Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I. Fluido Perfeito

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I Fluido Perfeito 1. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pelo potencial φ = a) Mostre que φ satisfaz a equação de Laplace. b) Determine a função de corrente e esboce as linhas de corrente. 2. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U e uma fonte de intensidade Q. a) Escreva o potencial complexo W(z) que representa o escoamento. b) Determine o(s) ponto(s) de estagnação. c) Determina a equação das linhas de corrente divisórias. d) Esboce as linhas de corrente. 3. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U e um dipolo de intensidade R 2 e orientação π. a) Escreva o potencial complexo W(z) que representa o escoamento. b) Determine o(s) ponto(s) de estagnação. c) Determina a equação das linhas de corrente divisórias. d) Esboce as linhas de corrente. xy 4. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U,, e um par fonte/poço de intensidade Q colocados a uma distância d e com a fonte à esquerda do poço (tal como ilustrado na figura em cima).

2 a) Escreva o potencial complexo W(z) que representa o escoamento. b) Determine o(s) ponto(s) de estagnação. c) Determina a equação das linhas de corrente divisórias. d) Esboce as linhas de corrente. 5. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U,, e um par fonte/poço de intensidade Q colocados a uma distância d e com a fonte à direita do poço (tal como ilustrado na figura em cima). a) Escreva o potencial complexo W(z) que representa o escoamento. b) Determine o(s) ponto(s) de estagnação. c) Esboce as linhas de corrente para as várias configurações possíveis do escoamento. 6. Considere o escoamento na vizinhança da margem de um rio. A margem é uma parede vertical plana. O fundo é plano e horizontal (profundidade da água constante e igual a h). À distância b da margem existe uma saída de esgoto (emissário submarino) com um caudal Q por unidade de profundidade do rio. Longe do emissário, a velocidade do rio U é constante. Desrpreze o efeito devido à presença da outra margem. Admita que o escoamento é irrotacional e bidimensional e que a massa específica é constante. Estude os vários regimes possíveis do escosmento. 7. Considere um escoamento uniforme, U=10m/s, junto a uma margem de um rio tal como se ilustra na figura 1. Na margem, estão colocadas duas descargas de água separadas por uma distância de 50m que descarregam para o rio caudais Q 1 e Q 2. Admita em primeira aproximação que pode simular o escoamento assumindo fluido perfeito e que o escoamento é permanente (estacionário), bi-dimensional, incompressível e irrotacional.

3 U Q 1 Q Figura 1 a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. b) Para a situação em que Q 1 =Q 2 =10m 2 /s, determine a localização dos pontos de estagnação. c) Nas condições da alínea anterior, determine a equação das linhas de corrente divisórias. d) Desenhe qualitativamente o escoamento para as condições da alínea b). Trace rigorosamente as linhas de corrente divisórias junto à margem do rio e quando se afastam para grandes distância das descargas de água. e) Mantendo o caudal total Q 1 +Q 2 =20m 2 /s, determine o valor de Q 1 e Q 2 para que uma das linhas de corrente divisórias encontre a margem do rio a meio das duas descargas de água. 8. Considere um escoamento junto a uma costa que faz um ângulo de π/2 radianos (90 graus) tal como se ilustra na figura 2. A margem B faz um ângulo de π/6 radianos (30 graus) com o eixo x representado na figura 1. Na margem B e à distância d do canto está colocada uma descarga de água que descarrega para o rio um caudal Q por unidade de profundidade. Quando a descarga de água está fechada (Q=0), o módulo da velocidade no local onde se encontra a descarga é igual a U. Admita em primeira aproximação que pode simular o escoamento assumindo fluido perfeito e que o escoamento é permanente (estacionário), bi-dimensional, incompressível e irrotacional.

4 y 5 4 Margem A Figura 2 a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento quando a descarga se encontra fechada (Q=0), indicando claramente o sistema de eixos que utilizou. b) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento quando a descarga se encontra aberta indicando claramente o sistema de eixos que utilizou. c) Determine a relação entre Q, U e d para a qual o caudal da descarga não atinge a margem A. d) Para a situação limite da alínea anterior, desenhe qualitativamente o escoamento. Trace rigorosamente as linhas de corrente divisórias junto à margem do rio e quando se afastam para grande distância da descarga de água. 9. Considere um escoamento junto a uma costa que faz um ângulo de 7π/6 radianos (210 graus) tal como se ilustra na figura 3. À distância d do canto o módulo da velocidade é igual a U. Admita em primeira aproximação que pode simular o escoamento assumindo fluido perfeito e que o escoamento é permanente (estacionário), bi-dimensional, incompressível e irrotacional. 1 d Descarga de água Caudal Q Margem B x

