1 Cálculo Diferencial em IR n

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1 1 Cálculo Diferecial em IR 11 Noções Topológicas em IR Equatio Sectio 1 (11) Defiição Seja um úmero atural O Espaço Euclediao -dimesioal é o produto cartesiao de factores iguais a = Cosidere-se, assim o cojuto costituído por todas as sucessões ordeadas de úmeros reais Os seus elemetos x = ( x1, x,, x ) com x1, x,, x, são deomiados potos de e os úmeros reais x 1, x,, x dizem-se coordeadas de x Dois elemetos de, x = ( x1, x,, x ) e y = ( y1, y,, y ) dizem-se iguais se e só se as coordeadas correspodetes forem iguais, isto é, x = y ( i = 1,,, ) i i Operações Algébricas Adição + : ( x, x,, x ) + ( y, y,, y ) = ( x + y, x + y,, x + y ) Multiplicação por um escalar : λ ( x, x,, x ) = ( λx, λx,, λx )

2 Matemática Aplicada (1) Defiição O cojuto os elemetos de com as duas operações ateriores, é um Espaço Vectorial Real Por isso, dizem-se vectores e os úmeros reais escalares Os vectores de e e 1 = (1, 0, 0,, 0) = (0,1,0,,0) e = (0, 0, 0,,1) são liearmete idepedetes e qualquer vector x = ( x1, x,, x ) de exprime-se, de forma úica, como combiação liear de e 1, e,, e x = x1e1 + xe+ + xe Cosequetemete, os vectores e 1, e,, e costituem uma base do espaço vectorial, também deomiada base caóica, e é um espaço vectorial de dimesão (13) Defiição Sejam Px ( 1, x,, x) e Qy ( 1, y,, Defie-se distâcia de P a Q e represeta-se por dpq (, ) ou P-Q por: 1 1 dpq (, ) = ( x + ( x + + ( x y ) (11) (14) Exemplo 3 Sejam P(1,1,1) e Q(,,) A distâcia de P a Q é igual a dpq (, ) = ( 1) + ( 1) + ( 1) = 3 z 1 P Q 1 1 y x 1

3 1 Cálculo Diferecial em (15) Defiição Fixado um poto x 0, ao cojuto de potos que distam de x 0 meos de ε, chama-se bola (aberta) de raio ε e cetro x 0 e represeta-se por Bx ( 0; ε) = { x : dxx (, 0) < ε} O coceito de vizihaça ε de x 0 está ligado ao coceito de bola aberta, isto é, V ( x ) B( x ; ε) ε 0 0 Seja S um subcojuto de e x 0 (16) Defiição Um poto x 0 diz-se iterior de S sse existir uma bola de cetro em x 0, cotida em S, isto é: ε > 0: Bx ( 0; ε) S (17) Defiição Um poto x 0 diz-se exterior de S sse existir uma bola de cetro em x 0, cotida o complemetar de S, isto é: ε > 0: Bx ( 0; ε) ( \ S) (18) Defiição Um poto x 0 diz-se froteiro a S sse qualquer bola de cetro em x 0, cotiver pelo meos um poto de S e do complemetar de S (19) Defiição O cojuto dos potos iteriores, exteriores e froteiros desiga-se respectivamete por iterior - it(s), exterior - ext(s) e froteira - fr(s) it( S) ext( S) fr( S) = (110) Defiição O cojuto S diz-se aberto sse for igual ao seu iterior, S = it( S) (111) Defiição Chama-se fecho ou aderêcia de S à uião do iterior de S com a sua froteira e represeta-se por S, isto é, S = it( S) fr( S) Prova-se que um poto x 0 é aderete a S sse ε > 0: Bx ( 0; ε) S (11) Defiição O cojuto S diz-se fechado sse for igual ao seu fecho, S = S fr( S) S (113) Defiição Um poto x 0 diz-se poto de acumulação de S sse ε > 0: Bx ( 0; ε)\ { x0} S O cojuto dos potos de acumulação represeta-se por S Derivado (114) Defiição Um poto x 0 diz-se isolado de S sse ε > 0: Bx ( ; ε)\ { x } S=

4 Matemática Aplicada Exercícios 1 Determie para cada um dos seguites subcojutos de 1 1 a) B((1,1), ) B((3,1), ) ; b) {(, x : y= π } o iterior e a froteira: ; Para cada um dos seguites subcojutos de, determie o iterior, o exterior, a froteira, o derivado e diga se é aberto ou fechado: a){ (, x: x= 1} ; b){ (, x: y 3} ; c){ (, x:0 x 1, 1< y< 1} ; d){ (, x:0 x 1, 1< y< 1} ; e){ (, x:3 (, x 5} < < ; f) {(, x: x y 1} = + 1 Fuções reais de Variáveis Reais 11 Defiições, Propriedades e Aplicações Uma fução f é uma correspodêcia que, a cada elemeto de um cojuto X, associa um úico elemeto de um cojuto Y (115) Defiição Seja D um cojuto de pares ordeados de úmeros reais Uma fução f que a cada par ( xy, ) de D associa um úico úmero real, deotado por f ( xy, ), é uma fução real de duas variáveis D é o domíio O cotradomíio de f cosiste em todos os úmeros reais z = f(, x, images de( xy, ) D f : D ( xy, ) z= fxy (, ) O gráfico de f é uma superfície 14

5 1 Cálculo Diferecial em (116) Defiição Seja f : D e k, chamamos curva de ível respeitate à cota k ao cojuto C = {(, x D : f(, x = k} k Algoritmo - esboço do gráfico de uma fução: 1º passo: Determiação do domíio; º passo: Dedução de algumas curvas de ível; 3º passo: Itersecções com os plaos coordeados; 4º passo: Motagem dos resultados ateriores um sistema de eixos cartesiaos 3D: wireframe -» modelo em arame -» revestimeto -» superfície Exercícios 3 Cosidere as fuções reais f : D Determie o domíio D e represete-o graficamete Diga, justificado, se D é aberto, fechado ou em aberto em fechado a) f (, x = l( x ; b) f (, x = 1 x + y; l( x + y x) c) f (, x = 4 x y ; d) fxy (, ) = ; x + y x x + y e) fxy (, ) = ; f) fxy (, ) = 3+ l( ) x + x y y 4 Cosidere as fuções reais f e g defiidas por: f ( xy, ) e,0 y x + 4 f ( xy, ) = l( 4 g( x, = 4, x + y 4 y < 0 a) Determie o domíio das duas fuções e represete-os geometricamete b) As figuras seguites são estruturas metálicas utilizadas a Capital Nacioal da Cultura Coimbra 003 Qual delas coicide com o gráfico da superfície z = g( x,? Justifique a sua escolha 15

6 Matemática Aplicada 5 Seja f (, x = 34 x y, e as fuções g e h, reais de duas variáveis, dadas sob a forma dos algoritmos seguites: Se x + y 9 Se x + y 9 Etão z 5 Etão z 5 Seão Se 9 < x + y 34 Seão z f ( x, Etão z f ( x, a) Determie o domíio de f e represete-o geometricamete O domíio é aberto ou fechado? Justifique b) Estabeleça a expressão aalítica da fução gxy (, ) g(x, := c) Trace um esboço do gráfico z = g( x, d) Qual o valor lógico da seguite afirmação? Justifique a sua resposta Atededo a que os domíios das fuções h e g são iguais, etão os seus gráficos também são iguais h(x, := 6 Cosidere as fuções reais f, g e h defiidas por: se x + y 9 f ( xy, ) = 34 x y g( x, := etao z = 5 seao z = f ( x, 5, x + y 9 h( x, = fxy (, ),9< x + y 34 a) Determie o domíio de f e represete-o geometricamete O domíio é fechado? Justifique b) Qual o valor lógico da seguite afirmação? Justifique a sua resposta Atededo a que os domíios das fuções g e h são iguais, etão os seus gráficos também são iguais b) Qual das figuras seguites coicide com o gráfico da superfície z = h( x,? Justifique a sua escolha 16

