Curso:... Prova de Computação Numérica (21021) Data: 2 de Fevereiro de Classificação: ( )... Prof. que classificou a prova:...

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1 Miistério da Ciêcia, Tecoogia e Esio Superior Curso:... Prova de Computação Numérica (101) Data: de Fevereiro de 010 Nome:... Nº de Estudate:... B. I. º... Turma:... Assiatura do Vigiate:... RESERVADO PARA A Uiversidade Aberta Cassificação: ( )... Prof. que cassificou a prova:... Para a resoução do teste, eia as seguites iformações e istruções, ates de respoder - Leia estas istruções a totaidade ates de iiciar a resoução do teste. - O euciado do teste icide sobre os cap. 1 a do ivro recomedado e sobre a iguagem de programação octave, tem 10 págias e termia com a paavra FIM. - O úico eemeto de cosuta permitido é o formuário que se ecotra aexo a este euciado. - Para a execução do exame É INDISPENSÁVEL a utiização de cacuadora. - O cabeçaho deve ser preechido de modo egíve ates do iício da resoução. - As respostas devem ser escritas uicamete com caeta azu ou preta. - O teste é costituído por 5 grupos. A cotação tota do teste é de 0 vaores. - Nas respostas, teha a preocupação de utiizar uma etra egíve por outra pessoa. - As suas respostas devem ser caras, idicado todos os passos e cácuos itermédios ecessários à compreesão da resoução de cada questão. À simpes idicação do resutado é atribuída a cotação zero. - Utiize apeas o espaço dispoibiizado para as respostas. Se ecessário utiize fohas de rascuho para cácuos/gráficos/passos auxiiares e só depois trascreva a resposta adequada para o exame. - O ão cumprimeto das istruções impica a auação das respectivas questões. - O tempo de reaização do teste é de 10 miutos, mais 30 miutos de toerâcia. 1

2 I [.5 vaores] Cosidere x = e a aproximação x = [1.5] Determie imites superiores ε LS, rls respectivamete para os erros absouto ε ε LS e reativo r rls. Os imites devem ser os meores possíveis para a precisão dada para x e x. 1.. [0.75] Baseado o erro absouto determiado a aíea aterior, determie quatos agarismos sigificativos tem a aproximação dada. Justifique [0.5] Obteha um ovo vaor aproximado, por arredodameto (simétrico) da seguda casa decima.

3 II [.5 vaores] Cosidere a seguite equação, x ( x ) e 8 = 0.1. [0.5] Mostre que a equação dada tem uma úica raiz o itervao [, 3]... [1.5] Obteha uma aproximação do vaor dessa raiz apicado três iterações do método de Newto, a partir do vaor iicia x 3. Costrua uma tabea ode costem os vaores ecessários de 0 = k, xk, f ( xk ), f '( xk ), para k=0,1,,3..3. [0.5] Determie uma estimativa do erro para a aproximação da raiz determiada a aíea aterior. 3

4 III [ vaores] Cosidere a matriz A e o vector b: = A, = 0 3 b 3.1. [] Determie a factorização LU de A.

5 3.. [] Resova o sistema iear Ax = b, com x = [ x 1, x, x 3 ] T, utiizado a factorização ecotrada a aíea 1. 5

6 IV [3 vaores] Cosidere a seguite tabea de vaores correspodete à fução f ( x) = xe x x f(x) [.5] Obteha o poiómio iterpoador de f(x) os três potos tabeados, através da fórmua de Lagrage... [0.5] Obteha o vaor iterpoado para x =0.7 e cacue o erro reativo expresso em percetagem. 6

7 V [8 vaores] 5.1. [1] Cosidere os vectores v1=[0 ], v=[6 8] e v3=[3 ]. Apresete o comado Octave que utiizado estes vectores, obteha por cocateação a matriz A. 6 A = [] Cosidere as fuções f(x)=cos(x) e g(x)=x. Apresete um pequeo programa em Octave que crie um gráfico cojuto das fuções f() e g() para x de - a com itervaos de uma décima e com as seguites características: - f() a traço cotíuo de cor azu, com egeda; - g() a traço cotíuo de cor verde, com egeda; - com greha; - o poto (1,cos(1)) deve ser assiaado com um marcador tipo cruz, de cor vermeha; - o eixo das abcissas deve ter a etiqueta x ; - o eixo das ordeadas deve ter a etiqueta f(x), g(x). 7

8 5.3. [5] Escreva a fução em Octave fuctio [x,y]=eq_ewto(x0,) % % Metodo de Newto (Equacoes ao ieares) % x0: estimativa iicia para a raiz % : umero de iteracoes a efectuar % x: vector com a evoucao da estimativa da raiz % y: vector com a evoucao do vaor da fucao % Nota: x,y devem ter dimesao +1 que impemete o método de Newto particuarizado para a resoução da equação do grupo II. 8

9 (Espaço de resposta) 9

10 FORMULÁRIO Iterpoação Poiomia Fórmua Iterpoadora de Lagrage p ( x ) = ( x ) = i i= 0 j= 0, j i f ( x ) ( x) i x x j xi x j i Fórmua Iterpoadora de Newto difereças divididas i= 1 [ x,..., x ]( x x )...( x x ) p ( x ) = f ( x0 ) + f 0 i 0 i 1 Fórmua Iterpoadora de Newto difereças descedetes s ( s 1) s ( s 1)...( s + 1) ( x0 + sh ) = f0 + s Δ0 + Δ Δ!! p 0 Equações Não Lieares x k + 1 Método da bissecção ak + bk xk + 1 = Método da secate xk xk 1 = xk f ( xk ) f ( x ) f ( x k k 1 ) Método de Newto f ( xk ) xk + 1 = xk ' f ( x ) Método do poto fixo x = g( x ) k + 1 k k Sistemas de Equações Lieares ji Factorização A = LU Factorização (Choeski) u = a j 1 11 = a 11 = a i 1 j 1 j i 1 = ai 1 / u11 i i 1 = uij aij iku k = 1 1 = ( a ji k = 1 i jk u ki kj ) / u j i ii j > i ji ii i 1 i 1 / 11 = aii = i 1 ik k 1 T A = LL i i 1 ( a ji ik jk )/ ii j > i = = k 1 FIM 10