CARTA DE CONTROLE PARA MONITORAMENTO DE FRAÇÃO DE CONFORMES UTILIZANDO UM NOVO ESTIMADOR

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1 XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO. CARTA DE CONTROLE PARA MONITORAMENTO DE FRAÇÃO DE CONFORMES UTILIZANDO UM NOVO ESTIMADOR Ruth Pereira Loureço (USP) Lida Lee Ho (USP) Roberto da Costa Quiio (UFMG) Cartas de cotrole têm sido umas das ferrametas mais utilizadas para moitorar o processo. No caso de moitorar a proporção de ites coformes, tradicioalmete, o estimador proporção amostral tem sido utilizado, porém requer um tamaho raazoável de amostra para ter um bom desempeho. Este artigo apreseta e aalisa basicamete uma carta de cotrole empregado um ovo estimador para a proporção de coformidade que apresete bos ídices de desempeho mesmo para tamaho pequeo de amostras e alta qualidade. Para a aálise do comportameto do estimador proposto e do tradicioalmete utilizado foi desevolvido um programa em liguagem VBA para ser executado o Excel que permite e a comparação do desempeho dos estimadores através pricipalmete do parâmetro chamado ARL. Palavras-chaves: Proporção amostral; Carta de cotrole p; ovo estimador para proporção de coformidade; ARL

2 . Itrodução O moitorameto efetivo das características da qualidade de um processo de produção depede, a maioria das vezes, de ferrametas estatísticas para a detecção, idetificação e aálise das causas sigificates resposáveis por variações que afetam o comportameto do processo de forma imprevisível. Estas técicas podem ser utilizadas em processos idústrias que geram bes de cosumo, em processos de empresas que são prestadoras de serviços e até mesmo a área médica em testes clíicos. O iício formal do Cotrole Estatístico de Processo (CEP) deu-se por volta de 94, quado Walter A. Shewhart desevolveu e aplicou os gráficos de cotrole os Bell Telephoe Laboratories. De acordo com MONTGOMERY (004), a melhoria da qualidade em processos, de maeira geral, pode ser traduzida a redução da variabilidade os processos e produtos. Ela torou-se um dos potos decisivos a mauteção dos produtos o mercado devido, pricipalmete, a grade cocorrêcia e a maior exigêcia dos cosumidores. Além dos gráficos de cotrole, o CEP é formado por mais seis ferrametas que formam um cojuto de técicas estatísticas, orgaizadas de modo a proporcioar, através de suas aplicações, a mauteção e a melhoria dos íveis de qualidade de um processo. A carta de cotrole (ou gráfico de cotrole) é a apresetação gráfica de uma característica da qualidade que foi medida ou calculada a partir da amostra versus o úmero da amostra ou tempo. Ela cotém uma liha cetral (LC), que está associada ao valor esperado de uma estatística moitorada, e outras duas lihas horizotais, chamadas de limite superior de cotrole (LSC) e limite iferior de cotrole (LIC) que são obtidas somado e subtraido, respectivamete, k (costate) vezes o valor do desvio-padrão dessa estatística a LC. Ela pode ser basicamete de dois tipos: para atributos ou para variáveis. Os gráficos de cotroles para atributos avaliam parâmetros tais como proporção de coformidade ou taxa média de ocorrêcia de alguma quatidade de iteresse. De modo sucito, existem quatro subtipos de gráficos de cotrole para atributos mais utilizados, os quais são: Gráfico de Cotrole para a fração ão-coforme (p), Gráfico de Cotrole para o úmero de ão-coformidades (p), Gráfico de Cotrole para ão-coformidades (c) e Gráfico de Cotrole para ão-coformidades por uidade (u). (Maiores detalhes ver MONTGOMERY, 004 e COSTA et al, 004) Este projeto tem como base de estudo o primeiro tipo de gráfico, o gráfico p, cotudo, por ser mais coveiete, trabalha-se com a fração de ites coformes ao ivés de a fração de ites ão-coformes como é comumete ecotrado a literatura. A abordagem tradicioal, baseada os estimadores existetes, requer, porém um tamaho razoável de amostra para apresetar um bom desempeho. Portato, a proposição e a avaliação do ovo estimador para o parâmetro da proporção de uma distribuição de biomial que apresetam bos ídices de desempeho para amostras pequeas se fazem ecessárias para a cotiuidade da melhoria da qualidade os processos e a garatia de altas qualidades. Apesar desse tema ser atigo e já bastate estudado, é importate ressaltar que ele aida desperta iteresse etre muitos pesquisadores. Como exemplo disso, pode-se citar BÖHNING & VIWATWONGKASEM (005) que também estudaram uma ova maeira de calcular este estimador p.