7 1 Cálculo Diferecial em 7 Cosidere a fução real f ( xy, ) = arccos( x a) Determie o domíio de f e represete-o geometricamete b) Qual das figuras/esboços represeta o gráfico da superfície z = f(, x? Justifique 1 Limites A defiição e propriedades dos limites tratados o cálculo diferecial em, são herdadas e ajustadas o cálculo diferecial em (117) Defiição Seja f : D e ( x0, y0) D um poto de acumulação Diz-se que lim f ( xy, ) = L ( xy, ) ( x, y ) 0 0 se 0 0 δ > 0 ε > 0 : ( xy, ) D ( xy, ) ( x, < ε fxy (, ) L < δ Visto que, em sempre será fácil provar a existêcia do limite pela defiição, deverá ter-se em ateção os seguites coceitos: Limites iterados lim f ( xy, ) =? ( xy, ) ( x, y ) 0 0 se lim lim f ( xy, ) lim lim fxy (, ) etão x x y y y y x x lim f ( xy, ) ( xy, ) ( x, y ) 0 0 ão existe Limites Direccioais lim f ( xy, ) =? ( xy, ) ( x, y ) 0 0 se lim f ( xy, ) lim fxy (, ) etão ( xy, ) ( x, y ) ( xy, ) ( x, y ) ( xy, ) A ( xy, ) B lim f ( xy, ) ão existe ( xy, ) ( x, y )

8 Matemática Aplicada Exercícios 8 Prove, usado a defiição, que lim f ( xy, ) = 0 sedo: (, ) (0,0) a) f ( xy, ) = 3x; b) f ( xy, ) = xy; c) xy xy lim ( xy, ) (0,0) 4 + fxy (, ) = x 3 xy y ; d) xy fxy (, ) = 4 x Mostre que o limite x y existe segudo todas as rectas que passam pela origem, mas que aquele limite ão existe 10 Seja f ( xy, ) = x + y e g( x, = f ( x, + 1 se x + y 9 Mostre, que lim f ( xy, ) lim g( xy, ) ( ) ( ) xy, 0,0 ( xy, ) ( 0,0) 13 Cotiuidade (118) Defiição Seja f é uma fução de duas variáveis, f : D, e ( x0, y0) um poto de A fução f é cotíua em ( x0, y 0) sse as três codições seguites forem satisfeitas: i f ( x0, y 0) existir; ii lim f ( xy, ) existir; ( xy, ) ( x, y ) 0 0 iii lim f ( xy, ) = fx (, y ) ( xy, ) ( x, y ) O subcojuto de D formado pelos potos ode f é cotíua, desiga-se por domíio de cotiuidade de f Diremos que f é cotíua em D, se f é cotíua em todos os potos ( x0, y 0) de D (119) Proposição Sejam f e g fuções reais de variável real cotíuas em x 0 e y 0, respectivamete Etão, a fução de duas variáveis defiida por hxy (, ) = fxgy ()() é cotíua em( x 0, y 0 ) Da proposição aterior decorre que uma fução poliomial de duas variáveis soma fiita m de parcelas do tipo kx y é uma fução cotíua Uma fução racioal, quociete de fuções poliomiais, é uma fução cotíua o seu domíio (10) Proposição Se f é cotíua em ( x0, y 0) e g é uma fução de uma só variável, cotíua em f ( x0, y 0), etão a fução composta h = gof, defiida por hxy (, ) = gfxy ((, )) é cotíua em( x 0, y 0 ) (11) Exemplo A fução hxy (, ) = l( x + y + 1) é uma fução cotíua Uma vez que para f (, x = x + y + 1 e gt () = l() t, tem-se h = gof Como f e g são fuções cotíuas, pela proposição (10) podemos cocluir que h é uma fução cotíua 18

9 1 Cálculo Diferecial em Todos os resultados apresetados podem esteder-se, a fuções com mais de duas m variáveis( 3) f : D Chamam-se campos escalares às fuções reais ( m = 1) de variável vectorial, ou seja f :, que represetam uma fução de várias variáveis um espaço real de duas ou três dimesões, de algumas quatidades físicas tais como áreas, volumes, temperatura, potecial eléctrico, etc m Chamam-se campos vectoriais às fuções vectoriais de variável vectorial, ou seja f :, que represetam fuções cujos valores são vectores e ão escalares, como é o caso da velocidade dum poto um fluido em movimeto, as forças gravíticas ou magéticas Na figura ao lado é represetada uma fução vectorial r our, ode r() t = f(), t g(), t h() t = f() t i + g() t j + h() t k Se OP é o vector posição correspodete a r () t, etão, ao variar t, o poto termial P descreve a curva de equações paramétricas x = f ( t), y = g( t) e z h( t) = Exercícios 11 Cosidere as fuções reais f : D, defiidas por: 4 4 x - y,( xy, ) (0,0) 4 4 a) fxy (, ) = x + y 0,( x, y ) = (0,0) 1-x -y, x +y 1 c) fxy (, ) = 0, x + y > 1 Estude f ( xy, ) quato à sua cotiuidade b) d) fxy (, ) x y x + y = + > 9, 3 1, x y 3 x - y, x y fxy (, ) = x - y 0, x = y 1 Cosidere as fuções reais f ( xy, ) e g( x, y ) defiidas em D, dadas pelas expressões seguites: f( x, e se x + y < 4 f (, x = l(4 x gxy (, ) = 0 se 4 x + y 9 a) Determie, o domíio D de f ( xy, ) e, represete-o geometricamete b) Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) O domíio da fução f é aberto ii) A curva de ível C = {(, x : x + y = 1} z = g(, x com z = 4 iii) Como o lim gxy (, ) (, ) (,0) xy R é o resultado da itersecção de existe, etão gxy (, ) é cotíua em (, 0) 13 Cosidere as fuções reais de duas variáveis reais f, g, e h dadas por: f (, x = x + y g( x, y ) : = h( x, y ) : = Se x + y 16 Se x + y 16 Etão z = f ( x, Etão z = 3 f ( x, 19

10 Matemática Aplicada a) Determie o domíio das fuções, represete-os geometricamete e verifique se são abertos ou fechados b) Estabeleça a expressão aalítica das fuções gxy (, ) e hxy (, ) Mostre, que C = ( x, : x + y = 16 é uma curva de ível comum às duas fuções { } c) Idetifique as superfícies associadas às três fuções e trace um esboço das mesmas d) Resolva apeas uma das alíeas seguites Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) O lim g( x, = lim h( x, ( ) ( ) xy, 0,0 ( xy, ) ( 0,0) 4 g( x, ii) A fução j( x, = 0 se x + y > 16 é cotíua em todos os potos do cordão de soldadura ( xy, ) : x + y = 16 { } 14 Derivadas Parciais (1) Defiição Se f é uma fução de duas variáveis x e y, etão as derivadas parciais de f em relação a x e a y são fuções f x e f y defiidas por: f ( x + x, f( x, f (, xy+ fxy (, ) fx (, x = lim e f x 0 x y( x, = lim (1) y 0 y desde que os limites existam Iterpretação geométrica O gráfico de uma fução de duas variáveis é uma superfície de equação z = f(, x Se cosiderarmos y costate ( y = y0 ), etão z = f(, x y0) é a equação da curva C que se obtém da itersecção da equação da superfície com o plao de equação y = y0 A derivada parcial em ordem a x, fx ( x0, y 0), forece o declive da recta tagete à curva C o poto P0( x0, y0, z 0) ( z 0 = f( x 0, y 0 )), o plao y = y0 De modo aálogo, fy( x0, y 0) forece o declive da recta tagete à curva, tedo equações x = x 0 e z = f( x,, o poto P 0 o plao x = x0 110

