F I L A S D E E S P E R A

Transcrição

1 F I L A D E E P E R A 59

2 - - FE Admita que o processo de chegadas de clietes a uma loja pode ser cosiderado um Processo de Poisso, com uma taxa de 5 chegadas por miuto. Determie: - a probabilidade de decorrer mais de /2 miuto etre duas chegadas cosecutivas - a probabilidade de chegarem à loja, um dado miuto, meos do que 5 clietes. - a probabilidade de chegarem à loja, um dado miuto, exactamete clietes FE2 A MegaIO é uma multiacioal a área das telecomuicações. O Dr. atos Martis, Resposável pelos erviços Técicos da MegaIO a Lusólia, está apreesivo com o volume de chamadas telefóicas iteras que chegam à Cetral Telefóica CT. Depois de aalisarem os registos dos istates de chegada das chamadas iteras à CT um dado dia etre as 9:: e as 9:2:, os resposáveis pelo plaeameto da MegaIO cocluíram que os itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas se podem cosiderar com distribuição Expoecial, com valor médio igual a /2737 em horas. O Dr. atos Martis pretede que se caracterize o úmero de chamadas telefóicas iteras que chegam à CT a cada segudos. O João Matos, acabado de chegar da Faculdade e em estágio os erviços Técicos da MegaIO a Lusólia, arriscou-se a sugerir que o úmero de chamadas iteras chegadas à CT um dado itervalo de tempo deveriam seguir a distribuição de Poisso. Esta sugestão irritou o Dr. atos Martis, para quem Poisso só quer dizer peixe em fracês... - E o que é que eu faria com o teu Poisso?, pergutou rispidamete o Dr. atos Martis, cotiuado, O que eu gostaria é que me dissesses se é provável que um itervalo de segudos -... sei lá, ou 3 segudos... que cheguem à CT mais do que chamadas iteras... - Isso ão deve ser muito difícil de descobrir..., respodeu o João Matos, puxado o seu portátil e aalisado os registos. *** *** *** Ruy Costa, 2 Pretede-se que, relativamete ao período de tempo referido, ajude: - a caracterizar o processo de chegadas de chamadas telefóicas à CT - a caracterizar o úmero de chamadas telefóicas chegadas à CT em cada segudos - a caracterizar o úmero de chamadas telefóicas chegadas à CT em cada 5 segudos - a determiar a probabilidade de chegarem mais do que chamadas telefóicas à CT em cada itervalo de segudos, com etre e 3. 6

3 - 3 - FE3 Pretede-se que programe uma Folha de Cálculo para o modelo M/M/, de modo a que o utilizador idique as taxas de chegada,, e de serviço,, bem como a uidade de tempo. A Folha de Cálculo deverá permitir calcular, L, Lq, W, Wq, P, P,..., P4. O utilizador poderá aida idicar t e a Folha de Cálculo deve apresetar P W > t e P Wq > t. Cosulte o Formulário Verifique os resultados produzidos pela sua Folha de Cálculo: Ruy Costa, 2 Ruy Costa, 27 6

4 - 4 - FE4 Pretede-se que programe uma Folha de Cálculo para o modelo M/M/s, de modo a que o utilizador idique o úmero de servidores, s assuma que s, as taxas de chegada,, e de serviço,, bem como a uidade de tempo. A Folha de Cálculo deverá permitir calcular, L, Lq, W, Wq, P, P,..., P4. O utilizador poderá aida idicar t e a Folha de Cálculo deve apresetar P W > t e P Wq > t. Cosulte o Formulário Verifique os resultados produzidos pela sua Folha de Cálculo: Ruy Costa, 2 Ruy Costa, 27 62

