TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS

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1 TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO Secretaria-Geral de Cotrole Extero Secretaria-Aduta de Fiscalização TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS ADFIS/SEGECEX 00

2 TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO egócio Cotrole extero da admiistração pública e da gestão dos recursos públicos federais Missão Assegurar a efetiva e regular gestão dos recursos públicos, em beefício da sociedade Visão Ser istituição de excelêcia o cotrole e cotribuir para o aperfeiçoameto da admiistração pública MIISTROS Humberto Guimarães Souto, Presidete Atoio Valmir Campelo Bezerra, Vice-Presidete Marcos Viicios Rodrigues Vilaça Iram de Almeida Saraiva Adylso Motta Walto Alecar Rodrigues Guilherme Gracido Soares Palmeira Ubirata Diiz Aguiar Beami Zymler MIISTROS-SUBSTITUTOS Licol Magalhães da Rocha Augusto Sherma Cavalcati Marcos Bemquerer Costa MIISTÉRIO PÚBLICO Lucas Rocha Furtado, Procurador-Geral Jatir Batista da Cuha, Subprocurador-Geral Paulo Soares Bugari, Subprocurador-Geral Ubaldo Alves Caldas, Subprocurador-Geral Maria Alzira Ferreira, Procuradora Marius Eduardo Vries Marsico, Procurador Cristia Machado da Costa e Silva, Procuradora

3 TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO Secretaria-Geral de Cotrole Extero Secretaria-Aduta de Fiscalização TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Brasília, março de 00

4 Tribual de Cotas da Uião Iteret: SAFS Q 04 Lt Brasília (DF) Secretário-Geral de Cotrole Extero: Luciao Carlos Batista Secretário-Aduto de Fiscalização: Cláudio Souza Castello Braco Aalistas de Fiaças e Cotrole Extero - Área de Cotrole Extero: Carlos Alexadre Amorim Rocha (Semag Redação) Fábio Herique Graa e Barros (Secob Revisão) Flávio Marcos Godoy Krecke (Semag Revisão) Marcelo Cardoso Soares (Seprog Revisão) Márcio Emmauel Pacheco (Secex-RJ Revisão) Paula de Biase Damasceo (Secex-RJ Revisão) Brasil Tribual de Cotas da Uião B83t Técicas de amostragem para auditorias / Tribual de Cotas da Uião -- Brasília : TCU, Secretaria-Aduta de Fiscalização, p Auditoria I Título Ficha Catalográfica elaborada pela Divisão de Documetação do TCU

5 APRESETAÇÃO Este documeto complemeta orietações costates do Maual de Auditoria de atureza Operacioal desta Corte As técicas ora tratadas procuram orietar as equipes de auditoria sobre os coceitos e procedimetos elemetares requeridos pelas amostrages probabilísticas, bem como sobre os beefícios que elas podem proporcioar É ítida a importâcia do presete trabalho, pois á se observa uma demada por técicas de amostragem as avaliações de programas públicos, as fiscalizações de obras e a obteção de subsídios para os pareceres auais sobre as cotas prestadas pelo Presidete da República o ituito de torar mais claros e acessíveis os temas abordados, este documeto cotém vários exemplos e, quado possível, as rotias do Microsoft Excel que permitem obter os resultados deseados Ademais, covém frisar que este trabalho ão apeas descreve as técicas de amostragem mais tradicioais (ie, aleatória simples, estratificada e por coglomerados), empregadas em diversos campos do cohecimeto, como também resume uma técica específica para auditorias cotábil-fiaceiras, qual sea: a amostragem por uidade moetária Dessa forma, acreditamos que o presete documeto cotribuirá para torar mais efetiva a atuação do TCU, aprimorado a sua capacidade para apurar tempestivamete os resultados e as evetuais falhas sistemáticas presetes a admiistração pública federal aturalmete, é de suma importâcia a apresetação de críticas e sugestões por todos que utilizarem este documeto, pois somete isso permitirá o seu aperfeiçoameto O tópico Folha de Sugestões, icluído o fial desta brochura, explica como e a quem eviar quaisquer cometários Fialmete, a codição de Secretário-Geral de Cotrole Extero, parabeizo os dirigetes e servidores cuo esforço resultou a materialização do presete trabalho Luciao Carlos Batista Secretário-Geral de Cotrole Extero

6 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS iv

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS vii LISTA DE TABELAS ix LISTA DE EXEMPLOS x ITRODUÇÃO COCEITOS BÁSICOS 5 Iferêcia Estatística 5 Pricipais Tipos de Amostragem Probabilística 6 Itrodução à Amostragem Aleatória Simples 6 Itrodução à Amostragem Aleatória Estratificada 7 3 Itrodução à Amostragem Aleatória por Coglomerados 8 3 Plao Amostral 9 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS Medidas de Tedêcia Cetral Medidas de Variação 3 3 Relação etre a Média e a Mediaa 5 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE7 3 Modelos de Distribuição Discreta 7 3 Distribuição Biomial 8 3 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Biomial egativa 3 34 Distribuição de Poisso 3 3 Modelos de Distribuição Cotíua 33 3 Distribuição ormal 34 3 Distribuição Expoecial 39 4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 4 4 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais 4 4 Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais Amostragem em Populações Fiitas 48 5 ESTIMAÇÃO 49 5 Estimativa do Itervalo da Média com σ Cohecido 50 5 Estimativa do Itervalo da Média com σ Descohecido 5 53 Estimativa do tipo Bootstrappig Estimativa do Itervalo para Proporções Determiação do Tamaho da Amostra Médias Proporções Amostragem em Populações Fiitas Estimativa do Itervalo para Totais 6 58 Estimativa do Itervalo para Difereças 6

8 6 VARIATES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES65 6 Amostragem Aleatória Estratificada 65 6 Estimação de Médias, Totais e Proporções a AAE 65 6 Determiação do Tamaho da Amostra a AAE 68 6 Amostragem Aleatória por Coglomerados 69 6 Estimação de Médias, Totais e Proporções a AAC 69 6 Determiação do Tamaho da Amostra a AAC 7 7 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA73 7 Metodologia da Amostragem por Uidade Moetária 75 7 Aplicação da Amostragem por Uidade Moetária 80 8 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM83 8 Efeitos da ão-resposta 84 8 Métodos de Redução da ão-resposta 87 8 Call-Backs 88 8 Subamostras Métodos de Compesação da ão-resposta 90 AEXO I: ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL93 AEXO II: DISTRIBUIÇÕES ORMAL PADRÃO & "t" DE STUDET07 AEXO III: BREVIÁRIO DE FÓRMULAS7 AEXO IV: FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA 7 AEXO V: APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA GLOSSÁRIO 37 BIBLIOGRAFIA 4 FOLHA DE SUGESTÕES 43 vi

9 LISTA DE FIGURAS Amostragem Aleatória Simples6 Amostragem Aleatória Estratificada 7 3 Amostragem Aleatória por Coglomerados 8 Propriedades dos Dados uméricos Relação etre a Média, a Mediaa e a Moda 5 3 Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades 7 3 Distribuição Biomial com 5 e p 0,59 33 Distribuição Biomial com 5 e p 0,30 34 Distribuição de Poisso com λ 0,53 35 Distribuição de Poisso com λ Fução Desidade de Probabilidades33 37 Probabilidade de Variáveis Aleatórias Cotíuas34 38 Distribuição ormal Efeitos de Variações em σ e µ (σ A > σ B e µ C > µ B ) Padroização da Distribuição ormal 37 3 Obteção de Probabilidades [P(Z)] Dado um Valor ormal Padroizado (Z)38 3 Obteção de um Valor ormal Padroizado (Z) Dada uma Probabilidade [P(Z)] Distribuição Expoecial40 4 Medida ão-viesada 4 4 Medida Eficiete 4 43 Medida Cosistete Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais43 45 Exemplo do Impacto de em Amostras Extraídas de Populações Distribuídas ormalmete44 46 Teorema do Limite Cetral Aplicação do Teorema do Limite Cetral46 48 Distribuição de Proporções Amostrais 47 5 Elemetos de uma Estimativa Probabilística 49 5 Itervalos de Cofiaça das Médias Amostrais 50 vii

10 53 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Cohecedo-se o Desvio- Padrão Populacioal 5 54 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Descohecedo-se o Desvio-Padrão Populacioal53 55 Aplicação da Tabela t de Studet54 8 Tipos de Erro em Amostragem 84 A Dados Hipotéticos95 A Geração de Estatísticas Descritivas 95 A3 Estatísticas Descritivas Geradas 96 A4 Agrupameto de Dados (Etapa de 4)97 A5 Agrupameto de Dados (Etapa de 4)97 A6 Agrupameto de Dados (Etapa 3 de 4)98 A7 Agrupameto de Dados (Etapa 4 de 4)98 A8 Dados Agrupados98 A9 Seleção de Amostras Aleatórias Simples com Reposição 00 A0 Amostra Aleatória Simples Selecioada00 A Estimação do Itervalo de Cofiaça para Médias com Desvio-Padrão Cohecido 0 A Itervalo de Cofiaça Estimado0 viii

11 LISTA DE TABELAS 3 Aplicações da Distribuição Biomial 9 5 Tamaho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Proporções de Sucesso (Z,96) 59 6 Resumo dos Dados Coletados a Aplicação da Amostragem por Coglomerados 70 7 Ídices de Cofiabilidade para Várias Quatidades Previstas de Erros e íveis de Cofiaça 73 7 Ídice de Cofiabilidade para Vários Erros Observados a Amostra75 73 Seleção dos Elemetos Amostrais78 74 Fatores de Ampliação do Itervalo de Precisão ( F AP ) Difereças Observadas a Amostra8 8 Itervalos de Cofiaça para Várias Proporções de Sucesso e Ídices de ão- Resposta (Z,96 e 000)86 8 Tamaho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Ídices de ão-resposta (Z,96 e p 0,5)87 83 Eficácia de Três Tetativas de Cotato 88 A Obteção da Amplitude Semi-Iterquartílica e da Meia Amplitude Semi- Iterquartílica 99 A Estimação de Itervalos de Cofiaça0 A3 Determiação do Tamaho da Amostra 03 A4 Estimação do Itervalo de Cofiaça para Totais04 A5 Estimação do Itervalo de Cofiaça para Difereças05 ix

12 LISTA DE EXEMPLOS 3 Aplicação da Distribuição de Poisso 3 3 Aplicação da Distribuição Expoecial39 4 Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais 45 4 Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais 48 5 Aplicação da Estimativa do Itervalo da Médias com σ Cohecido 5 5 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Médias com σ Descohecido54 53 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Proporções56 55 Cálculo do Tamaho da Amostra para Estimar Duas Proporções Cálculo do Tamaho da Amostra para Estimar -Proporções59 57 Cálculo Simplificado do Tamaho da Amostra para Estimar -Proporções60 58 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Totais 6 59 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Difereças 63 6 Aplicação da Estimativa de Médias a Amostragem Estratificada 66 6 Aplicação da Estimativa de Totais a Amostragem Estratificada Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções a Amostragem por Coglomerados 70 7 Cálculo do Ídice de Cofiabilidade 74 7 Aplicação da Tabela de Ídices de Cofiabilidade Cálculo do Tamaho da Amostra a AUM77 74 Seleção dos Elemetos Amostrais a AUM77 8 Cálculo da Quatidade de Questioários90 x

13 ITRODUÇÃO É cada vez mais comum o uso de técicas de amostragem pelos órgãos brasileiros de cotrole das fiaças públicas, merecedo destaque os esforços da Secretaria Federal de Cotrole SFC A adoção dessas técicas pelos órgãos em questão é uma decorrêcia do processo de reforma do Estado, o qual, sem preuízo das várias formas de cotrole urídico, observa-se uma demada crescete por cotroles gereciais, preocupados com a tempestiva apuração de resultados e com a idetificação de falhas sistemáticas que, idepedetemete de evolverem ou ão práticas ilícitas, possam requerer a adoção, em tempo hábil, de medidas corretivas de atureza político-admiistrativa o âmbito do TCU, há uma tedêcia em favor do uso dessas técicas de amostragem em avaliações de programas públicos, em fiscalizações de obras e até mesmo a obteção de subsídios para os pareceres auais sobre as cotas prestadas pelo Presidete da República Dessa forma, o presete documeto deve ser compreedido como uma complemetação do Maual de Auditoria de atureza Operacioal Este trabalho tem como obetivo permitir que os AFCEs-CE tomem cotato com os pricipais coceitos e métodos empregados pelas moderas técicas de amostragem, para que possam estruturar melhor os trabalhos de campo cuo propósito sea determiar, p ex, se os cadastros ou sistemas de cotrole das uidades urisdicioadas são cofiáveis, se as políticas públicas federais estão alcaçado os resultados que lhe deram origem ou se as evetuais isuficiêcias de desempeho são aleatórias ou sistemáticas Isso ão sigifica, etretato, que este documeto bastará para que os membros do corpo técico do TCU se torem especialistas em amostragem uma disciplia por demais vasta e que, por ser emietemete aplicada, precisa lidar com uma grade variedade de situações cocretas a verdade, raramete os cadastros apresetam o mesmo grau de cofiabilidade É igualmete pouco comum que as populações apresetem o mesmo ível de dispersão ou o mesmo ídice de ão-respodetes recalcitrates Esses fatores geram difereças etre os estimadores empregados pelos estudos amostrais, torado-os, de certa forma, úicos Com este trabalho, pretede-se que os AFCEs-CE possam cumprir as tarefas mais simples e, ate situações mais complexas, formular questões que possam ser respodidas com obetividade por especialistas em atividade o próprio TCU ou em outras etidades, públicas ou privadas Os iteressados em se aprofudar um pouco mais esse tema deverão recorrer a textos especializados, tais como as obras Curso de Estatística, Estatística Aplicada à Admiistração e, em especial, Elemetary Survey Samplig (vide o tópico Bibliografia ) Ressalte-se que, para que este documeto fosse o mais útil possível para os membros do corpo técico, os cico primeiros capítulos baseiam-se em rotias do Microsoft Excel, pertecete à plataforma de softwares do TCU A pricipal fote para esses capítulos

14 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS foi a versão de 997 da obra Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel Cabe registrar o osso agradecimeto a um dos seus autores, Profº David M Levie, da City Uiversity of ew York, por os ter permitido acessar o material didático derivado desse livro, especialmete as apresetações do Microsoft PowerPoit preparadas pelo Profº Joh McGill O presete trabalho represeta o resultado de seis aos de iiciativas idividuais, de treiametos promovidos pela Assessoria de Relações Iteracioais (Arit) e pelo Istituto Serzedello Corrêa (ISC), e de recursos alocados pela extita Secretaria de Auditoria e Ispeções (Saudi) e pelas atuais Secretaria-Aduta de Fiscalização (Adfis), Secretaria de Macroavaliação Goverametal (Semag), Secretaria de Cotrole Extero o Estado do Rio de Jaeiro (Secex-RJ), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimôio da Uião (Secob) e Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Govero (Seprog) As fases do trabalho foram: participação o TCU Auditig Semiar, miistrado, em ovembro de 995, pelos auditores Roger Adams e Richard Regal, da Associatio of Certified Chartered Accoutats, com 60 horas de duração; mauteção de cotatos com auditores da Ispetoria-Geral do Departameto da Defesa dos EUA, como parte do curso Executive Developmet Program i Performace Maagemet, miistrado, em uho de 996, pelo Virgiia Polytechic Istitute ad State Uiversity e pela Fudação Getúlio Vargas, com o auxílio da atioal Academy of Public Admistratio; participação o curso Estatística Aplicada e oções de Amostragem, miistrado, em maio de 997, pelo Profº George vo Borries, com 0 horas de duração; participação a disciplia Delieameto e Aálise de Amostras do mestrado em Estatística da Uiversidade de Brasília, miistrada o º semestre de 997; elaboração deste documeto o período de setembro de 998 a março de 999; orgaização do módulo Técicas de Amostragem, miistrado em abril de 999, com 5 horas de duração, do curso Itrodução à Auditoria do Programa de Formação de 999 para AFCEs-CE; revisão de uma versão prelimiar deste documeto pelos participates do módulo citado acima, o que permitiu a supressão de várias imprecisões; participação, em decorrêcia de covêio firmado pelo TCU e pela Embaixada Britâica em março de 998, a disciplia Estatística do mestrado em Ecoomia da Lodo School of Ecoomics ad Political Sciece, miistrada em setembro de 999; complemetação deste trabalho em março de 00; revisão fial o âmbito da Adfis e por servidores desigados pelo Memorado-Circular º 09 Adfis, de 5/05/00, o período de abril a ulho de 00; participação o curso Técicas de Amostragem com o Auxílio do Software SAS, miistrado, em uho de 997, pela Profª Édia Shisue Miazaki, com 36 horas de duração;

15 ITRODUÇÃO fialização deste trabalho em setembro de 00, icorporado-se quase todas as sugestões apresetadas pelos revisores Iegavelmete, trata-se de um período de maturação logo A publicação de um documeto como este, etretato, somete tem setido quado há uma demada ítida por esse tipo de trabalho, como é o caso atualmete O texto é composto por oito capítulos: a) o primeiro discorre sobre algus coceitos básicos que devem ser fixados desde o primeiro istate; b) o segudo revê e exemplifica as propriedades dos dados uméricos; c) o terceiro trata dos modelos de distribuição de probabilidade; d) o quarto aborda as propriedades das distribuições amostrais; e) o quito discute os problemas e técicas elemetares de estimação, os quais se cofudem com a amostragem aleatória simples; f) o sexto estede os coceitos do capítulo aterior, discorredo sobre as versões básicas das amostrages aleatórias estratificada e por coglomerados; g) o sétimo discute as características da amostragem por uidade moetária, empregada em auditorias cotábil-fiaceiras; h) o oitavo, por fim, trata dos erros em amostragem, em especial do problema da ão-resposta Em todos os capítulos, recorreu-se a exemplos o ituito de torar mais claros os temas tratados A bibliografia, por sua vez, foi dividida em pricipal e complemetar para que os leitores teham mais opções para cosulta, aida que somete o primeiro grupo teha sido ostesivamete cosultado aturalmete, compete ao redator a resposabilidade pelas falhas remaescetes 3

16 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 4

17 COCEITOS BÁSICOS Em auditoria, as técicas de amostragem visam coletar e avaliar evidêcias uméricas das etidades admiistrativas o ituito de determiar e relatar o grau de adequação das iformações obtidas a critérios previamete defiidos Isso se deve à atureza atiecoômica das auditorias que pretedam ivestigar todo o uiverso visado As técicas em questão, por se basearem em pricípios estatísticos demostráveis, apresetam as seguites vatages: a) o tamaho da amostra e o erro amostral podem ser estimados prévia e obetivamete; b) as amostrages coduzidas por auditores diferetes podem ser combiadas; c) os cesos, além de serem demorados, podem coter mais erros ão-amostrais do que as amostras; d) os resultados amostrais são obetivos e, por extesão, defesáveis; e) os resultados da auditoria podem ser avaliados com seguraça e extrapolados para toda a população Iferêcia Estatística A crescete demada por dados uméricos observada ao logo da história está estreitamete relacioada com o desevolvimeto da estatística descritiva UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO FERRAMETAS/AÁLISE DE DADOS (VIDE FIGURAS A A3, AEXO I ) gera estatísticas descritivas de um couto de observações Moderamete, porém, é graças ao desevolvimeto da iferêcia estatística, partido de extesões da teoria da probabilidade, que a estatística passou a ser amplamete empregada por todo tipo de pesquisa A relevâcia dos métodos de iferêcia estatística deve-se ao fato de que as técicas de amostragem toraram-se idispesáveis, pois o crescimeto populacioal torou excessivamete oerosa, demorada e complexa a coleta de dados sobre toda a população Decisões relacioadas com as características da população devem se basear em iformações extraídas de amostras, com a teoria da probabilidade forecedo o elo etre ambas mediate a defiição da probabilidade de que os resultados amostrais espelhem os parâmetros populacioais Covém frisar que, para que a aálise estatística sea útil ao processo de tomada de decisão, os dados coletados devem ser apropriados, ou sea, livres de vieses, ambigüidades ou outros tipos de erro, pois essas deficiêcias dificilmete poderão ser compesadas, mesmo pelos mais moderos métodos estatísticos

18 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Pricipais Tipos de Amostragem Probabilística Há dois tipos de amostrages: ão-probabilísticas e probabilísticas As amostras por quotas e por ulgameto do pesquisador são ão-probabilísticas, equato que as amostras aleatórias simples, estratificadas e por coglomerados são probabilísticas, uma vez que seus elemetos são selecioados com base em probabilidades cohecidas Em estudos uméricos, somete as amostrages probabilísticas permitem a correta geeralização para a população dos resultados amostrais as amostras probabilísticas, as iferêcias podem ser formuladas por itermédio de estimadores simples, do tipo razão ou do tipo regressão Os primeiros se baseiam uicamete os dados referetes à variável acerca da qual se desea gerar iferêcias, equato que os outros também recorrem a variáveis auxiliares, supostamete relacioados com o feômeo estudado Este documeto, cotudo, somete tratará de estimadores simples, pois os demais evolvem um ível maior de sofisticação matemática Itrodução à Amostragem Aleatória Simples Embora a amostragem aleatória simples ão sea, ecessariamete, a estratégia amostral mais eficiete e ecoômica, ela fucioa como base para as estratégias mais sofisticadas As suas pricipais características costam da Figura Figura : Amostragem Aleatória Simples Cada elemeto da população tem a mesma chace de ser selecioado População Média, µ, é descohecida Amostra Propriedades Admite o uso de tabelas de úmeros aleatórios ou sistemas ãoviesados de sorteio Ilustração Amostra Aleatória Média X 50 A seleção de um elemeto ão iterfere a seleção dos demais Coclusão Estou 95% cofiate que µ está etre 40 e 60 6 Fote: McGill, 997 O elemeto-chave de qualquer estratégia amostral é a obteção e mauteção de um cadastro atualizado (ie, sistema de referêcia ou, a lígua iglesa, frame ) de todos

19 COCEITOS BÁSICOS os ites ou idivíduos que compõem a população da qual será extraída a amostra (ie, população-alvo) Caso algus grupos de ites ou idivíduos ão seam adequadamete cotemplados pelo cadastro, a população-alvo e a verdadeira população diferirão Dessa forma, as estimativas geradas pelas amostras aleatórias serão válidas para a população-alvo, mas viesadas para a verdadeira população As amostras aleatórias podem ser selecioadas com ou sem reposição de populações fiitas ou ifiitas O método empregado deve ser idicado claramete, pois as equações usadas as iferêcias estatísticas variam com os métodos Covém otar que as amostrages aleatórias simples com reposição de populações fiitas e sem reposição de populações ifiitas geram estimadores cuas equações são idêticas Itrodução à Amostragem Aleatória Estratificada Quado os elemetos da população puderem ser agrupados em coutos homogêeos (ie, estratos), pode-se utilizar a amostragem aleatória estratificada, selecioado-se uma amostra para cada estrato Os tamahos das amostras e as estatísticas estimadas são idepedetes Ao se combiar as estimativas de cada estrato, obtém-se uma estimação para toda a população a estratificação da população, cada elemeto deve costar de um úico estrato, ou sea, os estratos ão podem possuir iterseções, equato que o couto de elemetos de um estrato deve ser o mais homogêeo possível em relação à característica que se pretede examiar, como ilustrado pela Figura Figura : Amostragem Aleatória Estratificada Dividir a população em subgrupos: mutuamete excludetes; exaustivos; com ao meos uma característica relevate em comum Selecioar uma amostra aleatória de cada subgrupo ão-residetes Todos os Uiversitários Amostra Residetes Fote: McGill, 997 7

