Instituto de Engenharia de Produção & Gestão

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1 UNIFEI - Uiversidade Federal de Itajubá Istituto de Egeharia de Produção & Gestão Notas compiladas por PEDRO PAULO BALESTRASSI ANDERSON PAULO DE PAIVA Itajubá/007

2 CAPÍTULO - ESTATÍSTICA. - Do que trata a Estatística A essêcia da ciêcia é a observação. A ciêcia que se preocupa com a orgaização, descrição, aálise e iterpretação dos dados experimetais é deomiada de Estatística, um ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status... - Grades áreas O diagrama seguite mostra o cotexto em que se situa o estudo da Estatística, aqui subdividido em Estatística Descritiva e Estatística Idutiva (ou Iferecial). Estatística Descritiva Amostragem Cálculo de Probabilidade Estatística Idutiva A Estatística Descritiva está relacioada com a orgaização e descrição de dados associada a cálculos de médias, variâcias, estudo de gráficos, tabelas, etc.. É a parte mais cohecida. A Estatística Idutiva é o objetivo básico da ciêcia. A ela está associada, Estimação de Parâmetros, Testes de Hipóteses, Modelameto, etc.. No Cálculo de Probabilidades, está a essêcia dos modelos Não-Determiísticos e a corroboração de que toda iferêcia estatística está sujeita a erros. A Amostragem é o poto de partida (a prática) para todo um Estudo Estatístico. Estatística -

3 Aqui pode se ter origem um problema bastate comum em Egeharia: Aálise profuda sobre dados superficiais!... - Modelos Um dos objetivos da aálise de dados é buscar um modelo para as observações. Na figura abaixo, duas variáveis estão represetadas. y Resíduo Dado Modelo x De um modo esquemático, podemos etão escrever que: Dado = Modelo + Resíduo (D = M + R) Tukey (977) chama M de parte suave dos dados e R de parte grosseira. A aálise de R é tão importate quato a de M. Os modelos podem ser essecialmete determiísticos ou ão-determiísticos (probabilísticos ou estocásticos). Nos determiísticos as codições sob as quais um experimeto é executado determia o resultado do experimeto. Ex.: I pode ser determiado por V/R em um circuito elétrico resistivo elemetar. Nos modelos ão determiísticos usa-se uma Distribuição de Probabilidade. Estatística -

4 Ex.: Peças são fabricadas até que x peças perfeitas sejam produzidas; o úmero total de peças fabricadas é cotado. Usa-se uma distribuição, o caso a Geométrica, para a tomada de decisões..3 - População e Amostra O estudo de qualquer feômeo, seja ele atural, social, ecoômico ou biológico, exige a coleta e a aálise de dados estatísticos. A coleta de dados é, pois, a fase iicial de qualquer pesquisa. A População é a coleção de todas as observações poteciais sobre determiado feômeo. O cojuto de dados efetivamete observados, ou extraídos, costitui uma Amostra da população. É sobre os dados da amostra que se desevolvem os estudos, com o objetivo de se fazer iferêcias sobre a população.. - Aálise exploratória dos Dados Os erros e icosistêcias ocorridos a coleta de dados devem ser corrigidos. As amostras de dados devem ser agrupadas de forma que seu mauseio, visualização e compreesão sejam simplificados... - Tipos de variáveis Os dados coletados em uma primeira fase podem ser defiidos como variáveis qualitativas ou quatitativas, de acordo com a seguite figura: Variável Qualitativa Quatitativa Nomial Ordial Discreta Cotíua Estatística - 3

5 Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determiado processo, poderíamos ter: Variável Tipo Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nomial Qualidade: a, a ou 3 a categoria Qualitativa Ordial N o de peças defeituosas Quatitativa Discreta Diâmetro das peças Quatitativa Cotíua.. - Agrupametos de Dados e Distribuição de Freqüêcias Quado se vai fazer um levatameto de uma população, um dos passos é retirar uma amostra desta população e obter dados relativos à variável desejada esta amostra. Cabe à Estatística sitetizar estes dados a forma de tabelas e gráficos que coteham, além dos valores das variáveis, o úmero de elemetos correspodetes a cada variável. A este procedimeto está associado o coceito de: Dados brutos: É o cojuto de dados uméricos obtidos e que aida ão foram orgaizados. Rol: É o arrajo dos dados brutos em ordem crescete (ou decrescete). Amplitude (H): É a difereça etre o maior e o meor dos valores observados. Freqüêcia absoluta ( i ): É o úmero de vezes que um elemeto aparece a amostra: K i diferetes a amostra. = ode é o úmero total de dados da amostra e k é o úmero de valores Freqüêcia Relativa ( f i ): f i K i = e f i = i= Freqüêcia Absoluta Acumulada (N i ): É a soma da freqüêcia absoluta do valor da variável i com todas as freqüêcias absolutas ateriores. Estatística - 4

6 Freqüêcia Relativa Acumulada (F i ): F i = N i Ex.: População = Diâmetro de determiada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol : { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } H = = 5 X i f i N i F i Obs.: Esse tipo de tabela é deomiada de Distribuição de Freqüêcias Σ 0 Questão: Como implemetar um programa computacioal que foreça o rol de 000 valores de uma determiada variável, de maeira ótima?..3 - Classes As classes são um artifício para codesar o úmero de elemetos diferetes de uma amostra. Imagie costruir uma tabela para 00 valores diferetes, os moldes do problema aterior? Os pricipais pré-requisitos para uma boa defiição de classes em um cojuto de dados são: a) As classes devem abrager todas as observações; b) O extremo superior de uma classe é o extremo iferior da classe subseqüete (simbologia:, itervalo fechado à esquerda e aberto à direita); c) Cada valor observado deve equadrar-se em apeas uma classe; d) k 5, de um modo geral, sedo k o úmero de classes; e) As uidades das classes devem ser as mesmas dos dados. Estatística - 5

7 Cálculo de k (opções ão rígidas): Fórmula de Sturges: N k = + log k N ser cosiderado N = Obs.: N é o úmero de elemetos diferetes da amostra e em muitas vezes pode Geralmete, temos aida: Itervalo da classe (h): h H / k Poto médio da classe ( x i ): Poto médio etre o limite iferior e o limite superior de cada classe. Ex.: Costrução da distribuição de freqüêcias cotedo classes: X x i i ƒ i ƒ% N i F i F% Σ 50 Cofira!. Obs.: A partir dos dados que ão estão em egrito pode-se motar toda a tabela Gráficos Tradicioalmete, uma aálise descritiva dos dados se limita a calcular algumas medidas de posição e variabilidade, como média e variâcia, por exemplo. Cotrária a esta tedêcia, uma correte mais modera, liderada por Tukey, utiliza pricipalmete técicas visuais, represetações pictóricas dos dados, em oposição aos dados uméricos. Estatística - 6

