que a ditâcia quadrada de a µ em uidade etadardizada de devio. Geeralizado para um vector de dimeão p, podemo ecrever ( - µ) - ( - µ) ode o vector µ repreeta o valor eperado do vector aleatório e a matriz p p é a matriz da variâcia. 37

42 A fução deidade ormal p-dimeioal N p (µ, ) para o vector aleatório = [X, X,, Xp] é f() = (π ) p / Σ / e - (/) ( - µ) - ( - µ) ode - < i <, i =,,, p. Eemplo 4.: Coideremo o epaço p =. Nete epaço µ = µ e = µ Calculado a ivera da matriz de variâcia, obtemo - = σ σ σ σ σ σ σ Aim, a ditâcia quadrada ( - µ) - ( - µ) fica igual a ρ μ μ σ ρ σ σ = [ μ μ ] σ σ σ σ σ σ = σ ( μ ) + σ ( μ ) ρ σ σ ( μ )( μ) ) σ σ ( ρ = μ σ + μ σ μ σ μ σ ρ ρ Dete modo, 38

43 f(,) = π σ σ ( ρ ) ep μ + ρ ( ) ρ σ σ σ σ μ μ μ Olhado para eta última equação, podemo dizer que e ρ = 0, a deidade cojuta pode er ecrita como um produto de dua deidade ormai uivariada, ito é, e X e X ão etão correlacioada, f(,) = f() f(), ito é, X e X ão idepedete. o Do que atrá ficou dito, podemo cocluir que a deidade ormal multivariada é cotate a uperfície ode a ditâcia quadrada ( - µ) - ( - µ) for cotate. O eio de cada elipóide de cotate deidade têm a direcção do vectore próprio de - e o comprimeto proporcioai ao ivero da raíze quadrada do valore próprio de. Uma vez que e = λ e - e = λ e, o valore próprio de - podem er determiado atravé do valore próprio de. Dete modo, podemo afirmar que o cotoro de deidade cotate da ditribuição ormal p-dimeioal cotituem elipóide defiido por tal que ( - µ) - ( - µ) = c. Ete elipóide ão cetrado em µ e pouem eio com comprimeto ± c λi ei, ode ei = λi ei, i=,, p. 39

44 Eemplo 4.: Coideremo o cao em que σ = σ. Σ λ Ι = 0 σ λ σ σ σ = 0 λ (λ - σ - σ ) (λ - σ + σ ) = 0 f(, ) 0 (a) f(, ) 0 (b) Figura 4. Dua ditribuiçõe ormai bivariada (a) σ = σ e ρ = 0 (b) σ = σ e ρ =.75 40

45 Etão, o valore próprio ão λ = σ + σ e λ = σ - σ. O vector próprio e correpodete ao valor próprio λ é dado por e e e = (σ + σ) e e = e e = De modo idêtico e = e e = c σ + σ c σ - σ μ μ Figura 4. - Cotoro de deidade cotate para uma ditribuição ormal bivariada com σ = σ e σ > 0 (ou ρ > 0) Quado σ > 0, λ = σ + σ é o maior valor próprio e o correpodete vector próprio ' e =, ] itua-e a recta a 45º que paa por µ = [µ, µ]. Como o eio da elipe de deidade cotate ão dado por ± c λe e 4

46 ± c λ e, com cada vector próprio de comprimeto uitário, o maior eio etá aociado ao maior do valore próprio. o A deidade ormal p-variada f() = p / / (π ) Σ e - (/) ( - µ) - ( - µ) tem um valor máimo quado a ditâcia quadrada ( - µ) - ( - µ) for ula, ito é, quado =µ. Dete modo, µ é o poto de deidade máima, ou moda, ao memo tempo que cotitui o valor eperado de X, ou média. 4. Propriedade da ditribuição ormal Vejamo, de eguida, alguma propriedade da ditribuição ormal. Aim, edo dado o vector aleatório com uma ditribuição ormal multivariada, ~ N p (µ, ), Combiaçõe lieare da compoete de X ão ormalmete ditribuída. a X = a X + a X + + ap Xp ~ N(a µ, a a) a A X a = ( q p) ( p ) a q X X X a a a p p qp Xp Xp ~ N q (Aµ, A A ) Xp 4

47 X d + ( p ) ( p ) ~ N p (µ, d ) Todo o ubcojuto da compoete de X eguem uma ditribuição ormal multivariada. Se dividirmo X, µ e X X ( q ) = p ) X (( p q) ) ( μ μ ( q ) = p ) μ (( p q) ) ( Σ Σ ( q q) = p p) Σ (( p q) q) Σ ( q ( p q)) Σ (( p q) ( p q)) ( etão, por eemplo, X ~ N q (µ, ). Se X (q ) e X (q ) forem idepedete, etão Cov(X,X) = 0, edo 0 uma matriz (q q ) de zero. A ditribuiçõe codicioai da compoete ão ormai multivariada. Se X = X X ~ N p (µ, ) com µ = µ µ, = Σ _ Σ _ _ Σ Σ e > 0, etão a ditribuição codicioal de X dado X = é ormal com a média = µ + Σ ( - µ) e covariâcia = - Σ. Notar que a covariâcia ão depede do valor de da variável codicioate. 43

48 Se > 0, etão ( - µ) - ( - µ) ~ χ p, uma ditribuição de qui-quadrado com p grau de liberdade. A ditribuição N p (µ, ) atribui uma probabilidade - α ao elipóide { : ( µ ) Σ ( µ ) = ( α) } χ p edo χ p (α) o percetil de ordem (00α) da ditribuição χ p. 4.3 A forma amotral da ditribuição ormal multivariada Sedo dado,,, uma amotra aleatória de uma população ormal com média µ e covariâcia, o etimadore de máima veroimilhaça para µ e ão dado, repectivamete, por µˆ = X ˆ = ( X j X)( X j X) = j= S Notar que o etimador X é um vector aleatório e que o etimador ˆ é uma matriz aleatória. Ete etimadore de máima veroimilhaça pouem a propriedade da ivariâcia. Ito igifica, por eemplo, que o etimador de máima veroimilhaça de ˆ µ Σ µ é µˆ Σ µˆ e que o etimador de máima veroimilhaça de jj σ ˆ, σ é jj 44

49 com σ ˆ jj = i= ( X ij X j) como edo o etimador de máima veroimilhaça de σ jj = Var(X j ). Tratado-e de populaçõe ormai, toda a iformação amotral da matriz de dado X etá cotida em X e S; qualquer que eja o tamaho da amotra. Como eta afirmação ão é eceariamete verdadeira para populaçõe ão ormai, é empre coveiete tetar o preupoto da ormal multivariada. 4.4 Ditribuição amotral de X e S No cao uivariado (p = ) abemo que X egue uma ditribuição ormal com média µ e variâcia σ. O reultado para o cao multivariado (p ) é idêtico. X egue uma ditribuição ormal com média µ e matriz de covariâcia. Ora, como é decohecida, a ditribuição de X ão pode er uada directamete para iferir acerca de µ. Cotudo, S idepedete de µ forece-o iformação uficiete acerca de. À medida que o tamaho da amotra crece, X e S ão regido por alguma propriedade idepedetemete da caracterítica da população-pai. O úico requiito que eite é que eta população-pai, qualquer que eja a ua forma, teha uma média µ e uma covariâcia fiita. Pela Lei do Grade Número e empre que o tamaho da amotra eja grade, eite uma grade probabilidade de que X e aproime de µ e que S e 45

50 aproime de. Preciado um pouco mai (Teorema do Limite Cetral), ejam X, X,, X uma obervação idepedete de uma qualquer população com média µ e covariâcia fiita. Etão, para amotra grade ( deve er grade relativamete a p), ( X - µ) aproimadamete egue uma ditribuição N p (0, ). Quado X ~ N p (µ, ) ou eja, quado ( X - µ) ~ N p (0; ), pode também demotrar-e que ( X - µ) - ( X - µ) ~ χ p. Reparar, fialmete, que, para grade e muito maior do que p, ubtituir Σ por S - ão afecta eriamete a aproimação. 46

