Universidade Presbiteriana Mackenzie. Controle II

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1 Universidade Presbiteriana Mackenzie Curso de Engenharia Elétrica Controle II Notas de Aula Prof. Marcio Eisencraft Segundo semestre de 004

2 Universidade Presbiteriana Mackenzie Curso de Engenharia Elétrica Controle II TEORIA Prof. Marcio Eisencraft Segundo semestre de 004

3 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Universidade Presbiteriana Mackenzie Controle Professor Marcio Eisencraft ([email protected]) º. Semestre 004. Objetivos O objetivo da disciplina é ampliar o conhecimento na área de controle de sistemas lineares, com estudo de aplicações voltadas principalmente para sistemas elétricos e mecânicos. Será usada intensamente a linguagem Matlab para simulação de sistemas. O conteúdo envolve estudo de técnicas de projeto de sistemas de controle como o Lugar Geométrico das Raízes, resposta em freqüência além de uma introdução às técnicas de controle digital.. Aulas de Teoria e Prática Nas aulas de prática serão vistas aplicações dos assuntos abordados nas aulas de teoria. Em todas as aulas de práticas será utilizada a ferramenta computacional Matlab, principalmente seu ferramental (toolbox) para a á- rea de controle. Será utilizado também o kit didático de levitação ECP. 3. Avaliação Serão realizadas três avaliações versando sobre o conteúdo visto nas aulas de teoria e de prática.

4 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 O aluno estará aprovado caso consiga média maior ou igual a 7,0 e estará reprovado caso consiga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 6,9 o aluno será aprovado caso possua mais de 80% de presença em aula, caso contrário estará reprovado. Cada avaliação será constituída de duas notas: o Nota da Prova 0,0 a 9,0 o Nota de Relatórios da Aula Prática 0,0 a,0 Nas aulas de prática os alunos formarão grupos de um ou dois alunos. Ao final de todas as aulas será passada uma atividade a ser entregue pelo grupo no início da aula prática seguinte. A tolerância para entrega desta atividade é de 0 minutos. Importante: O relatório deve ser entregue em folha de papel A4 constando dos nomes, números de matrículas e número da aula à qual a a- tividade se refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO NÃO SERÁ ACEITO. Eventualmente, o professor poderá exigir a entrega de uma atividade durante a aula. Para que o grupo tenha presença nas aulas de prática é indispensável que pelo menos um dos componentes tenha a apostila da aula. Será considerado presente o aluno que estiver em sala no momento em que é realizada a chamada. Não serão abonadas faltas (exceto os casos previstos em lei). A tolerância para entrada em sala é de 30 minutos.

5 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 As provas serão realizadas no horário das aulas de teoria nos seguintes dias: PROVA Turma F (6ª feira) Peso P 0/09 Peso P 5/0 Peso P3 A ser definida Peso 4. Conteúdo Programático O curso é formado por três tópicos principais muito importantes no projeto e análise de sistemas de controle moderno:. Técnicas do Lugar das Raízes [NISE, pp ].. Técnicas de Resposta em Freqüência [NISE, pp ]. 3. Sistemas de Controle Digital [NISE, p ]. 5. Bibliografia A cada aula (de teoria e de prática) serão disponibilizadas na Internet no site notas de aula. Além disso, serão fornecidas listas de exercícios. A principal referência que será utilizada durante todo o curso é: [NISE] NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição, LTC, 00. 3

6 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Outras referências disponíveis em vários exemplares na biblioteca: [OGATA] OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. [DORF] DORF, R.C. Sistemas de controle modernos. 8ª edição, LTC, 00. [HAYKIN] HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. ª edição, Bookman, 000. [PHILLIPS] PHILLIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de Controle e Realimentação, ª edição, Makron Books, 997. [OPPENHEIM] OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Signals & Systems. ª edição, Prentice-Hall, 997. [LATHI] LATHI, B. P. Signal Processing & Linear Systems. Berkeley- Cambridge, 998. [CHAPMAN] CHAPMAN, S. J. Programação em Matlab para Engenheiros, ª edição, Thompson, Horários preferenciais para atendimento 5ª feira 0h h5min 4

7 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula T - Técnicas do Lugar das Raízes Introdução Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Técnicas do Lugar das Raízes.. Introdução Como foi visto em Controle, os pólos de uma função de transferência determinam várias características qualitativas da resposta de um sistema de controle. Por exemplo, para um sistema de ª ordem temos: o Estabilidade: o sistema é estável se todos os pólos têm parte real negativa. o Resposta transitória: subamortecida se os pólos são complexos conjugados, superamortecida se os pólos são reais e diferentes e com amortecimento crítico de os pólos são reais e iguais. Lugar das raízes: representação gráfica dos pólos a malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema. Assim, o lugar das raízes, tratado neste capítulo, fornece a descrição qualitativa do desempenho de um sistema de controle em função da variação de um parâmetro e também serve como uma poderosa ferramenta quantitativa fornecedora de mais informações do que os métodos já estudados. Antes de estudá-lo vamos revisar dois conceitos fundamentais: o O problema do sistema de controle e

8 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 o Números complexos e suas representações como vetores.... O problema dos sistemas de controle Problema sério dos sistemas de controle: enquanto os pólos da função de transferência em malha aberta são facilmente determinados (comumente são conhecidos por inspeção e não se alteram com mudanças no ganho do sistema), os pólos da função de transferência a malha fechada são mais difíceis de determinar (normalmente não podem ser encontrados sem fatorar o polinômio característico do sistema, o denominador da função de transferência). Além disso, os pólos a malha fechada se alteram quando se muda o ganho. Lembrando: Figura Sistema de controle com realimentação [NISE] Função de transferência em malha aberta: KG ( s) H ( s)

9 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 C Função de transferência em malha fechada: () ( s) KG() s T s = = R() s + KG() s H () s Exercício: s + s + 3. Seja G () s = e H () s =. s( s + ) s + 4 (a) Calcule os pólos e zeros do sistema em malha aberta. (b) Determine a função de transferência em malha fechada. Determine seus zeros. (c) Verifique que os pólos do sistema em malha fechada são mais difíceis de calcular e dependem do ganho K.... Representação vetorial de números complexos Número complexo, s = σ + jω = M θ pode ser sempre descrito como um vetor. Figura Plano complexo [NISE] Quando o número complexo é substituído em uma função complexa F () s, resulta outro número complexo. Por exemplo, se F ( s) = ( s + a), substitu- 3

10 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 indo então o número complexo s = σ + jω resulta F ( s) = ( σ + a) + jω, outro número complexo. Este número é mostrado a seguir. Figura 3 - F ( s) = ( σ + a) + jω [NISE] Observe que F () s apresenta um zero em a. Se deslocarmos o vetor de a unidades para a esquerda, como a seguir, teremos uma representação alternativa do número complexo que se origina no zero de F ( s) e termina no ponto s = σ + jω. Figura 4 Representação alternativa para F ( s) = ( σ + a) + jω [NISE] 4

11 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Concluímos que ( s + a) é um número complexo e pode ser representado por um vetor traçado a partir do zero da função ao ponto s. Por exemplo, F () s = ( s + 7) calculada no ponto s = 5 + j vale ( 5 + j) = j e pode ser obtido traçando a partir do zero da função, -7, um F + vetor até s = 5 + j como mostrado a seguir. Figura 5 F () s = ( s + 7) calculada em s = 5 + j [NISE] Seja então F () s = m i= ( s + z ) n ( s + p j ) j= i = ( s + z )( s + z ) ( s + zm ) ( s + p )( s + p ) ( s + p ) n. Uma vez que cada fator complexo pode ser visto como um vetor, a magnitude M de F () s em cada ponto s é: M m i= = n ( s + z ) ( s + p j ) j= i 5

12 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 em que s + é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de F () s em zi zi ao ponto s e em s + é a magnitude do vetor traçado a partir do pólo de F ( s) p j p j ao ponto s. O argumento, θ, de F () s em qualquer ponto s é: θ = ângulos dos zeros ângulos dos pólos = m i= n ( s + zi ) ( s + p j ) em que o argumento do zero é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a partir do eixo real, de um vetor traçado do zero de F ( s) em zi ao ponto s e o argumento do pólo é o ângulo, medido no sentido trigonométrico a partir do eixo real, de um vetor traçado do pólo de F ( s) em p j ao ponto s. j= Exercícios:. Dado () ( s + ) F s =, obter F ( s) no ponto s = 3 + j4 usando a abordagem geométrica vista s( s + ) acima. 3. Dado () ( s + )( s + 4) F s = obter F ( s) no ponto s = 7 + j9 nas seguintes for- s( s + 3)( s + 6) mas: (a) substituindo diretamente o ponto em F ( s) ; (b) Calculando o resultado usando vetores. Resp: 0,0339 j0,0899 = 0,096 0, 7 o 6

13 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula T - Definindo o Lugar das Raízes Propriedades do Lugar das Raízes Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Definindo o Lugar das Raízes Vamos definir o que é o lugar das raízes a partir do seguinte exercício. Exercício. Um sistema de câmara de vídeo, semelhante ao mostrado na figura a seguir, pode acompanhar automaticamente um objeto. O sistema de rastreamento consiste em um sensor duplo e um transmissor, em que um componente é montado sobre a câmara e o outro usado pelo objeto. Uma diferença entre as saídas dos dois sensores que recebe energia do transmissor faz com que o sistema gire a câmara para eliminar a diferença e seguir a fonte de energia. Figura Câmara de vídeo do Exercício Um [NISE]

14 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Admita a representação em diagrama de blocos deste sistema apresentada a seguir. Figura Diagrama de blocos do sistema do Exercício Um [NISE]. Pede-se: C (a) Encontre a função de transferência em malha fechada () () s T s = em fun- R() s ção de K = K K. (b) Os pólos da função de transferência encontrada em (a) variam com K. Preencha a tabela a seguir com o valor destes pólos. K Pólo Pólo

15 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 (c) Localize estes pólos no plano complexo para cada valor de K. (d) Com relação ao item (c), retire a localização dos pólos individuais e represente seu percurso por linhas cheias. Esta é a representação do percurso dos pólos a malha fechada à medida que o ganho é modificado que chamamos de lugar das raízes. O lugar das raízes mostra a mudança na resposta transitória resultante da variação do ganho K. (e) Baseado no lugar das raízes obtido no item (d), determine o intervalo de valores de K para o qual o sistema é: i) superamortecido. ii) criticamente amortecido iii) subamortecido iv) estável.3. Propriedades do Lugar das Raízes No Exercício Um, chegamos ao lugar das raízes encontrando as raízes do polinômio de segunda ordem no denominador da função de transferência. Considere o que aconteceria se aquele polinômio fosse de quinta ou décima ordem. Encontrar as raízes do polinômio para um número elevado de valores de ganho, sem o uso de um computador seria um grande problema. Vamos analisar as propriedades do lugar das raízes. A partir dessas propriedades, seremos capazes de fazer um esboço rápido do lugar das raízes para sistemas de ordem superior sem ter que encontrar as raízes do denominador da função de transferência a malha fechada. Seja o sistema de controle geral a seguir: 3

16 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura 3 Sistema de controle a malha fechada [NISE] Já sabemos que T () s C = R ( s) () s KG = + KG ( s) () s H () s Com base nesta equação, vemos que existe um pólo, s, quando o polinômio característico no denominador se anula, ou seja, ou, o () s H ( s) = ( m + ) KG 80 KG KG =, m = 0, ±, ±, () s H () s = o () s H () s = ( m + ) 80. Desta forma, se quisermos saber se um ponto s está no lugar das raízes de um dado sistema, substituímos s em KG ( s) H ( s) o que resulta num número complexo. 4

17 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Se o ângulo do número complexo for um múltiplo ímpar de 80, este valor de s é um pólo do sistema para um valor particular de K. Qual valor de K? Uma vez que o critério do ângulo seja atendido, tudo o que resta a satisfazer é o critério da magnitude. Por conseguinte, K = Vamos fazer alguns exercícios. G () s H () s Exercícios. Considere o sistema a seguir: Figura 4 - Sistema de controle do Exercício Dois [NISE] 5

18 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Seja o ponto + j3. Verifique se ele pertence ao lugar das raízes para algum valor de K. Resposta: Se este ponto for um pólo em malha fechada, então devemos ter o o KG() s H () s = ( m + ) 80 ou G( s) H ( s) = ( m + ) 80 Vimos na aula passada que G( s) H ( s) já que K é real. pode ser calculado como a diferença entre os ângulos dos zeros e os ângulos dos pólos. Da figura seguinte, Figura 5 - Contribuição dos pólos e zeros no ponto + j3 [NISE] θ o o o o + θ θ 3 θ 4 = 56,3 + 7, ,43 = 70,55 Por conseguinte, + j3 não é um ponto sobre o lugar das raízes ou, alternativamente, + j3 não é um pólo em malha fechada para nenhum valor do ganho. o 6

19 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho Repita o Exercício para s = + j. Caso ele seja um ponto do lugar das raízes, determine para qual valor de K. 4. Para um sistema com retroação unitária com função de transferência no canal direto () s ( s + ) K G =, ( s + 4s + 3) faça o seguinte: (a) Calcule o ângulo de G () s no ponto ( 3 + j0) encontrando a soma algébrica dos ângulos dos vetores desenhados a partir dos zeros e pólos de G () s para o ponto dado. (b) Determine se o ponto especificado em (a) está sobre o lugar das raízes. (c) Se o ponto especificado em (a) estiver sobre o lugar das raízes, encontre o ganho K, usando os comprimentos dos vetores. Resp: (a) Soma dos ângulos = 80 (b) O ponto está sobre o lugar das raízes (c) K = 0. 7

20 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 3T - Esboçando o Lugar das Raízes Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Esboçando o Lugar das Raízes Como vimos na aula passada, podemos obter o lugar das raízes de um sistema buscando no plano complexo pontos s que satisfaçam: o () s H ( s) = ( m + ) G 80 Este procedimento pode ser bastante trabalhoso. Veremos nesta aula, como montar um esboço rápido do lugar das raízes praticamente sem fazer contas. Nas próximas aulas, aprenderemos a refinar este esboço e a usar uma ferramenta computacional (Matlab) para obter um gráfico preciso. A. Número de ramos. Ramo é o caminho que o pólo percorre. Existe um ramo para cada pólo a malha fechada. O número de ramos do lugar das raízes iguala o número de pólos a malha fechada. O lugar das raízes do sistema discutido na aula passada (reproduzido a seguir) apresenta dois ramos, um começando em 0 e o outro em -0. Figura Diagrama de blocos de um sistema com realimentação [NISE].

21 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura - Lugar das Raízes do sistema da Figura [NISE]. B. Simetria Cada ponto do lugar das raízes representa um pólo, ou seja, uma raiz do polinômio característico do sistema de controle a malha fechada. Ora, sabemos que um polinômio com coeficientes reais ou tem raízes reais ou complexo conjugadas. Assim, concluímos que: O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real. Novamente, o sistema analisado na aula passada ilustra esta simetria. Figura 3 - Simetria no Lugar das Raízes do sistema da Figura [NISE].