8 Os pricipais gráficos serão sucitamete descritos a seguir. É importate lembrar que os moderos programas computacioais de Edição de Texto, Plailha Eletrôica e Baco de Dados facilitam em muito a maipulação com gráficos. Algus desses programas são: Word, Wordperfect, QuatroPro, Lotus, Dbase, Excell,... Histograma e polígoo de freqüêcia. ƒ i ou i ƒ i ou i Histograma alisado Classe x x As áreas dos retâgulos são proporcioais às freqüêcias e o polígoo utiliza os potos médios das classes. O histograma alisado é obtido quado o itervalo da classe é dimiuído suficietemete para que uma curva cotíua possa ser traçada. Tal curva é muito útil para ilustrar rapidamete qual o tipo de comportameto que se espera para a distribuição de uma dada variável. No capítulo referete a variáveis aleatórias cotíuas, voltar-se-á a estudar esse histograma sob um poto de vista mais matemático. Ex.: Costrução da tabela de distribuição de freqüêcias a partir do histograma de classes desiguais. i x X i f i / / / /4!! Σ 4 Estatística - 7

9 Ogiva (De Galto) N i,f i x A ogiva utiliza os potos extremos das classes e é usado em freqüêcias acumuladas. Tal gráfico pode forecer iformações adicioais por meio de simples operações gráficas. Ex.: Para um valor de F i correspodedo a 0.5 (50%) pode-se chegar à mediaa ( ~ x ) do cojuto de observações: F i 0,5 ~ x x Gráficos em barras (ou coluas) i f i x As distribuições ão evolvem classes ou são qualitativas. Estatística - 8

10 Gráfico de potos x Para pequea quatidade de elemetos. Gráfico em setores 40% 0% 30% 0% As subdivisões são mesuráveis. Gráfico em liha f i, i x classe Um dos mais utilizados. Não há observações itermediárias Ramo-e-folhas Estatística - 9

11 Alterativo ao gráfico, o Ramo-e-Folhas é uma boa prática (sempre que possível), ao se iiciar uma aálise de dados.temos aqui: x Ramos x x Folhas x x x x x x x x Ex.: A igestão diária média, per capita, em gramas, de proteías para 33 países desevolvidos é: Costrução do ramo-e-folhas: ou Estatística - 0

12 Exercícios I 0) Os pesos dos jogadores de um time de futebol variam de 75 a 95 quilos. Quais seriam os extremos se quiséssemos grupá-los em 0 classes? 0) em certa época, os salários mesais dos operários de uma idústria eletrôica variavam de.500 a 3.50 uidades moetárias. Quais seriam os extremos se quiséssemos grupálos em seis classes? 03) Os úmeros de lugares vagos em vôos etre duas cidades foram agrupados as classes ou mais. Com esta distribuição é possível determiar o úmero de vôos em que há: (a) meos de 0 assetos vagos; (b) mais de 0; (c) ao meos 9; (d) o máximo 9; (e) exatamete 5; (f) etre 0 e 5? 04) Os potos médios de uma distribuição de leituras de temperaturas são 6, 5, 34, 43, 5, 6. Determiar os limites de classe e o itervalo de classe. 05) Para agrupar os dados relativos ao úmero de dias chuvosos em julho durate os últimos 50 aos, um meteorologista utilizou as classes 0 5, 6, 6, 8 4, 4 3. Explique ode pode surgir dificuldades. 06) Costruir o histograma para a distribuição de freqüêcias abaixo: N o Empregados i Represetar o Histograma alisado. Exercícios I -

13 07) Para distribuição de freqüêcia abaixo, costruir a ogiva de Galto. Salários i 4,00 8,00 0 8,00,00,00 6,00 8 6,00 0,00 5 0,00 4,00 Aproximadamete, qual o salário S tal que 50% dos fucioários gaham meos que S. 08) Os dados abaixo referem-se à produção em toeladas, de dado produto, para 0 compahias químicas (umeradas de a 0). (,50), (,80), (3,50), (4,70), (5,80) (6,500), (7,50), (8,00), (9,050), (0,40) (,80), (,000), (3,00), (4,0), (5,400) (6,500), (7,480), (8,90), (9,870), (0,360) Costruir o ramo-e-folhas das produções. Exercícios I -

14 .3 - Medidas Estatísticas A redução dos dados através de ramo-e-folhas e tabelas de freqüêcias forece muito mais iformações sobre o comportameto de uma variável do que a própria série origial de dados. Cotudo, muitas vezes queremos resumir aida mais esses dados, apresetado um ou algus valores que sejam represetativos da série toda. Quado usamos um só valor, obtemos uma redução drástica dos dados. As pricipais medidas estatísticas (ou simplesmete estatísticas) referem-se às medidas de posição (locação ou tedêcia cetral) ou às medidas de dispersão (ou variabilidade):.3. - Medidas de posição Mostram o valor represetativo em toro do qual os dados tedem a agrupar-se com maior ou meor freqüêcia. Média Aritmética simples (x ) (ou simplesmete média) x + x + L+ x x = x i = = Usada em dados ão agrupados em classes. i Média Aritmética poderada (também x ) x = xp + xp + L+ x p p + p + L+ p i = = i= xp i p i i ode, p i = peso da amostra x i Agora, para dados agrupados em classes, temos: x i i i= x = = x i i = i i= i = i= x f i i Estatística -

15 A média aritmética simples pode ser vista como a média poderada com todos os pesos iguais. Para efeito de omeclatura sempre trataremos a média aritmética simples ou poderada simplesmete por média (x ). Mediaa ( ~ x ) É o valor do meio de um cojuto de dados, quado os dados estão dispostos em ordem crescete ou decrescete. Para dados ão agrupados em classes: Se é ímpar ~ x + = o termo Se é par ~ x o = + + termo o termo Ex.: { } 35, 36, 37, 38, 40, 40, 4, 43, 46 x ~ = ,,,,,,, ~ + x = = 5, 5 { } Média Mediaa A média é muito sesível a valores extremos de um cojuto de observações, equato a mediaa ão sofre muito com a preseça de algus valores muito altos ou muito baixos. A mediaa é mais robusta do que a média. Devemos preferir a mediaa como medida sitetizadora quado o histograma do cojuto de valores é assimétrico, isto é, quado há predomiâcia de valores elevados em uma das caudas. Ex.: { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 50 } x = 345, 7 x ~ = 300 Tato x como ~ x são boas medidas de posição. Ex.: { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 300 } x = 60 ~ x = 300 Devido ao valor 300, ~ x é preferível a x. Percetis Estatística -

