INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO

Transcrição

1 ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MARÍTIMA INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO REVISÕES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO Elemetos coligidos por: Prof. Luís Filipe Baptista E.N.I.D.H. /3

2 7. REVISÃO SOBRE SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO 7.. CONSIDERAÇÕES GERAIS A regulação e o cotrolo automático de sistemas idustriais desempeha um papel de vital importâcia o desevolvimeto da ciêcia e da egeharia. Para além de possuir uma importâcia fudametal os sistemas de pilotagem de avios, aviões, mísseis, veículos espaciais, etc., passou a torar-se uma parte itegrate do fucioameto de processos idustriais típicos (maufactura, produção de eergia, produtos químicos, trasportes, istalações de frio e ar codicioado, etc.). O cotrolo automático é essecial por exemplo, em operações idustriais que evolvam o cotrolo de posição, velocidade, pressão, caudal, temperatura, humidade, viscosidade, etc. Neste capítulo, vamos apresetar os coceitos básicos relativos à teoria do cotrolo automático, bem como as pricipais estruturas de cotrolo utilizadas o cotrolo de processos idustriais. Por fim, faremos uma breve descrição do tipo de cotroladores ou reguladores mais utilizados a idústria, bem como as suas pricipais características e formas de ajuste dos respectivos parâmetros. 7.. PERSPECTIVA HISTÓRICA Embora desde sempre o homem teha tetado cotrolar os feómeos aturais em seu próprio proveito, a primeira tetativa séria e que historicamete é cosiderada como um dos primeiros trabalhos sigificativos a área de cotrolo automático, foi efectuado pelo ivestigador James Watt, que costruiu um regulador cetrífugo para efectuar o cotrolo de velocidade de uma máquia a vapor (Iglaterra, sec. XVIII). Dado o seu iteresse histórico, apreseta-se a Fig.7., o esquema de um regulador de velocidade de um motor Diesel, baseado o pricípio ivetado por James Watt. ω Fixa l l y Combustível h m haste l k l M Motor m y Fig. 7.. Esquema básico do regulador de Watt aplicado à regulação de velocidade de motor Diesel. No esquema da Fig.7., podemos verificar que o veio do motor tem acoplado um sistema com duas massas (m) que rodam com o veio à velocidade de rotação ω. Assim, quado o motor aumeta de rotação, devido à acção cetrífuga as massas tedem a afastar-se dimiuido o curso (y), elevado assim a haste (h) ligada à válvula de combustível. Deste modo, o caudal de combustível dimiui o que faz baixar a velocidade de rotação do motor. Por coseguite, as massas tedem a aproximar-se do veio, aumetado y, baixado h aumetado a velocidade do motor ω. Este procedimeto repete-se até se atigir uma situação de equilíbrio. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

3 No século vite, foram iiciados de facto os estudos e as aplicações do cotrolo automático à idústria. Assim, com o avaço da ciêcia e da tecologia, foram dados os primeiros passos as décadas de vite e trita, períodos os quais foram efectuadas importates desevolvimetos. Durate a década de quareta, foram dados ovos e importates passos esta área. Deste modo, após a itrodução do primeiro regulador peumático PID a idústria, os ivestigadores J. Ziegler e N. Nichols, desevolveram um método de ajuste óptimo destes reguladores, que ficou cohecido por "Método de Ziegler-Nichols". Este método, permitiu resolver muitos dos problemas do ajuste dos parâmetros de reguladores, através de uma metodologia relativamete simples e eficaz. a) b) Fig.7.-a). Aspecto de um regulador peumático PID actual utilizado a idústria. b) Cotrolador electróico e trasdutores aalógicos de diversos tipos. Nos aos seteta e seguites, devido ás crescetes potecialidades dos computadores digitais para efectuar a maipulação de grades volumes de dados e de efectuar cálculos complexos, estes passaram a ser progressivamete a ser cada vez mais utilizados a costrução de reguladores idustriais, sesores trasdutores, etc. Esta técica, que recorre à utilização em larga escala de micro-computadores para efectuar a moitorização e o cotrolo digital é cohecida por cotrolo digital directo (DDC - "Direct Digital Cotrol"). Neste tipo de cotrolo, é utilizado um computador digital para efectuar o cotrolo do processo em tempo real, de um ou mais processos, cosoate o tipo e complexidade da aplicação idustrial. Fig.7.-b). Aspecto de uma gama de reguladores idustriais actuais baseados em microprocessador. Por fim, os métodos de estudo e aálise de sistemas de cotrolo cotíuo e digital passaram a ficar extraordiariamete facilitados com o surgimeto os últimos aos de diversas ferrametas iformáticas cada vez mais poderosas, versáteis e com capacidades gráficas muito iteressates. - Estes reguladores utilizam as 3 acções básicas de regulação: Proporcioal (P), Itegral (I) e Derivativa (D), relativamete ao erro. São também desigados a idústria, por reguladores de três acções ( three-termregulator ). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

4 Deste modo, o estudo de sistemas complexos, que através dos métodos tradicioais se revelava bastate fastidioso, passou a ser bastate acessível através do recurso às potecialidades destes programas, de utilização cada vez mais geeralizada o esio das matérias de Cotrolo Automático. choose Start from the Simulatio meu to ru Closed-Loop Egie Speed Cotrol valve timig edge8 N crak speed (rad/sec) speed set poit Desired rpm Throttle Ag. N Cotroller Throttle Ag. Mass Airflow Rate Egie Speed, N Throttle & Maifold s Itake mass(k) mass(k+) trigger Compressio Air Charge Torque N Combustio Load drag torque Teg Tload N Vehicle Dyamics -Krad/s to rpm Egie Speed (rpm) throttle deg (purple) load torque Nm (yellow) Fig.7.-c) Exemplo de um diagrama de simulação gráfico em MATLAB/SIMULINK [6]. (NOTA: A figura represeta o diagrama de blocos do sistema de cotrolo em ael fechado de um motor de combustão itera ESTRUTURAS BÁSICAS DE CONTROLO AUTOMÁTICO CONTROLO EM ANEL FECHADO No sistema clássico de cotrolo em ael fechado, que a sua forma mais usual é costituído por compoetes cotíuos ou aalógicos, o sial de saída possui um efeito directo a acção de cotrolo, pelo que poderemos desigá-los por sistemas de cotrolo com realimetação ou retroacção ("feedback ). Neste tipo de sistemas, o sial de erro que correspode à difereça etre os valores de referêcia e de realimetação (que pode ser o sial de saída ou uma fução do sial de saída), é itroduzido o cotrolador de modo a reduzir o erro e a mater a saída do sistema um determiado valor, pretedido pelo operador. Por outras palavras, o termo "ael fechado" implica ecessariamete a existêcia de uma realimetação com o objectivo de reduzir o erro, e mater deste modo a saída do sistema um determiado valor desejado. A Fig.7.3, represeta a relação etrada-saída de um sistema de cotrolo típico em ael fechado. Esta represetação gráfica, é desigada a literatura de Cotrolo por "diagrama de blocos". Para ilustrar o sistema de cotrolo em ael fechado, vamos cosiderar o sistema térmico da Fig.7.4, a qual está represetado um operador que desempeha a fução de cotrolador. Este operador, pretede mater costate a temperatura da água à saída de um permutador de calor. No colector de saída, está motado um termómetro (elemeto de medida) que mede a temperatura real da água quete (variável de saída do sistema). Deste modo, em fução das idicações forecidas pelo elemeto de medida, o operador irá maipular a válvula de cotrolo de caudal de vapor de aquecimeto, de modo a mater a temperatura da água o mais próxima possível do valor desejado. - Podemos destacar etre outros, o MATLAB/SIMULINK (Mathworks, Ic.). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

5 Acção de cotrolo Referêcia + - Erro Cotrolador Processo Saída do processo Sial medido Sesor de medida Fig.7.3. Diagrama de blocos de um sistema de cotrolo em ael fechado. Set-poit termómetro válvula água quete vapor água fria Aquecedor dreo Fig.7.4. Esquema de cotrolo maual de um sistema térmico []. Se em vez do operador, for utilizado um cotrolador automático, coforme apresetado a Fig.7.5, o sistema de cotrolo passa a desigar-se por automático. Neste caso, o operador seleccioa a temperatura de referêcia ("set-poit") o cotrolador. A saída do processo (temperatura real da água quete à saída do permutador de calor), é medida pelo trasdutor de temperatura, e comparada o cotrolador com a temperatura de referêcia de modo a gerar um sial de erro. Tomado como base este sial de erro, o cotrolador gera um sial de comado 3 para a válvula de regulação de vapor (actuador). Este sial de comado permite variar gradualmete a abertura da válvula, e por coseguite o caudal de vapor a admitir o permutador. Deste modo, é possível cotrolar automaticamete a temperatura da água à saída do permutador, sem que seja ecessária a iterveção do operador. Regulador PID Set-poit sesor Aquecedor válvula vapor água quete dreo água fria Fig.7.5. Esquema do sistema de regulação automática de um sistema térmico. 3 - Sial de cotrolo -> o sial de saída do regulador, é ormalmete do tipo eléctrico, peumático ou hidráulico. É eviado para o actuador através de uma iterface de potêcia (amplificador, coversor, correte-pressão (I/P), etc.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

