Cap. 12 Testes Qui- Quadrados e Testes Não-Paramétricos. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc.

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1 Cap. 1 Testes Qui- Quadrados e Testes Não-Paramétricos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-1

2 Final de curso... tempo de recordar : ) Cap. 9 Fundamentos de testes de hipóteses Teste z para média com σ conhecido e teste t para σ desconhecido Testes unicaudais Teste z para proporções Cap. 10 Testes para duas amostras Comparações de médias de duas populações independentes e populações relacionadas (testes z e t) Comparações de proporções (teste z) Teste F para a diferença entre duas variâncias Cap. 11 Análise da Variância ANOVA de fator único diferenças entre mais de duas médias aritméticas Múltiplas comparações o procedimento de Tukey-Kramer Teste de Leven para a homogeneidade das variâncias ANOVA de dois fatores efeitos dos fatores e da interação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-

3 Objetivos do Cap. 1 Neste capítulo, você aprenderá: Como e quando utilizar o teste qui-quadrado para tabelas de contingência Como utilizar o procedimento de Marascuilo para determinar diferenças em pares, ao avaliar mais de duas proporções Como e quando utilizar o teste de McNemar Como e quando utilizar testes não paramétricos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-3

4 Tabelas de Contingência Tabelas de Contingência Útil em situações envolvendo múltiplas proporções Usada para classificar as observações de uma amostra de acordo com duas ou mais características Também conhecida como tabela de classificação cruzada. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-4

5 Exemplo de Tabela de Contingência Destro ou canhoto x Sexo Habilidade: Canhoto x Destro Sexo: Masculino x Feminino categorias para cada variável, então a tabela será x Suponha que examinemos uma amostra de 300 estudantes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-5

6 Exemplo de Tabela de Contingência Resultados da amostra organizados em uma tabela de contingência: Tamanho amostra = n = 300: 10 Mulheres, 1 são canhotas 180 Homens, 4 são canhotos Canhoto x Destro F Sexto M Canhoto Destro Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-6

7 Exemplo de Tabela de Contingência H 0 : π 1 = π (Proporção de homens canhotos é igual à proporção de mulheres canhotas) H 1 : π 1 π (As proporções não são iguais Ser canhoto ou destro não é independente do sexo) Se H 0 é verdadeira, então a proporção de mulheres canhotas deveria ser a mesma que a proporção de homens canhotos. As duas proporções acima deveriam ser iguais à proporção de canhotos na população como um todo. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-7

8 Estatística de Teste Qui- Quadrado A estatística de teste Qui-quadrado é: χ todascélulas (f o f f e e ) onde: f o = frequencia observada em uma célula particular f e = frequência esperada para aquela célula se H 0 é verdadeira para o caso de tabelas x tem 1 grau de liberdade Premissa: cada célula da tabela de contingência tem uma frequencia esperada de pelo menos 5 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-8

9 Teste Qui-Quadrado para diferença entre duas proporções A estatística de teste segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade Regra de Decisão: Se > S, rejeita H 0, caso contrário, não rejeita H 0 0 Não rejeita H 0 S Rejeita H 0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-9

10 Calculando a proporção geral estimada A proporção geral é: p X n 1 1 X n X n 10 Mulheres, 1 são canhotas 180 Homens, 4 são canhotos Aqui: 1 p A proporção geral de canhotos estimada na população é de 0.1, ou seja, 1% Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-10

11 Encontrando as frequências esperadas Para obter a frequência esperada de mulheres canhotas, multiplique a proporção geral de canhotos pelo número total de mulheres Para obter a frequência esperada de homens canhotos, multiplique a proporção geral de canhotos pelo número total de homens Se as duas proporções são iguais, então P(Canhotas Mulheres) = P(Canhotos Homens) =.1 i.e., esperaríamos que (.1)(10) = 14.4 mulheres canhotas (.1)(180) = 1.6 homens canhotos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-11

12 Frequências observadas x esperadas Sexo Canhoto x Destro F M Canhoto Observado = 1 Esperado = 14.4 Observado = 4 Esperado = Destro Observado = 108 Esperado = Observado = 156 Esperado = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-1

13 Teste Qui-Quadrado para diferença entre duas proporções Canhoto x Destro Canhoto Destro A estatística de teste é: Sexo F M Observado = 1 Observado = 4 Esperado = 14.4 Esperado = Observado = 108 Observado = 156 Esperado = Esperado = todascélulas ( f o (1 14.4) 14.4 f e f e ) ( ) (4 1.6) 1.6 ( ) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-13