16 O percetil de ordem 00.p, 0 p, de um cojuto de valores dispostos em ordem crescete é um valor tal que (00 p)% das observações estão ele ou abaixo dele e 00 ( - p)% estão ele ou acima dele. Os percetis de ordem 5,50 e 75 são chamados de quartis. Represetam-se por Q, Q e Q 3. Naturalmete Q = ~ x. Os decis são os percetis de ordem 0, 0, Ex.: Para valores de 5 a 00, ordeados crescetemete: Q deixa 5% dos dados (,5 3 valores) ele ou abaixo dele e 75% dos dados (37,5 38 valores) ele ou acima dele. Assim: Q = 63. Similarmete, P 80 deixa 80% dos dados (40 valores) ele ou abaixo dele e 0% dos dados (0 valores) ele ou acima dele. Assim: P 80 = = 90, 5 Obs.: Os programas computacioais usam regras de iterpolação para o cálculo de percetis e diferem ligeiramete dos valores acima (No Excel, por exemplo, Q = 63,5) Para dados agrupados em classes, os percetis podem ser obtidos por iterpolação liear (regra de três simples). Para P 50 = Q = ~ x, por exemplo, temos: ( ) ~ N x = L i + i a h O exemplo a seguir explica os termos desta fórmula. Faça a associação! Ex.: Dada a distribuição de freqüêcia de uma variável X qualquer: X x i i N i,80,8,86 7 7,8,834,88 4,834,846, ,846,858, ,858,870, Temos que, para ( ~ x ), o 5 o elemeto (50% de 50), está a terceira classe: Estatística - 3

17 8 8% % 8% 36% ~ x x Logo ~ x = ~ x 834 =. 36% 8% Um outro processo gráfico pode ser usado para o cálculo desses percetis. (Veja Ogiva de Galto). Tal processo exige rigor o traçado e deve-se preferir papel milimetrado. Obs.: As calculadoras geralmete ão forecem mediaa e percetis. A Média Aparada (ou média itera) É obtida elimiado do cojuto as m maiores e as m meores observações. Geralmete,,5% m 5% dos dados. Esta elimiação correspode, a realidade, à supressão dos valores extremos - muito altos ou muito baixos. Tal média represeta um valor etre x e ~ x. Ex.: { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 300 } xm ( = ) = = 34 5 A moda e a classe modal (m o ) É o valor que represeta a maior freqüêcia em um cojuto de observações idividuais. Para dados agrupados temos a classe modal. Em algus casos pode haver mais de uma moda. Assim temos uma distribuição bimodal, trimodal, etc... Ex.: Estatística - 4

18 m o x X x i i Classe Modal Distribuição Bimodal m o I m o II x Obs.: A moda geralmete ão é forecida em calculadoras Medidas de dispersão ou Variabilidade Quase uca uma úica medida é suficiete para descrever de modo satisfatório um cojuto de dados. Tora-se etão ecessário estabelecer medidas que idiquem o grau de dispersão em relação ao valor cetral. Nos seguites cojutos de dados, por exemplo: A = { 3, 4, 5, 6, 7 } B = {, 3, 5, 7, 9 } C = { 5, 5, 5, 5 } D = { 3, 5, 5, 7 } E = { 3.5, 5, 6.5 } F = { -000, 5, 000 } Temos em todos eles a mesma média. A idetificação de cada um desses Estatística - 5

19 cojutos de dados pela sua média ada iforma sobre as diferetes variabilidades dos mesmas. Algumas medidas que sitetizam essa variabilidade são: Amplitude (H): Como ateriormete defiida, H tem o icoveiete de levar em cota somete os dois valores extremos, o maior e o meor deles. Desvio Médio (DM(x)), Variâcia (S,Var(X) ou σ ) e Desvio Padrão (S,DP(X) ou σ): Aqui o pricípio básico é aalisar os desvios das observações em relação à média das observações. Em A = { 3, 4, 5, 6, 7 },por exemplo, os desvios x i - x são: -, -, 0,,. É fácil ver que a soma dos desvios, é ideticamete ula e que portato ão serve como medida de dispersão: ( x x) = x x = x x 0 i = i = i = Duas opções para aalisar os desvios das observações são: a) cosiderar o total dos desvios em valor absoluto ou; b) cosiderar o total dos quadrados dos desvios. Assim, para o cojuto A, teríamos, respectivamete 5 i = x i x = = 6 e 5 ( xi x) i = = = 0 Associado estas medidas à média, temos: DM(x)= i = x i x que é o desvio médio. Estatística - 6

20 ( xi x) S = i = que é a variâcia ( Var(x)) Sedo a variâcia uma medida que expressa um desvio quadrático médio, é coveiete usar uma medida que expresse a mesma uidade dos dados origiais. Tal medida é o desvio padrão S (ou DP(x)), dada por: S = S O uso do DM(x) pode causar dificuldades quado comparamos cojutos de dados com úmero diferetes de observações. Ex.: Em A = { 3, 4, 5, 6, 7 } temos: DM(x) = 6/5 =. e S = 0/5 = Em D = { 3, 5, 5, 7 } temos: DM(x) =,0 e S =,0 Assim, podemos dizer que, segudo o Desvio Médio, o Grupo D é mais homogêeo (tem meor dispersão) do que A, equato que ambos tem a mesma homogeeidade segudo a variâcia. O desvio médio possui pequea utilização em estatística e em geral vale 0.8 vezes o desvio padrão O cálculo do desvio padrão exige o cálculo prévio da variâcia e uma fórmula alterativa para S é dada por: S = xi i = i = ( xi x) = x (Cofira!) Relacioados à iferêcia estatística, algus autores usam ( - ) como divisor para a variâcia: S = ( xi x) i =, e isto será visto adiate (tedeciosidade). Estatística - 7

21 Obs.: Muitas calculadoras cietíficas possuem duas medidas para desvio padrão. Uma associada à divisão por (simbolizada geralmete por σ ou σ ) e outra associada à divisão por - (chamada também de ão-polarizada, simbolizada geralmete por S ou σ - ). Verifique a simbologia usada pela sua calculadora, caso você possua uma! Para dados agrupados em classes, a variâcia é dada por: S = K ( i ) x x i i = ou K ( i ) S = x x i = f i S K = x i= i f x i ou S K = x i= i i x É ituitivamete claro que a multiplicação de cada parcela (x i - x ) por i sigifica a repetição dos desvios quadrados (x i - x ), i vezes. Mometos de uma distribuição de frequêcias Defiimos o mometo de ordem t de um cojuto de dados como M t x i = = t i Defiimos o mometo de ordem t cetrado em relação a uma costate a como M t ( xi a) i= = t Especial iteresse tem o caso do mometo cetrado em relação a x, dado por m t = ( x x) i= i t Coforme já vimos os casos da média e da variâcia, as expressões precedetes podem ser reescritas levado-se em cosideração as frequêcias dos diferetes valores existetes. Temos etão respectivamete, Estatística - 8

22 M t = i= x t i f i M a t = i= t ( x a) f i i m t = i= t ( x x) f i i É fácil ver que: M = x ; m =0; m =s Escores padroizados (z i ) No cotexto de um úico cojuto de dados, o desvio padrão pode ser iterpretado ituitivamete como uidade atural de dispersão de dados. Essa iterpretação é utilizada a costrução de escores padroizados de larga utilização: z i x = i x s Repare que: i) x i - x cosidera o afastameto de x i em relação à média. ii) A divisão por s toma s como uidade ou padrão de medida. Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguites dados: Grupo Peso médio Desvio Padrão A 66.5 kg 6.38 kg B 7.9 kg 7.75 kg Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamete, 8. kg e 88.0 kg. Usado o coceito de escore padroizado podemos ver que: Estatística - 9