11 1 Cálculo Diferecial em As equações das rectas tagetes à curva em (a) e em (b) são dadas respectivamete por: z z f x y x x y y 0 = x ( 0, 0)( 0) = 0 z z0 = fy( x0, y0)( y y0) x = x0 Iterpretação Física f ( x + x, f( x, A razão x represeta a variação média de uma etidade física represetada por f (, xy ) As derivadas parciais fx (, xy ) e fy (, xy ) medem a taxa de variação de f em relação à variação de x e y uma direcção horizotal e vertical respectivamete (13) Exemplo Uma placa de metal aquecida, está situada o plao XY de tal modo que a temperatura T o poto (x, é dada portxy (, ) = 10( x + Determie a taxa de variação de T em relação à distâcia o poto P(1,) a direcção: a) do eixo dos XX; b) do eixo dos YY y Resolução A figura ao lado, represeta uma hipotética placa de metal a) A taxa de variação a direcção do eixo dos XX, é dada por: Como T Tx (, x = (, x = (10( x + y )) = 10 (( x + y )) x x x = 10 *( x + y ) ( x + y ) = 0( x + y )( ( x ) + ( y )) = 0( x + y )(x + 0) x x x = 40 xx ( + logo T x (1, ) = 40 * 1(1 + ) = 00 P x b) De modo aálogo ao resultado aterior, a taxa de variação a direcção do eixo dos YY é dada por: T y(1, ) = 40 * (1 + ) = 400 Notações Existem várias otações alterativas para as derivadas parciais Algumas delas são as seguites, ode z = f(, x f z f z fx(, x fx (, x (, x Dfxy x (, ) fy( xy, ) fy ( xy, ) ( xy, ) Dfxy y (, ) x x y y Quado derivamos parcialmete f em ordem a x, o y fucioa como costate e vice-versa, tal é justificado pela defiição (1) Sempre que possível, devem usar-se por heraça e ajuste as regras de derivação deduzidas o cálculo diferecial em coforme a Tabela 111

12 Matemática Aplicada Exercícios 14 A figura, ao lado, represeta o molde de um copo usado a Queima das Fitas, cuja matriz de potos 3D é formatada pelas fuções f e g, dadas pelas expressões seguite: f ( xy, ) = x + y g( x, = f ( x, + 1 se x + y 9 a) Determie, o domíio das fuções e represete-o geometricamete b) Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) O domíio de restrição da fução g é fechado { } ii) A curva de ível C = ( x, : x + y = 1 é comum às duas fuções iii) A derivada parcial de g em ordem a y o poto( 1, 1 ), por defiição, é igual a g g( 1 + y,1) g( 1,1) ( 1,1 ) = lim = y y 0 y c) Recorredo à figura, assiale a superfície correspodete ao gráfico de cada fução Justifique a sua escolha d) Mostre, que lim f ( xy, ) lim g( xy, ) ( ) ( ) xy, 0,0 ( xy, ) ( 0,0) e) Mostre, que a equação da recta tagete á curva de itersecção da superfície z = f(, x + 1com o plaoy = 1, o poto P = (1,1, 3), é dada por z = x + 1 y = 1 x + y, x + y 1 15 Seja fxy (, ) = 0, x + y < 1 a) Estude f quato à cotiuidade b) Mostre que ão existe f x (1, 0) c) Calcule f (1, 1) x 16 Cosidere as fuções reais f(x, e g(x, defiidas em D, dadas pelas expressões seguites: arcse( f( xy, )) se x + y 4 f (, x = se 4 x y gxy (, ) = 0 se 4 < x + y 9 a) Determie o domíio D de f (, xy ) e represete-o geometricamete b) Trace um esboço do gráfico de z = g(, x c) Comete, justificado, a seguite afirmação: Como o lim gxy (, ) existe, etão gxy (, ) é cotíua em (, 0) ( xy, ) (,0) d) Determie, a equação da recta tagete, á curva de itersecção da superfície z = g(, x com o plao x = 1, o poto P = (1,1, ) 11

13 1 Cálculo Diferecial em 17 Cosidere as fuções reais f (, xy ), gxy (, ) e hxy (, ) defiidas em D, dadas pelas expressões seguite: f (, x = x + y gxy (, ) = f (, x gxy (, ) se x + y 4 hxy (, ) = se x + y > 4 a) Determie o domíio das fuções e represete-o geometricamete b) Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) O domíio das fuções dadas é aberto, fechado e ilimitado ii) A curva de ível C = (, x R : x + y = 1 é comum às três fuções { } iii) Os gráficos/superfícies das três fuções ão se itersectam iv) As fuções f (, x e gxy (, ) têm (0,0,0) como míimo absoluto, equato que hxy (, ) tem um máximo absoluto em (0,0,) c) Recorredo à figura, assiale a superfície correspodete ao gráfico de cada fução Justifique a sua escolha d) Resolva apeas uma das alíeas seguites i) Mostre que lim hxy (, ) lim gxy (, ) lim fxy (, ) ( xy, ) (0,) ( xy, ) (0,) ( xy, ) (0,) ii) Estude as fuções quato à cotiuidade 18 Cosidere as fuções reais f (, xy ), gxy (, ) e hxy (, ) defiidas em D, dadas pelas expressões seguite: 4 f ( xy, ), x + y 4 f ( xy, ) = x + y g( x, = f ( x, h( x, = 0, 4 < x + y 9 a) Determie o domíio das fuções b) Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) A curva de ível C = {(, x : x + y = 1} R é comum a duas fuções ii) A derivada parcial de h em ordem a y o poto( 1, 1 ), por defiição, é igual a : h h( 1 + y,1) h( 1,1) ( 1,1 ) = lim = y y 0 y c) Represete gráficamete as três fuções e idetifique-as d) Mostre, que lim f ( xy, ) lim g( xy, ) lim h( xy, ) ( ) ( ) xy,,0 ( xy, ) (,0 ) ( xy, ) (,0) e) Determie, a equação da recta tagete á curva de itersecção da superfície z = h( x, com o plao x = 1, o poto P = (1,1, ) Trace um esboço da recta obtida 113

14 Matemática Aplicada 19 Calcular as primeiras derivadas parciais das fuções seguites, os potos ode existem: x y a) z=x +xy+y ; b) z= - y x ; c) y z=ye x ; d) l(si( x -θ z= y )) ; e) r=e cos( θ + φ ) ; f) z= x +y ; xy g) z=e si( xy+ 4 y ) 0 Mostre que se z= l x +y, etão verifica-se a seguite igualdade: z z x + y = 1 se( xy, ) (0,0) x y y 1 Mostre que se zx,y ( ) =xy+xe x, etão verifica-se a seguite igualdade: z z x + y = xy + z( x, x y Seja - y x w= log( ) z 3 Seja z = x ly com em que x = ch(t), y = sh(t) e z = t Calcular dw dt u z z z x= e y = 3u v Calcular,, v u v u v u du 4 Calcule e x dx sedo: a) u( x, = l( e x e y 3 + ) com y = x x b) ux,y ( ) = arcsi( ) com y= y x Seja w y F( x y, ze x ) = + + em que F é uma fução difereciável w w w Prove que se verifica a seguite idetidade: y - x + yz = x x y z y 1 6 seja z = + f( + l( ) em que f é uma fução duas vezes difereciável o seu domíio x 1 z 1 z z Prove que: + + = 0 y x x x y xy x 7 Calcular as derivadas das fuções implícitas dadas pelas equações: x y x y a) + = 1 ; b) = 1 ; c) y x = x y ; a b a b x y z d) + + = 1 ; e) u-v tg( α w)=0 ; f) z + = y - z a b c x 114

15 1 Cálculo Diferecial em NOTA: Outros exercícios são apresetados em ANEXO, de acordo com o programa da disciplia 141 Derivadas parciais de ordem superior à primeira 14 Teorema de Schwartz 143 Equação de Laplace 15 Acréscimos e Difereciais 16 Derivada da Fução Composta 115

