U.C Investigação Operacional. 9 de Junho de INSTRUÇÕES

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1 Miistério da Ciêcia, Tecologia e Esio uperior U.C. 276 Ivestigação Operacioal 9 de Juho de 2 -- ITRUÇÕE O estudate deverá respoder à prova a folha de poto e preecher o cabeçalho e todos os espaços reservados à sua idetificação, com letra legível. empre que ão utilize o euciado da prova para resposta, poderá ficar a posse do mesmo. Verifique o mometo da etrega das folhas de poto se todas as págias estão rubricadas pelo vigilate. Caso ecessite de mais do que uma folha de poto, deverá umerá-las o cato superior direito. Em hipótese alguma serão aceites folhas de poto dobradas ou daificadas. Exclui-se, para efeitos de classificação, toda e qualquer resposta apresetada em folhas de rascuho. Os telemóveis deverão ser desligados durate toda a prova e os objectos pessoais deixados em local próprio da sala de exame. A prova é costituída por 2 págias icluido formulário e tabelas e termia com a palavra FIM. O exame cotém 5 grupos de questões. Verifique o seu exemplar e, caso ecotre alguma aomalia, dirija-se ao professor vigilate os primeiros 5 miutos da mesma, pois qualquer reclamação sobre defeitos de formatação e/ou de impressão que dificultem a leitura ão será aceite depois deste período. É permitida a utilização de máquia de calcular. Em aexo são forecidas tabelas da distribuição ormal padrão e t de tudet. Duração: 2 horas 3 miutos de tolerâcia

2 . Resposta: ½ págia Uma empresa agrícola dispõe de 4 terreos, T, T2, T3 e T4 com características do solo idêticos. As áreas cultiváveis em cada terreo e a dispoibilidade de água são cohecidas e estão idicadas a tabela seguite: Terreo Área cultivável m² Água dispoível m³ As culturas possíveis de realizar são de 3 tipos: C, C2 e C3 exigido estas, diferetes quatidades de água e tedo associados diferetes lucros esperados. Cada tipo de cultura tem limites relativamete à área máxima a cultivar coforme idicado a tabela: Cultura Área max.m² Cosumo água m² Lucro / m² C C2 6 6 C C A empresa pretede aida que a percetagem de área cultivada em cada terreo seja igual. retede-se determiar o plao óptimo de produção. a.5 Idique o objectivo do problema. b.5 Que decisões podem ser tomadas? Defia rigorosamete as variáveis. c. Quais os codicioalismos existetes? Escreva as restrições do problema. d. Apresete a formulação completa do problema em rogramação Liear. 2. Resposta: 2 ½ págia Cosidere o seguite problema de rogramação Liear: max F 4X3Y s. a. 3X 4Y 2 7X 4Y 4 X,Y a. Resolva-o graficamete. 2

3 b.5 Trasforme as restrições em igualdades através da itrodução de variáveis de folga. c.5 Escreva o problema a forma stadard d.5 ara resolver o problema pelo Algoritmo do implex, precisa de itroduzir alguma variável artificial? Justifique e em caso afirmativo proceda à sua itrodução. e.5 Resolva o problema pelo Algoritmo do implex. 3. Resposta: págia Um determiado parque de diversões possui uma sala com uma úica bilheteira ode são vedidos bilhetes por um úico fucioário. ode cosiderar-se que as chegadas de visitates costituem um processo de oisso, com uma taxa média de 4 chegadas por hora, e estima-se que a duração de cada atedimeto se possa cosiderar expoecialmete distribuído, com valor médio igual a miuto. a. Determie a probabilidade de estar exactamete visitate a bilheteira. b. Determie o comprimeto médio da fila de espera e o tempo médio de espera a fila por visitate. c. Idique a probabilidade de que um visitate esteja mais do 2 miutos a bilheteira. d. Determie a probabilidade de que um cliete esteja mais do que miuto À espera para começar a ser atedido. 4. Resposta: 2 págias Cosidere um empreedimeto caraterizado pelas atividades, precedêcias e durações idicadas o seguite quadro: Duração dias Actividades recedêcias σ A B - 5 C - D A 5 E A,B,G 2 F C 4 G C 7 3