20 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS A amostragem estratificada apreseta as seguites vatages: a) com relação à amostra aleatória simples, supodo-se que haa um acréscimo o volume de iformação acerca da população em decorrêcia da estratificação (p ex, o desvio-padrão observado em cada um dos estratos é substacialmete iferior ao desvio-padrão do couto da população): obter precisão semelhate com uma amostra total meor; obter maior precisão com uma amostra total igual; b) obter estimativas para cada estrato, se essas estimativas forem úteis; c) dar maior ateção a certos grupos detro da população que têm uma propesão muito alta ou muito baixa a apresetar a característica examiada A estratificação pode ser útil também se os custos de auditoria são diferetes para cada estrato (p ex, etrevistas de cotato direto em algus casos e questioários eviados pelo correio em outros) 3 Itrodução à Amostragem Aleatória por Coglomerados Quado os elemetos da população podem ser agrupados em coutos semelhates, mas iteramete heterogêeos (ie, coglomerados), pode-se usar a amostragem aleatória por coglomerados essa técica, as amostras são obtidas por meio ão da seleção aleatória de algus de seus elemetos, mas sim de algus dos coglomerados que a compõem Uma vez selecioados os coglomerados, todos os seus elemetos são examiados para que as estatísticas deseadas seam obtidas, como ilustrado pela Figura 3 Figura 3: Amostragem Aleatória por Coglomerados Dividir a população em coglomerados Se os trabalhadores são os elemetos amostrais, etão as compahias são os coglomerados Coglomerados (Compahias) Selecioar coglomerados aleatoriamete Pesquisar todos os trabalhadores do coglomerado selecioado ou uma amostra aleatória deles Amostra (Trabalhadores das Compahias Selecioadas Fote: McGill, 997 8

21 COCEITOS BÁSICOS Quado os coglomerados são compostos por uma grade quatidade de elemetos, etretato, pode-se estimar as estatísticas referetes a cada coglomerados por meio da amostragem aleatória simples Essa técica é deomiada de amostragem aleatória por coglomerados em dois estágios, que também ão será examiada este documeto em fução do ível de sofisticação matemática 3 Plao Amostral O poto de partida de toda amostra é o plao amostral, o qual documeta os passos e os procedimetos evolvidos a utilização de técicas de amostragem, devedo evolver as etapas defiidas a seguir: a) estipular os obetivos do uso de técicas de amostragem, explicado-se o porquê da ão-utilização de um ceso; b) defiir os elemetos da população, ou sea, os idivíduos ou obetos acerca dos quais serão feitas estimativas; c) defiir o tamaho da população, recorredo-se, se ecessário, a estimativas; d) examiar o cadastro da população ou, caso ão estea dispoível, a descrição dos ites relevates para a seleção; e) descrever a técica de amostragem a ser utilizada e ustificar a escolha; f) descrever os procedimetos seguidos a execução do trabalho; g) estabelecer o ível de cofiaça; h) determiar o tamaho da amostra e a precisão deseada, o que freqüetemete requer uma amostra prelimiar; i) escolher as técicas de coleta, armazeameto e aálise dos dados O maior ou meor sucesso dos estudos amostrais, idepedetemete do seu tipo, costuma guardar relação direta com a melhor ou pior observâcia dessas etapas 9

22 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 0

23 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS Em geral, os pesquisadores procuram desevolver istrumetos destiados a obter respostas obetivas para pergutas acerca de vários tipos de feômeos ou características (ie, variáveis aleatórias) Os dados coletados represetam maifestações das variáveis aleatórias, podedo diferir de resposta para resposta Essas maifestações podem ser: categóricas ou uméricas UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO DADOS/RELATÓRIO DE TABELA DIÂMICA (VIDE FIGURAS A & A4 A8, AEXO I) gera estatísticas agrupadas por uma variável categórica Com relação aos dados uméricos, as suas pricipais propriedades, ilustradas pela Figura, são: tedêcia cetral, variação e forma Figura : Propriedades dos Dados uméricos Tedêcia Cetral (Posição) Variação (Dispersão) Forma Fote: McGill, 997 Medidas de Tedêcia Cetral As medidas de tedêcia cetral são média aritmética, mediaa, moda, meia amplitude e meia-amplitude semi-iterquartílica, que podem ser defiidas da seguite maeira:

24 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS a) Média Aritmética Populacioal (µ) e Amostral ( X ): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, µ ou X é defiida pelo somatório do valor de todas as observações dividido por, ou sea: X X + X + X X i µ X + X + X X i X X i i ; UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: MÉDIA(úm;úm;) b) Mediaa (Md): dada uma seqüêcia ordeada de observações X, X, X 3,, X, Md é defiida pelo valor que divide a seqüêcia em dois coutos com a mesma quatidade de observações Caso sea ímpar, a mediaa é dada pelo + valor correspodete à -ésima posição da seqüêcia Caso sea par, a mediaa é dada pela média dos valores correspodetes às e + - ésimas posições UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: MED(úm;úm;) c) Moda (Mo): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, Mo é defiida pelo(s) valor(es) mais freqüete(s) etre todas as observações UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: MODO(úm;úm;) d) Meia Amplitude (Ma): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, Ma é defiida pela média do meor e maior valores observados, ou sea: X míimo + X Ma máximo UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (MÁXIMO(úm;úm;)+MÍIMO(úm;úm;))/ e) Meia Amplitude Semi-Iterquartílica (Mq): dada uma seqüêcia ordeada de observações X, X, X 3,, X, Mq é defiida pela média dos valores correspodetes ao primeiro e terceiro quartis (Q e Q 3 ) 3, ou sea: Q + Q Mq 3 Caso toda a população sea abragida pelas observações, deve ser substituído por 3 O segudo quartil (Q ) correspode à mediaa (Md)

25 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS + O primeiro quartil (Q ) é defiido pelo valor correspodete à - 4 ésima posição da seqüêcia, o qual separa os primeiros 5% das observações dos 75% restates + O terceiro quartil (Q 3 ) é defiido pelo valor correspodete à 3-4 ésima posição da seqüêcia, o qual separa os primeiros 75% das observações dos 5% restates + + Se (+) ão for múltiplo de 4, as equações e 4 3 ão 4 gerarão úmeros iteiros esse caso, há três possibilidades: i caso sea múltiplo de 4, o quartil deseado será dado pela posição imediatamete iferior ao úmero obtido; ii caso (+) sea múltiplo de 4, o quartil deseado será dado pela posição imediatamete superior ao úmero obtido; iii caso (+3) sea múltiplo de 4, o quartil deseado será dado pela média dos valores correspodetes às 4 UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I Medidas de Variação + 3 e -ésimas posições 4 Já as medidas de variação são amplitude, amplitude semi-iterquartílica, variâcia, desvio-padrão e coeficiete de variação, que são defiidas como idicado abaixo: a) Amplitude (A t ): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, A t é defiida pela difereça etre o maior e meor valores observados, ou sea: A X X t máximo míimo UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (MÁXIMO(úm;úm;)-MÍIMO(úm;úm;)) b) Amplitude Semi-Iterquartílica (D q ): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, D q é defiida pela difereça etre o terceiro e o primeiro quartis, ou sea: D q Q 3 Q UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I c) Variâcia Populacioal (σ ) e Amostral (S ): dado um couto cotedo observações X, X, X 3,, X, σ e S correspodem ao somatório do 3

26 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS quadrado da difereça etre cada observação e a média (µ ou X ) dividido, respectivamete, por (observações abragem toda a população) ou por (-) (observações abragem apeas uma amostra), ou sea: ( X i µ ) X i µ ( X µ ) + ( X µ ) + ( X 3 µ ) + + ( X µ ) i i σ UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VARP(úm;úm;) ( X X ) + ( X X ) + ( X 3 X ) + + ( X X ) S ( ) ( X X ) i X i X i i UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VAR(úm;úm;) ( ) ( ) d) Desvio-Padrão Populacioal (σ) e Amostral (S): dado um couto cotedo observações X, X, X 3,, X, σ e S correspodem, respectivamete, à raiz quadrada da variâcia populacioal (σ ) e amostral (S ), ou sea: 4 σ σ i X i µ UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: DESVPADP(úm;úm;) S S i X i X ( ) UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: DESVPAD(úm;úm;) e) Coeficiete de Variação (CV): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, CV mede a variação relativa das observações em toro da média (µ ou σ S X ): CV populacioal 00% ou CV amostral 00% µ X UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (DESVPADP(úm;úm;)/MÉDIA(úm;úm;)) CV populacioal (DESVPAD(úm;úm;)/MÉDIA(úm;úm;)) CV amostral 4 O desvio-padrão e a variâcia têm como obetivo medir a distribuição das observações em toro da média Quato mais próximas de zero, maior a cocetração 4

27 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS 3 Relação etre a Média e a Mediaa A curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X pode exibir uma forma simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda Isso pode ser costatado comparado-se a média (µ ou X ) e a mediaa (Md) esse caso, há três possibilidades: a) µ ou X > Md forma assimétrica à direita (mais de 50% das observações cocetra-se à esquerda da média); b) µ ou X Md forma simétrica (a média separa os primeiros 50% das observações dos 50% restates); c) µ ou X < Md forma assimétrica à esquerda (mais de 50% das observações cocetra-se à direita da média) Covém otar que a aálise aterior pode ser estedida às modas, como mostra a Figura Figura : Relação etre a Média, a Mediaa e a Moda Left-Skewed Symmetric Right-Skewed Assimétrico à Esquerda Simétrico Assimétrico à Direita Mea Media Mode Mea Media Mode Mode Media Mea Média Mediaa Moda Média Mediaa Moda Moda Mediaa Média Fote: McGill, 997 5

28 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 6

29 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE As variáveis aleatórias uméricas podem ser descritas por itermédio de distribuições de probabilidades, as quais devem cotemplar todas as possíveis maifestações do feômeo examiado e as respectivas probabilidades ou freqüêcias relativas Esses dados são obtidos por meio de cadastros, os quais se classificam em: a) teóricos, gerados por modelos matemáticos que represetem, com graus variados de sucesso, os feômeos examiados; b) empíricos, elaborados com base as freqüêcias efetivamete observadas; c) subetivos, que reflitam as covicções do pesquisador acerca das freqüêcias O primeiro tipo de cadastro permite defiir fuções de distribuição de probabilidades, com bases as quais são calculadas com precisão a probabilidade de ocorrêcia de qualquer possível maifestação da variável aleatória Por essa razão, somete esse tipo de cadastro será aalisado este documeto Os modelos de distribuição de probabilidade apresetam características específicas coforme as variáveis aleatórias uméricas seam discretas ou cotíuas 3 Modelos de Distribuição Discreta Um exemplo clássico de distribuição discreta correspode ao resultado do arremesso de duas moedas, como mostrado a Figura 3 Figura 3: Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades Experimeto: arremessar duas moedas e cotar a quatidade de coroas Distribuição de Probabilidades Valores, X i Probabilidades, P(X i ) 0 /4 0,5 /4 0,50 /4 0,5 Cadastro: {(0; 0,5), (, 0,50), (, 0,5)} P(X) 0,50 0,5 0,00 Gráfico 0 X Tabela Qtde de f(x i ) Cotagem P(X i ) Coroas 0 0,5 0,50 0,5 Fote: McGill, 997

30 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Os modelos de distribuição discreta mais importates são: a biomial, a hipergeométrica, a biomial egativa e a de Poisso 3 Distribuição Biomial As pricipais propriedades da distribuição biomial são: a) as amostras podem ser selecioadas a partir de populações ifiitas sem reposição ou fiitas com reposição; b) as observações selecioadas podem ser classificadas em uma de duas categorias mutuamete excludetes e coletivamete exaustivas, usualmete chamadas sucesso e fracasso ; c) as probabilidades de que uma observação sea classificada um sucesso (p) ou um fracasso (-p) são costates e complemetares; d) as observações são mutuamete idepedetes A variável aleatória discreta ou o feômeo estudado que segue uma distribuição biomial é a que trata da quatidade de sucessos observados em uma amostra Cohecedo-se a quatidade de observações cotidas a amostra e a probabilidade p de "sucesso", a distribuição biomial é represetada pela seguite equação: P ( X )! X ( ) ( ) ( X ) 4 p 4 p X! X! probabilid ade de uma seqüêcia quatidade de possíveis seqüêcias em particular Ode: P(X) probabilidade de que seam observados X sucessos, dados e p; X quatidade de sucessos a amostra {X 0 X }; tamaho da amostra; p probabilidade de sucesso ; (-p) probabilidade de fracasso USADO MICROSOFT EXCEL: DISTRBIOM(úm_s;tetativas;probabilidade_s;cumulativo) Ode: úm_s X; tetativas ; probabilidade p; VERDADEIRO para calcular a probde X ou meos "sucessos"; cumulativo FALSO para calcular a probde X "sucessos" 3 A distribuição biomial apreseta iúmeras aplicações, como mostra a Tabela 8

31 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Tabela 3: Aplicações da Distribuição Biomial Gêero Aplicações X p P(X) Jogos de Azar Cotrole de Qualidade Educação Fiaças Probabilidade de que, em 0 tetativas, 5 ou mais resultados da roleta seam vermelhos? Probabilidade de que, em uma amostra de 0 peus, ehum sea defeituoso dado que 8% de todos os peus seam defeituosos? Probabilidade de que um aluo sea aprovado em um exame com 0 questões, cada questão com quatro opções, caso o aluo tete adivihar todas as questões? Probabilidade de que o valor de uma ação aumete por 0 dias cosecutivos dado que os preços das ações efetivamete oscilem aleatoriamete? > 4 0 0,50 0, ,9 0,89 > 4 0 0,5 0, ,50 0,00 A fução biomial de distribuição de probabilidades é simétrica quado p 0,5 e assimétrica quado p 0,5 Quato mais próximo p for de 0,5 e quato maior for, meor será o viés, como mostrado as Figuras 3 e 33 Figura 3: Distribuição Biomial com 5 e p 0,5 P(X) 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 Fote: McGill, X 9

32 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 33: Distribuição Biomial com 5 e p 0, P(X) 0,60 0,40 0,0 0,00 Fote: McGill, X A média e o seu desvio-padrão são obtidos, respectivamete, por meio das seguites equações: a) Média: µ E(X) p; σ p p b) Desvio-padrão: ( ) 3 Distribuição Hipergeométrica A distribuição hipergeométrica, a exemplo da distribuição biomial, trata da quatidade de sucessos observados em uma amostra com observações A difereça etre ambas reside o método de seleção empregado Equato que a biomial as observações são selecioadas com reposição de populações fiitas ou sem reposição de populações ifiitas, a hipergeométrica as observações são selecioadas sem reposição de populações fiitas Portato, a probabilidade p de sucesso esse caso ão é costate A equação da distribuição em questão é: P ( X ) X! A! ( A X )! ( A)! ( X )![( A) ( X )]!!! A A X X ( )! Ode: P(X) probabilidade de que seam observados X sucessos, dados e p; A quatidade de sucessos a população {X 0 X }; X quatidade de sucessos a amostra {X 0 X Mi[, A]}; tamaho da amostra; tamaho da população 30

33 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE USADO MICROSOFT EXCEL: DISTHIPERGEOM(exemplo_s;exemplo_úm;população_s;úm_população) Ode: exemplo_s X; exemplo_úm ; população_s A; úm_população 33 Distribuição Biomial egativa A distribuição biomial egativa é usada para determiar a probabilidade de ocorrêcia de uma certa quatidade de fracassos ates que outra quatidade de sucessos ocorra A sua equação é: P ( ) ( )! ( X )![( ) ( X ) ]! p X ( ) ( X ) X ( ) ( p p p X ) X USADO MICROSOFT EXCEL: DISTBIEG(úm_f;úm_s;probabilidade_s) Ode: úm_f ( X); úm_s X; probabilidade_s p 34 Distribuição de Poisso Há um processo de Poisso quado evetos discretos podem ser observados em uma área de oportuidade (ie, um itervalo cotíuo de tempo, de superfície, de comprimeto, etc) de tal modo que, se essa área for suficietemete reduzida, o seguite ocorrerá: a) a probabilidade de que sea observado um úico sucesso é estável; b) a probabilidade de que mais de um sucesso sea observado é ula; c) a probabilidade de ocorrêcia de um sucesso em qualquer itervalo é estatisticamete idepedete da probabilidade observada os demais itervalos A equação correspodete é: P ( X ) λ e λ X! X Ode: P(X) probabilidade de que seam observados X sucessos, dado λ; X quatidade de sucessos por uidade da área de oportuidade; λ quatidade esperada de sucessos ; e, úmero de Euler, base do sistema de logaritmos eperiaos 3

34 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS USADO MICROSOFT EXCEL: POISSO(X;média;cumulativo) Ode: média λ; VERDADEIRO para calcular a probabilid ade de X ou meos "sucessos"; cumulativo FALSO para calcular a probabilidade de X "sucessos" O Exemplo 3 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de Poisso Exemplo 3: Aplicação da Distribuição de Poisso Supoha-se um baco que atede 80 clietes em um período de hora Toda chegada de um cliete é um eveto discreto em um determiado istate de um itervalo cotíuo de tempo Partido-se o período de hora em 3600 itervalos de segudo, tem-se: a) a quatidade esperada (ou média) de clietes atedidos por segudo é 0,05; b) a probabilidade de que mais de um cliete sea atedido em um dado segudo é quase ula; c) o atedimeto de um cliete em um dado segudo ão afeta o atedimeto dos demais clietes os demais segudos As Figuras 34 e 35, a seu tempo, mostram os efeitos do parâmetro λ sobre o formato do gráfico da distribuição de probabilidades Figura 34: Distribuição de Poisso com λ 0,5 P(X) 0,60 0,40 0,0 0,00 Fote: McGill, X 3

35 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Figura 35: Distribuição de Poisso com λ 6 P(X) 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 Fote: McGill, X Covém otar que a distribuição de Poisso ão apeas represeta vários feômeos (p ex, telefoemas recebidos em uma mahã, acidetes de trâsito observados em uma semaa, greves havidas em um ao, etc), como também pode fucioar como uma aproximação da distribuição biomial quado for grade e p pequeo, com (p) 7 esse caso, tem-se: λ p 3 Modelos de Distribuição Cotíua A represetação matemática da distribuição de uma variável aleatória cotíua é deomiada fução desidade de probabilidades (FDP), cua equação-geral e pricipais características costam da Figura 36 Figura 36: Fução Desidade de Probabilidades Equação que defie os valores, X, e a FDP, f(x) Propriedades: b a f ( X ) dx (Área sob a curva) f ( X ) 0, a X b FDP (Valor, FDP) f(x) a b X Valor Fote: McGill,

36 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Quado um feômeo cotíuo (p ex, altura, peso ou tempo) é represetado por um modelo matemático, a probabilidade de que os valores da variável aleatória correspodete perteçam a um dado itervalo pode ser calculada, como mostra a Figura 37, porém a exata probabilidade de um valor específico é ula Figura 37: Probabilidade de Variáveis Aleatórias Cotíuas f(x) Probabilidade Área sob a curva P( c X d) f ( X ) dx c d c d X 34 Fote: McGill, 997 Os modelos de distribuição cotíua mais importates são: a ormal e a expoecial 3 Distribuição ormal Etre os modelos de distribuição cotíua, a mais utilizada é a distribuição ormal, uma vez que: a) iúmeros feômeos cotíuos parecem seguir essa distribuição; b) essa distribuição pode fucioar como uma aproximação de várias distribuições discretas de probabilidade; c) essa distribuição fucioa como a base da iferêcia estatística clássica em decorrêcia da sua relação com o Teorema do Limite Cetral Essa distribuição possui as propriedades teóricas idicadas a seguir, ilustradas pela Figura 38: a) o formato é simétrico, semelhate a um sio; b) as medidas de tedêcia cetral (média, mediaa, moda, meia amplitude e meia amplitude semi-iterquartílica) são iguais; c) o itervalo semi-iterquartílico, compreededo a 50% das observações, correspode ao itervalo µ σ; µ + σ 3 3 ; d) a amplitude da variável aleatória represetada é ifiita {X X + }

37 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Figura 38: Distribuição ormal a forma de sio e simétrica f(x) Média, mediaa, moda são iguais Dispersão Média é,33σ Variável aleatória tem amplitude ifiita Média Mediaa Moda X Fote: McGill, 997 a prática, a fução de distribuição de probabilidades de muitos feômeos observados apeas se assemelha à distribuição ormal Isso ocorre quado a distribuição de probabilidades da população é aproximadamete ormal ou quado a amostra selecioada ão cotém as características teóricas esperadas Dessa forma, freqüetemete tem-se: a) polígoos quase simétricos; b) medidas de tedêcia cetral ligeiramete diferetes; c) itervalo semi-iterquartílico ligeiramete diferete do itervalo µ σ; µ + σ 3 3 ; µ 3 σ; µ + 3 σ 6 d) amplitude fiita, geralmete correspodedo ao itervalo [ ] o presete cotexto, a FDP é defiida pela seguite equação: 6 Uma restrição comum é a ão observação de valores egativos 35

38 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS f ( X ) X µ σ π σ e Ode: π 3,459; 7 e º de Euler; X variável aleatória; µ média populacioal; σ desvio-padrão populacioal USADO MICROSOFT EXCEL: DISTORM(x;média;desv_padrão;cumulativo) calcula a probabilidade de que seam observados valores meores do que X Ode: média µ; desvio-padrão σ; cumulativo VERDADEIRO fução de distribuiç ão cumulativa; FALSO fução de distribuiçãode massa IVORM(probabilidade;média;desv_padrão) calcula o valor X correspodete a uma dada probabilidade acumulada Como e e π são costates matemáticas, a FDP [f(x)] depede uicamete da média e do desvio-padrão populacioais (µ e σ) Cada combiação desses parâmetros gera uma distribuição de probabilidade distita, como mostrado pela Figura 39 Figura 39: Efeitos de Variações em σ e µ (σ A > σ B e µ C > µ B ) f(x) B A C Fote: McGill, 997 µ A µ B µ C X o ituito de torar desecessário o uso da equação exposta acima e em face da impossibilidade de que se elaborem ifiitas tabelas de probabilidades, a variável aleatória (X) deve ser ormalizada, ou sea, covertida em uma variável aleatória ormal padroizada (Z) mediate a seguite trasformação, ilustrada pela Figura 30: 7 π radiaos 80 graus 36