16 Matemática Aplicada 17 Derivada Direccioal Motivação: u a) Determie a taxa de variação da temperatura em (3, 4) a direcção que faz um de 60 o em ox P(x, b) Determie a direcção para a qual a variação da temperatura é máxima o poto (-3, 1) A geeralização da defiição de derivada parcial para obter a Taxa de Variação de uma fução em relação á distâcia em qualquer direcção Derivada Direccioal (14) Defiição Seja z = f(, x e u um vector uitário, u = 1, dado por u = cos( θ) i + si( θ) j, a derivada direccioal de f a direcção de u é dada por: f ( x + hcos θ, y + hsi θ) f ( x, fu ( x, = lim h 0 h (13) se o limite existir Iterpretação Geométrica s t y+hsiθ y u θ h x x+hcosθ f ( x + hcos θ, y + hsi θ) f( x, ms = h m = fu( x, t 116

17 1 Cálculo Diferecial em Observações: i A derivada direccioal forece a taxa de variação do valor da fução z = f(, x em relação á distâcia h ao plao XY a direcção e setido do vectoru ii A derivada f ( xy, ) calculada em P, dá o declive da recta tagete á curva C o plao PP Q u ' iii Se u = i cos θ = 1 si θ = 0, dode f ( x + h, f ( x, fu ( xy, ) = lim = fx ( xy, ) h 0 h iv Se u = j cos θ = 0 si θ = 1, dode f ( xh, + h) f( xy, ) fu ( xy, ) = lim = fy ( xy, ) h 0 h v As primeiras derivadas parciais f ( xy, ) e f ( xy, ) são casos particulares de f ( xy, ) u x y (15) Teorema Se z = f ( x, é difereciável ( fx ( xy, ) e fy ( xy, ) são cotiuas) e u = cos( θ) i + si( θ) j ( u = cos θ, si θ ou u = u1, u ), etão a derivada direccioal é dada por: fu ( xy, ) = fx ( xy, ) cos θ + fy ( xy, ) siθ (14) Observação: Podemos rescrever (14) como produto itero (escalar) de dois vectores: fu ( xy, ) = ( f x ( xy, ) i + fy ( xy, ) j) ( cosθi + siθj ) (15) (16) Defiição Seja f uma fução de duas variáveis O gradiete de f é uma fução vectorial dada por: f (, x = f(, x i + f(, x j (16) x y Do que foi exposto, podedo cocluir etão que, para calcular a derivada direccioal de f a direcção do vector uitário u, formamos o produto escalar do gradiete de f por u, ou seja: fu( xy, ) = fxy (, ) u (17) 117

18 Matemática Aplicada (17) Exemplo x y Dada a fução fxy (, ) = +, determie: 9 4 a) Gradiete da fução o poto de coordeadas (3, ) π b) A taxa de variação da fução a direcção θ = o poto de coordeadas (3, ) 4 Resolução a) f (3,) =? 1º Passo: Calcular as derivadas parciais x y i) fx (, x = ( + ) = x x x y 1 ii) fy (, x = ( + ) = y y 9 4 º Passo: Estabelecer grad f (, x f (, x 1 ( ) i ( ) f (, x = x + y 9 j 3º Passo: Calcular f (3,) 1 f(3, ) = 3i + j f(3, ) = i + j f(3, ) =<,1 > f(x, b) Taxa de Variação f u ( 3, ) =? Derivada Direccioal 1º Passo: fu(3,) = f(3,) u º Passo: f (3,) = i + j 3 3º Passo: u = cos θi + si θj π para θ = vem 4 π π u = cos i + si j u = i + j 4 4 4º Passo: z = f (x, paraboloide eliptico 5 f u ( 3, ) = ( i + j) ( i + j ) = + 1 = + =

19 1 Cálculo Diferecial em Num determiado poto Pxy (, ) fixo, dado um vector uitário u, a derivada direccioal pode ser positiva e, etão f (, xy ) aumeta quado os deslocamos esta direcção, ou etão pode ser egativa e, etão f (, xy ) dimiuiu quado os deslocamos essa direcção Em muitas situações, é importate achar a direcção em que f (, xy ) aumeta mais rapidamete, bem como o máximo da taxa de variação Teorema do Gradiete Se α é o âgulo etre os vectores u e f, etão: u f = u f cos α (defiição de produto escalar) como fu (, x = u f vem: fu( xy, ) = u f cosα Questão: Quado é que f (, xy ) é máxima? Resposta: u α u u f f (18) De (18) como u = 1, e 1 cosα 1, etão valor máximo ocorre para α = 0 vector u tem que estar a mesma direcção e setido do vector gradiete i, dode o (18) Teorema: Teorema do Gradiete Seja f ( xy, ) uma fução de duas variáveis, difereciável o poto Pxy (, ) i) O valor máximo de fu (, xy ) em Pxy (, ) é f (, x ii) O máximo da taxa de crescimeto de fu (, xy ) em Pxy (, ), ocorre a direcção de f (, x (19) Corolário: Seja f uma fução de duas variáveis, difereciável o poto Pxy (, ) i) O míimo de fu (, xy ) em Pxy (, ) é f (, x ii) O míimo da taxa de crescimeto de f (, xy ) em Pxy (, ), ocorre a direcção de f (, x 119

20 Matemática Aplicada (130) Exemplo 1 Seja f (, x = + x + y 4 a) Determie a direcção segudo a qual f (, xy ) cresce mais rapidamete o poto (1, ) e determie a taxa máxima de crescimeto de f em P b) Iterprete a alíea aterior usado para tal o gráfico de f Resolução A direcção segudo a qual f cresce mais rapidamete é a direcção do gradiete de f Temos etão: 1 f ( xy, ) = fu( xy, ) i + fy( xy, ) j fxy (, ) = xi + yj em P(1, ) f(1, ) = i + 1j Logo, a direcção segudo a qual f cresce mais rapidamete é a do vector i + de crescimeto de f em f (1, ) é dada por f (1, ) = + 1 = 5 j A taxa máxima =? Atededo a que f (1, ) = i + j, tem-se: ormalizado o vector gradiete f (1, ) 1 v = v = i + j cosseos directores f (1, ) si θ ta θ = = ta θ = θ = arcta( ) θ 6, 5 cos θ 5 1 v =<, > 5 5 Graficamete Parabolóide elíptico O poto da superfície S correspode a P(1,) é Q(1,,4) Quado um poto o plao XY se move passado por P a direcção de f (1, ), o poto correspodete do gráfico descreve uma curva C de máximo declive o paraboloide 10

21 1 Cálculo Diferecial em Exercícios 8 A desidade em qualquer poto ( xy, ) de uma chapa rectagular o plao XY é dada por ρ = 1/ x + y + 3 ' a) Determie a taxa de variação da desidade o poto (3,) a direcção do vector uitário cos πi + si πj 3 3 b) Ecotre a direcção e magitude da taxa de variação máxima de ρ em (3,) xy 9 A temperatura em qualquer poto ( xy, ) é dada port = e cos y π a) Calcule a taxa de variação do potecial o poto de coordeada (0, ) e a direcção do 4 vectoru = 3i + j b) Determie a direcção em que a taxa de variação é máxima o poto P(0, π ) Calcule o 4 valor máximo dessa taxa de variação Resolução: 9 π a) Taxa variação T u (0, ) =? 4 1º Passo: u é uitário? u u = ( 3) + 1 = 1 ormalização do vector v = = i + j =<, > u º Passo: i Tv (, x = T(, x v Txy (, ) = Tx(, x i + Ty(, x j ii T(0, π ) = 0i j xy xy xy = ( ye cos i + ( xe cosy e si j 4 iii T V π 3 1 (0, ) = (0 i j ) ( i + j ) = 1 4 b) Atededo ao teorema do gradiete ( Tv (, x é máxima a direcção do vector gradiete T(0, π ) ) 4 π Como: T(0, ) = 0i j 4 si α si α 1 ta α = α = arcta α = arcta( ) α = 3 cos cos 0 π α α Valor máximo = T(0, π ) = 0 + ( ) = 4 11