6 a) b) c) d) Fig.7.6. Dispositivo de regulação de temperatura com compoetes actuais. a) Trasdutor de temperatura. b) Cotrolador digital PID. c) Coversor correte-pressão (Coversor I-P), que coverte o sial de cotrolo de 4- ma para pressão (3-5 psi). d) Válvula de regulação com comado por ar comprimido (3-5 psi =.-.5 bar). Como podemos verificar através das figuras ateriores, os dois sistemas fucioam de uma forma muito semelhate. Deste modo, os olhos do operador e o termómetro, costituem o dispositivo aálogo ao sistema de medida de temperatura; o seu cérebro é aálogo ao cotrolador automático, realiza a comparação etre os valores de temperatura desejada e medida, e gera o respectivo sial de comado. Este sial, é veiculado pelos seus músculos que realizam a abertura ou fecho da válvula, os quais têm um papel aálogo ao motor da válvula de regulação de vapor CONTROLO EM ANEL ABERTO Neste tipo de sistemas de cotrolo, a saída ão exerce qualquer acção o sial de cotrolo. Deste modo, a saída do processo ão é medida em comparada com a saída de referêcia. A Fig.7.7, represeta o diagrama de blocos de um sistema deste tipo. Referêcia Cotrolador Acção de cotrolo Processo Saída do processo Fig.7.7. Diagrama de blocos de um sistema de cotrolo em ael aberto. Como se pode observar a figura, este tipo de cotrolo, a saída ão é comparada com a etrada de referêcia. Deste modo, para cada valor da saída irá correspoder uma codição de fucioameto fixa. No etato, a preseça de perturbações, o sistema ão irá atigir os objectivos desejados. Na prática, o cotrolo em malha ou ael aberto, somete deve ser utilizado em sistemas para os quais a relação etre a etrada e a saída seja bem cohecida, e que ão teham perturbações iteras ou exteras sigificativas COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS EM ANEL FECHADO E ABERTO A vatagem dos sistemas de cotrolo em ael fechado, relativamete aos de ael aberto, cosiste o facto da realimetação, torar a resposta do sistema relativamete isesível e perturbações exteras e a variações iteras dos parâmetros do sistema. Deste modo, é possível utilizar compoetes mais baratos e de meor precisão, para obter o cotrolo preciso de um dado processo. Esta característica, é impossível de obter com um sistema em ael aberto. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.5

7 Do poto de vista da estabilidade, os sistemas de cotrolo em ael aberto são mais robustos, uma vez que a estabilidade ão costitui um problema sigificativo. Nos sistemas de cotrolo em ael fechado, a estabilidade costitui um problema de primordial importâcia, visto que o sistema pode teder a sobrecorrigir erros, produzido oscilações de amplitude costate ou variável. Assim, podemos cocluir que: Nos sistemas para os quais sejam cohecidas as variáveis de etrada atecipadamete o tempo, e em que ão haja perturbações muito sigificativas, é acoselhável a utilização do cotrolo em ael aberto Nos sistemas que estejam sujeitos a perturbações imprevisíveis e/ou variações ão previstas os compoetes do sistema, deve-se utilizar o cotrolo em ael fechado. Sempre que possível, é acoselhável utilizar uma combiação apropriada de cotrolo em ael aberto e fechado, visto ser ormalmete a solução mais ecoómica, e que forece um desempeho global do sistema mais satisfatório. NOTA: O coceito de cotrolador ou regulador é aplicado estes apotametos de forma idistita. No etato, existem difereças etre as duas desigações. Assim, tem-se: Regulador: dispositivo de cotrolo utilizado preferecialmete quado se pretede mater fixa a referêcia r(t) e cotrolar as perturbações a saída c(t). É o caso usual do cotrolo de processos utilizados a idústria (pressão, temperatura, caudal, ível, etc.). Exemplo: Pretede-se mater costate a temperatura da água à saída de um permutador, idepedetemete do caudal de passagem e da temperatura da água à etrada. Cotrolador: dispositivo de cotrolo utilizado preferecialmete quado se pretede que a saída c(t) acompahe uma referêcia variável o tempo r(t) para além de efectuar também o cotrolo das perturbações a saída. Um exemplo típico deste dispositivo de cotrolo, desiga-se por servomecaismo, sedo muito utilizado em sistemas de cotrolo de posição e velocidade. Exemplo: ) Cotrolo do âgulo de leme de um avio. Neste caso pretede-se que o leme rode de um âgulo igual ao da referêcia de âgulo de leme. ) Cotrolo de velocidade de um motor Diesel de avio (MPP). Neste caso, pretede-se cotrolar a velocidade e a carga do motor, as quais podem variar ao logo do tempo. Fig.7.8-a) Sistema de cotrolo de velocidade de um motor Diesel marítimo (Fote: Wartsila) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.6

8 7.4. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA TEORIA DO CONTROLO INTRODUÇÃO O estudo dos sistemas de cotrolo cotíuo exige o cohecimeto de certas técicas matemáticas, como sejam as variáveis complexas, equações difereciais lieares e a trasformada de Laplace. Para além destas técicas e tedo em ateção a aálise de sistemas de cotrolo, é igualmete importate itroduzir os coceitos de fução de trasferêcia e de represetação em espaço de estados. O método da trasformada de Laplace é um método operacioal que pode ser usado com assialáveis vatages, para resolver equações difereciais lieares. Usado a trasformada de Laplace, podem-se coverter muitas fuções comus, tais como fuções siusoidais amortecidas, ou fuções algébricas cotedo fuções expoeciais em fuções da variável complexa "s". Operações como a difereciação ou a itegração, podem ser substituídas por operações algébricas o plao complexo. Deste modo, uma equação diferecial liear pode ser trasformada uma equação algébrica fução da variável complexa "s". Se a equação algébrica em "s" for resolvida em ordem à variável depedete, etão a solução da equação diferecial (Trasformada de Laplace iversa da variável depedete) pode ser obtida através dos Pares de Trasformadas de Laplace, apresetados a TABELA 7.. NOTA IMPORTANTE: Uma das vatages da utilização da Trasformada de Laplace, cosiste em permitir o uso de técicas gráficas, para prever o desempeho de um sistema sem a ecessidade de resolver as respectivas equações difereciais. Uma outra vatagem da utilização deste método, tem a ver com a resolução da equação diferecial, pois tato a compoete trasitória como a de regime permaete da solução, podem ser obtidas em cojuto REVISÃO SOBRE VARIÁVEIS E FUNÇÕES COMPLEXAS Variável complexa s - é composta de uma parte real ϑ, e uma parte imagiária ω. Normalmete, esta variável represeta-se o plao complexo, ou plao D Argad. Assim para o caso S = ϑ + jω, teremos: j ω ω S ϑ,ω ε R ϑ ϑ Fução complexa - Uma fução complexa G(s) tem uma parte real G y, ou seja: O módulo de G(s), é dado por: G(s) = G x + jg y G x, G(s) = G x + G G x e uma parte imagiária G y ε R Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.7 y

9 e o seu argumeto por: arg(g x + jg y) = G arctg( G Podemos fazer a represetação destas duas gradezas o plao complexo da seguite forma: x y ) Im Complexo cojugado de y θ Real G(s) = G x + jg é G(s) = G x jg y NOTA: - Os potos do plao s em que a fução G(s) é aalítica são desigados por potos ordiários, equato que os potos em que G(s) ão é aalítica desigam-se por potos sigulares. - Os potos ode G(s) ou as suas derivadas tedem para o ifiito, desigam-se por pólos. Exemplo: Dada a fução complexa G(s) k(s + z) G(s) = (s + p + )(s p ) verifica-se imediatamete que a fução tem pólos em s = p e s = p. Se uma fução G(s) tede para ifiito à medida que s tede para -p e se a fução G(s)(s + p) (=,,3,...) tem um valor fiito, ão ulo em s= -p, etão o poto s= -p desiga-se por pólo de ordem. Se =, chama-se pólo simples Se =, desiga-se pólo de ª ordem, etc.. Os potos em que a fução G(s)=, chamam-se zeros A fução aterior tem um zero para s= -z. Se icluirmos os potos o ifiito, por exemplo s= ±, G(s) tem a mesma quatidade de zeros e de pólos. No caso aterior, temos: zeros o ifiito, mais um em -z pólo em p mais dois em p Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.8