4 a. Trace a rede que represeta o empreedimeto. b. Determie a duração total média empreedimeto. c. Determie o camiho crítico médio C.C.M. do empreedimeto. d Recorra à Técica ERT e calcule: d..5 A probabilidade da duração do empreedimeto ser iferior a 3 dias. d.2.5 A probabilidade da duração total do empreedimeto exceder 36 dias. 5. Resposta: págia Cosidere o seguite jogo aleatório: Em cada jogada, duas rodas giratórias costituídas por várias cores são postas a girar pelo custo de 4 u.m.. O jogo termia quado as cores saídas as duas rodas forem iguais, recebedo o jogador um prémio de acordo com o idicado a tabela seguite: Cor Braca Azul Vermelho rémio u.m As cores distribuem-se as duas rodas das seguites maeiras: Roda : 5 partes bracas, 25 partes azuis, partes verdes e partes vermelhas. Roda 2: 25 partes bracas, 5 partes azuis, 5 partes vermelhas e 5 partes pretas. Admita que à ivocação da rotia RADOM é afectado um A Uif [,] à variável U a. Elabore uma rotia que proceda à geração da cor saída a Roda 2, uma jogada. b.5 Elabore uma rotia que proceda à geração de uma jogada. c.5 Elabore um modelo simplificado de simulação que permita estudar a distribuição do gaho associado a este jogo. 4

5 Formulário de Filas de Espera istema M/M/, opulação Fila máxima rocesso de chegadas oissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa taxa de atedimeto de clietes por uidade de tempo pelo úico servidor. Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de ocupação / < Taxa de desocupação W q L L q / L L q 2 2 W W q / W L / W q L q / W q > k k W > t e t e t / W para t W q > t e t e t / W para t 5

6 6 istema M/M/, opulação Fila máxima rocesso de chegadas oissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores.,,..., Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de ocupação / < Taxa de desocupação L L q / L q 2 W W q / L / W q L q /,,..., W > t e e t t para t W q > t t e para t W q

7 7 istema M/M//, opulação Fila máxima úmero máximo de clietes o sistema rocesso de chegadas oissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas o sistema será depedete do estado do sistema isto é, do úmero de clietes o sistema:,,..., Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa taxa de atedimeto de clietes por uidade de tempo pelo úico servidor. Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de pressão / Taxa de ocupação / Taxa de desocupação / W q L 2 L q L / W W q / W L / W q L q / Wq > 2 /

8 8 istema M/M//, opulação Fila máxima º máximo de clietes o sistema º de servidores rocesso de chegadas oissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas de clietes o sistema será depedete do estado do sistema isto é, do úmero de clietes o sistema:,,..., Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores.,2,..., Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de pressão / Taxa de ocupação / Taxa de desocupação /,...,,..., W q L q 2 [ ] W q L q / W W q / L W L q /

9 9 istema M/M//, opulação Fila máxima º máximo de clietes o sistema º de servidores rocesso de chegadas oissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas de clietes o sistema será depedete do estado do sistema isto é, do úmero de clietes o sistema:,,..., L Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores.,2,..., Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de ocupação / Taxa de desocupação / Caso particular : taxa de desocupação,...,,..., Caso particular : >,..., W q - cotiua -