22 Matemática Aplicada Sedo f uma fução de duas variáveis x e y, a derivada direccioal ( D f ) f (, x de f segudo a direcção do vector u é também uma fução de x e y Podemos etão calcular a sua derivada direccioal D( D f), segudo a direcção deu A D( D f( x, ) chamamos seguda u u derivada direccioal de f segudo a direcção de u e escrevemos: u D f(, x = D( D f(, x ) (19) u u u Atededo a D f(, x = f(, x u, e supodo que f admite derivadas parciais mistas cotiuas, tem-se u f f f (, ) = (, ) 1 + (, ) 1 + (, ) u Dfxy xyu xyuu xyu (110) x x y y u u u Exemplo u Determie D f, sedo u ˆ = (, ) e f (, x = xy, Atededo a que: f f f f = 0, = 0 e = = 1 x y x y y x vem D f(, x y ) = = 1 u Geeralizado m m 1 = u u u m m m m k k = u 1 k = 0 D f(, x D ( D f(, x ) (, ) m f D f x y u u m k k (, x y k x y ) (111) f f u1 (, x + u (, x x y ( m) (131) Teorema Seja f uma fução difereciável de três variáveis e u = u ˆ ˆ 1i + uj + u3ˆ k um vector uitário Etão: fu( xyz,, ) = fxyz (,, ) u= fx( xyzu,, ) 1 + fy( xyzu,, ) + fz( xyzu,, ) 3 De todas as derivadas direccioais possíveis fu (,, xyz ) o poto Pxyz (,, ), a derivada a direcção do gradiete é a que tem maior valor, esse valor máximo é f (,, xyz) 1

23 1 Cálculo Diferecial em Exercícios 30 Seja h um campo escalar defiido por: h( x, = si( x O potecial eléctrico em qualquer poto ( xy, ) o plao XY, é dada por V = h( x, a) Determie, a taxa de variação do potecial o π poto (, π ), a direcção do vector que faz 4 um âgulo de 90º com a direcção positiva do eixo dos XX Iterprete o resultado obtido b) Resolva apeas uma das alíeas seguites i) Determie, a direcção e magitude da taxa de variação máxima do potecial em (, ) ii) Utilizado difereciais, obteha uma aproximação da difereça de potecial etre os potos ( π, π ) e ( π π π, + ) c) Resolva apeas uma das alíeas seguites [ ( )] i) Mostre, se z = arcsi h ( x 1 ),( y 1) x = 1+ cosθ y = 1+ siθ, etão π π 4 verifica-se a seguite idetidade: 1 dz si( θ) dθ = ii) Mostre, que o gráfico/superfície de z = 1 + h( x, é limitado pelos plaos z = 0 e z = 31 Seja f um campo escalar defiido por g( x, = cos( x + y ) O potecial eléctrico em qualquer poto (x, é dada por V = g( x, a) A taxa de variação máxima do potecial o poto P ( 0, π ) ocorre a direcção do π vector u = j? Justifique b) Utilizado difereciais, obteha uma aproximação da difereça de potecial etre os potos( 0, π ) e ( 0, π ) c) Resolva apeas duas das alíeas seguites i) Mostre, se z = arcos[ g( ( x 1 ),( y + 1) )], x = 1+ cosθ ey = 1+ siθ, etão verificase a seguite idetidade: si θ + z + dz = si θ x x y dθ ii) Mostre, que o gráfico/superfície de z = 1 + g( x, é limitado pelos plaos z = 0 e z = iii) Determie o plao tagete à superfície z = g( x, o poto P ( 0, 0,1), sabedo que uma equação do plao tagete à superfície o poto P( x, y, z ) é dada por z z = g ( x, y )( x x ) + g ( x, y )( y y ) 0 x y

24 Matemática Aplicada 18 Extremos de Fuções de Várias Variáveis (131) Defiição Seja f uma fução real de duas variáveis x e y ( f : D ) Dizemos que f tem em ( x0, y 0) um míimo local (máximo local) se existe uma bola aberta B cetrada em( x 0, y 0 ): (, x B D, fxy (, ) fx (, m (11) 0 0 (, x B D, fxy (, ) fx (, M (113) 0 0 Cosiderações Se a desigualdade (11), (respectivamete (113)) se verifica para todo o par ( xy, ) D etão f tem em ( x0, y 0) um míimo absoluto (respectivamete máximo absoluto) Ao máximo e ao míimo dá-se o ome geérico de extremos de f (, xy ) e aos potos Px ( 0, y 0) ode eles são atigidos chama-se extremates Geometricamete, se uma superfície S é o gráfico de f, etão os máximos locais correspodem aos potos mais altos de S, e os míimos locais aos mais baixos (13) Teorema Se f (, xy ) admite derivadas parciais de 1ª ordem em ( x0, y 0) e tem extremo esse poto, etão f ( x, y ) = f ( x, y ) = 0 (114) x 0 0 y 0 0 Demostração A equação (114) desiga-se codição de estacioaridade É um codição ecessária mas ão suficiete Seja ( x0, y0) it( D) um poto ode f tem um extremo local Cosideremos as fuções g e h, reais de uma variável real, defiidas por: gx () = fxy (, ) e hy () = fx (,) y 0 0 As fuções g e h têm, respectivamete em x 0 e y 0, um extremo local, cosequetemete, g ( x ) = h ( y ) = 0 (*) 0 0 Atededo a que g () x = fx(, x y0) e h () y = fy( x0,) y, (*) é equivalete a f ( x, y ) = f ( x, y ) = 0 x 0 0 y 0 0 (133) Defiição Um poto ( x0, y 0) para o qual fx( x0, y0) = 0 e fy( x0, y0) = 0 é desigado poto crítico 14

25 1 Cálculo Diferecial em Exemplo Dada a fução f (, x = 9 x y, verifique se f tem algum extremo relativo 1º Passo: Determiação de potos críticos i fx( xy, ) = x fy( xy, ) = y fx (, x = 0 x= 0 x = 0 ii fy (, x = 0 y = 0 y = 0 iii Poto crítico ( x0, y 0) = (0,0) º Passo: i Pela figura (, x D: fxy (, ) < f(0,0) ii f (0, 0) = 9 é um máximo absoluto (134) Defiição P Seja f uma fução de classe C, p Á matriz f f ( x 0, y0) ( x0, y0) x x y Hx ( 0, y0) = (115) f f ( x0, y0) ( x 0, y0) y x y chamamos Matriz Hessiaa da fução f em ( x0, y 0) e ao seu determiate, ( x0, y0) = H( x0, y0), damos o ome de Hessiao de f em( x 0, y 0 ) O Teorema seguite mostra a relação existete etre o Hessiao de f um poto crítico e a atureza desse poto crítico (134) Teorema Teste de Extremos Seja f uma fução real de duas variáveis, com derivadas parciais de ª ordem cotíuas uma bola aberta B(( x0, y0), δ) cetrada em ( x0, y0) D - poto crítico de f Seja f ( x, y ) f ( x, y ) = ( x, y ) = = f ( x, y ) f ( x, y ) ( f ( x, y )) xx 0 0 xy xx 0 0 yy 0 0 xy 0 0 fxy ( x0, y0) fyy( x0, y0) i Se > 0 e fxx ( x0, y 0) > 0 etão f ( x0, y 0) é um míimo local; ii Se > 0 e fxx ( x0, y 0) < 0 etão f ( x0, y 0) é um máximo local; iii Se < 0 etão f ( x0, y 0) é um poto sela; iv Se = 0 o teste é icoclusivo 15

