Caderno de Exercício 3

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1 1 Cadero de Exercício 3 Esaios de Hipóteses e Regressão Liear 1. Exercícios Aulas 1. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 2. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 3. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 4. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 5. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 6. Exercício 12.2 a) do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 7. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 8. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 9. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 10. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 11. Exercício do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess estatística F 2. Exercícios Aplicação 1. O CAMPIC é o modelo mais vedido de um dado fabricate automóvel. O valor médio das emissões gases poluetes destes carros é de 50 uidades. O fabricate comprometeu-se a reduzir em 1 uidade por ao as emissões dos carros por si fabricados. Passados que estão 3 aos, o valor médio das emissões deveria ser igual a 47. No etato, um grupo ecologista descofia que o valor médio das emissões poderá ser superior a 47. Com base o resultado das emissões de uma amostra aleatória de 30 automóveis ovos do modelo CAMPIC, pretede-se testar se de facto as suspeitas do grupo ecologista são fudadas. Supoha que a média amostral dos 30 automóveis for de 47,6 e o desvio-padrão de 2,5. a. Defia a região crítica para efectuar o teste a um ível de sigificâcia de 5%. b. Qual a coclusão do teste? c. Qual o P-value do teste?

2 2 d. Para que íveis de sigificâcia teria a coclusão do teste sido diferete? 2. Supoha o esaio de hipóteses simples cotra simples em populações ormais: H 0 : μ = 300 H 1 : μ = 350 A variâcia é de σ 2 = 2500; as duas situações são igualmete prováveis. Seja a regra de decisão seguite: se X 4 > 310 decido que estou em H 1 ; se X decido que esotu em H 0. a. Calcule a probabilidade de tomar uma decisão errada. b. Sabedo que tomou uma decisão errada, qual a probabilidade que a hipótese verdadeira fosse H 0? Sem fazer cálculos diga qual a probabilidade que a hipótese verdadeira fosse H 1. c. Supoha agora que em vez de =4 dispõe de =9 mas matém a mesma regra de decisão em 310. Verifique que a probabilidade de tomar uma decisão errada dimiui. d. Sabedo de ovo que tomou uma decisão errada, qual a probabilidade que a hipótese verdadeira fosse H 0? Sem fazer cálculos diga qual a probabilidade que a hipótese verdadeira fosse H 1. e. Porque razão as duas probabilidades em d) ão dimiuem também tal como acoteceu com a probabilidade de uma decisão errada, ou seja de a) para c)? f. Supodo que o esaio é H 0 : μ = 300 cotra H 0 : μ > 350, =4 e a regra de decisão sedo a mesma, calcule a potêcia do teste para μ = 290. O facto de este valor ser tão baixo preocupa-o? 3. Foi estimado o seguite modelo: ˆ b b x y 0 1 com = 51, ( xi x)( yi y) = 2000, SSE = 500, i 1 a. Determie o 2 R e iterprete o resultado. 2 s y = b. Demostre que R r. c. Calcule a variação estimada de y se aumetar x em uma uidade. 3. Exercícios Extra 1. Uma fábrica de memórias de computador detém uma máquia de impressão de circuitos itegrados. Quado a máquia foi comprada a proporção de circuitos impressos com defeito era apeas de p=1%. No etato, após um ao de operação, os resposáveis da fábrica estão preocupados com a possibilidade de, devido ao desgaste da máquia, o valor de p ser este mometo superior ao iicial. Deste modo, irão ser aalisados =100 circuitos para determiar a proporção destes com defeito.