5 - 5 - FE5 A LavAuto é um posto de lavagem automática de automóveis, com um pequeo parque, que permite que, o máximo, 4 automóveis aguardem pelo iício da lavagem. Como a LavAuto se situa uma zoa com muito movimeto automóvel, se um potecial cliete preteder etrar e se deparar com o parque cheio, desistirá da lavagem e prosseguirá a sua marcha. Os poteciais clietes chegam à LavAuto segudo um Processo de Poisso, com uma taxa de chegadas por hora, estimado-se que a duração do atedimeto de um cliete se possa cosiderar expoecialmete distribuído, com valor médio igual a 5 miutos. Determie: a a probabilidade da LavAuto estar vazia b a probabilidade da LavAuto estar completamete cheia c o úmero médio de automóveis a LavAuto d o tempo médio de espera a fila e a receita perdida, devido ao parque estar cheio, sabedo que o valor médio da receita por lavagem é igual a 4,. Cosulte o Formulário FE6 Cosidere a LavAuto do exercício aterior. O gerete da LavAuto está a avaliar o iteresse da motagem de um segudo posto de lavagem automática de automóveis, aida que tal implique a redução do pequeo parque, que passaria a permitir a espera de, o máximo, apeas 3 automóveis. Ruy Costa, 2 Admita que os dois postos de lavagem são idêticos, com uma duração média de lavagem igual a 5 miutos. 63

6 Determie: f a probabilidade da LavAuto estar vazia g a probabilidade da LavAuto estar completamete cheia h o úmero médio de automóveis a LavAuto i o tempo médio de espera a fila j a receita perdida, devido ao parque estar cheio, sabedo que o valor médio da receita por lavagem é igual a 4, FE7 Cosulte o Formulário uma fábrica de têxteis existem 5 teares que, quado se avariam, são reparados por dois técicos de mauteção. abe-se que o itervalo de tempo etre duas avarias cosecutivas se pode cosiderar com distribuição expoecial de média 5 horas e que a reparação de cada tear avariado tem uma duração que se pode cosiderar com distribuição expoecial de média hora. abedo que se estima um prejuízo de por cada hora de iactividade de uma máquia, e que cada técico de mauteção se traduz um custo horário de, seria justificável a cotratação de um terceiro técico de mauteção? E qual o úmero de técicos de mauteção que seria recomedável? FE8 Cosulte o Formulário - Grrrr... Detesto trabalhar à pressão, rosava o r. ilva, doo da tabacaria há mais de 3 aos, Quado só está um cliete, sempre podemos dar dois dedos de coversa... ou mesmo três... Agora, quado estou a ateder alguém e me aparece outro que fica à espera e que começa a olhar para mim, a miha tesão aumeta e lá teho que despachar o cliete... E, etão, se estão muitos à espera, viro robot... o que já ão é adequado à miha idade O r. ilva é o úico a ateder os seus clietes. O ábado de mahã é sempre mais complicado. A Tabacaria está bem localizada e há 2,5 clietes por miuto a chegar... O r. ilva ormalmete despacha 3 clietes por miuto. Em coversa com o r. ilva, elaborámos o Quadro seguite, que mostra que o aumetar de clietes a sua tabacaria o pressioa e o leva a despachá-los mais rapidamete. Ruy Costa, 2 64

7 3, 5 4,862 5, ,76 2 7,369 O r. ilva gostaria de saber se ão se setisse pressioado, se os seus clietes iriam esperar muito mais para ser atedidos. - e calhar isto é mesmo maia miha... e eu atedesse todos ao mesmo ritmo esperavam um pouquito mais e iguém se importava... Ou será que ficavam furiosos?, iterrogava-se o pobre r. ilva, suspirado. * * * a Determie P, L e W, o cotexto sem pressão. b Recorredo aos dados apresetados o Quadro acima, estime a costate de pressão c, que melhor se adapta a esses dados. c Determie P, L e W, o cotexto com pressão e compare os resultados com os obtidos a alíea a. Formulário: c., para, 2, C / c, para, 2, P C P, para, 2,. P / C L. P 65

