CONTROLO. 1º semestre 2007/2008. Transparências de apoio às aulas teóricas. Capítulo 10 Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência

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1 Mestrado Itegrado em Egeharia Electrotécica e de Computadores (LEEC Departameto de Egeharia Electrotécica e de Computadores (DEEC CONTROLO º semestre 007/008 Trasparêcias de apoio às aulas teóricas Capítulo 0 Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequêcia A defiição de Fução Resposta em Frequêcia e o traçado do diagrama de Bode cosideram-se cohecimetos já adquiridos pelos aluos. As respectivas trasparêcias icluem-se este cojuto para o mater self-cotaied embora ão teham sido apresetadas as aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro Atóio Pascoal Revisão: Março de 007 Todos os direitos reservados Estas otas ão podem ser usadas para fis distitos daqueles para que foram elaboradas (leccioação o Istituto Superior Técico sem autorização dos autores INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 007/008 Março.007 /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

2 Resposta em Frequêcia O que é o estudo da Resposta em Frequêcia de um SLIT? Aálise da resposta a uma etrada siusoidal Figura retirada de Aálise de Sistemas Lieares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 00 Reprodução proibida Resultados de um teste com um CV uma estrada de perfil siusoidal, com velocidades crescetes: Até 30Km/h as oscilações de posição do codutor e da via são semelhates, i.e., quado o piso sobe o codutor sobe e viceversa, Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao ível do codutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via, A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhate à observada a 70Km/h; o etato, a difereça de fase é da ordem dos 80º, i.e., quado a estrada se eleva o codutor vai asseto abaixo, quado a estrada vai abaixo o codutor bate com a cabeça o tejadilho, A 50Km/h as oscilações ao ível do codutor são quase imperceptíveis, pelo que a codução se tora bastate agradável! Março.007 /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

3 Resposta em Frequêcia coceito (revisão r(ta si t G(s y(t etrada siusoidal como é a compoete forçada da resposta? R(s Aω Aω Y(s G(s s + ω s + ω c Y(s s + jω G(s N(s (s + p (s + p L(s + p c Ri + + s jω i s + si Assumem-se pólos simples sem perda de geeralidade Aω A c G(s G( jω s jω s j ω j c s Aω G(s G(jω s j c ω s + jω j A A y(t G( j ω j A jω t jωt sit e + G(j ω e + Rie j i resposta forçada resposta atural y (t y (t y (t A resposta em frequêcia de um f + SLIT aalisa a evolução da compoete forçada da resposta a uma etrada siusoidal. Março.007 3/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

4 Resposta em Frequêcia coceito (revisão y(t A G( jω j e jω A t jωt + G(jω e j + y (t resposta forçada resposta atural G( jω G(jω G( jω G(j ω G( jω G(jω G(jω G(j ω e e e e jargg( jω jargg( jω jargg( jω jargg( jω G(jω argg( jω G(s fução complexa de variável complexa G (s fução par fução ímpar jargg(s G(se compoete forçada da saída e y (t A G(jω f jω t.e jargg( jω e j jω t.e y f (t A G(j ω si( ω t + argg( (j ω Março.007 jargg( jω 4/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

5 Resposta em Frequêcia coceito (revisão r(ta si t y f (ta G(j si( t+argg(j G(s SLIT cotíuo Excitado por um sial siusoidal A compoete forçada da saída é aida: Um sial siusoidal com a mesma frequêcia Amplitude e fase do sial de saída relacioadas com a amplitude e fase do sial de etrada desfasagem compoete forçada do sial de saída sial de etrada G(j - gaho de amplitude para a frequêcia arg G(j desfasagem para a frequêcia Março.007 5/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

6 Fução Resposta em Frequêcia G(jω G(s s jω Fução Resposta em Frequêcia G(j Fução de trasferêcia calculada ao logo do eixo imagiário Para sistemas causais e estáveis A Fução Resposta em Frequêcia é a Trasformada de Fourier da Resposta Impulsioal G (j ω TF[h(t] Represetação gráfica da Fução Resposta em Frequêcia Que fuções é preciso represetar? G(j Arg G(j Que tipo de represetação Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist Diagrama de Nichols Março.007 Estudo da estabilidade de SLITs em cadeia fechada 6/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

7 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica Represetação gráfica da Fução Resposta em Frequêcia exemplo 0 log G(j como fução de (escala logaritmica Arg G(j como fução de (escala logaritmica G(s K(+ st (+ ξ s( + sτ (+ ξ s / s / + (s / + (s / fução de trasferêcia G(j K( + jt ( + j ξ / + (j / fução resposta em j(+ sτ(+ jξ / + (j / frequêcia Característica de amplitude G(j K (+ j (+ sτ jt (+ (+ jξ jξ / / + (j / + (j / O diagrama de Bode (amplitude represeta quociete de produtos de termos G(j 0logG(j G(j K + ( + jt + ( + j ξ / + (j / j (+ sτ (+ jξ / + (j / soma algébrica de Característica de fase termos argg( j arg K + arg(+ jt + arg(+ jξ arg( j arg(+ sτ arg(+ jξ Março.007 / / + (j / + (j / 7/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