3 . O Novo Estimador e suas propriedades Ites coformes são aqueles ites que satisfazem o padrão em todas as características aalisadas. O estimador tradicioal da fração de coformidade é a proporção amostral, defiida como a razão etre o úmero de ites coformes em uma população e o total de ites amostrados, deotado por : X, em que é o úmero total da amostra e X é o úmero de ites coformes da amostra. Este estimador é referido ao logo deste texto como estimador atigo já que é o tradicioalmete utilizado. Os pricípios estatísticos que evolvem este tipo de estimador estão baseados a Distribuição de Biomial. Cosiderado experimetos idepedetes de Beroulli (variável aleatória X), têm-se duas possibilidades: sucesso com probabilidade p e fracasso com complemetar probabilidade (-p). E, assim, a probabilidade do úmero total de sucessos de X em é dada! x x por: P( X x) p ( p). x!( x)! Duas características importates de são a sua média e a sua variâcia, as quais são p( p) calculadas, respectivamete por: p ;. Como a média é igual ao valor de p, pode-se dizer que o estimador apreseta a propriedade de ser ão viciado. Já o ovo estimador possui suas bases os mesmos pricípios estatísticos do estimador apresetado acima, ou seja, ele também está baseado a Distribuição Biomial. Cotudo, agora cosideram-se duas amostras de Beroulli e, ode e. Para o caso de =7 tem-se duas combiações possíveis, as quais são: = e =5, e =3 e =4. Para o cálculo efetivo desse ovo estimador, cosiderem as proporções amostrais obtidas com tamahos de amostras e (vide expressão.). Caso ambas forem diferetes de zero, o ovo estimador é defiida como a média poderada das proporções defiida em (.) com fator poderação igual à própria proporção amostral e zero quado ambas proporções forem iguais a zero, coforme expressão (.). X = ; = X (.) ~ p 0, se 0 (.) ~ p, caso cotrário É importate ressaltar que, a distribuição de probabilidade do estimador tradicioal é baseada uma uma distribuição biomial, equato que a distribuição de probabilidade do ovo ~ p é uma combiação de distribuições biomiais de ˆp e de ˆp. Este ovo estimador proposto apreseta algumas propriedades iteressates. Ele é a) Viciado, porém assitoticamete ão-viciado; 3

4 Razão etre os Erros Médios Quadráticos b) Cosistete. Como pode ser provado, o fato do estimador ser viciado sigifica que para razoavelmete pequeo, a média do estimador é diferete de p, ao cotrário do que acotece com o estimador atigo que é ão-viciado. Porém, ele também é assitoticamete ão-viciado, ou seja, quado o valor de tede ao ifiito, a sua média tede ao valor de p. E, por fim, ele também é cosistete, pois quado tete ao ifiito além de sua esperaça (média) teder a p, sua variâcia tede a zero. A partir dessas propriedades, pode-se dizer que o ovo estimador é meos eficiete que o de proporções amostrais. Cotudo, quado o critério de comparação etre ambos estimadores passa a ser o erro quadrático médio (MSE Mea Square Errors) pode-se otar que o ovo estimador é mais eficiete que o tradicioal (ou seja, quado o MSE de ~ p é meor que o de para uma faixa de valores de p). Para o caso do estimador atigo, o MSE é cohecido e p ( p) dado por, porém para o estimador ~ p, ão existe uma expressão fechada podedo ser calculado computacioalmete. Figura mostra a razão etre MSE das duas proporçoes ( e p~ ) para variado de a 00 e p etre 0 e para algus casos ode =. Pode-se observar que o MSE ( ~ p ) é meor que o MSE ( ) para p>0,75 e também que quato meor for o tamaho da amostra, mais favorável é para o MSE de ~ p. Isto os permite mostrar o quato o ovo estimator é iteressate para sistemas de alta qualidade quado ão permite usar amostras muito grades. Como exemplo, Tabela compara algus valores de MSE para os dois estimadores. (O valor apresetado a tabela é aproximado e, o caso do ovo estimador, é obtido para uma das possíveis combiações de.) Erro quadrático médio para os estimadores de p N= N=4 N=0 N=0 N=50 N=00 N= p 4