23 8, 66, 5 em A : z A = = 3, e 638, em B : z B = 88 7, 9 = 95, 775, Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso. Coeficiete de variação (cv) cv = S x cv exprime a variabilidade em termos relativos. É uma medida adimesioal e sua grade utilidade é permitir a comparação das variabilidades em diferetes cojutos de dados. Ex.: Testes de resistêcia à tração aplicados a dois tipos diferetes de aço: x (kg/mm ) s (kg/mm ) Tipo I 7,45,0 Tipo II 47,00 7,5 cv I = = 7, 45 7, 5 79, % cv II = =, 73% 47 Assim, apesar do Tipo I ser meos resistete, é ele mais estável, mais cosistete. O uso do coeficiete de variação pode ser pesado cosiderado a questão: Um desvio padrão de 0 se a média é é bem diferete se a média é 00! Outros Tópicos: Assimetria e Curtose Box Plots (Método dos cico úmeros) Estatística - 0

24 Exercícios II 0) Mostre que: ( a ) ( xi x) = 0 i= ( b ) ( ) x x = x x = x i i= i= i= k k i xi x = ixi x i= i= k k fi xi x = fixi x i= i= ( c ) ( ) ( d ) ( ) i ( x ) i 0) O cojuto abaixo represeta as otas do exame fial de uma determiada turma: a) Costruir uma distribuição de freqüêcia, adotado um itervalo de classe coveiete, o histograma e o polígoo de freqüêcia. Costruir o ramo-e-folha. (Sugerem-se classes de tamaho 0, a partir de 0.) b) Calcular a média, o desvio padrão, a mediaa, o o quartil e o 65 o percetil. c) Resolver (b) graficamete o que couber, com auxílio da ogiva de freqüêcia acumuladas. 03) Dado o histograma abaixo, calcular a média, a variâcia, a mediaa e o 3 o quartil. Sabese que o úmero total de observações é Exercícios II -

25 04) Dado o cojuto de observações ( a ) Determiar os quartis. ( b ) Calcular a média aparada com m =. ( c ) A média aparada praticamete coicide com a média aritmética simples. Por quê? 05) Esboce o histograma de uma distribuição que teha média e mediaa iguais. 06) Costruir dois cojutos de dados de mesma amplitude mas com variabilidade diferetes. 07) Por egao, um professor omitiu uma ota o cojuto de otas de 0 aluos. Se as ove otas restates são 48, 7, 79, 95, 45, 57, 75, 83, 97 e a média das 0 otas é 7, qual o valor da ota omitida. 08) Em certo ao, uma uiversidade pagou a cada um de seus 45 istrutores um salário médio mesal de R$.500, a cada um de seus 67 assistetes R$.000, a cada um de seus 58 adjutos R$.600 e a cada um de seus 3 titulares R$ Qual o salário médio mesal dos 0 docetes? 09) São os seguites os úmeros de aluos e respectivos QI médios em três estabelecimetos de esio: Estabelecimeto N o de Aluos QI Médio A B 55 0 C Qual é o QI médio global dos três estabelecimetos? Que tipo de média foi utilizada? 0) Alega-se que, para amostras de tamaho = 0, a amplitude amostral deve ser aproximadamete três vezes o desvio padrão. Verifique a alegação com relação aos seguites dados que represetam a velocidade de 0 carros croometrados em um posto de cotrole: (Km/h). Exercícios II -

26 ) Calcule x, S e S para os dados abaixo, ode os valores de x são potos médios de itervalos. Determie o escore padroizado para x = 80: x i i ) Tempos, em miutos, de espera uma fila de ôibus, durate 3 dias, de um cidadão que se dirige diariamete ao seu emprego: Calcular a média, a mediate e a moda. 3) Dada a seguite distribuição de idades dos membros de uma sociedade, Idade x i i Idade x i i Calcular: a) x e s; b) x ~, Q, Q 3 ; c) o quartil médio dado por ( Q Q ) d) o itervalo iterquartil Q 3 - Q ; + ; 3 e) o itervalo semi-iterquartil dado por ( Q Q ). 3 Nota: o quartil médio é às vezes usado como medida de tedêcia cetral em lugar da média. O itervalo iterquartil e o itervalo semi-iterquartil são usados como medidas de variabilidade. 4) Para comparar a precisão de dois micrômetros, um técico estuda medidas tomadas com ambos os aparelhos. Com um mediu repetidamete o diâmetro de uma pequea esfera de rolameto; as mesurações acusam média de 5,3 mm e d.p. de 0,09 mm. Com outro mediu o comprimeto atural de uma mola, tedo as mesurações acusado média Exercícios II - 3

27 de 6,4 cm e d.p. de 0,03 cm. Qual dos dois aparelhos é relativamete mais preciso? 5) Uma pesquisa sobre cosumo de gasolia deu os seguites valores para a quilometragem percorrida por três marcas de carro (de mesma classe), em cico testes com um taque de 40 l: Carro A Carro B Carro C Qual a medida mais adequada para comparar o desempeho dos carros? 6) O que acotece com a mediaa, a média e o desvio padrão de uma série de dados quado: a) Cada observação é multiplicada por ; b) Soma-se 0 a cada observação; c) Subtrai-se a média geral x de cada observação; d) De cada observação subtrai-se x e divide-se pelo desvio padrão. 7) A tabela abaixo mostra o tempo gasto por empregados uma determiada operação em uma fábrica: Tempo (mi) Freqüêcia desses fucioários? (tempo de 50 fucioários) a) Esboce o histograma correspodete; b) Calcule a média, o desvio padrão; c) O presidete decide separar os fucioários mais rápidos (com tempo iferior a um desvio padrão abaixo da média) para receberem promoção. Qual a porcetagem 8) Em testes de resistêcia à tração aplicados a um tipo de aço, obteve-se um coeficiete de variação de 8%. O escore padroizado obtido para uma resistêcia de 8 kg/mm foi de -0,4. a) Qual a resistêcia média? b) Qual o desvio padrão? c) O que sigifica o resultado egativo do escore padroizado? Exercícios II - 4

28 9) O histograma abaixo descreve o tempo (em mi) gasto por fucioários de uma fábrica em uma determiada operação: 50 i t a) Costrua a distribuição para o histograma; b) Calcule a média e o desvio padrão; c) O presidete decide demitir os fucioários mais letos (com tempo superior a meio desvio padrão acima da média). Qual a porcetagem desses fucioários? Exercícios II - 5