5 d β=210 o Figura 3 a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando claramente o sistema de eixos que utilizou. b) Determine a distância mínima da linha de corrente ψ=ud à costa (ψ=0). c) Determine a equação da linha que tem C p =0. Tome como valores de referência para o cálculo de Cp as propriedades do escoamento no ponto à distância d do canto (Cp=(p-p ref )/(1/2ρU 2 ref)). d) Determine o coeficiente de pressão mínimo do escoamento e a sua localização. 10. Considere um escoamento junto a uma costa que faz um ângulo de 5π/6 radianos (150 graus) tal como se ilustra na figura 4. Na parede horizontal à distância d do canto o módulo da velocidade é igual a U. Admita em primeira aproximação que pode simular o escoamento assumindo fluido perfeito e que o escoamento é permanente (estacionário), bi-dimensional, incompressível e irrotacional. d P d β=150 o Figura 4 a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

6 b) Determine o caudal que se escoa entre a parede e o ponto P. c) Determine a distância máxima da linha de corrente que passa no ponto P à costa. d) Determine a equação da linha que tem C p =0,36. Tome como valores de referência para o cálculo de C p as propriedades do escoamento no ponto à distância d do canto (C p =(p-p ref )/(1/2ρU 2 ref)). 11. Considere o escoamento irrotacional e incompressível (np plano xy) contra uma parede plana que tem uma saliência com a forma de um semicilindro circular de raio unitário (conforme representado na figura em cima). Em alternativa, considere apenas metade do escoamento, na parte situada no primeiro quadrante (escoamento num canto a 90º com uma saliência em forma de sector circular. a) Escreva uma expressão adequada para o potencial complexo W(z) que representa este escoamento. b) Determine a posição dos pontos de estagnação. c) Determine o(s) ponto(s) da parede onde a velocidade é máxima. 12. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U igual a 1 metro por segundo. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. b) Determine qual a distância mínima a que tem de estar do cilindro para o coeficiente de pressão, Cp, seja sempre superior a -1. c) Determine a equação da linha de corrente que passa no ponto ζ=0+i2. d) Determine o caudal escoado entre o eixo real e a linha de corrente que determinou na alínea anterior.

7 e) Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima 0,36 z = ζ + ζ Determine a forma exacta do corpo no plano transformado, z. 13. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade U com um módulo de 10m/s. O cilindro encontra-se a rodar a 60 r.p.m. no sentido horário e portanto torna-se necessário introduzir circulação no escoamento com um vórtice colocado na origem do referencial para simular o efeito da rotação. a) Determine a intensidade do vórtice que deve colocar na origem para simular a rotação do cilindro. b) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima z = ζ + e ζ 0,64 iπ 4 c) Determine a forma do corpo no plano transformado, z. d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. e) Desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado. f) Determine a força exercida sobre o corpo no plano transformado. 14. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima = 64 iπ 0, z ζe 4 iπ 4 ζe b) Determine a forma do corpo no plano transformado, z. c) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado.

8 d) Determine a(s) equação(ões) que define(m) a(s) linha(s) de corrente divisória(s) no plano transformado. e) Desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado. Faça um traçado rigoroso das linhas de corrente divisórias. 15. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U. O ponto P tem de coordenadas (ξ=-2, η=0,5) ou seja ζ P = 2+i0,5. a) Determine a distância mínima da linha de corrente que passa no ponto P ao cilindro. b) Determine o caudal que se escoa entre a linha de corrente que passa no ponto P e o cilindro. Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima 0,36 z = ζ ζ c) Determine a forma do corpo e desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado, z. d) Determine o coeficiente de pressão mínimo na superfície do corpo transformado. 16. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular em rotação. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U =10m/s. A rotação do cilindro é simulada por um vórtice com uma intensidade Γ=43m 2 /s. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. b) Determine a velocidade angular do cilindro e indique o sentido em que o cilindro está a rodar. c) Determine o coeficiente de pressão máximo e mínimo na superfície do cilindro e a sua localização. Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima 1 z = ζ + ζ d) Determine a forma do corpo e desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado, z. Faça um traçado rigoroso das linhas de corrente divisórias. e) Determine a força exercida sobre o corpo no plano transformado.

9 17. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. b) Determine os pontos da superfície do cilindro em que o coeficiente de pressão, Cp=(p-p )/(1/2ρU 2 ), é igual a 0. c) Determine a distância ao cilindro para a qual o coeficiente de pressão está entre -0,5 e 0,5 (-0.5 < Cp < 0.5) para todos os pontos do escoamento. Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima 1 z = ζ + ζ d) Desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado, z, identificando claramente as linhas de corrente divisórias. 1 2 η ξ U α=10º 18. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular em rotação. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo de 10 graus com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U =10m/s. O cilindro roda no sentido horário com uma velocidade angular de 5 rad/s.

10 a) Determine a intensidade e o sentido do vórtice a colocar no centro do cilindro para simular a rotação do cilindro. b) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando claramente o sistema de eixos que utilizou. c) Determine o valor máximo e mínimo do coeficiente de pressão, C p, na superfície do cilindro e a sua localização. p p C = p 1 2 ρu 2 Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima 1 z = ζ + ζ a) Determine a forma do corpo e desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado, z. Faça um traçado rigoroso das linhas de corrente divisórias. b) Determine a força exercida sobre o corpo no plano transformado.