5 Figura Razão do Erro Quadrático Médio de e p ~ versus p Valores de e p MSE Atigo MSE Novo =4 e p=0,7 0,055 0,044 =4 e p=0,9 0,05 0,08 =8 e p=0,99 0,00 0,00 Tabela - Comparação do erro quadrático médio (MSE). Portato, o fato do ovo estimador apresetar melhores valores de erro quadrático médio para amostras pequeas vem de ecotro com o objetivo desse projeto. Amostras de tamaho reduzido são cada vez mais importates visto que, existem muitos casos em que o custo de ispeção é muito caro ou que o esaio para a ispeção é destrutivo e, por coseqüêcia, caro também. 3. As Cartas de Cotrole p As cartas de cotrole podem ser cosideradas um modelo de represetação de estimadores. Neste trabalho, elas serão utilizadas para mostrar o comportameto de cada estimador e poder-se fazer uma comparação etre ambos para valores de parâmetros determiados. Para auxiliar esta comparação foi desevolvido um programa o Office Excel utilizado a liguagem VBA (Visual Basic for Applicatios) (Maiores detalhes ver JELEN, 004 e GETZ, 000). Esse programa tem como objetivo a automatização de tarefas e rotias repetitivas a fim de poder simular e comparar o comportameto dos dois estimadores para variados parâmetros. Na literatura em geral, amostras meores 30 são cosideradas pequeas. Além do tamaho da amostra, outras parâmetros importates o plaejameto de uma carta de cotrole são os limites de cotrole e o itervalo de ispeção. A comparação do desempeho da carta de cotrole p utilizado dois estimadores diferetes para a fração de coformidade, será através do ARL (Average Ru Legths ou Comprimeto Médio da Seqüêcia - CMS). Ele represeta a quatidade média de amostras ou observações para que o gráfico sialize um estado fora de cotrole, ou seja, retora o úmero de amostras que são retiradas até a ocorrêcia de um alarme falso (para processo sob cotrole) ou o úmero esperado de amostras retiradas até a detecção do desvio (para processo fora de cotrole). Tradicioalmete, calculam-se a liha cetral e os limites de cotroles para os gráficos da seguite maeira: LSC p k LC p LIC p k p0( p0) p0( p0) (3.) ode p 0 é o valor de fração de coformidade quado o processo está sob cotrole e tradicioalmete emprega-se k=3 caso fosse adotar o erro do tipo I α= Cotudo, a atual proposição tato utilizado o estimador tradicioal como o ovo, os limites de cotrole ão podem ser determiados coforme (3.). No etato, os dois estimadores assume valores 5