10 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES O estado de um sistema de cotrolo passa pelo cohecimeto da forma como evolui o tempo, em fução das etradas a que está sujeito. A relação etre a etrada e a saída de um sistema é ormalmete traduzida por uma equação diferecial. É possível portato saber-se o comportameto do sistema para uma dada etrada, através da resolução das respectivas equações difereciais EQUAÇAO DIFERENCIAL ORDINÁRIA LINEAR Equação diferecial ordiária liear - É uma igualdade formada pela soma dos termos do º grau das variáveis depedetes e suas derivadas. A forma caóica de uma equação diferecial ordiária liear ão homogéea de coeficietes costates, é: i m i d y d x a = i bi i i= dt i= dt ou seja: m m d y d y dy d x d x a + a... a a y b b m... b x + + a + = m m m dt dt dt dt dt Como ormalmete m a ordem de uma equação diferecial ordiária liear ão homogéea de coeficietes costates, é dada pelo valor de. A solução geral (resposta total) desta equação diferecial pode ser dividida em: - Solução homogéea (resposta livre) - Solução particular (resposta forçada) A solução homogéea é a solução da equação diferecial quado a etrada x(t) é ula, ou seja, é a solução da equação: i d y a i = i i= dt ou seja: d y d y dy a + a... a a y = dt dt dt Defiido um operador diferecial de ordem : d D = dt, obtêm-se: a D y + a D y ady + a y = ou seja (a D + a D ad + a )y = Poliómio característico - a D + a D ad + a Equação característica - a D + a D ad + a = As raízes ou soluções são: D,D,...D A forma da solução homogéea y(t) h será etão fução das raízes da equação característica. A solução particular, é a solução da equação diferecial, quado todas as codições iiciais são Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.9

11 ulas, ou seja, a solução particular depede apeas da etrada x(t). A solução geral y(t), será etão: y(t) = y(t) h + y(t) p A solução geral pode aida ser decomposta outras duas soluções, que possuem um iteresse bastate grade as aplicações de cotrolo: - Solução de regime estacioário (resposta estacioária) - Solução de regime ão estacioário (resposta trasitória) A solução em regime estacioário, é a parte da equação geral que ão se aproxima de zero quado o tempo tede para ifiito. A solução em regime trasitório, é a parte da equação geral que tede para zero quado o tempo tede para ifiito. Exemplo: Cosidere a resposta temporal de uma equação diferecial o domíio do tempo, dada por: y(t) e t = + si( πt) Podemos ver imediatamete que as respostas em regime trasitório e estacioário, são: y y rt re (t) = e t (t) = si( πt) Na Fig.7.9 está represetado o gráfico da evolução temporal do sistema físico. Em a) estão represetadas as evoluções em regime trasitório e em regime estacioário. Em b) está represetada a evolução total. As curvas foram obtidas através do MATLAB. Listagem do programa em Matlab % calculo da resposta de um sistema % vector de tempos a 6 seg. com itervalos de. seg. t=:.:6; % calculo da resposta de um sistema yt=exp(-*t); ye=si(pi*t); % resposta trasitória e estacioária subplot() plot(t,yt),grid,ylabel('amplitude') subplot() plot(t,ye),grid,xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude') pause % resposta total subplot() plot(t,ye,'-.',t,yt,'--',t,ye+yt),grid, xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude') Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

12 .8 amplitude amplitude tempo [s] a).5.5 amplitude tempo [s] b) Fig.7.9. Resposta de um sistema físico. a) Resposta em regime trasitório e em resposta em regime estacioário. b) Resposta total, a qual se pode observar que o sistema etrou em regime estacioário para t = 7.5 seg. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

13 TRANSFORMADA DE LAPLACE PRINCIPAIS DEFINIÇÕES Seja: f(t) fução do tempo de tal modo que f(t)=, para t< s variável complexa L símbolo de trasformada F(s) trasformada de Laplace de f(t) Etão, a Trasformada de Laplace é defiida da seguite forma: L st st [ f(t) ] = F(s) = e dt[ f(t) ] = f(t)e dt NOTA: O itegral só existirá se for covergete (Ex. ). Vamos a título de exemplo obter através da defiição aterior, a trasformada de Laplace de algumas fuções simples bastate utilizadas a aálise de sistemas cotíuos lieares. i) Fução expoecial (expoetial fuctio) Cosidere a seguite fução expoecial f (t) = f (t) = Ae at t < t em que A e a são costates. A trasformada de Laplace desta fução, a partir da defiição, é dada por: at at st (s+ a)t A L{Ae } = Ae e dt = A e dt = s + a Pode-se verificar que a fução expoecial produz um pólo s=-a o plao complexo. ii) Fução degrau (step fuctio) Cosidere a seguite fução degrau f (t) = f (t) = A t < t > em que A é uma costate. Deve-se otar que esta fução é um caso especial da fução expoecial aterior quado a=. A fução degrau ão é defiida para t=. Neste caso, a trasformada de Laplace desta fução, é dada por: L{A} = Ae st dt = A s Físicamete, uma fução degrau que ocorra para t= correspode à aplicação súbita de um sial costate ao sistema para t=. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

14 iii) Fução rampa (ramp fuctio) Cosidere a seguite fução rampa f (t) = f (t) = At t < t A trasformada de Laplace desta fução, a partir da defiição, é dada por: st st e A s s L{ At } = Ate dt = At = iv) Fução siusoidal (siusoidal fuctio) Cosidere a seguite fução rampa f (t) = f (t) = Asi( ωt) t < t A trasformada de Laplace desta fução é dada por: As L{A si( ω t)} = s + ω Teorema do Valor Fial Este teorema relacioa o comportameto em regime estacioário de f(t) com o comportameto de sf(s) a vizihaça de s=. Este teorema, só é valido se o lim f ( t ) existir, ou seja que f(t) covirja para um valor fiito quado t. Neste caso, o t teorema é descrito por: lim f (t) = lim sf(s) t s Para ver a demostração deste teorema, ver ref. []. Cohecedo a defiição de trasformada de Laplace ão é ecessário calcular a trasformada de Laplace de uma fução f(t) ao logo do tempo. Existem para esse efeito tabelas de trasformadas de Laplace, as quais são bastate úteis para obter a trasformada de Laplace de uma determiada fução f(t). A TABELA 7. apreseta algus pares de trasformadas de Laplace de fuções temporais geralmete utilizadas a aálise de sistemas de cotrolo lieares. A TABELA 7. apreseta algumas propriedades da Trasformada de Laplace, para as quais, como é óbvio, ão se irá forecer a sua demostração. Para uma melhor compreesão destas matérias, o aluo deverá cosultar a referêcia []. Nesta obra, poderá ecotrar as demostrações relativas a estas propriedades, bem como uma descrição bastate detalhada sobre esta matéria. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

15 TABELA 7.. PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

16 TABELA 7.. PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (CONT.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.5

17 TABELA 7. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.6

18 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA O processo iverso, ou seja a determiação de f(t) a partir da Trasformada de Laplace F(s), é desigado por Trasformada de Laplace Iversa, sedo desigado por L. Deste modo [ F(s) ] f(t) L = A Trasformada de Laplace iversa é defiida pela seguite expressão: c+ st f(t) = F(s)e ds πj c ode c a abcissa de covergêcia. Este valor é uma costate real, que é escolhida como tedo um valor superior a todas as compoetes reais das sigularidades de F(s). Aplicação do método da trasformada de Laplace à resolução de equações difereciais Coforme visto ateriormete, o método da trasformada de Laplace, forece a solução completa (a solução geral mais a solução particular) de equações difereciais lieares. Os métodos clássicos para a determiação da solução completa de uma equação diferecial, requerem a determiação das costates de itegração através das codições iiciais. Na trasformada de Laplace, a determiação das costates de itegração a partir das codições iiciais ão é ecessária, visto que estas são automaticamete icluídas a trasformada de Laplace da equação diferecial. Se todas as codições iiciais forem ulas, a trasformada de Laplace da equação diferecial, d d obtêm-se simplesmete, por substituição de por s, por s, etc (Ver Tabela 7.). Deste dt dt modo, para resolver equações difereciais lieares pelo método da trasformada de Laplace, devemos proceder de acordo com as seguites etapas:. Aplica-se a trasformada de Laplace a cada termo da equação diferecial liear dada;. Coverte-se a equação diferecial uma equação algébrica em s, e obtêm-se a expressão da trasformada de Laplace da variável depedete através de um rearrajo da equação algébrica; 3. Obtêm-se a solução temporal da equação diferecial, ou seja f(t), através da aplicação da trasformada iversa de Laplace à variável depedete EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Dado um sistema físico, cujo comportameto diâmico é descrito pela seguite equação diferecial d y dy t y = e dt dt determie a respectiva trasformada de Laplace, supodo codições iiciais ulas. RESOLUÇÃO: Aplicado as propriedades das trasformadas de Laplace (Ver TABELA 7.): Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.7