10 - cotiuação - L q Caso particular : L q W q L q / W W q / L W L q /

11 Distribuição ormal adrão DZ-z<Z<z ΦZZ<z Z Φ-Z ΦZ DZ Z Φ-Z ΦZ DZ Z Φ-Z ΦZ DZ Z Φ-Z ΦZ DZ,,496,54,8,76,2236,7764,5527,5,655,9345,869 2,26,9,988,9762,2,492,58,6,77,226,7794,5587,52,643,9357,875 2,27,6,9884,9768,3,488,52,239,78,277,7823,5646,53,63,937,874 2,28,3,9887,9774,4,484,56,39,79,248,7852,575,54,68,9382,8764 2,29,,989,978,5,48,599,399,8,29,788,5763,55,66,9394,8789 2,3,7,9893,9786,6,476,5239,478,8,29,79,582,56,594,946,882 2,3,4,9896,979,7,472,5279,558,82,26,7939,5878,57,582,948,8836 2,32,2,9898,9797,8,468,539,638,83,233,7967,5935,58,57,9429,8859 2,33,99,99,982,9,464,5359,77,84,25,7995,599,59,559,944,8882 2,34,96,994,987,,462,5398,797,85,977,823,647,6,548,9452,894 2,35,94,996,982,,4562,5438,876,86,949,85,62,6,537,9463,8926 2,36,9,999,987,2,4522,5478,955,87,922,878,657,62,526,9474,8948 2,37,89,99,9822,3,4483,557,34,88,894,86,62,63,56,9484,8969 2,38,87,993,9827,4,4443,5557,3,89,867,833,6265,64,55,9495,899 2,39,84,996,9832,5,444,5596,92,9,84,859,639,65,495,955,9 2,4,82,998,9836,6,4364,5636,27,9,84,886,6372,66,485,955,93 2,4,8,992,984,7,4325,5675,35,92,788,822,6424,67,475,9525,95 2,42,78,9922,9845,8,4286,574,428,93,762,8238,6476,68,465,9535,97 2,43,75,9925,9849,9,4247,5753,57,94,736,8264,6528,69,455,9545,99 2,44,73,9927,9853,2,427,5793,585,95,7,8289,6579,7,466,9554,99 2,45,7,9929,9857,2,468,5832,663,96,685,835,6629,7,436,9564,927 2,46,69,993,986,22,429,587,74,97,66,834,668,72,427,9573,946 2,47,68,9932,3865,23,49,59,89,98,635,8365,6729,73,48,9582,964 2,48,66,9934,3869,24,452,5948,897,99,6,8389,6778,74,49,959,98 2,49,64,9936,9872,25,43,5987,974,587,843,6827,75,4,9599,999 2,5,62,9938,9876,26,3974,626,25,,562,8438,6875,76,392,968,926 2,5,6,994,9879,27,3936,664,228,2,539,846,6923,77,384,966,9233 2,52,59,994,9883,28,3897,63,225,3,55,8485,697,78,375,9625,9249 2,53,57,9943,9886,29,3859,64,2282,4,492,858,77,79,367,9633,9265 2,54,55,9945,9889,3,382,679,2358,5,469,853,763,8,359,964,928 2,55,54,9946,9892,3,3783,627,2434,6,446,8554,79,8,35,9649,9297 2,56,52,9948,9895,32,3745,6255,25,7,423,8577,754,82,344,9656,932 2,57,5,9949,9898,33,377,6293,2586,8,4,8599,799,83,336,9664,9328 2,58,49,995,99,34,3669,633,266,9,379,862,7243,84,329,967,9342 2,59,48,9952,994,35,3632,6368,2737,,357,8643,7287,85,322,9678,9357 2,6,47,9953,997,36,3594,646,282,,335,8665,733,86,34,9686,937 2,6,45,9955,999,37,3557,6443,2886,2,34,8686,7373,87,37,9693,9385 