51 5 Iferêcia acerca do vector média No capítulo ateriore apreetaram-e o coceito báico para uma melhor compreeão da etatítica multivariada. Nete capítulo iremo aaliar a iferêcia (tete e regiõe de cofiaça) referete ao vector média de uma população ormal. 5. T de Hotellig Uma geeralização atural da ditâcia quadrada t = ( X µ ) o / = ( X - µ o ) ( ) - (X - µ o ) é a correpodete multivariada T = ( X - µ o ) - S ( X - µo ) = ( X - µ o ) S - ( X - µ o ) ode X = ( p ) j= X j S = ( p p) j= ( X X )( X X ) ' j j μ μ 0 μ = ( p ) M μ p e S repreeta a matriz etimada da covariâcia de X. 47

52 A etatítica T é deomiada T de Hotellig em homeagem a Harold Hotellig, pioeiro da etatítica multivariada. Se a ditâcia geeralizada obervada T for grade, ito é; e _ etiver muito loge de µ0, a hipótee H0: µ = µ0 erá rejeitada. Ora, para podermo ter uma ideia da gradeza da ditâcia T, utilizamo o cohecimeto que temo da ua ditribuição. De facto, T ~ ( ) p F ( p) p, -p ode F p,-p idica uma variável aleatória com uma ditribuição F com p e -p grau de liberdade. N p (µ, ), Coiderado etão a amotra aleatória X, X,, X de uma população α = P ( ) p ( ) p T > F p, p ( α) = ( X µ ) S ( X µ ) > F p, p ( α) ( p) ( p) quaiquer que ejam o valore verdadeiro de µ e, com F p,-p (α) a repreetar o percetil de ordem (00α) da ditribuição F p,-p. O que já foi dito é uficiete para tetar H0: µ = µ0 cotra H: µ µ0. A um ível de igificâcia α, rejeitamo H0 em favor de H e T = ( _ - µ 0 ) S - ( _ - µ 0 ) > ( ) p F ( p) p,-p (α) Eemplo 5.: Aaliou-e a trapiração de 0 mulhere audávei, tedo ido uada a trê variávei X = taa de trapiração, X = coteúdo de ódio e 48

53 X3 = coteúdo de potáio. O valore ecotrado levaram ao eguite reultado: X = S = e S - = Tetar a hipótee H0: µ = [ 4, 50, 0 ] cotra H: µ [ 4, 50, 0 ] a um ível de cofiaça de α =.0. Ora T = ( X - µ0) S - ( X - µ0) = 0 [ ; ; ] = 0 [.640 ; ; ] = 9,74.60 Comparado o valor obervado T com o valor crítico ( ) p F ( p) p,-p (.0) = 9(3) F 7 3,7 (.0) = (3.353) (.44) = 8,8 podemo cocluir que T = 9.74 > 8.8 e, portato, rejeitamo H0 ao ível de cofiaça de 90%. o 49

54 5. Regiõe de cofiaça Seja X = [X X X ] a matriz de dado e θ um vector de parâmetro decohecido de uma população. A região R(X) é chamada região 00(-α)% cofiaça e, ate da amotra er eleccioada, P[R(X) icluir o verdadeiro valor para θ] = - α Adaptado ete coceito à média µ, obtemo P ( ) p X µ ) S ( X µ ) ( p) ( F p, p ( α) = - α Por outra palavra, ( ) p X etará a uma ditâcia F p, p ( α) de µ, com ( p) probabilidade - α, dede que a ditâcia eja defiida em termo de - S. Para e aber e um qualquer valor µ 0 pertece à região de cofiaça, eceitamo de determiar o valor da ditâcia quadrada geeralizada ( _ - µo) S - ( _ - µo) e compará-la com o valor de ( ) p F ( p) p,-p (α). Cao a ditâcia eja maior do que ete último valor, µ 0 ão pertecerá à região de cofiaça. 50

55 O eio do elipóide de cofiaça e o eu repectivo comprimeto podem er determiado atravé do próprio valore próprio λ i e do vectore próprio e i de S. Cetrado em _, o eio do elipóide ( _ - µ) S - ( _ - µ) c = ( ) p F ( p) p,-p (α) ( ) p ão ± λi F p, p ( α) e ( p) i ; ode Se i = λ i e i, i =,,, p. Eemplo 5.: Num etudo de 4 aparelho de microoda, foram medida a radiaçõe emitida pelo aparelho, repectivamete, com a porta fechada (X) e com a porta aberta (X). Para o 4 pare de obervaçõe, ecotrou-e.564 X =.603 S = e S = O pare de valore próprio e vectore próprio para S ão λ =.06 e = [.704,.70 ] λ =.00 e = [ -.70,.704 ] A elipe a 95% de cofiaça para µ coite em todo o valore (µ, µ ) que atifazem a iequação µ (4) 4 [ µ ; µ ] F µ 40,40 (.05) Como F,40 (.05) = 3.3, obtém-e, 5

56 4(03.08)(.564-µ ) + 4(00.8)(.603-µ ) - 84(63.39)(.564-µ )(.603-µ ) 6.6 Para determiar e µ = [.56,.589 ] pertece à região de cofiaça, calculamo a epreão aterior para µ =.56 e µ =.589, ecotrado-e o valor Cocluímo etão que e itua a região de cofiaça. Do memo modo, um tete de H0: µ =.56 ão erá rejeitado em favor de H: µ a um ível de igificâcia α = O elipóide de cofiaça cojuta etá cetrado em.564 X = e,.603 repectivamete, com metade do eio maior e meor iguai a ( ) p (4) λ F p, p ( α) =. 06 (3.3) =.064 ( p) 4(40) ( ) p (4) e λ F p, p ( α) =. 00 (3.3) =.08 ( p) 4(40) Ete eio ecotram-e egudo e = [.704,.70 ] e e = [ -.70,.704 ]. Pode-e facilmete ver que o eio maior é cerca de 3.6 veze maior do que o eio meor. o Coideremo agora X ~ Np(µ, ) e a combiação liear Z = c X = c X + c X + + cp Xp. Etão, para c fio e σ z decohecido, um itervalo de cofiaça a 00( - α)% para µz = c µ é dado por c - t-(α/) c Sc c µ c + t-(α/) c Sc 5

57 ode t-(α/) é o percetil uperior de ordem 00(α/) de uma ditribuição t com - grau de liberdade. Eta deigualdade pode er iterpretada como uma afirmação em relação à compoete do vector média µ. Por eemplo, com c = [, 0,, 0 ], c µ = µ tora-e o itervalo de cofiaça já por ó cohecido para a média de uma população ormal, edo c Sc =. Podemo dete modo cotruir vário itervalo de cofiaça para o compoete de µ, cada um dele aociado a um coeficiete de cofiaça de -α. Bata para io ecolher o vectore c apropriado. Cotudo, a cofiaça aociada a todo o itervalo quado tomado em cojuto ão é igual a -α. Sedo dada a amotra aleatória X, X,, X de uma população N p (µ, ), com defiida poitiva, para todo o c imultaeamete, o itervalo c X p( ) F ( p) p( ) +, p ( α) c' Sc ; c X Fp p ( α) c' Sc ( p) p, cotém c µ com probabilidade -α. Ete itervalo imultâeo ão, por veze, deomiado, itervalo T poi a probabilidade de cobertura é determiada pela ditribuição de T. A ecolha c = [, 0,, 0 ], c = [ 0,,, 0 ],, c = [ 0, 0,, ] permitem-o cocluir que todo o itervalo - p( ) F ( p) p, p ( α) µ + p( ) F ( p) p, p ( α) 53

58 - p( ) F ( p) α p, p ( ) µ + p( ) F ( p) α p, p ( ) p - p( ) F ( p) p, p ( α) pp µp p + p( ) F ( p) p, p ( α) pp e verificam com um coeficiete de cofiaça de -α. Reparar que, por eemplo, para e obter um itervalo de cofiaça para µi - µk bata uar-e ci = ck = o vector c = [ 0,, ci, 0,, -ck,, 0 ] a que correpode c Sc = ii - ik + kk, obtedo-e o itervalo i - k ± p( ) F ( p) ( p, p α ) ii ik + kk Eemplo 5.3: 87 aluo de um liceu obtiveram claificaçõe em trê eame epeciai: X = ciêcia ociai, X = verbal e X3 = ciêcia eacta. O reultado obtido foram: X = e S = Para ecotrar o itervalo imultâeo de cofiaça a 95% para µ, µ e µ3 eceitamo calcular o valor p( ) F ( p) p,-p (α) = 3(87 ) 3(86) F (87 3) 3,84 (.05) = (.7) = obtedo aim o itervalo 54

