A MATEMÁTICA NO IME. (19) DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 2015 COMO É QUE EU PROVO ISSO? 2. Prove que se ( a b)

Transcrição

1

2 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 A MATEMÁTICA NO IME Um só plvr é cpz de defiir prov de Mtemátic do IME: el Ess prov tem eercícios que eigem grde cohecimeto e domíio d mtéri por prte dos cdidtos e, ormlmete, preset lgus prolems que coseguem desfir té mesmo s metes mis em preprds, o que tor um desfio tetdor A álise dos últimos os permite cocluir que certos tems têm preseç costte o vestiulr do IME A prov é stte vrid, ms otmos que tems como trigoometri, logritmos (ormlmete misturdos etre si ou com outros tems), geometri pl e sequêcis (progressões ritmétics e geométrics) têm precido com um frequêci stte elevd Além desses, podemos citr, tmém, geometri lític (côics) e úmeros compleos, que são ssutos de etrem importâci pr se oter um ecelete resultdo prov do IME Provvelmete você já estudou cd um desses tems e se que eistem vários livros muito os sore cd um desses ssutos Etretto, eistem lgus detlhes que cem s provs do IME que eigem determidos cuiddos por prte do cdidto, detlhes que ão precem em vários livros Como eemplo, st oservr que, os últimos os, plvrs como demostre, prove e mostre form citds 5 vezes, um médi de,5 item por o Proporciolmete, é quse tão comum precer um item com plvr demostre quto um item com um fução trigoométric, que é o ssuto mis cordo este vestiulr! Nos últimos os, form questões de demostrção Levdo em cosiderção álise feit, segue um seleção de ssutos que podem ser importtes pr o ótimo desempeho Além d prte de demostrções, este mteril tmém trz formulários de trigoometri, logritmos e côics (ssutos que são orddos em prticmete tods s provs do IME), lém d relção de Stewrt, que é etremmete prátic em lgus prolems de geometri pl COMO É QUE EU PROVO ISSO? Bom, todos ós um di deprmos com lgum eercício do tipo prove que ou demostre que E, provvelmete, pergut como é que eu provo isso? com certez já foi feit em lgum desss situções Eercícios de demostrção têm dus prtes fudmetis: um hipótese e um tese A tese é o que queremos provr, por isso, equto ão for provd, jmis pode ser ecrd como verddeir Já oss hipótese ormlmete é lgo que o eercício os forece como verddeiro, e é o poto de prtid que temos pr oss demostrção Em resumo: Hipótese se d oss demostrção (pode ser ecrdo como verddeiro o eercício) Tese é o que queremos provr Assim, se, prtir d su hipótese, você coseguir, por meio de um série de processos lógicos, mostrr que su tese é verddeir, etão você coseguiu demostrr ess tese Em resumo, o processo de demostrção está sedo seguite sequêci: hipótese processos lógicos tese Os: em sempre o eercício forecerá um hipótese Nesses csos podemos utilizr como hipótese qulquer fto recohecidmete verddeiro sore o ssuto Normlmete, trlhmos com hipóteses que são, mtemticmete fldo, rzoáveis No etto, o processo de demostrção, podemos deprr com teses totlmete surds Nem sempre será ecessário demostrr; às vezes, podemos ecotrr lgo que chmmos cotr-eemplo, ou sej, podemos, por meio de eemplificção, mostrr que oss tese é surd Eemplos: Prove ou dê um cotr-eemplo: ( ) Hipótese: ão foi forecid Tese: ( ) Oserve que esse eercício ão temos um hipótese pr o iício d demostrção Dess form, qul seri etão um hipótese rzoável pr iicirmos oss demostrção? Como sugestão, lemre-se de que sempre é verdde que ( ) Vmos utilizr esse fto como hipótese A prtir dess hipótese, perce que, cso oss tese sej verddeir, etão Porém, se isso for verdde, temos etão que Bem, em mometo lgum foi dito que isso teri que cotecer! Assim, provvelmete deve eistir lgum CONTRA- EXEMPLO Tomdo, temos que ( ) (), equto que, ou sej, ecotrmos um eemplo o qul oss tese ão é verddeir Prove que se ( ) etão ou Hipótese: ( ) Tese: ou Em osso