29 .4 - Aálise Bidimesioal Aqui, o iteresse reside em aalisar o comportameto cojuto de duas variáveis e de um modo geral, podemos represetar tais variáveis utilizado uma tabela de dupla etrada, ou seja, uma Distribuição Cojuta das freqüêcias das variáveis. Assim, para duas variáveis X= x i, com i =,,...k e Y= y j com j =,,... l, temos: X Y L L L L L L L j j L j L M M M M M M M M M M M M M M M M Total L j L L Total i i i L i j L i L i k k k L k j L k L k Ode: ij = úmero de elemetos pertecetes ao i-ésimo ível da variável X e j-ésimo ível da variável Y. L i ij j = j = K ij i = = = úmero de elemetos do i-ésimo ível da variável X. = úmero de elemetos do j-ésimo ível da variável Y. K L = = = ij i i = j = i = j = K L j = o total de elemetos. seguite modo: De modo aálogo, podemos defiir as freqüêcias relativas (proporções) do f ij ij i j =, fi = e f j =. Estatística -

30 Uma outra freqüêcia que pode ser costruída é aquela para a qual se matém fixa uma liha. Para a i-ésima liha fixa, temos etão: f ji = ij i ( leia-se freqüêcia de j, dado i ), que é a proporção detre os idivíduos do i-ésimo ível X que possuem a j-ésima característica de Y. Aalogamete, temos: f i j = ij j Ex.: Sejam as seguites variáveis: X Curso escolhido Y Aluos segudo sexo. Xi Yj Masculio Femiio Total Ecoomia Admiistração Total ( Tabela A ) Distribuição cojuta das freqüêcias das variáveis X e Y. A liha e colua de totais são chamados de margiais. Uma tabela (detre outras possíveis) poderia ser escrita a partir da Tabela A: Xi Yj Masculio Femiio Total Ecoomia 6% 58% 60% Admiistração 39% 4% 40% Total 00% 00% 00% ( Tabela B ) Distribuição cojuta das proporções em relação aos totais de cada colua. Nesse caso, temos f i j = ij j.4. - Idepedêcia de variáveis Um dos pricipais objetivos de uma distribuição cojuta é descrever a Estatística -

31 associabilidade existete etre as variáveis, isto é, queremos cohecer o grau de depedêcia etre elas, de modo que possamos prever melhor o resultado de uma delas, quado cohecemos a realização da outra. Ex.: A partir de uma reda familiar podemos estimar a classe social de uma pessoa, pois sabemos da existêcia de depedêcia etre essas duas variáveis. Usado uma distribuição cojuta, como a forecida pela Tabela A, verificamos que fica relativamete difícil tirar alguma coclusão, devido à difereça etre os totais margiais. Por outro lado, usado a Tabela B, podemos observar que idepedetemete do sexo, 60% das pessoas preferem ecoomia e 40%, admiistração (observe a colua de total). Não havedo depedêcia etre as variáveis, esperaríamos estas mesmas proporções para cada sexo. De fato, vemos que as proporções do sexo masculio ( 6% e 39% ) e do femiio ( 58% e 4% ) são próximas das margiais ( 60% e 40% ). Esses resultados parecem idicar ão haver depedêcia etre as duas variáveis. X e Y são portato variáveis idepedetes. Sociais. Observe agora a depedêcia quado os cursos são Egeharia e Ciêcias Y X Masculio Femiio Total Egeharia 00 (83%) 0 (7%) 0 (00%) C. Sociais 0 (5%) 60 (75%) 80 (00%) Total 0 (60%) 80 (40%) 00 (00%) ( Tabela C ) Distribuição cojuta das proporções em relação aos totais de cada liha. Nesse caso, temos f ji = ij i.4. - Coeficiete de Cotigêcia ( C ) Existem algumas medidas que quatificam a depedêcia etre variáveis omiais. Uma delas é o chamado coeficiete de cotigêcia, C, devido a Pearso. Tal coeficiete varia etre 0 e, e a proximidade de 0 idica total idepedêcia. Ex.: O cálculo de C pode ser etedido por meio do seguite exemplo, ode queremos verificar se a criação de determiado tipo de cooperativa está associada com algum fator regioal. A tabela a seguir, sitetiza os dados coletados (Dados observados, o ij ). Estatística - 3

32 Estado Tipo de Cooperativa Cosumidor Produtor Escola Outros Total São Paulo 4 (33%) 37 (37%) 78 (%) 9 (8%) 648 (00%) Paraá 5 (7%) 0 (34%) 6 (4%) ( 7%) 30 (00%) Rio G.Sul (8%) 304 (5%) 39 (3%) 48 ( 8%) 60 (00%) Total 376 (4%) 643 (4%) 343 (%) 89 (%) 55 (00%) (Tabela D) Distribuição co-juta das propor-ções em relação aos totais de cada liha. f ji / ij =. i Tal tabela mostra a existêcia de uma certa depedêcia etre as variáveis. Caso houvesse idepedêcia, esperaríamos que em cada estado tivéssemos 4% de cooperativas de cosumidores, 4% de produtores, % de escolas e % de outros. Uma ova tabela, tabela E, poderia ser agora costruída, ode teríamos todos os valores esperados (e ij ) caso as variáveis fossem idepedetes. É ela dada a seguir: Estado Tipo de Cooperativa Cosumidor Produtor Escola Outros Total São Paulo 56 (4%) 7 (4%) 4 (%) 78 (%) 648 (00%) Paraá 7 (4%) 7 (4%) 66 (%) 36 (%) 30 (00%) Rio G.Sul 44 (4%) 54 (4%) 3 (%) 7 (%) 60 (00%) Total 376 (4%) 643 (4%) 343 (%) 89 (%) 55 (00%) (ij = f i j) (Tabela E) Distribuição coju-ta dos valores es-perados em relação aos totais das lihas. Comparado as Tabelas D e E, podemos verificar as discrepâcias existetes etre os valores observados (o ij ) e os esperados (e ij ). Na próxima tabela, (F), evideciamos essa discrepâcia : Estatística - 4

33 Estado Tipo de Cooperativa Cosumido Produtor Escola Outros r São Paulo Paraá Rio G. Sul (Tabela F) Desvios etre dados observados e esperados. (ij = oij e ij ) Observe que: i) A soma em cada liha é ula (soma dos resíduos) ii) Em Escola - São Paulo, temos: o ij = 78 e ij = 4 o ij - e ij = -64 Em Escola - Paraá, temos: o ij = 6 e i = 66 o ij - e ij = 60 É fácil ver que em relação aos valores esperados (e ij ), o desvio em Escola - Paraá (60) é maior do que o desvio em Escola - São Paulo (-64).Uma maeira de observar melhor esses desvios relativos a e ij é cosiderar a seguite medida: ( oij eij ) e ij, que para Escola - São Paulo fica: ( 64) 4 = 8, 84 e para Escola - Paraá fica: ( ) = 54, 54 A tabela a seguir idica todos os valores desses desvios relativos a e ij : Estatística - 5