8 - 9 - FE9 - Esperar a Tabacaria do r. ilva? em pesar, dizia um dos clietes da Tabacaria do r. ilva a coversa com um amigo. Tal como este cliete, vários outros também ão estavam a disposição de grades esperas a Tabacaria do r. ilva... a realidade, quato mais clietes estavam a Tabacaria, meor a votade de os poteciais clietes etrarem para aguardar o atedimeto... O r. ilva é o úico a ateder os seus clietes. O ábado de mahã é sempre mais complicado. A Tabacaria está bem localizada e há 2,5 poteciais clietes por miuto a chegar... O r. ilva ormalmete despacha 3 clietes por miuto. Depois de se observar o comportameto dos poteciais clietes, foi possível quatificar a efectiva dimiuição de etradas a Tabacaria, em fução do úmero de clietes que estava o seu iterior: 2,5,6 2,3 3 4,9 5,8,6 5,5 2,4 Qual o impacto da pressão setida pelos poteciais clietes do r. ilva, resultate dos clietes o iterior da tabacaria? * * * d Determie P, L e W, o cotexto sem pressão. e Recorredo aos dados apresetados o Quadro acima, estime a costate de pressão b, que melhor se adapta a esses dados. f Determie P, L e W, o cotexto com pressão e compare os resultados com os obtidos a alíea a. Ruy Costa, 2 Formulário a seguir 66

9 Formulário: -b., para,, 2, / C, para, 2, b P C P, para, 2,. P / C L. P. P - - FE a sua Tabacaria, o r. ilva é o úico a ateder os seus clietes. O ábado de mahã é sempre mais complicado. A Tabacaria está bem localizada e há 2,5 poteciais clietes por miuto a chegar... O r. ilva ormalmete despacha 3 clietes por miuto. Depois de se observar o comportameto dos poteciais clietes, foi possível quatificar a efectiva dimiuição de etradas a Tabacaria, em fução do úmero de clietes que estava o seu iterior: 2,5,6 2,3 3 4,9 5,8,6 5,5 2,4 Por outro lado, o r. ilva sete-se pressioado pelo úmero de clietes a sua tabacaria, tededo a despachá-los mais rapidamete à medida que o seu úmero aumeta: Ruy Costa, 2 67

10 3, 5 4,862 5, ,76 2 7,369 Compare a situação clássica do modelo M/M/, com a resultate destes dois factores de pressão. * * * g Determie P, L e W, o cotexto sem pressão. h Determie P, L e W, o cotexto com dois factores de pressão e compare os resultados com os obtidos a alíea a. Formulário: c., para, 2, -b., para,, 2, C / b c, para, 2, P C P, para, 2,. P / C L. P Ruy Costa, 2. P 68

11 - - FE O Cato da Tia Alice é um pequeo café, com apeas uma empregada a tia Alice em pessoa. abe-se que o processo de chegadas de clietes ao Cato da Tia Alice se pode cosiderar Poissoiao de taxa média igual a 2, chegadas por miuto. A sobriha Fracisca esteve a croometrar a tia Alice a trabalhar Mas porque raio é que aquela miúda ão larga o croómetro e ão me vem ajudar aqui atrás do balcão?, pesou a tia Alice chegou à coclusão que a tia atede um cliete em aproximadamete 2 segudos. O Mário o sobriho favorito da tia Alice ao saber das coclusões da Fracisca após um dia de croometragem exclamou: - Mas que grade coclusão Aproximadamete 2 segudos a ateder um cliete Mas a tia Alice é algum robot e demora exactamete 2 segudos com cada cliete? Ou será que a duração do atedimeto de um cliete se pode cosiderar com distribuição Expoecial de valor médio 2 segudos?? Ou será que a duração do atedimeto, DA, de um cliete se pode cosiderar decomposta a soma de dois tempos expoecialmete distribuídos o tempo do café e o tempo do boliho tais que DA ~ T T 2, com T, T 2 v.a. i.i.d. e T ~ T 2 ~ Expoecial com valor médio igual a segudos??? Já sabia que o Mário estava a estudar Matemática e que era um tipo muito esquiisito... mas, assim tato?, pesou a Fracisca suspirado. Compare os três ceários referidos pelo Mário e determie as correspodetes medidas de desempeho do sistema de atedimeto de clietes o Cato da Tia Alice, comparado-as. Depois de se observar o comportameto dos poteciais clietes, foi possível quatificar a efectiva dimiuição de etradas a Tabacaria, em fução do úmero de clietes que estava o seu iterior: Formulário: Ruy Costa, 2 Fórmula de Pollaczek-Khitchie M/G/ L q 2 2 σ 2 2 M/D/ L q 2 2 M/ E k / Lq k 2k 2 69