eercício, ess hipótese é um VERDADE ABSOLUTA Mesmo com um hipótese pretemete estrh, s regrs mtemátics cotium válids Assim, id é verdde que ( ) Dess form, temos etão que: ( ) A prtir de processos lógicos, ecotrmos etão que, cso ( ), etão Bem, multiplicção de dois úmeros só é ul qudo um deles for zero, logo, se, etão ou Cosiderdo cdei de implicções ( ) ou, temos etão que ecessrimete ( ) ou, e oss tese está provd REDUÇÃO AO ABSURDO Um modo etremmete cohecido de demostrção é chmdo de redução o surdo Esse processo é sedo s seguites etps: lismos oss hipótese e oss tese; supomos que oss tese é FALSA; prtir de processos lógicos, cmos por oter lgum resultdo que é surdo Se isso ocorre, ou sej, se prtir do fto de trsformrmos oss tese em um cois supostmete fls, ecotrmos um resultdo que é surdo, etão oss tese deve ser verddeir, e etão el está provd Eemplo: prove que eistem ifiitos úmeros primos Tese: eistem ifiitos úmeros primos Supoh justmete o cotrário, ou sej, supoh que eiste um úmero fiito de úmeros primos Assim, sej {,,5,, p } o cojuto de todos os úmeros primos eistetes Dess form, sej etão N o úmero formdo pelo produto de todos esses úmeros, ou sej, N p Bom, esse úmero é composto e é divisível por todos os úmeros primos Porém, e o úmero N? O que podemos flr sore ele? Or, o úmero N, qudo dividido por, dá resto D mesm form, qudo for dividido por, dá resto Além disso, qudo esse úmero for dividido por p, tmém teremos resto Assim, N ão é divisível por ehum úmero lém dele mesmo e do úmero, logo, N é um úmero primo Porém ós prtimos do pricípio de que p er o osso último úmero primo, e isso os ger um ABSURDO Assim, devem eistir etão ifiitos úmeros primos

3 IME - EXEMPLO DE DEMONSTRAÇÃO Sejm os cojutos P, P, S e S tis que P S P, PS P e S S P P Demostre que S S P P SOLUÇÃO Sej S S Pel defiição de itersecção ( ) de cojutos, segue que S e S Além disso, como SSP P, isto é, sedo S S um sucojuto de P P, etão todo elemeto de S S é tmém elemeto de P P Como SS P P Por outro ldo, pel defiição de uião ( ) de cojutos, temos que PP P ou P Alisemos cd um desss dus possiiliddes: (I) P : P Nesse cso, temos simultemete PS S P S P, temos que Como, por hipótese, PS P P P, segue que P P Assim, como e (II) P : P S P S P, temos que Nesse cso, temos simultemete P S Como, por hipótese, P S P P P, segue que P P Assim, como e Oserve que, em qulquer um dos csos, tomdo um elemeto ritrário o cojuto S S, mostrmos que ele P P, isto é, ecessrimete pertece o cojuto SS P P Isso é equivlete firmr que S S P P querímos demostrr, como PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA O processo de idução fiit é, provvelmete, o modo mis iteresste de se provrem eercícios ormlmete relciodos com proprieddes de úmeros iteiros Ele é um método simples, porém muito eficz de prov, sedo em etps: mostr-se que tese é válid pr lgum úmero qulquer; supõe-se que pr o vlor k oss tese é verddeir (ess será oss ov hipótese); se propriedde cotiur válid pr k+, etão el é válid pr qulquer úmero turl ( ) Eemplo: Mostre que Vmos seguir cd etp: ( ) ) Se =, temos que kk ( ) ) Vmos supor que k kk ( ) Como k, temos, somdo (k+) em mos os ldos: kk ( ) ( k) ( k ) ( k ) kk ( ) ( k) ( k)( k) k ( k ) Lemrdo que k ( k ), temos etão: (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 ( k )[( k ) ] k ( k ) Isso comprov que fórmul cotiu válid pr k+ Assim, el é válid pr qulquer que sej turl IME - EXEMPLO DE PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA Cosidere mtriz A Sej mtriz k B A, com k e k úmeros iteiros Determie som, em fução de, dos qutro elemetos d mtriz B SOLUÇÃO Um mtriz d form M tem propriedde de que: k k M, pr todo k iteiro positivo Vmos demostrr tl fto por idução fiit sore k: Pr k, temos: M M, o que grte vlidde d firmção pr k Supoh gor que iguldde sej válid pr k p, isto é: p p M Pr k p, temos: p p p p p M M M, ou sej, iguldde é válid pr k p Assim, pelo Pricípio d Idução Fiit, mostrmos que iguldde é válid pr todo iteiro positivo k A prtir disso, em relção à mtriz A dd, temos que: k k k k k k A A k A mtriz B pode ser costruíd como: k k k k k k k k k A k k k k k B k A som vem ser som dos primeiros termos de um k progressão geométric de primeiro termo e rzão Fzemos: k Já som S k k k pode ser clculd d seguite meir: k S S S k k k k k S k k k k Fzedo primeir equção meos segud, memro memro, vem que:

4 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 S S S A som etre prêteses correspode à som dos primeiros termos de um progressão geométric de primeiro termo e rzão S S Filmete, som ds qutro etrds d mtriz B, em fução de, pode ser epress por: TRIGONOMETRIA Pr ilustrr importâci d trigoometri pr o vestiulr do IME, podemos dizer que, os últimos cico os, pelo meos questões ordvm prioritrimete trigoometri Se cosiderrmos questões que evolvem resoluções trigoométrics, esse úmero pss de pr questões! As questões trigoométrics do IME quse sempre estão comphds por outros ssutos: geometri pl (priciplmete triâgulos e sus relções), úmeros compleos (form trigoométric) e té mesmo equções que evolvem logritmos Iteresste é otr que esses tipos de questões eigem cohecimeto mis sofisticdo do luo, já que é preciso relcior diferetes coteúdos em um só questão Fórmuls ásics: se tg cos cos cotg se tg Idetiddes úteis se cos cos se sec cos cosec se se se cos cos Som e sutrção de rcos se( ) se cos se cos se( ) se cos se cos cos( ) cos co se se cos( ) cos co se se Arco duplo cos cos se cos cos cos se se se cos Arco triplo se se se cos cos cos Trsformção de som em produto p q pq se pseq se cos p q pq se pseq se cos se cos tg sec cotg cosec se se cos cos tg tg tg tg tg ( ) tg tg tg tg tg ( ) tg tg Arco metde cos se cos cos cos tg cos se( p q) tg ptg q cos pcosq se( p q) tg ptg q cos pcosq p q pq cos pcosq cos cos p q pq cos pcosq se se IME UM EXEMPLO DE TRIGONOMETRIA Os âgulos de um triâgulo otusâgulo são 5º, e Sedo que m (rel), determie: ) s rízes d equção sec m cos se cos se, em fução de m; ) o vlor de m pr que e sejm rízes dess equção A figur seguir represet situção descrit: ) Pr cos, podemos trlhr com equção, e psso psso, temos: sec m cos se cos se m cos se cos se cos cos m cos se se cos se m cos se se cos se m cos se cos se cos se m cos se cos Pr que epressão cim sej verddeir, etão ecessrimete tg m ou tg rctg( m) k8 ou k8, com k ) Pr que tehmos s rízes d equção cim como os âgulos iteros do triâgulo ddo, um dos âgulos iteros deve ser igul, de cordo com resolução do item terior (o úico vlor etre e 8 que stisfz k8) Fzedo, por eemplo,, segue que o outro âgulo deve ser: A rctg( m) m tg5 m CÔNICAS O tópico de côics ormlmete ão é eftizdo o Esio Médio Isso ocorre, primeirmete, por su compleidde e pel pouc icidêci desse ssuto em outros vestiulres Etretto, o vestiulr do IME, temos questões últim décd que ordm tl tem 5 elipse 6 hipérole disc hipérole 8 testes côics em gerl 9 testes hipérole testes hipérole e elipse C 5 disc hipérole testes hipérole disc hipérole disc práol testes elipse disc práol B

5 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 A seguir um resumo ds pricipis proprieddes ds côics: ELIPSE Ddos dois potos F e F disttes c Um elipse de focos em F e F é o cojuto dos potos P(,y) cuj som ds distâcis F e F é costte e igul, com > c A, F c, O F c, A, B, B, y c c e O: cetro F, F: focos A, A, B, B: vértices AA: eio mior () BB: eio meor () FF: distâci focl (c) e: ecetricidde Equções reduzids cetro em (, y) - AA // O: y y - AA // Oy: y y HIPÉRBOLE Ddos dois potos F e F disttes c Um hipérole de focos em F e F é o cojuto dos potos P(,y) cujo módulo d difereç ds distâcis F e F é costte e igul, com < c A, O A, F c, F c, c y c B, c e B, O: cetro