22 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 C. Segmentos sobre o eixo real. Façamos uso da propriedade do ângulo para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes. A figura a seguir mostra pólos e zeros de um sistema a malha aberta genérico Figura 4 Determinação dos segmentos sobre o eixo real [NISE] Se tentarmos calcular a contribuição angular dos pólos e zeros em cada ponto P, P, P3 e P 4 sobre o eixo real, observaremos o seguinte: () em cada ponto, a contribuição de um par de pólos e zeros complexos a malha aberta é zero; () a contribuição dos pólos e zeros a malha aberta à esquerda do ponto respectivo é zero. A conclusão é que a única contribuição de ângulo em qualquer dos pontos sobre o eixo real vem dos pólos e zeros em malha aberta que existem à direita do respectivo ponto. Se calcularmos o ângulo em cada ponto usando apenas os pólos e zeros a malha aberta sobre o eixo real, à direita de cada ponto, notamos o seguinte: () os ângulos do eixo real alternam entre 0 e 80 e () o ângulo é 80 para regiões do eixo real em que existem à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros. A regra seguinte resume o que foi descoberto: 3

23 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos a malha aberta sobre o eixo real. Exercício. Encontre o LGR sobre o eixo real do sistema de controle mostrado a seguir (já discutido, em parte, na aula passada). Figura 5 Sistema com realimentação do Exercício Um [NISE] D. Pontos de início e término Onde se inicia (ganho zero) e onde termina (ganho infinito) os ramos do lugar das raízes? Para o sistema padrão, Figura 6 Sistema com realimentação negativa padrão 4

24 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 N G ( s) N H fazendo G() s =, () ( s) KG H s = e () ( s) T s =, temos: D () s D () s + KG() s H () s T () s G N K D = KN G + D T G () s H G () s G () s () s N H () s () s D () s H D G T () s = D G N G ( s) K DG () s DH () s DG () s () s D () s + KN () s N () s KN G ( s) DH ( s) () s D () s + KN () s N () s =. O lugar das raízes é então definido pelas raízes da equação H H G H G H e D () s D () s + KN ( s) N ( s) = 0 G H G H (I) Fazendo K 0, a equação (I) torna-se: D G ( s) D ( s) = 0 H e vemos que os pólos do sistema a malha fechada nos ganhos pequenos tendem aos pólos combinados de G ( s) e H ( s). Concluímos que o lugar das raízes se inicia nos pólos de G () s H () s, a função de transferência a malha aberta. Para ganhos altos, em que K está tendendo a infinito, D G () s D () s KN ( s) N ( s) KN ( s) N ( s) H +. G Assim, percebemos que os pólos do sistema a malha fechada para ganhos elevados tendem aos zeros combinados de G ( s) e H ( s). Concluímos assim que o lugar das raízes termina nos zeros de G ( s) H ( s), a função de transferência em malha aberta. Resumindo: H G H 5

25 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 O LGR se inicia nos pólos finitos e infinitos de G ( s) H ( s) e termina nos zeros finitos e infinitos de () s H () s G. Exercício. Baseado na regra acima, tente esboçar o LGR do sistema do Exercício. E. Comportamento no infinito: Assíntotas. A regra D diz que os ramos do LGR começam nos pólos e terminam nos zeros da função de transferência a malha aberta. Mas o que acontece quando esta função de transferência tem um número diferente de pólos e zeros finitos? Por exemplo, a função K G () s = tem três pólos (-, - e 0) e nenhum zero finito. E aí? s( s + )( s + ) Na verdade, o problema é que não estamos levando em conta os pólos e zeros infinitos. Toda função de s tem um número igual de pólos e zeros se incluirmos os pólos e zeros infinitos bem como os pólos e zeros finitos. Assim, a função G () s acima tem três zeros infinitos. Estes zeros no infinito aparecem no lugar das raízes como assíntotas, que são retas para as quais os ramos tendem quando K. Assim, O número de assíntotas num LGR é sempre a diferença entre o número de pólos finitos e o número de zeros finitos. A seguinte regra, cuja demonstração pode ser encontrada, por exemplo, na página 84 do [OGATA] resume como encontrar as assíntotas num LGR. 6

26 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de intersecção sobre o eixo real, σ a, e o ângulo θ a da seguinte forma: pólos finitos zeros finitos σ a = num. pólos finitos num. zeros finitos ( k + ) o 80 θ a = num. pólos finitos num. zeros finitos em que k = 0, ±, ±, ± 3, e o ângulo é dado em graus no sentido antihorário a partir do eixo real positivo. Vejamos os exercícios a seguir. Exercícios 3. Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir. Figura 7 Sistema do Exercício Três [NISE] 4. Esboce o lugar das raízes e suas assíntotas para um sistema com retroação unitária que tenha a função de transferência direta dada a seguir: K G =. () s ( s + )( s + 4)( s + 6) 7

27 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 4T - Refinando o esboço do Lugar das Raízes Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Refinando o esboço Revisão: um ponto s do plano complexo está no LGR se o que significa que e seu ganho associado é ( s) H( s) = KG, () o () s H ( s) = ( m + ) G 80 K = G s () H () s Na aula passada, aprendemos a esboçar rapidamente o LGR determinando: o Número de ramos o Simetria o Segmentos sobre o eixo real o Pontos de início e término o Assíntotas Na aula de hoje, aprenderemos a refinar este esboço calculando: o Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real o Pontos de interseção do eixo j ω e o Ângulos de partida e de chegada.5.. Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real Veja a figura a seguir em que foi esboçado um LGR a partir das regras vistas na aula passada.

28 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura Exemplo de traçado de LGR [NISE] Este LGR sai do eixo real entre - e - e retorna a ele entre +3 e +5. O ponto onde o lugar deixa o eixo real, σ é chamado de ponto de saída e o ponto onde o lugar retorna ao eixo real, σ, é chamado de ponto de entrada. Como os dois pólos a malha fechada, os quais estão em - e - quando K = 0, movem-se de um deles em direção ao outro, o ganho aumenta a partir do valor zero. Concluímos que o ganho deve ser máximo no eixo real no ponto onde ocorre a saída, em algum lugar entre - e -. Naturalmente, o ganho aumenta além deste valor quando os pólos se deslocam para o plano complexo. Concluímos que o ponto de partida ocorre no ponto de ganho máximo sobre o eixo real entre os pólos de malha aberta. Usando um raciocínio análogo, podemos concluir que o ganho no ponto de entrada é o mínimo encontrado no eixo real entre os dois zeros. Sendo assim, lembrando que da equação (),

29 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 K = G e que nos pontos de chegada e saída s = σ (real) basta derivarmos a equação K = () s H () s G( σ ) H ( σ ) com relação a σ e fazermos a derivada igual a zero para encontrar os pontos de ganhos máximos e mínimos e, portanto os pontos de saída e de chegada. Exercício. Obter os pontos de saída e chegada para o lugar das raízes da figura anterior usando o cálculo diferencial. Uma outra forma de obter os pontos de saída e de chegada sem precisar de derivadas é o chamado método de transição que não será deduzido aqui (ver [NISE]). Seu enunciado é: Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação m = i= σ + zi i= σ + pi em que z i e p i são, respectivamente, os negativos dos zeros e dos pólos de G () s Hs() s. n Exercício. Repita o Exercício sem uso de derivação..5.. Pontos de interseção com o eixo j ω Os pontos de interseção do eixo j ω é um ponto no lugar das raízes que separa a operação estável do sistema da operação instável. 3

30 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Para encontrar o ponto de interseção no eixo j ω, podemos usar o critério de Routh-Hurwitz, já estudado em Controle I, como se segue: forçando uma linha de zeros na tabela de Routh se obterá o ganho; retornando à linha para a equação de polinômio par e determinando as raízes resulta a freqüência do ponto de interseção com o eixo imaginário. Exercício 3. Para o sistema da figura a seguir, cujo esboço do LGR foi obtido na aula passada, obter a freqüência e o ganho, K, para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Para que faixa de valores de K o sistema é estável? Figura Sistema do Exercício três [NISE] 4

31 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho Ângulos de partida e chegada Considere a figura a seguir que mostra os pólos e zeros de um sistema em malha aberta, alguns dos quais são complexos. Figura 3 LGR com zeros e pólos complexos [NISE] O lugar das raízes se inicia nos pólos a malha aberta e finaliza nos zeros a malha aberta. Para esboçar o lugar das raízes corretamente, precisamos calcular o ângulo de partida do lugar das raízes a partir dos pólos complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos. Se admitirmos um ponto ε no lugar das raízes próximo ao pólo complexo, a soma dos ângulos traçados a partir de todos os pólos e zeros finitos é um múltiplo ímpar de 80. Exceto para o pólo próximo ao ponto ε, admitimos que todos os ângulos traçados a partir de todos os outros pólos e zeros são desenhados diretamente ao pólo que está próximo do ponto ε. Desta forma, o único ângulo desconhecido na soma é o ângulo desenhado a partir do pólo que está próximo a ε. Podemos buscar a solução para este ângulo desconhecido, o qual também é o ângulo de partida deste pólo complexo. Portanto, a partir da figura anterior, θ o ( k + ) 80 + θ + θ 3 θ 4 θ 5 + θ 6 = 5

32 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 o ou = θ + θ θ θ + θ ( k + ) 80 θ De forma totalmente análoga podemos determinar ângulos de chegada a zeros complexos. Exercícios 4. Dado o sistema com retroação unitária da figura seguinte, encontre o ângulo de partida dos pólos e esboce o lugar das raízes. Figura 4 Sistema do Exercício quatro [NISE]. 5. [NISE, p.30] Dado um sistema com retroação unitária com função de transferência do canal direto: faça o seguinte: (a) Esboce o lugar das raízes G () s = K ( s + ) ( s 4s + 3) (b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário (c) Determine o ganho, K, no ponto de interseção do eixo j ω. (d) Determine o ponto de entrada. (e) Determine o ângulo de partida dos pólos complexos. RESPOSTAS: (b) s = ± j (c) K = 4 (d) Ponto de entrada = -7 (e) Ângulo de partida = -33, 6

33 Controle Aula 5T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 5T - Um Exemplo de LGR Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Um Exemplo de LGR Revisando: lugar das raízes é o caminho percorrido pelos pólos a malha fechada de um sistema à medida que se varia um parâmetro do sistema. Cada ponto s do LGR satisfaz o () s H ( s) = ( m + ) G Regras básicas para esboçar o lugar das raízes Número de ramos O número de ramos do LGR é igual ao número de pólos a malha fechada. Segmentos do eixo real Sobre o eixo real, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros a malha aberta finitos sobre o eixo real. Pontos de início e de término O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G () s H () s e termina nos zeros finitos e infinitos de ( s) H ( s) G. Comportamento no infinito (assíntotas) Sejam n = número de pólos em malha aberta

34 Controle Aula 5T Professor Marcio Eisencraft julho 004 m = número de zeros em malha aberta então valem Número de assíntotas = n m Ponto de encontro das assíntotas com o eixo real: pólos zeros σ A = n m o ( k + ) 80 Ângulos das assíntotas: θ A = com k = 0,,, n m. n m.6.. Regras adicionais para refinar o esboço Pontos de entrada e de saída do eixo real O LGR sai do eixo real no ponto onde o ganho é máximo e entra no eixo real no ponto onde o ganho é mínimo. Cálculo dos pontos de interseção com o eixo j ω Pode-se usar Routh-Hurwitz para determinar o ponto de interseção com o eixo j ω. Ângulos de partida e de chegada O lugar das raízes sai dos pólos complexos (entra nos zeros complexos) a malha aberta segundo ângulos que podem ser calculados da seguinte forma: admita um ponto ε próximo ao pólo (zero) complexo. Adicione a este ponto todos os ângulos desenhados a partir dos pólos e zeros a malha aberta. A soma é igual a ( k + ) 80. O único ângulo desconhecido é o do vetor o traçado a partir de ε próximo ao pólo (zero), visto que todos os outros pólos e zeros podem ser considerados ligados ao pólo (zero) complexo próximo ao ponto ε. Calculando o ângulo desconhecido obtém-se o ângulo de partida (ângulo de chegada).

35 Controle Aula 5T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Pontos específicos do LGR o Todos os pontos do LGR satisfazem a relação G( s) H ( s) = ( k + ) 80 ganho, K, em qualquer ponto sobre o lugar das raízes é dado por: K = G s () H () s. O Exercícios. Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir e determine o seguinte: Figura Sistema de controle do Exercício Um [NISE] (a) O ponto e o ganho exatos onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 0,45. (b) O ponto e o ganho exato onde o lugar cruza o eixo j ω. (c) O ponto de saída do eixo real. (d) A faixa de K na qual o sistema é estável.. [NISE, p.3] Dado um sistema com retroação unitária com a seguinte função de transferência do canal direto, faça o seguinte: (a) Esboce o lugar das raízes. G () s K = ( s )( s 4) ( s + 6s + 5) 3

36 Controle Aula 5T Professor Marcio Eisencraft julho 004 (b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. (c) Determine o ganho, K, no ponto de interseção com o eixo j ω. (d) Determine o ponto de entrada. (e) Determine o ponto onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 0,5. (f) Determine o ganho onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 0,5. (g) Encontre a faixa de ganho, K, para a qual o sistema é estável. RESPOSTAS: (b) s = ± j4, 06 (c) K = (d) Ponto de entrada = +,89 (e) s =,4 + j4, 8 (f) K = 0, 08 (g) K < 4

37 Controle Aula 7T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 7T - Técnicas de resposta em freqüência - Introdução Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas Técnicas de Resposta em Freqüência.. Introdução Método mais antigo do que o de lugar das raízes. Possui aplicações diferentes; por exemplo, ao se modelar funções de transferência a partir de dados físicos. Figura Analisador de espectro [NISE]

38 Controle Aula 7T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Veremos o conceito da resposta em freqüência, definindo-a, deduzindo expressões analíticas para a resposta em freqüência, desenvolvendo formas de esboçar a resposta em freqüência e então aplicar o conceito à análise e ao projeto de sistemas de controle.... O conceito da resposta em freqüência Em regime estacionário, entradas senoidais aplicadas a sistemas lineares geram respostas senoidais de mesma freqüência. Embora a freqüência da entrada e da saída sejam as mesmas, elas diferem com relação à amplitude e ao ângulo de fase. Estas diferenças são funções da freqüência. Você já sabe que senóides podem ser representadas por números complexos chamados de fasores. A senóide M cos ( ω t + φ ) é representada por M φ em que a freqüência ω fica implícita. Como o sistema provoca alterações tanto na amplitude quanto no ângulo de fase da entrada, podemos pensar no sistema representado por um número complexo, definido de tal modo que o produto do fasor pela função de sistema produza a representação do fasor de saída. Considere o sistema massa-mola da figura a seguir em que é aplicada uma força senoidal f () t = M i cos ( ω t + φ ). i Figura Sistema massa-mola com entrada senoidal [NISE].

39 Controle Aula 7T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Definimos então o número complexo M ( ω) φ( ω) de forma que ( ω) = ( M φ ( ω) )( M φ( ω) ) M O φo I I, ou M O ( ω) M ( ω) = M ( ω) e φ( ω) = φo ( ω) φi ( ω) I Estas equações constituem nossa definição de resposta em freqüência. Chamamos M ( ω) de magnitude da resposta em freqüência e φ ( ω) de fase da resposta em freqüência.... Expressões analíticas da resposta em freqüência Consideremos um sistema LIT com função de transferência G () s. Suponhamos que o sistema seja estável e que X ( s) e Y ( s) representem a transformada dos sinais de entrada e saída respectivamente. Figura 3 Sistema LIT no domínio s [NISE]. Admitamos que G () s seja expressa na forma: em que simplicidade. G () s = p( s) ( s + p )( s + p ) ( s + ), p, pn são os pólos do sistema supostos distintos por p, p n 3

40 Controle Aula 7T Professor Marcio Eisencraft julho Consideremos como entrada um sinal senoidal de amplitude A e freqüência ω, () ( ) t A t x ω sin = cuja transformada de Laplace você já deve saber que é: () ω ω + = s A s X Nessas condições, temos: () () () () ( ) ( )( ) ( )( )( ) ω ω ω ω ω j s j s p s p s p s A s P s A s G s X s G s Y n = + = = Esta resposta pode ser decomposta em frações parciais como () n n p s b p s b p s b j s a j s a s Y = ω ω em que a e a são complexos conjugados dados por ( ) j j G A a = ω e ( ) j j G A a * ω =. Em virtude da estabilidade do sistema, os termos do tipo: i i p s b +, n i,,, = correspondem a funções do tempo que tendem a zero quando este se torna suficientemente grande. Sendo assim, a resposta estacionária () t y corresponde aos dois primeiros termos da expansão: () ( ) ( ) + + = ω ω ω ω j s j j G j s j j G A s Y Antitransformando, vem: () ( ) ( ) + = t j t j e j j G e j j G A t y ω ω ω ω Fazendo ( ) ( ) ( ) ω ω ω Φ = j e j G j G e ( ) ( ) ( ) ω ω ω Φ = j e j G j G e lembrando que t j e e t j t j α ω ω sin =, temos:

41 Controle Aula 7T Professor Marcio Eisencraft julho 004 () t = AG( jω) ( ωt + Φ( ω) ) y sin Assim, vemos que G ( jω) = G( s) s= jω é a resposta em freqüência que definimos em... Ou seja, para um sistema estável, G jω = G s Resposta em freqüência = ( ) ( ) j ω..3. Gráficos da resposta em freqüência A resposta em freqüência, G( jω) = M G φg pode ser representada graficamente de várias maneiras. As principais são: o através de gráficos separados de magnitude e de fase, em função da freqüência; o por meio de um gráfico polar, em que o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase. Quando fazemos os gráficos de magnitude e fase separados, a curva de magnitude geralmente é traçada em decibéis (db) em função da freqüência em escala logarítmica. (db = 0 log M ). A curva de fase é construída com o ângulo de fase em função da freqüência em escala logarítmica. Exercícios. Determinar a expressão analítica de magnitude e de fase da resposta em freqüência de um sistema com função de transferência G () s =. Traçar s + 5

42 Controle Aula 7T Professor Marcio Eisencraft julho também ambos os diagramas de magnitude e de fase separados e em gráfico polar. (Use as escalas a seguir para ajudar).. [NISE, p. 43] (a) Determinar as expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta em freqüência de: () ( )( ) = s s s G (b) Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase usando a freqüência em rad/s na abscissa. (c) Construa um gráfico polar da resposta em freqüência. RESPOSTA: (a) ( ) ( ) ( ) ( ) > + = + = 8, 8 6 arctan 8, 8 6 arctan ; 6 8 ω ω ω π ω ω ω ω φ ω ω ω M

43 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 8T - Diagramas de Bode Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas Diagramas de Bode Os diagramas de Bode são gráficos de ganho e defasagem em função da freqüência, esta marcada em escala logarítmica. O ganho, freqüentemente é representado como 0 log G( jω). Esta unidade é chamada de decibel (db). Além de permitir, em muitos casos, o traçado de esboços das curvas de resposta em freqüência de maneira simples e imediata (através de aproximações assintóticas), os gráficos logarítmicos têm a vantagem adicional de transformar produtos e divisões em somas e subtrações, respectivamente. Veremos a seguir os termos que aparecem com mais freqüência na análise da resposta em freqüência. Consideremos inicialmente sistemas que tenham apenas pólos e zeros reais. Seja, pois, G () s da forma: G () s = k s N ( s + z ) ( s + z ) ( s + zm ) ( s + p ) ( s + p ) ( s + p ) Para a análise no domínio da freqüência, costuma ser conveniente reescrever G () s como: P G () s = K s N ( τs + )( τ s + ) ( τ M s + ) ( T s + )( T s + ) ( T s + ) P em que

44 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 K kz z z p p p M =, P τ i =, ( i =,,, M ) z i T i =, ( i =,,, P ) p i Fazendo s = jω e tomando o ganho em db, temos: M ( jω) = 0log K + 0 log+ jωτ i N 0log jω 0log G 0 log+ jωt i= P i= i enquanto a fase fica G M o ( jω ) = K + ( + jωτ ) N90 ( + jωt ) i= i P i= i As expressões acima indicam claramente a existência de três tipos de termos: A. Associados ao ganho K ; B. Associados a pólos e zeros na origem. C. Associados a pólos e zeros reais fora da origem. Nossa estratégia será então ver como a resposta em freqüência devido a cada uma dessas parcelas e depois somá-las para obter a resposta em freqüência do sistema todo.

