ESTATÍSTICA BÁSICA- SUMÁRIO ( 1 a PARTE)

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA- SUMÁRIO ( a PARTE) POPULAÇÕES E AMOSTRAS IMPORTÂNCIA DA FORMA DA POPULAÇÃO DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE GAUSS PARÂMETROS E ESTIMATIVAS TEOREMA DO LIMITE CENTRAL DISTRIBUIÇÃO Z E DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT HIPÓTESES ESTATÍSTICAS MECANISMO DOS ERROS EM UM TESTE ESTATÍSTICO PROTOCOLO PARA A REALIZAÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES ESTIMATIVAS POR PONTO ESTIMATIVAS POR INTERVALO COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIAS UTILIZANDO O TESTE T TESTE DE COMPARAÇÃO ENTRE VARIÂNCIAS TEST F OU LEVENE CONFIABILIDADE DOS RESULTADOS

2 POPULAÇÕES E AMOSTRAS O aluo do curo de química aalítica itrumetal foram cotratado para avaliar o teor de itrato a água do Lago do Maacá. É eceário que toda a água do lago eja aaliada para que e coclua obre o teor de itrato? - População: É o cojuto de todo o idivíduo ou elemeto, que compartilham um grupo de caracterítica comu. ( é um ete teórico, em geral, iatigível). - População alvo ou população objeto: cojuto de idivíduo ou elemeto que pouem a iformação deejada pelo pequiador. - Amotra: um ubcojuto da população alvo, elecioado ob certa regra, que e preta para etimar, de modo cofiável, a iformaçõe eceária ao pequiador.

3 - Quato a forma de ecolha : probabilítica ou aleatória e ão probabilítica ou determiítica. Amotra aleatória ou probabilítica: É aquela a qual cada elemeto da população alvo tem uma probabilidade fia de er icluído a amotra. Amotragem determiítica ou ão probabilítica: é aquela que ão utiliza eleção aleatória, traferido o critério de eleção para o julgameto peoal do pequiador. - Quato à relação etre a repota do idivíduo: a amotra podem er idepedete (homogêea), pareada ou emparelhada (heterogêea). Amotra idepedete: ão aquela a quai cada idivíduo é avaliado ou medido apea uma vez durate o período eperimetal. Ito é, a cada idivíduo etá aociado a apea uma repota. Amotra pareada ou ao pare: ão aquela em que cada idivíduo é avaliado dua veze, em tempo, locai e/ou codiçõe diferete. 3

4 IMPORTÂNCIA DA FORMA DA POPULAÇÃO METODOLOGIA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA PARAMÉTRICA ESTATÍSTICA NÃO-PARAMÉTRICA Média () Variâcia (σ ) Ditribuição ormal ou ditribuição de Gau Método que idepedem da forma de ditribuição 4

5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU DE GAUSS + σ σ e ( ) σ σ π d σ σ σ z σ σ σ +.σ σ e ( ) σ σ π d f ( ;, σ ) ( ) σ σ e π, < - cetrada a média ou - devio padrão σ ou - imétrica - aitótica < + 3σ 3σ e ( ) σ σ π d

6 PARÂMETROS E ESTIMATIVAS População Alvo Amotra N Amotragem Iferêcia Etatítica Parâmetro Decohecido Etatítica Decritiva Etimativa por itervalo Tete de hipótee, Prediçõe Tabela, Gráfico, Etimativa por poto 6

7 Supoha como recuro didático que você coheça completamete uma população : Ela tem tamaho N 5 elemeto e etá defiida atravé da variável X: X {,4,6,8,0} N i i i i ( ) N 6 σ ( ) N ( i ) ( i ) N 5 i i [( 6) + (4 6) (0 6) ] 8 5 Supoha aida que você ão aiba que () 6,0 e σ () 8,0, e que você deeja etimá-la por poto Supoha uma amotragem aleatória de tamaho com repoição: X 4, 5 0, ( 4/ 7);, 4, ( 6/ 3) Note que o procedimeto ão idêtico, ma como a amotra ão aleatória, ito é, foram obtida por orteio, ela podem coter quaiquer doi valore da população (variável X), reultado em diferete etimativa por poto para a mema média populacioal 7