34 Estado Tipo de Cooperativa Cosumido Produtor Escola Outros r São Paulo,56 4,50 8,84,55 Paraá 6, 4,9 54,54 5,44 Rio G. Sul 7,56 9,84 0,37 8,00 (Tabela G) Desvios etre dados observados e esperados. ij = ( oij eij ) e ij Uma medida de afastameto global pode ser dada pela soma de todos os valores da tabela G. Essa medida possui distribuição de χ (qui-quadrado) e, o osso exemplo temos: χ = i j ( oij eij ) e ij =, , + L + 8, 00 = 73, 4 Quato maior for o valor de χ, maior será o grau de associação existete etre as duas variáveis. Pearso propôs o chamado coeficiete de cotigêcia C defiido por C = χ χ + por: ode 0 C, sedo C= 0 quado χ = 0. Uma melhor aproximação de C para avaliar a idepedêcia de variáveis é dado C = C t t Ode t = míimo etre o úmero de coluas e o úmero de lihas da tabela. Assim, para o osso exemplo, temos: C = 73, 4 = 03, e 73, Hipóteses 03, C = = 040, 3 A quatificação dessa idepedêcia poderá ser vista futuramete em Testes de Estatística - 6

35 Coeficiete de correlação (r) Um procedimeto útil para se verificar a associação etre variáveis quatitativas é o gráfico de dispersão, que ada mais é do que a represetação dos pares de valores (uvem de potos) em um sistema cartesiao. Admitamos um gráfico de dispersão como os dados a seguir, ode, através de uma trasformação coveiete a origem foi colocada o cetro da uvem de potos: (A) (B) (C) Em ( A ) os dados possuem uma certa associação liear direta (ou positiva). Observado-os, otamos que a grade maioria dos potos está situada o primeiro e terceiro quadrates, ode as coordeadas têm o mesmo sial e portato o produto será sempre positivo. Se somarmos o produto das coordeadas de todos os potos, o resultado será um úmero positivo. Em ( B ), usado o mesmo procedimeto, o resultado será egativo. Em ( C ), o resultado será ulo. Obs.: A soma dos produtos das coordeadas depede, e muito, do úmero de potos e tora-se difícil comparar essa medida para dois cojutos diferetes de potos. Isto é ateuado usado-se a média da soma dos produtos das coordeadas. Ex.: Supoha que o osso desejo seja o de quatificar a associabilidade etre duas variáveis relacioadas a cico agetes de uma seguradora. Assim, temos: X Aos de experiêcia do agete. Y Número de clietes do agete. A tabela e o gráfico de dispersão seguites mostram os dados obtidos: Estatística - 7

36 Agete X Y A 48 B 4 56 C 5 64 D 6 60 E 8 7 Total O primeiro problema que devemos resolver é a mudaça da origem do sistema para o cetro da uvem potos. O poto mais coveiete é aquele formado pelas duas médias ( x, y ). A trasformação dos eixos x em x x e y em y y resolve esse problema. Observado esses valores cetrados, verificamos que aida existe um problema quato à escala. A variabilidade em Y é muito maior do que em X, e o produto das coordeadas ficará muito mais afetado pelos resultados de Y do que de X. Para corrigir isso, podemos reduzir as duas variáveis a uma mesma escala. Isso é obtido dividido-se os desvios pelos respectivos desvios padrões. Observe isso a figura a seguir: y y 3 z y = y y s y x x z - -3 x x x = s x Assim, podemos motar a seguite tabela: Estatística - 8

37 Agete x y x x y y x x y y = z = z x s s y x y z x. z y A ,5 B ,5 C D E ,5 Total ,75 x = 5 S x = y = 60 S y = 8 Para completar a defiição da medida descrita o iício desse tópico, basta calcular a média dos produtos das coordeadas reduzidas, isto é a correlação liear etre X e Y, dada por: 475, r = Correlação ( XY, ) = = 095, = 95 % 5 Portato, para este exemplo, o grau de associabilidade está quatificado em 95%. Da discussão feita até aqui, podemos defiir o coeficiete de correlação etre duas variáveis X e Y, dados pares ordeados ( x, y ), ( x, y ) L( x, y ) como sedo: r = X Y = Corr (, ) zx z i yi = i= i= xi x yi y sx sy ou seja, a média dos produtos dos valores reduzidos da variável. Costuma-se usar outras fórmulas para r: ( xi x)( yi y) Covariâcia ( XY, ) r = =, ou aida s s s s r = x y x y xy i i xy ( x x )( y y ) i i Obs.: Pode-se demostrar que r. Ateção: A correlação apresetada aqui é liear. Existem outros tipos de correlação! Estatística - 9

38 Exercícios III 0) No estudo de uma certa comuidade verificou-se que: I. A proporção de idivíduos solteiros é de 0,4; II. A proporção de idivíduos que recebem até 0 salários míimos é de 0,; III. A proporção de idivíduos que recebem até 0 salários míimos é de 0,7; IV. A proporção de idivíduos casados etre os que recebem mais de 0 salários míimos é de 0,7; V. A proporção de idivíduos que recebem até 0 salários míimos etre os solteiros é de 0,3. a) Costrua a distribuição cojuta das variáveis estado civil e faixa salarial e as respectivas distribuições margiais; b) Você diria que existe relação etre as duas variáveis cosideradas? 0) Uma amostra de 00 habitates de uma cidade foi colhida para aalisar a atitude frete a um certo projeto goverametal. O resultado foi o seguite: Local de Residêcia Opiião Urbao Suburbao Rural Total A favor Cotra Total a) Calcule as proporções em relação ao total das coluas b) Você diria que a opiião idepede do local de residêcia? c) Ecotre uma medida de depedêcia etre as variações 03) Numa amostra de 5 operários de uma dada empresa, foram observadas duas variáveis; sedo X os aos de experiêcia um dado cargo e Y o tempo, em miutos, gasto a execução de uma certa tarefa relacioada com esse cargo. X Y x = 6 x = 6 y = y = 30 x.y = 53 Exercícios III -

39 Usado um critério estatístico, você diria que a variável X pode ser usada para explicar a variação de Y? Justifique. 04) Muitas vezes, a determiação da capacidade de produção istalada para certo tipo de idústria em certas regiões é um processo difícil e custoso. Como alterativa, pode-se estimar a capacidade de produção através da escolha de uma outra variável de medida mais fácil e que esteja liearmete relacioada com ela. Supoha que foram observados os valores para as variáveis: capacidade de produção istalada, potêcia istalada e área costruída. Com base um critério estatístico, qual das variáveis você escolheria para estimar a capacidade de produção istalada? X capacidade de produção istalada (to) Y potêcia istalada (.000 kw) Z área costruída (00 m) x = 80; y = 38; z = 00; x = 736; y = 8; z = 048; x.y = 36; x.z = 848; y.z = 4. Exercícios III -