45 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 A. Ganho K A contribuição de K para o gráfico de Bode é uma reta horizontal correspondente a 0 log K. Figura Contribuição do ganho K para o diagrama de Bode [DORF]. Em geral, K > 0 e, portanto, neste caso, K = 0. Desta maneira, o efeito do ganho K sobre os Diagramas de Bode se resume em deslocar o gráfico de ganho e manter inalterado o de defasagem. B. Termos associados a pólos e zeros na origem Pólos simples na origem correspondem a parcelas de ganho do tipo 0log jω. No gráfico de Bode, este termo representa uma contribuição na forma de uma reta com declividade -0dB/década (uma década é um par de freqüências tais que razão entre a maior e a menor é igual a 0). Para perceber isto, basta considerar duas freqüências ω e ω separadas por uma década ( ω = 0ω ) e notar que: ( ω ) = 0log( 0ω ) = 0 0 ( ) 0log ω log Essa reta passa por 0dB quando ω = rad/s. 3

46 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 A contribuição para a defasagem é de -90 independentemente da freqüência. Figura Contribuição de um pólo na origem [DORF]. Zeros simples na origem correspondem a parcelas de ganho do tipo + 0log jω, ou seja, retas com inclinação de +0dB/década e passando por 0dB quando ω = rad/s. Sua contribuição para a defasagem é de +90, qualquer que seja a freqüência. Figura 3 Contribuição de um zero na origem [DORF]. 4

47 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Quando os pólos (zeros) na origem têm multiplicidade N, o gráfico de ganho apresenta declividade 0N db por década ( + 0N db por década), enquanto o gráfico da defasagem se desloca para o o N90 ( + N90 ). C. Termos associados a pólos e zeros fora da origem Consideremos inicialmente o caso de pólos reais simples fora da origem. A contribuição para o ganho é do tipo Em baixas freqüências, tem-se: 0 log+ jωt. ωt << 0log+ jωt 0log = 0dB. Em altas freqüências: ωt >> 0log+ jωt 0log jωt No gráfico de Bode, este termo representa uma contribuição na forma de uma reta com declividade -0dB/década. Por fim, deve-se observar que, para ω = (freqüência de canto), tem-se: T ωt = 0log jωt = 0dB Essas duas retas definem aproximações assintóticas para o gráfico de Bode de 0 log+ jωt, válidas a partir de freqüências uma década acima ou a- baixo da freqüência de canto. O valor exato do ganho na freqüência de canto é: ωt = 0 log+ jωt 0log 3 db. Quanto à defasagem associada a um pólo real simples fora da origem, note que: ( + jωt ) = arctan( ωt ) Para freqüências baixas, adotamos a aproximação: 5

48 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 ω T << arctan( ωt ) 0 e, para altas freqüências: Na freqüência de canto: o ( T ) ω T >> arctan ω 90 o ( T ) = ω T = arctan ω 45. O erro cometido nas freqüências em que T = 0, ω e T = 0 ω é da ordem de 0,rad (6 ). Com isso traçamos as aproximações às curvas de ganho e defasagem através de trechos de reta, conforme mostra a figura a seguir. Figura 4 Contribuição de um pólo fora da origem [DORF]. A análise anterior conduz de imediato às aproximações referentes a zeros reais fora da origem, conforme os gráficos a seguir. Figura 5 Contribuição de um zero fora da origem 6

49 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Para o caso de pólos (zeros) de multiplicidade n, a freqüência de canto continua sendo ω = T. As assíntotas do gráfico são, para baixas freqüências, a reta 0dB e, para altas freqüências, a reta que passa pelo ponto tem declividade 0n db por década ( + 0n db por década). T, 0dB A defasagem é dada por n vezes aquela associada a um pólo (zero) simples. e Exercício s + 3. Esboce os gráficos de Bode para um sistema com G () s =. s( s + )( s + ) 7

50 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 D. Termos associados a pólos e zeros complexos conjugados Além dos termos vistos até aqui, correspondentes a pólos e zeros reais, é necessário considerar fatores associados a pólos e zeros complexos conjugados. Analisemos inicialmente fatores da Função de Transferência do tipo s + ω n ξωns + ωn, 0 < ξ < e, portanto, correspondentes a um par de pólos complexos conjugados. Essa forma particular de fatores de segunda ordem tem, como se verá adiante, ganho unitário em baixas freqüências. Podemos reescrevê-la como: s s ξ + ωn ωn +, 0 < ξ < Substituindo s por j ω e considerando o ganho em db, temos: ω ω 0log = 0 log + jξ, 0 < ξ < jω jω ωn ωn + ξ + ωn ωn As assíntotas do Diagrama de Bode de ganho podem então ser determinadas. Em primeiro lugar, consideremos a região de baixas freqüências, em que: ω ω ω << ωn 0 log + jξ 0log() = 0dB ωn ωn Por outro lado, na região de altas freqüências, tem-se: 8

51 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 ω ω n j ω ω ω >> ω 0 log + ξ 0log = db 40log ω n ωn n n ω ω Vemos que esta assíntota tem declividade de -40dB/década e passa pelo 0dB em ω = ω. Esta é a freqüência de canto para o fator de segunda ordem. n As duas assíntotas estão representadas na figura a seguir. Figura 6 Contribuição de um par de pólos complexos [DORF]. Nota-se que elas são independentes do coeficiente de amortecimento ξ. No entanto, obviamente o Diagrama de Bode de ganho depende de ξ. Se desenharmos os gráficos com exatidão, perceberemos que os mesmos apresentam um pico de ressonância nas vizinhanças de ω = ωn e que a amplitude deste pico depende de ξ, sendo tanto maior quanto menor for ξ (veja a figura a seguir). 9

52 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura 7 Diagrama de Bode de ganho - pólos complexos - vários ξ [DORF]. Pode-se mostrar que a freqüência de ressonância é ω r = ω n ξ ( 0 ξ ) sendo que para ξ não há ressonância. O valor do ganho M r na freqüência de ressonância é Note que quando ξ 0, M = r, ( 0 ξ ) ξ ξ M. Examinemos agora a defasagem. Temos: r 0

53 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 ω ω Φ = = + jξ j j ωn ω, 0 < ξ < ω ω n + ξ + ωn ωn e, portanto, em baixas freqüências: ω << ω enquanto, em altas freqüências: e na freqüência de canto o n Φ = 0 ω ω >> ωn Φ = 80 ωn o ( ) = ω = ωn Φ j ξ 90 o Da mesma forma que o ganho também a defasagem depende de ξ. As curvas de defasagem em função da freqüência normalizada ω, parametrizada ω n em ξ são mostradas na figura a seguir. Figura 8 - Diagrama de Bode de fase - pólos complexos - vários ξ [DORF].

54 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Para concluir este tópico, deve-se observar que, para fatores do tipo: s + ξω ns + ω ω n (com 0 < ξ < ) correspondentes a zeros complexos conjugados, as curvas de ganho e defasagem podem ser obtidas de imediato, invertendo o sinal daquelas associadas a pólos complexos conjugados. n PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE Uma das principais vantagens de se trabalhar com gráficos em escala logarítmica é que a multiplicação dos módulos é transformada em adição. Além disso, dispõe-se também de um método simples para esboçar de forma a- proximada o Diagrama de Bode do ganho utilizando-se assíntotas. O procedimento para construir os diagramas de Bode é o seguinte: Escrever G ( jω) na forma de um produto de fatores dos tipos apresentados anteriormente. Identificar as freqüências de canto associadas a cada um dos fatores. Desenhar as aproximações assintóticas das curvas de ganho em db para cada um dos fatores. Obter a soma das assíntotas do passo anterior. Havendo fatores de segunda ordem, esboçar as curvas de ganho na vizinhança de ω = ωn. Desenhar as curvas de defasagem para cada um dos fatores. Obter a soma das curvas do passo anterior.

55 Controle Aula 8T Professor Marcio Eisencraft julho 004 As aproximações assintóticas dos Diagramas de Bode têm duas características importantes, a saber: a facilidade de construção e a simplicidade com que se pode modificá-las. Exercícios. Esboce os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase para um sistema com G () s = s + 3 ( s + )( s + s + 5) 3. [NISE, p. 439] Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase para um sistema com: s + 0 G =. () s ( s + )( s + 7)( s + 50) 3

56 Controle Aula 9T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 9T - Estabilidade, margem de ganho e de fase. Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Estabilidade, margem de ganho e de fase por intermédio dos gráficos de Bode. A questão da estabilidade de um sistema em malha fechada é uma das mais importantes na área de Controle. Num projeto, é sempre fundamental assegurar que o sistema realimentado produzirá uma resposta limitada. Já estudamos como abordar este problema usando o LGR. Nesta aula, a- prenderemos a abordar esta questão através dos diagramas de Bode..3.. Determinação da estabilidade A base para a determinação da estabilidade a partir dos gráficos de Bode é o teorema da estabilidade de Nyquist. Teorema da Estabilidade de Nyquist: Dado um sistema estável em malha aberta, o sistema em malha fechada com realimentação negativa obtida a partir dele será estável se a resposta em freqüência do sistema a malha aberta tiver um ganho menor do que a unidade (0dB) quando a fase for 80. Este teorema não será demonstrado aqui. Para mais detalhes veja [DORF] ou [OGATA].

57 Controle Aula 9T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Exercício. [NISE, p. 453] Use os gráficos de Bode para determinar a faixa de valores de K para os quais o sistema com retroação unitária mostrado na Figura a K seguir é estável. Seja G () s =. ( s + )( s + 4)( s + 5) Figura Sistema de controle com retroação unitária. [NISE]

58 Controle Aula 9T Professor Marcio Eisencraft julho Calculando as margens de ganho e de fase As medidas de margem de ganho e de fase nos dão uma idéia de quão estável um sistema é. Suas definições são: Margem de ganho, G M : A margem de ganho é a mudança no valor do ganho a malha aberta no ponto com fase de 80, expressa em decibéis (db) necessária para tornar instável o sistema com malha fechada. Margem de fase, Φ M : A margem de fase é a mudança no valor da fase da malha aberta no ponto com ganho unitário necessária para tornar o sistema instável o sistema a malha fechada. A seguir mostraremos como calcular as margens de ganho e fase usando os gráficos de Bode. Veja a Figura a seguir. Figura Margens de ganho e fase nos diagramas de Bode. [NISE]. 3

59 Controle Aula 9T Professor Marcio Eisencraft julho 004 A margem de ganho é obtida usando o gráfico de fase para encontrar a freqüência, ω MG em que o ângulo de fase é 80. Nesta freqüência observe o diagrama de módulo para determinar a margem de ganho, G M que é o ganho necessário para elevar a curva de magnitude até 0dB. A margem de fase é obtida usando a curva de magnitude para encontrar a freqüência ω ΦM onde o ganho é 0dB. Sobre a curva de fase nessa freqüência, a margem de fase, Φ M é a diferença entre o valor da fase e 80. Exercícios. [NISE, p. 454] Encontre as margens de ganho e fase para o sistema do E- xercício para K = [NISE, p. 454] Repita o problema anterior para K = [NISE, p. 455] Para o sistema mostrado na Figura, em que: faça o seguinte: K G =, () s ( s + 5 )( s + 0)( s + 50) (a) Desenhe os gráficos logarítmicos de Bode de magnitude e fase. (b) Encontre a faixa de valores de K para estabilidade a partir do diagrama de Bode. (c) Calcule a margem de ganho, a margem de fase, a freqüência de zero db e a freqüência de 80 a partir do diagrama de Bode para K =

60 Controle Aula 0T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 0T Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência Vimos na Aula 8T que para um sistema de ª ordem da forma C R () s () s ωn = T () s =, () s + ζω n + ωn o gráfico de Bode de amplitude tem o formato mostrado na Figura para ζ < 0,7. M r ω r ω B Substituindo s por j ω na Equação () e calculando seu módulo chegamos a uma expressão para M ( ω) = G( jω). Calculando a derivada desta expres-

61 Controle Aula 0T Professor Marcio Eisencraft julho 004 são em relação a ω e fazendo a derivada igual a zero, chegamos ao valor máximo de M ( ω), M r e o valor em que ela ocorre ω r (Esta dedução fica como exercício). Seus valores são ω M r = ζ ζ r = ω n ζ. Pensando no sentido inverso, dado um gráfico de Bode de um sistema, a- través do seu valor e freqüência de ressonância, podemos obter o amortecimento ζ e sua freqüência natural ω n e a partir daí, usando as fórmulas vistas em Controle e revisadas nas Aulas 4P e 5P, as características de resposta transitória do sistema. As fórmulas vistas estão abaixo relacionadas novamente para referência rápida. Mais informações, veja [DORF], p U.P. Figura Resposta temporal e especificações [FRANKLIN]

62 Controle Aula 0T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Tempo de subida (tempo consumido em passar de 0 a 90% da magnitude do degrau de entrada) T R =,6ζ + 0, 60 ω n Tempo de acomodação (tempo a partir do qual a resposta permanece em torno de T S 4 = % do valor final) ζωn Ultrapassagem porcentual (porcentagem acima do valor final alcançado pela resposta transitória) U. P. = e πζ ζ Instante de pico (Instante em que ocorre o máximo da resposta transitória) T P = ω n π ζ U.P. % Figura 3 Relação entre ultrapassagem e amortecimento [FRANKLIN]. 3

63 Controle Aula 0T Professor Marcio Eisencraft julho 004 É importante observar que não haverá pico da resposta em freqüência para ζ > 0,707. Esta limitação de valor de ζ para pico sobre a curva de magnitude da resposta em freqüência não deve ser confundida com a ultrapassagem porcentual da resposta ao degrau em que existe a ultrapassagem para 0 < ζ <. A relação entre a ultrapassagem porcentual U.P. e o valor de pico da resposta em freqüência M P é dada aproximadamente pela figura a seguir. M r Figura 4 Pico da resposta em freqüência em função da ultrapassagem porcentual [NISE]..4.. Velocidade de resposta e resposta em freqüência Uma outra relação entre a resposta em freqüência e a resposta no domínio do tempo é entre a velocidade da resposta no domínio do tempo (medida pelo tempo de assentamento, pelo instante de pico e pelo tempo de subida) e a banda passante da resposta de freqüência. 4

64 Controle Aula 0T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Banda passante da resposta em freqüência é definida como a freqüência ω B em que o valor da curva de magnitude da resposta em freqüência está 3dB abaixo de seu valor na freqüência zero (veja a Figura ). A banda passante de um sistema com dois pólos pode ser obtida determinando a freqüência para a qual como exercício. O resultado é M = (isto é, -3dB). A dedução é deixada ω 4 ( ζ ) + 4ζ 4 + = ω ζ B n. Para relacionar ω B ao tempo de assentamento, substituímos Equação acima e obtemos: ω n 4 = na T ζ S ω B 4 ( ζ ) + 4ζ = ζ ζt S De modo semelhante, como ωn = T P π ζ, 4 ( ζ ) + 4ζ 4 + π ωb = ζ T ζ P. Na figura a seguir são mostrados gráficos normalizados das equações acima e também a relação entre a banda passante pelo tempo de subida e a relação de amortecimento. 5

65 Controle Aula 0T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura 5 Banda passante normalizada em função da relação de amortecimento ζ Exercícios. [NISE, p. 457] Encontre a banda passante a malha fechada necessária para uma ultrapassagem de 0% e um tempo de assentamento de s.. [NISE, p. 483] Para cada sistema com as seguintes características de desempenho, encontre a banda passante necessária. (a) ζ 0,, T = 3s = S (b) ζ 0,, T = 3s = P (c) T 4 s, T = s S = P (d) ζ 0,3, T = 4 s. = r RESPOSTAS: (a) 0,06rad/s; (b),63rad/s; (c),9rad/s; (d) 0,4803 rad/s. 6

66 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula T - Sistemas de Controle Digital Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, ª. Edição, Bookman Company, 000. Páginas Introdução Surge com o desenvolvimento dos microcomputadores (década de 60). Duas funções: () supervisão () Controle substitui métodos de compensação Componentes analógicos são substituídos por cálculos do computador digital que imitam o componente físico. Vantagens dos computadores digitais () redução de custo. () flexibilidade para realizar mudanças de projeto. (3) imunidade a ruído. Configuração Típica Figura Configuração típica de um sistema de controle digital [NISE] Conversão Digital-Analógica Simples e instantânea. Exemplo:

67 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Bit menos significativo Saída analógica Bit mais significativo Figura Conversor Digital Analógico [NISE] Exemplo: 0 = 6V. Chaves são eletrônicas: transistores. Conversão Análogo-Digital Duas etapas: amostragem e quantização. Figura 3 Amostragem e quantização [NISE].