12 - 2 - FE2 o Hospital Distrital de Lisbólia, aos ábados de mahã, os pacietes chegam segudo um processo Poissoiao com taxa média igual a 2, pacietes por hora. Em média, um médico cosegue tratar 3 pacietes por hora, podedo assumir-se que a duração de um atedimeto segue uma distribuição Expoecial. Cerca de % dos pacietes correspodem a casos críticos 3 % correspodem a casos graves e 6 % a casos estáveis. Pretede-se avaliar o iteresse de ter um ou dois médicos ao serviço. Para tal, deve comparar os resultados obtidos o cotexto sem prioridades, com os correspodetes o ceário com prioridades. As prioridades são absolutas se a chegada de um paciete crítico implicara iterrupção do atedimeto de um paciete em estado ão crítico, para se dar iício ao atedimeto do paciete em estado crítico. Avalie a difereça do desempeho do sistema o ceário de prioridades absolutas e ão absolutas. Exercício adaptado de Hillier e Lieberma. Cosulte o Formulário FE3 O José, aluo fialista do curso de Matemática da Uiversidade da Lusólia, está a fazer o seu estágio sobre Filas de Espera a Catia da sua Uiversidade, estado a aalisar, este mometo, um dos locais mais populares da sua Catia: o PG ó Para Gulosos. O PG ó Para Gulosos é um bar ode todos os clietes tomam uma bica e comem um bolo, passado ao logo de um comprido balcão de atedimeto: primeiro passam a caixa registadora de pré-pagameto, depois levatam o seu café e, seguido em frete, escolhem o seu boliho. Que iteressate, pesou o José, uma empregada para a caixa registadora, duas para servir os cafés e, fialmete, uma os bolihos... Estes tipos parecem-me eficietes, com esta especialização dos empregados.... O José cocluiu que, a seguir ao almoço, o processo de chegada dos clietes ao PG ó Para Gulosos é Poissoiao, com taxa média igual a clietes por miuto. Cocluíu também que as durações de atedimeto de um cliete os três serviços se podiam cosiderar com distribuição Expoecial, com valores médios em segudos dados a tabela seguite: Ruy Costa, 2 7

13 erviço Caixa Registadora Cafés Bolihos Duração Média seg. 4,5 9, 5, Quado soube que o José era um tipo lá da Matemática, o Gerete do PG resolveu coversar: - Ouve lá, pá, por exemplo, qual a probabilidade de estarem simultaeamete 3 tipos a caixa, outros 3 os cafés e mais 3 os bolihos? É que o balcão do PG é comprido, mas ão é elástico e eu ão quero aqui ceas de pacadaria... Achas que valia a pea cotratar mais alguém? E para ode? Mas olha que eu ão sou primo da Madre Teresa de Calcutá Qual é a probabilidade dos meus escravos estarem todos a descasar ao mesmo tempo??? Ates que o José pudesse sequer respirar, o Gerete voltou à carga: - abes, pá, tive uma outra ideia: utilizava os 4 empregados todos à misturada... Tás a ver: caixa, cafés e bolos... Polivalêcia... É uma chatice isto ser assim um bocado acahadito, iam começar às cotoveladas us aos outros e, de certeza que por cliete acabavam por demorar mais do que os 4,5 9, 5, segudos que determiaste ates... e calhar demoravam us 2 segudos com cada cliete... O que é que achas, pá?. * * * Ajude o José a aalisar a situação o PG ó Para Gulosos FE4 O José, aluo fialista do curso de Matemática da Uiversidade da Lusólia, está a fazer o seu estágio sobre Filas de Espera a Catia da sua Uiversidade, estado a agora a aalisar o CBJ Café, Bolos e Jorais, um recato muito popular da sua Catia. O José cocluíu que os processos de chegada dos clietes do exterior são Poissoiaos e que a trasição etre sectores é feita de acordo com o esquema seguite: Ruy Costa, 2 7