26 Matemática Aplicada Demostração Uma vez em que estamos as codições do teorema de Schwarz, tem-se f xy = xx 1 + u xy 1 + yy D f f u f u u f u = f, pelo que, Sedo u um vector uitário de compoetesu 1 e u, podemos rescrever a equação aterior a forma: f D f f u u f f f xy u u = xx ( 1 + ) ( xx yy xy ) f + xx f (*) xx Supohamos que fxx ( x0, y0) > 0 e ( x0, y0) > 0 A cotiuidade das fuções xx e xx yy xy f = f f f garate a existêcia de B( ( x,, δ ) : f (, y > 0 e (, x > 0 (, x B 0 0 xx Atededo a (*), (, x B: Dfxy (, ) > 0 u (**) yx Iterpretação geométrica de (**) Desigemos por C a curva obtida pela itersecção do grafo de f com o plao (vertical) de vectores directoresu 1 e u, que passa por P ( x, y, f( x, y )) A desigualdade (**) permite-os cocluir que a curva C tem cocavidade voltada para cima ( ) uma vizihaça de P 0 Este resultado é válido qualquer que seja o vector u que se cosidere Podemos pois cocluir que o grafo de f uma vizihaça de P 0 se situa acima do plao horizotal, tagete ao grafo de f em P 0 Isto é, f ( x0, y0) é um míimo local A prova feita para i) pode ser adaptada para os outros casos Exemplos 3 a) Determie os extremos da fução f ( xy, ) = x + 3xy 15x 1y 1º Passo: Determiação dos potos críticos f = 3x + 3y 15 = 0 x + y 5 = 0 4 x + y 5 = 0 y f 6xy 1 0 x = = = y y 4 y 5y = ( y ) 5y + 4 = 0 fazedo u = y u 5u + 4 = 0 5 ± 5 16 u = u = 4 u = 1 dode y = 4 y =± y = 1 y =± 1 os potos críticos são: P0 (1,); P1( 1, ); P(,1) e P3(, 1) 16

27 1 Cálculo Diferecial em º Passo: Determiação do valor das derivadas de ª ordem os potos ateriores P 0 (1, ) P 1 ( 1, ) (,1) P 3 P (, 1) f = 6 x x f x y = 6y f = y 6 x º Passo: Determiação Hessiao + Teste extremos i ii iii iv 6 1 ( P0) = = 36 1 < 0 P0ão é extremo ( P ) = 1 6 = 36 ( 1) < 0 1 P1 ão é extremo 1 6 ( P) = = 1 36 > 0 fxx ( P) > 0 P 6 1 é um míimo 1 6 ( P3) = = ( 1) 36 > 0 fxx ( P3) < 0 P 6 1 3é um máximo b) Determie 3 úmeros reais positivos cuja soma seja 10 e cujo produto seja máximo 1º Passo: Sejam x, y e z os três úmeros reais positivos a determiar e, P = xyz com x + y + z = 10 z = 10 x y Assim, pretedemos determiar Q = (, x tal que Pxy (, ) = xy(10 x teha em Q o seu valor máximo º Passo: Determiação dos potos críticos P = 10y xy y = 0 x (, x = (, ) positivos P 3 3 = 10x xy x = 0 y 3º Passo: Hessiao + Teste de Extremos (, ) = = > 0 Pxx (, ) < 0 P(, ) é um máximo, dode (,, xyz ) = (,, )

28 Matemática Aplicada c) Determiar as dimesões relativas de uma caixa rectagular, sem tampa, tedo um volume especifico, usado a meor quatidade de material a sua cofecção 1º Passo: Seja : x º de uidades o comprimeto da base da caixa y º de uidades a largura da base da caixa z º de uidades a altura da caixa (1) S = xy + xy + yz área da superfície ()V = xyz º de uidades cúbicas do volume da caixa (V é costate) De () vem: z = V xy (3) Substituido (3) em (1), vem: S v v = xy + + y x (4) fução a miimizar º Passo: Determiação de potos críticos s V = = x x = = s V 3 x 0 xy V = 0 y = V = = y y y 0 3 xy V 0 x V 3º Passo: Determiação do sial do Hessiao + Teste de Extremos 4v ( v) = = 3 > 0 Sxx = > 0 S tem um míimo absoluto 4v ( v) m = (,, x y z) = ( V, V, V ) Coclusão: A caixa tem uma base quadrada e a altura á metade do comprimeto de um lado da base 18

29 1 Cálculo Diferecial em 181 Extremos Ligados ou Codicioados Por vezes, surge aida outro problema relativo á determiação dos extremos de uma fução em que as variáveis idepedetes estão sujeitas a certas codições dadas É o deomiado problema da determiação de extremos codicioados ou extremos ligados Por exemplo, para determiar os potos do plao: x + y + z = 4, mais próximos do poto P (1,1,1), ter-se-á de obter os míimos da fução (1) f (,, xyz) = ( x 1) + ( y 1) + ( z 1) w = ( x 1) + ( y 1) + ( z 1) (w será míimo quado w for um míimo) sujeito à codição: () x + y + z 4= 0 g(,, x y z) = 0 com g(,, x y z) = x + y + z 4também dita equação de ligação Um processo cosistirá em resolver esta última equação () relativamete a z e etão determiar os míimos de fuçãohxy (, ) = ( x 1) + ( y 1) + (4 x y 1) Cotudo, por vezes, ão é fácil ou ão é possível resolver as equações que codicioam o problema Um método usado que evita tal resolução, é o deomiado Método dos multiplicadores de Lagrage Qualquer poto ode f (fuções de variáveis, ex: = 3) tem extremo sujeito á restrição gxyz (,, ) = 0, é um poto crítico da fução auxiliar Fxyz (,,, λ) = fxyz (,, ) + λgxyz (,, ) para algum valor de λ (multiplicador de Lagrage) Os valores de x, y e z que serão os extremos de f, estão etre os potos críticos de F: Fx (,,, x y z λ) = 0 Fy (,,, x y z λ) = 0 Fz (,,, x y z λ) = 0 Fλ (,,, x y z λ) = 0 19

30 Matemática Aplicada (135) TEOREMA: Teorema de Lagrage 1 Sejam, f e g C Se f (, xy ) tem um extremo o poto ( x0, y 0) sujeito á restrição gxy (, ) = k e gx ( 0, y0) 0, etão λ : f ( x0, y0) = λ g( x0, y0) ESTRATÉGIA: 1º Passo: fx λgx f λ g = = fy = λgy gxy (, ) = k gxy (, ) = k º Passo: Calcular o valor de f os potos obtidos o 1º Passo O maior valor será o máximo e, o meor será um míimo Exemplo Determiar os potos da circuferêcia x + y = 81, que estão mais próximos e mais afastados do poto de coordeadas ( 1,) P P Resolução 1º Passo Atededo a que a distâcia de P( 1,) a um poto ( xy, ) da circuferêcia é d = ( x + 1) + ( y ) Como a distâcia d será míima ou máxima quado a fução f para a qual d for um míimo ou um máximo, geramos f (, x = ( x+ 1) + ( y ) (1) pretedemos ecotrar um valor míimo e máximo de f sujeitos á restrição x + y = 81 x + y 81 = 0 g( x, = 0 com gxy (, ) = x + y = 81 () P 1 º Passo Na hipótese de existir um valor míimo e máximo, ele ocorrerá um poto crítico de F: F = f + λg F(,, x y λ) = ( x + 1) + ( y ) + λ( x + y 81) (3) 130