19 d y L = s Y(s) dt dy L 3 = 3sY(s) dt (Propriedade 4) (Propriedade 3) { y} Y(s) L = (Propriedade ) t { } = L e s + NOTA: Da TABELA 7., fução 6, podemos verificar que: (Ver TABELA 7. - fução 6) { e } L at = s + a (fução de excitação da equação diferecial -> etrada) Assim teremos: s Y(s) + 3sY(s) + Y(s) = s + pelo que: Y(s) = (s + )(s + 3s + ) 7.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Na teoria do cotrolo clássica, para caracterizar a relação etrada-saída de um sistema liear ivariável o tempo, utiliza-se geralmete a fução de trasferêcia". O coceito de fução de trasferêcia aplica-se somete a sistemas lieares ivariates o tempo, embora este coceito possa ser estedido a determiados sistemas de cotrolo ão lieares. A fução de trasferêcia de um sistema liear ivariate o tempo é defiida através da relação etre a trasformada de Laplace da saída (fução resposta) e a trasformada de Laplace da etrada (fução excitação), cosiderado-se ulas todas as codições iiciais. Vamos cosiderar um sistema liear ivariate o tempo defiido pela seguite equação diferecial: () ( ) () m (m ) () a y + ay a y + a y = b x + bx b m x + b m (7.) ( m) ode y(t) é a saída do sistema e x(t) é a etrada. A fução de trasferêcia deste sistema obtém-se através da aplicação da trasformada de Laplace a ambos os membros da equação aterior. Devem-se cosiderar todas as codições iiciais como ulas, pelo que: [Fução de trasferêcia] = G(s) = m Y(s) b s = X(s) a s + b s + a m s b a m s + b s + a m (7.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.8

20 A fução de trasferêcia é uma expressão que relacioa a saída e a etrada de um sistema liear ivariate o tempo, em termos dos parâmetros do sistema. É uma propriedade do próprio sistema, sedo portato idepedete da etrada ou da fução de excitação. A fução de trasferêcia iclui as uidades ecessárias para relacioar a etrada com a saída. No etato ão forece qualquer iformação relativamete à estrutura física do sistema. Isto sigifica que as fuções de trasferêcia de muitos sistemas físicos diferetes podem ter estruturas iguais SISTEMA MECÂNICO MASSA-MOLA-AMORTECEDOR Cosidere o sistema massa-mola-amortecedor viscoso, idicado a Fig.7.. Um amortecedor é um dispositivo que proporcioa um atrito viscoso, ou amortecimeto. Cosiste de um cilidro cheio de óleo o iterior do qual se desloca um êmbolo. Qualquer movimeto relativo etre a haste do êmbolo e o cilidro é sustido pelo óleo, visto que este terá de se escoar em redor do êmbolo de um lado para o outro (ou através de orifícios existetes o êmbolo). O amortecedor absorve essecialmete eergia. Esta eergia é dissipada como calor, pelo que o amortecedor ão irá armazear qualquer eergia ciética ou potecial. Vamos determiar a fução de trasferêcia deste sistema, admitido que a força u(t) é a etrada e o deslocameto y(t) da massa é a saída. Deste modo, deve proceder-se da seguite forma: - Escrever a equação diferecial do sistema. - Aplicar a trasformada de Laplace à equação, admitido que todas as codições iiciais são ulas. 3 - Calcular a relação etre a saída Y(s) e a etrada U(s), relação esta que é a fução de trasferêcia. u(t) k M y(t) b Fig.7.. Sistema mecâico massa-mola-amortecedor viscoso Para determiar a equação diferecial liear ivariate o tempo, vamos supor que a força de atrito do amortecedor é proporcioal à velocidade da massa y& e que a mola é liear, ou seja que a força da mola é proporcioal ao deslocameto y. Neste sistema, m idica a massa, b o coeficiete de atrito viscoso e k a costate da mola. A lei fudametal que rege os sistemas mecâicos é a lei de Newto. Para sistemas de traslação, esta lei estabelece que: em que: F = ma (7.3) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.9

21 m = massa (Kg) a = aceleração (m/s ) u = força (N) Ao aplicarmos a lei de Newto ao sistema, vamos obter a seguite equação: ou seja d y dy = b Ky + u dt dt m d y dy + b + Ky = u dt dt m Aplicado a trasformada de Laplace a cada termo e cosiderado codições iiciais ulas, obtém-se: ms Y(s) + bsy(s) + KY(s) = U(s) (7.4) Se calcularmos a relação etre Y () s e U() s vamos obter a fução de trasferêcia do sistema. Este sistema é de ª ordem, devido ao facto de o poliómio do deomiador ser de ª ordem. Y(s) (s) = = (7.5) U(s) ms + bs + K G Exemplo de aplicação usado o Matlab - Cosidere o sistema mecâico da Fig.7.. Supoha que o sistema é posto em movimeto por uma força do tipo impulso uitário δ(t). Determie a resposta (oscilação) resultate da aplicação desta força. Supoha que o sistema está iicialmete em repouso e que o coeficiete de atrito viscoso b pode ser cosiderado ulo. Resolução: O sistema é excitado por uma etrada do tipo impulso uitário. Portato: d x + kx = δ(t) dt m x δ(t) m k b= Fig. 7.. Sistema mecâico Aplicado as trasformadas de Laplace a ambos os lados da equação, obtemos: [ s X(s) sx() x ()] + kx(s) m = Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

22 Substituido as codições iiciais x()= e x ()= esta última equação e determiado X(s), obtemos: X(s) = ms + k Aplicado a trasformada de Laplace iversa a X(s) permite obter: x(t) = si km k m t A oscilação é um movimeto harmóico simples. Este resultado era esperado, devido ao facto de ão se ter cosiderado o efeito dissipativo do atrito. Deste modo, teremos: Amplitude de oscilação (A): A = km Frequêcia agular de oscilação ω (rad/s): k ω = m Se cosiderarmos os valores uméricos m= Kg e k= N/m, teremos, através do MATLAB a solução apresetada a Fig.7.. Listagem do programa em Matlab % calculo da resposta de um sistema massa-mola % vector de tempos t=:.:5; % características do sistema m=; k=; % fução de trasferêcia do sistema massa-mola um=; de=[ ]; sys=tf(um,de); % obteção da saída por aplicação de uma etrada impulso [y]=impulse(sys,t); % gráfico da saida plot(t,y), xlabel('tempo [s]'),grid,ylabel('amplitude x [m]') Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

23 amplitude x [m] tempo [s] Fig.7.. Resposta do sistema mecâico (posição x(t) da massa) a uma etrada impulso DIAGRAMAS DE BLOCOS Um sistema de cotrolo é composto por diversos compoetes. Para represetar as fuções realizadas por cada compoete é geralmete utilizado um esquema desigado por diagrama de blocos. A Fig.7.3, represeta o diagrama de blocos típico de um sistema em ael fechado. A saída C(s) é realimetada o poto de soma, ode é comparada com a etrada de referêcia R(s). A atureza do ael fechado do sistema, é claramete idicada pela figura. A saída do bloco C(s) obtém-se pela multiplicação da fução de trasferêcia G(s) pela variável E(s) de etrada o bloco G(s). Poto de soma Poto de jução R(s) + - E(s) G(s) C(s) B(s) H(s) Fig.7.3. Diagrama de blocos de um sistema em ael fechado. Qualquer sistema de cotrolo liear, pode ser represetado por um diagrama de blocos que cosiste de blocos, potos de soma e de jução. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