14 Teste Qui-Quadrado para diferença entre duas proporções A estatística de testeé , S com1 g.l Regra de decisão: Se > 3.841, rejeita H 0, senão, não rejeita H 0 0 Não rejeita H 0 S=3.841 =.05 Rejeita H 0 Aqui, = < S = 3.841, então não rejeita H 0 e conclui que não há evidências suficientes de que as duas proporções sejam diferentes. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-14

15 Teste para diferenças entre mais de duas proporções O teste pode ser extendido para o caso de mais de duas populações independentes: H 0 : π 1 = π = = π c H 1 : Nem todos os π j são iguais (j = 1,,, c) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-15

16 Estatística de Teste Qui- Quadrado ( fo fe) f all cells onde: f o = frequência observada em uma das células de uma tabela x c ( linhas e c colunas) f e = frequência esperada em uma célula se H 0 é verdadeira para a tabela x c tem (-1)(c-1) = c - 1 graus de liberdade e Premissa: cada célula da tabela de contingência tem frequência esperada de pelo menos 1 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-16

17 Calculando a Proporção Geral Estimada A proporção geral é: p X1 n 1 X n... X... n c c As frequências esperadas em cada célula para as c categorias são calculadas como no caso da tabela x, e a regra de decisão é a mesma: Regra de Decisão: Se > S, rejeita H 0, caso contrário, não rejeita H 0 X n Onde S é de uma distribuição qui-quadrado com c 1 graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-17

18 Teste com mais de duas proporções: Exemplo O compartilhamento de informações de pacientes é uma questão controversa na área de saúde. Uma pesquisa feita com 500 indivíduos perguntou se havia objeções ao compartilhamento de dados entre seguradoras, farmácias e médicos pesquisadores. Os resultados são resumidos na tabela seguinte: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-18

19 Teste com mais de duas proporções: Exemplo Objeção ao compartilha mento? Organização Seguradoras Farmácias Médicos Pesquisadores Sim Não Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-19

20 Teste com mais de duas proporções: Exemplo A proporção geral é: p X X n n 1... X... n c c Objeção ao compartilhamento? Sim f o = 410 Organização Seguradoras Farmácias Médicos Pesquisadores f e = Não f o = 90 f e = f o = 95 f e = f o = 05 f e = f o = 335 f e = f o = 165 f e = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-0

21 Teste com mais de duas proporções: Exemplo Objeção? Sim Não Organização Seguradoras Farmácias Médicos Pesquisadores f o fe f f f f f o f f f e e e o f e e f f f f o f e e o o f e f e e e A estatística de teste qui-quadrado é: todasas células ( f o f e f e ) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-1

22 Teste com mais de duas proporções: Exemplo H 0 : π 1 = π = π 3 H 1 : Nem todos os π j são iguais (j = 1,, 3) Regra de decisão: Se > S, rejeita H 0, caso contrário, não rejeita H 0 S = vem da distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Conclusão: Como > 5.991, rejeita-se H 0 e você conclui que pelo menos uma das proporções de respondentes que fizeram objeção ao compartilhamento de seus dados é diferente entre as organizações. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-

23 O procedimento de Marascuilo O procedimento de Marascuilo permite fazer comparações entre todos os pares. Primeiro, calcule as diferenças observadas p j - p j entre todos os pares das c(c-1)/ células. Segundo, calcule o intervalo crítico correspondente para o procedimento de Marascuilo. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-3

24 O procedimento de Marascuilo Intervalo crítico para o procedimento de Marascuilo : Intervalo Crítico S p j (1 n j p j ) p j / (1 p / ) n j / j Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-4

25 O procedimento de Marascuilo Calcule um intervalo crítico para cada par de comparações entre as proporções da amostra. Compare cada um dos c(c - 1)/ pares de proporções na amostra com seu intervalo crítico correspondente. Declare a diferença entre proporções significante se a diferença absoluta no par de proporções p j p j for maior que o intervalo crítico correspondente. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-5

26 O procedimento de Marascuilo Exemplo Objeção? Organização Seguradoras Farmácias Médicos Pesquisadores Sim 410 P 1 = P = P 3 = 0.67 Não Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-6