8 É ee coteto que ão defiida etimativa por itervalo, também cohecido como itervalo de cofiaça. Dee modo, pode-e obter itervalo que, com um NÍVEL DE CONFIANÇA etabelecido a priori, cotém a média populacioal. Supoha que ejam retirada da população em quetão. Toda a poívei amotra aleatória, com repoição, de tamaho elemeto. (;) (;4) (;6) (;8) (;0) (4;) (4;4) (4;6) (4;8) (4;0) (6;) (6;4) (6;6) (6;8) (6;0) (8;) (8;4) (8;6) (8;8) (8;0) (0;) (0;4) (0;6) (0;8) (0;0) Cada uma dea 5 amotra forece etimativa para a média, para a variâcia e para vário outro parâmetro. No preete cao, a etimativa da média populacioal () calculada ão:,0 3,0 4,0 5,0 6,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 8

9 6 Média j,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Frequêcia f j Frequêcia ,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 Média 7,0 4 8,0 9,0 0,0 Total 3 5 Calculado-e a média e a variâcia da ditribuição de, pela tabela e ipeção do gráfico, verifica-e umérica e graficamete um teorema importatíimo a teoria da iferêcia etatítica, o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL σ ( ) ( ) ( ) σ ( ) 6,0 8 4,0 9

10 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL - A técica etatítica que erão apreetada ão robuta em relação o devio da ormalidade. - Memo que a população de iteree ão e ditribua ormalmete, a técica podem er uada, porque cotiuam aproimadamete valida. - Eta robutez vem em última aálie, do TEOREMA DO LIMITE CENTRAL, um do teorema fudametai da etatítica, que diz eecialmete o eguite: SE A VARIAÇÃO TOTAL NUMA CERTA VARIÁVEL ALEATÓRIA FOR O RESULTADO DA SOMA DAS FLUTUAÇÕES DE MUITAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DE IMPORTÂNCIA MAIS OU MENSO IGUAL, A SUA DISTRIBUIÇÃO TENDERÁ PARA A NORMALIDADE, NÃO IMPORTA QUAL SEJA A NATUREZA DAS DISTRIBUIÇÕES DAS VARIÁVEIS INDIVIDUAIS. 0

11 Ditribuição z e ditribuição t de Studet N (0,) t(v) A dificuldade do emprego de como uma etimativa de σ o cálculo do erro padrão foram etudada por William Sealy Goet ( ), pequiador da emprea Guie, famoa cervejaria de Dubli, a Irlada. O iteree de Goet ee problema etatítico tiha forte motivo prático, uma vez que o método empregado a época eram adequado a amotra grade, muito diferete da pequea com a quai tiha de trabalhar. Quado σ foe decohecido, que e ubtituíe o valor crítico obtido a curva ormal pelo valor crítico de uma ova ditribuição, a qual foi chamada ditribuição t f z ( z) e σ π, < < z σ Γ(( υ + ) / ) ( υ + f ( t; υ) ( + t / υ) )/, Γ( υ / ) πυ < t < t

12 TABELA PARA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT

13 HIPÓTESES ESTATÍSTICAS -Tete de hipótee: regra de decião que permite, com bae em iformaçõe cotida o dado amotrai, cocluir obre parâmetro da população. - Hipótee etatítica é uma upoição obre algum parâmetro da população, que erá pota à prova atravé do tete de hipótee. Coideram-e, empre, dua hipótee: H 0 e H a, deomiada, repectivamete, hipótee ula e hipótee alterativa. - Hipótee Nula: é a hipótee que erá aceita, e H a for rejeitada o tete - Hipótee Alterativa: H a hipótee que etá edo pota à prova. Eemplo: O ph médio da população alvo é diferete de 5,0 Tete bilateral H a : 5,0 O ph médio da população alvo é meor que 5,0 Tete uilateral à equerda H a : < 5,0 O ph médio da população alvo é maior que 5,0 Tete uilateral à direita H a : > 5,0 Apea uma dela, etabelecida a priori, erá utilizada. 3