40 Capítulo - Probabilidades e Variáveis Aleatórias. - Itrodução à Probabilidade A probabilidade em termos práticos é uma medida que exprime a icerteza presete em situações ode os resultados são variáveis. Um experimeto aleatório (ou experimeto ão-determiístico) é o processo de coleta de dados relativos a um feômeo que acusa variabilidade em seus resultados. aleatório. Um Espaço Amostral (E) é o cojuto de todos os resultados de um experimeto Um Eveto é um subcojuto de um espaço amostral. Os pricipais tipos de evetos são (cosidere A E e B E ): Eveto Simples: O úmero de elemetos do eveto é igual a, (A) =. Eveto Impossível: A = Φ, (A)=0 Eveto Certo: A = E A Eveto Complemetar: A = E A=C E Eveto Iterseção: A B Eveto Uião: A B Evetos Mutuamete Excludetes (ou Exclusivos): A B=Φ Obs.: Devido ao cálculo de probabilidade evolver operações etre cojutos, o aexo I, ao fial desse capítulo, descreve sucitamete a Teoria Axiomática da Álgebra de Boole aplicada a cojutos. A probabilidade, em sua defiição clássica pode ser assim defiida: Dado um espaço amostral E com (E) elemetos e um eveto A de E com (A) elemetos, a probabilidade do eveto A é o úmero P(A) tal que: PA ( ) = Na prática: P(A) = o casos favoráveis o casos possíveis A ( ) E ( ) Probabilidades -

41 Obs.: A feqüêcia relativa f i = i / comumete é associada à probabilidade. Essa associação os leva a diversas distribuições de probabilidade. Atualmete, pricipalmete devido a Kolmogorov, um grade matemático russo, o cálculo de probabilidades costitui uma Teoria Matemática com suas defiições, axiomas, teoremas e demostrações. As regras básicas que costituem essa teoria são vistas a seguir. axiomas: Cosideremos um espaço amostral E com A e B evetos de E, com os seguites A : 0 P(A) A : P (E) = A 3 : Para qualquer A, A,... A i, Exclusivos ( Ai Aj = Φ i j), temos que k P U Ai = P( Ai ) k i= i= Algus teoremas dessa teoria são: T : P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) T : P( A) = P( A) T 3 : Se A B etão P( A) P( B) T: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 P A B C = P A + P B + P C P A C P A B) PB ( C) + PA ( B C) Obs.: Demostre os teoremas T a T 4.. Obs.: Uma breve revisão de Aálise Combiatória está descrita o aexo II. Este cohecimeto é muito útil a determiação do úmero de elemetos de um eveto qualquer.. - Probabilidade Codicioal e Idepedêcia de Evetos Para dois evetos quaisquer A e B, sedo P(B) > 0 defiimos a probabilidade codicioal de A, dado B, P(A B), como sedo PA ( B) P(A B) = PB ( ) Obs.: Eteda tal defiição a partir do seguite gráfico: Probabilidades -

42 A E B ocorreu o eveto A B ocorreu o eveto B P( A B) = ( A B) ( A B) ( E) = B ( ) B ( ) E ( ) = P( A B) PB ( ) A partir da defiição de probabilidade codicioal obtemos a chamada regra do produto de probabilidades: de larga utilização. P( A B) = P( B) P( A B), Dois evetos A e B são deomiados idepedetes se a ocorrêcia de um deles ão iterfere a ocorrêcia do outro. Neste caso: P( A B) = P( B) P( A B) = P( A) P( B A) = P( A) P( B) Obs.: É freqüete, aqui, adotarmos P(A B) = P(AB) Se E, E,... E são evetos de um espaço amostral E, etão tais evetos são mutuamete idepedetes se: P(E E E 3... E ) = P(E ). P(E ). P(E 3 )... P(E ) Probabilidades - 3

43 Ex.: A fudação de um alto edifício pode ceder devido a falhas do tipo Bearig ou do tipo Settlemet. Seja B e S os respectivos modos de falha. Se P(B) = 0.%, P(S) = 0.8% e P(B S) = 0% (Probabilidade de falha B devido a falha S). A probabilidade de falha da fudação pode ser dada por: P (Falha) = P (B S) = P (B) + P (S) - P (B S) = P (B) + P (S) - P (B S). P(S) = (0.) (0 008) = 0.08 = 8,% A probabilidade de que o edifício teha falha S mas ão teha falha B é: ( B) = PB ( S) = PS ( ) PBS ( ) PS [ ] = PS ( ) PBS ( ) = [ 0. ] = = 0.7% Em um grade úmero de aplicações, teremos que adotar a hipótese de idepedêcia de dois evetos A e B, e depois empregar essa suposição para calcular P(A B) como igual a P(A). P(B). Geralmete, codições físicas sob as quais o experimeto seja realizado torarão possível decidir se tal suposição será justificada ou aproximadamete justificada. Ex.: Cosideremos um grade lote de peças, digamos Admitamos que 0% dessas peças sejam defeituosas e 90% perfeitas. Duas peças são extraídas. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas? Defiamos os evetos A e B, assim A = { A primeira peça é perfeita} B = { A seguda peça é perfeita} Se admitirmos que a primeira peça seja reposta, ates que a seguda seja escolhida, etão os evetos A e B podem ser cosiderados idepedetes e, portato, P(A B) = P(A). P(B) = (0.9) (0.9) = 0.8. Probabilidades - 4

44 este caso, Na prática, cotudo, a seguda peça é escolhida sem a reposição da primeira peça; P(A B) = P(A). P(B A) = (0.9) que é aproximadamete igual 0.8. Assim, muito embora A e B ão sejam idepedetes o segudo caso, a hipótese de idepedêcia (que simplifica cosideravelmete os cálculos) acarreta apeas um erro desprezível. Se existissem somete poucas peças o lote, a hipótese de idepedêcia poderia acarretar um erro grade... - Cofiabilidade A teoria da cofiabilidade estuda sistemas e seus compoetes, como, por exemplo, sistemas mecâicos ou eletrôicos (um automóvel ou um computador). O objetivo desta teoria é estudar relações etre o fucioameto dos compoetes e do sistema. A figura a seguir ilustra um sistema composto de dois compoetes ligados em série. O sistema fucioa se os compoetes e fucioam simultaeamete. Se um dos compoetes ão fucioa, o sistema também ão fucioa. Supodo que os compoetes fucioem idepedetemete, e se p i é a probabilidade do compoete i (i=,) fucioar, etão a probabilidade do sistema fucioar é p p. etão, Chamado: E : o sistema fucioa A i : o compoete i fucioa, i =, P(E) = P(A A ) = P(A ) P(A ) = p p Cada p i é chamada a cofiabilidade do compoete i e P(E) = h (p, p ) = p p é Probabilidades - 5