6 discretos assim dificilmete os limites de cotrole serão determiados de modo a alcaçar o ível do erro do tipo I fixado em 0,7%. Desta forma serão aalisados dois casos: ) obter limites de cotrole tal que acumule valor do erro do tipo I imediatamete maiores que e o outro caso é determiar limites de cotrole tal que acumule valor do erro do tipo I com valores imediatamete abaixo da referêcia. Este risco alfa: erro do tipo I ( ) represeta a chace do gráfico de cotrole sializar causas especiais iexistetes. A partir desses valores, podem-se ser calculados os valores de ARL 0 (dada através da razão de /, cujo valor de referêcia, é de 370). Em cotrapartida, podem-se também ser calculados os valores de ARL para cada cojuto de valores de fração de coformidade p quado o processo está fora de cotrole. Este é um outro importate parâmetro de comparação que forece o poder de detecção do gráfico, isto é, quado o processo está fora de cotrole qual é o úmero de amostras ecessárias para isso ser detectado. Para exemplicar o que foi dito acima, Tabela foi costruída. Ela represeta a saída do programa em VBA e mostra o comportameto dos estimadores para =7 e p 0 =0,999. Algumas otações foram utilizadas esta tabela, como as palavras Old e New que represetam, respectivamete, o atigo e o ovo estimadores. A letra L ou M, presetes após estas palavras, sigificam qual foi o valor do erro do tipo I, admitido uma vez que ele pode estar acima ou abaixo do valor de referêcia escolhido, respectivamete (L, valores do erro de tipo I meores que o valor de referêcia e M, valores maiores). Além disto, o caso do ovo estimador um úmero foi adicioado a otação. Este foi istituído para se difereciar os ovos estimadores, já que, ormalmete, para um mesmo tamaho de amostra existe mais de uma combiação ( e ) possível. Ele represeta o tamaho da amostra adotado para. Por exemplo, New L3 sigifica que se tratada do ovo estimador adotado um valor abaixo do valor de referêcia para o error do tipo I e o tamaho de amostra igual a 3 para. Tabela permite comparar o desempeho dos dois estimadores. Pode-se otar que, para este caso, o ARL 0 é melhor, ou seja, mais próximo do valor de referêcia para algus casos do ovo estimador (como New_M e New_L3) equato que os ARL s obtidos com o estimador tradicioal ficam muito aquém do valor de referêcia. Para fazer comparação em relação ao ARL, algus cuidados a iterpretação dos resultados devem ser tomados. Não se pode fazer comparação direta etre valores de ARL, uma vez que os obtidos com o estimador tradicioal (o caso Old L) estão subestimados dado a falsa impressão de um melhor desempeho (uma detecção mais rápida) assim como o caso de OldM, os valores de ARL estão superestimados. p Old L Old M New L New M New L3 New M3 Sobcotrole 0,999 43, ,07 43,3 498,0 333, ,34 Fora de cotrole 0,99 4,7 (34.) 49,36 4,74 48,6 33,03 49,59 0,94,84 (6.60) 6,9,87 7,05 5,38 6,3 0,89,79 (4.6) 5,7,8 3,60,96 5,74 0,84,4 3,,44,4,09 3,4 0,79,4,,6,86,67,4 0,74,4,73,6,54,43,75 0,69,08,45,0,35,8,47 0,64,05,8,06,3,8,30 0,59,03,7,04,5,,9 6

7 0,54,0,0,03,09,08, 0,49,0,06,0,06,05,08 Limites de cotrole [;] [0,86;] [;] [0,9;] [0,89;] [0,87;] Tabela : Comportameto dos estimadores para =7 e p=0,999 Na Tabela, etre as alterativas do estimador tradicioal, a melhor opção é OldL e o caso do ovo estimador, o que apresetou o melhor ARL0 é o NewL3 com ARL0 de 333 (mais próximo de 370). E etre estas duas possibilidades, o que se aproxima mais do valor de referêcia é NewL3. Como uma tetativa de fazer uma comparação mais justa etre os ARL obtidos por diferetes estimadores uma possibilidade é ajustá-los liearmete (em iglês aively). Por exemplo, o valor atualizado de ARL 4.7 (a colua OldL, a base de ARL0 de 333) seria 34.;,84 seria 6.60 e assim sucessivamete. As Tabelas 3 e 4 apresetadas a seguir fazem uma comparação etre os estimadores para diferetes valores de sedo o valor de fração de coformidade p quado o processo está sob cotrole em p 0 =0,95 e p 0 =0,99, respectivamete. Para ambos os estimadores, apreseta-se a melhor opção (tato do estimador tradicioal como o ovo estimador) para um tamaho de amostra em questão. No caso do estimador ovo, escolheu-se também a melhor combiação e, (idetificada como observação as Tabelas 3 e 4). Pode-se observar que, para o caso do ovo estimador, com o aumeto do tamaho da amostra, o valor de ARL 0 tede a se aproximar do valor de referêcia 370 e apresetar uma estabilidade em toro desse valor. Já o estimador atigo apreseta uma istabilidade de valores priicpalmete o caso de p 0 =0,99, ou seja, para um valor mais alto de qualidade. ARL 0 Observação p ~ 5 44,6 43,7 = e =3 0 86,93 83,39 = e =8 5 8,9 37,7 =7 e = ,5 374,7 =3 e =7 5 39,57 379,45 =6 e = ,65 368,8 = e =8 Tabela 3 Comparação etre os estimadores para vários e p i cotrol=0,95 ARL 0 Observação p ~ 5 0,40 49,77 = e =3 0 34,40 347,4 =4 e =6 5 03,84 4,35 = e =3 0 59,3 397,6 =7 e =3 5 5,64 340,33 =7 e = ,4 370,97 = e =8 Tabela 4 Comparação etre os estimadores para vários e p i cotrol=0,99 Tabela 5 apreseta uma outra forma de comparação de desempeho feita etre os valores de ARL para um caso em que o valor da fração coforme p quado o processo sob cotrole é p0=0,99 e o fora de cotrole é p=0,95. Da mesma forma que as tabelas ateriores, para ambos os estimadores, utiliza-se a combiação que apreseta melhor valor de ARL0 já que 7