39 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE µ Z X σ USADO MICROSOFT EXCEL: PADROIZAR(x;média;desv_padrão) Figura 30: Padroização da Distribuição ormal Distribuição ormal σ Z X µ σ Distribuição ormal Padroizada σ µ X µ 0 Z Uma tabela para CADA combiação de µ e σ Uma ÚICA tabela Fote: McGill, 997 A ova variável tem média ula (µ 0), desvio-padrão uitário (σ ) e FDP defiida pela seguite equação: f ( Z ) Z e π USADO MICROSOFT EXCEL: DISTORMP(z) calcula a probabilidade de que seam observados valores meores do que Z IVORMP(z) calcula o valor Z correspodete a uma dada probabilidade acumulada Portato, todo couto de dados distribuídos ormalmete pode ser trasformado de tal modo que as probabilidades correspodetes podem ser obtidas a partir da tabela da distribuição ormal padroizada (vide Aexo II), como ilustrado pelas Figuras 3 e 3 37

40 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 3: Obteção de Probabilidades [P(Z)] Dado um Valor ormal Padroizado (Z) Tabela da Distribuição ormal Padrão (Trecho) Z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0, 0,0793 0,083 0,087 0,3 0,79 0,7 0,55 Qual é o valor de P(Z) dado Z 0,7? µ 0 Probabilidades σ 0, 0,0478 Z Área sombreada superdimesioada Fote: McGill, 997 Figura 3: Obteção de um Valor ormal Padroizado (Z) Dada uma Probabilidade [P(Z)] Qual é o valor de Z dado P(Z) 0,7? σ Tabela da Distribuição ormal Padrão (Trecho) 0,7 0,0 Z 0,00 0, 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 µ 0 0,3 3 Área sombreada superdimesioada Z 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0, 0,0793 0,083 0,087 0,3 0,79 0,7 0,55 38 Fote: McGill, 997

41 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Covém otar que o valor de uma observação selecioada aleatoriamete tem, em toda distribuição ormal, uma probabilidade de 68,6% de estar cotido o itervalo σ µ + σ µ 3 σ; µ + 3 σ [ µ ; ] e de 99,73% de estar cotido o itervalo [ ] 3 Distribuição Expoecial A distribuição expoecial é amplamete utilizada em teoria das filas para estimar o período de tempo etre dois sucessos (p ex, chegadas, partidas, atedimetos, etc) O seu comportameto é defiido por um úico parâmetro: a quatidade média de sucessos por uidade de tempo (λ) A probabilidade de que o período de tempo etre dois sucessos sea igual ou meor a um valor X é dada pela seguite equação: P λ X ( itervalo etre"sucessos" X ) e USADO MICROSOFT EXCEL: DISTEXPO(x;lambda;cumulativo) Ode: lambda λ; cumulativo VERDADEIRO fução de distribuiç ão cumulativa; FALSO fução de desidade de probabilid ade O Exemplo 3 ilustra uma típica aplicação da distribuição expoecial Exemplo 3: Aplicação da Distribuição Expoecial Supoha-se um baco que atede, em média, 0 clietes por hora Qual é a probabilidade de que o itervalo etre dois atedimetos sea, o máximo, de 6 miutos ou 0, hora? 00, Dados λ 0 e X 0,, tem-se: P ( itervalo etre "sucessos" 0,) e 0,8647 Portato, há uma probabilidade de 86,47% de que o próximo atedimeto ocorrerá detro de 6 miutos A Figura 33, por sua vez, mostra os efeitos do parâmetro λ sobre o formato do gráfico da distribuição expoecial 39

42 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 33: Distribuição Expoecial Distribuição Expoecial Descreve itervalos de tempo ou distâcia etre evetos Fução Desidade f ( x) e x λ λ Parâmetros µ λ, σ λ f(x) f(x λ 0,5 λ,0 X Probabilidades P( x a) e ( x a λ ) e a λ a x Fote: McGill,

43 4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS As aálises de dados têm como um de seus pricipais obetivos o uso de estatísticas como a média e a proporção amostrais para estimar os parâmetros populacioais correspodetes Desse modo, uma pesquisa sobre iteção de voto tem os resultados amostrais apeas uma forma de obter estimativas acerca das iteções de todos os eleitores, equato que uma auditoria fiaceira poderá usar a média amostral para estimar o valor total de todas as operações costates de um cadastro Do poto de vista prático, uma úica amostra com uma quatidade predetermiada de observações é extraída da população com o auxílio de um gerador de úmeros aleatórios, que pode ser tato uma tabela preparada previamete, como uma rotia de computador UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO FERRAMETAS/AÁLISE DE DADOS (FIGURAS A, A9 & A0, AEXO I) selecioa uma amostra aleatória simples com reposição; ALEATÓRIOETRE(iferior;superior) gera um úmero etre os valores míimo (iferior) e máximo (superior) especificados, admitido repetições; ALEATÓRIO gera um úmero distribuído uiformemete o itervalo [0; [ Do poto de vista teórico, cotudo, a estimação de parâmetros populacioais por meio de estatísticas amostrais deveria evolver o exame de todas as possíveis amostras Se esse exame fosse efetivamete feito, a distribuição dos resultados obtidos correspoderia à distribuição amostral ote-se que a quatidade de possíveis amostras correspode: a) o caso de amostras com reposição, ao total de arraos com repetição de, a : AR ;, b) o caso de amostras sem reposição, ao total de combiações de, a :! C,!( )! USADO MICROSOFT EXCEL: COMBI(úm;úm_escolhido) Ode: úm ; úm_escolhido 4 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais A medida de tedêcia cetral mais amplamete usada é a média aritmética o caso de populações cua distribuição de probabilidades sea ormal, a média apreseta as seguites propriedades matemáticas, ilustradas pelas Figuras 4, 4 e 43:

44 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS X i i a) ão-viesada: a média de todas as possíveis médias amostrais (, ode m m é dado por AR,, o caso de amostras com reposição, ou por C,, o caso de amostras sem reposição) é igual à média populacioal (µ); 8 Figura 4: Medida ão-viesada m f( X) ão-viesado Viesado A C Fote: McGill, 997 µ X b) eficiete: comparado-se amostras, costata-se que a média é a medida de tedêcia cetral mais estável, proporcioado, em geral, as melhores estimativas para a média populacioal; Figura 4: Medida Eficiete f( X) Distribuição da Média Amostral B Distribuição da Mediaa Amostral A Fote: McGill, 997 µ X c) cosistete: aumetado-se o tamaho da amostra, observa-se uma redução a variação das médias amostrais em toro da média populacioal 8 Assim, aida que ão se coheça o quato uma dada média amostral aproxima-se da média populacioal, sabe-se, ao meos, que a média de todas as possíveis médias amostrais é igual à média populacioal 4

45 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Figura 43: Medida Cosistete f( X) Amostra de Tamaho Grade Amostra de Tamaho Pequeo B A Fote: McGill, 997 µ X Cabe frisar que a Lei dos Grades úmeros faz com que as médias amostrais apresetem uma meor variâcia do que as observações cotidas a população Efetivamete, os efeitos da evetual seleção de valores extremos para as amostras são compesados pelo próprio cálculo da média, como mostra a Figura 44 Figura 44: Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais 6 Amostras ª ª Observação Obs 3 4 ; ; ;3 ;4 ; ; ;3 ;4 3 3; 3; 3;3 3;4 4 4; 4; 4;3 4;4 População: {; ; 3; 4} (amostra com reposição) 6 Médias Amostrais ª ª Observação Obs 3 4,0,5,0,5,5,0,5 3,0 3,0,5 3,0 3,5 4,5 3,0 3,5 4,0 P(X) 0,30 0,0 0,0 0,00 µ,5 Fote: McGill, 997 População 3 4 σ, P( X) 0,30 0,0 0,0 0,00 Distribuição Amostral,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 X µ,5 0, 79 x σ x Ressalte-se que quato maior for o tamaho da amostra, meores são os efeitos da seleção de valores extremos Estatisticamete, esse feômeo é expresso pelo desviopadrão da média amostral, deomiado de erro-padrão da média ( σ ) as amostras com reposição, o erro-padrão é defiido pela seguite equação: X 43

46 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS σ σ X Portato, o erro-padrão da média ( σ da amostra (), como mostrado pela Figura 45 X ) dimiui à medida que cresce o tamaho Figura 45: Exemplo do Impacto de em Amostras Extraídas de Populações Distribuídas ormalmete Distribuição Populacioal σ 0 Tedêcia Cetral: µ µ Dispersão: σ x x σ µ 50 X Distribuições Amostrais (amostrages com reposição) 4 σ X 5 µ X - 50 X 6 σ X,5 Fote: McGill, 997 Assim, as amostras com reposição extraídas de populações ormalmete distribuídas, com média µ e desvio-padrão σ, tem-se que as distribuições de probabilidades das médias amostrais também são, para todo, ormais, com média µ µ e erro-padrão σ Além do mais, quato maior, maior a cocetração das médias amostrais ( X i ) em X toro da média populacioal (µ) O Exemplo 4 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de probabilidades das médias amostrais X 44

47 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Exemplo 4: Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Supoha-se que uma máquia empacotadora de caixas de cereais teha sido cofigurada de tal modo que as quatidades depositadas as caixas seam ormalmete distribuídas, com média de 368 g e desvio-padrão de 5 g Caso sea selecioada uma amostra de 5 das milhares de caixas empacotadas diariamete, qual é a probabilidade de que a média amostral fique etre 365 e 368 g? Como a população é ormalmete distribuída, tem-se que: Z X µ σ X X X µ σ , A área sob a curva ormal padroizada o itervalo [ ; 0] é igual a 0,343 Portato, 34,3% de todas as possíveis amostras de 5 caixas têm médias amostrais de 365 a 368 g O percetual calculado acima ão deve ser cofudido com a probabilidade de que um item qualquer da população teha de 365 a 368 g Essa probabilidade deve ser obtida da seguite maeira: X µ Z 0,0 σ 5 A área sob a curva ormal padroizada o itervalo [ 0,; 0] é igual a 0,0793 Portato, apeas 7,93% das caixas têm uma massa esperada de 365 a 368 g Dessa forma, as médias amostrais estão mais cocetradas em toro da média populacioal do que as massas de cada caixa Isso se deve ao próprio método de cálculo da média, que ateua os efeitos dos valores extremos Quado ão houver razões para crer que a população examiada é distribuída ormalmete, deve-se recorrer ao Teorema do Limite Cetral Segudo esse teorema, como mostram as Figuras 46 e 47, quado o tamaho da amostra é suficietemete grade, a distribuição das probabilidades das médias amostrais aproxima-se de uma distribuição ormal Isso ocorre idepedetemete da forma da distribuição da população Como regra geral, tem-se que amostras com trita ou mais elemetos apresetam distribuições das médias amostrais que assemelham-se a distribuições ormais O teorema em questão, cotudo, pode ser usado em amostras aida meores caso algumas características da população seam cohecidas o caso de populações com distribuições quase simétricas, p ex, pode-se utilizar amostras com quize elemetos 45

48 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 46: Teorema do Limite Cetral À medida que o tamaho da amostra se tora suficietemete grade ( 30) a distribuição amostral aproxima-se de uma ormal X Fote: McGill, 997 Figura 47: Aplicação do Teorema do Limite Cetral Tedêcia Cetral µ x µ Dispersão σ σ x Amostragem com reposição Distribuição Populacioal 4 σ X 5 µ 50 σ 0 X Distribuição Amostral 30 σ X,8 µ X - 50 X Fote: McGill,

49 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 4 Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais as variáveis categóricas compostas por ites que podem ser classificados como tedo ou ão uma dada característica, os dois possíveis resultados podem ser associados, respectivamete, aos valores e 0 esse caso, a média de uma amostra ( X ) de tamaho é defiida pela razão etre a soma dos valores s e 0 s costates da amostra e o seu tamaho Isso correspode à proporção dos elemetos da amostra, ou proporção amostral (p s ), que cotém a característica examiada, também chamada de sucesso, ou sea: qtde de sucessos X ps tamaho da amostra X Dessa forma, a proporção amostral (p s ) está ecessariamete cotida o itervalo [0, ] O erro-padrão da proporção ( σ p ), por sua vez, é defiido pela seguite equação: s ( p) p σ p s A distribuição de probabilidades das proporções amostrais, por fim, segue a distribuição biomial Essa distribuição, etretato, aproxima-se de uma distribuição ormal quado (p) e [(-p)] são superiores ou iguais a cico Figura 48: Distribuição de Proporções Amostrais Aproximação por uma distribuição ormal p 5 ( - p) 5 Média: µ P p Erro-padrão: p σ P ( p) Distribuição Amostral P(P s ) 0,3 0, 0, 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 P s, ode p proporção populacioal Fote: McGill,

50 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Exemplo 4: Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais Supoha-se um baco o qual se saiba que 40% de todos os corretistas têm várias cotas Caso sea selecioada uma amostra de 00 corretistas, qual é a probabilidade de que a proporção amostral de corretistas com várias cotas fique etre 0,40 e 0,43? Como (p) (000,4) 80 e [(-p)] [00(-0,40)] 0, etão a distribuição de probabilidades da proporção amostral é semelhate a uma distribuição ormal Assim, tem-se que: Z X µ σ X X X µ σ Z p s p p 0,43 0,40 ( p) 0,40 ( 0,40) 00 0,87 A área sob a curva ormal padroizada o itervalo [0; 0,87] é igual a 0,3078 Portato, é de 30,78% a probabilidade de que, em uma amostra com 00 corretistas, de 40 a 43% deles teham várias cotas 43 Amostragem em Populações Fiitas O Teorema do Limite Cetral e os erros-padrão da média e da proporção baseiam-se a premissa de que as amostras são selecioadas com reposição, porém, em geral, as pesquisas ão apeas são coduzidas sem reposição, como evolvem uma porcetagem sigificativa da população Assim, quado é superior a 0,05, deve-se usar um Fator de Correção para Populações Fiitas (CPF) o cálculo dos errospadrão da média e da proporção Esse fator é defiido pela equação idicada a seguir: CPF Dessa forma, as equações referetes aos erros-padrão da média e da proporção passam a ser, respectivamete: ( ) σ p p σ e σ X p s Como o fator em questão é, em geral, iferior a, os erros-padrão corrigidos são meores do que os ão-corrigidos, o que é coerete com o fato de que a amostra abrage uma fração sigificativa da população 48

51 5 ESTIMAÇÃO Como ilustrado pela Figura 5, há dois tipos pricipais de estimativa: a potual e a do itervalo A estimativa potual eqüivale a um úico valor, usado como estimativa do parâmetro populacioal A média e a variâcia amostrais ( X e S ) são, respectivamete, estimativas potuais da média e da variâcia populacioais (µ e σ ) Como, cotudo, as estatísticas amostrais variam de amostra para amostra, é importate que se leve em cosideração a distribuição amostral de probabilidades, o que é feito mediate a estimativa do itervalo, que deve coter o parâmetro populacioal Ademais, associado ao itervalo estimado há uma probabilidade, ou ível de cofiaça, de que sea um dos itervalos que efetivamete cotêm o parâmetro populacioal Figura 5: Elemetos de uma Estimativa Probabilística Probabilidade de que o Itervalo Estimado sea um dos Itervalos que Cotêm o Parâmetro Populacioal Itervalo de Cofiaça Estatística Amostral (Estimativa potual) Limite de Cofiaça Iferior Limite de Cofiaça Superior Fote: McGill, 997 A Figura 5 mostra como as estimativas dos itervalos de cofiaça associadas às médias amostrais variam coforme diferetes íveis de cofiaça, obtidos a partir da tabela da distribuição ormal padroizada

52 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 5: Itervalos de Cofiaça das Médias Amostrais X µ ± Zσ x σ x _ µ-58σ x µ-65σ x µ µ+65σ x µ+58σ x X µ-96σ x µ+96σ x 90% Amostras 95% Amostras 99% Amostras Fote: McGill, Estimativa do Itervalo da Média com σ Cohecido o capítulo aterior, verificou-se que o percetual de médias amostrais cotidas em qualquer itervalo cetrado a média populacioal pode ser obtido a partir do Teorema do Limite Cetral ou de iformações dispoíveis acerca da distribuição da população O presete item fará o cotrário: com base os resultados de uma úica amostra, serão extraídas coclusões sobre a população Do poto de vista prático, a média populacioal (µ) ão é cohecida Dessa forma, quado o desvio-padrão (σ) é sabido, em vez do itervalo σ σ σ σ µ Z ; µ + Z, tem-se o itervalo X Z ; X + Z, com ( α)% das médias amostrais ( X m ), com o valor ( α) correspodedo ao dobro da área sob a curva da distribuição ormal padroizada cotida o itervalo [0; Z] 9, a qual é simétrica em relação à área cotida o itervalo [ Z; 0] 9 Z valor crítico da distribuição ormal padroizada associado à metade do complemeto do ível de cofiaça 50 ( α ) deseado, ou sea:

53 ESTIMAÇÃO Cosiderado-se, para um dado e um dado α, todas as possíveis médias amostrais e os respectivos itervalos de cofiaça, tem-se que ( α)% desses itervalos cotêm a média populacioal, como mostrado pela Figura 53 Figura 53: Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Cohecedo-se o Desvio-Padrão Populacioal Distribuição da Média Amostral Itervalos estedem-se de X - Zσ X a X + Zσ X α/ - α α/ µ x µ σ x _ Grade Qtde de Itervalos _ X ( - α)% dos itervalos cotêm µ α% ão cotêm µ Fote: McGill, 997 UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO FERRAMETAS/AÁLISE DE DADOS (VIDE FIGURAS A, A & A, AEXO I ) gera estimativa do itervalo de cofiaça com σ cohecido Assim, um itervalo de cofiaça de 95% (α 5% e Z,96) sigifica que o parâmetro populacioal está cotido em 95% de todos os possíveis itervalos, para um dado Dessa forma, aida que ão se teha certeza de que um dado itervalo de cofiaça, obtido a partir de uma amostra específica, coteha o parâmetro deseado, sabe-se que essa codição é satisfeita por 95% de todas as amostras de tamaho Destaque-se que, para um dado, maior o ível de cofiaça deseado, maior o itervalo em toro da média amostral, toado a estimativa obtida meos precisa e, por extesão, meos útil Uma possível aplicação das estimativas em questão ecotra-se ilustrada o Exemplo 5 5

54 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Exemplo 5: Aplicação da Estimativa do Itervalo da Médias com σ Cohecido Supoha-se uma fábrica de folhas de papel, cua produção é ormalmete distribuída, com comprimeto esperado de 8 cm e desvio-padrão cohecido de 0,05 cm Caso sea selecioada uma amostra de 00 folhas e a média obtida teha sido de 7,995 cm, qual é a estimativa do itervalo da média para um ível de cofiaça de 95%? Como a população é ormalmete distribuída, tem-se que: α ( 0,95) 0,05 Z,96; X σ 0,05 ± Z 7,995 ±,96 7,995 ± 0,0 7,985 µ 8, Portato, a amostra selecioada idica que o itervalo [7,985; 8,005] cotém a média populacioal, com 95% de ível de cofiaça de que esse sea um dos itervalos que efetivamete cotêm o parâmetro deseado Cocluido, como o comprimeto esperado está cotido o itervalo estimado, a hipótese de que a fábrica está operado corretamete é aceita Esse procedimeto correspode a um Teste de Hipótese, o qual a Hipótese ula (H 0 ) eqüivale à aceitação do valor esperado, equato que a Hipótese Alterativa (H ) eqüivale à reeição Se, este exemplo, o cumprimeto esperado estivesse aquém ou além do itervalo estimado, aceitar-se-ia a hipótese alterativa, com risco de 5% de que se estivesse reeitado um processo de fabricação correto 0 5 Estimativa do Itervalo da Média com σ Descohecido Assim como a média populacioal costuma ser descohecida, o desvio-padrão também é, em geral, ão-cohecido Dessa forma, o itervalo de cofiaça deve ser estimado com base a média e o desvio-padrão amostrais Para tato, deve-se recorrer ão à distribuição ormal, mas sim à distribuição de t de Studet (vide Aexo II) o caso de populações distribuídas ormalmete, as probabilidades da estatística S ( X µ ) seguem uma distribuição t de Studet com (-) graus de liberdade (gl) Aparetemete, a distribuição t de Studet e a distribuição ormal são semelhates ambas são simétricas e têm forma de sio A área defiida pela primeira curva, cotudo, é meor o cetro e maior as extremidades do que o caso da seguda À 0 Há dois tipos de erro ieretes ao processo de teste de sigificâcia Há um risco de que H 0 sea ulgada falsa aida que sea verdadeira A probabilidade de que se cometa esse erro, cohecido como erro do Tipo I, é igual ao ível de sigificâcia do teste (ie, α) Também há o risco de que H 0 sea ulgada verdadeira embora sea falsa A probabilidade de que se cometa esse erro, cohecido como erro do Tipo II, é defiido pelo símbolo β 5

55 ESTIMAÇÃO medida que aumetam os graus de liberdade (gl), porém essa difereça dimiui, como mostrado pela Figura 54 Figura 54: Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Descohecedo-se o Desvio-Padrão Populacioal Distribuição Distribuições t ormal (curva do tipo sio achatadas, com caudas simétricas) 0 t (gl 3) t (gl 5) Z t Fote: McGill, 997 Como o grau de liberdade (gl) da estatística deseada é obtido a partir do tamaho da amostra, tem-se que, para superior ou igual a 0, as distribuições ormal e t de Studet são eqüivaletes a prática, como mostra a Figura 55, desde que a amostra sea umerosa o suficiete e desde que a população ão sea muito viesada, a distribuição t de Studet pode ser usada a estimação do itervalo de cofiaça, bastado substituir a estatística Z pela estatística t -, ou sea: X t S S µ X + t UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I, COLUAS C E D ATÉ A LIHA 3 Medida que exprime a quatidade de observações idepedetes de uma variável Assim, dada uma amostra com observações X, X, X 3,, X e média X, somete (-) observações podem assumir quaisquer valores sem que a restrição defiida por X sea violada t - valor crítico da distribuição t de Studet com (-) graus de liberdade associado ao complemeto do ível de cofiaça deseado 53

56 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 55: Aplicação da Tabela t de Studet Área da Cauda à Direita gl 0,5 0,0 0,05,000 3,078 6,34 α / Assumido-se: 3; gl - ; α 0,0; α/ 0,05 0,87,886,90 0,05 3 0,765,638,353 Valores t 0,90 t Fote: McGill, 997 ota: Diferetemete da distribuição t de Studet exibida o Aexo II, a figura acima refere-se a um teste uicaudal Uma possível aplicação das estimativas em questão ecotra-se ilustrada o Exemplo 5 Exemplo 5: Aplicação da Estimativa do Itervalo para Médias com σ Descohecido o exemplo aterior, descohecedo-se o desvio-padrão populacioal, qual é o ovo valor crítico? Dados que a população é ormalmete distribuída, o ível de cofiaça deseado é de 95% e a amostra tem 00 observações, e como o desvio-padrão populacioal é descohecido e < 0, tem-se que: ( ) t α 0,95 0,05 99 ;0,05,984 3 O ovo valor crítico é um pouco superior ao valor aterior:,984 em vez de,96 O uso da mesma medida para o desvio-padrão resultaria em um itervalo de cofiaça um pouco maior o presete exemplo Ou sea, a ova estimativa é meos precisa que a aterior em decorrêcia da meor dispoibilidade de iformações α 3 O uso de α o presete exemplo e de o aterior deve-se ao modo como os percetuais de cada tabela são apresetados 54