24 Quado a saída é realimetada o poto de soma, para comparação com a etrada é ecessário coverter o sial de saída o tipo de sial da etrada R(s). Por exemplo, um sistema de cotrolo de temperatura, a saída é ormalmete a temperatura cotrolada, a qual deve ser covertida um sial peumático ou eléctrico ates de ser comparado com o sial de referêcia. Esta fução é executada pelo elemeto de realimetação (sesor) cuja fução de trasferêcia é H(s), como se idica a Fig.7.3. Um outro papel importate do elemeto de realimetação é o de modificar a saída C(s), ates de ser comparada com a etrada R(s). Neste caso, o sial de realimetação B(s)= H(s)C(s) é eviado para o poto de soma, para comparação com a etrada R(s). A relação etre o sial realimetado B(s) e o sial de erro E(s), desiga-se por fução de trasferêcia em ael aberto, ou seja: B(s) [Fução de trasferêcia em ael aberto] = = G(s)H(s) (7.6) E(s) A relação etre a saída C(s) e o sial de erro E(s), desiga-se por fução de trasferêcia do ramo directo, pelo que: C(s) [Fução trasferêcia do ramo directo] = = G(s) (7.7) E(s) Se a fução de trasferêcia da realimetação for uitária ou seja H(s)=, a fução de trasferêcia em ael aberto e a fução trasferêcia do ramo directo serão iguais. Para o sistema da Fig.7.3, a saída C(s) e a etrada R(s) estão relacioadas através de: C(s) = G(s)E(s) E(s) = R(s) B(s) B(s) = H(s)C(s) pelo que E(s) = R(s) H(s)C(s) Elimiado E(s) destas equações, obtém-se ou: [ ] Cs () = Gs () Rs () HsCs () () C(s) R(s) G(s) = (7.8) + G(s)H(s) A fução de trasferêcia que relacioa C(s) e R(s), desiga-se por fução de trasferêcia em ael fechado. Esta fução relacioa a diâmica do sistema em ael fechado, com a diâmica dos elemetos do ramo directo e os elemetos da realimetação (feedback). Da Eq.7.8 pode-se obter C(s) através de: C(s) G(s) = R(s) + G(s)H(s) Portato, a saída do sistema em ael fechado C(s) depede da fução de trasferêcia em ael fechado e da atureza da etrada R(s). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

25 Diz-se que um sistema de cotrolo é de realimetação uitária, quado o sial de realimetação B(s) é idêtico ao da saída cotrolada C(s). O diagrama de blocos respectivo é dado por: R(s) + - E(s) G(s) C(s) B(s) Fig.7.4. Sistema de cotrolo com realimetação uitária. Neste caso, a fução de trasferêcia global do sistema em ael fechado, é dada por: C(s) R(s) G(s) = + G(s) REGRAS DE CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS Para costruir o diagrama de blocos de um sistema deve-se escrever em primeiro lugar as equações que descrevem o comportameto diâmico de cada compoete. Seguidamete, aplicase a Trasformada de Laplace supodo codições iiciais ulas, e represeta-se cada equação a forma de bloco. Fialmete, ligam-se os elemetos um diagrama de blocos completo. Como exemplo, cosidere o circuito RC idicado a Fig.7.5-a). As equações diâmicas relativas a este circuito, são: ei e i = R (7. 9) e = idt C (7.) As trasformadas de Laplace das Eq.7.9 e 7., supodo codições iiciais ulas, são: E i (s) E (s) I(s) = R (7.) I(s) E (s) = Cs (7.) A Eq.7.9 represeta uma operação de soma, cujo diagrama está represetado a Fig.7.5-b). A Eq.7. represeta o bloco idicado a Fig.7.5-c). Ligado estes dois blocos, obtêm-se o diagrama de blocos completo do sistema. Este diagrama está represetado a Fig.7.5-d). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

26 Fig.7.5-a) Circuito RC. b) Diagrama de blocos (Eq.7.). c) Diagrama de blocos (Eq.7.). d) Diagrama de blocos completo [] SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BLOCOS Quado se costrói um diagrama de blocos de um sistema a partir das respectivas equações, é ecessário reduzi-lo ou seja simplificá-lo. Para facilitar estas simplificações, apreseta-se seguidamete a TABELA 7.3, o qual estão represetadas algumas regras de maipulação de blocos, desigadas corretemete por Álgebra de Blocos. O diagrama de blocos de um sistema real é geralmete bastate complexo, pois pode icluir vários aéis de realimetação ou directos, e possuir etradas múltiplas. Para efectuar a redução de um diagrama de blocos à sua forma mais simples, pode-se utilizar a seguite sequêcia de operações:. Elimiar todos os blocos em cascata. Elimiar todas os aéis activos 3. Elimiar todos os aéis de realimetação secudários 4. Permutar os potos de soma para a esquerda e os potos de jução para a direita dos aéis pricipais 5. Repetir estes passos até obter a forma caóica. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.5

27 TABELA 7.3. Regras da Álgebra de Blocos [] Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.6

28 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Reduza o seguite diagrama de blocos à sua forma mais simples C(s) G (s) =. R(s) Fig.7.6. Simplificação de um sistema através das regras da Álgebra de Blocos []. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.7

29 7.7. ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA INTRODUÇÃO Depois de estabelecido o modelo matemático do sistema, para se fazer a sua aálise, deve-se determiar a sua resposta, atededo à etrada bem como a possível perturbações. Na prática, os siais de etrada são aleatórios, e, portato, impossíveis de reproduzir. Deste modo, usam-se um determiado úmero de siais cosiderados típicos, que os permitirão comparar os comportametos dos vários sistemas. Existem dois grupos de siais. Os siais ão-periódicos ou aperiódicos e os periódicos. Os siais aperiódicos mais importates são: Impulso Degrau Rampa Aceleração δ(t) (t) t t Fig.7.7. Siais aperiódicos. Estes siais são aplicados ao sistema, determiado-se depois a resposta completa, i.e., o regime trasitório e estacioário da resposta do sistema. O sial periódico utilizado ormalmete, é do tipo siusoidal. Neste tipo de aálise, espera-se que o regime trasitório passe e seguidamete represeta-se em fução da frequêcia, o módulo e a fase do sial de saída. Se compararmos estes dois métodos de aálise, observa-se que o primeiro tem a vatagem de dar o cohecimeto directo dos regimes trasitórios do sistema aos diversos siais de etrada, equato que o segudo permite apeas a iterpretação idirecta destes regimes. Por outro lado, a iterpretação de siais periódicos, permite um estudo experimetal muito mais simples. Critério de escolha do sial - Para a determiação do sial de teste típico que se deve usar para aalisar as características de um sistema, deve ateder-se ao tipo de sial a que o sistema diâmico vai estar sujeito mais frequetemete, durate as codições ormais de fucioameto. Assim, teremos:. Etradas gradualmete variáveis o tempo fução rampa. Perturbações bruscas fução degrau 3. Etradas bruscas fução impulso Resposta trasitória e resposta estacioária - A resposta temporal de um sistema diâmico, é composta por duas partes: Resposta trasitória - A resposta que vai do estado iicial ao estado fial Resposta estacioária - A forma da saída quado o tempo tede para ifiito Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.8

30 Características do comportameto diâmico - As pricipais qualidades que deverá ter um sistema diâmico, são: estabilidade e precisão, que são difíceis de se coseguir simultaeamete. Com efeito, se a orgaização de um sistema em ael fechado é mais complicada que a de um sistema em ael aberto, é evidete que se ecessita, em cotrapartida, que a sua precisão seja maior. Para se obter este resultado, deve-se dispor de uma grade amplificação a fim de que o orgão de comado possa actuar equato exista um itervalo muito pequeo etre a gradeza cotrolada e a variável de referêcia. No etato, um sistema em ael fechado com gaho elevado, é ormalmete istável. Noutros casos, aida que estável, pode possuir uma estabilidade isuficiete, i.e., cada vez que há uma mudaça de estado, aparecem oscilações pouco amortecidas, ates de se obter a resposta pretedida. Pode-se etão dizer, que a característica mais importate do comportameto diâmico de um sistema, é a "estabilidade absoluta", i.e., se o sistema é estável ou istável. Um sistema está em equilíbrio se, a ausêcia de qualquer perturbação ou etrada, a saída se mativer o mesmo estado. No caso particular de sistemas ivariates o tempo, são estáveis se a saída voltar ao seu estado de equilíbrio quado for submetida a uma perturbação. Um sistema liear ivariate o tempo, é istável se cotiuar idefiidamete com a saída a oscilar, ou se a saída diverge sem limite, quado o sistema é submetido a uma perturbação. Por vezes, a estabilidade absoluta ão chega para obedecer a certos requisitos pretedidos e etão itroduzem-se certas restrições detro do domíio da estabilidade absoluta, torado-o mais pequeo, elimiado oscilações pouco amortecidas, que aparecem devido a um armazeameto de eergia que se verifica estes tipos de sistemas, que leva a saída a ão seguir logo a etrada, apresetado uma resposta trasitória muitas vezes oscilatória com amortecimeto. Está-se assim a estudar o problema da "estabilidade relativa". Se a saída de um sistema em regime estacioário, ão coicide exactamete com a etrada, dizse que o sistema tem um "erro em regime estacioário". Este erro, idica a exactidão do sistema. Ao efectuar-se a aálise a um sistema diâmico, deve-se examiar o comportameto da resposta trasitória, bem como o tempo requerido para alcaçar um ovo estado estacioário. Deve-se examiar também o valor do erro em seguir um sial de etrada, bem como o comportameto em regime estacioário..5 etrada saída tempo [s] Fig.7.8. Represetação da saída temporal de um sistema cotíuo para uma etrada degrau uitário. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.9