68 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho Modelando o computador digital Amostragem e retenção em intervalos especificados fazem com que o desempenho do sistema mude com a taxa de amostragem. Modelando o amostrador Figura 3 Modelo do Amostrador [NISE]. f * () t = f ( kt ) δ ( t kt ) k = 0 () Modelando o extrapolador de ordem zero (ZOH) G () s Ts e = ( g( t) u( t) u( t T ) s = ) 3

69 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho A Transformada z Em sistemas digitais, estabilidade e resposta transitória dependem também da taxa de amostragem além dos valores dos componentes. A transformada Z inclui esta informação com a facilidade da Transformada de Laplace. Aplicando Laplace ao sinal amostrado ideal, temos: F () s = f ( kt ) k = 0 e kts Ts Fazendo z = e, podemos reescrever como: F ( z) = f ( kt ) k = 0 z k () Esta equação define a Transformada-z ( kt ) F( z) f Exercício. Determine a transformada Z de uma rampa unitária amostrada. As Tabelas a seguir mostram algumas transformadas úteis e propriedades importantes das Transformadas Z. 4

70 Controle Aula T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Capítulo 3: Sistemas de Controle Digital Tabela 3. Tabela parcial de transformadas z e de Laplace sen sen sen sen sen sen Copyright 003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright 000 John Wiley, Inc. 9 Capítulo 3: Sistemas de Controle Digital Tabela 3. Teoremas da transformada z Teorema Designação Teorema da linearidade Teorema da linearidade Derivação complexa Translação real Derivação complexa Teorema do valor inicial Teorema do valor final Nota: na tabela, kt deve ser substituído por t. Copyright 003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright 000 John Wiley, Inc. 0 5

71 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 3T - Funções de transferência digitais Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, ª. Edição, Bookman Company, 000. Páginas Transformada Z inversa Com base na tabela anterior, observamos que as funções exponenciais amostradas se relacionam com suas transformadas Z por: akt z e at z e Devemos então usar expansão em frações parciais da forma F Assim, primeiro formamos Az z z Bz z ( z) = + + F( z) z z para eliminarmos os termos z do nu- F( z) merador, executamos a expansão em frações parciais de e finalmente z multiplicamos o resultado por z para fazer aparecer os z s no numerador das frações. Exercício. Determine a função no domínio do tempo amostrado tal que a transformada seja 0,5z F ( z) =. ( z 0,5)( z 0,7) 3.4. Funções de Transferência Assim como no caso analógico, podemos obter funções de transferência relacionando sinais amostrados em sistemas digitais.

72 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura Sistemas com dados amostrados: (a) contínuo; (b) entrada amostrada; (c) entrada e saída amostrados [NISE]. Dedução da função de transferência pulsada Dada uma entrada r () t, ao passá-la pelo amostrador, temos, () t = r( nt ) ( t nt ) r δ n= 0 em que r () t é uma soma ponderada de impulsos. A resposta ao impulso de G () s é [ G () s ] = g() t. Assim, () t = r( nt ) g( t nt ) n= 0 Amostrando este sinal, temos: c

73 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 c ( kt ) = r( nt ) g( kt nt ) = r( nt ) g[ ( k n) T ] n= 0 n= 0 Vamos então calcular C k k ( z) = c( kt ) z = r( nt ) g[ ( k n) T ] z k = 0 Fazendo m = k n ou k = m + n, k= 0 n= 0 Assim, C ( z) = r( nt ) g( mt ) = = m+ n= 0 n= 0 m= 0 = G g g m+ n= 0 m ( mt ) z r( nt ) m ( mt ) z r( nt ) ( z) R( z) n= 0 n= 0 z m z z z n n n = = = ( z) G( z) R( z) C = G ( z), a transformada Z de g ( kt ) é a chamada função de transferência pulsada do sistema. Uma forma de obter G ( z) é começar com G ( s), determinar g () t e então usar a tabela vista para encontrar G ( z). 3

74 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Exercícios s. Dado um z.o.h. em cascata com G () s = s G () s e = s Ts + + ( s + ) ( s + ), ou seja, determinar a função de transferência de dados amostrados G ( z) se o período de amostragem, T, for 0,5s. 3. Determine G ( z) para G () s em cascata com um amostrador e extrapo- 8 = s + 4 lador de ordem zero. O período de amostragem é 0,5s. 4

75 Controle Aula 3T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Tabela 3. Tabela parcial de transformadas z e de Laplace 5

76 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 4T - Redução de diagramas de blocos Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. ª edição, Prentice Hall, 997. Páginas Redução de diagramas de blocos O processo de redução de diagramas de blocos funciona de forma análoga ao já aprendido no domínio contínuo. Só é necessário tomar alguns cuidados. G Por exemplo, { () s G ( s) } G ( z) G ( z). Devemos primeiramente multiplicar G () s G ( s) = GG ( s) e aí obter a transformada ( z) { G G ( s) } G ( z) G ( z) GG =. Conversão Básica Figura Conversão básica [NISE] Idéia: Reduzir o diagrama a blocos de conversão básica. Truque : Sempre podemos colocar um amostrador imaginário na saída de qualquer subsistema que tenha uma entrada amostrada desde que a natureza do sinal enviado para qualquer outro subsistema não seja mudado. Exercícios Exemplos. Para o sistema a seguir, encontre ( z) ( z) () z C T =. R

77 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Figura Diagrama de blocos do Exercício [NISE].. Para o sistema a seguir, encontre ( z) ( z) () z C T =. R Figura 3 Diagrama de blocos do Exercício [NISE]. 3. Para o sistema a seguir, encontre ( z) ( z) () z C T =. R Figura 4 Diagrama de blocos do Exercício 3 [NISE]. 4. Para o sistema a seguir, encontre ( z) ( z) () z C T =. R Figura 5 Diagrama de blocos do Exercício 4 [NISE].

78 Controle Aula 4T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Solução: Figura 6 Solução do Exercício 4 [NISE]. 5. Para o sistema a seguir, encontre ( z) ( z) () z C T =. R Figura 7 Diagrama de blocos do Exercício 5 [NISE]. 3

79 Controle Aula 5T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 5T - Estabilidade em sistemas digitais Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. ª edição, Prentice Hall, 997. Páginas Estabilidade Já sabemos que a condição de estabilidade para um sistema descrito no domínio de Laplace é que os pólos da função de transferência que descreve o sistema tenham parte real negativa. Qual será a condição equivalente no domínio Z? A condição de estabilidade para um sistema descrito por A, com pó- + a lo a é Re {} a > 0. Como sabemos que A s + a o pólo equivalente no domínio Z é at e z z e. Como at at Re a > 0 e < concluímos a seguinte condição de estabilidade no plano Z, s Condição de estabilidade no plano z: todos os pólos devem ter módulo menor do que a unidade, ou seja, pertencentes ao interior da circunferência unitária.

80 Controle Aula 5T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Exercícios. Determine a faixa de valores do período de amostragem T que fará com que o sistema mostrado na figura a seguir seja estável. C(s) + - e Ts s 0 s + R(s) Extrapolador Processo a controlar. Determine a faixa de valores do período de amostragem, T que fará com que o sistema da figura seguinte seja estável. C(s) + - e Ts s 0 s + 5 R(s) Extrapolador Processo a controlar

81 Controle Aula 6T Professor Marcio Eisencraft julho 004 Aula 6T - Exercícios Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. ª edição, Prentice Hall, 997. Páginas Determine a faixa de valores do período de amostragem, T que fará com que o sistema da figura seguinte seja estável. C(s) + - e Ts s Extrapolador 0 s + 5 Processo a controlar R(s). Um controlador implementado num computador digital é modelado pela função de transferência pulsada: ( z) z 4 = ( z) ( z 0,8)( z 0,5) R G ( z) =. C Determine a resposta ao degrau deste sistema, ou seja, determine r ( kt ) para c ( kt ) = u( kt ), sendo T o intervalo de amostragem. 3. Use transformada Z para resolver a equação de diferenças: ( kt ) 0,9y( kt T ) + 0,y( kt T ) = u( kt ) y. 4. Usando a expansão em frações parciais e a tabela dada, determine a transformada Z para cada G(s) a seguir se T = 0, 5s. G () s = 7 ( s + )( s + 4s + 3)

82 Universidade Presbiteriana Mackenzie Curso de Engenharia Elétrica Controle II Laboratório Prof. Marcio Eisencraft Segundo semestre de 004

83 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Aula P - Exemplos da utilização do Matlab na área de controle Bibliografia DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 00. Páginas HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. ª edição, Bookman, 000. Páginas Introdução O Matlab é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento de projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do mundo. Na área de Engenharia Elétrica e, mais precisamente, na Engenharia de Controle vem adquirindo um caráter quase fundamental. O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para representar dados de uma forma simples (Matlab = Matrix Laboratory). Esta forma de representação praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE simplificando e acelerando muito os programas. A família de programas Matlab inclui o programa básico mais uma variedade de toolboxes que estendem as funcionalidades do programa. Para a área de controle o toolbox Control System Toolbox é bastante interessante. Uma sessão típica de utilização do programa utilizará sentenças e variáveis, matrizes, gráficos e scripts. Desta forma, nesta aula, veremos exemplos de cada um desses objetos. Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando, a função <help comando> pode lhe ajudar.. Sentenças e variáveis O Matlab utiliza o sinal igual ( = ) para atribuir uma expressão a uma variável. Por exemplo, o comando: >> A = [ ; 4 6] A = 4 6

84 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 atribui uma matriz x a uma variável de nome A. A matriz A é automaticamente mostrada na tela quando a sentença é executada. Se a sentença fosse seguida por um ponto-e-vírgula (;) a exibição seria suprimida. Apesar disso, a atribuição é feita da mesma forma. Toda vez que você não quiser ver o resultado de uma sentença na tela, simplesmente adicione um ponto-e-vírgula (;) em seu final. >> A = [ ; 4 6]; >> >> A = [ ; 4 6] A = 4 6 Sem maiores dificuldades o Matlab pode ser usado como uma calculadora científica, bastando digitar as operações na sua linha de comando. Veja os exemplos a seguir: >>.4/6.9 ans = >> +/3 ans = >> a = 3; >> b = 0; >> a+b ans = 33 >> a-b ans = 3 >> sin(pi/) ans =

85 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 É importante lembrar que o Matlab reconhece diferenças entre letras maiúsculas e minúsculas. Assim, as variáveis M e m são diferentes. >> M = [ ]; >> m = [3 5 7]; >> M M = >> m m = O Matlab possui algumas variáveis pré-definidas como pi, i, j, Inf, NaN. Veja os exemplos: >> z = 3+4*i z = 3 + 4i >> /0 ans = Inf >> 0/0 Warning: Divide by zero. ans = NaN Para ver as variáveis já criadas até aqui, utilize o comando who. >> who Your variables are: A M a ans b m z 3

86 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Informações mais completas sobre as variáveis já definidas podem ser obtidas com o comando whos. >> whos Name Size Bytes Class A x 3 double array M x 6 double array a x 8 double array ans x 8 double array b x 8 double array m x3 4 double array z x 6 double array (complex) Grand total is 3 elements using bytes Variáveis podem ser removidas do espaço de trabalho com o comando clear. Utilizado sozinho, ele apaga todas as variáveis definidas. Para apagar somente a variável A utilize >> clear A >> who Your variables are: M a ans b m z 3. Matrizes Como já foi dito, o Matlab tem como principal característica a fácil manipulação de vetores e matrizes. Uma típica matriz é cercada de colchetes [.]. Os elementos das colunas são separados por espaços ou vírgulas e as linhas separadas por ponto-e-vírgulas (;) ou retorno de linha (Enter). Suponha que desejamos entrar uma matriz A dada por A = log asin 4 j π. ( ) sin( ) cos( π 3) ( ) ( ) 0,8 0,8 a cos 0,8 e 4

87 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Uma forma de fazer isso é >> A = [ -4*j sqrt(); log(-) sin(pi/) cos(pi/3);asin(0.5) acos(0.8) exp(0.8)] A = i i A matriz A pode ser redefinida a qualquer momento como em >> A = [ ; 4 5] A = 4 5 A operação entre matrizes requer apenas que as dimensões sejam compatíveis. Veja os exemplos a seguir >> A = [ 3; 5 9] A = >> B = [4-7; 0 0] B = >> A+B ans = >> b = [;5] b = 5 >> A*b ans = 5

88 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho >> A' ans = As operações matriciais básicas podem ser modificadas para operações elemento a elemento precedendo o operador por um ponto. Veja o seguinte exemplo: >> A = [ ] A = >> B = [ 3] B = 3 >> A*B??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. >> A.*B ans = >> A^??? Error using ==> ^ Matrix must be square. >> A.^ ans = Uma outra ferramenta importante é a notação :. Esta notação permite gerar uma matriz linha contendo os números começando em um dado valor inicial, xi até um valor final xf com um incremento especificado dx. Veja os exemplos: 6

89 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 >> a = 0:.5: a = >> b = 0:-: b = >> a+b ans = Podemos gerar facilmente vetores usando a notação : e veremos na próxima sessão que isto é muito útil para gerar gráficos. Suponha que nosso objetivo seja gerar um gráfico de y xsin( x) = versus x para x = 0 0, 0,, 0. Nosso primeiro passo será gerar os valores de x e y o que pode ser facilmente feito, como mostrado a seguir: >> x = 0:0.:; >> y = x.*sin(x); Podemos visualizar os valores obtidos facilmente usando >> [x' y'] ans =

90 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho Exercícios. Considere as matrizes 3 A = j4 π 3 + j 3 e j6 B = π 3π 5 Escreva uma seqüência de comandos Matlab que permita calcular as seguintes expressões. Escreva também seus resultados. (a) A + B (e) B (b) AB (f) B A (c) A (g) A + B AB (d) A RESPOSTAS: 4. Gráficos Os gráficos têm um papel importante no projeto e análise de sistemas de controle. Veremos agora algumas ferramentas gráficas básicas do Matlab. Os comandos a seguir fazem um gráfico de y xsin( x) = versus x para x = 0 0, 0,,0. Tente entender o que cada linha faz. Na dúvida use a ajuda help <comando>. >> x = 0:0.:; 8