57 ESTIMAÇÃO 53 Estimativa do tipo Bootstrappig Embora as estimativas de itervalos de cofiaça seam amplamete utilizados para fazer iferêcias acerca dos parâmetros populacioais, as hipóteses subacetes a essas estimativas em sempre correspodem à realidade Os itervalos calculados acima, p ex, baseiam-se a hipótese de que as amostras são extraídas de populações ormalmete distribuídas Aida que os itervalos de cofiaça ão seam muito sesíveis a pequeos relaxametos dessa hipótese, a preseça de um substacial ível de ão-ormalidade a população, especialmete quado o tamaho da amostra é pequeo, pode gerar itervalos imprecisos para a média Um modo de cotorar o problema citado acima é a estimação do tipo bootstrappig Esse método evolve a seleção sem reposição de uma amostra iicial de tamaho, a qual é recombiada com reposição de 00 a 000 vezes, depededo da capacidade de processameto do computador empregado, para que sea obtida uma distribuição das médias amostrais sem que se recorra a hipóteses acerca da distribuição populacioal Primeiro, forma-se com as médias calculadas uma seqüêcia ordeada de observações Em seguida, a seqüêcia é segmetada coforme o ível de cofiaça deseado Caso sea de 95%, p ex, deve-se idetificar as observações que separam os primeiros e os últimos,5% das observações dos 95% restates, cocetrados em toro da mediaa das médias amostrais Por fim, os valores associados às observações idetificadas defiem a estimativa do itervalo de cofiaça UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: seleção de uma amostra de tamaho sem reposição gerar uma amostra de tamaho > com reposição (vide Figuras A, A9 & A0, Aexo I), aproveitado-se as - primeiras observações distitas; seleção, a partir da amostra iicial, de 00 a 000 amostras de tamaho com reposição (vide Figuras A, A9 & A0, Aexo I); calcular a média amostral de cada amostra MÉDIA(úm;úm;); ordear as médias amostrais usar a opção DADOS/CLASSIFICAR ; idetificar os percetis deseados austar as fórmulas das células B4 e B5 e os textos correspodetes da Tabela A, Aexo I 54 Estimativa do Itervalo para Proporções A exemplo da média, também pode-se estimar um itervalo de cofiaça para a proporção de um couto de observações que satisfaz uma dada codição Como visto ateriormete, quado (p) e [( p)] são superiores ou iguais a 5, a distribuição biomial assemelha-se à distribuição ormal esse caso, o itervalo de cofiaça é defiido da seguite maeira: 55

58 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS p s ( p ) p ( p ) ps s s s Z p ps + Z ; Ode: p s proporção amostral; Z valor crítico da distribuição ormal padroizada associado à metade do complemeto do ível de cofiaça; tamaho da amostra; p proporção populacioal UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I, COLUAS E E F ATÉ A LIHA 3 O Exemplo 53 ilustra uma das possíveis aplicações da estimativa de itervalos de cofiaça para proporções Exemplo 53: Aplicação da Estimativa do Itervalo para Proporções Supoha-se uma editora que desee cohecer a proporção de revistas distribuídas com defeito (p ex, págias duplicadas ou suprimidas) Caso sea selecioada uma amostra de 00 revistas, 35 das quais defeituosas (p s 7,5%), qual é a estimativa do itervalo da proporção para um ível de cofiaça de 90%? Como (p s ) 35 e [( p s )] 65, tem-se que: α ( 0,9) 0,05 Z,645; p s ( p ) p s s 0,750,85 ± Z 0,75 ±,645 0,75 ± 0,044 0,308 p 0,9 00 Portato, a amostra selecioada idica que de 3,08% a,9% das revistas são distribuídas com defeito, com 90% de ível de cofiaça de que o itervalo [0,308; 0,9] sea um dos itervalos que efetivamete cotêm o parâmetro deseado ote-se que quato meor o ível de cofiaça, meor o itervalo estimado Dessa forma, a cofiaça e a precisão das estimativas variam iversamete Para uma dada combiação de e α, os itervalos de cofiaça estimados para proporções, ecessariamete evolvedo variáveis categóricas, costumam ser maiores, ou meos precisos, do que os itervalos estimados para variáveis cotíuas Equato que o primeiro tipo de estimativa as observações são agrupadas em uma quatidade fiita de categorias, o segudo, as observações são mais variadas, agregado mais iformação à estimativa 56

59 ESTIMAÇÃO 55 Determiação do Tamaho da Amostra os exemplos examiados ateriormete, o tamaho da amostra foi fixado arbitrariamete, idepedetemete da extesão do itervalo de cofiaça a prática, a determiação do tamaho apropriado da amostra é um procedimeto complexo, evolvedo restrições quato ao tempo, aos dados e aos recursos fiaceiros dispoíveis e quato à facilidade de seleção das observações O acesso a dados coletados por pesquisas ateriores ou por testes-piloto, em especial, permite uma melhor alocação dos recursos dispoíveis Idepedetemete das restrições existetes, todavia, as propriedades matemáticas dos estimadores cotiuam valedo Dessa forma, o tamaho da amostra tido como exeqüível pode ão permitir iferêcias tão cofiáveis ou tão precisas quato se desea Isso, porém, ão ecessariamete sigifica que a amostragem pretedida é irrelevate, pois os dados coletados podem forecer tato coclusões prelimiares, como idicações valiosas para futuras pesquisas 55 Médias Do poto de vista estritamete matemático, o tamaho da amostra para estimar a média é obtido por meio da seguite trasformação: Z X µ S o Z S o ( X µ ), com S o estimativa iicial do desvio-padrão Defiido-se o erro amostral (e) como a difereça etre as médias amostral e populacioal ( X µ), tem-se, aida: Z S o, a ser aproximado para o valor iteiro imediatamete superior quado cotiver e casas decimais UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A3, AEXO I, COLUAS A E B ATÉ A LIHA 08 Portato, dados o ível deseado de cofiaça, o erro amostral admitido 4 e uma estimativa iicial do desvio-padrão, fixada a partir de pesquisas ateriores, de prétestes ou de cosultas a especialistas 5, obtém-se o tamaho apropriado da amostra Destaque-se que esses valores prelimiares ão devem ser cofudidos com os resultados da pesquisa amostral, pois as estimativas obtidas podem ão ser referedadas pelos dados coletados Assim, as expectativas quato ao ível de cofiaça e ao erro amostral podem ser 4 O erro amostral admitido correspode a maior difereça etre as médias amostral e populacioal tida como isigificate em face do propósito da pesquisa que estiver sedo coduzida 5 Alterativamete, caso haa razões para crer que a população examiada é ormalmete distribuída, a estimativa iicial do desvio-padrão pode ser dada por da amplitude (A t 6σ as populações ormalmete distribuídas) 6 57

60 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS reformuladas, para melhor ou para pior, à luz do desvio-padrão amostral efetivamete calculado 55 Proporções A exemplo do que foi feito acima, a estimação de proporções o tamaho da amostra é dado pela seguite trasformação: Z po ( po ) ( p ) ps p Z, com p po ( po ) s p o estimativa iicial da proporção de sucessos Defiido-se o erro amostral (e) como a difereça etre as proporções amostral e populacioal (p s p), tem-se, aida: ( p ) Z po o, a ser aproximado para o valor iteiro imediatamete superior quado e cotiver casas decimais UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A3, AEXO I, COLUAS C E D ATÉ A LIHA 08 Geralmete, a estimativa iicial da proporção de sucessos é fixada a partir de dados coletados previamete Caso, porém, ão haa dados dispoíveis, pode-se recorrer ao valor de p o qual ocorre o máximo da fução f(p) p( p) 6 Cosequetemete, a estimativa mais coservadora para a proporção de sucessos é 0,5 Esse valor defie, para cada ível de cofiaça, a maior amostra exigida por pesquisas amostrais com apeas duas categorias, como pode ser observado o Exemplo 55 Exemplo 55: Cálculo do Tamaho da Amostra para Estimar Duas Proporções Supoha-se uma campaha eleitoral com vários cadidatos Qual deve ser o tamaho da amostra para que se possa obter, com 95% de ível de cofiaça e 3% de margem de erro, as iteções de votos em um dos cadidatos? Com ( α) 0,95 e e 0,03, fazedo-se p o 0,5 e agrupado-se os votos ulos e em braco e as iteções de voto os demais cadidatos em uma úica categoria, tem-se: α ( 0,95) Z 0,05 Z,96 p o ( p ),96 0,5( 0,5) e o 0,03 067, 068 Portato, a ausêcia de mais iformações, são ecessárias 068 etrevistas para que sea obtida a proporção deseada 6 f(p) p( p) p p 58 ( p) df p* 0 p* ; dp d f ( p) p *é um poto máximo dp

61 ESTIMAÇÃO A Tabela 5 sitetiza vários tamahos de amostra para estimar proporções, dado um ível de cofiaça de 95% (Z,96): Tabela 5: Tamaho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Proporções de Sucesso (Z,96) (em %) Estimativa Erro Amostral Admitido (e) Iicial de p (p 0 ) 0,5 0,0 0,05 0,03 5 d d d 03 0 d d d ota: d correspode a ão defiido, pois (p) é iferior a 5 as amostrages com mais de duas categorias, os pesquisadores terão, ecessariamete, de defiir estimativas iiciais para as k-proporções deseadas, ão havedo uma hipótese mais coservadora para cada tipo de sucesso Com base as estimativas iiciais, os pesquisadores deverão calcular (k-) tamahos de amostra coforme mostrado ateriormete, somado-os em seguida para obter o tamaho total Esse procedimeto achase ilustrado o Exemplo 56 Exemplo 56: Cálculo do Tamaho da Amostra para Estimar -Proporções Supoha-se uma campaha eleitoral com três cadidatos Qual deve ser o tamaho da amostra para que se possa obter, com 95% de ível de cofiaça e 3% de margem de erro, as iteções de votos em cada cadidato, bem como as proporções de votos ulos e em braco? Com base as pesquisas realizadas ateriormete, as estimativas iiciais para as iteções de voto os três cadidatos são p 0,40, p 0,30 e p 3 0,5, e que os votos ulos e em braco são, respectivamete, p 4 0,0 e p 5 0,05 Com ( α) 0,95, e 0,03 e tratado-se os votos ulos como resíduo, tem-se: a) p 0,40 q (p + p 3 + p 4 + p 5 ) 0,60 05; b) p 0,30 q (p + p 3 + p 4 + p 5 ) 0,70 897; c) p 3 0,5 q (p + p + p 4 + p 5 ) 0, ; d) p 5 0,05 q (p + p + p 3 + p 4 ) 0, ; e) Portato, em pricípio, são ecessárias 670 etrevistas para que seam obtidas as cico proporções deseadas Covém frisar que as proporções obtidas podem ou ão coicidir com as estimativas defiidas iicialmete Dessa forma, é fudametal que o ível de cofiaça e os amostrais seam recalculados à luz dos ovos resultados Isso poderá ou ão gerar estimativas mais precisas e/ou cofiáveis do que aquelas pretedidas 59

62 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS O método ilustrado acima mais do que duplicou o tamaho origial da amostra Um modo meos oeroso de obter resultados igualmete válidos é o uso da seguite simplificação (SOUZA, 990, p 43): Z' e 0,5, com Z' correspodedo ao valor crítico da distribuição ormal padroizada associado à metade do complemeto do ível de cofiaça deseado, austado coforme a quatidade de categorias examiadas, ou sea: ψ ( α ) k Z', com k correspodedo à quatidade de categorias 7 O Exemplo 57 ilustra a simplificação descrita acima Exemplo 57: Cálculo Simplificado do Tamaho da Amostra para Estimar -Proporções o exemplo aterior, utilizado-se a simplificação sugerida, qual deve ser o tamaho da amostra para que se possa obter, com 95% de ível de cofiaça e 3% de margem de erro, as iteções de votos em cada cadidato, bem como as proporções de votos ulos e em braco? Com ( α) 0,95, e 0,03 e k 5, tem-se: ψ ( α) k ( 0,95) 5 0,0065 z',49 ; Z' 0,5,49 0,5 7,5 73 e 0,03 Portato, são ecessárias 73 etrevistas para que seam obtidas as cico proporções deseadas Pode-se, cotudo, dimiuir o tamaho da amostra por meio de técicas mais complexas (p ex, amostrages estratificadas, por coglomerados ou com estimadores do tipo razão ou do tipo regressão ), as quais exigem uma maior quatidade de iformações acerca da população 56 Amostragem em Populações Fiitas as amostrages sem reposição e com iferior ou igual a (0), os itervalos de cofiaça e os tamahos apropriados das amostras devem ser austados pelo CPF (vide Item 43) Os itervalos de cofiaça austados são: 7 α ψ para k 60

63 ESTIMAÇÃO 6 a) estimação da média: com desvio-padrão cohecido: σ + σ ; Z X Z X ; UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I, COLUAS A E B A PARTIR DA LIHA 4 com desvio-padrão descohecido: + ; S t X S t X ; UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I, COLUAS C E D A PARTIR DA LIHA 4 b) estimação da proporção: ( ) ( ) + ; p p Z p p p Z p s s s s s s UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I, COLUAS E E F A PARTIR DA LIHA 4 Já os tamahos austados das amostras ( CPF ), a estimação tato de médias, como de proporções, são: ( ) + CPF, com correspodedo ao tamaho ão-austado UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A3, AEXO I, A PARTIR DA LIHA Estimativa do Itervalo para Totais O total (T) é obtido multiplicado-se a média amostral pelo tamaho da população, ou sea: X T O respectivo itervalo de cofiaça, por sua vez, é: + ; S t X S t X

64 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A4, AEXO I Uma das possíveis aplicações da presete modalidade de estimativa ecotra-se ilustrada o Exemplo 58 Exemplo 58: Aplicação da Estimativa do Itervalo para Totais Supoha-se um arquivo cotedo 5000 ordes bacárias, ormalmete distribuídas, mas cuos motate e desvio-padrão ão são cohecidos Uma amostra de 00 ordes gerou os seguites resultados: X R$ 076,39 e S R$ 73, 6 Qual é o motate estimado das ordes e respectivo itervalo, para um ível de cofiaça de 95%? Dado que > (0) e < 0, tem-se que: T X (5000)(076,39) ( ) t α 0,95 0,05 99 ;0,05,984 X ± t S 73,6 ( 5000) ( 076,39) ± ( 5000) (,984) (538950) ± (743,04) ,96 T ,04 Portato, a estimativa potual para o motate é de R$ ,00, equato que o itervalo estimado para o ível de cofiaça deseado, é [R$ 5058,96; R$ ,04] 58 Estimativa do Itervalo para Difereças A estimação da difereça é empregada quado se crê que os registros referetes a um couto de ites cotêm erros, cuo motate desea-se cohecer Essa técica, comum em trabalhos de auditoria, evolve os seguites procedimetos: a) seleção de uma amostra de tamaho apropriado; b) cálculo da difereça amostral média ( D ) etre o valor observado do item e o valor costate do registro, ou sea: Di i D, com D i (X i, observado X i, registrado ); 6 c) cálculo do desvio-padrão (S D ) amostral das difereças, ou sea:

65 ESTIMAÇÃO S Di D D i ; d) estimativa do itervalo de cofiaça da difereça total, ou sea: S D Sd D t + ; D t UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A5, AEXO I Uma aplicação possível da estimativa do itervalo para difereças ecotra-se ilustrada o Exemplo 59 Exemplo 59: Aplicação da Estimativa do Itervalo para Difereças Supoha-se um cadastro cotedo 5000 ordes bacárias, ormalmete distribuídas, mas cuo desvio-padrão ão é cohecido Uma amostra de 00 ordes idetificou 4 ordes cuos valores diferiam dos valores costates do cadastro Qual é o motate estimado das difereças e o respectivo itervalo para um ível de cofiaça de 95%? A amostragem revelou as seguites difereças (D i ): R$ 75,4, R$ 38,97, R$08,54, R$ 37,8, R$ 6,75, R$ 8,3, R$ 88,84, R$ 7,74, R$ 55,4, R$ 39,03, R$ 9,4, R$ 47,99, R$ 8,73 e R$ 84,05 00 D i Di 006,9034 i i D 6,9034 e S D 7, Dado que > (0) e < 0, tem-se que: D 3457 ( ) t α 0,95 0,05 D ± t SD 99 ;0, ,84 D 659,6,984 7,3 ( 5000) ( 6,9034) ± ( 5000) (,984) (3457) ± (70,6) Portato, a estimativa potual para o motate da difereça é de R$ 3457,00, equato que o itervalo estimado, para o ível de cofiaça deseado, é [R$ 7504,84; R$ 659,6] 00 63

66 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 64

67 6 VARIATES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES Os coceitos euciados o capítulo aterior referem-se às amostras aleatórias simples (vide item ) Por coseguite, essa modalidade de amostragem cofude-se com os próprios fudametos da iferêcia estatística As demais modalidades represetam desevolvimetos da amostragem aleatória simples destiados a capturar, com maior precisão e meor custo, as características relevates da população Os próximos ites abordarão dois desses desevolvimetos: as amostrages aleatórias estratificada (AAE) e por coglomerados (AAC) 8 6 Amostragem Aleatória Estratificada Caso os membros da equipe de auditoria acreditem que haa uma estreita relação etre o obeto do trabalho e uma dada característica da população ou ulguem que um subgrupo específico da população é particularmete iteressate para os propósitos da ivestigação, covém recorrer à amostragem estratificada, a qual a população é dividida em k-estratos mutuamete excludetes e exaustivos, selecioado-se uma amostra aleatória simples de cada estrato (vide item ) k ote-se que se os k-estratos da população cotêm,,, k elemetos, etão: Da mesma forma, se as k-amostras têm tamahos,,, k, o tamaho total da amostra () é: k 6 Estimação de Médias, Totais e Proporções a AAE As médias populacioais dos k-estratos são deotadas por meio dos símbolos µ, µ,, µ k, equato que os símbolos X, X,, X k correspodem às k-médias amostrais Cosiderado-se o -ésimo estrato, tem-se que simples, é um estimador ão-viesado de µ X, obtido a partir de uma amostra aleatória A variâcia do estimador da média amostral do estrato em questão ( S vez, é defiida pela seguite equação: X ), por sua S X S, com S estimativa da variâcia populacioal do -ésimo estrato 8 As equações expostas este capítulo e o capítulo aterior estão sitetizadas o Aexo III

68 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS geral ( X AE Uma vez apuradas as k-médias amostrais, a estimação da média populacioal ) é imediata: X AE k X, com AE amostragem estratificada Cosiderado-se que as amostras selecioadas em cada estrato são mutuamete idepedetes, tem-se que a estimativa ão-viesada da variâcia do estimador da média populacioal geral ( S ) é: X AE S X AE k S X Para superior ou igual a 0, o itervalo de cofiaça da média populacioal X AE ± Z S geral verdadeira (µ), para Z dado pelo α deseado, é: [ ] O Exemplo 6 ilustra algumas da pricipais propriedades da amostragem estratificada X AE Exemplo 6: Aplicação da Estimativa de Médias a Amostragem Estratificada O Miistério do Trabalho e Emprego oferece cursos de requalificação profissioal em 55 locais a região sul: 60 o Rio Grade do Sul, 50 o Paraá e 45 em Sata Cataria O miistério cogita acrescetar mais um curso ao rol á dispoível o ituito de estimar quato seria a demada mesal média por local pelo ovo curso, procedeu-se ao acréscimo cogitado em locais o Rio Grade do Sul, 0 o Paraá e 9 em Sata Cataria, selecioados aleatoriamete Ao logo de um mês, apurou-se, com base as quatidades de pessoas que se iscreveram o ovo curso, os seguites resultados amostrais (ie, média e desvio-padrão): a) X RS, e S, 8; b) X PR 3, 3 e S, 4 ; RS PR c) X SC 6, e S 9, SC Para que a demada mesal média por local sea obtida, ote-se, primeiramete, que: a) RS 60 e RS ; b) PR 50 e PR 0; c) SC 45 e SC 9; d) 55 e 3 A estimativa da média populacioal é: X AE 3 55 X 60, , 0, ; com RS, PR e SC 55 Cotiua 66

69 VARIATES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES As variâcias dos estimadores da média de cada estrato, por sua vez, são: Cotiuação a) b) c) S S S X RS X PR X SC S S S RS RS PR PR SC SC RS RS PR PR SC SC RS PR SC,8,4 0 9, 9 ( 60 ) 60 ( 50 0) 50 ( 45 9) 45 0,93; 0,397 ; 7,54 Com essas variâcias, á se poderia defiir os itervalos de cofiaça das médias dos estratos o etato, o itervalo deseado refere-se à média geral Para isso, é preciso calcular S, ou sea: X AE S 3 S X AE 55 S X AE X 60 0, , ,54 55,83 Ademais, para α 95% e 3 ( < 0), tem-se t 30; 0,05,04 Assim, o itervalo de cofiaça da média geral é: [0,0,04,83 < µ < 0,0 + 04,83] [6,37 < µ < 3,83] Dessa forma, pode-se afirmar, com um ível de cofiaça de 95%, que a demada mesal média por local pelo ovo curso está compreedida o itervalo [6,37; 3,83] Como o valor total de uma população é dado pela multiplicação da quatidade de elemetos que a compõem pelo seu valor médio, bastam algumas trasformações para que se obteha o itervalo de cofiaça correspodete A estimativa potual, a variâcia do estimador e o itervalo deseado, para superior ou igual a 0, são defiidos pelas seguites equações: a) X AE X ; k b) S S ; X k X AE c) [ X AE Z S ] X AE ± o Exemplo 6, as ovas equações são aplicadas ao exemplo aterior Exemplo 6: Aplicação da Estimativa de Totais a Amostragem Estratificada o exemplo aterior, a demada total pelo ovo curso geraria, para α 95% e 3 (t 30; 0,05,04), o seguite itervalo de cofiaça: [550,0,0455,83 < µ < 550, ,83] [536,85 < µ < 3694,5] 67