F, F: focos A, A: vértices e: ecetricidde AA: eio rel () BB: eio imgiário ou cojugdo () FF: distâci focl (c) Equções reduzids cetro em (, y) - AA // O: y y - AA // Oy: y y PARÁBOLA Ddos um poto F e um ret d (Fd) Um práol é o cojuto dos potos P(,y) equidisttes de F e d d y V'V VF p e d V' p, V Fp, e F: foco V: vértice V F: p prâmetro e: eio de simetri Equções reduzids cetro em (, y) y y p - e // O: - e // Oy: py y k = k RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA Dd um equção do o gru redutível à form yy k k k>, k> e k>k k>, k> e k<k Circuferêci Elipse de eio mior horizotl Elipse de eio mior verticl k> e k< Hipérole de eio rel horizotl k< e k> Hipérole de eio rel verticl Rotção de eios As coordeds de um poto P(,y) pós rotção de eios de um âgulo são dds por (`,y`) tis que = `cos - y`se y = `se + y`cos Iterpretção de um equção do o gru Dd eq gerl do o gru: A + By + Cy + D + Ey + F = é sempre possível elimir o seu termo retâgulo (By) trvés de um rotção de eios de um âgulo tl que A = C = / A C tg = B/(A C) IME UM EXEMPLO DE CÔNICAS Determie o vlor d ecetricidde d côic dd pel equção y y 6 Oservdo equção y y 6, ot-se que el represet um côic com cetro origem, um vez que el ão preset os termos e y É coveiete pr os ossos cálculos que o termo y de su equção sej elimido; isso pode ser feito prtir de um rotção de eios de um âgulo de, que é defiido prtir d iguldde B tg( ), ode A, B e C são, respectivmete, os coeficietes A C dos termos, y e y B tg( ) tg( ) tg( ) AC As equções de rotção de eios são, portto, dds por: cosyse y se ycos Como : y y y y y y Sustituido e y equção d côic, temos: y y 6 y y y y 6 5

6 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 Epdido cd um dos termos: y y yyy y y 6 y y yy y y 6 Multiplicdo mos os ldos d iguldde por e grupdo termos semelhtes: y 6 6y 6 Desse modo, equção reduzid d côic pós rotção de eios mostr que el é um hipérole com semi-eio rel igul e semieio imgiário igul Admitido que distâci focl sej c, temos: c c 5 c 5 Assim, ecetricidde dess côic é e GEOMETRIA A RELAÇÃO DE STEWART Um teorem stte importte, que pode fcilitr vid do cdidto em geometri, é o teorem de Stewrt: h ( AB) ( AB) h 6 e 8 ( BC ) h ( BC) 668( BC) h Somdo s equções otids: ( AB) h 6 ( BC) 6 6 8( BC) h ( AB) ( BC) 68( BC ) Sustituido equção otid pel relção de Stewrt: ( BC) ( AB) ( BM) 6 6 8( BC) ( BM) 6 ( BM) 6( BC) Podemos oservr que BC, já que BH e CH 8, já que CH é cteto do triâgulo que tem AC como hipoteus Logo BC 8BC, ssim: BC Deste modo: ( BM) 6( BC) ( BM ) 6 Deste modo os vlores iteiros que stisfzem tl iequção são: cyz y BM 6 e BM Logo som, S, dos possíveis vlores de BM é S 6 S IME UM EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE STEWART Sej um triâgulo ABC AH é ltur reltiv de BC, com H loclizdo etre B e C Sej BM medi reltiv de AC Sedo que BH AM, som dos possíveis vlores iteiros BM é ) ) c) 8 d) e) 6 A ilustrção io descreve situção descrit o eucido A B Pel relção de Stewrt segue que: H ( AM)( BC) ( CM)( AB) ( AC) ( BM) ( AM)( MC ) ( BC) ( AB) 8 ( BM) ( BC) ( AB) ( BM) 6 Pelo teorem de Pitágors os triâgulos ABH e ACH: M C SEQUÊNCIAS Um dos tems em destque dos últimos os do vestiulr do IME é sequêcis Lemrmos que s fmoss progressões ritmétics e geométrics são pes eemplos de sequêcis e, por su vez, mis importtes Vejmos: Progressão ritmétic (PA) é um sequêci de úmeros reis em que cd termo, prtir do segudo, é som do terior com um costte rel Ess costte é chmd de rzão d PA e é idicd por r r Som dos primeiros termos S Propriedde Termo gerl Progressão geométric (PG) é um sequêci de úmeros reis em que cd termo, prtir do segudo, é um produto do termo terior por um costte rel Ess costte é chmd de rzão d PG e é idicd por q Termo gerl Som dos primeiros termos Som dos termos de um PG ifiit Propriedde q q S q S, com q q 6