59 µ µ µ µ µ µ o Se o úmero m de média µi ou de combiaçõe lieare c µ = cµ + cµ + + cpµp for pequeo, o itervalo de cofiaça imultâeo podem er obtido de uma forma mai precia. Tai itervalo de cofiaça, deomiado de Boferroi, ão baeado o itervalo t idividuai _ i ± t- α i ii i =,,, m com αi = α/m. Aim, para um ível de cofiaça global maior ou igual a - α, podemo obter m = p itervalo: - t- α p µ + t- α p - t- α p µ + t- α p _ p - t- α p pp µp _ p + t- α p pp 55

60 Eemplo 5.4: Voltado ao dado da trapiração, podemo obter o itervalo de cofiaça de Boferroi a 95% para µ, µ e µ3 correpodete à ecolha de αi =.05/3, i=,, 3. Como = 0 e t9(.05/(3)) = t9(.0083) =.65, temo _ ± t9 (.0083) = 4.64 ± µ 5.64 _ ± t9 (.0083) = 45.4 ± µ _ 3 ± t9 (.0083) 33 = ± µ3.08 o 5.3 Iferêcia para grade amotra Quado o tamaho da amotra é grade, o tete de hipótee e a regiõe de cofiaça para µ podem er cotruído em o preupoto da eitêcia de uma população ormal, memo tratado-e de ditribuiçõe dicreta. Toda a iferêcia de amotra grade ão baeada a ditribuição χ. ( X - µ) S - ( X - µ) = ( X - µ) S - ( X - µ) é aproimadamete χ com p grau de liberdade e, etão, P [ ( X µ ) S ( X µ ) ( α) ] χ p = - α 56

61 ode χ p ( α) é o percetil uperior de ordem (00α) da ditribuição χ p. Seja X, X,, X uma amotra aleatória de uma população com média µ e matriz de covariâcia defiida poitiva. Quado - p for grade, a hipótee H0: µ = µ0 é rejeitada em favor de H: µ µ0, a um ível de igificâcia aproimadamete α e ( _ - µo) S - ( _ - µo) > χ ( α) p c X ± χ p ( α) c Sc cotém c µ, para todo c, com probabilidade aproimadamete -α. Coequetemete, o itervalo de cofiaça imultâeo a 00(-α)% _ ± χ p (α) cotém µ _ ± χ p (α) cotém µ _ p ± α pp χ p ( ) cotém µp Além dio, para todo o pare (µi, µk), i, k =,,, p, a elipe amotrai cetrada a média [ _ i - µ i ; _ k - µ k ] ii ik ik kk - _ i µ _ k µ i k χ p ( α) cotém (µi, µk) 57

62 58

63 6 Comparação etre dua média multivariada Nete capítulo iremo eteder o cohecimeto à comparação etre doi vectore média. Mai uma vez iremo partir de procedimeto uivariado e geeralizaremo para o cao multivariado. 6. Comparaçõe emparelhada Por veze, a mediçõe ão feita em codiçõe eperimetai divera, com o objectivo de tetar e a repota diferem igificativamete. É o cao, por eemplo, de um tete de eficácia de um ovo medicameto que requer que haja mediçõe ate e apó um determiado tratameto. A repota emparelhada podem er comparada aaliado a repectiva difereça. No cao uivariado, e coiderado Xj e Xj, repectivamete, a mediçõe "ate" e "apó", o efeito ão repreetado pela difereça dj = j - j, j=,,,. Partido do preupoto de que a difereça Dj repreetam obervaçõe idepedete de uma ditribuição N(δ, σ d ), a variável t = ( D δ ) ; d / 59

64 ode D = j= grau de liberdade. D j e d = ( D j D), egue uma ditribuição t com - j= Coequetemete, a um ível α, o tete H0: δ = 0 cotra H0: δ 0 pode er coduzido comparado t com t - (α/). Do memo modo, um itervalo de cofiaça a 00(-α)% para a difereça média δ = E(Xj - Xj) pode er obtido pela epreão d - t- (α/) d δ d + t - (α/) d Ao geeralizar para o cao multivariado, vamo eceitar de ditiguir etre p repota, tratameto e uidade eperimetai. Obtemo aim a p variávei aleatória de difereça Dj = Xj - Xj Dj = Xj - Xj Dpj = Xpj - Xpj ou, em forma matricial, X X p X X... - X p X p X X p X X... = X p X p D. D p D D. p D. D p Coiderado D j = [ D D D ] ( j =,,, ), j j pj 60

65 E(Dj) = δ = δ δ L δ p e cov(dj)= d. d), etão Se, além dio, D, D,, D forem vectore aleatório idepedete N p (δ, T = ( D - δ) S ( D δ ) d ode D = D j e Sd = ( D j= j= j D) ( D j D) é ditribuído como uma variável aleatória ( ) p F ( p) p,-p. Se ambo e -p forem grade, T é aproimadamete ditribuída como χ p, idepedetemete da forma da população ubjacete da difereça. Sedo obervada a difereça d j = [ d d d ] ( j =,,, ), rejeitamo H0: j j pj δ = 0 cotra H: δ 0 a um ível α para uma população N p (δ, d) e o valor obervado T = d S - d d > ( ) p F ( p) p,-p (α) ode F p;-p (α) é o valor do percetil de ordem 00α de uma ditribuição F com p e - p grau de liberdade. 6

66 Uma região de cofiaça a 00(-α)% para δ é formado por todo o δ tal que ( d - δ) S - d ( d - d) ( ) p F ( p) p,-p (α) O itervalo imultâeo de cofiaça a (-α)% para δ i ão dado por δ i : ( ) p d i ± di Fp, p ( α) ( p) ode d i é o elemeto de ordem i de d e di é o i-éimo elemeto da diagoal de Sd. Para -p grade; ( ) p F ( p) p,-p (α) aproima-e da ditribuição χ p ( α), e a ormalidade ão é mai eceária. O itervalo de cofiaça imultâeo de Boferroi a 00(-α)% para a média idividuai de difereça, δ i, ão δ i : α d d i ± t-p i p ode t -p α p é o percetil de ordem 00(α/p) de uma ditribuição t com -p grau de liberdade. 6

67 Eemplo 6.: Um cojuto de amotra de água foi eviado a doi laboratório para a aálie da eceidade oigéio bioquímico (NOB) e de ólido upeo (SS). O dado ão apreetado a eguir: Laboratório Laboratório Amotra j j (NOB) j (SS) j (NOB) j (SS) Será que o reultado proveiete do doi laboratório coicidem? Se eitir difereça, de que tipo é? A etatítica T para o tete H0: δ = [ δ, δ ] = [ 0, 0 ] cotra H0: δ 0 é cotruída a partir da obervaçõe de difereça: dj = j - j dj = j - j

68 Etão, d d = = ; Sd = d 3.7 e T = [-9.36; 3.7] = Com α =.05; ecotramo ( ) p ( p) F p;-p (.05) = (0) 9 F ;9 (.05) = 9.47 Como T = 3.6 > 9.47, rejeitamo H0 e cocluímo que eite uma difereça média ão ula etre a mediçõe do doi laboratório. Do dado parece evidete que o primeiro laboratório tede a produzir mediçõe mai baia para NOB e mai alta para SS do que o egudo laboratório. O itervalo de cofiaça imultâeo a 95% para a média da difereça δ e δ ão, repectivamete, d ( ) p ± d Fp, p ( α) ( p) = ± ou (-.46 ; 3.74) d ( ) p ± d Fp, p ( α) ( p) = 3.7 ± ou (-5.7 ; 3.5) O itervalo de cofiaça imultâeo a 95% iclui o valor zero e, o etato, como vimo, a hipótee H0: δ = 0 foi rejeitada. De facto, o poto δ = 0 ecotra-e fora da região de cofiaça a 95%, o que é coitete com o tete T. O itervalo de cofiaça imultâeo dizem repeito ao cojuto de todo o cojuto de itervalo que podem er cotruído a partir da poívei combiaçõe cδ + cδ, de que o itervalo calculado 64