27 O procedimento de Marascuilo Exemplo Proporções TABELA DE MARASCUILO Diferenças Absolutas Intervalo Crítico Group 1 - Group Group 1 - Group Group - Group Conclusão: Como cada diferença absoluta é maior que o intervalo crítico correspondente, você conclui que cada proporção é significativamente diferente das outras duas. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-7

28 Teste de Independência Semelhante ao teste para igualdade entre mais de duas proporções, mas extende o conceito a tabelas de contingência com r linhas e c colunas H 0 : As duas variáveis categóricas são independentes (i.e., não há nenhuma relação entre elas) H 1 : As duas variáveis categóricas são dependentes (i.e., existe uma relação entre elas) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-8

29 onde: Teste de Independência A estatística de teste Qui-Quadrado é: ( f o fe) f todascélul as f o = frequência observada em uma célula particular da tabela r x c f e = frequência esperada em uma célula se H 0 é verdadeira e para uma tabela r x c tem (r-1)(c-1) graus de liberdade Premissa: cada célula da tabela de contingência tem frequência esperada de pelo menos 1 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-9

30 Frequências Esperadas Frequências esperadas em cada célula: f e total da linha total da n coluna Onde: Total da linha = soma do total de frequências naquela linha Total da coluna = soma do total de frequências naquela coluna n = tamanho total da amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-30

31 Regra de Decisão A regra de decisão é: Se > S, rejeita-se H 0, caso contrário, não rejeita H 0 Onde S vem da distribuição qui-quadrado com (r 1)(c 1) graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-31

32 Exemplo: Teste de Independência O plano de refeições selecionado por 00 estudantes é mostrado abaixo: Tipo Menu No. de refeições por semana 0/sem. 10/sem. nenhuma Total Saudável Sofist Junior Senior Total Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-3

33 Exemplo: Teste de Independência A hipótese a ser testada é: H 0 : No. de refeições e tipo do menu são independentes (i.e., não há nenhuma relação entre eles) H 1 : No. de refeições e tipo do menu são dependentes (i.e., há relação entre eles) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-33

34 Exemplo: Teste de Independência Frequências esperadas em cada célula se H 0 é verdadeira: Exemplo p/ uma célula: totallinha x total coluna n f e Tipo Menu No. de refeições por semana 0/sm. 10/sm. 0 Total Saudável Sofist Junior Senior Total Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-34

35 Exemplo: Teste de Independência O valor da estatística de teste é: todascélul as ( f o (4 4.5) 4.5 f e f e ) (3 30.8) 30.8 (10 8.4) S = 1.59 para α =.05 sendo a distribuição com (4 1)(3 1) = 6 graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-35

36 Exemplo: Teste de Independência A estatística de testeé 0.709, S com 6 g.l Regra de Decisão: Se > 1.59, rejeita H 0, caso contrário, não rejeita H 0 0 Não rejeita H 0 =0.05 Rejeita H 0 S=1.59 Aqui, = < S = 1.59, então não rejeita H 0 Conclusão: não há evidências suficientes de que haja relação entre o no. de refeições e o tipo do menu escolhido. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-36

37 Teste de McNemar Usado para testar diferenças entre duas proporções de amostras relacionadas (não independentes) A estatística de teste segue uma distribuição normal Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-37

38 Teste de McNemar Tabela de Contingência Condição (Grupo) 1 Condição (Grupo) Sim Não Totais Sim A B A+B Não C D C+D Totais A+C B+D n Onde A = número de elementos que responderam sim às condições 1 e B = número de elementos que responderam sim à condição 1 e não a C = número de elementos que responderam não à condição 1 e sim a D = número de elementos que responderam não às condições 1 e n = número total de elementos da amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-38

39 Teste de McNemar Tabela de Contingência Condição (Grupo) 1 Condição (Grupo) Sim Não Totais Sim A B A+B Não C D C+D Totais A+C B+D n As proporções na amostra são: p 1 A B p n A C n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-39

40 Teste de McNemar Tabela de Contingência Condição (Grupo) Condição (Grupo) 1 Sim Não Totais Sim A B A+B Não C D C+D Totais A+C B+D n As proporções na população são: π 1 = proporção da população que respondeu sim à condição 1 π = proporção da população que respondeu sim à condição Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-40