3 3 a. Propoha um teste estatístico com um ível de sigificâcia de 1% para resolver este problema. Idique as hipóteses ula e alterativa, a estatística de teste e a região crítica. b. Supoha que dos 100 circuitos aalisados foram detectados apeas 2 circuitos defeituosos. Qual a coclusão do teste proposto? Quatos circuitos defeituosos deveria ecotrar os 100 aalisados para cocluir exactamete o oposto? c. Qual a probabilidade de ocorrer um erro do tipo II para o teste proposto a questão 1 se o valor de p for de 2%? 2. Supoha que o tempo em miutos que uma pizza leva a ser cozihada um foro de um restaurate segue uma distribuição ormal com média μ 1 e desvio-padrão σ 1 = 2. Para uma amostra aleatória de 16 pizzas obteve-se um tempo médio de cozedura de 15 miutos. a. Obteha um itervalo de cofiaça a 99% para μ 1. b. Supoha que a loja tem também outro foro a fucioar, mas com outra tecologia, em que o tempo de cozedura segue uma distribuição ormal com média μ 2 e desvio-padrão σ 2. Para uma amostra aleatória de 9 pizzas cozihadas este foro, o tempo médio obtido foi iferior em 3 miutos (ou seja 12 miutos). i. Supoha que os desvios-padrão dos dois foros são iguais, será que se pode afirmar que este foro é, em média, mais rápido? (Recorra a um teste de hipóteses com um ível de sigificâcia de 1%). ii. Se este foro for de facto 3 miutos mais rápido, qual a probabilidade do teste utilizado a alíea ii) dar uma resposta correcta? 3. Admita agora que se quer comparar a performace de dois jogadores de téis, o João e o José, jogado téis com outros jogadores, do seguite modo: fizeram-se duas amostras e a primeira de 100 jogos o José gahou 50 e a seguda amostra de outros 100 jogos o João gahou 60. a. Estabeleça um itervalo de cofiaça a 90% para a difereça das verdadeiras proporções de vitórias dos dois jogadores. Comete. b. Teste a um ível de sigificâcia de 5% se o João é melhor jogador que o José. Justifique. c. Que erro pode estar associado à decisão que tomou em b)? Determie o seu valor. Se ecessitar utilize o valor alterativo para p 1 p 2 = 0,2. 4. O director de produção de determiada empresa está empehado em reduzir a proporção de peças defeituosas resultates do actual processo produtivo. Para aalisar o problema recolher uma amostra de 80 peças e verificou que 10 eram defeituosas. Decidiu etão substituir algumas máquias após o que obteve uma ova amostra, agora de 150 peças, em que 12 apresetavam defeito. a. Costrua um itervalo de cofiaça a 90% para a verdadeira proporção de peças defeituosas ates da substituição das máquias. Iterprete o resultado.

4 4 b. Usado um ível de sigificâcia de 10%, teste se a qualidade do processo produtivo melhorou. Justifique a resposta. c. Que erro pode estar associado à decisão da alíea aterior? Determie o seu valor cosiderado, se ecessário, que a verdadeira proporção de peças defeituosas dimiuiu 2%. Iterprete o resultado e ilustre graficamete. 5. Cosidere uma população ormal com variâcia igual a 625 da qual se retirou uma amostra de 100 elemetos para, com um ível de sigificâcia de 5%, se realizar o seguite teste de hipóteses: H 0 : μ = 100 H 1 : μ < 100 a. Para que valores da média amostral ão rejeitamos a hipótese ula? b. Sabedo que a potêcia do esaio foi de 0,8 que valor foi cosiderado para a hipótese alterativa? c. Qual teria de ser a dimesão da amostra para que a hipótese ula fosse rejeitada quado a média amostral é meor que 98? 6. O laboratório de uma empresa farmacêutica pretede ivestigar o efeito de determiado tipo de medicameto. Para tal, realizou um teste a um grupo de 26 idivíduos, escolhidos aleatoriamete, sedo os resultados obtidos para o tempo de reacção ao medicameto os seguites: 26 i=1 26 i=1 x i = 81,9 2 x i x = 15 Admita que, para a população da qual o grupo de idivíduos foi extraído, o tempo de reacção tem uma distribuição ormal. a. Apresete uma estimativa potual para o tempo médio de reacção ao referido medicameto. b. Determie o itervalo de cofiaça a 95% para o tempo médio de reacção ao referido medicameto. c. O resposável pelo laboratório afirma que o tempo médio de reacção ao dito medicameto é superior ou igual a 3,5 segudos. i. Teste esta afirmação para um ível de sigificâcia de α = 5%. ii. Calcule o P-value do teste. iii. Qual a probabilidade de ocorrer um erro do tipo II, se o valor de tempo médio de reacção for de 3,0 segudos. d. Uma ova empresa farmacêutica sugere um medicameto alterativo e afirma que os resultados apresetados por este foram melhores, isto é, o tempo médio de reacção é meor. Os resultados obtidos usado o medicameto alterativo, para um grupo de 36 idivíduos foram: x = 2,85 segudos e S 2 = 0,58. Cocorda com a afirmação da ova empresa (use o ível de sigificâcia sugerido ateriormete e assuma igualdade de variâcias)?