69 correpodem à ecolha (c =, c = 0) e (c = 0, c = ). Ete itervalo cotêm o valor zero; o etato, outra ecolha para ce c produzem itervalo imultâeo que ão cotêm zero. Sabemo, im, que e a hipótee H0: δ = 0 ão tivee ido rejeitada, todo o itervalo imultâeo icluiriam zero. O itervalo de Boferroi também cobrem o valor zero. o 6. Comparaçõe em deeho de medida repetida Outra geeralização da etatítica t uivariada coite o cao de q tratameto erem comparado relativamete a uma úica variável de repota. Cada idivíduo ou uidade eperimetal recebe o tratameto uma vez em vário período de tempo. A obervação de ordem j é X j = X X... X j j qj j =,,, ode Xij correpode ao tratameto de ordem i o idivíduo ou uidade eperimetal j. Repreetado por C a matriz de cotrate ode a q- liha ão liearmete idepedete, podemo formular a hipótee de que ão há difereça o tratameto (igualdade da média do tratameto) fazedo Cµ = 0, qualquer que eja a ecolha da matriz de cotrate C. Coiderado uma população N p (µ, ), uma matriz de cotrate C e um ível α, a hipótee H0: Cµ = 0 é rejeitada em relação à hipótee H: Cµ 0 e 65

70 T _ = (C ) (CSC ) - _ C > ( )( q ) F ( q + ) q-,-q+ (α) ode F q-,-q+ (α) é o percetil de ordem 00α de uma ditribuição F, com q- e - q+ grau de liberdade. A região de cofiaça para o cotrate Cµ é determiada pelo cojuto de todo o Cµ tal que (C _ - Cµ) (CSC ) - (C _ - Cµ) ( )( q ) F ( q + ) q-,-q+ (α) Coequetemete, o itervalo imultâeo de cofiaça a 00(-α)% para um úico cotrate c µ é dado por c µ : _ c ± ( )( q ) F ( q + ) q, q+ ( α) ' c Sc Eemplo 6.: Num tete de eficácia de um ovo aetéico, foi ecolhida uma amotra de 9 cãe ao quai foi admiitrado dióido de carboo (CO) a doi ívei de preão (alto e baio), eguido da adição de halotao (H) e da repetição de dióido de carboo. Preete Halotao Auete Baio Alto CO 66

71 tratameto = CO alto em H tratameto 3 = CO alto com H tratameto = CO baio em H tratameto 4 = CO baio com H O dado referete ao miliegudo etre batida do coração etão apreetado a eguir: Tratameto Cão Com bae ete deeho de medida repetida, vamo aaliar o efeito aetéico da preão de CO e do halotao. Repreetado por µ, µ, µ3, e µ4, repectivamete, a repota média o tratameto,, 3 e 4, etamo itereado o eguite trê cotrate de tratameto: 67

72 (µ3 + µ4) - (µ + µ) cotrate halotao, repreetado a difereça etre a preeça e a auêcia do halotao (µ + µ3) - (µ + µ4) cotrate CO, repreetado a difereça etre a preõe baia e alta de CO (µ + µ4) - (µ + µ3) cotrate iteracção, repreetado a ifluêcia do halotao a difereça de preão de CO Com µ = [ µ µ µ3 µ4 ], a matriz de cotrate é C = _ Do dado acima, = e S = _ Etão; C = , CSC = e T _ = (C ) (CSC ) - _ (C ) = 9 (6.) = 6. Com α =.05, ( )( q ) F ( q + ) q-;-q+ (α) = 8(3) 6 8(3) F 3;6 ( 5) = (3.4) = Como T = 6 > 0.94, rejeitamo H0: Cµ = 0 (ão há efeito do tratameto). Para detectarmo quai o cotrate repoávei pela rejeição de H0, cotruímo o itervalo imultâeo de cofiaça a 95% para ete cotrate. Aim, a ifluêcia de halotao é etimada pelo itervalo 68

73 (3 + 4 ) - ( + ) ± 8 (3) c 6 F 3,6 (.05) Sc 9 = 09.3 ± = 09.3 ± Do memo modo, o cotrate retate ão etimado por ifluêcia da preão CO = (µ + µ3) - (µ + µ4): = ± = ± iteracção H - CO = (µ + µ4) - (µ + µ34): = -.79 ± = -.79 ± Podemo ver, do primeiro itervalo, que eite um efeito do halotao. A preeça do halotao produz tempo mai logo etre batida do coração, o que acotece a ambo o ívei de preão de CO (poi o cotrate de iteracção ão é igificativamete diferete de zero). O egudo itervalo de cofiaça também idica que há um efeito devido à preão de CO, provocado a baia preõe maiore tempo etre batida. Há, o etato, que referir que ete reultado devem er ecarado com algum cuidado, uma vez que a eperiêcia com halotao tem eceariamete de er realizada apó a eperiêcia em halotao. Aim, o efeito ecotrado derivado à preeça do halotao pode também er derivado ao factor tempo. o 69

74 6.3 Comparaçõe etre dua populaçõe É também poível compararmo a repota obtida em dua populaçõe. Coideremo uma amotra aleatória de tamaho de uma população e uma amotra de tamaho de uma população. A obervaçõe em p variávei ão tai que: Amotra Etatítica População = j S = (,,, j= j= j )( j ) População = j S = (,,, j= j= j )( j ) Pretedemo iferir acerca da difereça etre o vectore média de amba a populaçõe (µ - µ). Será que µ = µ (ito é, µ - µ = 0)? E e µ - µ 0, que média ão diferete? Para e repoder a eta quetõe, há que e partir de algu preupoto. Aim, A amotra X, X,, X é aleatória de comprimeto de uma população p-variada com vector média µ e matriz de covariâcia. A amotra X, X,, X é aleatória de comprimeto de uma população p-variada com vector média µ e matriz de covariâcia. X, X,, X ão idepedete de X, X,, X. 70

75 Além dito, quado e ão pequeo, Amba a populaçõe ão ormai multivariada. Igual matriz de covariâcia ( = = ). Nete último cao há, portato eceidade de etimar a covariâcia comum, fazedo Scomum = j= ( j )( j ) + + j= ( j )( j ) = ( ) S + ( + ) S Como Scomum etima, podemo afirmar que + Scomum é um etimador de Cov(X - X ). Sedo dado o tete H0: µ - µ = δ0 cotra H: µ - µ δ0; rejeitamo H0 e T = ( - - δ0) S + comum - ( - - δ0) > c ode c = ( + ) p F ( + p ) p, +-p- (α). 7

76 Eemplo 6.3: 50 barra de abão ão fabricada de cada um de doi proceo e dua caracterítica X = epuma e X = uavidade ão medida. Foram obtida a eguite etatítica: _ 8.3 = 4. S = 6 _ 0. = 3.9 S = 4 Obter uma região de cofiaça a 95% para µ - µ. Como S e S ão aproimadamete iguai, faz etido ecotrar-e uma matriz comum de covariâcia: Scomum = ( 50 ) S + (50 ) S = 5 Como -.9 =, a elipe de cofiaça etá cetrada em [-.9;.], edo. o valore e vectore próprio de Scomum obtido atravé da equação l 0 = S comum λi = = λ - 7λ l Dete modo; λ = e = [.90;.957 ] λ =.697 e = [.957; -.90 ] Além dio; + c = (98)() + F (97),97 (.05) =.5 7

77 A elipe de cofiaça etede-e i c λ + = λi. 5 uidade egudo o vector próprio e i ; ito é;.5 uidade a direcção de e e.65 uidade a direcção de e. É óbvio que µ - µ = 0 ão pertece à elipe edo, portato, poível cocluirmo que o doi método de fabricação de abão produzem reultado diferete. Parece que o doi tipo de abão têm a mema uavidade, produzido o egudo maior epuma. o 73

