Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema III Sucessões Reais. Tarefa nº 7
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- Amélia Carvalho Soares
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1 Escola Secudária com º ciclo D. Diis 11º Ao de Matemática A Tema III Sucessões Reais Tarefa º 7 Sucessões Covergetes Arquimedes e valores aproximados de π Arquimedes, matemático da atiguidade grega, que viveu etre 87 e 1 a. C., dedicou uma parte da sua obra ao estudo de curvas. Já a altura se sabia que o comprimeto de uma circuferêcia é directamete proporcioal ao seu diâmetro e que a costate de proporcioalidade é um úmero pouco maior que. Para determiar valores aproximados desse úmero, ( π) Arquimedes cosiderou sucessões de polígoos iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro 1. À medida que o úmero de lados dos polígoos ia aumetado, o perímetro dos polígoos ia-se aproximado cada vez mais do perímetro da circuferêcia, us por defeito e outros por excesso. Quer dizer, era possível obter valores tão aproximados de π quato se quisesse, bastava tomar polígoos com um úmero de lados suficietemete grade. Para fazer os cálculos, Arquimedes recorreu a processos trabalhosos, que icluíam raízes quadradas, médias harmóicas 1 e médias geométricas. Chegou assim ao cálculo dos perímetros dos polígoos iscrito e circuscrito com 96 lados. Hoje em dia, com os cohecimetos de trigoometria de que dispomos e com o recurso às calculadoras ou aos computadores, podemos calcular facilmete perímetros com um úmero de lados tão grade quato quisermos. 1. Se p e P represetarem os termos gerais das sucessões dos perímetros dos polígoos de lados, respectivamete, iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro 1, mostre que para > : 1 Média harmóica é o iverso da média aritmética dos iversos. Media geométrica etre valores, é a raiz de ídice do produto desses valores. Professora: Rosa Caelas 1
2 180º a) p = se 180º b) P = tg. Calcule os termos das duas sucessões para =, 6, 9, 0, 60, 90, 00, 600, 900 e compare-os com o valor de π. Haverá algum termo da sucessão ( p ) que seja um valor aproximado de π com 6 casas decimais exactas? Quatos termos da sucessão há estas codições? Sucessão covergete é uma sucessão que tede para um úmero real. Um ifiitésimo é um caso particular de sucessão covergete. Uma sucessão que ão é covergete diz-se divergete. Limite de uma sucessão é o úmero real para o qual a sucessão coverge. 4. Use a calculadora para estudar as sucessões ( p π) e ( ) Uma sucessão ( u ) coverge para um úmero real α se ( α) P π quato à covergêcia. u é um ifiitésimo. Isto sigifica que, dado um úmero δ positivo, tão pequeo quato se queira, existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão ( u ) são valores aproximados de α a meos de δ, isto é: u α < δ ou u ] α δ, α + δ[ ou u V δ( α) Adaptado de: Sucessões Matemática 11º Edições Cotrapoto Professora: Rosa Caelas
3 Escola Secudária com º ciclo D. Diis 11º Ao de Matemática A Tema III Sucessões Reais Tarefa º 7 Proposta de resolução Sucessões Covergetes Arquimedes e valores aproximados de π Para determiar valores aproximados do úmero, π, Arquimedes cosiderou sucessões de polígoos iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro 1. À medida que o úmero de lados dos polígoos ia aumetado, o perímetro dos polígoos ia-se aproximado cada vez mais do perímetro da circuferêcia, us por defeito e outros por excesso. Quer dizer, era possível obter valores tão aproximados de π quato se quisesse, bastava tomar polígoos com um úmero de lados suficietemete grade. Para fazer os cálculos, Arquimedes recorreu a processos trabalhosos, que icluíam raízes quadradas, médias harmóicas e médias geométricas. Chegou assim ao cálculo dos perímetros dos polígoos iscrito e circuscrito com 96 lados. Hoje em dia, com os cohecimetos de trigoometria de que dispomos e com o recurso às calculadoras ou aos computadores, podemos calcular facilmete perímetros com um úmero de lados tão grade quato quisermos. 1. Se p e P represetarem os termos gerais das sucessões dos perímetros dos polígoos de lados, respectivamete, iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro 1, mostre que para > : a. Da figura ao lado, ode x represeta o lado do triâgulo iscrito, resulta que x 180º 180º se = se = x e 1 p 180º = se. Geeralizado, para um polígoo de 60/ x/ 180/ 1/ Professora: Rosa Caelas
4 180º lados, fica p = se b. Da figura ao lado, ode a represeta o lado do triâgulo circuscrito, resulta que a 180º 180º tg tg a = = 1 e 180º P = tg. Geeralizado, para um polígoo de lados, 180º fica P = tg a/ 180/ 1/ 60/. Calculemos os termos das duas sucessões com ordem, 6, 9, 0, 60, 90, 00, 600, 900 e compare-los com o valor de π. Vamos utilizar a calculadora: Cocluímos que à medida que aumeta os termos aproximam-se do valor de π. Este resultado era previsível pois o perímetro dos polígoos tede para o perímetro da 1 circuferêcia que é P = π P = π.. Haverá algum termo da sucessão ( p ) que seja um valor aproximado de π com 6 casas decimais exactas? Quatos termos da sucessão há estas codições? Vamos utilizar a calculadora para respoder a esta questão: Há termos da sucessão que são valores aproximados de π com 6 casas decimais exactas. Há 7007 ou 7008 termos estas codições, pois ão temos a certeza de ser o termo de Professora: Rosa Caelas 4
5 ordem 980 já tem 7 casas decimais exactas pois a calculadora fez arredodameto. De qualquer modo basta-os saber a ordem de um termo que seja valor aproximado de π com 6 casas decimais exactas para sabermos que os termos seguites são valores aproximados de π com pelo meos 6 casas decimais. 4. Usemos a calculadora para estudar as sucessões ( p π) e ( π) covergêcia. P quato à Verificamos que à medida que a ordem aumeta os termos das duas sucessões se aproximam de zero, uma por valores egativos e a outra por valores positivos. Professora: Rosa Caelas 5
de n lados, respectivamente, inscritos e circunscritos a uma circunferência de diâmetro 1, mostre que para n>
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