8 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos G (s K G (j K fução de trasferêcia G (j K fução resposta em frequêcia argg( j 0º se K > 0 80º se K < 0 Março.007 8/Cap.0 80º M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

9 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos G (s 0 s G (j 0 j G(j ( 0 j 0 0log argg(j arg(0 arg( j Recta com declive 0/década passado em 0 para 0 90º Qual é o gaho estático deste sistema? Qual é o gaho de baixa frequêcia? Declive da assímptota? E se o sistema tivesse dois pólos a origem? Qual é a compoete forçada da resposta deste sistema à etrada r(tsi(00t? Março.007 9/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

10 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos G(s + st G(j + jt característica de amplitude G (j 0log + ( T Baixa frequêcia G(j Alta frequêcia << T T << 0log 0 >> T T >> assímptota de baixa frequêcia G(j 0log T 0log 0logT Recta com declive 0/década passado em 0 para /T assímptota de alta frequêcia característica de fase argg(j arg(+ jt arctg(t Baixa frequêcia << T T << argg(j 0º Alta frequêcia T >> T T >> Março.007 π argg( j 4 π argg( j 0/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

11 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos G(s + st G(j + jt T0.5 Pólo - assimptota de baixa frequêcia assimptota de alta frequêcia 0 /dec - 0/dec 0º - 45º - 90º rad/s frequêcia de corte do pólo Março.007 /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

12 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos G(s + st G(j + jt T0.5 Pólo º 5.7º 0. 0 T G(j 0log + (T argg(j arg(+ j 45º 0T argg(j arg j + 5.7º 0 0 G(j arg + 0j T 0log arg ( 90º º 3 Um pólo de multiplicidade cotribui para a fase total com um âgulo que varia, de uma década ates a uma década depois, de 0º a 90º passado a 45º a frequêcia de corte. Março.007 /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

13 Diagrama de Bode Largura de Bada Relação Tempo-Frequêcia Largura de Bada (a 3 Bada de frequêcia a qual o módulo da fução resposta em frequêcia ão cai mais de 3 em relação ao gaho de baixa frequêcia. K o K o -3 BW A Largura de Bada traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou meos perfeitamete os siais aplicados à sua etrada Num SLIT de ªordem, sem zeros, Largura de Bada frequêcia de corte do pólo Março.007 LBrad/s 3/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

14 Diagrama de Bode Largura de Bada Relação Tempo-Frequêcia G (s s + > G (s s + gaho estático uitário / / Largura de bada maior Resposta mais rápida Março.007 4/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

15 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólo duplo G(s 50 (s + 5 PERGUNTAS Gaho estático? Declive da Assimptota de baixa frequêcia Assimptota de alta frequêcia Fase para Baixas frequêcias Altas frequêcias RESPOSTAS Gaho estático G(s s Declive da Assimptota de baixa frequêcia O sistema ão tem pólos em zeros a origem declive 0db/dec Assimptota de alta frequêcia # pólos - # zeros declive -40/dec * (-0/dec Fase para Baixas frequêcias Sistema é de fase míima Sistema ão tem pólos e zeros a origem Fase para 0 rad/ s é igual a 0º 0 Altas frequêcias Sistema é de fase míima # pólos - # zeros Fase para é igual a 80º A cotribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das cotribuições de dois pólos reais simples. Março.007 5/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

16 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólo duplo G(s G(s 50 (s + 5 forma das costates de 50 tempo 0 (s( s + 5 s + 5 G(s Deste modo a assimptota de baixa frequêcia correspodete ao pólo duplo passa em 0 6 *5.7º Março.007 *5.7º -90º 6/Cap.0-80º M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

17 Diagrama de Bode Relação Tempo Frequêcia Sistema Sistema 50 G (s (s + 5 G (s 50 (s + 5 Sistema de ª ordem Pólo real simples em 5 Gaho estático 0 Sistema de ª ordem Pólo real duplo em 5 Gaho estático 0 Qual dos dois sistemas tem a maior largura de bada? Qual dos dois sistemas é mais rápido? LB 5 rad/ s LB 3.5 rad/ s Resposta a uma etrada escalão Característica de amplitude juto da frequêcia de corte Março.007 7/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

18 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólo a origem e pólos reais ão ulos G(s 00 s(s + 0(s + 00 Gaho estático? 3 pólos 0 zeros Assimptota de alta frequêcia com declive de 3*(-0 3(-0-60/dec G(s s( + 0. s /0(+ s / º -90º - 80º - 70º INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 8/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

19 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos - pólo a origem e pólos reais ão ulos G(s 00 s(s + 0(s + 00 Gaho estático? 3 pólos 0 zeros Assimptota de alta frequêcia com declive de 3*(-0 3(-0-60/dec G(s s( + 0. s /0(+ s / º -90º - 80º - 70º INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 9/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

20 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos Qual é a cotribuição i de um factor do tipo (+jt? Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas relativamete às obtidas para um pólo real com a mesma frequêcia de corte 0 log + jt 0log + (T T >> 0log + (T 0log(T 0log + 0logT T0. + 0/dec º 45º frequêcia de corte do zero Um zero de multiplicidade cotribui para a fase total com um âgulo que varia, de uma década ates a uma década depois, de 0º a 90º passado a +45º a frequêcia de corte. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 0/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