78 74

79 7 Aálie de compoete pricipai e aálie factorial 7. Itrodução O ome que compõem o título dete capítulo ão frequetemete uado de uma maeira meo precia, chegado memo a acotecer que ivetigadore afirmem que etão a levar a cabo uma aálie factorial quado, de facto, etão a proceder a uma aálie de compoete pricipai. Coideremo a variávei 'temperatura' e 'hora de ol' uma determiada região. O valor 0.9 de coeficiete de correlação etre amba a variávei pode er repreetado pelo âgulo etre eta variávei, quado repreetada vectorialmete. A quetão que a aálie factorial pretede repoder é a eguite Podem ete doi vectore er ubtituído por um úico vector de referêcia, deomiado factor, de tal modo que reteha a maior parte da iformação repeitate à correlação eitete etre a variávei origiai? Ituitivamete parece que o melhor vector de referêcia é o que divide ao meio o âgulo de 5 etre o doi vectore. Na Figura 7.. a variável 'temperatura' é repreetada por T, a 'hora de ol' por S e o vector de referêcia por F. Ete vector faz um âgulo de.5 com T e com S. O coeo de.5, igual a 0.976, repreeta a correlação etre T e F e etre S e F. Na liguagem da aálie factorial, a correlação etre uma variável e um factor é deomiada peo (loadig) da variável o factor. 75

80 Também já vimo que o quadrado do coeficiete de correlação, R, repreeta a T F S quatidade da variâcia partilhada por amba a variávei. No oo cao, a quatidade de variâcia partilhada por T e F é (0.976) = 0.95, também chamada variâcia do factor comum. a ˆ b ˆ A variâcia eplicada pelo factor F atravé de T e de S é obtida pela oma do quadrado do peo de T e de S em F, ito é, (0.976) +(0.976) =.9. Figura 7. Diagrama vectorial repreetado o primeiro vector de referêcia F (â = ^b =.5 ) Como a variâcia total de cada uma da variávei T e S é, a variâcia máima que pode er etraída por F é igual a + = e, portato, a percetagem da variâcia etraída por F é.9 00 = 95. Ito já o dá 95% da repreetação da relação etre amba. No etato, para obter a imagem completa, temo de deehar o outro vector F, fazedo um âgulo recto (ou ortogoal) com F. T F S â bˆ F Figura 7. Diagrama vectorial repreetado doi vectore de referêcia F e F 76

81 (â = 0.5 ; ^b = 77.5 ) O âgulo formado por T e S com F ão, repectivamete, 0.5 e 77.5, correpodedo ao peo co(0.5 ) = -0.6 e co(77.5 ) = 0.6. A variâcia etraída por F é (-0.6) + (0.6) = 0. e a percetagem de variâcia etraída é 5%. Ete reultado podem er reumido a eguite tabela: Variávei Factore Comualidade T S Variâcia etraída Percetagem da variâcia A última colua, a comualidade, é ecotrada pela oma da variâcia do factor comum. Aim, por eemplo para T, temo (0.976) + (-0.6) =.0 que correpode à quatidade de variâcia que é partilhada com a outra variávei. 7. Compoete pricipai Com a aálie da compoete pricipai pretede-e eplicar a etrutura da variâcia-covariâcia atravé de alguma combiaçõe lieare da variávei origiai. Embora a p compoete ejam eceária para reproduzir toda a variabilidade do itema, ormalmete grade parte deta variabilidade pode er 77

82 atribuída a um úmero meor k de compoete pricipai. Eitirá, aim, quae tata iformação quata a eitete com a p variávei origiai. A k compoete pricipai podem ubtituir a p variávei e o cojuto iicial de dado, com mediçõe em p variávei, pode etão er reduzido um cojuto de mediçõe em k variávei. A aálie da compoete pricipai é utilizada mai como um meio do que como um fim, cotituido um pao itermédio para ivetigaçõe mai etea, como por eemplo, a baeada em regreõe ou aálie de agrupameto (cluter). Algebricamete, a compoete pricipai ão combiaçõe lieare da p variávei aleatória X, X,, Xp e correpodem geometricamete à elecção de um ovo itema de coordeada. Sedo apea depedete da matriz de covariâcia (ou da matriz ρ de correlaçõe) a compoete pricipai ão eceitam, para a ua cotrução, do preupoto da ormalidade multivariada. Sedo dada a matriz de covariâcia aociada ao vector aleatório X' = [ X, X,, Xp ] e o pare de valore-vectore próprio (λ, e), (λ, e),, (λp, ep), ode λ λ λp ão todo ão ulo, a compoete pricipal de ordem i é dada por Yi = ei, ' X = ei X + ei X + + epi Xp i =,,, p A compoete pricipai ão ão correlacioada [ Cor(Yi, Yk) = ei ' ek = 0 (i k)] e têm variâcia iguai ao valore próprio de [ Var(Yi) = ei ' ei = λi (i =,,, p) ]. 78

83 Além dio, e Y = e ' X, Y = e ' X,, Yp = ep ' X forem a compoete pricipai, p σ + σ + + σpp = Var( X i ) = λ + λ + + λp = Var( j= p j= Y i ) Variâcia total da população = σ + σ + + σpp = λ + λ + + λp Proporção da variâcia total da população devida à compoete pricipal de ordem k k =, k =,,, p λ + λ + + λ λ p O coeficiete de correlação etre a compoete Yi e a variávei Xk (i, k =,,, p) ão dado por ρ Y i, Xk = σ kk e ki λi Eemplo 7.: Supohamo que a variávei X, X e X3 pouem a eguite matriz de covariâcia: = Pode er verificado que o pare valore-vectore próprio ão: λ = 5.83 e ' = [.383; -.94; 0 ] λ =.00 e ' = [ 0; 0; ] λ3 = 0.7 e3 ' = [.94;.383; 0 ] 79

84 A compoete pricipai ão etão, Y = e ' X =.383 X -.94 X Y = e ' X = X3 Y3 = e3 ' X =.94 X X Facilmete e vê, por eemplo, que Var(Y) = Var(.383 X -.94 X) = (.383) Var(X) + (-.94) Var(X) - (.383)(-.94) Cov(X, X) = 5.83 = λ Cov(Y, Y) = Cov(.383 X -.94 X, X3) =.383 Cov(X, X3) -.94 Cov(X, X3) = 0 Verifica-e também que σ + σ + σ33 = = λ + λ + λ3 = = 8 A proporção da variâcia total devida à primeira compoete pricipal é λ λ + λ + λ = =

85 5,83 + e a primeira dua compoete pricipai ão repoávei por = 98% da variâcia da população. Nete cao a compoete Y e Y podem ubtituir a trê variávei origiai com pouca perda de iformação. 8 Fialmete, como ρ Y, X = σ e l = =.95 e ρ Y, X = σ l = = podemo cocluir que X e X ão, cada um, igualmete importate para a primeira compoete pricipal. Além dito, ρ Y, X = ρ Y, X = 0 e ρ Y, X3 = σ 33 e 3 l = = A retate correlaçõe podem er deprezada uma vez que a terceira compoete ão é importate. o A compoete pricipai y = e ', y = e ',, yp = ep ' poicioam-e a direcçõe do eio do elipóide de deidade cotate. Aim, qualquer poto o eio de ordem i do elipóide tem coordeada proporcioai a ei ' = [ ei, ei,, epi ] e, eceariamete, coordeada da compoete pricipai da forma [ 0,, 0, yi, 0,, 0 ]. A Figura 7.3 é uma elipe de deidade cotate e a compoete pricipai para um vector aleatório ormal bivariado com µ = 0 e ρ =.75. Podemo ver que a 8

86 compoete pricipai ão obtida rodado o itema iicial de coordeada de um âgulo θ até coicidir com o eio da elipe de deidade cotate. O memo é válido para p >. y y θ Figura Elipe de deidade cotate e a compoete pricipai y e y Embora ão eceariamete iguai à obtida ateriormete, podemo também ecotrar a compoete pricipai para a variávei etadardizada. A compoete pricipal de ordem i da variávei etadardizada Z' = [ Z, Z,, Zp ] com Cov (Z) = ρ é dada por Yi = ei ' Z = ei ' (V / ) - (X - µ), i =,,, p Além dito, edo (λ, e), (λ, e),, (λp, ep) o pare valore-vectore próprio de ρ com λ λ λp 0, p Var( Y i ) = Var( Z i ) = p j= p j= ρ Y i; Zk = e ki λ ( i, k =,,, p) i 8