7 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 É iteresste otr que podemos lemrr o comportmeto desss dus sequêcis por meio de fuções já cohecids: fução fim pr progressão ritmétic e fução epoecil pr geométric Muits vezes, o rciocíio que predemos com esss fuções pode ser trsmitido por esss sequêcis sem precisr decorr lgums proprieddes Assim, ão teh medo de usr logritmo pr descorir rzão de um progressão geométric! Todos os rtifícios mtemáticos podem ser usdos durte prov, logritmo é pes um deles Outro fto iteresste é mistur etre os termos ds dus progressões A dic pr resolver esse tipo de eercício é sempre relcior os termos ds progressões com o primeiro termo, e s rzões r ( PA) ou q ( PG) Lemre-se: com ess mipulção, você precis oter poucs equções pr resolver o prolem! Vejmos um eemplo: IME : UM EXEMPLO DE PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA O segudo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de um Progressão Aritmétic (PA) de úmeros iteiros, de rzão r, formm, est ordem, um Progressão Geométric (PG), de rzão q, com q e r (turl diferete de zero) Determie: ) o meor vlor possível pr rzão r ; ) o vlor do décimo oitvo termo d PA, pr codição do item ) Sedo,,, progressão ritmétic, se-se que os termos, e formm, ess ordem, um progressão geométric Como r 6 6 r r r r 6r r 6r r r, segue que: r r r Como tto quto r devem ser úmeros iteiros, com r positivo, os meores vlores que stisfzem epressão cim são: r Assim, o meor vlor possível pr r é r ) Temos que: 8 r 8 5 DETERMINANTE Clculr determite de lgums mtrizes pode os tomr miutos preciosos de prov, lém de serem propícios erros de siis e de cots Eistem váris regrs e teorems pr clculr determite de mtrizes com ordem Listmos io dus ferrmets ótims que o judrão durte prov Teorem de Jcoi: Sej A um mtriz qudrd de ordem Se multiplicrmos todos os elemetos de um fil (lih ou colu) por um mesmo úmero e somrmos os resultdos dos elemetos os seus correspodetes de outr fil, oteremos outr mtriz B Etretto, podemos firmr que det A detb Esse processo é totlmete semelhte o de resolução de sistems lieres, o qul se multiplic um equção por um úmero e som-se ess equção otid pel multiplicção à outr Regr de Chió: A regr de Chió é um técic utilizd o cálculo de determites de ordem Dd um mtriz A de ordem, o plicrmos ess regr, oteremos um outr mtriz A de ordem, cujo determite é igul o de A º psso: Pr usr regr de Chió, precismos que o elemeto d primeir lih e primeir colu sej igul, ou sej, Cso ão sej, tete mipulr té oter esse elemeto Tome cuiddo! Ao fzer mipulções mtriz, você pode lterr tto o sil quto o vlor do determite º psso: Isolmos primeir lih e primeir colu d mtriz º psso: De cd elemeto restte, sutri-se o produto dos dois elemetos isoldos pertecetes à lih e à colu desse elemeto restte º psso: Com o resultdo ds sutrções referids cim, otémse um mtriz de ordem meor que terior, porém com o mesmo determite Você pode plicr ess regr váris vezes té reduzir mtriz pr um ordem meor Vejmos o eercício io que relcio regr de Chió com Jcoi IME : UM EXEMPLO DE DETERMINANTE Clcule s rízes de f em fução de, e c, sedo,, c e (rel) e c c f( ) c c Pelo teorem de Jcoi, fzedo primeir lih receer som ds outrs três lihs: f c c f c c c c c c c c c c f c c c Pel regr de Chió, plicd o elemeto : c f c c c c c Pelo teorem de Jcoi, somdo segud lih primeir: c c f c c c c c f c c c c c c Pel regr de Chió, plicd o elemeto : c f c c c Pelo teorem de Jcoi, somdo segud lih primeir: c c f c c c f c c c c