31 Represetação das etradas e saídas - Normalmete, são utilizados dois tipos de represetação distitas da resposta do sistema, que atede à periodicidade ou ão do sial de etrada. Assim, a represetação ormal para o caso de siais aperiódicos, é em ordeadas a etrada e/ou saída, e em abcissas o tempo (ver Fig.7.8). Código em Matlab para obteção do gráfico da Fig.7.8. % limpar o ambiete clear all close all % defiição do fução de trasferêcia - sys um=[]; de=[ 4]; sys=tf(um,de); % vector de tempos ts=.; t=:ts:4; t=t'; % resposta a uma etrada degrau etrada=oes(legth(t),); [saida]=step(sys,t); % grafico da etrada e da saída subplot() plot(t,etrada),grid, ylabel('etrada') subplot() plot(t,saida),grid,xlabel('tempo [s]'),ylabel('saída') SISTEMAS DE ª ORDEM Cosidere o sistema de ª ordem cujo diagrama de blocos está represetado a Fig R(s) E(s) C(s) Ts - a) R(s) Ts + C(s) b) Fig.7.9-a) Diagrama de blocos de um sistema de ª ordem. b) Diagrama de blocos simplificado, Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

32 Fisicamete, este sistema pode represetar por exemplo um circuito RC eléctrico, fluídico, térmico, etc.. A sua relação etrada-saída, é dada por: C(s) = (7.7.) R(s) Ts + T=RC (costate de tempo segudos) Vamos seguidamete aalisar a resposta de sistemas a etradas típicas (degrau uitário, rampa uitário e impulso uitário), supodo codições iiciais ulas RESPOSTA A UM DEGRAU UNITÁRIO A trasformada de Laplace da fução de etrada degrau uitário, é dada por /s. Substituido R(s) = /s a Eq.7.7., obtemos: Aplicado a trasformada de Laplace iversa (Ver Tabela.), obtemos: c(t) = e t / T t (7.7.) A Eq.7.7. permite-os cocluir que: c(t = ) = c(t )= Uma das características importates desta curva de resposta expoecial, pode ser observada para t=t, em que c(t)=.63, ou seja que resposta atigiu 63.% da sua variação total. Podemos comprovar este valor, substituido a Eq.7.7., t = T, ou seja: c(t = T) = e =.63 em que T é a costate de tempo. Deste modo, quato meor for T, mais rápida será a resposta do sistema. Podemos também verificar que a icliação da curva de c(t) a origem, é dada por: dc dt = T e t / T t= = T Da aálise da curva de resposta represetada a Fig.7., podemos verificar que para t 4T, a resposta permaece detro de uma faixa de % do valor fial. Na prática, o tempo que o sistema demora a atigir o regime estacioário é defiido como o tempo que a resposta do sistema demora a atigir a liha dos % do valor fial, ou seja quatro costates de tempo. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

33 .5 etrada % saída tempo [s] /T t=4t Fig.7.. Curva de resposta c(t) a uma etrada degrau.(nota: T = segudo). % erro RESPOSTA A UMA RAMPA UNITÁRIA Como a trasformada de Laplace da fução rampa uitária, é, a saída do sistema C(s), será s dada por: C(s) = Ts + s Aplicado a trasformada Iversa de Laplace, obtêm-se: t / T c(t) = t T + Te, O sial de erro e(t), é dado por: e(t) = r(t) - c(t) = t( e t / T ) t (7.7.3) / T Nesta equação, quado t, e t, e portato e(t) tede para T, ou seja e(t )=T. A etrada rampa uitária e a saída do sistema, estão represetadas a Fig.7.. Verifica-se que o erro segue a etrada rampa uitária com valor igual a T, para valores de t elevados. Deste modo, quato meor for o valor da costate de tempo T, meor será o erro em regime estacioário da resposta a uma rampa uitária. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

34 .8 etrada etrada ; saída tempo [s] Fig.7.. Resposta de um sistema de ª ordem para uma etrada rampa uitária. (Nota: T = segudo) RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO Para uma etrada impulso uitário, R(s)=, pelo que a saída C(s) será igual a: C (s) = Ts + ou seja: t / T c(t) = e, t T (7.5.4) A curva de resposta, relativa à Eq está represetada a Fig etrada saída tempo [s] Fig.7.. Resposta de um sistema de ª ordem a uma etrada impulso uitário. (Nota: T = segudo). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.33

35 SISTEMA DE ª ORDEM Muitos sistemas físicos podem ser descritos ou aproximados por equações difereciais de ª ordem, cuja expressão geral, é: c(t) dc(t) + ξω + ωc(t) = ωr(t) (7.7.5) dt dt d em que: ω frequêcia atural ão amortecida, ou seja a frequêcia a que o sistema oscilaria, se o amortecimeto fosse ulo ξ coeficiete de amortecimeto do sistema ξ ω ateuação A fução de trasferêcia em ael fechado da Eq.7.7.5, supodo codições iiciais ulas, é: s C(s) + ξωsc(s) + ωc(s) = ωr(s) ou seja: C(s) R(s) ω = (7.7.6) s + ξω s + ω O correspodete diagrama de blocos, é dado por: + R(s) E(s) C(s) - ω s( s + ξω ) a) R(s) s + ω ξωs + ω C(s) b) Fig.7.3-a) Diagrama de blocos do sistema de ª ordem. b) Diagrama de blocos simplificado. O comportameto diâmico dos sistemas de ª ordem, pode ser descritos em termos dos seus parâmetros característicos ξ e ω. Se < ζ <, os pólos do sistema em ael fechado são complexos cojugados, pelo que situam-se o semi-plao esquerdo do plao complexo. Este sistema, diz-se sub-amortecido e a resposta trasitória é oscilatória.. Se ζ =, o sistema diz-se criticamete amortecido, e ão oscila Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.34

36 . Se ζ >, o sistema diz-se sobreamortecido, e ão oscila 3. Se ζ =, o sistema oscila permaetemete (amortecimeto ulo) Vamos seguidamete determiar a resposta do sistema de ª ordem para a etrada degrau uitário RESPOSTA A UMA ENTRADA DEGRAU UNITÁRIO ) SISTEMA SUBAMORTECIDO < ζ < Neste caso, C(s)/R(s), pode ser escrita da seguite forma: em que: C(s) R(s) = (s + ξω ω + jω )(s + ξω d jω ω d = ω ξ Frequêcia atural amortecida (rad/s) Para a etrada degrau uitário, a saída C(s), será dada por: (s) = s ω C + ξωs + ω s Aplicado a trasformada iversa de Laplace, obtemos: c(t) = e ξ ω t ξ si( ω d t + arcta g d ) ξ ξ Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.35 ), t (7.7.7) Da expressão aterior, podemos verificar que a frequêcia de oscilação trasitória, é a frequêcia atural amortecida ω d, e portato varia com o coeficiete de amortecimeto ζ. O erro para este sistema, é dado por: e(t) = r(t) c(t) = e ξωt cosω d t + ξ ξ si ω d t t Este erro, apreseta uma oscilação siusoidal amortecida. Em regime permaete, quado t, o erro aula-se, pelo que o sistema de ª ordem é exacto para uma etrada em degrau uitário. Se o coeficiete de amortecimeto ζ for ulo, a resposta será oscilatória pura. Neste caso, basta substituir ζ=, em (7.7.6) e aplicar R(s) =/s, pelo que: ω (s) = s C + ω s A resposta temporal, será dada por: c(t) = cos ω (t), t (7.7.8) Da Eq.7.7.8, vemos que ω correspode à frequêcia atural ão amortecida do sistema, ou seja a frequêcia à qual o sistema oscilaria se o amortecimeto fosse ulo. Nestas codições, a frequêcia atural ão pode ser observada experimetalmete. A frequêcia que pode ser