87 Proporção da variâcia total da população etadardizada devida à compoete pricipal de ordem k λ k =, k =,,, p p 4 Eemplo 7.: Coideremo a matriz de covariâcia = e a 4 00 correpodete matriz de correlaçõe ρ =.4.4 O pare valore-vectore próprio de ão λ = 00.6 e ' = [.040;.999 ] λ =.84 e ' = [ ] e, para ρ, λ = + ρ =.4 e ' = [ ] λ = - ρ =.6 e ' = [.707; ] A correpodete compoete pricipai ão etão, para : Y =.040 X X Y =.999 X X e para ρ: Y =.707 Z+.707 Z =.707 X µ X µ =.707 (X - µ) (X - µ) 0 Y =.707 Z Z =.707 X µ X µ =.707 (X - µ) (X - µ) 0 83

88 Devido à ua maior variâcia, X domia completamete a primeira compoete pricipal obtida a partir de. Eta primeira compoete pricipal eplica 00.6 =.99 da variâcia total da população. 0 λ λ + λ = Cotudo, quado a variávei X e X ão etadardizada, a variávei reultate cotribuem de modo idêtico para a compoete pricipai obtida de ρ. Aim, como ρ Y, Z = e λ = =.837 e ρ Y, Z = e λ = =.837 λ. a primeira compoete pricipal eplica = =.7 da variâcia total da p 4 população etadardizada. o Do eemplo aterior pode cocluir-e que a compoete pricipai obtida de ão diferete da obtida de ρ. Além dio, um cojuto de compoete pricipai ão é uma fução imple do outro, dado, portato valor à etadardização. Eemplo 7.3: Sejam,, 3, 4 e 5 obervaçõe emaai da taa de retoro da acçõe de cico emprea (Allied Chemical, DuPot, Uio Carbide, Eo e Teaco). Apó 00 emaa coecutiva, obteve-e _ ' = [.0054;.0048;.0057;.0063;.0037 ] 84

89 e R = O valore próprio e o correpodete vectore próprio ormalizado de R ão λ =.857 e ' = [.464,.457,.470,.4,.4 ] λ =.809 e ' = [.40,.509,.60, -.56, -.58 ] λ3 =.540 e3 ' = [ -.6,.78,.335,.54, ] λ4 =.45 e4 ' = [.387,.06, -.66,.47, -.38 ] λ5 =.343 e5 ' = [ -.45,.676, -.400, -.76,.385 ] Uado a variávei etadardizada, obtermo a primeira dua compoete pricipai y = e ' z =.464 z z z3 +.4 z4 +.4 z5 Y = e ' z =.40 z z +.60 z z z5 Eta compoete, que eplicam + p λ λ % = 00% = 73% têm 5 uma iterpretação itereate. A primeira compoete coite um ídice da cico acçõe e pode er chamada 'compoete de mercado'. A eguda compoete repreeta um cotrate etre a acçõe de emprea química (Allied Chemical, DuPot e Uio Carbide) e a acçõe da emprea petrolífera (Eo e Teaco) podedo er deomiado compoete idutrial. 85

90 A retate compoete, de difícil iterpretação, repreetam o eu cojuto a variação provavelmete epecífica de cada acção. o 7.3 Aálie factorial O objectivo eecial da aálie factorial é decrever, e poível, a relaçõe de covariâcia etre a vária variávei em termo de um úmero reduzido de quatidade aleatória ubjacete, ma ão obervávei, chamada factore. A aálie factorial pode er vita como uma eteão da aálie da compoete pricipai, uma vez que amba podem er ecarada como aproimaçõe à matriz da covariâcia. Cotudo, a aproimação feita pelo modelo da aálie factorial é mai elaborada e cetra-e a aálie da coitêcia do dado com uma etrutura pré-defiida. Coiderado o vector aleatório X de dado obervado, com p compoete, média µ e matriz de covariâcia, o modelo factorial parte do coceito de que X é liearmete depedete de alguma variávei ão obervávei F, F,, Fm, chamado factore comu, e p fote de variação ε, ε,, εm, chamado erro ou factore epecífico. Numa forma matricial, o modelo de aálie factorial é X μ L F ε = + ( p ) ( p m) ( m ) ( p ) ou eja, X - µ = l F + l F + + lm Fm + ε 86

91 X - µ = l F + l F + + lm Fm + ε Xp - µp = lp F + lp F + + lpm Fm + εp ode µi repreeta a média da variável i, εi o factor epecífico de ordem i, Fi o factor comum de ordem i e lij o peo (loadig) da variável i o factor j. Além dio, a variávei aleatória F, F,, Fm, aim como o erro ε, ε,, εm ão ão obervávei, o que permite ditiguir ete modelo da repreetação liear ode o X idepedete podem er obervado. Para ete modelo partimo do preupoto que E(F) = 0 ; Cov(F) = E[FF'] = ( m ) Ι ( m m) E(ε) = 0 ; Cov(ε) = E[εε'] = ( p ) Ψ = ( p p) Ψ Ψ. 0 Ψ 0 0. p F e ε ão idepedete; ito é; Cov(ε; F) = E(ε F') = 0 ( p m) Como já atrá vimo, comualidade repreeta a parte da variâcia da variável i devida ao m factore comu. Dete modo, a variâcia de Xi pode er dada por Var(Xi) = comualidade hi + variâcia epecífica ψ i 87

92 σii = [ l i l i + + l i ] + + ψi Eemplo 7.4: Coideremo a matriz de covariâcia = A igualdade = L L' + Ψ, ou eja, = pode er verificada pela álgebra matricial. Dete modo, tem a etrutura produzida por um modelo factorial ortogoal com m=. Sedo L = l l l 3 l 4 l l l 3 l 4 = 4 7 e Ψ = 6 8 Ψ Ψ Ψ3 0 Ψ 0 0 = a comualidade de X é h = l + l = 4 + = 7 e a variâcia de X pode er decompota da eguite maeira σ = h + ψ = 7 + = 9 A retate variávei podem er decompota de maeira aáloga. o 88

93 Ifelizmete, quado o úmero m de factore é muito meor do que o úmero p de variávei, a maioria da matrize de covariâcia ão podem er factorizada da forma L L' + Ψ. Há, ete cao, eceidade de e utilizarem método de etimação apropriado para L e Ψ e e proceder previamete a alguma traformaçõe ortogoai, abedo ó de atemão que, quer o peo, quer a comualidade, ão ão alterado por qualquer traformação ortogoal. Comecemo pela etimação. A matriz de covariâcia amotral S é um etimador da matriz de covariâcia decohecida da população. Se o elemeto fora da diagoal de S ão pequeo (ou o correpodete valore em R eecialmete ulo), a variávei ão etão relacioada e a aálie factorial ão e apreeta de muita utilidade, uma vez que, ete cao, o factore epecífico deempeham um papel fudametal, ão fazedo etido a cotrução do factore comu. Se e devia igificativamete de uma matriz diagoal, etão faz etido uar-e um modelo factorial, edo primeiramete eceário etimar-e o peo l e a variâcia epecífica ψ. De etre o método eitete para a etimação dete parâmetro, uaremo, ete capítulo, apea o método da compoete pricipai, que paaremo a epor. A oluçõe ecotrada poderão etão er rodada (atravé de traformaçõe) com vita a uma melhor iterpretação. A aálie factorial de compoete pricipai da matriz amotral S de covariâcia, uado uma decompoição epectral, é epecificada em termo do 89