5 5 7. Numa sodagem efectuada recetemete sobre audiêcias de televisão, foram etrevistados 200 telespectadores da região Norte e 250 telespectadores da região Sul. Dos 250 telespectadores da região Sul etrevistados, 75 respoderam que vêem o programa Small Sister do caal TVD (TV Depedete). De acordo com os resultados obtidos, foi também proposto o seguite itervalo de cofiaça para a percetagem de telespectadores da região Norte que vêem o referido programa: 0.343; a. Num artigo publicado a mesma semaa, a revista TVZ afirma que a percetagem de telespectadores da região Sul que vê o referido programa é superior a 25%. i. Teste esta afirmação para um ível de sigificâcia de 5%. ii. Que erro poderá estar associado à decisão tomada a alíea aterior? Determie a probabilidade de ocorrer esse erro. iii. Calcule a potêcia do teste, se a verdadeira percetagem de telespectadores da região Sul que vêem o programa for de 35%. 8. Face a uma alteração a regulametação sobre a emissão de ruídos, um fabricate de automóveis esta a estudar um ovo motor que poderá vir a ser utilizado o seu pricipal modelo de automóvel. Supoha que devido à variabilidade a produção, o ível de ruídos, com um destes ovos motores escolhido ao acaso, é uma variável aleatória X com distribuição ormal com média µ e desvio-padrão igual a 4. Pretedese que para este ovo motor o ível de ruídos seja em média igual a 20. Para verificar esta hipótese irá ser aalisado o resultado obtido com 16 destes ovos motores escolhidos ao acaso. O teste proposto é o seguite: 18 < X < 22 ão se rejeita H 0 : μ = 20. a. Determie o ível de sigificâcia do teste. b. Calcule a probabilidade de ão se rejeitar H 0 se o verdadeiro valor de µ for Uma máquia de esacar fariha está regulada para echer sacos com 20 kg. Para cotrolar o seu fucioameto escolheram-se, ao acaso, 15 sacos da produção de determiado período, tedo-se obtido um peso médio de 20,33 kg e um desviopadrão de 0,48 kg. Admitido que os pesos são ormalmete distribuídos: a. Verifique se, para um ível de sigificâcia de 5%, será correcto cocluir que a máquia está bem regulada. b. Calcule o P-value do teste efectuado a alíea aterior. 10. A PERFAL, empresa de produção de perfis de alumíio, sabe que o comprimeto de cada perfil é uma variável aleatória ormal com desvio padrão igual a 10 cm. O resposável da qualidade afirma que está a haver um desperdício de material, isto é, o comprimeto médio dos perfis produzidos é superior a 300 cm. Para avaliar esta hipótese foram medidos 9 perfis de alumíio, tedo-se obtido um comprimeto médio igual a 306 cm. a. Usado um ível de sigificâcia de 5%, teste a afirmação do resposável da qualidade. b. Calcule o P-value do teste efectuado a alíea aterior.