37 medida experimetalmete, desiga-se por ω d, e é igual a ω ξ, sedo portato meor que ω. Se ζ aumetar para além da uidade, a resposta tora-se sobreamortecida e o sistema deixa de oscilar. ) SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTECIDO (ζ = ) Se os pólos da fução de trasferêcia forem iguais, e substituirmos ζ= em (7.7.6), teremos para a etrada R(s)=/s, a seguite resposta de C(s): ω (s) = (s ) (7.7.9) + ω s C Aplicado a trasformada de Laplace iversa à Eq , obtêm-se: c(t) = e ω t ( + ω 3) SISTEMA SOBREAMORTECIDO (ζ > ) t) Neste caso, os pólos da fução de trasferêcia são reais, egativos e distitos. Para a respectiva etrada R(s)=/s, obtêm-se: ω C(s) = (7.7.) (s + ξω + ω ξ )(s + ξω ω ξ ) Aplicado a trasformada iversa de Laplace, obtemos: s s ω e t e t s = ω ξ + ξ c(t) = + ξ s s s = ω ( ξ ξ ) (7.7.) Como podemos observar, a resposta c(t) ão apreseta oscilações. Na Fig.7.4, apreseta-se uma série de curvas em fução de ζ. O eixo das abcissas, represeta como habitualmete a variável tempo (t). De otar que o sistema está iicialmete em repouso. Para simplificar a aálise do gráfico, cosiderou-se que a frequêcia atural do sistema é ω = rad/s. Repare-se que à medida que ζ aumeta desde o valor ulo (sistema oscilatório puro sem amortecimeto), a amplitude das oscilações vai dimiuido até desaparecer para ζ=., que correspode a um sistema criticamete amortecido. Para ζ=., verifica-se que a resposta é mais leta que para ζ=. e bastate mais leta que as respostas com ζ<. (sistema sub-amortecido). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.36

38 .8 ξ=..6 c(t) ξ=. ξ=. ξ= t [seg.] Fig.7.4. Curvas de resposta de um sistema de ª ordem a uma etrada em degrau uitário. (Nota: ω = rad/s) ESPECIFICAÇÕES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SIST. DE ª ORDEM Em muitos casos práticos, as características do desempeho desejadas para os sistemas de cotrolo são especificadas em termos de gradezas o domíio do tempo. Os sistemas que armazeam eergia, ão coseguem respoder istataeamete e terão respostas trasitórias quado forem sujeitos a perturbações. Em geral, as características de desempeho de um sistema de cotrolo são especificadas em termos da resposta trasitória para uma etrada degrau uitário, pois esta etrada é fácil de obter e é suficietemete brusca. (NOTA: Se a resposta a uma etrada degrau for cohecida, é matematicamete possível determiar a resposta para qualquer outro tipo de etrada). A resposta trasitória de um sistema para uma etrada degrau uitário, depede das codições iiciais. Por coveiêcia a comparação das respectivas respostas trasitórias de diversos sistemas, é usual aplicar a codição padrão do sistema iicial em repouso, com a saída e todas as suas derivadas ulas. Desta forma, podemos comparar facilmete as respostas de sistemas diferetes. A especificação das características trasitórias de um sistema de cotrolo para uma etrada degrau uitário, são geralmete as seguites: ) Tempo de atraso ( t d ) - Tempo ecessário para a resposta alcaçar pela primeira vez metade do valor fial ) Tempo de subida ( t r ) - Tempo ecessário para a resposta passar de % a 9% (ou de 5% a 95%, ou aida de % a %) do seu valor fial Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.37

39 3) Tempo de pico ( t p ) - Tempo ecessário para a resposta alcaçar o primeiro pico do sobresial 4) Sobre-sial máximo ( M p) - É o máximo valor do pico da curva de resposta, medido a partir do valor fial de resposta (Neste caso -> c( )=) NOTA: Se o valor fial do regime estacioário da resposta, difere do valor uitário, usa-se geralmete o máximo sial percetual. Esta gradeza, é defiida por: sobre sial máximo = M percetual c(t = ) c( ) p p c( ) % 5) Tempo de acomodação ( t s ) - É o tempo ecessário para a curva de resposta atigir e permaecer detro de uma faixa em redor do valor fial (ormalmete % e 5%). (NOTA: A escolha da percetagem de erro a usar, pode ser determiada a partir dos objectivos de dimesioameto do sistema em questão). É coveiete referir que em todas estas especificações, são aplicáveis a qualquer caso em estudo. Por exemplo, para um sistema sobreamortecido, o tempo de pico e o sobre-sial máximo, ão se utilizam, visto que estes sistemas ão exibem oscilações. Fig.7.5. Curva de resposta do sistema a uma etrada degrau uitário. Sistemas de ª ordem e especificações da resposta trasitória - Para um sistema de ª ordem e supodo que este é sub-amortecido, teremos: i) Tempo de subida t r - Se substituirmos em (5.7) c(t)=, obtêm-se: c(t r ) = = e ξωt cos ω d t + ξ ξ si ω d t t Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.38

40 como o termo expoecial é, visto o tempo ser geralmete pequeo (t << ), coclui-se a partir da expressão aterior, que: cosωdt ou r + ta ω t d ξ ξ r = si ω t ξ ξ d r = ωd = σ Assim, o tempo de crescimeto t r será dado por: t r = ω d ta ωd = σ π β ω d sedo β defiido de acordo com a represetação idicada a Fig.7.6. Fig.7.6. Represetação de um polo o diagrama complexo. ii) Tempo de pico t p - Se derivarmos c(t) em ordem ao tempo e igualarmos a derivada a zero, obtemos: dc(t) dt t= t p = si( ω d t p ) ω ξ e ξ ω t p = Esta expressão aula-se para si ω d t p =, ou seja: ω d t p =, π,π,3π,... O tempo de pico t p correspode ao primeiro pico do sobre-sial, ou seja si ω d t p = π, pelo que: π t p = ω d iii) Sobre-sial máximo M p - Ocorre para t = t p. Portato, da equação de resposta c(t), obtemos: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.39

41 M p = c(t p = ( e = e ) ξ ξω ( π / ωd ) π ω ωd (cosπ + cos π + ξ ξ ξ ξ si π)) si π Como ωd= ω ξ, obtêm-se fialmete M p = e ξπ ξ iv) Tempo de acomodação ( t s ) - Para um sistema de seguda ordem subamortecido, a resposta a um degrau é dada de acordo com (7.7.7). As curvas evolvetes à curva de resposta para uma etrada em degrau uitário, são dadas por: ξ t ( e ω / ) ± ξ coforme podemos observar a figura seguite Fig.7.7. Curvas evolvetes da resposta de um sistema de ª ordem da Fig.7.6. O tempo de acomodação correspodete aos critérios de % e 5 %, pode ser medido em termos da costate de tempo T = / ξω, a partir da curvas represetadas a Fig.7.7, para diversos valores de ξ. Deste modo, obtiveram-se os seguites valores: 4 4 t s = 4T = = (Criterio de %) σ ξω t s 3 3 = 3T = = σ ξω (Criterio de 5%) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

42 EXEMPLO DE APLICAÇÃO A Fig.7.8-a) represeta um sistema mecâico massa-mola-amortecedor, que represeta por exemplo o modelo simplificado de uma suspesão automóvel. Quado se aplica uma etrada em degrau P = 7.9 N, este sistema oscila de acordo com o gráfico represetado a Fig.7.8-b). Determie os valores de m, b e k do sistema a partir da curva de resposta. P(t) k M x(t) b a) etrada P [N] saída x [m] tempo [s] b) Fig.7.8. Sistema mecâico oscilatório. b) Curva de resposta para uma etrada degrau. RESOLUÇÃO: A fução de trasferêcia do sistema é dada por: G(s) = X(s) P(s) 8.9 P(s) = s X(s) = ms = ms + bs + k bs + k s Etrada degrau de amplitude 7.9 N O valor em regime estacioário de x(t) é dado por aplicação do Teorema do Valor Fial (Tabela 7.), ou seja: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

43 x pelo que 8.9 lim sx(s) = s k estacioar io = =.3 m k = = 97 Nm O sobre-sial máximo, obtêm-se através do gráfico e é dado por Mp=9.66%, o que correspode a ζ=.6, ou seja: ξπ ξ M p =.966 = e ξ =.6 O tempo correspodete, será: t pelo que π π =.8ω max = = ω ξ ω 3.4 =.8 =.96 rad / s seg. Como ω = k m, obtêm-se 97 m =.96 = 77.3 Kg e que ξ ω = b m, teremos b = = 8.8 Nm s Deste modo, a fução de trasferêcia do sistema mecâico, será dada por: ou X(s) (s) = = P(s) 77.3s G + 8.8s + 97 X(s) (s) = = P(s) s G s Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