45 chamada a cofiabilidade do sistema. Se os compoetes e estiverem ligados em paralelo, como a figura a seguir, etão o sistema fucioa se pelo meos um dos dois compoetes fucioa. Ou seja, P (E) = P (A A ) = P (A ) + P (A ) - P (A A ) e a cofiabilidade do sistema é h (p, p ) = p + p - p p Ex.: Supohamos que para o circuito da figura a seguir, a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p, e que todos os relés fucioem idepedetemete. Qual será a probabilidade de que o circuito permita a passagem de correte etre A e B? 5 A 3 4 B Empregado a mesma defiição dos circuitos ateriores: P(E) = P(A A ) + P(A 5 ) + P(A 3 A 4 ) - P(A A A 5 ) - P(A A A 3 A 4 ) - P(A 5 A 3 A 4 ) + P(A A A 3 A 4 A 5 ) = p + p + p -p 3 - p 4 - p 3 + p 5 = p + p - p 3 - p 4 + p 5 seguir. Uma bastate comum, mas errôea, resolução de um problema, pode ser vista a Ex.: Admita-se que detre seis parafusos,.dois sejam meores do que um comprimeto especificado. Se dois dos parafusos forem escolhidos ao acaso, qual será a probabilidade p de que os dois parafusos mais curtos sejam retirados? Adote que, A i : o i-ésimo parafuso é curto (i =,) Probabilidades - 6

46 A solução correta é dada por: p = P (A A ) = P(A A ). P(A ) = 5 6 = 5 ou aida, usado o coceito de probabilidade; p = casos favoraveis favorá veis casos possiveis possíveis = = 6 5 A solução comum, mas icorreta, é obtida escrevedo-se p= P ( A A) = P ( A) P ( A) = = Naturalmete, o importate é que, muito embora a resposta esteja umericamete correta, a idetificação de /5 com P(A ) é icorreta; /5 represeta P(A A ). Para calcular P(A ) corretamete, escrevemos P(A ) = P( A A) + P( A A) = P( A A) P( A ) + P( A A ) P( A ) = = Teorema de Bayes Uma das relações mais importates evolvedo probabilidades codicioais é dada pelo teorema de Bayes que expressa uma probabilidade codicioal em termos de outras probabilidades codicioais. Se E, E,... E são evetos mutuamete excludetes (E i E j = Φ para todo i j) de um espaço amostral Exaustivo E, U Ei = E, etão cada E i é deomiado de partição de i= E. Se A é um eveto arbitrário de E com p(a) > 0, etão a probabilidade de ocorrêcia de uma das partições E k, dado que ocorreu o eveto A, pode ser expressa por: PE ( A)= k ( A) P Ek PA ( ) = ( A) P E i= K ( E ) P A i Probabilidades - 7

47 ou, mais simplesmete (!?), por: P P i= ( E ) P( A E ) k K ( Ek A) =, e i =,,... P ( E ) P( A E ) i P Sedo que ( ) ( A EK ) P A EK = e P( A Ei ) P( E ) i k P = ( A Ei ) P( E ) i Ex.: Uma compahia produz circuitos itegrados em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 30% dos circuitos, equato II e III produzem 45% e 5% respectivamete. As probabilidades de que um circuito itegrado produzido por estas fábricas ão fucioe são 0.0, 0.0 e 0.04, respectivamete. Escolhido um circuito da produção com defeito cojuta das três fábricas, qual a probabilidade de ele ter sido fabricado em I? A tabela a seguir sitetiza os dados, F = I, II, III Fábrica Produção d (defeituoso) P(F).P(d F) I 30% 0,0 0,003 II 45% 0,0 0,009 III 5% 0,04 0,0 0,0 Assim: ( ) P I d = III F= I ( ) P( d I) P I ( ) P( d F) P F = 00. =3.63% Probabilidades - 8

48 Exercícios IV - Dão-se as seguites probabilidades para A e B: P(A) = /, P(B) = /4,P(A B) = /3. a) Utilizado as leis de probabilidade, calcular P( A), PAB ( ), PA ( B). b) Usar diagrama para calcular P( AB) e PA ( B). - Se A, B e C são evetos arbitrários, exprima em otação de cojutos os seguites evetos: a) ocorrem apeas evetos; b) ocorrem ão mais de evetos; c) ocorrem A e B mas ão C. d) ocorre ao meos um e) ão ocorre ehum; f) ocorre apeas um. 3 - Numa amostra de 40 idivíduos, 0 acusam pressão alta. Estime a probabilidade de outro idivíduo escolhido ao acaso, o mesmo grupo do qual foi extraída a amostra, também ter pressão elevada. 4 - Jogam-se dois dados. Qual a probabilidade de o produto dos úmeros das faces superiores estar etre e 5 iclusive? 5 - Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de ocorrer cara é duas vezes a de ocorrer coroa. Jogada três vezes a moeda, qual a probabilidade de aparecerem exatamete duas coroas? 6 - Admitido que a probabilidade de uma criaça ser meio (H) seja 0,5, determiar a probabilidade de uma família de seis filhos ter: a) ao meos um H; b) ao meos uma M. 7 - Escolhido ao acaso um poto o disco uitário, determiar a probabilidade de o poto estar o setor [0, π/6]. 8 - A experiêcia idica que 5% dos que reservam mesa em um restaurate uca aparecem. Se o restaurate têm 60 mesas e aceita 6 reservas, qual a probabilidade de poder acomodar todos os que comparecerem? Exercícios IV -

49 9 - Um sistema tem dois compoetes que operam idepedetemete. Supohamos que as probabilidades de falha dos compoetes e sejam 0, e 0,, respectivamete. Determiar a probabilidade de o sistema fucioar os dois casos seguites: a) os compoetes são ligados em série (isto é, ambos devem fucioar para que o sistema fucioe); b) os compoetes são ligados em paralelo (basta um fucioar para que o sistema fucioe) 0 - Após seleção prelimiar, uma lista de jurados cosiste em 0 homes e sete mulheres. Escolhidos detre esses os cico membros de um júri, a escolha recai somete sobre homes. O processo sugere discrimiação cotra as mulheres? Respoda calculado a probabilidade de ão haver ehuma mulher o júri. - Qual o úmero míimo de jogadas de uma moeda ecessário para assegurar uma probabilidade superior a 0,74 de obter ao meos uma cara? - De acordo com certa tábua de mortalidade, a probabilidade de José estar vivo daqui a 0 aos é 0,6, e a mesma probabilidade para João é 0,9. Determiar: a) P (ambos estarem vivos daqui a 0 aos) b) P (ehum estar vivo daqui a 0 aos) c) P (um estar vivo e outro estar morto daqui a 0 aos) 3 - Uma tábua de mortalidade acusa as seguites taxas de mortalidade q x (isto é, probabilidade de um idivíduo de idade x morrer ates de atigir a idade x + ): x q 0,003 0,009 0,005 0,003 0,0040 0,005 a) Dado um idivíduo de 30 aos, qual a probabilidade de ele atigir a idade de 3 aos? b) Para o mesmo idivíduo, qual a probabilidade de morrer ates de completar 35 aos? 4 - Determiar a probabilidade de pessoas ( 365) fazerem aiversário em datas diferetes. 5 - As probabilidades de um estudate passar em Álgebra (A), em Literatura (L) e ambas (AL) são 0,75, 0,84 e 0,63 respectivamete. Qual a probabilidade de passar em Álgebra, sabedo-se que passou em Literatura? Exercícios IV -