70 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS o que se refere à estimação de itervalos para proporções populacioais, a estimativa potual, a variâcia do estimador e o itervalo de cofiaça correspodete, para superior ou igual a 0, são assim defiidos: ^ k a) p AE p AE ^ p k b) S S ^ c) ^ p AE ± Z S ^ p AE ^ p, com p^, com S proporção amostral de sucessos do -ésimo estrato; ^ p ^ p ( ) ^ ; p 6 Determiação do Tamaho da Amostra a AAE Uma vez que a amostragem estratificada pode ser etedida como uma combiação de amostras aleatórias simples, o cálculo do tamaho da amostra de cada estrato deve observar as equações defiidas o capítulo aterior Covém frisar, porém, que as equipes de auditoria ão precisam utilizar o mesmo ível de cofiaça (α) e o mesmo erro amostral (e) em todos os estratos Esses parâmetros poderão variar coforme a maior ou meor importâcia de cada estrato para o trabalho proposto Assim, uma pesquisa que desee apurar a opiião de toda população sobre certo tema, mas que estea particularmete iteressada a opiião de um grupo ético ou profissioal específico, poderá atribuir a esse grupo um maior ível de cofiaça e/ou um meor erro amostral o mometo do cálculo do tamaho da amostra Importa otar, cotudo, que a variâcia do estimador da média amostral de cada estrato é sesível ao tamaho da amostra Dessa forma, supodo-se tudo mais costate, quato meor o tamaho da amostra, maior a variâcia em questão, o que pode gerar problemas a fase de agregação Portato, as equipes de auditoria devem tomar cuidado para que os estratos meos importates ão fiquem demasiadamete subrepresetados o estudo amostral, pois isso comprometeria a geeralização dos resultados obtidos para toda a população Além dessas cosiderações, o tamaho da amostra de cada estrato também pode ser defiido privilegiado-se os estratos com maior variâcia Esse procedimeto, deomiado alocação ótima, é usado para estimar as médias, totais e proporções gerais, sedo meos útil quado se desea obter estimativas para cada estrato Ademais, pressupõe que a variâcia dos estratos (σ ) sea cohecida Supodo-se uma amostra total com tamaho, a alocação ótima estipula que as amostras de cada estrato deverão ter os seguites tamahos: σ a) estimação de médias: ; k σ 68

71 VARIATES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES b) estimação de proporções: ( p ) ( ) p p k p 6 Amostragem Aleatória por Coglomerados Cofrotadas, p ex, com a ausêcia de um cadastro completo ou cofiável, ou com os altos custos associados à realização de etrevistas de cotato direto, as equipes de auditoria podem optar pela amostragem por coglomerados Trata-se de um procedimeto recomedável quado a população pode ser subdividida em coglomerados meores, que seam geograficamete compactos (p ex, bairros ou quarteirões de uma cidade) essa modalidade de amostragem, selecioa-se, primeiramete, uma amostra aleatória simples de coglomerados Em seguida, todos os seus membros são etrevistados Em outras palavras, a amostragem por coglomerados eqüivale a uma amostra aleatória simples seguida de um ceso (vide item 3) 6 Estimação de Médias, Totais e Proporções a AAC Supoha-se que a população se divida em M coglomerados, que uma amostra aleatória simples de m coglomerados teha sido selecioada e que seus itegrates (,,, m ) teham sido etrevistados Com base as médias e proporções amostrais dos coglomerados escolhidos ( X, X,, X m e m ^ ^ ^ p, p,, p ), tem-se que as estimativas potuais da média e da proporção gerais ( X AC e p^ AC ), as variâcias dos estimadores e os itervalos de cofiaça correspodetes, para superior ou igual a 0, são assim defiidos: a) b) X m AC m S ou X AC X S ^ p AC e M M m ^ p AC m m m m ( X X AC ) p S AC ^,, com AC amostragem por coglomerados ; m m ^ ^ p p AC Ode: S AC ou estimativa da variâcia m m populacioal; ^ ^ X AC Z S < µ < X AC + Z S e X AC X AC p AC Z S ^ < p < p AC + Z S ^ p AC p AC c) [ ] Observe-se que, o presete cotexto, as iferêcias podem ser feitas com uma quatidade relativamete pequea de iformações previamete dispoíveis acerca da 69

72 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS população Basta que a população possa ser claramete dividida em coglomerados Sequer o total de elemetos da população precisa ser cohecido, devedo-se apeas determiar a quatidade de elemetos de cada coglomerado selecioado, o que é uma coseqüêcia ecessária do ceso requerido pelas versões mais simples da amostragem por coglomerados O Exemplo 63 ilustra algumas propriedades da amostragem por coglomerados Exemplo 63: Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções a Amostragem por Coglomerados Uma amostra aleatória simples com 0 quarteirões é selecioada de uma área residecial com um total de 000 quarteirões Cada uma das residêcias dos quarteirões selecioados foi visitada o ituito de se apurar a reda familiar A Tabela 6 discrimia a reda aual média ( X ) e a proporção de famílias com reda aual iferior a R$ 5000,00 ( compuseram a amostra p^ ) os quarteirões que Tabela 6: Resumo dos Dados Coletados a Aplicação da Amostragem por Coglomerados Quarteirão Selecioado () X (em R$) p^ Quatidade de Domicílios ( ) 683,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, Pede-se para que sea calculada a reda aual média e proporção de famílias com reda aual iferior a R$ 5000,00 de toda a área Primeiramete, tem-se que: M 000 e m 0 A quatidade total de domicílios é: ( 3 3 4) Cotiua 70

73 VARIATES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES As estimativas potuais da média e da proporção são: a) X b) ^ p AC AC 0 0 X 0 0 ^ p ( 3 )( 683) + ( 3 )( 997) + + ( 4 )( 6493) 607 ( 3 )( 0,304) + ( 3 )( 0,456) + + ( 4 )( 0,3659) ,00 ; 0,5 Cotiuação Ademais, tem-se que: a) 84,45 ; 0 0 b) c) 0 0 ^ ^ p p 0 ^ ^ p p 0 AC AC ( 3) ( ) + + ( 4) ( ) 9 ( 3) ( 0,304 0,5) + + ( 4) ( 0,3659 0,5) ; 38,547 Com isso, os estimadores da média e da proporção gerais apresetam os seguites desvios-padrão: a) b) S S X AC S X AC ( X X AC ) 0 ( 980 )( ) ( 000 )( 84,45) 0 ^ ^ p p AC ( 980 )( 38,547) ^ S ^ p AC p AC 0 0 ( 000 )( 84,45) 90 ; 0,045 0 Portato, os itervalos de cofiaça da média e da proporção gerais, para α 95% e 607 (Z,96), são: a) [609,9690 < µ < 609 +,96 90] [346 < µ < 987]; b) [0,5,960,045 < µ < 0,5 +,96 0,045] [0,64 < µ < 0,340] 7

74 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 6 Determiação do Tamaho da Amostra a AAC Parece haver alguma semelhaça etre as amostrages estratificada e por coglomerado, pois ambas dividem a população em subgrupos Trata-se, todavia, de uma semelhaça superficial a amostragem estratificada, selecioa-se uma amostra aleatória simples de cada estrato para que a pesquisa coteha represetates de todos os segmetos relevates da população Já a amostragem por coglomerados, o obeto da amostra aleatória simples são os próprios subgrupos Dessa forma, somete algus coglomerados estarão represetados o estudo amostral Depededo de como forem defiidos os subgrupos, os seus elemetos poderão, o que se refere às características relevates para o trabalho, ser muito heterogêeos exteramete (ie, os coglomerados exibem perfis muito distitos) e homogêeos iteramete (ie, os elemetos de cada coglomerado são muito parecidos) esse caso, corre-se o risco de que segmetos importates da população seam subrepresetados a pesquisa Efetivamete, quato mais os coglomerados forem parecidos com a população e, por extesão, etre si, meor será a quatidade de subgrupos que precisará ser icluída o estudo amostral Isso pode ser costatado o próprio cálculo do tamaho da amostra (m), o qual é diretamete proporcioal à magitude da variâcia populacioal dos coglomerados ( σ ) ou da sua estimativa prelimiar ( S exibida a seguir: AC AC 0 ), como mostra a equação m e Z M S M AC0 M S AC Covém aida otar que essa equação requer ão apeas uma estimativa de qual sea a variâcia populacioal, mas também uma estimativa de qual sea o tamaho M da população Coseqüetemete, equato que os trabalhos de estimação expostos o Exemplo 63 somete exigiram uma pequea quatidade de iformações prévias acerca da população, o cálculo do tamaho da amostra requer muito mais dados ou pressuposições Isso reforça a ecessidade de que os estudos amostrais seam precedidos por criteriosos levatametos de iformações, que devem origiar plaos amostrais detalhados, cuas premissas e coclusões prelimiares deverão ser coferidas à luz dos dados efetivamete coletados, devedo-se proceder, quado ecessário, as modificações requeridas quato aos íveis de cofiaça esperados e aos erros amostrais admitidos 7

75 7 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Os capítulos 5 e 6 discorreram sobre as modalidades clássicas de amostragem de variáveis (ie, estimação de médias, totais e difereças) e por atributo (ie, estimação de proporções) as amostrages por atributo, porém, as técicas examiadas ão são aplicáveis aos casos os quais as probabilidades de seleção variam, como ocorre quado as amostras são selecioadas sem reposição de populações fiitas essas situações, a distribuição de probabilidades mais apropriada é, em vez da biomial, a hipergeométrica Essa distribuição é empregada, p ex, em cotroles de qualidade ou de aderêcia a critérios preestabelecidos, os quais os desvios em relação ao critério defiido são tratados igualmete, aida que os valores evolvidos difiram etre si o cotrole de qualidade ou de aderêcia, o tamaho da amostra, para populações com mais de quihetos elemetos, é defiido pela equação: C i, α p, ode: C i, α ídice de cofiabilidade; i quatidade prevista de erros a amostra; α ível de cofiaça; p proporção máxima de erros admitidos a população Geralmete, o ídice de cofiabilidade (C i, α) é obtido a partir de quadros como o da Tabela 7 Tabela 7: Ídices de Cofiabilidade para Várias Quatidades Previstas de Erros e íveis de Cofiaça ível de Cofiaça Quatidade Prevista de Erros a Amostra (i) (α) 0 (C 0, α) a (C, α) b (C, α) c 0,99 4,60 6,6 0,95 3,00 4,75 6,30 0,90,30 3,89 5,33 0,85,90 3,38 4,73 0,80,6 3,00 4,8 0,70,0,44 3,6 0,50 0,69,68,64 Fote: Adams & Regal, 995, p 9 otas: (a) C 0, α l( α) aproximação obtida a partir de uma distribuição hipergeométrica de probabilidades; (b) e (c) para amostras umerosas e populações com pequeas taxas de erros, a distribuição hipergeométrica pode ser aproximada por meio de uma distribuição de Poisso, o que permite α, α e C C + e obter C i, α, mediate iterpolações baseadas as seguites equações: (, α ) ( C ), α, α α e C + C, α +

76 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Como mostrado pelo Exemplo 7, é imediata a geeralização do cálculo de C 0,α a partir de uma distribuição hipergeométrica de probalidades ( P H i ) Exemplo 7: Cálculo do Ídice de Cofiabilidade Qual é o ídice de cofiabilidade (C i,α ) associado a uma população () com 600 ites, 8 dos quais cotedo erros (p 0,03), e a uma amostra () com 00, todos perfeitos (i 0)? H A probabilidade ( ) P i de que semelhate amostra sea extraída de uma população com tais característica é dada pela seguite equação: P ! 58! 00!500! , !8! 00!48! 600! H ,05 Portato, é de aproximadamete 5% o risco de que uma amostra com 00 elemetos perfeitos sea proveiete de uma população com uma taxa de erro de 3% Em outras palavras, pode-se afirmar, com um ível de cofiaça de 95% (complemeto da taxa de risco), que a população examiada apreseta um erro máximo de 3% Geeralizado-se: l [ ] ( α) H ( P ) ( p) α 0 l ( p) Como C0,α e p l( p), etão C 0,α l( α) p Utilizado-se a distribuição de Poisso ( P P i ), tem-se que o ídice de cofiabilidade (C i,α ) correspode ao produto do tamaho da amostra () pela taxa máxima de erros a população (p) que proporcioa, para uma dada previsão sobre a quatidade de erros amostrais (i), o ível de cofiaça deseado (α) a seguite equação: ( p) ( ) ( ) i Ci,α p e ( Ci, α ) e i P α ( Pi ) 0! 0! Por iterpolação, obtém-se C i,α, o qual, utamete com p, defie Como esses cálculos podem ser exaustivos, deve-se usar a Tabela 7, como ilustrado pelo Exemplo 7 74

77 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Exemplo 7: Aplicação da Tabela de Ídices de Cofiabilidade Em uma auditoria, pretede-se realizar um teste de coformidade A proporção máxima de erros admitidos para que a população examiada sea aprovada pelo teste é %, com ível de cofiaça de 95% Qual é o tamaho da amostra? Com p 0,0 e α 0,95, e prevedo-se que: C 3,0 a) a amostra ão coterá erros (C 0;0,95 3,0), tem-se: 50 ; p 0,0 C 4,75 b) a amostra coterá um úico erro (C ;0,95 4,75), tem-se: 35 p 0,0 Quado os resultados amostrais observados diferem dos resultados esperados, especialmete quado a quatidade de erros observados a amostra é superior à quatidade prevista, o ídice de cofiabilidade (C i, α) deve ser austado com base a Tabela 7 Tabela 7: Ídice de Cofiabilidade para Vários Erros Observados a Amostra Quatidade de Erros Observados a Amostra > 8 5 Reduzido ehum ehum ehum ehum ehum ehum 5 Reduzido Reduzido ehum ehum ehum ehum ehum 30 Moderado Reduzido ehum ehum ehum ehum ehum 35 Moderado Reduzido Reduzido ehum ehum ehum ehum Elevado Moderado Reduzido Reduzido ehum ehum ehum 70 Elevado Elevado Moderado Reduzido Reduzido ehum ehum 80 Elevado Elevado Moderado Moderado Reduzido Reduzido ehum 05 Elevado Elevado Elevado Moderado Moderado Reduzido Reduzido Fote: Adams & Regal, 995, p 7 Metodologia da Amostragem por Uidade Moetária A Amostragem por Uidade Moetária (AUM) também é uma amostragem por atributo baseada a distribuição hipergeométrica Essa técica permite estimar o motate moetário de uma dada população Trata-se de uma técica geralmete utilizada em auditorias fiaceiras, que têm por obetivo verificar se os registros cotábeis são fidedigos Diferetemete da amostragem por variáveis, a AUM ão exige o prévio cohecimeto da quatidade de elemetos da população e da variâcia dos valores que a compõem Essa técica baseia-se as seguites iformações: a proporção máxima de erros admitidos a população (p), previamete defiida pela equipe de auditoria, o ídice 75

78 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS de cofiabilidade (C i, α), obtido a partir de testes de coformidade, e o motate costate dos registros cotábeis (M), o qual defie a população da qual a amostra é extraída Como os elemetos da população correspodem às uidades moetárias que itegram o motate, covém otar que a probabilidade de iclusão a amostra de um dado registro dimiui quado o seu valor é subestimado, sedo ula o caso de omissão Dessa forma, há a AUM um viés em favor dos registros superestimados ou repetidos Outra característica da AUM que merece meção é a premissa de que ão há difereças superiores a 00% etre os valores registrados e observados O tamaho da amostra a AUM é defiido pela seguite equação: ^ ^ C0,α M M E A O, com p p M M R A A P A ; Ode: C 0,α Fator de Precisão Básica (ídice de cofiabilidade supodo-se que a amostra ão cotém erros); M R Materialidade Restrita ou Precisão Básica (difereça máxima etre os motates registrado e estimado supodo-se que a amostra ão cotém erros); M motate registrado; M A Materialidade Ampla (difereça máxima etre os motates registrado e estimado que ão implica a impugação do couto de laçametos cotábeis); ^ E A ^ A P O A Erro Amostral Previsto [estimativa da difereça que será observada a amostra etre os motates registrado e estimado caso os membros da equipe de auditoria atecipem a ocorrêcia de erros (i > 0)]; Estimativa da Ampliação do Itervalo de Precisão (margem de erro suplemetar arbitrada quado se prevê a ocorrêcia de erros a amostra); outros austes arbitrados pelos membros da equipe de auditoria Dessa forma, os membros da equipe de auditoria devem defiir, iicialmete, a Materialidade Ampla (M A ) Em seguida, deve-se arbitrar os austes ulgados ecessários, os quais devem ser subtraídos da M A, defiido a Materialidade Restrita (M R ) Covém otar que M R e p são diretamete proporcioais Dessa forma, quato meor for a primeira, meor será a última, o que aumeta Cosequetemete, os austes feitos aida a fase de plaeameto devem permitir a obteção de resultados amostrais robustos aida que haa pequeos desvios em relação às premissas utilizadas origialmete O Exemplo 73 ilustra como o tamaho da amostra deve ser calculado a AUM 76

79 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Exemplo 73: Cálculo do Tamaho da Amostra a AUM Em uma auditoria, o couto de laçametos cotábeis examiados, totalizado R$ ,00, é cosiderado fidedigo se a difereça etre os motates estimado e registrado ão for superior a R$ 00000,00 Para um ível de cofiaça de 95%, qual é o tamaho da amostra? Descosiderado-se a ecessidade de austes, tem-se: p , 05 3, 0 Com i 0 e α 0,95 tem-se: C 0;0,95 3,0 e 60 0, 05 Defiido o tamaho da amostra (), procede-se à seleção dos seus elemetos Primeiro, calcula-se o itervalo amostral (I A ): M I A Em seguida, escolhe-se aleatoriamete uma uidade moetária compreedida em cada um dos sucessivos itervalos amostrais Por fim, são selecioados para aálise os registros cotábeis correspodetes às uidades moetárias escolhidas, 9 como mostrado o Exemplo 74 Exemplo 74: Seleção dos Elemetos Amostrais a AUM o exemplo tratado ateriormete, qual é o itervalo amostral? Dado um couto hipotético de laçametos cotábeis, como devem ser selecioados os elemetos amostrais? Supodo-se que o sistema de cotrole itero é cofiável e que, por coseguite, pode-se prever que a amostra ão coterá erros, tem-se 60 Dessa forma: M I A , 33 Selecioado-se, aleatoriamete, o valor R$ 6000,00 como o primeiro elemeto amostral e baseado-se o rol de laçametos idicados abaixo, a amostra é obtida da seguite forma: Cotiua 9 A probabilidade de seleção de cada registro é diretamete proporcioal ao seu valor 77

80 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tabela 73: Seleção dos Elemetos Amostrais Item (a) Valor Registrado Valor Acumulado Uidade Moetária Selecioada (b) 0000, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 750, , ,00 Cotiuação (em R$) otas: (a) Ites da população (b) este exemplo, apeas o primeiro item da amostra foi selecioado aleatoriamete, equato que a escolha dos demais ocorreu a itervalos regulares, pois isso permite uma melhor visualização de como a amostra deve se distribuir Esse procedimeto, cotudo, pode gerar resultados viesados caso os registros apresetem flutuações cíclicas Por essa razão, recomeda-se a seleção aleatória de um item em cada itervalo amostral Covém otar que os registros com valores iguais ou superiores ao itervalo amostral são ecessariamete selecioados para a amostra O 9º item do rol mostrado acima, p ex, costa quatro vezes da amostra por ser 3,8 vezes superior ao itervalo esses casos, a equipe de auditoria tem duas alterativas: a) dimiuir o ível de cofiaça (α) em decorrêcia da redução do tamaho efetivo da amostra (o presete exemplo, supodo-se que os demais ites são iferiores a R$ 33333,33, o tamaho efetivo da amostra é 57); b) examiar separadamete os ites com valores elevados, cosiderado-os uma úica vez a amostra e austado-se o itervalo amostral para os demais elemetos A seguda alterativa é a mais adequada por ão implicar redução o ível de cofiaça Uma vez selecioada e examiada a amostra, deve-se estimar a difereça etre os motates registrado e estimado Esse cálculo evolve as seguites etapas: 78 ª) idetificar os ites cuos valores observados diferem dos valores registrados; ª) calcular a difereça etre os valores observado e registrado; 3ª) agrupar as difereças coforme seam superiores a zero (registros superestimados) ou iferiores a zero (registros subestimados);

81 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA 4ª) separar as difereças associadas a ites com valores superiores ao itervalo amostral; 5ª) extrapolar as difereças associadas a ites com valores iferiores ao itervalo amostral para todo o itervalo; 6ª) colocar em ordem decrescete as difereças associadas a ites com valores iferiores ao itervalo amostral e obter a Ampliação do Itervalo de Precisão (A P ) quado a quatidade de erros superar as expectativas da equipe de auditoria, de tal modo que as difereças observadas seam austadas sem que o tamaho da amostra teha de ser recalculado; 7ª) calcular o saldo líquido dos erros austados; 8ª) somar as difereças associadas a ites com valores superiores ao saldo líquido dos erros austados; 9ª) comparar as superestimações e as subestimações totais com a materialidade preestabelecida, verificado se os demostrativos examiados podem ou ão ser cosiderados fidedigos; 0ª) estudar que recomedações deverão ser feitas caso a Materialidade Ampla (M A ) preestabelecida ão sea respeitada (p ex: determiar a correção dos erros observados; reavaliar o ível de cofiaça e o tamaho da amostra empregados; determiar aumetos as provisões; apeas atestar a ãofidedigidade dos demostrativos examiados) A Ampliação do Itervalo de Precisão (A P ) é obtida multiplicado-se o Fator de Ampliação do Itervalo de Precisão ( F AP ) pela extrapolação dos erros amostrais para o itervalo amostral (I A ): A item P ( valor registrado) ( valor observado) FAP I A valor registrado ; Ode: ( F AP ) C (+),α C,α ; posição relativa dos erros amostrais dispostos em ordem decrescete de gradeza; C º,α C 0,α Os Fatores de Ampliação do Itervalo de Precisão ( F AP ) costam da Tabela 74 79

82 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tabela 74: Fatores de Ampliação do Itervalo de Precisão ( F AP ) Erros ível de Cofiaça (α) Observados () 50% 60% 70% 80% 85% 90% 95% º 0,00 0, 0,4 0,38 0,48 0,59 0,75 º 0,00 0,08 0,8 0,8 0,35 0,43 0,55 3º 0,00 0,07 0,5 0,4 0,9 0,36 0,46 4º 0,00 0,06 0,3 0, 0,5 0,3 0,40 5º 0,00 0,06 0, 0,9 0,3 0,8 0,36 6º 0,00 0,05 0, 0,7 0, 0,6 0,33 7º 0,00 0,04 0,0 0,6 0,9 0,4 0,3 8º 0,00 0,04 0,09 0,5 0,8 0, 0,9 9º 0,00 0,04 0,09 0,4 0,7 0, 0,7 0º 0,00 0,04 0,08 0,3 0,6 0,0 0,6 Fote: atioal Audit Office, sd, p 6 Todas essas etapas estão cotempladas os formulários que compõem o Aexo IV, elaborados o ituito de auxiliar as equipes de auditoria os muitos cálculos exigidos pela AUM 7 Aplicação da Amostragem por Uidade Moetária Verificar se um couto hipotético de registros cotábeis são fidedigos As características gerais da pesquisa amostral são (vide Aexo V): a) motate registrado (M): R$ ,00; b) materialidade ampla (M A ): R$ 00000,00; c) materialidade restrita (M R ): R$ 95000,00; d) proporção máxima de erros admitida a população (p): 0,0475; e) quatidade prevista de erros a amostra (i): 0; f) ível de cofiaça (α): 0,95; g) ídice de cofiabilidade (C 0;0,95 ), dados os ites c e d : 3,00; h) tamaho da amostra (): 64, icluido 5 ites examiados separadamete por serem superiores ao itervalo amostral; i) itervalo amostral (I A ): R$ 350,00 o decorrer da ivestigação, costatou-se etre os valores observados e registrados as difereças idicadas a Tabela 75 80