14 Assim, e por exemplo, 2 % dos clietes dos Cafés dirigem-se posteriormete para a secção Jorais. As durações de atedimeto de um cliete os três serviços podem-se cosiderar com distribuição Expoecial, com valores médios em segudos dados a tabela seguite: erviço Cafés Bolos Jorais Duração Média seg. 9, 5,, O Gerete do CBJ Café, Bolos e Jorais dispõe de um total de 8 empregados que podem ser afectados a cada uma das três secções e, segudo as suas palavras, em quero sohar com mais de 3 clietes a serem atedidos ou em espera Isso era um pesadelo. O Gerete do CBJ gostaria de ter a sua proposta de afectação e, para essa proposta, gostaria de saber qual a probabilidade de estarem mais de 3 clietes a serem atedidos ou em espera. Gostaria, aida, de saber, para o sistema de atedimeto proposto, qual o úmero total esperado de clietes o sistema e qual o tempo médio de permaêcia de um cliete o sistema. * * * Ajude o José a aalisar a situação o CBJ Café, Bolos e Jorais O processo de chegadas de clietes à recém-aberta Agêcia de Viages Mega VIP pode cosiderar-se Possoiao com taxa média igual a 5 por hora. Por outro lado, em média, a doa da Agêcia e, de mometo, a úica empregada pode ateder 8 clietes por hora. a Admitido que a duração do atedimeto de cada cliete é rigorosamete igual a 7,5 miutos, determie o tempo médio que um cliete tem de esperar para começar a ser atedido. b Admita que o atedimeto de cada cliete se pode cosiderar com duas fases: coversa iicial com duração Expoecial de valor médio igual a 2 miutos e cocretização com duração Expoecial de valor médio igual a 5,5 miutos. Determie o tempo médio que um cliete tem de esperar para começar a ser atedido. Ruy Costa, 2 c A doa da Agêcia de Viages Mega VIP pesou criar o Cartão Mega VIP, que daria prioridade o atedimeto, sem o etato se iterromper atedimetos em curso. De acordo com as suas estimativas, 2 % dos clietes aderirão ao Cartão Mega VIP. Admitido que a duração do atedimeto de cada cliete se possa cosiderar com distribuição Expoecial de média igual a 7,5 miutos, determie o tempo médio que um cliete com Cartão Mega VIP terá de esperar para começar a ser atedido e o tempo médio que um cliete sem Cartão Mega VIP terá de esperar para começar a ser atedido. 72