6 6 c. Supodo que o verdadeiro comprimeto médio dos perfis é 304, calcule a probabilidade de ocorrer um erro do tipo II. d. Posteriormete foi istalada uma ova liha de produção de perfis com um ovo sistema de corte, da qual foram recolhidos 10 perfis tedo-se obtido um comprimeto médio igual a 311 cm. Assumido que, o comprimeto dos perfis produzidos esta liha é uma variável aleatória ormal com desvio padrão 12 cm, teste a hipótese do comprimeto médio dos perfis produzidos a ova liha ser igual ao comprimeto médio dos perfis produzidos a liha atiga. 11. O Director da revista KARAS está iteressado em estudar o comportameto dos leitores da mesma. Para tal, decidiu observar o tempo de leitura (em miutos) de 16 leitores seleccioados aleatoriamete, dode resultou um tempo médio de leitura igual a 90 miutos. Admita que o tempo de leitura da revista KARAS é ormalmete distribuído com desvio padrão 15 miutos. a. Determie um itervalo de cofiaça para o tempo médio de leitura da revista KARAS com uma margem de erro (semi amplitude do itervalo de cofiaça) de 6, Qual a percetagem de itervalos de cofiaça que ão cotêm o verdadeiro valor do tempo médio? b. Teste, a um ível de sigificâcia de 5%, a hipótese de o tempo médio de leitura ser igual a 100 cotra a hipótese alterativa de ser iferior; calcule o P- value do teste. c. Supodo que o verdadeiro tempo médio de leitura é igual a 95 miutos, calcule a probabilidade de ão rejeitar a hipótese ula (defiida a alíea aterior). Que erro está associado a esta decisão? d. O Director da revista KARAS descofia que o tempo médio de leitura da revista VIP7 é superior ao da revista KARAS. Supoha que foram observados os tempos de leitura em 18 leitores da revista VIP7, seleccioados aleatoriamete, tedo-se obtido um tempo médio igual a 98,5 miutos. Admita que o tempo de leitura da ova revista ( VIP7 ) é ormalmete distribuído com desvio padrão 12 miutos. O que pode dizer acerca da descofiaça do Director da Revista KARAS? (Use um ível de sigificâcia de 5%). 12. A temperatura da água de um taque de crustáceos é uma variável aleatória com distribuição Normal. Testes de cotrolo da temperatura da água são feitos regularmete. Foi recolhida uma amostra aleatória com 15 observações da temperatura da água do taque e obteve-se uma média amostral 4 graus e um desviopadrão amostral igual a 1.10 graus. Posteriormete o taque foi substituído por um ovo. A temperatura da água este ovo taque é também uma variável com distribuição Normal, com variâcia igual à do taque atigo. Os resposáveis pela mauteção do taque começaram a descofiar de que este ovo taque leva a uma temperatura média da água mais alta. Foi recolhida uma amostra da temperatura da água o ovo taque com 17 observações, tedo-se obtido uma média amostral de 4.8 graus e um desvio-padrão amostral de 1.05 graus. Teste se a temperatura média

7 7 da água aumetou com a itrodução do ovo taque, com base as duas amostras recolhidas ( =5%). 13. Numa reuião do coselho de admiistração da empresa, o resposável pela mauteção do taque disse que para cotrolar a temperatura será recolhida uma amostra aleatória de dimesão 30 e que será testada a hipótese ula de a variâcia da temperatura da água ser igual a 1 cotra a alterativa de ser iferior a 1. Sedo a temperatura da água uma variável aleatória com distribuição Normal, a hipótese ula será rejeitada quado a variâcia amostral (S 2 ) for iferior a Qual o ível de sigificâcia do teste referido? 