14 - Regiõe crítica ão a regiõe de ão rejeição de H 0, que deotaremo RAH 0, e de rejeição de H 0, que deotaremo RRH 0. - Eemplo: eboço de um tete bilateral ou bicaldal, para a média de uma população ormal, Ha: 0 RAH 0 -alfa 0,95 RRH 0 alfa/ 0,05 RRH 0 alfa/ 0,05 -t Tab t Tab 4

15 MECANISMOS DOS ERROS NUM TESTE ESTATÍSTICO Realidade a População Reultado do Tete etatítico Não e rejeita H 0 Rejeita-e H 0 H 0 é verdadeira H 0 é fala Reultado correto: Não há erro Erro do Tipo II Erro do tipo I Reultado correto: Não há erro Erro do tipo I ou da primeira epécie: rejeitar H 0, quado H 0 é verdadeira - A probabilidade de e cometer um erro tipo I, também cohecida como ível de igificâcia do tete, é deotada por α e ecolhida a priori pelo pequiador. Em geral, o ível de igificâcia α 0,05 (5%) é muito bem aceito pela comuidade cietífica. α P(erro tipo I) P(rejeitar H 0, quado H 0 é verdadeira) Erro do tipo II ou da eguda epécie: ão rejeitar H 0, quado H 0 é fala -A probabilidade de e cometer um erro tipo II é deotada por β. β P(erro tipo II) P(ão rejeitar H 0, quado H 0 é fala) Poder de um tete etatítico: é a probabilidade de rejeitar H 0, quado H 0 é fala P - β 5

16 PROTOCOLO PARA REALIZAÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES a- Euciar claramete a hipótee H 0 e H a ; b- Fiar o ível de igificâcia α e determiar a regiõe crítica do tete. Em geral α 0,05 (5%) ou α 0,0 (%); c- Calcular o valor da etatítica, V, do tete, que depede do parâmetro que e quer tetar; d- Decião: e V RA, ão e rejeita H 0. Se V RR, rejeita-e H 0. Probabilidade de igificâcia, p-valor ou ível decritivo do tete - Quado o tete de hipótee é feito em computador, atravé de programa etatítico, recebemo como output o p-valor (p-value), ível decritivo ou probabilidade de igificâcia do tete, que é a probabilidade de ocorrêcia de valore da variável V do tete (item c) mai etremo que o obtido atravé dea amotra. - Aim a decião pode er feita em termo do p-valor: rejeitamo ou ão H 0, coforme o p-valor eja, repectivamete, meor ou ão que o ível α, de igificâcia, etabelecido a priori. 6

17 RAH 0 -alfa 0,95 p-valor > 0,05 RRH 0 :alfa (α) 0,05 RRH 0 :alfa (α) 0,05 -t Tab -t Calc t Calc t Tab RRH 0 RAH 0 RRH 0 α 0,05 ível de igificâcia área da direita de t Tab e equerda de -t Tab p valor área `a direita de t Calc - Decião: Se t Calc < t Tab, aceita-e H 0, cao cotrário, rejeita-e. - Decião: Se p-valor > 0,05 (ível de igificâcia ou eja o alfa α) aceita-e H 0, cao cotrário, rejeita-e 7

18 ESTIMATIVAS POR PONTO Média: N i N i Devio padrão: N i ( i N ) S variâcia Muita veze, em ituaçõe prática, preciamo comparar a variabilidade de doi ou mai cojuto de dado. Ocorre que tai cojuto podem etar decrito com diferete uidade de medida, por eemplo: metro e quilo, impoibilitado a comparação atravé da variâcia. Para viabilizar comparaçõe dee tipo, defiiu-e o coeficiete de variação ou devio padrão relativo, que eprime a variação percetual em relação à média e, idepede de uidade de medida: 00 CV Coeficiete de variação: % % 8