83 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Tabela 75: Difereças Observadas a Amostra Item # Valor Registrado Valor Observado Difereça Observação 3 435,00 465,00 500, ,00 600,00 (00,00) ,00 800,00 00, ,00 400,00 (00,00) ota: (#) Ites da amostra Item superestimado examiado separadamete por ser superior ao itervalo amostral Item subestimado examiado o cotexto da amostra por ser iferior ao itervalo amostral Item superestimado examiado o cotexto da amostra por ser iferior ao itervalo amostral Item subestimado examiado o cotexto da amostra por ser iferior ao itervalo amostral Agrupado-se os ites superestimados e subestimados, extrapolado-se para o itervalo amostral as difereças referetes aos ites cuos valores são iferiores ao itervalo, calculado-se os erros globais para maior e para meor e estimado-se a difereça líquida etre os valores registrados e observados, tem-se: a) ites com erros para maior: 3 e 35; b) ites com erros para meor: 9 e 57 c) extrapolação do erro referete ao item 35 (E 35 ): ( valor registrado) ( valor observado) I valor registrado 000 d) extrapolação do erro referete ao item 9 (E 9 ): ; 500 e) extrapolação do erro referete ao item 57 (E 57 ): ,5 ; 4000 f) impacto líquido dos erros extrapolados: E 9 + E 35 + E 57 3,5 A ; Como há mais de um erro para meor referete a ites com valores iferiores ao itervalo amostral, esses erros devem ser dispostos em ordem decrescete, cabedo a primeira posição ao item 57 e a seguda ao item 9 Essa ordeação deve-se à ecessidade de se multiplicar os erros por diferetes Fatores de Ampliação do Itervalo de Precisão ( F AP ) Para um ível de cofiaça de 95% e uma previsão iicial de que a amostra ão coteria erros, o que faz i igual a 0 para igual a, tem-se: a) b) F C ;0,95 C 0;0,95 4,75 3,00 0,75; F C ;0,95 C ;0,95 6,30 4,75 0,55 º AP º AP 8

84 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS O Ampliação do Itervalo de Precisão (A P ) é obtido multiplicado-se os F AP pelas extrapolações dos erros referetes a ites com valores iferiores ao itervalo amostral 0 e somado-se os valores referetes a cada tipo de erro: a) b) c) d) º A E 35 F AP 350,75 343,75 (A P para os ites superestimados); º A E 57 F AP 56,50,75 7,87; º A E 9 F AP 500,55 687,50; A + A 859,37 (A P para os ites subestimados) 35 P 57 P 9 P 9 P 57 P Acumulado-se os erros amostrais, a materialidade restrita e a ampliação do itervalo de precisão para erros superestimados e subestimados, tem-se: a) erros para maior: (E 9 + E 35 + E 57 ) + E 3 + M R + A 35 P 3, , ,5; b) erros para meor: 9 57 [( E 9 + E35 + E57 ) + M R + ( AP + AP )] 3, , ,87 Como a materialidade ampla é superior aos dois valores calculados acima, coclui-se que os laçametos cotábeis examiados são, com 95% de certeza, fidedigos, ão apresetado uma difereça superior a 5% Covém otar que o uso de uma materialidade restrita de R$ 95000,00, ao aumetar o tamaho da amostra de 60 para 64 elemetos, permitiu a obteção de estimativas robustas embora teham sido observados 4 erros a amostra 0 É importate lembrar que os ites superestimados e subestimados devem ser tratadas separadamete Dessa forma, os erros para maior e para meor mais expressivos são multiplicados pela FAPI 8

85 8 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM Os métodos de estimação apresetados ateriormete assumem que algum tipo de amostragem probabilística está sedo empregado e que os valores obtidos represetam os valores corretos de todos os elemetos amostrais selecioados esse caso, os erros de estimação decorrem uicamete da variação radômica presete quado se examia, em vez de toda população, um subcouto desta (ie, erros amostrais aleatórios) Esses pressupostos são respeitados por pesquisas de campo simples, com istrumetos de medida precisos e execução cuidadosa As pesquisas complexas, porém, especialmete aquelas que evolvem mesurações de difícil obteção, estão sueitas a mais três tipos de erro: a) Erro a defiição da população: ão iclusão o cadastro de algus grupos de ites ou idivíduos, itroduzido um viés seleção da amostra b) Erro de mesuração: Ambigüidades presetes as respostas coletadas em decorrêcia da formulação de pergutas imprecisas, da ifluêcia do etrevistador sobre o etrevistado ou da falta de rigor do respodete Essas deficiêcias podem ser miimizadas tomado-se cuidado a elaboração dos formulários, treiado-se adequadamete os etrevistadores, examiado-se os dados atetamete, coferido-se as respostas atípicas, e selecioado-se, aleatoriamete, algus respodete o ituito de atestar a validade das respostas obtidas c) ão-resposta: Falha a coleta de dados sobre todos os ites ou idivíduos selecioados para a amostra Como os pesquisadores ão podem assumir, em geral, que os respodetes e os ão-respodetes são semelhates, esses últimos devem, após algum tempo, ser ovamete cosultados o ituito de obter respostas apropriadas Após relacioar os ovos resultados com os resultados obtidos origialmete, os pesquisadores procurarão gerar estimativas válidas sobre a população A Figura 8 mostra como os quatro tipos de erro podem afetar a amostragem

86 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 8: Tipos de Erro em Amostragem Erro a Defiição da População Erro Amostral ão-resposta e Erro de Mesuração População (Ex: estudates) Fote: McGill, 997 Espaço Amostral (Ex: estudates a lista telefôica) Amostra Plaeada (Ex: estudates selecioados) Amostra Efetiva Os erros a defiição da população e de mesuração, e os erros devidos a ãoresposta demadam modificações a teoria padrão de amostragem destiadas, que permitam uma melhor alocação dos recursos dispoíveis, de modo que: 84 a) haa um equilíbrio etre os esforços empreedidos em favor da redução dos erros amostrais aleatórios e da redução dos demais tipos de erros; b) seam obtidos métodos de cálculo dos erros-padrão e dos itervalos de cofiaça que permaeçam válidos Os ites subseqüetes tratarão do problema da ão-resposta por ser aquele que melhor admite tratameto matemático 8 Efeitos da ão-resposta o estudo da ão-resposta, é coveiete que a população sea cocebida como pertecedo a dois estratos: o primeiro cotedo todas os elemetos que poderiam ser medidos se fossem selecioados para a amostra; e o segudo cotedo os demais elemetos, cua medida ão seria obtida O tamaho relativo dos dois estratos depede do método de coleta de dados empregado Uma pesquisa de campo com até três tetativas de cotato de cada elemeto amostral, supervisioada por pessoas especialmete persuasivas, terá meos ão-respostas do que uma pesquisa com uma úica tetativa de cotato aturalmete, as amostras ão proporcioam iformações sobre o estrato composto pelas ão-respostas Isso ão é um problema quado se pode assumir que os dois estratos apresetam as mesmas características Freqüetemete, porém, ão é esse o caso Dessa forma, as estimativas obtidas podem ser viesadas a média amostral, p ex, o viés é defiido pela seguite equação:

87 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM Viés ( X r X r ) r X r X, Ode: X média amostral correta mas ão-cohecida; X r média dos elemetos amostrais efetivamete medidos; X r média dos elemetos amostrais ão-medidos; tamaho da população; tamaho do estrato cotedo elemetos que ão podem ser medidos r Como X r ão pode ser estimada a partir dos elemetos amostrais examiados, a extesão do viés só pode ser defiido mediate iformações obtidas em outras fotes as variáveis cotíuas, os limites que podem ser imputados com certeza aos vieses são tão amplos que ão têm valor prático Portato, o presete cotexto, quado a proporção de ão-respodetes é elevada, os itervalos de cofiaça ão podem ser estimados com precisão, a ão ser por meio de aproximações ão-corroboradas pelos dados dispoíveis Já as amostrages que visam estimar uma proporção, o problema aterior ão é tão crítico, pois o estrato composto pelas ão-respostas a proporção deseada situa-se, ecessariamete, o itervalo [0; ] Cohecedo-se r a partir de pesquisas realizadas ateriormete, os limites iferior (p if ) e superior (p sup ) do itervalo de cofiaça são: a) b) ( p ) r pr r pif pr Z, com p r 0; r r pr ( p ) r r psup pr + Z +, com p r r Quato maior o ídice de ão-resposta [p if ; p sup ], torado cada vez mais imprecisa a estimativa A Tabela 8 mostra os itervalos de cofiaça, com um ível de cofiaça de 95% (Z,96) e uma amostra com mil elemetos ( 000), para várias proporções de sucesso e ídices de ão-resposta r, maior a amplitude do itervalo p ( p ) r r r pr Z 0 r p r pr p r + Z r ( ) 85

88 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tabela 8: Itervalos de Cofiaça para Várias Proporções de Sucesso e Ídices de ão-resposta (Z,96 e 000) (em %) r [3,6; 6,4] [8,;,9] [7,5;,5] [46,9; 53,] 5 [3,4;,] [7,7; 6,3] [6,6; 6,4] [44,5; 55,5] 0 [3,; 5,8] [7,; 0,8] [5,6; 30,4] [4,; 57,9] 5 [3,0; 0,5] [6,8; 5,] [4,7; 34,3] [39,6; 60,4] 0 [,9; 5,] [6,4; 9,7] [3,9; 38,] [37,4; 6,8] Fote: Cochrae, 977, p 36 Para torar mais claro o impacto do ídice de ão-resposta sobre o itervalo de cofiaça, covém calcular qual seria o tamaho da amostra para um dado itervalo supodo-se um ídice ulo de ão-resposta O itervalo grifado em egrito a Tabela 8, p ex, correspode a um erro amostral (e) igual a 0,055 (ie, metade da extesão do itervalo idicado) Com Z,96 e p 0,5, tem-se que a amostra poderia ser, a ausêcia de ãoresposta:,96 0,50,5 37,5 30 0,055 Portato, um ídice de ão-resposta de apeas 5% exigiu, para um dado itervalo de cofiaça, uma amostra três vezes superior a que seria idealmete ecessária (ie, uma amostra com 30 elemetos em vez dos 000 elemetos retratados a Tabela 8) Isso reforça a idéia de que uma parte substacial dos recursos empregados a amostragem deve ter como obetivo a redução do ídice de ão-resposta p r Quado r ão é cohecido, como ocorre geralmete, um estimativa coservadora do itervalo de cofiaça pode ser obtido da seguite maeira: a) ( p ) pr r pif pr Z, com p r 0; b) p sup p r + r + Z p r + r p r + r, com p r e r qtde de ão-respostas a amostra Sabedo-se que a pesquisa de campo coterá ão-respostas, o tamaho apropriado da amostra, dado p igual a 0,5 e r cohecido, é defiido pela seguite equação: 86

89 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM ' Z 0,5 r e e r 3 A Tabela 8 ilustra o efeito da ão-resposta sobre o tamaho da amostra, para um ível de cofiaça de 95% (Z,96) e uma proporção de sucessos de 50% (p 0,5) Tabela 8: Tamaho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Ídices de ão-resposta (Z,96 e p 0,5) (em %) Erro Amostral Admitido (e) r d d d d 5 d d d Fote: Cochrae, 977, p 363 ota: d correspode a ão defiido, pois < 0 ou ± Percebe-se, mais uma vez, que altos ídices de ão-resposta toram iviável ou extremamete oerosa a obteção de estimativas precisas 8 Métodos de Redução da ão-resposta o que tage à ão-resposta, há quatro tipos de elemetos amostrais: º) ão-icluídos a amostra (p ex, cadastro icompleto) ou ão-visitados (p ex, dificuldade de acesso); º) icapazes ou avessos a forecer a iformação deseada; 3º) ão-ecotrados; 4º) pertecetes ao úcleo rígido de pessoas avessas ou icapazes de forecer a iformação deseada ou, aida, que ão possam ser ecotradas, idepedetemete dos esforços que seam feitos esse setido 4 A idetificação e subseqüete redução do primeiro grupo de ão-respodetes ão é simples Sugere-se a comparação com os cadastros utilizados e os resultados gerados por outras pesquisas, bem como a realização de pesquisas amostrais destiadas a verificar quão completos são os cadastros dispoíveis 3 ' ( ) para r 0 a difereça etre ambos deve-se a aproximações feitas durate a obteção da ova equação (Cochrae, 977, p 363) 4 O viés itroduzido por essas elemetos ão pode ser reduzido 87

90 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS A dimiuição do segudo grupo, por sua vez, evolve a cuidadosa elaboração do questioário, cuas pergutas ão podem ser ambíguas ou coter termos de difícil compreesão É importate que o questioário sea testado previamete uto à população visada pela pesquisa para que os evetuais problemas sea idetificados oportuamete 5 Já a redução do terceiro grupo exige o correto escaloameto das etrevistas, bem como mais de uma tetativa de cotato mediate call-backs ou subamostras 8 Call-Backs as pesquisas domiciliares que evolvam etrevistas com adultos específicos, selecioados aleatoriamete, os solteiros ou chefes de família devem, p ex, ser cotatados em dias ou horários ão-comerciais aturalmete, as pesquisas domiciliares cuas pergutas podem ser respodidas por qualquer adulto presete são meos afetadas por esse tipo de problema Quato à quatidade de call-backs, ela deve ser defiida à luz dos resultados deseados, dos meios dispoíveis e das dificuldades efretadas por pesquisas similares Como idicação prelimiar da eficácia de cada rodada de etrevistas, Cochrae propõe o seguite quadro: Tabela 83: Eficácia de Três Tetativas de Cotato Tipo de Elemetos Amostrais Cotatados Respodete ª Tetativa ª Tetativa 3ª Tetativa ão-resposta Total (em %) Adulto Qualquer Adulto Específico Fote: Cochrae, 977, p 365 É ítida a difereça etre as pesquisas cuas questões podem ser respodidas por qualquer adulto e as pesquisas que devem ser respodidas por adultos específicos, selecioados aleatoriamete, cuos altos ídices de sucesso as duas últimas tetativas são uma decorrêcia das iformações obtidas a primeira tetativa acerca dos hábitos dos respodetes visados Covém otar que, em termos relativos, as rodadas de etrevistas toram-se, progressivamete, mais oerosas com a queda a quatidade de locais que podem ser visitados pelos etrevistadores por uidade de área (p ex, km ) ou de tempo (p ex, h), o que limita a quatidade de tetativas de cotato que serão feitas 5 a formulação de pergutas embaraçosas (p ex, referetes à prática de atos ilegais) pode-se usar a técica de respostas radômicas, a qual o etrevistado respode sim ou ão a uma de duas pergutas, selecioada aleatoriamete, sem que o etrevistador coheça a perguta que está sedo respodida Como, cotudo, a distribuição de probabilidades das pergutas apresetadas é cohecida, a proporção dos etrevistados que apresetam a característica visada pela pesquisa pode ser estimada pelo etrevistador (Cochrae, 977, p 39-5) 88

91 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM 8 Subamostras Aida sobre os elemetos amostrais ão-ecotrados, em vez de tetar cotatar todos os ão-respodetes, os pesquisadores podem selecioar aleatoriamete uma subamostra, extrapolado os resultados obtidos para todo grupo O presete procedimeto eqüivale a uma amostragem estratificada em dois estágios, sedo amplamete usado em pesquisas pelo correio, as quais algus elemetos amostrais que ão devolveram o questioário são etrevistados pessoalmete Em geral, a meor precisão dos resultados amostrais obtidos esse caso só se ustificam quado os custos dos call-backs são muito elevados A média amostral é ão-viesada quado todos os elemetos da subamostra respodem às pergutas feitas pelos etrevistadores A média é defiida pela seguite equação: X r, r, X X i + r, i r,, Ode: X média amostral; tamaho da amostra; r, quatidade de respodetes a primeira tetativa; X i valores obtidos a primeira tetativa; r, quatidade de ão-respodetes a primeira tetativa; r, tamaho da subamostra ( r, r, ); X valores obtidos a partir da subamostra A variâcia da média amostral, ecessária para que se calcule o itervalo de cofiaça, é obtida como mostrado abaixo: S ( ) r r r S,,, S +, 6 X r, Ode: S variâcia da média amostral; X tamaho da população; S variâcia dos elemetos amostrais; r, tamaho do estrato cotedo elemetos que podem ser medidos a primeira tetativa; S variâcia dos elemetos da subamostra r r, 6, A razão pode ser aproximada por meio da razão 89

92 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Por fim, a determiação do tamaho apropriado da amostra o presete cotexto depede dos valores deseados para a variâcia média amostral e a razão etre r, e r, : r, r, S + S r, [ S + S ] X O Exemplo 8 ilustra como o tamaho da amostra pode ser calculado a preseça de ão-respostas Exemplo 8: Cálculo da Quatidade de Questioários Uma pesquisa amostral é feita pelo correio, estimado-se em 50% a taxa de resposta A precisão deseada eqüivale àquela que seria obtida por uma amostra aleatória simples de 000 questioários se ão houvesse ão-resposta e dos ão-respodetes devem ser etrevistados pessoalmete 3 Pede-se a quatidade de questioários que deve ser eviada Iicialmete, tem-se que: a) a taxa estimada de ão-resposta: r, 0,5; b) o tamaho da amostra quado ão há ão-resposta: * 000; c) a razão etre a quatidade de ão-respodetes e o tamaho da subamostra: d) a variâcia deseada: S S S X * 000 r, r, 3 Supodo-se que os elemetos amostrais e da subamostra apresetam variâcias idêticas e que a população é muito umerosa, tem-se que: r, r, S + r, 000 [ + 0,5 ( 3 ) ] 000 S X Cosequetemete, 000 questioários deverão ser distribuídos, estimado-se que 000 dos quais ão serão respodidos Dessa forma, a subamostra evolverá 334 etrevistas pessoais 83 Métodos de Compesação da ão-resposta Aida que os call-backs ou as subamostras seam sucedidos, é improvável que a ão-resposta sea suprimida totalmete Assim, é comum que se recorra a algus métodos que buscam compesar esse tipo de problema com base as características cohecidas dos respodetes e dos ão-respodetes Os pricipais métodos são: 90

93 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM a) pós-estratificação: criação de estratos com base as iformações coletadas a pesquisa amostral, distribuido-se os ão-respodetes pelos estratos que melhor reflitam as suas características cohecidas; b) substituição da ão-resposta: após a pós-estratificação, as ão-respostas são substituídas por respostas selecioadas aleatória ou sistematicamete (p ex, pela resposta imediatamete aterior) o âmbito do estrato correspodete; c) substituição dos ão-respodetes: ao logo do trabalho de campo, os ãorespodetes são substituídos por elemetos da população tidos como semelhates; d) utilização de dados complemetares: as ão-respostas podem ser austadas por meio de iformações coletadas em cesos ou estudos amostrais realizados ateriormete; e) poderação ou substituição baseada os call-backs: as tetativas de callback podem permitir que se façam iferêcias acerca das características dos ão-respodetes recalcitrates; Caso haa idícios de que os ão-respodetes recalcitrates e os respodetes apresetam distribuições de freqüêcia similares (p ex, os idícios proporcioados por uma ou mais tetativas de call-back), as equipes de auditoria aida têm a opção de ão fazer qualquer compesação É sumamete importate que as equipes seam bastate criteriosas o uso das opções relacioadas acima, certificado-se de que as substituições ou poderações efetuadas seam efetivamete compatíveis com as características cohecidas dos ãorespodetes A ão-observação desse pricípio certamete itroduzirá vieses as estimativas que comprometerão as coclusões do trabalho Dessa forma, os relatórios de auditoria deverão explicitar porque e como as evetuais compesações (ou ãocompesações) foram feitas 9

94 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 9

95 AEXO I ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL

96 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 94

97 ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL Figura A: Dados Hipotéticos Figura A: Geração de Estatísticas Descritivas ota: referete aos dados costates da Figura A 95

98 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura A3: Estatísticas Descritivas Geradas Observações: ota: referete aos dados costates da Figura A a) Erro-Padrão: S S X UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (DESVPAD(úm;úm;)/RAIZ(COTÚM(úm;úm;))) b) Assimetria: i e > 0 curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X é assimétrica à direita; ii e 0 curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X é simétrica; iii e < 0 curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X é assimétrica à esquerda UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: DISTORÇÃO(úm;úm;) 96

99 ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL c) Curtose: i k > 0 curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X é mais achatada do que a distribuição ormal; ii k 0 curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X é tão achatada quato a distribuição ormal; iii k < 0 curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X é meos achatada quato a distribuição ormal UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: CURT(úm;úm;) Figura A4: Agrupameto de Dados (Etapa de 4) Figura A5: Agrupameto de Dados (Etapa de 4) ota: referete aos dados costates da Figura A 97

100 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura A6: Agrupameto de Dados (Etapa 3 de 4) Figura A7: Agrupameto de Dados (Etapa 4 de 4) ota: referete aos dados costates da Figura A Figura A8: Dados Agrupados 98 ota: referete aos dados costates da Figura A

101 ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL Tabela A: Obteção da Amplitude Semi-Iterquartílica e da Meia Amplitude Semi-Iterquartílica A B CÁLCULO AUTOMÁTICO DA AMPLITUDE SEMI-ITERQUARTÍLICA E DA MEIA AMPLITUDE SEMI-ITERQUARTÍLICA # 3 POSIÇÃO IICIAL 4 Primeiro Quartil: (COTÚM(valor;valor;)+)/4 5 Terceiro Quartil: (3*(COTÚM(valor;valor;)+))/4 6 7 PARA O PRIMEIRO QUARTIL 8 9 SE(B4IT(B4);"utilize a posição iicial:"; SE(A8"utilize a posição iicial:"; ARREDMULTB(B4;); SE(B4TETO(B4;0,5);"utilize as seguites ARRED(B4;0)) posições:"; "arredode para a seguite posição:")) SE(A8"utilize a posição iicial:"; TETO(B4;); "") 0 SE(A8"utilize a posição iicial:"; "valores MEOR(valor;valor;;B8) das posições idicadas:"; "valor da posição SE(A8"utilize a posição iicial:"; idicada:") MEOR(valor;valor;); "") 3 PARA O TERCEIRO QUARTIL 4 5 SE(B5IT(B5);"utilize a posição iicial:"; SE(A4"utilize a posição SE(B5TETO(B5;0,5);"utilize as seguites iicial:";arredmultb(b5;);arred(b5;0)) posições:"; "arredode para a seguite posição:")) SE(A4"utilize a posição iicial:"; TETO(B5;); "") 6 SE(A4"utilize a posição iicial:"; MEOR(valor;valor;;B4) "valores das posições idicadas:"; "valor da SE(A4"utilize a posição iicial:"; 7 posição idicada:") MEOR(valor;valor;;"")) 8 9 COCLUSÃO 0 Primeiro Quartil: SE(A8"utilize a posição iicial:";(b0+b)/;b0) Terceiro Quartil: SE(A4"utilize a posição iicial:";(b6+b7)/;b6) Amplitude Semi-Iterquartílica (B0+B) 3 Meia Amplitude Semi-Iterquartílica (B)/ ota: (#) os comados do tipo valor# correspodem a valores extraídos de outras plailhas ou iseridos pelos pesquisadores 99