14. Cosidere o seguite output de uma aálise de regressão que estima o efeito de se ser mulher a dimesão das propriedades rurais o Malawi. A variável mulher é igual a 1 se a pessoa iquirida for mulher e igual a 0 em caso cotrário. Regressio Statistics R Square Observatios 3,167 Lower Upper Coefficiets St. Error t Stat P-value 95% 95% Wome Itercept a. Qual a dimesão prevista para uma propriedade detida por um homem? E detida por uma mulher? b. Ecotre um itervalo de cofiaça a 95% para o efeito de se ser mulher a dimesão das propriedades rurais o Malawi. c. Será o efeito ecotrado a alíea aterior sigificativamete diferete de zero, para =5%? 15. Foi estimado o seguite modelo ˆ b b x e obteve-se o itervalo de previsão para y 0 1 uma observação de y: 14.8; 20.8 para x = 29. Sabe-se aida que x = 25,5 e y = 16. a. Calcule o b 0 e b 1 e iterprete os resultados. b. Sabedo que s xy = 2880 e s y 2 = 4000, calcule o coeficiete de correlação etre x e y. c. Diga, explicitado todos os passos, como obteria os estimadores dos míimos quadrados, isto é, b 0 e b 1. (Não é ecessário efectuar cálculos) d. Mostre que i=1 x i x Y i Y x i x 2 i=1 = i=1 x i x Y i x i x 2 i=1 16. Foi estimada a seguite regressão com base em 22 observações: b b w. c 0 1 em que c represeta as despesas em cosumo e w é o salário. Sabe-se que R , SST = , s Sabe-se também que o itervalo de previsão para c quado w = w 31 é dado por [44.391;51.309]. a. Iterprete o coeficiete de determiação.

8 8 b. Calcule o coeficiete de correlação amostral etre c e w. b c. Calcule 0 e b 1. d. Calcule um itervalo de cofiaça a 95 por ceto para 1, isto é, o verdadeiro valor do coeficiete associado a w. 22 e. Sabedo que w , qual o ível de cofiaça implícito o itervalo i 1 de previsão dado o euciado? i 17. Cosidere-se uma amostra de 25 aluos da FEUNL. Cada aluo foi iquirido acerca da sua satisfação da qualidade das aulas (x) de 1 a 10. Adicioalmete, recolheu-se iformação relativa ao úmero de aulas que cada um desses aluos faltou o semestre passado (y). Foi estimado o seguite modelo: yö x com x = 6, 25 2 ( xi x) = 130, SSE = i 1 a. Iterprete o coeficiete associado à variável x (satisfação relativa à qualidade das aulas). b. Teste a hipótese ula de que a satisfação relativa à qualidade ão tem efeito liear sobre o absetismo cotra a alterativa de ter um impacto egativo com um ível de sigificâcia de 5%. c. Um determiado aluo tem um ível de satisfação relativa à qualidade das aulas igual a 4. Determie um itervalo a 90% para o úmero de aulas que este aluo estará ausete um semestre. 18. Uma istituição iteracioal publicou um estudo sobre a esperaça média de vida um grupo heterogéeo de países. Para tal, recolheu uma amostra de 40 países e estimou a seguite regressão y i 69,98 0,00022x 1i 0,11654x 2i ode y i é a esperaça media de vida (em aos), x 1i represeta o PIB per capita (em dólares) e x 2i o úmero de médicos por mil habitates. Sabe-se aida que s e =3,5, s b1 =0, e que o coeficiete de determiação é 0,61. a. Iterprete o sial do coeficiete associado ao PIB per capita (x 1i ). b. Supoha dois países com o mesmo PIB per capital. Qual será a difereça estimada a esperaça media de vida quado o país A tem mais 2 médicos por mil habitates do que o país B? Foram forecidos aida os seguites resultados: ANOVA df SS MS F Regressio A 710, , C Residual 37 B 12, Total , i i c. Complete a tabela calculado A,B e C. O que pode cocluir quato à sigificâcia global do modelo?