19 ESTIMATIVAS POR INTERVALO Uma etimativa por itervalo para a média,, de uma população ormal, obtida atravé de uma amotra aleatória de tamaho, ao ível de cofiaça -α, é dada por: IC[ ] ( α ) : ± t( ; α / ) Ode: é a etimativa por poto, da média; é a etimativa por poto do devio padrão; é o tamaho da amotra; t é um valor tabelado da ditribuição t de Studet, obtido com - grau de liberdade e α bilateral. Teoricamete, ito igifica que e retiramo toda a amotra poívei de uma população e, com cada uma dela cotruímo um itervalo de cofiaça, etão, 95% do itervalo cotruído devem coter a média populacioal. Em outra Palavra, 5 em cada 00 ou em cada 0 itervalo ão deve coter a média populacioal. 9

20 EXEMPLO : O teor de carboidrato de uma glicoproteía (uma proteía com açucare fiado a ela) foi determiado como.6,.9, 3.0,.7 e.5 g de Carboidrato por 00 g de proteía atravé de aálie repetida. Calcule o itervalo de cofiaça de 90% para o teor de carboidrato. a- 90% de cofiaça - calcular (.54) e (0.40) para a cico medida; -obter o valor de t a tabela de ditribuição t de Studet para 4 grau de liberdade; - calcular a etatítica. (.3)(0.40) ± t( 4;0.0).54 ±.54 ± Ee cálculo igifica que eite uma chace de 90% de que eteja detro do Itervalo.54 ± 0.38 (.6 a.9) O que acotece com o reultado quado aumetamo ou dimiuímo o ível de cofiaça? 0

21 COMPARAÇÃO DA MÉDIA COM O TESTE t - O tete t é uado para comparar um grupo de medida com outro, a fim de decidir e ele ão ou ão diferete. - A etatítica o permite obter a probabilidade de que a difereça obervada etre dua média eja devida a erro de medida puramete aleatório O trê cao poívei ão: Cao : Mede-e uma quatidade vária veze, obtedo-e um valor médio e um deviopadrão. Compara-e o reultado obtido com um determiado valor que é cohecido e aceito. A média obtida ão cocorda eatamete com o valor que é aceito. A difereça é aceitável levado-e em cota o erro eperimetal? Cao (amotra homogêea) : Mede-e uma quatidade divera veze utilizado doi método ditito, que forecem dua repota diferete, cada um com eu deviopadrão. Levado em cota o erro eperimetal, eite uma cocordâcia ou uma dicordâcia etre o doi reultado? Cao 3 (amotra heterogêea) : A amotra é medida uma vez pelo método A e uma vez pelo método B, que ão forecem eatamete o memo reultado. A eguir, uma amotra diferete, deomiada, é também medida uma vez pelo método A e uma vez pelo método B. Novamete, o reultado ão ão eatamete iguai etre i. O procedimeto é repetido para amotra diferete. Se o erro eperimetal for levado em cota, o doi método cocordarão etre i, ou um erá itematicamete diferete do outro?

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23 ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA MEDIDA - Verificação do preupoto: - Normalidade (tete de Shapiro-wilk 3 < < 50 ou Tete de kolmogorov-smirov > 50) - Etabelecimeto da hipótee etatítica H 0 : A 0 H a : A 0 3- Ecolha do ível de igificâcia: α Determiação do valor crítico do tete Vai depeder do grau de liberdade (Tabela de ditribuição t de Studet) 5- Determiação do valor calculado do tete 0 ( valor cohecido) t calculado 6- Decião e t calc > t crítico, rejeita-e H 0 ; p-valor < 0.05 e t calc < t crítico, aceita-e H 0 ; p-valor > Cocluão 3