44 7.8. ANÁLISE DA ESTABILIDADE NO PLANO COMPLEXO INTRODUÇÃO Empiricamete, pode-se dizer que um sistema liear é estável, se ao ser afastado da sua posição de equilíbrio por uma perturbação temporária, tede a voltar à sua posição de equilíbrio, assim que esta desaparece. Assim, a istabilidade ão é fução de qualquer tipo de etrada ou perturbação extera. É uma característica itríseca do sistema. Deste modo, basta um pequeo erro itroduzido o sistema em ael fechado, devido a uma perturbação, para que o sistema se afaste da sua codição de equilíbrio. Cosidere o sistema de cotrolo em ael fechado, represetado a Fig.7.9. R(s) E(s) C(s) G(s) _ R(s) G(s) +G(s)H(s) C(s) H(s) Fig.7.9. Sistema de cotrolo em ael fechado. Na secção 7., vimos que a resposta de um sistema liear, era composta pela soma de duas respostas parcelares, ou seja: Resposta forçada (estacioária), imposta pela etrada Resposta livre (trasitória), que é propriedade itríseca do sistema, e que é composta pela soma de termos expoeciais do tipo c livre ()= t e i= s i t em que os termos s i, são as raízes da equação característica (+G(s)H(s)=). Para que o sistema forçado seja atigido, é ecessário que o regime livre se aule ao fim de um certo tempo. Deste modo, se todas as expoeciais tederem para zero com o tempo, o sistema é estável. Se uma das expoeciais teder para o ifiito o sistema será istável. (Nota: Basta apeas uma delas teder para ifiito, que o sistema é imediatamete istável). A estabilidade aparece assim associada aos zeros (raízes) da equação característica, e estes depedem apeas dos parâmetros do sistema Dada uma solução (raiz) s= a+ bi da equação característica, podemos ter os casos, represetados a Fig.7.3. Da aálise das três hipóteses, podemos cocluir que: As raízes da equação característica, ão podem ter parte real positiva, para que o sistema seja estável. Se a parte real for ula, diz-se que o sistema está o limiar da estabilidade ou que tem estabilidade limitada, visto que a sua resposta ão tede para ifiito. No etato, como é óbvio, o sistema ão é estável do poto de vista prático. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.43

45 c(t) c(t) c(t) e -at eat t t t Estável (a<) Istável (a>) Oscilatório (a=) Fig.7.3. Respostas trasitórias em fução do coeficiete "a" da raiz característica. O sistema diz-se assimptóticamete estável, quado todas as raízes da equação característica se situam o semi-plao esquerdo aberto (excluido o eixo imagiário). O comportameto de um sistema cotíuo, face à localização das raízes da equação característica, está represetado a Fig.7.3, para uma etrada impulso uitário. NOTA: As raízes da equação característica (+G(s)H(s)=), são desigados por pólos da fução de trasferêcia em ael fechado. Fig.7.3. Localização das raízes de um sistema cotíuo o plao de Argad. Os métodos de aálise da estabilidade mais cohecidos, são os seguites:. Pesquisa dos zeros de +G(s)H(s)= e sua localização o plao de Argad. São desigados por: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.44

46 Critério de Routh-Hurwithz Lugar geométrico das raízes (Root-Locus). Na aálise da fução de trasferêcia em ael aberto G(jω)H(jω), o domíio da frequêcia. Estes métodos, são desigados por Critério de Bode e Critério de Nyquist CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITHZ Com este método pretede-se determiar se existem pólos da fução de trasferêcia em ael fechado, o semi-plao direito. Não diz quais são os valores dos pólos, mas apeas idica qual o úmero de pólos istáveis. Este método, permite evitar a resolução aalítica da equação característica, e aplica-se a poliómios de grau. Cosidere a equação característica sob a forma de um poliómio em s: + GsH () () s = a s + a s a s + a = o em que os coeficietes a i são todos reais e diferetes de zero. Deste modo, deve-se proceder da seguite forma: a) Costrua uma tabela da seguite forma: s s - s - s -3. a o a a 4 a a 3 a 5 x x x 3 y y y 3... em que: s o f As duas primeiras lihas são preechidas com os coeficietes do poliómio As outras lihas são preechidas, a partir das primeiras e de acordo com as seguites expressões: x y aa = = aa o 3 4 o 5 6 o 7 x = x3 = a a a xa ax x 3 y = aa xa aa ax x 5 3 aa... b) Uma vez completada a tabela, o critério permite afirmar o seguite: aa "O úmero de pólos istáveis da fução de trasferêcia em ael fechado, é igual ao úmero de mudaças de sial a primeira colua da tabela" Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.45

47 EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Dada a seguite equação característica, verifique a estabilidade absoluta do sistema. + GsHs = s + s + s+ = 3 ( ) ( ) 3 Solução: Costrua a tabela coforme idicado, pelo que s 3 s s s o 3 - Verifica-se que existem duas mudaças de sial, a primeira colua => pólos istáveis. (NOTA: Mudaças de sial: - ) CONCLUSÃO: De acordo com o critério, a equação característica tem duas raízes com parte real positiva, pelo que o sistema é istável. CASOS ESPECIAIS: ) Se um dos valores "a" for zero, isto sigifica que existem zeros o semi-plao direito. O sistema é automaticamete istável. ) Se em todos os valores de "a" tiverem o mesmo sial, existem zeros istáveis. 3) Se ao completar a tabela, algum dos coeficietes da ª colua for ulo, deverá ser substituído por um ε. Neste caso, determiam-se os coeficietes da colua tomado o limite, quado ε. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.46

48 7.9. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO. Determie as equações algébricas o domíio complexo das seguites equações difereciais lieares, supodo codições iiciais ulas: a) d y 4t 3 + y = 5e dt b) 3 d y d y y = t + si(t) 3 dt dt c) d y t 4 + y = t + 5e dt d) d y dy y = t + si(t) dt dt. Cosidere o exemplo massa - mola apresetado em Repita a resolução do problema cosiderado este caso uma força do tipo degrau uitário. Faça o respectivo gráfico. Comete a resposta obtida. 3. Cosidere o exemplo massa - mola dado em Repita a resolução do problema cosiderado este caso atrito viscoso liear com um coeficiete b= Ns/m e uma força do tipo impulso uitário. Faça o respectivo gráfico. Comete a resposta obtida. (NOTA: Cosidere que a força dissipativa do atrito é proporcioal à velocidade de deslocameto da massa m). 4. Cosidere o sistema represetado a figura. Determie a resposta temporal y(t) para o tipo de etrada cosiderada. (Etrada siusoidal de amplitude A e frequêcia agular ω). P=A.si(ωt) M y(t) k k 5. Cosidere o seguite diagrama de blocos: R(s) k s + C(s) s.5 a) Reduza o diagrama de blocos à sua forma caóica em ael aberto. b) Qual a fução de trasferêcia G(s)=Y(s)/U(s) do sistema? Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.47

49 c) Qual a ordem do umerador, do deomiador e do sistema? 6. Cosidere um sistema liear dado pelo seguite diagrama de blocos: R(s) C(s) - s + s + a) Determie a fução de trasferêcia G(s)=C(s)/R(s) do sistema. b) Justifique que se trata de um sistema causal. c) Represete a localização o plao complexo (d'argad), dos pólos e zeros do sistema. 8) Cosidere um termómetro aalógico que mede a temperatura do líquido um taque, coforme represetado a figura. O modelo matemático do termómetro, pode ser descrito através de um sistema de primeira ordem, com os seguites parâmetros característicos: Costate de gaho K =. V/ºC Costate de tempo T =.5 segudos /s Mostrador vapor sesor de temperatura Taque Válvula a) Admita que o taque está iicialmete vazio, e que súbitamete é despejada água para detro do taque à temperatura de 5 ºC. Admitido que a temperatura atmosférica é de ºC, determie a evolução o tempo da saída V(t) do sesor. Calcule a tesão V(t) e a respectiva temperatura para t = 6 s. b) Represete o gráfico da evolução de V(t). Diga ao fim de quato tempo poderá cosiderar que o sistema etrou em regime estacioário. c) Cosidere agora que o taque está cheio de água à temperatura de ºC. Em seguida, é ligada a serpetia a vapor pelo que a água o taque começa a aquecer a uma taxa costate de.5 ºC/seg. Determie a resposta V(t) para este tipo de etrada. Determie a tesão V(t) e a temperatura ao fim de t = miuto. Represete o gráfico V(t) em fução do tempo. Determie o erro (ºC) em regime estacioário. Comete o valor obtido e diga como poderia dimiuir esse erro. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.48