102 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura A9: Seleção de Amostras Aleatórias Simples com Reposição ota: referete aos dados costates da Figura A Figura A0: Amostra Aleatória Simples Selecioada ota: referete aos dados costates da Figura A 00

103 ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL Figura A: Estimação do Itervalo de Cofiaça para Médias com Desvio-Padrão Cohecido ota: referete aos dados costates da Figura A Figura A: Itervalo de Cofiaça Estimado otas: (a) o valor obtido correspode à metade do itervalo de cofiaça estimado em toro da média amostral; (b) referete aos dados costates da Figura A 0

104 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tabela A: Estimação de Itervalos de Cofiaça A B C D E F ESTIMAÇÃO DE ITERVALOS DE COFIAÇA (a) Média (com σ cohecido) Média (com σ descohecido) Proporção 3 valor valor6 valor 4 Média Amostral valor Média Amostral valor7 Sucessos valor 5 Desvio-Padrão Populacioal 6 7 ível de Cofiaça (b) valor3 valor4 Desvio-Padrão Amostral valor8 Fracassos F3-F4 ível de Cofiaça valor9 8 Erro-Padrão B5/RAIZ(B3) Erro-Padrão D5/RAIZ(D3) 9 Z 0 t Meio Itervalo de Cofiaça IVORMP (0,5+(B6/)) gl (D3-) Z ITCOFIAÇA (-B6;B5;B3) Meio Itervalo de Cofiaça IVT (-D6;D9) D0*D8 ível de Cofiaça (b) Proporção Amostral Erro-Padrão Meio Itervalo de Cofiaça valor3 F4/F3 IVORMP (0,5+(F6/)) RAIZ (F8*(-F8)/F3) F9*F0 Limite Iferior B4-B Limite Iferior D4-D Limite Iferior F8-F 3 Limite Superior B4+B Limite Superior D4+D Limite Superior F8+F 4 Auste para Populações Fiitas 5 valor5 valor0 valor4 6 CPF Meio Iter de Cof Austado Limite Iferior Austado Limite Superior Austado RAIZ ((B5-B3)/(B5-)) B*B6 B4-B7 B4+B7 CPF Meio Iter de Cof Austado Limite Iferior Austado Limite Superior Austado RAIZ ((D5-D3)/(D5-)) D*D6 D4-D7 D4+D7 CPF Meio Iter de Cof Austado Limite Iferior Austado Limite Superior Austado RAIZ ((F5-F3)/(F5-)) F*F6 F8-F7 F8+F7 otas: (a) os comados do tipo valor# correspodem a valores extraídos de outras plailhas ou iseridos pelos pesquisadores; (b) o ível de cofiaça deve ser iformado a sua forma decimal 0

105 ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL Tabela A3: Determiação do Tamaho da Amostra A B C D DETERMIAÇÃO DO TAMAHO DA AMOSTRA (a) Média Proporção 3 4 ível de Cofiaça Deseado (b) Estimativa Iicial do Desvio-Padrão valor valor ível de Cofiaça Deseado (b) Estimativa Iicial do Desvio-Padrão valor5 valor6 5 Erro Amostral Admitido valor3 Erro Amostral Admitido valor7 6 Z IVORMP (0,5+(B3/)) 7 Tamaho da Amostra ((B6*B4)/B5)^ Tamaho da Amostra 8 Amostra Requerida ARREDODARPARA CIMA(B7;0) Z Amostra Requerida 9 Auste para Populações Fiitas IVORMP (0,5+(D3/)) (D6^*D4*(- D4))/D5^ ARREDODARPARA CIMA(D7;0) 0 valor4 valor8 (B7*B0)/(B7+B0-) (D7*D0)/(D7+D0-) Amostra Requerida Austada ARREDODARPARA CIMA(B;0) Amostra Requerida Austada ARREDODARPARA CIMA(D;0) otas: (a) os comados do tipo valor# correspodem a valores extraídos de outras plailhas ou iseridos pelos pesquisadores; (b) o ível de cofiaça deve ser iformado a sua forma decimal 03

106 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tabela A4: Estimação do Itervalo de Cofiaça para Totais A ESTIMAÇÃO DO ITERVALO DE COFIAÇA PARA TOTAIS (a) 3 valor 4 Média Amostral valor 5 Desvio-Padrão Amostral valor3 6 ível de Cofiaça (b) valor4 7 valor5 8 Total B7*B4 9 CPF RAIZ((B7-B3)/(B7-)) 0 Erro-Padrão (B7*B5*B9)/RAIZ(B3) gl B3- t IVT(-B6;B) 3 Meio Itervalo de Cofiaça Austado B*B0 4 Limite Iferior Austado B8-B3 5 Limite Superior Austado B8+B3 otas: (a) os comados do tipo valor# correspodem a valores extraídos de outras plailhas ou iseridos pelos pesquisadores; (b) o ível de cofiaça deve ser iformado a sua forma decimal B 04

107 ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL Tabela A5: Estimação do Itervalo de Cofiaça para Difereças A B C D E F ESTIMAÇÃO DO ITERVALO DE COFIAÇA PARA DIFEREÇAS (a) Difereças (b) Desvios das Obs com Difereça Quadrado dos 3 valor 4 valor Somatório das Difereças Cotagem das Difereças SOMA (A3:A6) COTVALORES (A3:A6) (A3-$C$6)^ (A4-$C$6)^ 5 valor3 valor5 (A5-$C$6)^ Som do Quad dos Desv das Obs com Dif Produto da Dif Média pela Qtde de Obs sem Dif Somatório dos Desvios SOMA (D3:D6) C7*( C6)^ F3+F4 6 valor4 Difereça Média C3/C5 (A6-$C$6)^ gl C4-7 valor5 Qtde de Obs sem Difereça C5-C4 (A7-$C$6)^ Variâcia F5/F6 8 valor6 (A8-$C$6)^ Desvio-Padrão RAIZ(F7) 9 valor7 (A9-$C$6)^ 0 valor8 (A0-$C$6)^ ível de Cof (c) valor6 valor9 (A-$C$6)^ valor 7 valor0 (A-$C$6)^ Difereça Total F*C6 3 valor (A3-$C$6)^ CPF 4 valor (A4-$C$6)^ Erro-Padrão RAIZ ((F-C5)/(F-)) (F*F8*F3)/ RAIZ(C5) 5 valor3 (A5-$C$6)^ gl C5-6 valor4 (A6-$C$6)^ t Meio Itervalo de Cof Aust Limite Iferior Austado Limite Superior Austado IVT (-F0;F5) F6*F4 F-F7 F+F7 otas: (a) os comados do tipo valor# correspodem a valores extraídos de outras plailhas ou iseridos pelos pesquisadores; (b) por hipótese, foram observadas catorze difereças etre os valores costates do cadastro e os valores observados; (c) o ível de cofiaça deve ser iformado a sua forma decimal 05

108 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 06

109 AEXO II DISTRIBUIÇÕES ORMAL PADRÃO & t DE STUDET

110 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 08

111 DISTRIBUIÇÕES ORMAL PADRÃO E t DE STUDET ÁREAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO ORMAL PADRÃO USADO MICROSOFT EXCEL: DISTORMP(z) α Ode: DISTORMP(z) Z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0,039 0,079 0,039 0,0359 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,074 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,06 0,064 0,03 0,4 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,368 0,406 0,443 0,480 0,57 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,700 0,736 0,77 0,808 0,844 0,879 0,5 0,95 0,950 0,985 0,09 0,054 0,088 0,3 0,57 0,90 0,4 0,6 0,57 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,57 0,549 0,7 0,580 0,6 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,88 0,90 0,939 0,967 0,995 0,303 0,305 0,3078 0,306 0,333 0,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,389 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353 0,3554 0,3577 0,3599 0,36, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,380 0,3830, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,405,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,45 0,43 0,447 0,46 0,477,4 0,49 0,407 0,4 0,436 0,45 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,439,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,448 0,449 0,444,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,455 0,455 0,4535 0,4545,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,459 0,4599 0,4608 0,466 0,465 0,4633,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706,9 0,473 0,479 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,476 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,48 0,487, 0,48 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,486 0,4864 0,4868 0,487 0,4875 0,4878 0,488 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,490 0,4904 0,4906 0,4909 0,49 0,493 0,496,4 0,498 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,493 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,495 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,496 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,497 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,498,9 0,498 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3, 0,4990 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,

112 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS DISTRIBUIÇÃO t DE STUDET BI-CAUDAL USADO MICROSOFT EXCEL: IVT(probabilidade;graus de liberdade) Ode: probabilidade de que se cometa o erro do Tipo I α; graus de liberdade gl gl α 0,000 0,000 0,0500 0,000 0,000 0,0050 0,000 0,000 3,0777 6,337,706 3,80 63,6559 7,3 38, ,5776,8856,900 4,307 6,9645 9,950 4,089,385 3,5998 3,6377,3534 3,84 4,5407 5,8408 7,453 0,43,944 4,533,38,7765 3,7469 4,604 5,5975 7,79 8,60 5,4759,050,5706 3,3649 4,03 4,7733 5,8935 6,8685 6,4398,943,4469 3,47 3,7074 4,368 5,075 5,9587 7,449,8946,3646,9979 3,4995 4,094 4,7853 5,408 8,3968,8595,3060,8965 3,3554 3,835 4,5008 5,044 9,3830,833,6,84 3,498 3,6896 4,969 4,7809 0,37,85,8,7638 3,693 3,584 4,437 4,5868,3634,7959,00,78 3,058 3,4966 4,048 4,4369,356,783,788,680 3,0545 3,484 3,996 4,378 3,350,7709,604,6503 3,03 3,375 3,850 4,09 4,3450,763,448,645,9768 3,357 3,7874 4,403 5,3406,753,35,605,9467 3,860 3,739 4,078 6,3368,7459,99,5835,908 3,50 3,686 4,049 7,3334,7396,098,5669,898 3,4 3,6458 3,965 8,3304,734,009,554,8784 3,966 3,605 3,97 9,377,79,0930,5395,8609 3,737 3,5793 3,8833 0,353,747,0860,580,8453 3,534 3,558 3,8496,33,707,0796,576,834 3,35 3,57 3,893,3,77,0739,5083,888 3,88 3,5050 3,79 3,395,739,0687,4999,8073 3,040 3,4850 3,7676 4,378,709,0639,49,7970 3,0905 3,4668 3,7454 5,363,708,0595,485,7874 3,078 3,450 3,75 6,350,7056,0555,4786,7787 3,0669 3,4350 3,7067 7,337,7033,058,477,7707 3,0565 3,40 3,6895 8,35,70,0484,467,7633 3,0470 3,408 3,6739 9,34,699,045,460,7564 3,0380 3,3963 3, ,304,6973,043,4573,7500 3,098 3,385 3, ,303,6839,0,433,7045,97 3,3069 3,550 60,958,6706,0003,390,6603,946 3,37 3,460 0,886,6576,9799,3578,674,8599 3,595 3,3734 +,86,6449,9600,364,5758,8070 3,090 3,905 ota: Para α 0,05, as estatísticas t de Studet, com gl +, e Z são iguais a,96 0

113 AEXO III BREVIÁRIO DE FÓRMULAS

114 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS

115 BREVIÁRIO DE FÓRMULAS 3 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES I Utilidade: A população forma um todo idissociável em relação ao obeto da pesquisa e os custos do trabalho de campo ão são elevados p ex, o caso de uma pesquisa que preteda estimar a proporção de beeficiários do crédito educativo que coseguem completar o curso superior, cuos questioários seam remetidos pelo correio e cuo preechimeto sea compulsório (ou sea, a taxa de ão-resposta é assumida baixa), é possível que a estratificação por curso, gêero ou localidade, etre outras possibilidades, ão sea relevate, pois os fatores determiates do sucesso ou isucesso seriam comus a todos os possíveis subcoutos II Estimativa do Itervalo: da Média: com σ cohecido e população ifiita: vide item 5 σ + σ Z X Z X ; ; com σ descohecido e população ifiita: vide item 5 + S t X S t X ; ; com σ cohecido e população fiita: vide item 56 σ + σ ; Z X Z X ; com σ descohecido e população fiita: vide item 56 + ; S t X S t X ; para Proporções: população ifiita: vide item 54 ( ) ( ) + p p Z p p p Z p s s s s s s ; ;

116 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 4 população fiita: vide item 56 ( ) ( ) + ; p p Z p p p Z p s s s s s s ; do Total (com σ descohecido e população fiita): vide item 57 + ; S t X S t X ; para Difereças (com σ descohecido e população fiita): vide item 58 + ; S t D S t D d D, com D D i i e D D S i i D ; III Determiação do Tamaho da Amostra: com População Ifiita: para médias: vide item 55 e S Z o ; para duas proporções: vide item 55 ( ) e p p Z o o ; para -proporções: vide item 55 0,5 ' e Z, com Z' dado por ( ) k α ψ ; com População Fiita: vide item 56 ( ) + CPF

117 BREVIÁRIO DE FÓRMULAS AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA I Utilidade: A população cotém estratos que têm relação com o obeto da pesquisa p ex, o caso de uma pesquisa que preteda estimar a remueração média, cico aos após a formatura, dos graduados da Uiversidade de Brasília, é provável que a estratificação por curso sea relevate, uma vez que algus são mais demadados ou agregam mais valor ecoômico do que outros; a presete modalidade de amostragem evitaria o risco de que algus cursos fossem sub ou super-represetados, o que geraria estimativas potuais distates do parâmetro, aida que o itervalo de cofiaça cotiuasse válido II Estimativa do Itervalo: vide item 6 da Média (com t aproximado por Z): [ X AE Z S ] k ±, com X AE X AE X, S X AE k S X e S X S ; para Proporções: ^ p S AE ± Z S ^ p ^ p AE ^ p ^ k, com p AE ( ) ^ ; p do Total (com t aproximado por Z): ^ p k, S S ^ p AE ^ p e [ X AE Z S ] ±, com X AE k X AE X e S k X AE S ; III Alocação Ótima por Estrato do Tamaho da Amostra: vide item 6 Para Médias (com σ cohecido): σ ; k σ Para Duas Proporções (com p cohecido): X ( p ) ( ) p p k p 5

118 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 6 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA POR COGLOMERADOS UM ÚICO ESTÁGIO I Utilidade: A população é formada por subcoutos semelhates e os custos do trabalho de campo são elevados p ex, o caso de uma pesquisa que preteda estimar a produtividade média dos assetametos criados pelo Miistério do Desevolvimeto Agrário, é possível que os assetametos possam ser agrupados em coutos geograficamete compactos, mas suficietemete diversificados iteramete para que os coutos examiados possam ser tratados, a um custo meor, como represetativos de toda população II Estimativa do Itervalo: vide item 6 da Média (com t aproximado por Z): [ ] AC X AC AC X AC S Z X S Z X + < µ <, com m m AC X X, AC m S m M m M S AC X e ( ) m X X S m AC AC ; para Proporções: + < < AC p AC AC p AC S Z p p S Z p ^ ^ ^ ^, com m m AC p p ^ ^, ^ AC m S m M m M S p AC e ^ ^ m p p S m AC AC ; III Determiação da Quatidade de Coglomerados da Amostra: vide item 6 0 AC M AC S M Z e M S m

119 AEXO IV FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA

120 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 8

121 FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / PRECISÃO AMOSTRAL E AJUSTES ESTIMADOS Erro Tolerável/Materialidade Ampla: Materialidade Restrita: Austes Arbitrados: Erro Amostral Previsto: Estimativa da Ampliação do Itervalo de Precisão: Outros Austes: Auste Total: Erro Máximo Admitido: otas (premissas, precedetes ou ressalvas pertietes): 9

122 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO A UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / DETERMIAÇÃO DO TAMAHO DA AMOSTRA População (compras, salários, estoques, etc) () Materialidade Restrita () Motate Registrado (3) Ídice de Cofiabilidade (R) (4) Tamaho da Amostra [()(3)/()] (5) Itervalo Amostral [()/(4)] otas (iclusões e expurgos pertietes): 0

123 FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO B UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / DETERMIAÇÃO DO TAMAHO DA AMOSTRA População (compras, salários, estoques, etc) () Materialidade Restrita () Motate Registrado (3) Ídice de Cofiabilidade o (R) (4) Tamaho da Amostra [()(3)/()] (5) Itervalo Amostral [()/(4)] otas (iclusões e expurgos pertietes):

124 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 3 UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / ESTIMATIVA DO ERRO AMOSTRAL MÁXIMO Item Registrado (A) ValorErro Auditado (B) Valor (C) [(A)- (B)] Proporção (D)[(C)/(A)] Ordem (º, º, etc) Proetado [(Itervalo Amostral)(D)] Registros superestimados referetes a ites com valores iferiores ao do itervalo amostral Registros subestimados referetes a ites com valores iferiores ao do itervalo amostral Erro Líquido Observado a Amostra Erro Líquido Extrapolado para a População

125 FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 4 UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / ITES CRÍTICOS OU COM VALORES ELEVADOS Item Registrado (A) Valor Auditado (B) Erro (C) [(A)- (B)] Ites críticos ou com valores superiores ao itervalo amostral A) Superestimados B) Subestimados (utilizar formulários distitos para valores superestimados e subestimados) Erro Total 3

126 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 5 UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / AMPLIAÇÃO DO ITERVALO DE PRECISÃO AIP Ordem (º, º, etc) Fator AIP (A) Proporção (B) AIP [(Itervalo Amostral(A)(B)] Registros C) Superestimados D) Subestimados (utilizar formulários distitos para valores superestimados e subestimados) AIP Total 4

127 FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero Obeto(s) da Auditoria: Obeto da Amostragem: AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 6 UG: TC: Período de: Abragêcia: / / - / / Realização: / / - / / Plao Amostral Preparado por:matrícula:data: / / Revisto por:matrícula:data: / / ERRO E PRECISÃO TOTAIS Erro Provável (Formulários 3 & 4) SuperestimadosSubestimados Materialidade Restrita (Formulário ) Ampliação do Itervalo de Precisão (Formulário 5) Limite Superior dos Erros () Materialidade Ampla () Difereça [()-()] Difereça Aceitável? Sim ão Sim ão 5

128 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 6

129 AEXO V APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA

130 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 8

131 APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 PRECISÃO AMOSTRAL E AJUSTES ESTIMADOS Erro Tolerável/Materialidade Ampla:00000,00 Materialidade Restrita:95000,00 Austes Arbitrados: Erro Amostral Previsto: Estimativa da Ampliação do Itervalo de Precisão: Outros Austes:5000,00 Auste Total:5000,00 Erro Máximo Admitido:00000,00 otas (premissas, precedetes ou ressalvas pertietes): A) Materialidade Ampla: maior difereça etre os motates registrado e estimado admitido pela equipe de auditoria ou pelo órgão ecarregado da auditoria; B) Materialidade Restrita: difereça etre a materialidade ampla e os austes arbitrados pela equipe de auditoria; C) Austes Arbitrados: maior difereça etre os motates registrado e estimado idicada pelos resultados amostrais; seus compoetes (erro amostral previsto, estimativa da ampliação do itervalo de precisão e outros austes) são arbitrados pela equipe de auditoria com base em trabalhos ateriores ou de proporções fixadas pelo órgão ecarregada da auditoria (o presete exemplo: 0,5% do motate registrado) 9

132 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 DETERMIAÇÃO DO TAMAHO DA AMOSTRA População (compras, salários, estoques, etc) COMPRAS () Materialidade Restrita95000,00 () Motate Registrado000000,00 (3) Ídice de Cofiabilidade3,00 (4) Tamaho da Amostra [()(3)/()] (5) Itervalo Amostral [()/(4)] ,00 otas (iclusões e expurgos pertietes): O motate registrado abrage 500 operações de compra Os valores de cico delas são superiores ao itervalo amostral 30

133 APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 3 Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 ESTIMATIVA DO ERRO AMOSTRAL MÁXIMO Registros superestimados referetes a ites com valores iferiores ao do itervalo amostral Item Registrado (A) ValorErro Auditado (B) Valor (C) [(A)- (B)] Proporção (D)[(C)/(A)] Ordem (º, º, etc) Extrapolação [(Itervalo Amostral)(D)] 35000,00800,0000,000,0º35,00 Registros subestimados referetes a ites com valores iferiores ao do itervalo amostral , ,00 600,00 400,00 (00,00) (00,00) 0,04 0,05 º º (50,00) (56,50) Erro Líquido Observado a Amostra (00,00) Erro Líquido Extrapolado para a População3,50 3

134 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 4 Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 ITES CRÍTICOS OU COM VALORES ELEVADOS Item Registrado (A) Valor Auditado (B) Erro (C) [(A)- (B)] Ites críticos ou com valores superiores ao itervalo amostral E) Superestimados 3435,00465,00500,00 F) Subestimados (utilizar formulários distitos para valores superestimados e subestimados) Erro Total500,00 3

135 APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 5 Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 AMPLIAÇÃO DO ITERVALO DE PRECISÃO AIP Registros G) Superestimados Ordem (º, º, etc) Fator AIP (A) Proporção (B) AIP [(Itervalo Amostral(A)(B)] º0,750,0343,75 H) Subestimados (utilizar formulários distitos para valores superestimados e subestimados) AIP Total343,75 33

136 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 5 Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 AMPLIAÇÃO DO ITERVALO DE PRECISÃO AIP Ordem (º, º, etc) Fator AIP (A) Proporção (B) AIP [(Itervalo Amostral(A)(B)] Registros º 0,75 0,05 (7,87) I) Superestimados J) Subestimados º 0,55 0,04 (687,50) (utilizar formulários distitos para valores superestimados e subestimados) AIP Total (859,37) 34

137 APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Geral de Cotrole Extero AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA FORMULÁRIO 6 Obeto(s) da Auditoria: XYZ UG:????? TC:??????/999-? Obeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de: Abragêcia: 0/0/997-3//998 Realização: 5/0/999-0/03/999 Plao Amostral Preparado por: UVWMatrícula:????-?Data: 5//998 Revisto por: RSTMatrícula:????-?Data: 0/0/999 ERRO E PRECISÃO TOTAIS SuperestimadosSubestimados Erro Provável (Formulários 3 & 4) 3,50 500,00 3,50 Materialidade Restrita (Formulário ) 95000,00 (95000,00) Ampliação do Itervalo de Precisão (Formulário 5) 343,75 (859,37) Limite Superior dos Erros ()9856,5 (96546,87) Materialidade Ampla ()00000,00 (00000,00) Difereça [()-()]843,75 (3453,3) Difereça Aceitável? Sim ão Sim ão 35