24 Cao - Comparado um reultado medido com um valor cohecido Eemplo : Uma amotra de carvão foi adquirida como edo um Material Padrão de Referêcia, certificado pelo Itituto Nacioal de Padrõe e Tecologia (NIST) do Etado Uido, cotedo 3.9% de eofre. O valore medido ão 3.9, 3., 3.30 e 3.3% de eofre, dado uma média de 3.6 e um devio padrão de Eta repota cocorda com o valor forecido pelo NIST em um itervalo de 95% de cofiaça? - Verificação de preupoto: - ormalidade (tete de Shapiro-wilk 3 < < 50 ou Tete de kolmogorov-smirov > 50) - Etabelecimeto da hipótee etatítica H 0 : A 0 H a : A 0 ; a < 0 ; a > 0 3- Ecolha o ível de igificâcia: α Determiar o valor crítico do tete (tabela t de Studet) - t (3; 0.05) Determiação do valor da etatítica 0 ( valor cohecido) t calculado 6- Decião: e t calc > t crítico, rejeita-e H 0 ; p-valor < 0.05 e t calc < t crítico, aceita-e H 0 ; p-valor > Como t calc < t tab, ão há evidêcia de difereça igificativa etre a média o itervalo de 95% (α 0.05) de cofiaça. 4

25 ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES PARA UM GRUPO DE MEDIDAS - Verificação do preupoto: - Verificação da relação e depedêcia ou idepedêcia etre a amotra (amotra homogêea ou heterogêea) gráfico de diperão.y -Normalidade (tete de Shapiro-Wilk 3 < < 50 ou Tete de kolmogorov-smirov > 50) -Tete de Homogeeidade ou homocedaticidade de variâcia (Tete F ou tete de Levee) - Etabelecimeto da hipótee etatítica H 0 : A 0 H a : A 0 ; a < 0 ; a > 0 3- Ecolha do ível de igificâcia: α Determiação do valor crítico do tete Vai depeder da etatítica utilizada (Tabela de ditribuição t de tudet) e do grau de liberdade 5- Determiação do valor calculado do tete 6- Decião e t calc > t crítico, rejeita-e H 0 ; p-valor < 0.05 e t calc < t crítico, aceita-e H 0 ; p-valor > Cocluão 5

26 GRUPO DE MEDIDAS VERIFICAÇÃO DA RELAÇÃO DE DEPENDÊNCIA OU INDEPENDÊNCIA ENTRE AS AMOSTRAS (gráfico de diperão ou hitórico da amotra) ALEATÓRIO? (homogêea) TENDÊNCIA? (heterogêea) (tete de Shapiro-Wilk 3 < < 50 ou Tete de kolmogorov-smirov > 50) NORMALIDADE NORMALIDADE TESTE t PAREADO TESTE t NÃO PAREADO HOMOCEDASTICIDADE Tete F ou tete de Levee σ A σ B σ A σ B TEST t AGRUPADO TEST t NÃO AGRUPADO 6

27 TESTE DE COMPARAÇÃO ENTRE VARIÂNCIAS - TESTE F - Hipótee etatítica H 0 : σ A σ B σ H a : σ A σ B - Ecolha do ível de igificâcia: α 0,05 3- Determiação do valor crítico do tete gl N N - gl D D - Para e ecotrar valore iferiore, ua-e a idetidade: 4- Determiação do valor calculado 5- Decião F ( ν, ν ) ( ν, ν) F maior Fcal meor e F calc > F crítico, rejeita-e H 0 ; p-valor < 0.05 e F calc < F crítico, aceita-e H 0 ; p-valor >

28 TABELA F BILATERAL 8

29 TABELA F : VALORES CRÍTICOS PARA UM TESTE UNILATERAL (α 0,05) 9

30 30 TESTE t NÃO PAREADO COM VARIÂNCIA AGRUPADA t agrupado calculado + ) ( ) ( + + agrupado ) / ; ( α + t Tabelado t TESTE t NÃO PAREADO COM VARIÂNCIA NÃO AGRUPADA t calculado + ) ( ) ( ) ( * + + ν *NOTA: Quado a variâcia ão diferete, o tete de média é aproimado. Em outra palavra, a etatítica do tete t calc tem ditribuição aproimada de t, com ν grau de liberdade. O valor ν é obtido atravé da fórmula de Satterthwaite. Como ee valor ão é, em geral, iteiro, recomeda-e utilizar o valor iteiro mai próimo. a 0 ; ; : H ; : H : HIPÓTESES > < ) / ; ( α ν t Tabelado t