91 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 >> y = x.*sin(x); >> plot(x,y) >> title('grafico de y = x sin(x) versus x'); >> xlabel('x'); >> ylabel('y'); >> grid on Múltiplos gráficos podem ser feitos no mesmo eixo utilizando-se a função plot com múltiplos argumentos. O tipo de linha utilizado também pode ser alterado. Para ver os tipos de linha admitidos, utilize help plot. Veja um exemplo a seguir e tente entender o que cada linha está fazendo. Lembre-se de usar o help em caso de dúvida! >> x = 0:0.:; >> y = x.*sin(x); >> y = sin(x); >> plot(x,y,'b--', x,y,'r-.'); >> text(0.,0.85,'y_ = x sin(x) ---'); >> text(0.,0.80,'y_ = sin(x).-.-'); >> xlabel('x'); >> ylabel('y_ e y_'); >> grid on; 9

92 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Exercício. Gere um gráfico de em que ω = 0 rad/s e 0 x 0 y 0,5x ( x) = e sinωx,. Utilize a notação : para gerar o vetor x com incrementos de 0,. RESPOSTA: (ESCREVA OS COMANDOS NECESSÁRIOS) 5. Scripts Até este ponto, todas as nossas interações com o Matlab têm sido através da linha de comando. Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab interpreta nossa entrada e toma a ação apropriada. Este é o modo de operação preferencial quando nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva. 0

93 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 No entanto, o real poder do Matlab para análise e projeto de sistemas de controle vêm da sua habilidade em executar uma longa seqüência de comandos armazenados num arquivo. Estes arquivos são chamados de arquivos-m porque seus nomes têm a forma nomearq.m. Um script é um tipo de arquivo-m. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser criados usando um editor de texto. Um script é uma seqüência de comandos e funções comuns usados na linha de comando. Um script é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo. Scripts podem invocar outros scripts. Quando um script é invocado, o Matlab executa os comandos e funções no arquivo como se eles tivessem sido digitados diretamente na linha de comando. O script opera sobre as variáveis do espaço de trabalho. Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função y() t sin t = α em que α é uma variável que queremos variar. Usando o editor de texto do Matlab (basta ditar edit na linha de comando), podemos escrever um script chamado plotdata.m como mostrado a seguir. % Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) % O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes % de se chamar este script t = 0:0.0:; y = sin(alfa*t); plot(t,y); xlabel ('tempo(s)'); ylabel('y(t) = sin(\alpha t)'); grid on; É importante salvar o scritpt no mesmo diretório em que se está trabalhando na linha de comando. Caso contrário, ao tentar executar o script o Matlab não encontrará o arquivo e exibirá uma mensagem de erro. Este erro é muito comum quando estamos começando a trabalhar com scripts. Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. Veja os exemplos a seguir: >> alfa = 50; >> plotdata

94 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 >> alfa = 0; >> plotdata Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários, linhas que começam com %. Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script Ao utilizar o comando help nomearq o Matlab apresenta estas linhas na tela. Por exemplo, >> help plotdata Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes de se chamar este script

95 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 O conjunto de ferramentas que o Matlab oferece a um Engenheiro são muito mais amplas do que as mostradas nesta introdução. Durante o curso teremos oportunidade de trabalhar com muitas outras. Exercícios 3. Considere a função y x ( x) + e cos( ωx) =. Desenvolva um script para fazer, num mesmo eixo, gráficos para três valores de ω, ω = 0,; 0,5; rad/s com 0 x segundos. O gráfico final deve ter os seguintes a- tributos: x Título y( x) = + e cos( ωx) Nome do eixo x tempo(s) Nome do eixo y y ( x) Tipo de Linha ω = 0, : linha sólida ω = 0,5 : linha tracejada ω = : linha pontilhada Grade grid on RESPOSTA: (ESCREVA OS COMANDOS NECESSÁRIOS) 3

96 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho Resolva o Exercício.43 página 84 do [HAYKIN]. 5. Resolva o Exercício F4 página 644 do [DORF]. 4

97 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Aula P - Utilização do pacote de Controle do Matlab para a representação de sistemas (ª parte) Bibliografia DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 00. Páginas HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. ª edição, Bookman, 000. Páginas Introdução As aplicações das ferramentas de projeto e análise das teorias de controle clássico e moderno são baseadas em modelos matemáticos. O Matlab trabalha de forma muito simples com sistemas descritos por funções de transferência. Veremos, através de exemplos práticos simples, como o Matlab pode ser útil no projeto e análise de sistemas de Controle.. Polinômios O Matlab pode ser utilizado para analisar sistemas descritos por funções de transferência. Como uma função de transferência é uma razão de polinômios, vamos começar investigando como o Matlab trabalha com polinômios. No Matlab, polinômios são representados por vetores linhas contendo os coeficientes do polinômio em ordem decrescente. Por exemplo, o polinômio: é entrado como >> p = [ 3 0 4]; p ( s) = s 3 + 3s + 4 Note que mesmo o coeficiente do termo em s seja zero, ele precisa ser colocado na definição de p () s. Se p é um vetor linha contendo os coeficientes de p ( s) em ordem decrescente, então roots(p) é um vetor coluna contendo as raízes do polinômio. Por outro lado, se r é um vetor coluna contendo as raízes do polinômio, então poly(r) é um vetor linha contendo os coeficientes do polinômio em ordem decrescente.

98 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Os comandos seguintes calculam as raízes do polinômio ( s) = s 3 + 3s + 4 usa o comando poly para obter novamente o polinômio. >> p = [ 3 0 4]; %p(s) = s^3+3s^+4 >> r = roots(p) %Calcula as raízes de p(s) = 0 r = i i >> p = poly(r) %Reconstroi o polinômio a partir das raizes p = p e depois A multiplicação de polinômios é feita utilizando-se a função conv. Suponha que queiramos expandir o polinômio n () s em que n () s = ( 3s + s + )( s + 4) Os comandos Matlab necessários para fazer esse produto são mostrados a seguir utilizando a função conv. >> p = [3 ]; q = [ 4]; >> n = conv(p, q) %Multiplica p por q n = Assim, o polinômio expandido é ( s) = 3s + 4s + 9s + 4 n. A função polyval é usada para calcular o valor de um polinômio para certo valor da variável. Por exemplo, para calcular n ( 5) : >> valor = polyval(n,-5) %Calcula n(s) em s=-5 valor = -66 Exercício. Considere os dois polinômios Calcule, usando o Matlab: q ( s) = s + () s = s + p s +

99 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 (a) p ()() s q s (b) os pólos e zeros de G () s = (c) p ( ) Respostas: (a) (b) (c) q p () s () s 3. Funções de Transferência O pacote Matlab Control System Toolbox trata modelos de sistemas lineares invariantes no tempo como objetos, permitindo a manipulação desses modelos como entidades únicas. No caso de funções de transferência, modelos de sistemas podem ser criados utilizandose a função tf. Por exemplo, para criar uma função de transferência formada com os num polinômios num e den, G () s = usamos: den sys = tf(num, den) Baseado nas capacidades de programação orientada a objeto do Matlab, os objetos de modelagem de sistemas passam a possuir propriedades de objeto que podem ser modificadas. Da mesma forma, muitas das funções que operam sobre números podem ser aplicadas sobre os objetos criados. Por exemplo, se tivermos os dois modelos de sistema: 0 + s + 5 G () s = e () s s G =, s + podemos somá-los utilizando o operador + e obter s + s + 5 G () s = G () s + G () s =. 3 s + 3s + 7s + 5 3

100 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Os comandos Matlab correspondentes estão mostrados a seguir em que sys representa G () s e sys representa () s G. >> num = 0; den = [ 5]; >> sys = tf(num, den) Transfer function: s^ + s + 5 >> num = ; den = [ ]; >> sys = tf(num,den) Transfer function: s + >> sys = sys + sys Transfer function: s^ + s s^3 + 3 s^ + 7 s + 5 Para computar os pólos e zeros associados a uma função de transferência basta utilizar as funções pole e zero como mostrado a seguir >> sys = tf([ 0], [ ]) Transfer function: s s^ + s + >> p = pole(sys) p = - - >> z = zero(sys) z = -0 4

101 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 A função pzmap permite obter um gráfico da localização dos pólos e zeros de uma função de transferência no plano complexo. No mapa de pólos e zeros, zeros são representados por um o e pólos por um x. Seu formato é [P,Z] = pzmap(sys) em que P: pólos colocados num vetor coluna Z: zeros colocados num vetor coluna num sys: G () s =. den Se utilizarmos somente pzmap(sys)um gráfico com os pólos e zeros é gerado automaticamente. Exercício. Considere as seguintes funções de transferência 6s 3 s + 3s Utilizando-se o Matlab, pede-se: + + 3s + G () s = e H () s (a) Compute os pólos e zeros de G (s) (b) Obtenha a equação característica de H ( s). = ( s + )( s + ) ( s + j)( s j)( s + 3) ( ) () G s (c) Obtenha a função de transferência do sistema L () s =. H s (d) Obtenha um gráfico dos pólos e zeros de L ( s) no plano complexo. Respostas (Escreva os comandos utilizados e os resultados): (a) (b) (c) 5

102 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 (d) 4. Modelagem com diagramas de blocos Suponha que você tenha desenvolvido modelos matemáticos na forma de funções de transferência para uma planta, representada por G ( s) e um controlador, representado por G C () s e possivelmente para vários outros componentes do sistema como sensores e atuadores. Nosso objetivo é interconectar estes componentes para formar um sistema de controle. Utilizaremos as funções do Matlab para fazer transformações nos diagramas de blocos. Podemos usar o comando series para cascatear duas funções de transferência como mostrado a seguir em que sys = G () s sys = G () s Y T = U sys = () s () s () s sys = series(sys, sys) Exercício 3. Considere um sistema de controle em malha aberta constituído de um controlador em série com uma planta como mostrado a seguir. 6

103 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Vamos supor que o processo seja representado pela função de transferência G () s dada por e o controlador G C () s seja G = 500s () s G C () s s + = s + Pede-se: (a) Calcule (usando lápis e papel) a função de transferência global (b) Agora use o Matlab para conferir seu resultado. RESOLUÇÃO (a) Y R ( s) () s. (b) (Comandos utilizados) 4. Resolver exercício 6.30 página 444 do [HAYKIN]. 5. [NISE, p. 70] Use o Matlab para obter os pólos de: T () s = s 4 s + 6s 3 + s + + 4s + 7s + 7

104 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Aula 3P - Utilização do pacote de Controle do Matlab para a representação de sistemas (ª parte) Bibliografia DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 00. Páginas NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle, 3ª edição, LTC, 00. Páginas Modelagem com diagramas de blocos Diagramas de blocos freqüentemente têm funções de transferência em paralelo. Nestes casos, a função parallel pode ser bastante útil. A função parallel tem a seguinte sintaxe: em que sys = G () s sys = G () s () sys = parallel(sys, sys) Y s sys = T () s = U () s Podemos introduzir um sinal de realimentação no sistema de controle fechando o laço com uma realimentação unitária como mostrado a seguir.

105 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 O sinal E a () s é um sinal de erro; o sinal ( s) R é uma entrada de referência. Neste sistema de controle, o controlador está no caminho direto e a função de transferência de malha fechada é: T () s GC = G ( s) G( s) () s G() s em que o sinal do denominador é definido pelo sinal do sinal realimentado. C A função feedback pode ser utilizada no processo de redução de diagramas de blocos para computar funções de transferência de malha fechada para sistemas com um ou vários laços. É freqüente o caso em que o sistema de controle em malha fechada tem realimentação unitária. Neste caso, podemos utilizar a função feedback fazendo H () s = função feedback para o caso de realimentação unitária é mostrado a seguir:. O uso da em que sys = () s G() s G C sys = feedback(sys,[], sign) sign = + realimentação positiva - realimentação negativa (default) Y T = R sys = () s () s () s O caso geral do uso da função feedback é mostrado a seguir

106 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 em que sys = G () s sys = H () s sign = + realimentação positiva sys = () s Exemplo sys = feedback(sys,sys, sign) - realimentação negativa (default) Y T = R () s () s Calcule a função de transferência do sistema em malha fechada a seguir quando s + = s + G =. 500s G C () s e () s Resposta: Podemos usar, por exemplo, a seguinte seqüência de comandos: >> numg = []; deng = [ ]; g = tf(numg, deng); >> numgc = [ ]; dengc = [ ]; gc = tf(numgc, dengc); >> ggc = series(g,gc); >> sys = feedback(ggc,[],-) 3

107 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Transfer function: s s^ s^ + s + Y s e assim, R s () s + = 3 () 500s + 000s + s +. Exercício. Calcule a função de transferência Y R ( s) () s para o seguinte sistema de controle: com () s 500s G = e H () s s + =. Depois, utilize o Matlab para conferir sua resposta. s + RESPOSTA (Cálculos e comandos Matlab): 4

108 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 As funções series, parallel e feedback podem ser usadas para ajudar na manipulação de diagramas de blocos em sistemas com vários laços. A função minreal tem como finalidade simplificar funções de transferência quando isto é possível. Por exemplo, vamos supor que tenhamos encontrado a função: G () s = s + s + s + neste caso, claramente, existe um fator s + que pode ser cancelado no numerador e no denominador resultando numa função de transferência mais simples. Isto pode ser obtido com o comando minreal. Seu formato é sys = minreal(sys) em que sys = sistemas com possíveis pólos e zeros comuns sys = sistema sem fatores comuns No nosso exemplo, >> G = tf([ ], [ ]) Transfer function: s^ + s s + >> G = minreal(g) Transfer function: s + Exemplo prático: Controle de um motor de tração elétrica Vamos considerar agora um sistema de motor de tração elétrica. O diagrama de blocos é mostrado a seguir 5

109 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Nosso objetivo é computar a função de transferência em malha fechada e investigar a resposta () s ω s. ω a uma entrada ( ) d O primeiro passo, como mostrado a seguir, é computar a função de transferência em malha fechada ω ω ( s) () s d = T () s. >> numg = 0; deng = [ ]; g = tf(numg,deng); >> numg = ; deng = [ 0.5]; g = tf(numg, deng); >> numg3 = 540; deng3 = ; g3 = tf(numg3, deng3); >> numh = 0.; denh = ; h = tf(numh, denh); >> sys = series(g,g); >> sys = feedback(sys,h,-); >> sys3 = series(sys,g3); >> T = feedback(sys3,[],-) Transfer function: s^ +.5 s O polinômio característico deste sistema é de segunda ordem, da forma s ξω + ωn + ns com ω n = 5 e ξ = 0, 0. Como o amortecimento é pequeno, esperamos que a resposta deste sistema seja altamente oscilatória. 6

110 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 Podemos investigar a resposta ( t) ω devida a uma entrada de referência ω () t utilizando a função step. Esta função, cuja descrição é mostrada a seguir, calcula a resposta a um degrau unitário de um sistema linear. d [y,t] = step(sys,t) em que y = vetor contendo a resposta ao degrau T = vetor contendo os instantes de tempo utilizados na simulação sys = função de transferência a ser analisada t = T = vetor de tempos fornecido pelo usuário ou t = Tfinal = tempo final da simulação A função step é bastante importante porque as especificações de desempenho de um sistema de controle são freqüentemente dadas em termos da resposta ao degrau. Se o único objetivo é fazer um gráfico da saída y ( t), podemos usar a função step sem argumentos do lado esquerdo e obter um gráfico automaticamente já com os eixos nomeados. Se for necessário y () t para qualquer outro propósito além de fazer um gráfico, precisamos usar a step com os argumentos do lado esquerdo. Em seguida usamos o comando plot para fazer um gráfico de y ( t). Definimos t como um vetor linha contendo os tempos em que desejamos o valor da variável de resposta y () t.podemos também selecionar t = Tfinal o que resulta numa resposta ao degrau de t = 0 a t = t FINAL e o número de pontos intermediários é escolhido pelo Matlab. Para o nosso motor de tração elétrica, a resposta ao degrau pode ser obtida executando o script mresps.m mostrado a seguir. 7

111 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 % Este script computa a resposta ao degrau % de um motor de tração com velocidade controlada % num = [5400]; den = [.5 540]; sys = tf(num, den); t = 0:0.005:3; [y,t] = step(sys,t); plot(t,y); grid; xlabel('tempo(s)'); ylabel('velocidade controlada'); Como esperado, a velocidade controlada dada por y ( t) é altamente oscilatória. Note que a saída é y() t = ω( t). Exercícios. Considere o sistema com realimentação mostrado na figura a seguir. 8

112 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 (a) Compute a função de transferência em malha fechada usando as funções series e feedback. (b) Obtenha a resposta a um degrau unitário deste sistema usando a função step e verifique que o valor final da saída é. 5 RESOLUÇÃO (Comandos e resultados obtidos): 3. Considere o sistema mecânico mostrado na figura a seguir. Figura Sistema massa-mola-atrito [DORF] 9