94 eu pare de valore-vectore próprio etimado ( lˆ, ê ); ( lˆ, ê ),, ( lˆ p, ê p) ode lˆ lˆ lˆ p. Sedo m < p o úmero do factore comu; a matriz do peo factoriai etimado { l ~ ij} é dada por L ~ = l ˆ ˆ ˆl ˆ lˆ e e m e ˆ m A variâcia epecífica etimada ão forecida pelo elemeto da diagoal da matriz S - L ~ L ~ '; Ψ ~ = ψ ~ ψ ~ ψ ~ p m com ψ ~ i = ii - j= ~ l ij e a comualidade ão etimada da forma que e egue ~ h i = l~ i + l~ i + + l~ im Há que otar que a aálie factorial da compoete pricipai da matriz amotral de correlaçõe é obtida de maeira idêtica, começado pela matriz R em vez de S. Além dio, o peo factoriai etimado para um determiado factor ão ão alterado quado o úmero de factore aumeta. A proporção da variâcia amotral total devida ao factor j é dada por: para uma aálie factorial de S: Proporção da variâcia amotral total devida ao factor j = ˆλ j pp 90

95 para uma aálie factorial de R: Proporção da variâcia amotral total devida ao factor j = λˆ j p Eemplo 7.5: Voltado ao Eemplo 8.3 referete à =00 obervaçõe emaai da taa de retoro da acçõe de p=5 emprea química e ode e ecotraram a primeira dua compoete pricipai obtida a partir de R, é fácil determiar a oluçõe da compoete pricipai para o modelo ortogoal com m= e m=. Aim, para ecotrar o peo factoriai etimado bata multiplicar o coeficiete da compoete pricipai amotrai (vectore próprio de R) pela raíze quadrada do correpodete valore próprio. A eguir, ão apreetado o peo factoriai etimado F, a comualidade, a variâcia epecífica e a proporção da variâcia total (etadardizada) amotral eplicada por cada factor, para a oluçõe com m= e com m=. Variável Solução factor Solução factore Peo factoriai Variâcia Peo factoriai Variâcia etimado epecífica etimado epecífica ~ ~ ~ ~ F Ψ i = h i F F Ψi = h i. Allied Chemical DuPot Uio Carbide Eo Teaco Proporção da variâcia total (etadardizada) amotral eplicada A matriz reidual correpodete à olução para m= factore é 9

96 R - L ~ L ~ ' - Ψ ~ = A proporção da variâcia total eplicada pela olução com doi factore é apreciavelmete maior do que a correpodete à olução com apea um factor. Mai uma vez e vê que o primeiro factor F repreeta codiçõe ecoómica gerai e pode er chamado factor de mercado, toda a acçõe têm um peo alto e todo o peo ão mai ou meo iguai. O egudo factor, que permite a eparação da emprea química com acçõe de petróleo da emprea química em acçõe de petróleo, pode er deomiado factor de idútria. o Como já vimo ateriormete, todo o peo factoriai obtido pelo peo iiciai atravé de uma traformação ortogoal têm idêtica capacidade de produzir a matriz de covariâcia (ou de correlação). Ora, pela álgebra matricial abemo que uma traformação ortogoal correpode a uma rotação rígida do eio coordeado. Por eta razão, a uma traformação ortogoal do peo factoriai damo o ome de rotação factorial. Se Lˆ é uma matriz p m de peo factoriai etimado obtido por um qualquer método, etão Lˆ * = Lˆ T (ode TT' = T'T = I) é a matriz p m de peo apó rotação. Como coequêcia directa da rotação, a matriz reidual matêm-e ialterada, aim como a variâcia epecífica Ψˆ i i e a comualidade ĥ i. Ito igifica que, ob o poto de vita matemático, é imaterial uarmo Lˆ ou Lˆ *. 9

97 Eemplo 7.6: Coideremo a eguite matriz de correlaçõe referete à ota em p=6 área de =0 aluo de uma ecola: Port Frac Hit Aritm Álgeb Geomet R = A olução para m= factore comu é apreetada a eguir: Factore rodado Comualidade F F h ˆi. Portuguê. Fracê 3. Hitória 4. Aritmética 5. Álgebra 6. Geometria Toda a variávei têm peo poitivo o primeiro factor, factor geral de iteligêcia. No etato, em relação ao egudo factor, há bipolarização etre a ~ ~ diciplia matemática e a ão-matemática. O pare ( l ; l ) de peo factoria etão apreetado a Figura 7.4. i i 93

98 F Hitória Portuguê Iglê F Geometria Álgebra Aritmética Figura 7.4 Peo factoriai Rodado o itema de eio de θ = 0º, fazemo com que o traformado do eio F pae pelo poto ( ~ l 4 ; l~ 4 ), como o repreetado a Figura F F * Hitória Portuguê Iglê θ Geometria F Álgebra Aritmética * F Figura 7.5 Rotação factorial 94

99 Quado ito é feito todo o poto e ecotram o primeiro quadrate (todo o peo factoriai ão poitivo) e o doi grupo de variávei ão evideciado. Ito correpode à eguite tabela de peo etimado apó rotação. Peo factoriai etimado apó rotação Comualidade Variável F * F * h* ˆ i = ĥ i. Portuguê Fracê Hitória Aritmética Álgebra Geometria Como e pode verificar; a comualidade ão e alteraram. Ora, eta rotação pode er coeguida aaliticamete, por eemplo atravé do o critério varima. Coiderado ~ l * ij = l ˆ* ij ĥ * i, o procedimeto varima eleccioa a traformação ortogoal T tal que maimiza V = p m j= p i= ~* l 4 ij - p ~* l ij i= p É importate alietar-e que a rotaçõe ortogoai ão apropriada para modelo factoriai ode e preupõe que o factore ão idepedete. Cao io e ão verifique eitem rotaçõe oblíqua (ão ortogoai), ma que ão e regem pelo modelo atrá idicado. 95

100 For fim, falta aida debruçarmo-o um pouco obre um problema prático referete ao úmero de factore a ecolher e a utilizar uma aálie epecífica. Um do critério mai vulgare é reter apea factore com valore próprio maiore do que, quado uada a matriz de correlaçõe. Outra alterativa é aaliar o gráfico do valore próprio e parar a aálie o poto ode a liha dete gráfico começa a er quae paralela com o eio horizotal. Ete última alterativa; deomiada tete de bae de motaha (cree tet) etá ilutrada a Figura Factor Figura 7.6 Eemplo de um tete de bae de motaha Segudo ete gráfico o ivetigador cocluiria que ão deveriam er etraído mai de cico factore. 96

101 97

102 8 Aálie de agrupameto (cluter) 8. Itrodução Uma outra técica eploratória de dado é aquela que pequia a eitêcia de grupo aturai de idivíduo ou de variávei. A aplicação deta técica ão preupõe qualquer caracterítica da etrutura do agrupameto; apea e baeia em medida de emelhaça ou de ditâcia etre objecto e a ecolha de critério de agregação. De uma maeira geral, eta aálie paa pela eguite fae:. Selecção da amotra de idivíduo a agrupar;. Defiição de variávei para permitir o agrupameto do idivíduo; 3. Defiição de uma medida de emelhaça ou de ditâcia; 4. Ecolha de um critério de agregação ou deagregação 5. Validação do reultado ecotrado. 8. Medida de emelhaça A ecolha da medida de emelhaça evolve empre uma grade compoete de ubjectividade para além da caracterítica da variávei e da ecala uada para a medição. Normalmete o idivíduo ão agrupado à cuta 98

103 de ditâcia. A variávei podem, por eemplo, er agrupada com bae o coeficiete de correlação. 8.. Medida de ditâcia De etre a vária medida ormalmete utilizada para determiar a ditâcia etre elemeto de uma matriz de dado, detacam-e a eguite:. Ditâcia Euclideaa a ditâcia etre doi idivíduo i e j é a raiz quadrada do omatório do quadrado da difereça etre o valore de i e j para toda a variávei: d ij p =. ( ik jk ) k =. Quadrado da ditâcia Euclideaa a ditâcia etre doi idivíduo i e j é o omatório do quadrado da difereça etre o valore de i e j para toda a variávei: d ij p =. ( ik jk ) k = 3. Ditâcia aboluta (city block) a ditâcia etre doi idivíduo i e j é o omatório do valore aboluto da difereça etre o valore de i e j para toda a variávei: d ij = p k = ik jk. 4. Ditâcia de Mikowki geeralização da ditâcia aboluta (para m=) e da ditâcia Euclideaa (para m=): 99