31 3 TESTE t PAREADO 0 0; 0; : H 0 : H HIPÓTESES: a 0 > <,,..., pare i ; y d ; i i i d t d calc ]; ) ( [ ; d d i i i i d i i d d d d + ) / ; ( α t Tabelado t

32 CASO COMPARANDO MEDIDAS REPETIDAS Eemplo 3: Podemo utilizar um tete t para decidir e doi grupo de medida repetida forecem reultado idêtico ou diferete, detro de um determiado ível de cofiaça. Um eemplo é dado pelo trabalho de Lorde Rayleigh (Joh W. Strutt), que atualmete é lembrado por eu etudo obre epalhameto de luz, obre a radiação do corpo egro obre oda elática em ólido. Ele gahou o Prêmio Nobel em 904 pela decoberta do gá ierte argôio. Ea decoberta ocorreu quado ele obervou uma pequea dicrepâcia etre doi grupo de medida da deidade do gá itrogêio. Vejamo como utilizar o tete t para decidir e o gá iolado do ar é igificativamete mai peado do que o itrogêio iolado de fote química. MASAS DO GÁS ISOLADO POR LORDE RAYLEIGH Do ar (g) Da decompoição química (g) Média Média Devio-padrão Devio-padrão FONTE: R.D. Lare, J. Chem. Ed. 990, 67,95 3

33 Tete de ormalidade Shapiro-Wilk Etatítica p-valor Tete F ou tete de Bartlett Tete-F: dua amotra para variâcia Variável Variável Média Variâcia.9E-06.03E-08 Obervaçõe 8 7 gl 7 6 F P(F<f) ui-caudal.06e-05 F crítico ui-caudal Verificação de depedêcia ou idepedêcia etre a amotra Determiação do valor calculado do tete Tete-t: dua amotra preumido variâcia diferete Variável Variável Média Variâcia.03E-08.9E-06 Obervaçõe 7 8 Hipótee da difereça de média 0 gl 7 Stat t.680 P(T<t) ui-caudal 5.6E-08 t crítico ui-caudal P(T<t) bi-caudal.e-07 t crítico bi-caudal

34 Eemplo 3: O tete t com amotra de compoiçõe diferete ( tete t pareado ou emparelhado). Doi método diferete A e B, foram uado para aaliar cico compoto diferete de ferro (% de Fe). Amotra 3 Método A Método B Método A Método B d d d ( d d ) Shapiro-Wilk Etatítica p-valor ,854 0,57 d 0. 5 ( d d ) Verificação de depedêcia ou idepedêcia etre a amotra d d t calculado d d

35 CONFIABILIDADE DOS RESULTADOS Rejeição de valore: - apó aplicação de tete etatítico apropriado; - quado eitir uma razão química ou itrumetal uficiete óbvia que poa jutificar a ecluão do reultado. Eemplo: O eguite valore foram quetioado para a determiação de cádmio em amotra de poeira: 4.3; 4.; 4.0; 3. g/g. O último valor deve er rejeitado? Q valor quetioado valor mai próimo maior valor meor valor Se o valor de Q for maior que o valor crítico de Q, que etá a tabela Q, etão o valor quetioado deve er rejeitado. Q 3, 4,0 4,3 3, 0,8, 0,77 Não há evidêcia o itervalo de 95% de cofiaça para rejeição do valor 3. g/g 35

36 VALORES CRÍTICOS DE Q (P 0.05) Tamaho da amotra Valor crítico J. Am. Statit. Aoc., 958, 48,

37 Peameto... Podemo er ludibriado por trê forma de preguiça: a que e maifeta como itolerâcia, que é o deejo de adiar; a que e maifeta como etimeto de iferioridade, que é duvidar da própria capacidade; e a que e maifeta com a adoção de atitude egativa, que é dedicar um eforço eceivo àquilo que ão é virtude. Dalai-Lama 37