2,62,44,9956,992,38,352,648,296,3,292,877,745,88,3,9699,9399 2,63,43,9957,995,39,3483,657,335,4,27,8729,7457,89,294,976,942 2,64,4,9959,997,4,3446,6554,38,5,25,8749,7499,9,287,973,9426 2,65,4,996,992,4,349,659,382,6,23,877,754,9,28,979,9439 2,66,39,996,9922,42,3372,6628,3255,7,2,879,758,92,274,9726,945 2,67,38,9962,9924,43,3336,664,3328,8,9,88,762,93,268,9732,9464 2,68,37,9963,9926,44,33,67,34,9,7,883,766,94,262,9738,9476 2,69,36,9964,9929,45,3264,6736,3473,2,5,8849,7699,95,256,9744,9488 2,7,35,9965,993,46,3228,6772,3545,2,3,8869,7737,96,25,975,95 2,7,34,9966,9933,47,392,688,366,22,2,8888,7775,97,244,9756,952 2,72,33,9967,9935,48,356,6844,3688,23,93,897,783,98,239,976,9523 2,73,32,9968,9937,49,32,6879,3759,24,75,8925,785,99,233,9767,9534 2,74,3,9969,9939,5,385,695,3829,25,56,8944,7887 2,228,9772,9545 2,75,3,997,994,5,35,695,3899,26,38,8962,7923 2,,222,9778,9556 2,76,29,997,9942,52,35,6985,3969,27,2,898,7959 2,2,27,9783,9566 2,77,28,9972,9944,53,298,79,439,28,3,8997,7995 2,3,22,9788,9576 2,78,27,9973,9946,54,2946,754,48,29,985,95,829 2,4,27,9793,9586 2,79,26,9974,9947,55,292,788,477,3,968,932,864 2,5,22,9798,9596 2,8,26,9974,9949,56,2877,723,4245,3,95,949,898 2,6,97,983,966 2,8,25,9975,995,57,2843,757,433,32,934,966,832 2,7,92,988,965 2,82,24,9976,9952,58,28,79,438,33,98,982,865 2,8,88,982,9625 2,83,23,9977,9953,59,2776,7224,448,34,9,999,898 2,9,83,987,9634 2,84,23,9977,9955,6,2743,7257,455,35,885,95,823 2,,79,982,9643 2,85,22,9978,9956,6,279,729,458,36,869,93,8262 2,,74,9826,965 2,86,2,9979,9958,62,2676,7324,4647,37,853,947,8293 2,2,7,983,966 2,87,2,9979,9959,63,2643,7357,473,38,8938,962,8324 2,3,66,9834,9668 2,88,2,998,996,64,26,7389,4778,39,823,977,8355 2,4,62,9838,9676 2,89,9,998,996,65,2578,7422,4843,4,88,992,8385 2,5,58,9842,9684 2,9,9,998,9963,66,2546,7454,497,4,793,927,845 2,6,54,9846,9692 2,9,8,9982,9964,67,254,7486,497,42,778,9222,8444 2,7,5,985,97 2,92,8,9982,9965,68,2483,757,535,43,764,9236,8473 2,8,46,9854,977 2,93,7,9983,9966,69,245,7549,598,44,749,925,85 2,9,43,9857,975 2,94,6,9984,9967,7,242,758,56,45,735,9265,8529 2,2,39,986,9722 2,95,6,9984,9968,7,2389,76,5223,46,72,9279,8557 2,2,36,9864,9729 2,96,5,9985,9969,72,2358,7642,5285,47,78,9292,8584 2,22,32,9868,9736 2,97,5,9985,997,73,2327,7673,5346,48,694,936,86 2,23,29,987,9743 2,98,4,9986,997,74,2296,774,547,49,68,939,8638 2,24,25,9875,9749 2,99,4,9986,9972,75,2266,7734,5487,5,668,9332,8664 2,25,22,9878,9756 3,3,9987,9973