15 - 6 - Cosidere rede de filas de espera esquematizada abaixo, com processos de chegadas Poissoiaos e durações de serviço com distribuição Expoecial: ota: As setas % B largas idicam as etradas do A % 2% exterior e as setas fias idicam as 3% C possibilidades de trasição etre sectores com as a abedo que A,2669 clietes/h, B 2,7823 clietes/h e que C 7,5565 clietes/h, determie as taxas de etrada de clietes para cada secção, directamete do exterior. b abe-se que A 6, clietes/h, B 5, clietes/h e que C 2, clietes/h e que se dispõe de 5 empregados para distribuir pelos três sectores. Com base os valores do quadro seguite, propoha uma distribuição dos empregados tal que a permaêcia de um cliete o sistema ão ultrapasse a meia hora. Justifique. ector A B C clietes/h,2669 2,7823 7,5565 clietes/h 6, 5, 2, M/M/ ou M/M/ M/M/2 M/M/3 M/M/ M/M/2 M/M/ M/M/2,8556,574,8522,426,8778,4389 clietes L 6,3853 2,329 5,7639,42 7,849,873 clietes Lq 4,674,427 4,97,89 6,37,295 h W,629,277,459,85,492,69 h Wq,4553,4,3843,48,3592,9 P,778,634,478,424,222,3899 P,332,2796,26,3429,72,3423 P2,39,2393,74,46,94,52 P3,975,365,95,623,826,659 P4,834,778,78,265,725,289 P5,74,444,664,3,637,27 Ruy Costa, 2 73

16 c Para a distribuição dos empregados proposta a alíea b, determie a probabilidade de se ecotrarem o sistema exactamete 2 clietes. ota: e ão resolveu a alíea b, admita que o sector A tem 3 empregados, o sector B tem empregado e o sector C tem empregado Os Mimos da tia Leoarda é uma famosa loja de doçaria que tem cico sectores com atedimeto autóomo e especializado: - A Bolachihas da Miha Avó - B Chocolaterie - C Bolos datia Leo - D Pudis da Zu - E Paraíso Covetual. De acordo com os registos da Tia Leoarda, um cliete circula etre os vários sectores com as seguites probabilidades: Para A B C D E De A -,2,3,,3 B, -,2,5,4 C,2, -,3,2 D,5,,35 -, E,,5,,7 - Os processos de chegada dos clietes do exterior directamete a cada um dos sectores podem cosiderar-se Poissoiaos com taxas médias idicadas o quadro seguite. esse quadro idica-se também o tempo médio de atedimeto em cada sector : ector Taxa média de Tempo médio de Chegadas, por hora Atedimeto, em miutos A 5 2, B 5,6 C 3 4,3 D 3,8 E 3 6, A Zumélia já tiha cocluído que os tempos de atedimeto em cada um dos sectores se poderia cosiderar expoecialmete distribuidos. Presetemete o úmero de empregados em cada um dos sectores é o seguite: ector A B C D E º de Empregados

17 A Zumélia, depois de rever as costas dos dois últimos aos fraziu o zobrolho Tato empregado A Tia Leoarda deve ser prima da Madre Teresa... ou do Miistro do Trabalho, disse a Zumélia e eu pudesse reduzia isto a seis empregados polivaletes A Tia Leoarda fumegou de raiva: - A meia deve pesar que Os Mimos são uma espeluca ode os clietes podem ser mal atedidos Ode já se viu um empregado da Chocolaterie a veder bolos? E ão se admite que um empregado do Paraíso Covetual faça biscates os outros sectores Uma vergoha A Zumélia suspirou: Bom, etão propoho dois empregados para atederem um sector Chocolaterie e Bolachihas, três para Bolos e Pudis e dois ajos para o Paraíso... * * * * * Estude os vários esquemas de atedimeto apresetados, de forma a auxiliar a Tia e a Zumélia a decidir o que fazer os Mimos da Tia Leoarda. Ruy Costa, Um determiado sistema de espera é costituído por quatro sectores iterdepedetes, de acordo com o esquema abaixo: % 2 % % % 7 % 3 % 3 % % 7 % % 2 % 3 chegadas/miuto 4 chegadas/miuto Resumidamete, os clietes só poderão etrar o sistema, pelos sectores, ou 4, de acordo com processos Poissoiaos de taxa média, respectivamete, igual a 3 chegadas/miuto e 4 chegadas/miuto. Depois de atedidos o sector, 2 % dos clietes seguirão para o sector 2, 3 % dos clietes seguirão para o sector 3 e 5 % deixarão o sistema. Depois de atedidos o sector 2, todos os clietes deixarão o sistema. Depois de atedidos o sector 3, % dos clietes seguirão para o sector, % dos clietes seguirão para o sector 2, % dos clietes seguirão para o sector 4 e 7 % deixarão o sistema. Depois de atedidos o sector 4, % dos clietes seguirão para o sector 2, 2 % dos clietes seguirão para o sector 3 e 7 % deixarão o sistema. Ruy Costa, 2 75