8 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 f c c c c f c c c c c ou c ou c ou c NÚMEROS COMPLEXOS Nos últimos três os, um dos ssutos que preceu o vestiulr do IME, tto prov discursiv quto prov ojetiv, é úmeros compleos A ecessidde de clculr rízes qudrds de úmeros reis egtivos troue, jutmete com o tempo, crição d uidde imgiári represetd por i, tl que i Todo úmero compleo z é d form z i, ode i e, Ess epressão recee o ome de form lgéric de z e, como veremos, ess form de represetr um úmero compleo é stte prátic O úmero rel é chmdo de prte rel de z e idicmos por Rez Já o úmero rel é chmdo de prte imgiári e idic-se por Imz Dizemos que um úmero é imgiário puro qudo Rez e Imz Qudo Imz, z é um úmero rel Nesse cso, címos o cojuto dos úmeros reis, um vez que todo úmero rel é úmero compleo com prte imgiári ul O cojugdo de um úmero compleo z i é idicdo por z e defiido por z i, isto é, z é otido de z trocdo-se o sil de su prte imgiári Outr meir de represetr um úmero compleo é pel form trigoométric Cosidere z i e o plo de Argd-Guss: Im z P, Proprieddes: z z cos ise Re Módulo: z Argumeto: rg z : Pels relções trigoométrics o triâgulo retâgulo, temos: cos z se z Form trigoométric z z cosise Cosidere e z z cos ise Multiplicção z z z z cos ise Divisão z z cos i se z z : Fórmuls de De Moivre: Sej z z cosise ª Fórmul (potecição): z z cosise ª Fórmul (rdicição): w será um riz -ésim de z, se, e somete se, w z Deste modo, w z cos k ise k, com,,, k Vejmos plicção d ª fórmul de De Moivre em um questão do IME: IME UM EXEMPLO DE NÚMEROS COMPLEXOS 6 O vlor de cos cos cos é: ) - ) -,5 c) d),5 e) Cosidere equção z = As rízes de tl equção são d k form z k = cis, com k iteiro Assim, temos: k = z cis z k= z cis 8 k= z cis k=6 z 6 cis k= z cis 6 k= z cis k=5 z 5 cis Pel relção de Girrd, som ds rízes é zero + cis + cis 6 + cis 8 + cis + cis + cis = Usdo prte rel, temos: + cos + cos 6 + cos 8 + cos + cos + cos = Como cos = cos, cos 6 = cos e cos 8 = cos, temos: 6 cos cos cos, 6 Logo: cos cos cos APLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS: POLINÔMIOS Dois tems em recorretes do vestiulr do IME são poliômios e equções poliomiis Estes estão quse sempre relciodos os úmeros compleos Vejmos: Um poliômio p vriável comple é um epressão dd por: p,,,, e são úmeros compleos chmdos coeficietes do poliômio; é o coeficiete idepedete do poliômio é um úmero turl o gru do poliômio é o úmero turl correspodete o mior epoete de, com coeficiete ão ulo o vlor umérico de p em é igul o úmero compleo otido qudo sustituímos por dizemos que é riz de p se p Teorem Fudmetl d Álger: Todo poliômio de gru,, dmite o meos um riz comple Relções de Girrd: Sej equção, com e r, r,, r sus rízes Assim, s relções etre coeficietes e rízes são: 8

9 (9) 5- wwwelitecmpiscomr DICAS PARA O VESTIBULAR DO IME 5 r r r ( ) r r r r r r ( ) r r r r r r r r r ( ) r r r ( ) Teorem ds rízes comples: Se um úmero compleo z i, com, é riz de um equção com coeficietes reis, etão seu cojugdo z i tmém é riz dess equção Vejmos plicção do teorem ds rízes comples e relções de Girrd o seguite eercício do IME: cos p p cos cos i se q q p p cos cos p q OBSERVAÇÃO FINAL Como oservção fil, gostrímos de deir em clro que, em qulquer eercício de Mtemátic, rgumetção é fudmetl, priciplmete em eercícios que evolvem demostrções Não st pes chegr um resultdo, tmém é ecessário especificr o modo como esse resultdo foi otido IME UM EXEMPLO DE POLINÔMIO COM RAÍZES COMPLEXAS Cosidere, Z e Z, compleos que stisfzem equção p q, ode p e q são úmeros reis diferetes de zero Se-se que os módulos de Z e Z são iguis e que difereç etre os seus rgumetos vle, ode é diferete de zero Determie o vlor de cos em fução de p e q Como os coeficietes d equção p q são todos reis, segue que Z é riz d equção se e somete se Z (cojugdo de Z ) é riz Portto, devemos ter Z Z Sedo úmeros compleos de mesmo rgumeto, podemos deotá-los por: Z cosi se Z cos i se cosi se De cordo com o eucido, difereç etre seus rgumetos é Podemos reescrever Z e Z como: Z cos i se Z cos i se Usdo gor s relções de som e produto pr equção, segue que: p ZZ q ZZ cos i se cos i se p cos i se cos i se q 9