31 1 Cálculo Diferecial em Os potos críticos de F satisfazem as equações Fx (,, x y λ) = 0 ( x + 1) + λx = 0 x + 1+ λx = 0 x + λx = 1 Fy (,, x y λ) = 0 ( y ) + λy = 0 y + λy = 0 y + λx = F (,, x y ) 0 λ λ = x + y 81 = 0 1 x(1 + λ) = 1 x = 1 λ + y(1 λ) y 1 λ λ 1 + = = + 1 ( ) ( ) + 81 = 0 1+ λ 1+ λ (1 λ) (1 + λ) = 0 + = = 0 (1 λ) (1 λ) + + (1 + λ) 1 1 x = x = x = x = (1 ) 5 y = y = y = y = λ 1 λ = + = ± Os potos críticos são: P0 (, ); P1 (, ) Como f ( P 0) = e f ( P 1) = coclui-se que P 0 é o poto da circuferêcia mais próximo de P e P 1 o mais afastado Exercícios a) Determie dois úmeros reais positivos cuja soma seja igual a 10 e cujo produto seja máximo b) Um disco circular tem a forma da região limitada pela circuferêcia x + y = 1 Se T graus é a temperatura em qualquer poto (x, do disco etxy (, ) = x + y y, ecotre o poto mais quete e mais frio do disco x c) Determie o rectâgulo de área máxima que pode iscrever-se a elipse 3 4 y + = 1 131

32 Matemática Aplicada 19 Exercícios de Exame 1 Cosidere as fuções reais f(x, e g(x, defiidas em D IR, dadas pelas expressões seguites: f( x, e se x + y 4 f (, x = l(4 x gxy (, ) = 3 se x + y > 4 a) Determie o domíio D de f(x, e represete-o geometricamete b) Determie o it(d), ext(d) e fr(d) Diga, justificado, se D é aberto c) Trace um esboço do gráfico de z = g(x, d) Mostre que ão existe o lim gxy (, ) (, ) (0,) xy e) Estude g(x, quato à cotiuidade os domíios de restrição idicados RESOLVA APENAS UMA DAS ALÍNEAS SEGUINTES: f) Determie, a icliação da recta tagete á curva de itersecção da superfície z = e com o plao x = 1, o poto P = (1,1, ) g) Determie os potos os quais g(x, tem extremos locais f ( xy, ) Seja f : D IR IR, defiida por f (, x = 5( x+ Uma placa de metal aquecida está situada o plao XY A temperatura T em qualquer poto (x, da placa é dada por: Txy (, ) = fxy (, ) a) Determie a taxa de variação da temperatura o poto P(,), a direcção: i) do eixo dos XX; ii) do eixo dos YY; iii) do vector que faz um âgulo de π 6 com a direcção positiva do eixo dos XX b) Determie, a direcção em que a variação da temperatura, é máxima o poto P(,) Calcule o valor máximo dessa taxa de variação c) Utilizado difereciais, obteha uma aproximação da difereça de temperatura etre os potos (,) e (3, 1) Resolva apeas uma das alíeas seguites: d) Mostre que f ão é harmóica, isto é, ão satisfaz a equação de Laplace: x y z 1 z e) Se z = f(, x, x = ρcos θ ey = ρsi θ, mostre que: + = 0 cos θ ρ ρ θ f f + = 0 3 Cosidere a fução real f (, xy ) defiida em D IR, dada pela expressão seguite f (, x = l( x a) Determie o domíio de f e represete-o geometricamete 1 z z (, ) b) Mostre que se z = f(, x, etão verifica-se a seguite idetidade: 0 e f x y + = x x y c) A temperatura T em (x, é dada por T = f(, x Determie a taxa de variação de T em (-1, -1) segudo a direcção π 13

33 1 Cálculo Diferecial em 4 Cosidere a fução real f (, xy ) defiida em D IR, dada pela expressão seguite f (, x = x y a) Determie o domíio de f e represete-o geometricamete b) Mostre que se z = f(, x, etão verifica-se a seguite idetidade: c) A temperatura T em (x, é dada por T = f(, x Determie a taxa de variação de T em (, 0) segudo a direcção π 4 z z z = 0 x x y 5 Cosidere as fuções reais f(x, e g(x, defiidas em D IR, dadas pelas expressões seguites: f( x, e se x + y < 9 f (, x = l(9 x gxy (, ) = 0 se 9 x + y 16 a) Determie o domíio D de f(x, e represete-o geometricamete b) Trace um esboço do gráfico de z = g(x,, mostrado as curvas de ível de 0, 5 e 9 c) Comete, justificado, a seguite afirmação: Como o lim gxy (, ) existe, etão gxy (, ) é cotíua em (3, 0) (, ) (3,0) xy d) Determie, a equação da recta tagete, á curva de itersecção da superfície z = g(, x com o plaoy =, o poto P = (,,1) e) Determie, o poto da superfície z = g(x, mais próximo do poto de coordeadas (0, 0, 4) f) O potecial eléctrico em qualquer poto do plao XY á dado for V = f(, x Determie, a taxa de variação do potecial o poto P = (, ), a direcção do vector u cuja icliação é de 45º 6 Cosidere as fuções reais f(x, e g(x, defiidas em D IR, dadas pelas expressões seguites: x + y se 1 x + y 16 f (, x = arcsi( x + gxy (, ) = 0 se x + y < 1 a) Determie o domíio D de f(x, e, represete-o geometricamete b) Determie o it(d), ext(d) e fr(d) do domíio de f Diga, justificado, se D é fechado c) Trace um esboço do gráfico de z = g(x,, mostrado as curvas de ível de g em 1,, 3 e 4 d) Mostre que ão existe o lim gxy (, ) ( xy, ) (1,0) e) Estude g(x, quato à cotiuidade os domíios de restrição idicados Resolva apeas uma das alíeas seguites: f) Determie, a equação da recta tagete á curva de itersecção da superfície z = 4 si( f( x, ) com o plao x = 1, o poto P = (1,1, ) Trace um esboço da recta obtida 133

34 Matemática Aplicada g) A temperatura em qualquer poto (x, de um disco circular, limitado pela circuferêcia x + y = 1, é dada por T = si( f( x, ) + x y Determie o poto mais quete e o poto mais frio do disco h) Defia aaliticamete o sólido represetado pela figura O volume do sólido limitado por g(x, é igual ao volume do sólido da figura? Justifique a sua resposta 7 Seja f : D IR IR, defiida por f (, x = x + y A desidade ρ em qualquer poto (x, de uma chapa rectagular o plao XY, é dada por ρ = f (, x a) Determie a taxa de variação da desidade o poto P(1, 1), a direcção: i) do eixo dos XX; ii) do eixo dos YY; iii) do vector que faz um âgulo de 10º com a direcção positiva do eixo dos XX b) Determie, a direcção e magitude da taxa de variação máxima da desidade em (1,1) c) Utilizado difereciais, obteha uma aproximação da difereça de desidade etre os potos (1, 1) e (13, 1) d) Mostre que f ão é harmóica, isto é, ão satisfaz a equação de Laplace: x y z z 1 z z e) Se z = l( f( x, ), x = r cos θ ey = r siθ, mostre que: ( ) + ( ) = + x y r r θ r f f + = 0 8 Cosidere a fução real f (, xy ) defiida em D IR, dada pela expressão seguite f (, x = arccos( x a) Determie o domíio de f e represete-o geometricamete b) Qual das figuras/esboços represeta o gráfico da superfície z = f(, x? Justifique Figura 1 Figura 134

35 1 Cálculo Diferecial em c) Mostre que se z = f(, x x 0, etão verifica-se a seguite idetidade: 1 z z + = 0 x x y d) A temperatura T em (x, é dada port = cos( f( x, ) i) Calcule a taxa de variação de T em (1/, 1) segudo a direcção π /4 ii) Determie, a direcção e magitude da taxa de variação máxima da temperatura em (1/, 1) 9 Cosidere as fuções reais f (, xy ), gxy (, ) e hxy (, ) defiidas em D IR, dadas pelas expressões seguite f (, x = 3+ x + y x gxy (, ) = + y 4 a) Determie o domíio de hxy (, ) e, represete-o geometricamete b) Qual das figuras represeta o gráfico da superfície z = h(, x? Justifique 1 cos( gxy (, )) hxy (, ) = fxy (, ) Figura 1 Figura c) Os gráficos de z = f(, x e z = g(, x itersectam-se? Justifique d) A temperatura T em (x, é dada por T = f(, x ) i) Calcule a taxa de variação de T em (1, 1) segudo a direcção π 4 ii) Determie, a direcção e magitude da taxa de variação máxima da temperatura em (1, 1) e) Resolva apeas uma das alíeas seguites i) Mostre, se z = g(, x x = cosθ y= siθ, etão verifica-se a seguite z z dz idetidade: + + = 1 x y dθ ii) Mostre, que a equação da recta tagete á curva de itersecção da superfície z = g(, x com o plaoy =, o poto P = (,, ), é dada por z = x y = 135