9 9 d. Explique detalhadamete como procederia se quisesse avaliar o impacto de ser mulher versus de ser homem a esperaça média de vida. e. Comete a veracidade da seguite afirmação: O coeficiete de determiação pode ser meor do que o coeficiete de determiação ajustado. 19. Com base uma amostra de 100 famílias seleccioadas aleatoriamete em todo o país foram recolhidas várias iformações tedo em vista o estudo das despesas em saúde das famílias portuguesas. Assim, para cada família, obtiveram-se dados para as seguites variáveis: Y Despesas mesais em saúde (em euros), X1 Redimeto aual (em ceteas de euros), X2 Número de filhos, X3 Igual a 1 se a família vive um cetro urbao, e igual a 0 se ão. Utilizado estes dados estimou-se a seguite regressão Y t = β 0 + β 1 x 1t + β 2 x 2t + β 3 x 3t + ε t tedo sido obtidos os seguites resultados: SUMMARY OUTPUT Regressio Statistics Multiple R 0,41242 R Square 0,17009 Adjusted R Square 0, Stadard Error 10,67597 Observatios 100 ANOVA df SS MS F Sigificace F Regressio , ,5039 6, , Residual ,73 113,9763 Total ,24 Coefficiets Stadard Error t Stat P-value Itercept 97, , , E-44 X1 0, , , , X2 39, , , , X3 4, , , , A um ível de sigificâcia de 5% as seguites variáveis explicativas são sigificativas: a) Apeas X1, b) X1 e X2, c) Apeas X3, d) X1, X2 e X3.

10 10 2. O itervalo de cofiaça a 95% (com os valores arredodados às uidades) para o coeficiete da variável X3 é dado por: a) [0, 9] b) [1, 8] c) [2, 7] d) [3, 6] 3. Assumido tudo o resto costate, quato se estima que em média variem as despesas em saúde em cosequêcia de um aumeto de 100 euros o redimeto aual? a) 4,8717 euros por mês. b) 4,8717%. c) 0, euros por mês. d) 0, %. 4. Qual das seguites coclusões sobre as despesas em saúde dos agregados familiares a população portuguesa é a mais apropriada em termos estatísticos assumido um ível de sigificâcia de 5%? a) As despesas em saúde são, em média, superiores para famílias urbaas ; b) Tudo o resto costate, as despesas em saúde são, em média, superiores para famílias urbaas ; c) As despesas em saúde são em média idêticas para famílias urbaas e ãourbaas ; d) Tudo o resto costate, as despesas em saúde são em média idêticas para famílias urbaas e ão-urbaas ; 5. A regressão acima apresetada irá ser re-estimada mas excluido a variável X3. Qual das seguites afirmações está correcta? a) O valor de R 2 da ova regressão poderá vir iferior, igual ou superior a 0,17009; b) O valor de R 2 da ova regressão ão poderá ser superior a 0,17009; c) O valor de R 2 da ova regressão ão poderá ser iferior a 0,17009; d) O valor de R 2 da ova regressão virá igual ao valor de R 2 ajustado. 6. De acordo com os resultados da regressão espera-se que as famílias urbaas sem filhos e um redimeto aual de dez mil euros teham uma despesa mesal em saúde (com o valor arredodado às uidades) igual a: a) 40 euros; b) 107 euros; c) 147 euros; d) 590 euros. 20. Cosidere o modelo Y i = α + ε i com i = 1,2,, em que a variável aleatória ε i satisfaz as seguites hipóteses E ε i = 0, Var ε i = σ 2, para todo o i, e E ε i ε j = 0, para todo i j. a. Deduza o estimador dos míimos quadrados para o parâmetro α. b. Verifique que o estimador obtido em a) é ão eviesado e determie a sua variâcia