18 Pode-se admitir que a duração do serviço em cada sector é distribuída expoecialmete. o sector, os clietes serão atedidos por dois servidores, com idêtica taxa de serviço a duração média de cada serviço será de 3 segudos. o sector 2, os clietes serão atedidos por um servidor, sedo a duração média de cada serviço igual a 25 segudos. o sector 3, os clietes serão atedidos por um servidor, sedo a duração média de cada serviço igual a 5 segudos. o sector 4, os clietes serão atedidos por um servidor, sedo a duração média de cada serviço igual a segudos. Admita que, em cada sector, ão há qualquer limitação quato ao tamaho da fila de espera. a Determie as taxas de etrada os diferetes sectores e caracterize esses processos de etrada. b Determie a probabilidade de o sistema se ecotrar vazio. c Determie o úmero médio total de clietes o sistema e o tempo médio de permaêcia o sistema por cliete. Ruy Costa, 2 76

19 Formulário istema M/M/, População Fila máxima Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa taxa de atedimeto de clietes por uidade de tempo pelo úico servidor. Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de ocupação / < Taxa de desocupação P P Wq L L q / L L q 2 2 W W q / W L / W q L q / P P Wq P P P > k k P W > t e t e t / W para t PW q > t e t e t / W para t 77

20 istema M/M/, População Fila máxima Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa média de chegadas de clietes por uidade de tempo. Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores.,2,..., Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de ocupação / < Taxa de desocupação L L q / L q 2 P W W q / L / W q L q / P P,,..., P P PW > t.. e P e t t para t PWq > t. t e P para t PWq P 78

21 istema M/M//K, População Fila máxima K úmero máximo de clietes o sistema K Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas o sistema será depedete do estado do sistema isto é, do úmero de clietes o sistema:,,..., K P K K Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa taxa de atedimeto de clietes por uidade de tempo pelo úico servidor. Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de pressão / Taxa de ocupação / Taxa de desocupação / P PWq K L K K K K 2 L q L / W W q / W L / W q L q / P K PW q P P / K K K > K 79

22 istema M/M//K, População Fila máxima K K º máximo de clietes o sistema K º de servidores Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas de clietes o sistema será depedete do estado do sistema isto é, do úmero de clietes o sistema: K K,,..., P K Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores.,2,..., Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de pressão / Taxa de ocupação / P K Taxa de desocupação / P K K P,...,,..., K K P P P Wq P L q 2 P [ ] K K K W q L q / W W q / L W L q / 8

23 istema M/M//, População Fila máxima º máximo de clietes o sistema º de servidores Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas de clietes o sistema será depedete do estado do sistema isto é, do úmero de clietes o sistema:,,..., L Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores.,2,..., Disciplia da fila: FIFO atedimeto por ordem de chegada Taxa de ocupação / Taxa de desocupação / P Caso particular : P taxa de desocupação P,...,,..., P P cotiua 8

24 cotiuação Caso particular : P P,..., > PWq P L q P Caso particular : L q P W q L q / W W q / L W L q / Prioridades ão absolutas : W k A. B k. B k, para k, 2,, j r Com A., r j j B B k, k i i, para k, 2,,, e úmero de servidores, taxa média de serviço por cada servidor ocupado, i taxa média de chegadas da classe de prioridade i, i, 2,, i r / i e 82

25 Prioridades absolutas : W k /, para k, 2,,. B. k B k L k k. W k, para k, 2,. 83