113 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft - julho 004 A entrada é dada por f () t e a saída é y ( t). Determine a função de transferência de f ( t) para y () t e, usando o Matlab, faça um gráfico da resposta do sistema a uma entrada degrau unitário. Faça m = 9, k =, e b = 0, 6. Qual o pico da amplitude da saída? RESOLUÇÃO: 4. Resolver exercício PM.3 página 9 do DORF. 5. Resolver exercício PM.5 Página 9 do DORF. 0

114 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 Aula 4P - Análise do Lugar das Raízes utilizando o Matlab (ª. Parte) Bibliografia DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Um esboço aproximado do lugar das raízes pode ser obtido pela aplicação ordenada dos procedimentos vistos nas aulas de teoria. Alternativamente, podemos usar o Matlab para obter um gráfico do lugar das raízes bem mais preciso. O comando utilizado para obter um gráfico do lugar das raízes de um sistema é rlocus(sys) em que sys é uma descrição do sistema em malha aberta (excluindo o ganho variável K ). Uma vez obtido o gráfico, um cursor pode ser utilizado para se obter o valor do ganho K e outros parâmetros conforme caminhamos pelos ramos do LGR. Vamos aprender a utilizá-lo através de exercícios. Exercícios. Para o sistema mostrado na figura a seguir, pede-se: (a) Obtenha um esboço do LGR utilizando os procedimentos vistos em aula. RESOLUÇÃO:

115 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 (b) Para obter este esboço no Matlab, basta executar os comandos: >> num = poly([- -]); >> den = poly([ ]); >> sys = tf(num,den); >> rlocus(sys) Execute-os e verifique se o resultado coincide com aquilo que você esperava pelo i- tem (a). (c) Utilize o cursor do Matlab para obter o que se pede a seguir: pontos de entrada e saída do eixo real RESPOSTA: Faixa de valores de K que torna o sistema estável. RESPOSTA: Valor de K que produz um sistema estável com pólos de segunda ordem criticamente amortecidos. RESPOSTA: Valor de K que conduz a um sistema estável com um par de pólos de segunda ordem que tenha uma relação de amortecimento ζ de 0,707. (Se você não lembra o que era amortecimento, visto em Controle, dê uma olhadinha no Apêndice). RESPOSTA:. Exemplo de Projeto: Sistema de Controle de um Manipulador Laser [DORF, p.98] Os lasers podem ser usados para perfurar o colo do fêmur na bacia visando a inserção apropriada de uma prótese. O uso de lasers na cirurgia requer alta precisão na resposta de posição e de velocidade. Considere o sistema mostrado na Figura a seguir, que usa um manipulador com um motor CC para o laser. O ganho K do amplificador deve ser ajustado de modo que o erro estacionário a uma entrada em rampa

116 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 r () t = At (em que A = mm/s) seja menor ou igual a 0,mm, ao mesmo tempo em que é mantida uma resposta estável. Para obter o erro estacionário requerido e uma boa resposta, seleciona-se um motor com constante de tempo no circuito de campo τ = 0, s e uma constante de tempo do motor mais carga τ = 0, s. Pede-se: Figura Sistema de controle de um manipulador laser [DORF] (a) Lembrando que o erro estacionário a uma entrada rampa é dado por A e SS =, K determine o intervalo de valores de K que satisfazem a condição de erro estacionário do problema. RESOLUÇÃO: (b) Utilizando o rlocus e o cursor do Matlab determine o intervalo de valores de K que garantem a estabilidade do sistema. RESPOSTA: (c) Qual intervalo de valores de K que satisfazem as duas condições acima? RESPOSTA: 3

117 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto [DORF, p. 303] Seja considerar um dispositivo que consiste de uma esfera rolando na superfície interna de um anel. Este modelo é semelhante ao problema de um combustível líquido sendo sacudido em um foguete. O anel é livre para girar em torno do seu eixo principal, como está mostrado na Figura. A posição angular do anel pode ser controlada por meio de um torque T aplicado ao anel por meio de um motor de torque fixado ao eixo de acionamento do anel. Se for usada retroação negativa, a equação característica do sistema é: ( s + 4) Ks + = 0. s + s + Figura Anel acionado por motor Pede-se: (a) Esboçar o lugar das raízes. RESOLUÇÃO: (b) Obter o lugar das raízes no Matlab usando o rlocus e utilizando o cursor, obter: o ganho quando ambas as raízes forem iguais. RESPOSTA: as duas raízes iguais. RESPOSTA: 4

118 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 o intervalo de estabilidade deste sistema. RESPOSTA: 4. (03) Considere um sistema com a configuração mostrada a seguir: O lugar das raízes para este sistema em função do ganho K é mostrado na seguinte figura. Utilizando o Matlab, pede-se: (a) Determine G () s. (b) Escreva um conjunto de comandos que você poderia utilizar no Matlab para gerar o gráfico da figura acima. (c) Determine o valor do ganho K que fará o sistema marginalmente estável. (d) Determine o valor de ganho para o qual a função de transferência a malha fechada terá um pólo sobre o eixo real em Resolver com a ajuda do Matlab o exercício E7. página 305 do [DORF] 5

119 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 Apêndice Especificações no Domínio do tempo. Resposta versus localização dos pólos Pólos complexos podem ser definidos em termos de suas partes real e imaginária, tradicionalmente referidas como: s = σ ± jω Isto significa que um pólo tem parte real negativa se σ é positivo. Como pólos complexos sempre aparecem em pares conjugados, o denominador correspondente a um par de pólos complexos será: a () s ( s + σ jω )( s + σ + jω ) = ( s + σ ) + ω = () d Quando encontramos a função de transferência a partir de equações diferenciais, tipicamente escrevemos o resultado na forma polinomial: H n () s s ω = () + d ζω n + ωn Distribuindo os termos da equação () e comparando-os com os coeficientes do denominador de H ( s) da equação () encontramos a seguinte correspondência entre os parâmetros: d d σ = ζω n e ω d = ω n ζ em que o parâmetro ζ é a taxa de amortecimento e ω n é a freqüência natural não amortecida. Os pólos da função de transferência estão localizados a um raio ω n e um ângulo θ = arcsinζ como mostrado na figura a seguir. 6

120 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 Figura 3 Parâmetros da localização de um par de pólos complexos [DORF]. Desta forma, a taxa de amortecimento reflete o nível de amortecimento como uma fração do amortecimento crítico em que os pólos tornam-se reais. Em coordenadas retangulares s = σ ± jω. Quando ζ = 0 não temos amortecimento, θ = 0 e a freqüência natural amortecida ω d = ω n é igual à freqüência natural sem amortecimento. A antitransformada de Laplace de () fornece a resposta impulsiva h ω σ sin ζ n t () t = e ( ω t) u( t) d A figura a seguir mostra h () t para diversos valores de ζ tendo sido o tempo normalizado em relação à freqüência natural não amortecida ω n Note que a freqüência real ω d decai suavemente conforme a taxa de amortecimento cresce. Note também que para amortecimentos muito pequenos a resposta é oscilatória enquanto que para grandes amortecimentos (ζ próximo de ) a resposta não mostra oscilação. d. 7

121 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 Figura 4 Respostas impulsivas subamortecidas de um sistema de ordem dois [DORF]. Algumas destas respostas estão mostradas também na figura a seguir para mostrar qualitativamente como a mudança nos locais dos pólos no plano-s afeta as respostas impulsivas. Figura 5 Respostas impulsivas em função da localização dos pólos no plano [DORF]. 8

122 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 É muito importante para um projetista de controle ter na mente a figura acima para que possa entender instantaneamente como as mudanças na localização de pólos influenciam na resposta temporal. Três localizações de pólos são mostradas na Figura a seguir para que se possa comparar com as respectivas respostas impulsivas na figura anterior. Figura 6 Exemplos de localização de pólos [DORF]. A parte real negativa do pólo, σ, determina a taxa de decaimento da envoltória exponencial que multiplica a senóide, como mostrado a seguir. Figura 7 Resposta subamortecida e envoltórias [DORF]. Note que se σ < 0 (e o pólo esta no SPD) então a resposta natural cresce com o tempo e como já sabemos o sistema é instável. Se σ = 0 a resposta natural nem cresce 9

123 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - agosto 004 nem decai e estabilidade não está decidida. Se σ > 0 a resposta natural decai e, portanto, o sistema é estável. Também é interessante examinar a resposta ao degrau de H ( s), isto é, a resposta do sistema H () s a uma entrada degrau u ( t). A figura a seguir, que mostra y () t para vários valores de ζ mostra que as características de resposta transiente básicas da resposta impulsiva são as mesmas para a resposta em degrau. A diferença entre ambas é que o valor final da resposta ao degrau é comandado pelo degrau unitário. Figura 8 Respostas ao degrau subamortecidas de sistemas de ordem dois. [DORF] 0

124 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Aula 5P - Análise do Lugar das Raízes utilizando o Matlab (ª. Parte) Bibliografia DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas A aula de hoje consiste no seguinte problema de projeto.. Considerar o sistema com retroação na figura a seguir. Há três controladores em potencial para o sistema: () G C () s = K < controlador proporcional > K () G C () s = <controlador integral> s G C s = K + < controlador proporcional, integral (PI) >. s (3) () As especificações de projeto são T 0 segundos e M 0% para uma entrada em degrau unitário. S P (a) Para o controlador proporcional, esboçar o lugar das raízes e utilizando o Matlab determinar o valor de K tal que as especificações sejam satisfeitas. Função de transferência a malha aberta:

125 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Esboço manuscrito do LGR: Valor de K obtido no Matlab: (b) Repetir a parte (a) para o controlador integral. Função de transferência a malha aberta: Esboço manuscrito do LGR:

126 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Valor de K obtido no Matlab: (c) Repetir a parte (a) para o controlador PI. Função de transferência a malha aberta: Esboço manuscrito do LGR: Valor de K obtido no Matlab: (d) Traçar, em um mesmo diagrama, os gráficos das respostas ao degrau unitário dos sistemas a malha fechada com cada um dos controladores projetados nas partes (a) a (c). 3

127 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Comandos Matlab utilizados: (e) Comparar e contrastar os três controladores obtidos nas partes (a) a (c), concentrando a discussão nos erros de estado estacionário e desempenho transitório.. (04) Resolver Exercício E7.9 página 304 do [DORF]. 3. (04) Resolver Exercício E7.8 página 304 do [DORF]. APÊNDICE - Especificações no domínio do tempo Especificações para um projeto de controle freqüentemente envolvem certas requisições associadas à resposta do sistema. As requisições para uma resposta ao degrau são expressas em termos de quantidades padrões ilustradas na figura a seguir. Figura Resposta temporal e especificações [FRANKLIN] 4

128 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 O tempo de subida t r é o tempo que o sistema leva para alcançar a vizinhança do seu novo ponto de equilíbrio. O tempo de acomodação t S é o tempo que o transiente leva para decair. O sobressinal M P é o tanto que o sistema ultrapassa seu valor final dividido pelo valor final (geralmente expresso em porcentagem). O instante de pico t P é o instante em que o sistema atinge seu ponto de sobressinal máximo. Para um sistema de segunda ordem a resposta temporal mostrada anteriormente gera informações sobre as especificações que são muito complexas para serem lembradas a menos que sejam convertidas para formas mais simples. Examinando estas curvas à luz das definições dadas na figura anterior podemos relacionar as curvas aos parâmetros de localização dos pólos ζ e ω n. Temos os seguintes resultados: [FRANKLIN] Tempo de subida t R =,8 ω n Tempo de acomodação t S = 4,6 σ Sobressinal M P πζ ζ = e Instante de pico t P = π ω d 5

129 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 As equações acima caracterizam a resposta transiente de um sistema tendo nenhum zero finito e dois pólos complexos conjugados com freqüência natural não amortecida ω n, taxa de amortecimento ζ e parte real negativa σ. Em análise e projeto elas são usadas para estimar o tempo de subida, sobressinal e tempo de acomodação para quase qualquer sistema. Em síntese de projetos queremos especificar t R, M P e t S e perguntar onde os pólos precisam estar para que as respostas reais tenham propriedades menores ou iguais a essas especificações. Para valores especificados de t R, então: M P e t S as equações no formato de síntese são,8 ω n, t R ( ) ζ ζ (da figura a seguir) σ M P 4,6 t S Figura Relação entre amortecimento e sobressinal [FRANKLIN] 6

130 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Aula 6P - Introdução ao Levitador Magnético Bibliografia [MANUAL] Manual for Model 730 Magnetic Levitation System, ECP, 999. [BURDEN] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica, 7ª edição, Thomson, 003. O levitador magnético é composto por duas bobinas, uma inferior e outra superior que geram um campo magnético pela passagem de uma corrente. Essas bobinas interagem através do campo com um ou dois discos magnéticos que se deslocam em uma barra de vidro que serve como guia. Variando-se a magnitude da corrente na bobina inferior, pode-se controlar a posição do magneto inferior fazendo-o levitar através de uma força magnética repulsiva. Similarmente, o magneto superior é posicionado através de uma força magnética de atração, adotando-se um valor adequado de corrente na bobina superior. Com a proximidade dos discos surge também interação magnética (força de repulsão) entre os dois magnetos. Dois sensores ópticos baseados em sensores de laser são utilizados para medir a posição dos magnetos. Ruler clamp screw ( pl.) Upper support arm Precision glass guide rod Protective coil cover ( pl.) Laser Sensor (out of view, pl.) Glass rod clamp screw ( pl.) Upper Drive Coil (Coil #) Magnet height uler Sensor conditioning electronics Levitated magnet Lower support arm Coil current indicating LED ( pl.) Connector Lower Drive Coil (Coil #) Magnet Storage Side View Front View Figura - Diagrama do levitador magnético [MANUAL].

131 T+Tz + +T7z 7 S o +S - + +S 7-7 Fedback Lop # K + 0 K z + +K 7-7 z -7 +Lz + +L7z Encoder # Encoder # Encoder # 3 Node A Ho +Hz - - o+ I z Node B Encoder # Encoder # Encoder #3 Fedback Lop # Eo+ Ez Node D Fedback Lop #3 +Gz No de C Encoder # Encoder # Encoder #3 DAC Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 O diagrama esquemático de um sistema ECP (Educational Control Producs) completo é mostrado na Figura. User/System Interface Program ("Executive", C language) Mechanism Sensor #3 (Feedback Sensor) Drive Electronics (Also called "Control Box") Outputs to Controller Control algorithm parameters Execution commands Trajectory definition Safety shutdown commands Inputs From Controller Real-t ime data display Upload acquired data Upload system status (Fig's.- Through.-) Off-line Functions Plotting, file management, data import/export, unit conversions, etc. Sensor # Control Effort (torque) Actuator Sensor # (Fig. 4.5-) Control Effort (current) Shielded Cable Shielded Cable Encoder Pulses or Analog Servo Amplifier Current Control Commutation (Fig's 4.3-, -3) Power Supply Aux. DAC Readouts Ribbon Cable PC bus or RS-3 Interface Multi-task Routines Trajectory Generation Data Collection & Storage Audit safety limits Aux DAC updates Watchdog timer support Program Flow Clock driven interrupt to syncronously service real-time control routine DSP (M5600) Based Controller / Data Acquisition Board Control Firmware Numerical Plant Output Positions User-Written Control Algorithm (Compiled to assembly language) 48 bit multiplication, 96 bit addition Up to. khz servo closure rates Parameters downloaded from Executive + R - z - + +R J z - - Fo +F z - Control Effort (a number) Encoder Pulse Decoders (Fig. 4.5-) Analog-to- Digital Converters (ADC's) Digital-to- Analog Converters (DAC's) Ancilliary I/O Opto Isolation Limit Switch I/O (if used) Control Effort (a voltage) Figura Diagrama completo de um sistema ECP [MANUAL]. Para o sistema Levitador Magnético, a informação sobre a posição é fornecida pelo medidor óptico. A placa DSP é capaz de interpretar comandos de trajetórias e realizar verificações em variáveis com o objetivo de garantir a segurança na operação do equipamento. O acionamento é feito por um sistema eletrônico de potência que gera o sinal de corrente adequado para a bobina. O terceiro elemento que compõe e finaliza todos os sistemas ECP é o programa executivo que roda no PC e dispõe de uma interface gráfica a base de menus, que