104 d ij p = k = ik jk m m 5. Ditâcia geeralizada (de Mahalaobi) medida que utiliza a matriz da variâcia: d ij = ' ( ) ( ) i j i j Para eemplificar a utilização deta medida coideremo a eguite matriz de 5 obervaçõe em 3 variávei: X X X 3,06 9, 5,0 9, 45 3,34 3,0 68 4,43 5,4 3 5,6,7 04 dado. A matrize a eguir apreetam a mediçõe da ditâcia para a matriz de Ditâcia Euclideaa ,0 3 7,4 77, 4 38,5 3, 55,0 5 47, 4,0 64,0 9,7 Quadrado da ditâcia Euclideaa , ,5 5943,5 4 48,6 746,5 3030,8 5 5,3 9887,3 4097,7 94,8 Ditâcia aboluta (city block) ,0 3, 8,0 4 44,6 38,5 57,5 00

105 5 49,6 43,6 65,5 3,0 Ditâcia geeralizada (de Mahalaobi) ,6 3,4 34,0 4 40,0 35,5 9,0 5, 33,8 40,0 8,8 Como e pode ver, pricipalmete quado a ditâcia geeralizada é comparada com a outra, a variávei que apreetam variaçõe e uidade de medida elevada tedem a aular o efeito da outra variávei. 8.. Medida de aociação Por outro lado, toda eta variávei ão quatitativa. No etato, também a variávei qualitativa podem er itroduzida ete tipo de aálie à cuta da ua traformação em variávei biária, com o valor o cao da preeça de uma determiada caracterítica de iteree e 0 o cao cotrário. Coiderado o idivíduo i e j, medido atravé de p variávei biária, cotrói-e a tabela eguite Idivíduo j Totai Idivíduo i 0 a b a + b 0 c d c + d Totai a + c b + d ode a correpode ao úmero de caracterítica eitete (valor ) em ambo o idivíduo, d ao úmero de caracterítica auete (valor 0) em ambo o idivíduo, 0

106 b ao úmero de caracterítica preete em i e auete em j, e c ao úmero de caracterítica auete em i e preete em j. Algu do coeficiete de emparelhameto e de emelhaça ão o apreetado a eguir: a + d a + b + c + d ( a + d) ( a + d) + b + c a + d 3 a + d + ( b + c) a 4 a + b + c a 5 a + ( b + c) a 6 b + c Igual peo à a preeça e a auêcia imultâea; Peo duplo à preeça e auêcia imultâea; Peo duplo à ituaçõe dicordate; icluão da auêcia imultâea Peo duplo à preeça auêcia imultâea; ecluão da auêcia imultâea. Peo duplo a ituaçõe dicordate; ecluão da auêcia imultâea. Quociete etre preeça imultâea e ituaçõe dicordate; ecluão da auêcia imultâea. Supohamo agora outro cico idivíduo com a eguite caracterítica: Idivíduo Altura (cm) Peo (Kg) Olho Cabelo Cahoto Seo Verde Louro Não Fem Cataho Cataho Não Mac Azui Louro Não Mac Cataho Cataho Não Fem Cataho Cataho Sim Mac Defiamo a ei variávei biária X, X, X 3, X 4, X 5, e X 6 do eguite modo: X = 0 altura 83cm altura < 83cm X 4 = 0 cabelolouro cabelo âo louro 0

107 X = 0 peo 68 Kg peo < 68 Kg X 5 = 0 ão cahoto cahoto X 3 = 0 cabelo ca tah o cabelo ão ca tah o X 6 = 0 eo fe mi io eo maculio A potuaçõe para o idivíduo e para a 6 variávei ão Idivíduo X X X 3 X 4 X 5 X E o úmero de coicidêcia ão idicada pela tabela de dua etrada: Idivíduo Totai Idivíduo Totai 4 6 Utilizado o primeiro coeficiete de emelhaça, obtemo a + d a + b + c + d + 0 = 6 = 6 e, cotiuado, a eguite matriz: 03

108 o que demotra que o idivíduo e 5 ão mai emelhate etre i e que o idivíduo e 5 ão meo emelhate etre i. O doi ubgrupo que e podiam criar eram ( 3 5) e ( 5). Todo ete coeficiete de emelhaça ij podem variar etre 0 e e a ua relação com a ditâcia d ij permite a ua cotrução atravé da fórmula: ij = + dij 8.3 Critério de agregação e deagregação No proceo de agrupameto há eceidade de etimar a ditâcia etre o grupo já formado e outro grupo ou idivíduo. Também aqui ão eite o melhor método de deagregação, tedo o ivetigador que utilizar vário critério e comparar o reultado. De etre o critério de agregação mai utilizado podemo citar o critério do viziho mai próimo (igle likage), o critério do viziho mai afatado (complete likage), o critério da média do grupo (average likage), o critério do cetróide e o critério de Ward 04

109 8.3. Critério do viziho mai próimo (igle likage) Dado doi grupo (i,j) e (k), a ditacia etre ele é igual à meor ditâcia etre o elemeto do doi grupo, ito é, d = mi{ d ; d ( i, j) k ik jk } Com ete critério, cada idivíduo terá mai tedêcia para e agrupar a um grupo já defiido do que para formar o úcleo de um ovo grupo. Ito cotitui uma devatagem, pricipal repoável pela fraca utilização dete critério Critério do viziho mai afatado (complete likage) Dado doi grupo (i,j) e (k), a ditacia etre ele é igual à maior ditâcia etre o elemeto do doi grupo, ito é, d = ma{ d ; d ( i, j) k ik jk } Com ete critério, cada grupo paa a er defiido como o cojuto do idivíduo em que cada um é mai emelhate a todo o outro do grupo do que a qualquer outro elemeto. O grupo aim criado ão mai compacto 05

110 8.3.3 Critério da média do grupo (average likage) Dado doi grupo (i,j) e (k), a ditacia etre ele é a média etre todo o pare de idivíduo cotituído por todo o elemeto do doi grupo. Cotitui-e como uma etratégia itermédia da retate Critério do cetróide Dado doi grupo, a ditacia etre ele é a ditâcia etre o repectivo cetróide, média da variávei caracterizadora do idivíduo de cada grupo Critério de Ward Ete critério baeia-e a comparação etre a aplicação da medida da oma do quadrado do devio da obervaçõe em relação à média do grupo. Primeiro ão calculada a média da variávei de cada grupo; em eguida, é calculado o quadrado da ditâcia Euclideaa etre ea média e o valore da variávei para cada idivíduo. Por fim, omam-e a ditâcia para todo o idivíduo e optimiza-e a variâcia míima detro do grupo. 06

111 07

112 Referêcia bibliográfica Aldeferfer MS, Blahfield RK. Cluter aalyi. Sage uiverity paper erie o quatitative applicatio i the ocial ciece, Beverly Hill: Sage, 984. Alt M. Eplorig hyperpace. A o-mathematical eplaatio of multivariate aalyi. Lodo: McGraw-Hill, 990. Bryma A, Cramer D. Aálie de dado em ciêcia ociai: itrodução à técica utilizado o SPSS. Oeira: Celta Editora, 99. Dutema GH. Pricipal compoete aalyi. Sage uiverity paper erie o quatitative applicatio i the ocial ciece, Beverly Hill: Sage, 989. Hair JF, Adero RE, Tatham RL, Black WC. Multivariate data aalyi. Eglewood Clif: Pretice-Hall, 995. Jobo JD. Applied multivariate aalyi. Volume II: Categorical ad multivariate method. New York: Spriger-Verlag, 99. Joho RA, Wicher D. applied multivariate aalyi. Eglewood Cliff, NJ: Pretice-Hall, 988. Kim J-O, Mueller C. Itroductio to factor aalyi. Sage uiverity paper erie o quatitative applicatio i the ocial ciece, Beverly Hill: Sage,

113 Kim J-O, Mueller C. Factor aalyi. Statitical method ad practical iue. Sage uiverity paper erie o quatitative applicatio i the ocial ciece, Beverly Hill: Sage,