41 Teste de McNemar Tabela de Contingência Para testar a hipótese: H 0 : π 1 = π H 1 : π 1 π Use a estatística de teste: Z B C B C Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-41

42 Teste de McNemar Exemplo Suponha que você pesquisou 300 proprietários de casas financiadas e perguntou se eles estariam interessados em um refinanciamento. Em um esforço para gerar negócios o banco responsável por estes financiamentos melhorou as condições dos financiamentos e reduziu os custos de conclusão dos mesmos. A amostra foi então novamente pesquisada. Determine se as mudanças nos termos do financiamento foram efetivas em gerar negócios para o banco. Os dados são resumidos a seguir: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-4

43 Teste de McNemar Exemplo Respostas antes da mudança Respostas após mudanças Sim Não Totais Sim Não Totais Teste a hipótese (a um nível de significância igual a 0.05): H 0 : π 1 = π : As mudanças não foram efetivas H 1 : π 1 diferente π : As mudanças aumentaram o volume de negócios Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-43

44 Teste de McNemar Exemplo Respostas antes da mudança Respostas após mudanças Sim Não Totais Sim Não Totais O valor crítico (.05 de significância) é Z = A estatística de teste é: Z B C B C 4.08 Como Z = < -1.96, você rejeita H 0 e conclui que as mudanças nos termos dos empréstimos aumentou significativamente o volume de negócios (a um nível de significância de 5%). Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-44

45 Teste da Soma das Classificações de Wilcoxon Testa as medianas de duas populações independentes As populações não precisam ter distribuição normal É um teste não paramétrico Útil quando apenas dados ordinais estão disponíveis Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-45

46 Teste da Soma das Classificações de Wilcoxon Pode ser usado quando ambos n 1, n 10 Calcule as classificações para as amostras combinadas n 1 + n Se os tamanhos de amostra forem desiguais, estabeleça n 1 como a amostra de menor tamanho O menor valor recebe classificação = 1, o maior valor classificação = n 1 + n Para valores repetidos estabeleça a classificação como a média das classificações e atribua este valor às repetições Some as classificações para cada amostra: T 1 e T Obtenha a estatística de teste, T 1 (da menor amostra) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-46

47 Verificando as classificações A soma das classificações deve satisfazer à fórmula abaixo Use-a para verificar a soma de T 1 e T T 1 T n(n 1) onde n = n 1 + n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-47

48 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Hipóteses e Decisão M 1 = mediana da população 1; M = mediana da população Estatística de teste = T 1 (soma das classificações para a menor amostra) Teste bi-caudas Teste de cauda à esquerda Teste de cauda à direita H 0 : M 1 = M H 0 : M 1 M H 0 : M 1 M H 1 : M 1 M H 1 : M 1 < M H 1 : M 1 > M Rejeita Não Rejeita Rejeita Rejeita Não Rejeita Não Rejeita Rejeita T 1I T 1S T 1I T 1S Rejeita H 0 se T 1 T 1I ou se T 1 T 1S Rejeita H 0 se T 1 T 1I Rejeita H 0 se T 1 T 1S Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-48

49 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Dados amostrais sobre a utilização da capacidade de produção (% da capacidade) de duas fábricas são coletados. As medianas destes percentuais são as mesmas para as duas fábricas? Para a fábrica A, os percentuais são 71, 8, 77, 94, 88 Para a fábrica B, os percentuais são 85, 8, 9, 97 Teste a igualdade das medianas populacionais a um nível de significância de 0.05 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-49

50 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Repetições na 3a. e 4a. posições Capacidade Rank Fábrica A Fábrica B Fábrica A Fábrica B Soma Classificações: Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-50

51 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Fábrica B tem a menor amostra, então a estatística de teste é a soma das classificações na fábrica B: T 1 = 4.5 Os tamanhos de amostra são: n 1 = 4 (fábrica B) n = 5 (fábrica A) O nível de significância é α =.05 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-51

52 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Valores críticos inferior e superior para T 1 na Tabela E.8 no Apêndice: T 1I = 11 e T 1S = 9 n One- Two- Tailed Tailed 4 5 n , 8 19, , 9 17, , 30 16, , -- 15, 40 6 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-5