21 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos um pólo e um zero reais G(s 0.(s + 0 (s + 0. cotribuição do zero gaho estático /dec (rad/s Excesso pólos-zeros 0 Assimptota de alta frequêcia com declive ulo 90º 45º 0º (rad/s - 45º -90º Não há pólos em zeros a origem A fase para muito baixa freq. é ula INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Excesso pólos-zeros 0 A fase para muito alta freq. é ula Março.007 /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

22 Diagrama de Bode Relação Tempo-Frequêcia Gaho de Baixa Frequêcia lim G(j K 0 0 gaho estático do sistema Gaho da Resposta em Frequêcia à frequêcia 0 K 0 lim G(s lim y(t s 0 t Para uma etrada escalão uitário G(s (s s + G(s (s /dec -0/dec -40/dec INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

23 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólos complexos G(s G(j s + jζ + ζ s + Característica de amplitude 0 ζ < gaho estático uitário G(j 0log + jζ G(j 0log + ζ << G(j 0 Assimptota de baixa frequêcia >> G(j 0log + ζ 0log 40log Declive de 40/dec passado em 0 para é a frequêcia de corte associada ao par de pólos complexos cojugados INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 Assimptota de alta frequêcia 3/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

24 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólos complexos G(s s + ζ s + ζ ζ ζ < ζ ζ ζ Para 0 < ζ < ressoâica a característica real apreseta um pico de r < INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 r ζ ζ Março.007 frequêcia de ressoâcia 0 r 4/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

25 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólos complexos G(s s + ζ s + ζ 0. ζ 0. 0 ζ < ζ 0.3 ζ 0.5 ζ 6 ζ Para 0 < ζ < a característica real apreseta um pico de ressoâica r ζ G(j G(j r ζ ζ ζ INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 em uidades lieares, uma situação de gaho estático uitário Para ζ > embora haja sobreelevação a resposta o tempo ão há ressoâcia a resposta em frequêcia Março.007 5/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

26 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólos complexos G(s s + ζ s + G(s (s + ζ + j (s + ζ d 0 ζ < j d G(j + jζ Característica de fase j argg(j ζ arctg θ θ j << argg(j 0º argg(j 90º θ θ j σ >> argg(j 80º é a frequêcia de corte associada ao par de pólos complexos cojugados INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 6/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

27 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos pólos complexos G(s G(j s + ζ s + + jζ G(s (s + ζ + j (s + ζ d 0 ζ < j d ζ 0. ζ 0. ζ 0.3 ζ 0.5 ζ ζ ζ 0 Como são os diagramas de amplitude e fase para? INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase para um par de zeros compexos cojugados? Março.007 7/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

28 Diagrama de Bode Sistema com pólos complexos Tacoma Narros Bridge Tacoma Narros em Puget Soud, juta da localidade de Tacoma, Washigto Pote suspesa aberta ao tráfego só algus meses Em 7.Nov.940 a pote caiu pelo efeito de forças que ela actuavam, em particular do veto O efeito do veto iduziu uma excitação a frequêcia atural do sistema O sistema tiha um comportameto (macro como o de um sistema de ª ordem com pólos complexos cojugados INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/ Março.007 8/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

29 Diagrama de Bode Sistemas de Fase Não Míima s 0 G + (s s + sistema de fase míima s 0 G (s s + sistema de fase ão míima + j G 0 (j 0. + j j G 0 (j 0. + j G (j G (j a mesma característica de amplitude argg (j arctg arctg( 0 argg (j 80º + arctg arctg( 0 θ z θ p θ p θ z argg (j θ z θ p argg (j θ z θ p 80º 90º º º 0º - 90º - 90º INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 9/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

30 Diagrama de Bode Sistemas de Fase Não Míima s 0 G + (s s + sistema de fase míima s 0 G (s s + sistema de fase ão míima INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

31 Diagrama de Bode Idetificação de Sistemas 3S SLITs Todos com a mesma característica de amplitude Características de fase distitas Sistema Sistema Sistema 3 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março.007 3/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

32 Diagrama de Bode Idetificação de Sistemas 3SLITs Todos com a mesma característica de amplitude Características de fase distitas G(s ( ± 0 s ± s ± 0 Sistema Sistema Sistema 3 s G (s 0 s + 0 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 (s G s + 0 s 0 Março.007 s + G 3 (s 0 s + 0 3/Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

33 Diagrama de Bode Pólos domiates e ão domiates 5 * a 5 G(s G(s (s + a(s + 4s + 5 (s + 4s + 5 a8 a3 a a8 a3 a INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal

34 Diagrama de Bode Pólos domiates e ão domiates G(s s + ζ z s + z z p p p z z Sistema s + ζp s + z idetifique os sistemas p p ζ ζ Sistema Sistema Sistema INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Cotrolo 006/007 Março /Cap.0 M. Isabel Ribeiro o, Atóio Pascoal