36 Matemática Aplicada 10 Cosidere as fuções reais f (, xy ), gxy (, ) e hxy (, ) defiidas em D IR, dadas pelas expressões seguite: f (, x = x + y gxy (, ) = f (, x gxy (, ) se x + y 4 hxy (, ) = se x + y > 4 a) Determie o domíio das fuções e represete-o geometricamete b) Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) O domíio das fuções dadas é aberto, fechado e ilimitado ii) A curva de ível C = (, x R : x + y = 1 é comum às três fuções { } iii) Os gráficos/superfícies das três fuções ão se itersectam iv) As fuções f (, x e gxy (, ) têm (0,0,0) como míimo absoluto, equato que hxy (, ) tem um máximo absoluto em (0,0,) c) Recorredo à figura, assiale a superfície correspodete ao gráfico de cada fução Justifique a sua escolha d) Resolva apeas uma das alíeas seguites i) Mostre que lim hxy (, ) lim gxy (, ) lim fxy (, ) ( xy, ) (0,) ( xy, ) (0,) ( xy, ) (0,) ii) Estude as fuções quato à cotiuidade 11 Seja f um campo escalar defiido por: f (, x = x + y b) Resolva apeas uma das alíeas seguites i) Mostre, se z = f( x 1, y + 1) x = 1+ cos θ y = 1+ siθ, etão verifica-se a z z dz seguite idetidade: ( ) + + = 1 x y dθ ii) Mostre, que a equação da recta tagete á curva de itersecção da superfície de equação z = f( x 1, y + 1) com o plaoy = 0, o poto P = (1, 0,1), é dada por z = 1 y = 0 136

37 1 Cálculo Diferecial em 1 Cosidere as fuções reais f ( xy, ) e g( x, defiidas em D IR, dadas pelas expressões seguites 3 se 4 x + y 9 x < 0 f ( xy, ) = x+ 3 g( x, = f ( x, se 4 x + y 9 x 0 a) Determie o domíio(s) de g e represete-o(s) geometricamete b) Trace um esboço do gráfico z = g( x, c) Resolva apeas duas das alíeas seguites i) Determie, a equação da recta tagete, á curva de itersecção da superfície z = g( x, com o plao x =, o poto P (, 0,1) ii) O potecial eléctrico em qualquer poto do plao XY á dado for V = y f(, x Determie a taxa de variação do potecial o poto P (0, 0), a direcção do vector u = 1, 1 iii) Qual dos algoritmos traduz correctamete a defiição da fução g( x, y )? Justifique Algoritmo 1 Algoritmo g( x, y ) : = g( x, y ) : = Se 4 x + y 9 e x < 0 Se 4 x + y 9 e x < 0 Etão z 3 Etão z 3 Seão z x + 3 Seão Se 4 x + y 9 e x 0 Etão z x + 3 Algoritmo 3 g( x, y ): = Se 4 x + y 9 e x < 0 e y > 0 Etão z 3 Seão Se 4 x + y 9 e y 0 Etão z x

38 Matemática Aplicada 13 Cosidere as fuções reais de duas variáveis reais f, g, e h dadas por: f (, x = x + y g( x, y ): = h( x, y ): = Se x + y 16 Se x + y 16 Etão z = f ( x, Etão z = 3 f ( x, a) Determie o domíio das fuções, represete-os geometricamete e verifique se são abertos ou fechados b) Estabeleça a expressão aalítica das fuções gxy (, ) e hxy (, ) Mostre, que C = {( x, : x + y = 16} é uma curva de ível comum às duas fuções c) Idetifique as superfícies associadas às três fuções e trace um esboço das mesmas d) Resolva apeas três das alíeas seguites Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) Por defiição, a derivada parcial de h em ordem a x, o poto (, ), é igual a h h( x,) h(,) 6 (, ) = lim = x x 0 x 6 ii) A equação z 6 = 6 6 ( x ) y = coicide com a recta tagete à curva de itersecção da superfície z = h( x, com o plao y = o poto P (,, 6) iii) O lim g( x, = lim h( x, ( ) ( ) xy, 0,0 ( xy, ) ( 0,0) iv) As fuções f e g têm um máximo absoluto em( 0, 0 ), equato que a fução h ão tem extremos 4 g( x, v) A fução j( x, = 0 se x + y > 16 é cotíua em todos os potos do cordão de soldadura ( xy, ) : x + y = 16 { } e) Para o Natal de 00, o Laboratório de Estágio Oficial do DEM irá maquiar-se uma peça/molde, para uma empresa de paificação, com a forma da figura, isto é, o sólido é limitado superiormete por uma superfície esférica de raio 3 e iferiormete por uma superfície cóica de raio r = 4 e alturah = 4 i) Mostre, que um sistema de coordeadas esféricas, coordeadas paramétricas em 3D, as equações r = 3 e ϕ = π 4 são as equações das superfícies que limitam o sólido ii) Aaliticamete, usado coordeadas cartesiaas, o sólido 3 poderá ser defiido por S = {( x, y, z) : x + y 16 g( x, z h( x, }? Justifique 138

39 1 Cálculo Diferecial em 14 Seja f um campo escalar defiido por g( x, = cos( x + y ) O potecial eléctrico em qualquer poto (x, é dada por V = g( x, a) A taxa de variação máxima do potecial o poto ( 0, ) P π ocorre a direcção do π vector u = j? Justifique b) Utilizado difereciais, obteha uma aproximação da difereça de potecial etre os potos( 0, π ) e( 0, π ) c) Resolva apeas duas das alíeas seguites i) Mostre, se z = arcos[ g( ( x 1 ),( y + 1) )], x = 1+ cosθ ey = 1+ siθ, etão verificase a seguite idetidade: z si θ + z + dz = si θ x x y dθ ii) Mostre, que o gráfico/superfície de z = 1 + g( x, é limitado pelos plaos z = 0 e z = iii) Determie o plao tagete à superfície z = g( x, o poto P ( 0, 0,1), sabedo que uma equação do plao tagete à superfície o poto P( x0, y0, z 0) é dada por z z = g ( x, y )( x x ) + g ( x, y )( y y ) 0 x y Cosidere as fuções reais f, g e h defiidas por: f ( xy, ) = x + y se x + y 16 g( x, := etao z = f ( x, y ) gxy (, ) h( x, = 3 f ( x,, se 16 < x + y 3 139

40 Matemática Aplicada Figura 1 Figura Figura 3 (a) Determie o domíio das fuções e represete-o geometricamete O domíio de h é aberto? Justifique (b) Estabeleça a expressão aalítica da fução gxy (, ) Mostre, que C = {( x, : x + y = 16} é uma curva de ível comum às três fuções (c) Idetifique as superfícies associadas às três fuções e trace um esboço das mesmas (d) Resolva apeas duas das alíeas seguites Qual o valor lógico das seguites afirmações? Justifique a sua resposta i) Das figuras apresetadas, apeas a figura represeta o gráfico de uma fução real de duas variáveis ii) O vector 5 y 7 defie parametricamete a recta tagete à curva, de itersecção da superfície z = h( x, com o plao x = 5, o poto P (5, 0, 7) iii) As fuções f e g têm um máximo absoluto em( 0, 0 ), equato que a fução h ão tem extremos iv) Se a temperatura em qualquer poto do plao XOY for dada por T = g( x,, etão a taxa de variação da temperatura o poto P ( 1, 1 ), a direcção do vector w = i + j é positiva 140