53 =.05 n 1 = 4, n = 5 Teste Bi-caudal H 0 : M 1 = M H 1 : M 1 M Rejeita Não Rejeita T 1I =11 T 1S =9 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Exemplo com pequenas amostras Rejeita Rejeita H 0 se T 1 T 1I = 11 ou se T 1 T 1S = 9 Estatística de teste (Soma das classificações para a menor amostra): T 1 = 4.5 Decisão: Não rejeitar a α = 0.05 Conclusão: Não há evidências suficientes para afirmar que as medianas não são iguais. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-53

54 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal Para grandes amostras, a estatística de teste T 1 tem aproximadamente distribuição normal com média e desvio padrão: n 1 μ T 1 (n 1) Use a aproximação normal se n 1 ou n > 10 Defina n 1 como a menor das duas amostras n 1 σ T 1 n (n 1) 1 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-54

55 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal A estatística de teste Z é: Z T μ 1 σ T 1 T 1 Onde Z segue aproximadamente uma distribuição normal padronizada Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-55

56 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal Usando o exemplo anterior: Os tamanhos de amostra eram: n 1 = 4 (fábrica B) n = 5 (fábrica A) O nível de significância era α =.05 A estatística de teste era: T 1 = 4.5 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-56

57 1 μ T 1 Teste da soma das classificações de Wilcoxon Aproximação pela Normal n (n 1) n 1 σt n ( n 1) 1 4(9 1) 0 4(5)(9 1) 1 1 A estatística de teste é: Z T 1 μ σ T 1 T Z = 1.10 é menor que o valor crítico Z de 1.96 (for α =.05) então você não rejeita H 0 não há evidências suficientes para afirmar que as medianas são diferentes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-57

58 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Testa a igualdade de mais do que duas medianas populacionais Útil quando a premissa da normalidade necessária a utilização da ANOVA de fator único é violada Premissas: As amostras são aleatórias e independentes A variável subjacente é contínua Os dados podem ser classificados As c populações têm a mesma variabilidade As c populações têm o mesmo formato Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-58

59 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Obtenha as classificações para cada valor na amostra combinada Caso haja valores repetidos, atribua a eles a média aritmética das classificações que receberiam se não fossem idênticos Some as classificações para cada um dos c grupos Calcule a estatística de teste H Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-59

60 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis A estatística de teste H de Kruskal-Wallis: (com c 1 graus de liberdade) 1 H n( n 1) c j1 T n j j 3( n 1) onde: n = no. total de valores nas amostras combinadas c = no. de grupos T j = Soma das classificações na j th amostra n j = Tamanho da j th amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-60

61 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Complete o teste comparando o valor calculado de H com o valor crítico da distribuição qui-quadrado com c 1 graus de liberdade 0 Não rejeita H 0 S Rejeita H 0 Regra de decisão Rejeitar H 0 se a estatística de teste H > S Caso contrário, não rejeita H 0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-61

62 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo Diferentes escritórios de uma mesma companhia têm quantidades de empregados diferentes? Tamanho (Chicago, C) Tamanho (Denver, D) Tamanho (Houston, H) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-6

63 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo Diferentes escritórios de uma mesma companhia têm quantidades de empregados diferentes? Tamanho (Chicago, C) Ranking Tamanho (Denver, D) Ranking Tamanho (Houston, H) Ranking = 44 = 56 = 0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-63

64 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo H0 : Mediana C Mediana D Mediana H H : as medianas populacionais não são todas iguais A A estatística H é: H 1 n( n 1) c j1 T n j j 3( n 1) 1 15(15 1) (15 1) 6.7 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-64

65 Teste das Classificações de Kruskal-Wallis Exemplo Compare H = 6.7 com o valor crítico da distribuição quiquadrado com 3 1 = graus de liberdade e =.05: χ S Como H = 6.7 > χ S 5.991, rejeita H Há evidências de que as medianas dos nos. de empregados nos escritórios regionais são diferentes. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-65

66 Resumo do Capítulo Neste capítulo, nós vimos: Desenvolvimento e aplicação do teste para diferença entre duas proporções Desenvolvimento e aplicação do teste para diferenças entre proporções de mais de duas populações Teste para independência Teste de McNemar para diferenças entre duas proporções em amostras relacionadas Utilização do teste da soma das classificações de Wilcoxon para diferenças entre duas medianas populacionais Pequenas amostras Para amostras maiores a aproximação Z Aplicação do teste H de Kruskal-Wallis para comparações entre medianas de múltiplas populações Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 008 Prentice-Hall, Inc. Chap 1-66