11 11 c. Supoha que se sabe também que ε i ~N 0, σ 2. Determie o estimador de máxima verosimilhaça para σ 2 e verifique se é ão eviesado. 21. Cosidere o modelo Y i = βx i + ε i com i = 1,2,, em que a variável aleatória ε i satisfaz as seguites hipóteses E ε i = 0, Var ε i = σ 2, para todo o i, e E ε i ε j = 0, para todo i j. a. Deduza o estimador dos míimos quadrados para o parâmetro β b. Verifique que o estimador obtido em a) é ão eviesado e determie a sua variâcia. c. Neste modelo a soma dos resíduos é zero. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique. 4. Soluções Exercícios Extra 1. a. H 0 : p 0,01 H 1 : p > 0,01. Estatística-teste: Regra de decisão: Rejeitar H 0 quado z 0 >2,33 p p 0 p 0 1 p 0 ~ N 0,1 b. z 0 = 1,005, logo ão rejeitamos H 0. Para se rejeitar p > 0,033. c. 0, a. IC 99% μ = 13,715; 16,285 b. z 0 = 3,6 < 2,33. Logo, rejeitamos H 0, pelo que o foro 2 é mais rápido. c. 0, a. IC 90% p 1 p 2 = 0,21515; 0, Não rejeitamos a hipótese de os dois jogadores serem igualmete bos. b. z 0 = 1,421 > 1,645. Logo, ão rejeitamos a hipótese de o José ão ser melhor que o João. c. 0, a. IC 90% p 1 = 0,064; 0,185 b. z 0 = 1,103 < 2,33, logo ão rejeitamos a H 0, pelo que se cocluiu que ão melhorou. c. 0, a. 95,8875 b. 93,7875 c. 422,8 6. a. 3,15 b. IC 95% μ = 2,85; 3,45 c. i) t 0 = 2,3 < 1,708, logo rejeitamos H 0. ii) Etre 0,01 e 0,025. iii)etre 0,05 e 0,1 d. z 0 = 1,52 < 1,645, logo ão rejeitamos H 0, pelo que ão devemos cocordar com a empresa. 7. a. i) z 0 = 1,83 > 1,645, logo rejeitamos H 0, pelo que é verdade. ii) 0,05 iii) 0, a. 0,0456 b. 0, a. z 0 = 2,66 > 2,145, logo rejeitamos H 0, pelo que ão está bem regulada. b. 0, a. z 0 = 1,8 > 1,645, logo rejeitamos a hipótese de ão haver desperdício. b. 0,0359 c. 0,444 d. z 0 = 0,989 > 1,96e < 1,96, logo ão rejeitamos H 0, ou seja, ão rejeitamos a igualdade das médias. 11. a. α = 10% b. Rejeitar a H 0. P-value = 0,0039. c. β = 0,6255 d.. z 0 = 1,809 > 2,145, rejeitamos H 0, pelo que o tempo médio de leitura da VIP é maior. 12. t 0 = 2,097, pelo que rejeitamos H 0.

12 Nível de sigificâcia: 10% 14. a. 8,378 b. 8,164; 0,440 c. Sim, pois o zero ão está cotido o itervalo costruído a 95% de cofiaça. 15. a. b 0 = 0,514 b 1 = 2,89 b. ρ = 0, b. r = 0,966 c. b 0 = 82,57 b 1 = 1,12 d. 0,538; 1,701 e. α = 8,36% 17. b. t 0 = 7,3, pelo que rejeitamos H 0. c. 4,61; 10, b. 0,23308 c. A=2 B=453,4756 C=28,987 Dado que F=28,987 rejeitamos a hipótese ula de ão sigificâcia global do modelo para os íveis de sigificâcia habituais. d. Itrodução de uma dummy e. Falso 19. 1) B 2)A 3)C 4)B 5)B 6)B 20. a. a = Y b. E a = a Var a = σ 2 c. σ 2 = 1 2 ε i E σ 2 = σ 2, pelo que é cetrado. 21. a. b = x iy i x i 2 b. E b = b Var b = σ 2 c. Falso