138 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 36

139 GLOSSÁRIO AMOSTRA: subcouto de elemetos da população selecioado para aálise; a quatidade de elemetos da amostra (i e, tamaho da amostra) é usualmete deotada como, equato que a quatidade de elemetos da população é geralmete deotada como AMOSTRA ALEATÓRIA: amostra cuos elemetos são selecioados aleatoriamete, podedo-se computar a probabilidade de que uma amostra em particular sea obtida; a seleção pode ser com ou sem reposição, ou sea, os elemetos podem ser selecioados simultaeamete ou um por vez, devolvedo-se à população, após cada seleção, o elemeto selecioado; o caso da seleção com reposição, elemetos da população podem itegrar a amostra mais de uma vez APROXIMAÇÃO PELA ORMAL: mesuração aproximada das áreas sob um histograma (i e, plotagem da distribuição de freqüêcias relativas de uma variável aleatória) por meio das áreas correspodetes defiidas pela curva ormal, após a trasformação dos valores origiais em uidades-padrão; diversas distribuições de probabilidades podem ser aproximadas por itermédio da distribuição ormal (p ex: o itervalo [9,5; 7,5], a área defiida pelo histograma de uma distribuição biomial com 50 e p 0,3 é igual a 0,74; o caso da distribuição ormal, esse itervalo correspode a [( 9,5 500,3) 500,3 ( 0,3) ;( 7,5 500,3) 500,3 ( 0,3) ] [,697;0,77], ao qual está associado uma área igual a 0,735 apeas um pouco iferior ao valor correto, portato; covém otar que a aproximação será tão melhor quato maior for e mais próximo de 0,5 for p) CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FIITAS: o caso de amostrages sem reposição, os erros-padrão dos totais e das médias amostrais depedem da fração da população icluída a amostra maior a fração, meor o erro-padrão; o erro-padrão as amostrages sem reposição é iferior ao erro-padrão as amostrages com reposição, com a difereça correspodedo ao fator de correção para populações fiitas (CPF), qual sea, [ ( ) ( ) ] com, as duas modalidades de amostragem são equivaletes, o que tora os erros-padrão iguais (CPF ), equato que, com, a amostra selecioada sem reposição cofude-se com a própria população, de modo que as estimativas são iguais aos parâmetros, ão havedo qualquer variação, ou sea, o erro-padrão é igual a zero (CPF 0) DADOS: iformações uméricas relevates para a tomada de decisão em um cotexto específico DEFIIÇÃO OPERACIOAL: atribuição de um sigificado a um coceito ou variável que possa ser etedido por todos DISTRIBUIÇÃO: modo como se distribuem as freqüêcias relativas dos valores associados a um couto de observações

140 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE PROBABILIDADES: modo como se acumulam, para cada possível resultado x i da variável aleatória X, as observações cuos valores seam iguais ou iferiores [P(X x i )]; a distribuição é igual a zero para valores suficietemete baixos e igual a um para valores suficietemete altos; o gráfico correspodete cresce mootoicamete se x < x, etão P(X x ) P(X x ) DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: distribuição das estimativas geradas por amostras aleatórias DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES: especificação da probabilidade de que uma variável aleatória X assuma cada um dos seus possíveis resultados x i, o caso de variáveis discretas [P(X x i )], ou de que estea compreedida em qualquer itervalo [x ; x ] do segmeto de possíveis resultados, o caso de variáveis cotíuas [P(x < X < x )] DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES UIFORME: todos os possíveis resultados da variável aleatória têm a mesma probabilidade de ocorrer DISTRIBUIÇÃO ORMAL: uma variável aleatória X, com média µ e desvio-padrão σ, é ormalmete distribuída [X ~ (µ, σ )] se P[ x < ( X µ ) σ < x ], para x < x, correspoder à área sob a curva ormal compreedida o itervalo [x ; x ]; caso µ e σ seam iguais a zero e a um, respectivamete, tem-se que X apreseta uma distribuição ormal padroizada, ou sea, X ~ (0, ) ELEMETO: compoete de um couto de dados ERRO ALEATÓRIO: erro que, ao cotrário do viés, afeta as estimativas de forma diferete a cada medição; comporta-se como um úmero selecioado, aleatoriamete e com reposição, de um couto de valores cua média é igual a zero ESPAÇO OU CADASTRO AMOSTRAL: couto de dados a partir do qual a amostra é selecioada; idealmete, o cadastro cotém toda a população acerca da qual se desea fazer iferêcias ESPAÇO DOS POSSÍVEIS RESULTADOS: couto de todos os possíveis resultados de um experimeto aleatório (ie, experimeto cuo resultado, em uma úica tetativa, ão pode ser previsto com exatidão, mas cuas freqüêcias relativas de logo prazo, para sucessivas repetições, são previsíveis) ESTATÍSTICA: medida estimada a partir de uma amostra que exprime uma característica da população ESTATÍSTICA DESCRITIVA: métodos de coleta, apresetação e caracterização de um couto de dados que permitam descrever apropriadamete vários dos seus aspectos ESTIMADOR: regra cuo obetivo sea gerar, a partir de amostras aleatórias, estimativas acerca dos parâmetros (p ex, a média amostral x é um estimador da média populacioal µ); é uma variável aleatória, pois seus resultados depedem das amostras que forem selecioadas; idealmete, ão deve ser viesado e a sua variâcia deve ser pequea, podedose avaliá-lo por meio do erro-médio quadrático (EMQ) 7, o qual é igual ao valor esperado do quadrado da difereça etre o estimador (p ex, x ) e o parâmetro (p ex, µ), ou sea, 7 Mea Square Error (MSE), a lígua iglesa 38

141 EMQ x [ x k] ( ) k ( µ ) EXEMPLO DA APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA, com k igual à quatidade de estimativas (ie, o EMQ é uma medida da acurácia do estimador e também pode ser expresso da seguite maeira: EMQ( x ) [viés( x )] + [erro-padrão( x )] ) EVETO: subcouto do espaço de possíveis resultados que coteha resultados efetivamete observados (p ex, se A é um subcouto do espaço de possíveis resultados de uma variável aleatória, etão A é um eveto caso o resultado efetivamete observado perteça a A) FUÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES: represetação matemática da distribuição de uma variável aleatória discreta FUÇÃO DESIDADE DE PROBABILIDADE: fução matemática cua área sob a curva correspodete defie as probabilidades de que os resultados de uma variável aleatória cotíua esteam compreedidos em itervalos do segmeto de possíveis resultados para toda variável aleatória X, há uma fução desidade de probabilidade f(x) tal que P(x < X < x ), para x < x, correspoda à área compreedida o itervalo [x ; x ] IFERÊCIA ESTATÍSTICA: métodos que permitem estimar características de uma população ou tomar decisões com base em resultados amostrais ITERVALO DE COFIAÇA: itervalo aleatório cua probalidade de que coteha o verdadeiro valor do parâmetro é cohecida LEI DOS GRADES ÚMEROS: o caso de repetições sucessivas e idepedetes de experimetos aleatórios, com igual probabilidade p de sucesso, a probabilidade amostral p ^ será tão mais próxima de p quato maior for a quatidade de repetições; a probabilidade de que a difereça etre p ^ e p sea maior do que um valor positivo e coverge para zero à medida que a quatidade de repetições tede ao ifiito MODELO: represetação estilizada de um feômeo MODELO MATEMÁTICO: represetação matemática de um feômeo ÃO-RESPOSTA: difereça etre a quatidade de cosultas feitas (p ex, questioários eviados, telefoemas feitos, etc) e a quatidade de cosultas respodidas (p ex, questioários devolvidos, telefoemas atedidos, etc) ÍVEL DE COFIAÇA: probabilidade de que o itervalo de cofiaça coteha o verdadeiro valor do parâmetro PARÂMETRO: propriedade umérica de uma população, como a sua média POPULAÇÃO OU UIVERSO: couto de elemetos visado por uma pesquisa, os quais podem ser épocas, lugares, obetos, pessoas, procedimetos, etc TAXA DE ÃO-RESPOSTA: razão etre as quatidades de cosultas ão-respodidas e de cosultas feitas; caso essa taxa sea alta, a pesquisa coterá um viés de ão-resposta elevado 39

142 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS TIPOS DE AMOSTRAGEM: as técicas de amostragem podem ser classificadas de várias maeiras, quais seam: a) quato à divisão em estratos: estratificada ou ão-estratificada; b) quato à quatidade de estágios: um estágio ou mais de um; c) quato à uidade amostral: um elemeto ou um coglomerado; d) quato ao processo de seleção das uidades amostrais: aleatória ou sistemática; e) quato às probabilidades de seleção das uidades amostrais: probabilidades iguais ou desiguais UIDADE AMOSTRAL: uidade fudametal de uma amostra VALOR ESPERADO OU ESPERAÇA MATEMÁTICA: limite de logo prazo da média dos resultados observados em repetições sucessivas e idepedetes de experimetos aleatórios; o caso de variáveis discretas, esse limite correspode à média dos possíveis resultados, poderados pela respectiva freqüêcia relativa; o valor esperado de uma variável aleatória X é deotado como E(X) VARIÁVEL: valor ou categoria que possa diferir de observação para observação VARIÁVEL ALEATÓRIA: atribuição de valores aos possíveis resultados de um experimeto aleatório (p ex, o arremesso de três moedas, a quatidade de caras que podem ser observadas é uma variável aleatória, atribuido-se o valor 0 ao resultado {coroa, coroa, coroa}, o valor aos resultados {coroa, coroa, cara}, {coroa, cara, coroa} e {cara, coroa, coroa}, o valor aos resultados {coroa, cara, cara}, {cara, coroa, cara} e {cara, cara, coroa} e o valor três ao resultado {cara, cara, cara}) VARIÁVEL ALEATÓRIA COTÍUA: variável umérica cuo couto de possíveis resultados é icotável (p ex, altura exata, idade exata, icluido frações de segudo, temperatura, etc) VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: variável umérica cuo couto de possíveis resultados é cotável (p ex, variáveis cuos possíveis resultados são um subcouto dos úmeros iteiros, tais como: idades arredodadas para o valor iteiro mais próximo, úmeros das cédulas de idetidade, tamahos das famílias, etc) VARIÁVEL CATEGÓRICA OU ATRIBUTO: variável cuos resultados correspodam a categorias, tais como: {alto, baixo}, {femiio, masculio}, {vermelho, verde, azul}, {Amazoas, Ceará, Goiás e São Paulo}, etc VIÉS: difereça sistemática, deliberada ou ão, etre as estimativas e o parâmetro (p ex: uma pessoa que sempre se pese estado vestida obterá medidas sistematicamete superiores ao seu peso correto, itroduzido um viés para cima as estimativas) VIÉS DA ÃO-RESPOSTA: viés decorrete de difereças existetes etre os respodetes e os ão-respodetes em aspectos relevates para a pesquisa (p ex, uma pesquisa por telefoe que desee estimar a duração média da orada de trabalho poderia, iadvertidamete, igorar as pessoas que trabalham até mais tarde, o que itroduziria um viés para baixo as estimativas) 40

143 BIBLIOGRAFIA Pricipal ADAMS, Roger; REGAL, Richard TCU Auditig Semiar Programme Brasília, 995 (Mimeo) BERSTEI, Peter Agaist the Gods: the remarkable story of risk ova Iorque : Joh Wiley & Sos, 996 BOLFARIE, Heleo; BUSSAB, Wilto O Elemetos de Amostragem Belo Horizote, 994 (º Simpósio acioal de Probabilidade e Estatística Mimeo) BORRIES, George F Estatística Aplicada e oções de Amostragem Brasília, 997 (Mimeo) COCHRA, William Samplig Techiques 3 ed ova Iorque : Joh Wiley & Sos, 977 (Wiley Series i Probability ad Mathematical Statistics) DAMASCEO, Paula de B; PACHECO, Márcio E Técica de Amostragem I: Auditoria Pública Rio de Jaeiro, 998, p (Curso de Pós-Graduação em Cotabilidade Pública da Fudação Getúlio Vargas - RJ Mimeo) FOSECA, Jairo S da; MARTIS, Gilberto de A Curso de Estatística 3 ed São Paulo : Atlas, 98 LEVIE, David M; BERESO, Mark L; STEPHA, David Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel ew Jersey : Pretice Hall, 997 MCGILL, Joh J Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel: Microsoft PowerPoit slides ew Jersey : Pretice Hall, 997 (Meio Magético) EWBOLD, Paul Statistics for Busiess ad Ecoomics 4 ed ew Jersey : Pretice Hall, 995 PLATEK, R; SIGH, M P; TREMBLAY, V Adustmet for orespose i Surveys I: AMBOODIRI, Krisha (Org) Survey Samplig ad Measuremet ova Iorque : Academic Press, 978, p SCHEAFFER, Richard; MEDEHALL, William; OTT, Lyma Elemetary Survey Samplig 4 ed Belmot : Duxbury, 990 SOUZA, Jorge de Pesquisa Eleitoral: críticas e técicas Brasília, 990 SPIEGEL, Murray R Estatística São Paulo : McGraw-Hill, 976 STEVESO, William Estatística Aplicada à Admiistração São Paulo : Harbra, 986 TOLEDO, Geraldo L; OVALLE, Ivo I Estatística Básica ed São Paulo : Atlas, 985

144 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Complemetar ADERSO, R J; TEITLEBAUM, A Dollar Uit Samplig CA Magazie, Abril/973, p 30-9 ARKI, Herbert Hadbook of Samplig for Auditig ad Accoutig ed ova Iorque : McGraw-Hill, 974 (McGraw-Hill Accoutig Series) COMMISSIO o Audit Comprehesive Audit Maual o COA Samplig-Card Methodology: cocepts ad applicatio guidelies Maila, 985 EFRO, Bradley The Jackkife, the Bootstrap ad Other Resamplig Plas Philadelphia : Society for Idustrial ad Applied Mathematics, 98 (Regioal Coferece Series i Applied Mathematics) GEERAL Accoutig Office Usig Statistical Samplig Washigto, 99 GOVERMET Auditig Traiig Istitute Statistical Samplig Usig Computer Applicatios Washigto, 995 HORVITZ, D G Some Desig Issues i Sample Surveys I: AMBOODIRI, Krisha (Org) Survey Samplig ad Measuremet ova Iorque : Academic Press, 978, p 3- LAPHIER, C Michael; BAILAR, Barbara A A Survey of Surveys: some samplig frame problems I: AMBOODIRI, Krisha (Org) Survey Samplig ad Measuremet ova Iorque : Academic Press, 978, p LOYES, R A Critical Review of Moetary Samplig ad the Striger Boud Sheffield : Uiversity of Sheffield, 994 MURTHY, M Use of Sample Surveys i atioal Plaig i Developig Coutries I: AMBOODIRI, Krisha (Org) Survey Samplig ad Measuremet ova Iorque : Academic Press, 978, p 3-53 MURTHY, M ; RAO, T J Systematic Samplig with Illustrative Examples I: KRISHAIAH, P R; RAO, C R (Org) Hadbook of Statistics, v 6 Amsterdã : Elsevier Sciece, 988, p ATIOAL Audit Office Collectig, Aalysig ad Presetig Data: how software ca help Lodres, 996 Fiacial Audit Plaig Lodres, sd (Mimeo) RAO, Poduri S R S Ratio ad Regressio Estimators I: KRISHAIAH, P R; RAO, C R (Org) Hadbook of Statistics, v 6 Amsterdã : Elsevier Sciece, 988, p SELLIG, J Use of Samplig: value for moey studies Lodres : atioal Audit Office, 99 SUDMA, Seymour How Big Should a Sample Be? I: Applied Samplig ova Iorque : Academic Press, 976, p TOWS, J; SELLIG, J Desigig ad Carryig out a Survey Lodres : atioal Audit Office, 99 4

145 FOLHA DE SUGESTÕES O TCU preocupa-se com o costate aperfeiçoameto da qualidade de seus mauais e orietações, buscado, para isso, ouvir a valiosa opiião do público-alvo dos referidos trabalhos O questioário a seguir refere-se especificamete às Técicas de Amostragem para Auditorias, distribuídas a partir de março de 00 Será muito útil para o TCU se o leitor deste documeto puder dispor de algus miutos para respoder às pergutas costates o referido questioário e eviá-lo pelos Correios (ão é preciso selar, pois o porte será pago pelo TCU) formas: Sugestões sobre este documeto também podem ser eviadas das seguites adfis@tcugovbr Fax: (6) Foe: (6) Edereço: Tribual de Cotas da Uião TCU ADFIS Setor de Admiistração Federal Sul Lote 0 CEP: Brasília-DF

146 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 44

147 Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Aduta de Fiscalização QUESTIOÁRIO DE AVALIAÇÃO FIALIDADE Este questioário de avaliação tem por obetivo obter a opiião dos leitores sobre as Técicas de Amostragem para Auditorias, com vistas ao seu aperfeiçoameto Por favor, respoda às questões abaixo assialado com um X a alterativa mais adequada Desde á agradecemos a sua colaboração Em que esfera do govero você trabalha? Federal Estadual ou DF Muicipal Em que órgão você trabalha? Poder Legislativo Poder Executivo Poder Judiciário Cotrole Itero Outro [especificar] 3 Que partes das Técicas de Amostragem para Auditorias você leu? Todo Capítulos I e II [todo ou parte] Capítulos III e IV [todo ou parte] Capítulos V e VI [todo ou parte] Capítulos VII e VIII [todo ou parte] 4 Leia com ateção cada idicador e escolha o poto da escala que melhor descreve a sua opiião sobre as Técicas de Amostragem para Auditorias Marque com um X a opção que melhor represeta o seu ulgameto Cocorda itegralmete Cocorda Idiferete Discorda Discorda itegralmete O maual é: Fácil de ser lido Fácil de ser etedido Lógico Sucito Completo Útil 5 Como você tomou cohecimeto das Técicas de Amostragem para Auditorias? Quado recebeu Divulgação itera do TCU Por mesagem do SIAFI 6 Como você obteve das Técicas de Amostragem para Auditorias? Pela Iteret Pela impresa Outros [especificar] Solicitou diretamete ao TCU Dowload pela Iteret Outros [especificar] 7 Apresete, a seguir, cometários e sugestões para o aprimorameto da qualidade das Técicas de Amostragem para Auditorias o caso de sugestões para alteração/supressão/aditameto de ites de verificação, favor preecher o quadro aexo

148

149 Tribual de Cotas da Uião Secretaria-Aduta de Fiscalização QUADRO DE SUGESTÕES FIALIDADE Este quadro de sugestões tem por obetivo obter a opiião dos leitores sobre as Técicas de Amostragem para Auditorias, com vistas ao seu aperfeiçoameto º do item Proposta de alteração, supressão ou aditameto Fudametação

150 PTR/BSB 880/9 UP-AC/TCU DR/BSB CARTA - RESPOSTA ÃO É ECESSÁRIO SELAR O SELO SERÁ PAGO POR TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO BRASÍLIA-DF

151 UIDADES DA SECRETARIA DO TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO Secretaria da Presidêcia Paulo Emílio Lustosa Cosultoria Jurídica José Moacir Cardoso da Costa Istituto Serzedello Corrêa Salvatore Palumbo Secretaria de Cotrole Itero Leila Foseca dos Satos V Ferreira Secretaria de Plaeameto e Gestão Mauro Giacobbo Secretaria de Tecologia da Iformação Cláudio Silva da Cruz Assessoria de Cerimoial e Relações Istitucioais Eriva Carlos de Carvalho Assessoria de Comuicação Social Fracisco Raul Félix de Souza Ramos Assessoria de Relações Iteracioais Aa Beatriz Pascal Kraft Assessoria Parlametar Severio Lucea da óbrega Secretaria-Geral das Sessões Eugêio Lisboa Vilar de Melo Secretaria do Pleário Eleir Teodoro Goçalves dos Satos Secretaria-Geral de Admiistração Atôio José Ferreira da Tridade Secretaria de Recursos Humaos Cláudia de Faria Castro Secretaria de Orçameto, Fiaças e Cotabilidade Pedro Martis de Sousa Secretaria de Material, Pat e Com Admiistrativa Ary Ferado Beirão Secretaria de Egeharia e Serviços Gerais Alfredo Herique Bauchspiess Secretaria-Geral de Cotrole Extero Luciao Carlos Batista Secretaria-Aduta de Cotas Ricardo de Mello Araúo Secretaria-Aduta de Fiscalização Cláudio Souza Castello Braco Secretaria de Fiscalização de Desestatização Jorge Pereira de Macedo Secretaria de Fiscalização de Pessoal Atoio Júlio Ferreira Secretaria de Fiscalização de Obras e Pat da Uião Cláudio Saria Altouia Secretaria de Fiscalização e Aval de Prog de Govero Marília Zi Salvucci Secretaria de Macroavaliação Goverametal Paulo Roberto Piheiro Dias Pereira Secretaria de Recursos Odilo Cavallari de Oliveira ª Secretaria de Cotrole Extero Rosedo Severo dos Aos eto ª Secretaria de Cotrole Extero Eduardo Duailibe Murici 3ª Secretaria de Cotrole Extero Carlos iva Maia 4ª Secretaria de Cotrole Extero Maria do P Socorro Teixeira Rosa 5ª Secretaria de Cotrole Extero Alexadre Valete Xavier 6ª Secretaria de Cotrole Extero Ismar Barbosa Cruz Secretaria de Cotrole Extero/AC João Batista Diiz Capaema Secretaria de Cotrole Extero/AL Edimilso Moteiro Batista Secretaria de Cotrole Extero/AP Jorge Luiz Carvalho Lugão Secretaria de Cotrole Extero/AM Helea Moteegro Valete Secretaria de Cotrole Extero/BA Evilásio Magalhães Vieira Secretaria de Cotrole Extero/CE Paulo ogueira de Medeiros Secretaria de Cotrole Extero/ES Raimudo oato Coutiho Secretaria de Cotrole Extero/GO Rosâgela Paiago Curado Fleury Secretaria de Cotrole Extero/MA José Maria Araúo Lima Secretaria de Cotrole Extero/MT Luiz Guilherme da Boamorte Silveira Secretaria de Cotrole Extero/MS Mário Júior Bertuol Secretaria de Cotrole Extero/MG Élsio Geová dos Satos Secretaria de Cotrole Extero/PA Octávio José Pessoa Ferreira Secretaria de Cotrole Extero/PB Raimudo oato Soares Araúo Secretaria de Cotrole Extero/PR azaré do Socorro G Rosário Zuardi Secretaria de Cotrole Extero/PE Ildê Ramos Rodrigues Secretaria de Cotrole Extero/PI José Ulisses Rodrigues Vascocelos Secretaria de Cotrole Extero/RJ Fracisco Carlos Ribeiro de Almeida Secretaria de Cotrole Extero/R Marcos Valério de Araúo Secretaria de Cotrole Extero/RS Carlos Martis dos Satos Secretaria de Cotrole Extero/RO Fábio Arruda de Lima Secretaria de Cotrole Extero/RR Raiério Rodrigues Leite Secretaria de Cotrole Extero/SC Rafael Blaco Muiz Secretaria de Cotrole Extero/SP Eloi Carovali Secretaria de Cotrole Extero/SE Maria Salete Fraga Silva Palma Secretaria de Cotrole Extero/TO Dio Carvalho Gomes de Sá