12 Tabela Distribuição t de tudet g.l.,75,9,95,975,99,995 g.l.,75,9,95,975,99,995, 3,777 6,338 2,762 3,825 63, ,6797,2998,6779 2,7 2,483 2,6846 2,865,8856 2,92 4,327 6,9646 9, ,6796,2994,6772 2,6 2,466 2,6822 3,7649,6377 2,3534 3,824 4,547 5,849 49,6795,299,6766 2,96 2,449 2,68 4,747,5332 2,38 2,7764 3,7469 4,64 5,6794,2987,6759 2,86 2,433 2,6778 5,7267,4759 2,5 2,576 3,3649 4,32 5,6793,2984,6753 2,76 2,47 2,6757 6,776,4398,9432 2,4469 3,427 3,774 52,6792,298,6747 2,66 2,42 2,6737 7,7,449,8946 2,3646 2,998 3, ,679,2977,674 2,57 2,3988 2,678 8,764,3968,8595 2,36 2,8965 3, ,679,2974,6736 2,49 2,3974 2,67 9,727,383,833 2,2622 2,824 3, ,679,297,673 2,4 2,396 2,6682,6998,3722,825 2,228 2,7638 3,693 56,6789,2969,6725 2,32 2,3948 2,6665,6974,3634,7959 2,2 2,78 3,58 57,6788,2966,672 2,25 2,3936 2,6649 2,6955,3562,7823 2,788 2,68 3,545 58,6787,2963,676 2,7 2,3924 2,6633 3,6938,352,779 2,64 2,653 3,23 59,6787,296,67 2, 2,392 2,668 4,6924,345,763 2,448 2,6245 2,9768 6,6786,2958,676 2,3 2,39 2,663 5,692,346,753 2,34 2,625 2,9467 6,6785,2956,672,9996 2,389 2,6589 6,69,3368,7459 2,99 2,5835 2,928 62,6785,2954,6698,999 2,388 2,6575 7,6892,3334,7396 2,98 2,5669 2, ,6784,295,6694,9983 2,387 2,656 8,6884,334,734 2,9 2,5524 2, ,6783,2949,669,9977 2,386 2,6549 9,6876,3277,729 2,93 2,5395 2,869 65,6783,2947,6686,997 2,385 2,6536 2,687,3253,7247 2,86 2,528 2, ,6782,2945,6683,9966 2,3842 2,6524 2,6864,3232,727 2,796 2,576 2,834 67,6782,2943,6679,996 2,3833 2,652 22,6858,322,77 2,739 2,583 2,888 68,678,294,6676,9955 2,3824 2,65 23,6853,395,739 2,687 2,4999 2,873 69,678,2939,6672,9949 2,386 2,649 24,6848,378,79 2,639 2,4922 2,7969 7,678,2938,6669,9944 2,388 2, ,6844,363,78 2,595 2,485 2,7874 7,678,2936,6666,9939 2,38 2, ,684,35,756 2,555 2,4786 2, ,6779,2934,6663,9935 2,3793 2, ,6837,337,733 2,58 2,4727 2,777 73,6779,2933,666,993 2,3785 2, ,6834,325,7 2,484 2,467 2, ,6778,293,6657,9925 2,3778 2, ,683,34,699 2,452 2,462 2, ,6778,2929,6654,992 2,377 2,643 3,6828,34,6973 2,423 2,4573 2,75 76,6777,2928,6652,997 2,3764 2,642 3,6825,395,6955 2,395 2,4528 2,744 77,6777,2926,6649,993 2,3758 2,642 32,6822,386,6939 2,369 2,4487 2, ,6776,2925,6646,998 2,375 2,643 33,682,377,6924 2,345 2,4448 2, ,6776,2924,6644,995 2,3745 2, ,688,37,699 2,322 2,44 2,7284 8,6776,2922,6669,99 2,3739 2, ,686,362,6896 2,3 2,4377 2,7238 8,6775,292,6639,9897 2,3733 2, ,684,355,6883 2,28 2,4345 2,795 82,6775,292,6636,9893 2,3727 2,637 37,682,349,687 2,262 2,434 2,754 83,6775,298,6634,989 2,372 2, ,68,342,686 2,244 2,4286 2,76 84,6774,297,6632,9886 2,376 2, ,688,336,6849 2,227 2,4258 2,779 85,6774,296,663,9883 2,37 2,6349 4,687,33,6839 2,2 2,4233 2,745 86,6774,295,6628,9879 2,375 2,6342 4,685,325,6829 2,95 2,428 2,72 87,6773,294,6626,9876 2,37 2, ,684,32,682 2,8 2,485 2,698 88,6773,292,6624,9873 2,3695 2, ,682,36,68 2,67 2,463 2,695 89,6773,29,6622,987 2,369 2, ,68,3,682 2,54 2,44 2,6923 9,6772,29,662,9867 2,3685 2,636 FIM 2