8 ele é o fator mais determiate este caso. Observa-se que, para o ovo estimador com um aumeto o tamaho da amostra, o valor de ARL tede a decrescer. Isso os permite cocluir que para amostras aida cosideradas pequeas (<30) o valor de ARL se tora costamete decrescete e estável, o que ão acotece o caso do outro estimador. ARL Observação p ~ 5 4,4 9,8 = e =3 0,6 6,4 =4 e =6 5 5,85,60 = e =3 0 3,79,9 =7 e =3 5 7,87 9,64 =7 e =8 30 5,3 6,6 = e =8 Tabela 5 - Comparação etre os estimadores para vários tamahos de amostra ( p0=0,99 e p =0,95) 4. Coclusão A grade discussão que gira em toro deste projeto é a de saber o quato o ovo estimador se aproxima do atigo, podedo apresetar resultados melhores ou piores que este e quado (em que casos) estes resultados são mais favoráveis. Cotudo, apesar das possibilidades serem iúmeras, algus potos foram observados e mostram o comportameto positivo e egativo do estimador. Primeiramete, ota-se que para um mesmo valor de e da fração de coformidade quado o processo está sob cotrole, obtém-se melhores valores de ARL 0 com o ovo estimador. Cotudo, quado se compara os valores de ARL para vários valores de p fora de cotrole, algus cuidados devem ser tomados. Os valores obtidos utilizado o método tradicioal geralmete forecem valores de ARL0 muito meores que o valor de referêcia e como cosequêcia pode subestimar os valores de ARL ou o caso de ARL0 muito maiores que o valor de referêcia, os mesmos estão superestimados. Uma observação iteressate em relação ao ovo estimador: os valores de ARL dimiuem, coforme aumeta o tamaho da amostra os valores de ARL. Existem algus outros casos em que os estimadores se apresetaram bastate semelhates, tato quado se comparam os ARL 0 s quato os ARL s. Nestes casos, é idiferete a aplicação dos estimadores uma vez que ambos, em termos de custos, são iguais. É importate ressaltar que aálises estão sedo feitas para valores altos de p já que deseja-se ecotrar um melhor estimador para casos em que exige-se altos padrões de qualidade e o custo das amostras é alto também exigido baixos tamahos amostrais. Referêcias BÖHNING, D. & VIWATWONGKASEM, C. Revisitig proportios estimators. Statistical Methods i Medical Research; 005; 4: COSTA, A.F.B.; EPPRECHT, E.K. & CARPINETTI, L.C.R. Cotrole Estatístico de Qualidade. Atlas, São Paulo 004. GETZ, K. VBA Developer's Hadbook. Sybex, Sa Fracisco, 000. JELEN, B. Macros. VBA para Microsoft Excel. Elsevier Editora, Rio de Jaeiro, 004. MONTGOMERY, D.C. Itrodução ao Cotrole Estatístico da Qualidade. LTC, Rio de Jaeiro,

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