132 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 permite operar o sistema com facilidade. Ele dá suporte à definição de trajetórias, aquisição de dados, visualização de curvas, especificação de controladores, execução de comandos do sistemas, etc.. Regressão Linear e ajustamento de curvas Nos equipamentos ECP interessa-nos medir posição, velocidade e aceleração dos elementos que compõem a planta eletro-mecânica. O MagLev inclue medidores ou transdutores para esta finalidade na forma de sensores ópticos. De forma geral, se x representa a variável a ser medida e y a sua medida produzida pelo medidor, tem-se a seguinte relação geral: y = g( x) em que a função g representa a transformação produzida pelo medidor. A técnica de regressão permite obter um modelo matemático que relaciona as variáveis de entrada com a variável de saída de um processo, o que, no caso dos medidores significa produzir uma estimativa ĝ do que seria o valor verdadeiro da relação g. No caso do MagLev a função g é representada pela seguinte função de calibração para o sensor óptico: a a3 x = a0 + a y + +. y y Note que neste caso, estaremos estimando a função inversa g... Método dos mínimos quadrados Pode-se a partir da observação e dos valores medidos, escolher uma função do tipo polinomial, exponencial, logarítmica, trigonométrica, etc., que se assemelhe, ou que melhor se ajuste à distribuição dos pontos. Uma vez escolhida tal função, deve-se então determinar seus parâmetros baseandose no critério de que a soma dos quadrados das distâncias das ordenadas dos pontos medidos até as ordenadas dos pontos da curva de ajuste escolhida para as mesmas abscissas seja mínima. 3

133 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 O passo inicial então, é obter a curva de ajustamento que se adapte ao conjunto de dados, definindo o que será considerado a função de melhor ajustamento, isto é, se o ajuste será feito por uma reta, uma parábola, exponencial, etc. Essa curva é expressa pela função g( x) y = e é escolhida em geral segundo algum critério físico. Considere a Figura 3. Nesta figura, representa-se a diferença entre um dado valor de x, por exemplo, x, haverá uma diferença entre y e o valor correspondente determinado na curva (função g ). Figura 3 Pontos experimentais e a curva ajustada. [MANUAL]. Conforme indicado na figura, representa-se esta diferença por D, que é chamado de desvio, erro ou resíduo. Analogamente, para os valores de x,, x obtém-se n os desvios d,, d. n Uma medida da qualidade do ajustamento da função g aos dados disponíveis é dada pela quantidade d + d + + d. Se esta quantidade é pequena, o ajuste é n bom, se ele é elevado o ajuste é ruim. Critério dos Mínimos quadrados: De todas as curvas que se ajustam a um conjunto de dados, a que tem a propriedade de apresentar o mínimo valor d + d + + d n 4

134 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 é chamada de melhor curva de ajusttamento. Diz-se que uma curva que apresenta essa propriedade ajusta os dados no sentido dos Mínimos quadrados e é denominada Curva de Mínimos quadrados... Exemplo de aplicação Utilizando-se o Maglev obteve-se os seguintes dados em que x é a distância do magneto à bobina (em cm) e y é a saída do medidor (em counts). Estes dados são apenas a título de exemplo não sendo valores reais. Encontre os parâmetros que ajustem estes dados pelo critério dos mínimos quadrados. a a3 x = a0 + a y + +. y y O seguinte programa Matlab resolve o problema. % Este script encontra os coeficientes para a % aproximacao y=g(x) utilizada no MagLev Y = [ ]'; %Saida do sensor X = [ ]'; % Valores a serem medidos U = [ones(size(y)) Y./Y./sqrt(Y)]; A = U\X; %Vetor contendo parametros do modelo [a0 a a...] %Cria um vetor de pontos a serem avalidados pela funcao de correcao Y_eval = linspace(y(), Y(end),00)'; %Calcula a funcao nesses pontos X_eval = [ones(size(y_eval)) Y_eval./Y_eval./sqrt(Y_eval)]*A; %Faz o grafico plot(x,y,'o',x_eval,y_eval,'-'); grid; axis([min(x_eval) max(x_eval) min(y_eval) max(y_eval)]); Exercícios. Rode o programa anterior e obtenha os valores dos parâmetros a i.. Repita o problema para a seguinte tabela de valores: X 0,,9,5 3 3, 3,8 4 4, 5,5 Y

135 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004. Procedimento Experimental.. Determinação da curva característica dos medidores O levitador magnéico utiliza como sensor um sistema de mediçã de distância baseado num emissor e detector laser de luz incidente no disco. A curva característica para esses medidores adotada pelo fabricante tem a forma x = a a + a y + y 0 + convencionando y saída do medidor em counts e x posição a ser medida em cm. a 3 y. Utilize a montagem com um único magneto, em repouso sobre a bobina inferior. Atenção: Esteja de mãos limpas e evite tocar na superfície branca do magneto. Não toque na haste de vidro para não prejudicar o funcionamento do sistema.. Ligue o PC e execute o aplicativo ECP USR-MV Executive. Entre no Setup Sensor Calibration através do menu Setup. Selecione Use Raw Sensor Counts e Apply Thermal Compensation. Selecione OK e em seguida Abort Control. Ligue o Módulo de Potência para ativar o sensor. 3. Faça as medidas de y (em counts) versus posição x (em cm), utilizando a medida na tela principal do software ECP para leitura em counts e os valores de posição: X (cm) 0 0, Y (counts) 4. Obtenha os parâmetros a 0, a, a, a 3 do ajuste por mínimos quadrados... Demonstração auto-guiada Um primeiro contato com as funções do programa executivo do sistema pode ser realizado seguindo-se os passos da seção 3. do manual do equipamento correspondente. Caso haja tempo, siga as instruções do manual colocadas a seguir. Step : Implementing A Controller. Enter the Setup menu and choose Control Algorithm. You should see the sampling time Ts = seconds, and the controller SISO Comp Lower.alg loaded. (The file name and its path should appear in the User Code field of the dialog box.) If this algorithm is not loaded you should find it via Load From Disk. This controller was designed to compensate for the sensor and actuator nonlinearities, then close a simple linear control loop about the linearized plant of the lower sensor/coil system. Within the Setup Control Algorithm dialog box, select Implement Algorithm. The control law is now downloaded to the Real-time Controller and immediately implemented. You should see the magnet 6

136 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft agosto 004 levitate approximately cm.. If so congratulations! You have implemented closed loop magnetic levitation. Use a ruler or clean eraser end of a pencil to lightly perturb the magnet and verify that the control is stable. (see Sect..3.3, "Safety Checking The Controller") If the magnet has not levitated, click on the Implement Algorithm button again until it is. You may wish to view the real-time algorithm at this point. It contains a nonlinear actuator inversion function, the control law, and output formatting statements and follows the syntax and formatting protocols of the Executive USR routines as described in Section..5. You may do so by scrolling the viewer within Setup Control Algorithm. In order to get a closer view you may select Edit Algorithm. This brings you inside the editor in which you will later write real-time routines. If you have entered the editor, select Cancel in the File menu to exit (do not select Save Changes and Quit in case some inadvertent change has been made that would adversely affect the routine). Step 3: Setting Up Data Acquisition. Enter the Data menu and select Setup Data Acquisition. In this box make sure that the following four items are selected: Commanded Position &, and Variables Q0 & Q. Data sample period should be 5 which means that data will be collected every fifth servo cycle (in this case every 5* = seconds). Step 4: Executing A Step Input Trajectory & Plotting. Enter the Command menu and select Trajectory. In this box verify that Unidirectional moves is not checked; select Step and then Setup. You should see Step Size = 5000, Dwell Time =000 ms and Number of Repetitions =. If not, change the values to correspond to this parameter set. Exit this box and go to the Command menu. This time select Execute and with Normal Data Sampling and Execute Trajectory Only selected, Run the trajectory. You should see a step move of approximately.5 cm, a dwell of second, a return to nominal position, then a negative going step of second duration. Wait for the data to be uploaded from the Real-time Controller to the Executive program running on the PC. Now enter the Plotting menu and choose Setup Plot. Select Commanded Position and Variable Q0 as data to be plotted on the left axis, then select Plot Data. You should see a plot similar to the one shown in Figure 3.-. There may be some differences in the details of the response for your particular system due to the use of nominal rather than unit specific sensor and actuator nonlinearity compensation. Figure 3.- Step Response at Lower Magnet (Repulsive levitation) 7

137 Controle Aula 8P Professor Marcio Eisencraft - setembro 004 Aula 8P -Projetos usando LGR e Diagrama de Bode com o Simulink Bibliografia DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Atividade Um sistema com realimentação unitária é mostrado na figura a seguir. (a) Utilizando o comando rlocus encontre os intervalos de valores de K para os quais: a) o sistema é estável e tem resposta não-oscilatória (amortecimento supercrítico). a) o sistema é estável e tem resposta oscilatória (amortecimento subcrítico). a3) o sistema é instável (b) Simule o seu sistema utilizando o Simulink e verifique o comportamento da resposta ao degrau para os seguintes valores de K: b) K = ; b) K = 4; b3) K = 0; b4) K = 50; b5) K = 70; b6) K = 00; Os resultados estão de acordo com o esperado?

138 Controle Aula 8P Professor Marcio Eisencraft - setembro 004 Atividade Um diagrama de Bode pode ser obtido no Matlab com a função bode mostrada a seguir. bode(sys,w) sys = função de transferência a ser analisada w = vetor contendo os valores de freqüência a serem analisados (opcional) Um filtro analógico tem função de transferência dada por: H () s = s 00 + s + 00 (a) Obtenha o diagrama de Bode deste sistema usando o Matlab. (b) Implemente este sistema utilizando o simulink e verifique a saída y() t = Asin ( ω t + φ) para uma entrada do tipo x() t sin( ωt) =. Preencha a tabela a seguir e faça um gráfico de ω x 0 log A. ω A 0 log A 0, 0, Compare o gráfico obtido com o diagrama de Bode gerado pelo Matlab.

139 Controle Aula 8P Professor Marcio Eisencraft - setembro 004 Exercícios. (04) O aumento da densidade de trilhas em acionamento de disco de computador requer o projeto cuidadoso dos sistemas de controle de posicionamento das cabeças. A função de transferência é () s K G =. s ( +) Para K = 4, calcule a magnitude e a fase da resposta em freqüência deste sistema para ω = 0; 0,; 0,5; ; 5; 0; e trace um diagrama polar.. Resolver, com a ajuda do Matlab, o Exercício P8.5 da página 358 do [DORF]. 3

140 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro 004 Aula 9P - Gráficos de Bode utilizando Matlab DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Nesta aula trabalharemos com duas funções bastante importantes do Matlab: bode e logspace. A função bode é usada para gerar um diagrama de Bode e a função logspace gera um vetor de freqüências espaçadas de forma logarítmica e que pode ser utilizado com a função bode. Considere a função de transferência G () s = s 5( + 0,s ) 0,6 ( + 0,5s) + s + s O diagrama de Bode correspondente a este sistema é mostrado na figura a seguir.

141 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro 004 O diagrama consiste do ganho logarítmico em db por ω em um gráfico e o gráfico da fase φ ( ω) num segundo gráfico. Assim como no gráfico do lugar das raízes é tentador confiar exclusivamente no Matlab para obter seus diagramas de Bode. Trate o Matlab como uma ferramenta num conjunto que pode ser usada para projetar e analisar sistemas de controle. É essencial desenvolver a capacidade de obter diagramas de Bode aproximados manualmente. Não há substituto a um claro entendimento da teoria. Um diagrama de Bode é obtido com a função bode mostrada a seguir. [mag,phase,w] = bode(sys,w) sys = função de transferência a ser analisada w = vetor contendo os valores de freqüência a serem analisados (opcional) mag = ganho phase = fase obtida O diagrama é automaticamente gerado se a função bode é utilizada sem nenhum argumento à esquerda. Caso contrário, as características de módulo e fase são passadas para o workspace através das variáveis mag e phase. Um diagrama de Bode é obtido com as funções plot ou semilogx usando mag, phase e w. O vetor w contém o valor das freqüências em rad/s nas quais o diagrama de Bode foi calculado. Se w não é especificado o Matlab automaticamente escolherá os valores de freqüência colocando mais pontos nas regiões em que a resposta em freqüência muda rapidamente. Se você escolher especificar as freqüências explicitamente é desejável gerar o vetor w usando a função logspace mostrada a seguir. w = logspace(a,b,n) a = expoente inicial (ponto inicial = 0 a ) b = expoente final (ponto final = 0 b ) n = número de pontos entre 0 a e 0 b

142 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro 004 Exemplo Gere um vetor com 00 pontos espaçados de forma logaritmica 0, e 000. >> w = logspace(-,3,00); O diagrama de Bode da figura anterior pode ser gerado utilizando-se o seguinte script. %Diagrama de Bode para o exemplo da pagina % num = 5*[0. ]; f= [ 0]; f = [0.5 ]; f3 = [/500.6/50 ]; den = conv(f, conv(f, f3)); % sys = tf(num, den); bode(sys); Neste caso a função bode automaticamente selecionou o intervalo de freqüências. Este intervalo pode ser escolhido pelo usuário utlizando-se a função logspace. Exercícios. [NISE, p. 480] Encontre expressões analíticas para a magnitude e para a resposta de fase do sistema: RESPOSTA: () s ( s + 5) ( s + )( s + 4) G =. 3

143 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro 004. [NISE, p. 480] Para o sistema do Exercício, construa um gráfico logarítmico da magnitude e da fase usando a freqüência em rad/s como abscissa. Não use aproximações assintóticas. Use o Matlab para gerar os gráficos. RESPOSTA: (comandos Matlab utilizados). 3. [NISE, p. 480] Para o sistema do Exercício, esboçar os gráficos assintóticos de Bode de magnitude e de fase. Compare com os do Exercício. RESPOSTA: 4

144 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro Obtenha os diagramas de Bode no Matlab usando o comando bode e compare com os gráficos obtidos nos Exercícios e 3. RESPOSTA: (comandos Matlab utilizados): 5. [DORF, p.356] Um braço robótico possui uma função de transferência a malha aberta do controle de uma junta: G () s = s 300( s + 00) ( s + 0)( s + 40) Obtenha o diagrama de Bode com ajuda do Matlab e obtenha a freqüência para a qual a o fase de G( jω ) = 80. Determinar a magnitude de ( jω) RESPOSTA: G nesta freqüência. 6. (03) A aeronave de Asa Oblíqua (OWA Oblique Wing Aircraft) experimental possui uma asa que pivota em torno de um eixo como mostrado na figura a seguir. A asa permanece em posição normal não oblíqua nas velocidades baixas e pode se deslocar para a posição oblíqua em vôo supersônico. O sistema de controle possui () s = ( 0,5s + ) 4 G () s =. s s s( s + ) Esboce o diagrama de Bode assintótico deste sistema. 5 H e

145 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro (03) (,0) A resposta em freqüência G ( jω) de um filtro passa-baixas é mostrada nos gráficos de Bode a seguir. 6

146 Controle Aula 9P Professor Marcio Eisencraft setembro 004 o A entrada do sistema é a senóide 0 cos( ω t + 30 ) para cada freqüência de entrada: (a) ω = 0, (b) ω = (c) ω = 0.. Encontre a saída em regime estacionário 7

147 Controle Aula 0P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Aula 0P - Margem de ganho e de fase com o Matlab e ltiview Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 00. Páginas Estabilidade através dos diagramas de Bode Na Aula 9T, discutimos o Teorema da Estabilidade de Nyquist que permite determinar se certo sistema em malha fechada será estável conhecendo o diagrama de Bode do sistema em malha aberta. Teorema da Estabilidade de Nyquist: Dado um sistema estável em malha aberta, o sistema em malha fechada com realimentação negativa obtida a partir dele será estável se a resposta em freqüência do sistema a malha aberta tiver um ganho menor do que a unidade (0dB) quando a fase for 80. Usando este critério, podemos determinar facilmente a estabilidade de um sistema a malha fechada usando o comando Matlab margin(sys). Seja por exemplo, resolver o Exercício resolvido na Aula 9T. Exercício Exemplo. [NISE, p. 453] Use os gráficos de Bode para determinar a faixa de valores de K para os quais o sistema com retroação unitária mostrado na Figura a seguir é estável. Seja K G =. () s ( s + )( s + 4)( s + 5) Figura Sistema de controle com retroação unitária. [NISE]

148 Controle Aula 0P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Resposta: Montamos a função de transferência ( s) margin(g): >> G = tf(, poly([- -4-5])); >> margin(g) G supondo K = e usamos o comando O gráfico mostra que no ponto em que a fase vale -80 (em ω = 6, 6 rad/s), a resposta em freqüência em magnitude vale -5,5dB. Assim, K poderia ser aumentado em 5,5dB (ou 5,5 0 0 multiplicado por = 375, 8 ) que o sistema ainda permaneceria estável pelo teorema de Nyquist. Assim, o sistema em malha fechada será estável para 0 < K < 375, 8.. Calculando as margens de ganho e de fase Também na Aula 9T estudamos as definições de margem de fase e de ganho:

149 Controle Aula 0P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Margem de ganho, G M : A margem de ganho é a mudança no valor do ganho a malha aberta no ponto com fase de 80, expressa em decibéis (db) necessária para tornar instável o sistema com malha fechada. Margem de fase, Φ M : A margem de fase é a mudança no valor da fase da malha aberta no ponto com ganho unitário necessária para tornar o sistema instável o sistema a malha fechada. Figura Margens de ganho e fase nos diagramas de Bode. [NISE]. Para calcular as margens de ganho e de fase, podemos usar o comando margin como fizemos no Exercício. Porém, a título de ilustração, usaremos a ferramenta ltiview do Matlab para resolver o Exercício 3 da Aula 9T. Exercício Exemplo. [NISE, p. 454] Encontre as margens de ganho e fase para o sistema do Exercício para K = 00. Resposta: Primeiramente, criamos a função de transferência em questão na linha de comando. >> G = tf(00, poly([- -4-5])); 3

150 Controle Aula 0P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Em seguida, executamos os seguintes passos para utilizar o ltiview: A. Acessar a janela: A janela LTI Viewer, pode ser acessada digitando ltiview na janela de comando do Matlab. B. Selecionar funções de transferência LIT para o LTI Viewer: Escolha a opção Import no Menu File do LTI Viewer e selecione o objeto LIT cujas respostas você quer analisar com o LTI Viewer. C. Selecionar o objeto LIT para obter o próximo gráfico: Clique com o botão direito do mouse em qualquer parte da área do gráfico do LTI Viewer para obter um menu instantâneo. Na opção Systems, selecione ou desmarque os objetos cujos gráficos você quer ou não mostrar no LTI Viewer. Em seguida, use o menu obtido com o clique do botão direito do mouse e selecione Bode na opção Plot Type. Para achar as margens de ganho e de fase, bem como as freqüências de margem de ganho e de margem de fase, use o menu obtido com o clique do botão direito do mouse e selecione Stability (All Crossing) na opção Characteristics. Use o menu obtido com o clique do botão direito do mouse e selecione Grid. A figura a seguir mostra o resultado da janela LTI Viewer juntamente com as margens de ganho e fase. o Assim, para este sistema temos G = 5, 53 db e Φ M = 3, 5. M 4

151 Controle Aula 0P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Exercícios 3. [NISE, p.487] O movimento de rolamento de um navio pode ser estabilizado com um sistema de controle. Uma tensão aplicada aos atuadores de superfícies hidrodinâmicas cria um torque de rolamento que é aplicado ao navio. O navio, em resposta ao torque de rolamento, produz um ângulo de rolamento. Admitindo o diagrama de blocos para o sistema de controle de rolamento mostrado na Figura 3 a seguir, determine as margens de ganho e de fase para o sistema. Figura 3 Diagrama de blocos do sistema de estabilização de rolamento de navio [NISE]. RESOLUÇÃO: (Comandos utilizados, comentários e respostas). 4. [DORF, p. 4 - modificado] Uma aeronave de pouso e decolagem verticais (VTOL) é um veículo inerentemente instável e requer um sistema automático de estabilização. Projetou-se um sistema de estabilização de altitude para a aeronave VTOL K-6B do Exército dos Estados Unidos, mostrado sob forma de diagrama de blocos na Figura 4 a seguir. Na velocidade de 40 nós (cerca de 74km/h), a dinâmica do veículo pode ser representada aproximadamente pela função de transferência: 0 G =. () s ( s + 0,0s + 0,36) O atuador e o filtro podem ser representados pela função de transferência 5

152 Controle Aula 0P Professor Marcio Eisencraft abril 004 K () ( s + 7) G s = ( s + 3) (a) Obter os diagramas de Bode da função de transferência de malha () s G() s H () s G quando o ganho for K =. (b) Determine as margens de ganho e de fase deste sistema. Altitude C(s) Figura 4 Sistema de estabilização de uma nave VTOL [DORF]. RESOLUÇÃO: (Comandos utilizados, comentários e respostas). 5. Resolver o Exercício P9.8 da página 4 do [DORF]. 6. Resolver o Exercício P9.9 da página 43 do [DORF]. 6

153 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft outubro 004 Aula P - Resposta em freqüência usando o kit ECP Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas [MANUAL] Manual for Model 730 Magnetic Levitation System, ECP, Objetivo Modelar o sistema levitador magnético por uma função de transferência de ª ordem a partir de sua resposta em freqüência.. Preparação para experiência Vimos nas últimas aulas que a resposta em freqüência de um sistema de ª ordem com pólos complexos tem o aspecto mostrado na Figura a seguir. Figura Resposta em freqüência de um sistema de ª ordem com pólos complexos [NI- SE]. Para um sistema cuja função de transferência é: C R () s () s ωn = T () s =, s + ζω n + ωn

154 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft outubro 004 temos: M r = ζ ζ ω r = ω n ζ. Assim, a partir da resposta em freqüência de módulo, pode-se obter a função de transferência em malha fechada T ( s). Exercícios. A partir das expressões acima, deduza fórmulas para o cálculo de ω n e ζ a partir de M r e ω r.

155 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft outubro 004. Um sistema de ª ordem tem um diagrama de Bode de módulo mostrado a seguir: Utilizando as fórmulas deduzidas no Exercício, determine a função de transferência T () s deste sistema. 3

156 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft outubro Procedimento Experimental O procedimento experimental consiste nos seguintes passos:. Ligue o computador e a alimentação do sistema Levitador Magnético (MagLev) como discutido na Aula 6P.. Carregue o controle controlep.alg e implemente-o como discutido na Aula 6P. O magneto deverá levitar a uma altura em torno de cm. 3. Para obter a resposta em freqüência, colocaremos como entrada do sistema um Sine sweep que é um seno com freqüência crescente no tempo. 4

157 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Aula P Projeto da resposta transitória a partir da resposta em freqüência Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 003. Páginas Lembrando a Aula 0T, vimos que a ressonância para um sistema de ª ordem ocorre em: ω M r = ζ ζ r = ω n ζ. A partir daí podemos obter as características da resposta transitória. U.P. Figura Resposta temporal e especificações [FRANKLIN] Tempo de subida (tempo consumido em passar de 0 a 90% da magnitude do degrau de entrada) T R =,6ζ + 0, 60 ω n

158 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Tempo de acomodação (tempo a partir do qual a resposta permanece em torno de % do valor final) T S = 4 ζω n Ultrapassagem porcentual (porcentagem acima do valor final alcançado pela resposta transitória) U. P. = e πζ ζ Instante de pico (Instante em que ocorre o máximo da resposta transitória) T P = ω n π ζ U.P. % Figura Relação entre ultrapassagem e amortecimento [FRANKLIN]. Vimos também a seguinte definição: Banda passante da resposta em freqüência é definida como a freqüência ω B em que o valor da curva de magnitude da resposta em freqüência está 3dB abaixo de seu valor na freqüência zero (veja a Figura ).

159 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril 004 ω 4 ( ζ ) + 4ζ 4 + = ω ζ B n.. [NISE, p. 486] Um acionador de disco flexível tem o diagrama de blocos mostrado na Figura 3 a seguir. Use as técnicas de resposta em freqüência para determinar o seguinte: (a) Margem de ganho, margem de fase, freqüência de 0dB, freqüência de 80 e a banda passante a malha fechada. (b) Percentual de ultrapassagem, tempo de assentamento e o instante de pico. (c) Usando a função step ou o ltiview simule a resposta ao degrau a malha fechada e compare os resultados com os obtidos em (b). Figura 3 Diagrama de blocos do acionador de disco flexível [NISE]. Resolução (comandos utilizados e resultados obtidos): 3

160 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril 004. [NISE, p.487] O dispositivo de carga acoplada (CCD) usado em câmaras de vídeo para converter a imagem em sinais elétricos pode ser usado como parte de um sistema de foco automático em câmaras fotográficas de 35mm. A focalização automática pode ser implementada focalizando o centro da imagem em uma matriz CCD através de duas lentes. A separação das duas imagens no CCD é relacionada com o foco. A câmara sente a separação e um computador aciona as lentes e focaliza a imagem. O sistema de foco automático é um controle de posicionamento, onde a posição desejada das lentes é uma entrada selecionada apontando a câmara para o objeto. A saída é a posição real das lentes. A câmara Nikon na Figura 4(a) a seguir usa um sistema automático de focalização CCD. A Figura 4(b) mostra o recurso automático de focalização representado como um sistema de controle de posicionamento. Admitindo o modelo simplificado mostrado na Figura 4(c), desenhe os diagramas de Bode e estime a ultrapassagem percentual para uma entrada em degrau. Figura 4 - Vista em corte de uma câmara fotográfica Nikon 35mm mostrando partes do sistema CCD de focalização automática; (b) diagrama de blocos funcional; (c) diagrama de blocos [NISE]. 4

161 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Para fazer este exercício, você precisa usar o seguinte fato [NISE]: existe uma relação entre a margem de fase do sistema em malha aberta e o amortecimento em malha fechada. Ela é dada pela fórmula: ζ Φ M = arctan. 4 ζ + + 4ζ A Figura 5 a seguir mostra um gráfico desta relação. Figura 5 Margem de fase em malha aberta em função da relação de amortecimento em malha fechada [NISE]. Resolução (comandos utilizados e resultados obtidos): 5

162 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril [OGATA, p. 496] Considere o sistema mostrado na Figura 6 a seguir. Obter o diagrama de Bode (amplitude e fase) da função de transferência a malha aberta e determinar o valor de K para que a margem de fase seja de 50. Qual a margem de ganho para este valor de K? Figura 6 Sistema de controle do Exercício 3. Resolução (comandos utilizados e resultados obtidos): 4. [DORF, p. 49] O controle de uma máquina de fabricar papel é bastante complexo. O objetivo é depositar a quantidade adequada de fibra em suspensão (polpa) na velocidade correta e de modo uniforme. Desidratação, deposição da fibra, prensagem e secagem ocorrem então em seqüência. O controle do peso do papel por unidade de área é muito importante. Escolher K de modo que no sistema de controle mostrado na Figura 7 a o margem de fase seja 40 e a margem de ganho 0 db. Traçar a resposta ao degrau para o valor escolhido. Determinar a banda passante do sistema a malha fechada. Figura 7 Controle da máquina para fabricar papel [DORF] 6

163 Controle Aula P Professor Marcio Eisencraft abril 004 Resolução (comandos utilizados e resultados obtidos): 5. Resolver o exercício E.9.0 da página 48 do [DORF]. 6. Resolver o exercício E.9.5 da página 48 do [DORF]. 7

164 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft outubro 004 Aula 3P - Exercícios sobre Transformada Z Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas LATHI, B. P. Signal Processing & Linear Systems. Berkeley-Cambridge, 998. Páginas Deduza as transformadas Z das funções de tempo listadas a seguir. Não utilize tabelas. (a) e at u() t (b) u () t Resolução:. Deduza a transformada Z de f () t = ωt u( t) Resolução: sin.

165 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft outubro Determine f ( kt ) se ( z) Resolução: z( z + )( z + ) ( z 0,5)( z 0,7)( z 0,9) F =. 4. Para cada F ( z), obtenha ( kt ) (a) F ( z) (b) F ( z) = = Resolução: z( z + 3)( z + 5) ( z 0,4)( z 0,6)( z 0,8) ( z + 0,)( z + 0,4) ( z 0,)( z 0,5)( z 0,9) f usando expansão em frações parciais:

166 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft outubro Para cada F ( z) no problema 4, faça o seguinte: (a) Obtenha f ( kt ) utilizando expansão em séries de potência. (b) Verifique os resultados contra as respostas do exercício 4. Resolução: 3

167 Controle Aula 3P Professor Marcio Eisencraft outubro [DiSTEFANO, p. 90] Encontre a transformada Z inversa de ( z) 7. [LATHI, p. 67] Deduza a transformada Z de ( βkt ) u( kt ) F =. ( z + )( z + ) cos sem usar a tabela. 4

168 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 Aula 4P - Funções de Transferência Digital usando o Matlab Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, ª. Edição, Bookman Company, 000. Páginas Exercício preliminar s Dado um z.o.h. (zero order holder) em cascata com G () s = s G () s e = s Ts ( s + ) ( s + ) + +, ou seja, determinar a função de transferência de dados amostrados G ( z) se o período de amostragem, T, for 0,5s. Resolução: Atividade O seguinte script Matlab converte G ( s) em cascata com um extrapolador de ordem zero em G ( z). Este programa resolve o Exercício preliminar acima usando o Matlab. Podemos converter G () s em cascata com um extrapolador de ordem zero (z.o.h.) em G ( z) usando o comando do MATLAB G = cd(g,t,'zoh'), em que G é um objeto de sistema contínuo LIT e G é um objeto de sistema amostrado LIT. T é o intervalo de amostragem e 'zoh' é um método de transformação que supõe G () s em

169 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 cascata com um z.o.h. Colocamos simplesmente G ( s) no comando (o z.o.h. é levado em conta automaticamente) e o comando retorna G ( z). Apliquemos o conceito ao Exemplo s + feito na Aula 3T em que G () s =. s + Você entrará com o valor de T através do teclado. T=input('Digite o valor de T '); % Entra com o intervalo de amostragem. numgs=[ ]; % Define o numerador de G(s). dengs=[ ]; % Define o denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe título. G=tf(numgs,dengs) % Cria e mostra G(s). 'G(z)' % Exibe título. G=cd(G,T,'zoh') % Converte G(s) em cascata com % um z.o.h. em G(z) e mostra o resultado. pause Utilize o script acima e compare o resultado obtido no exercício preliminar. Comentários: Atividade Nesta atividade utilizaremos o Matlab para converter G ( s) em ( z) G quando G () s não está em cascata com um extrapolador de ordem zero. Isto é o mesmo que determinar a transformada z de G () s. Também podemos utilizar o MATLAB para converter G(s) em G(z) quando G(s) não está em cascata com um z.o.h. O comando H = cd(f,t,'zoh') transforma F(s) em cascata com um z.o.h. em H(z), onde H(z) = ((z - )/z)*z{f(s)/s}. Se fizermos F(s) = sg(s), o comando resolve H(z), onde H(z) = ((z - )/z)*z{g(s)}. Portanto, Z{G(s)} = (z/[z - ])*H(z). Em resumo, entre com F(s) = sg(s) e multiplique o resultado de H = cd(f,t,'zoh') por (z/[z -]). Este processo é equivalente a obter a transformada z.

170 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 Vamos converter em G(z). G () s = s s s + 3 Entraremos com o valor de T, intervalo de amostragem, via teclado. T é usado para formar H(z). Usamos um intervalo de amostragem não especificado, T =[], para formar z/(z -). T=input('Digite o valor de T'); numgs=[ 3]; dengs=[ 6 3]; 'G(s)' Gs=tf(numgs,dengs) Fs=Gs*tf([ 0],); Fs=minreal(Fs); Hz=cd(Fs,T,'zoh'); Gz=Hz*tf([ 0],[ -],[]); 'G(z)' Gz=minreal(Gz) pause % Entra com o intervalo de amostragem. % Define o numerador de G(s). % Define o denominador de G(s). % Exibe título. % Cria e mostra G(s). % Cria F(s)=sG(s). % Cancela pólos e zeros comuns. % Converte F(s) em H(z) supondo o % a presença de um z.o.h. % Forma G(z)=H(z)*z/(z-). % Exibe título. % Cancela pólos e zeros comuns. Responda: G z que você obteve? Utilize T = 0, 5s. Qual o ( ) Atividade 3 Nesta atividade você aprenderá a criar funções de transferência digitais diretamente. Método Vetorial, Forma Polinomial: Uma função de transferência digital pode ser expressa como um polinômio em numerador dividido por um polinômio em denominador, isto é, F(z) = N(z)/D(z). O numerador, N(z), é representado por um vetor, numf, que contém os coeficientes de N(z). De modo semelhante, o denominador, D(z), é representado por um vetor, denf, que contém os coeficientes de D(z). Formamos F(z) com o comando F = tf(numf,denf,t) 3

171 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 em que T é o intervalo de amostragem. F é chamado um objeto linear e invariante no tempo (LIT). Este objeto, ou a função de transferência, pode ser usado com entidade em outras operações, como adição ou multiplicação. Mostramos isto com F 50 ( ) ( z + z + 7) z = z 0,3z + 0,0 Usamos um intervalo de amostragem não especificado, T = []. Observe que depois de executar o comando tf, o MATLAB imprime na tela a função de transferência. 'Método Vetorial, Forma Polinomial' % Exibe título. numf=50*[ 7] % Armazena 50(z^+z+7) em numf e % mostra o resultado na tela. denf=[ ] % Armazena (z^-0.3z+0.0) em denf e % mostra o resultado na tela. 'F(z)' % Exibe título. F=tf(numf,denf,[]) % Cria e mostra F(z). clear % Apaga variáveis anteriores da área de trabalho. Responda: Você obteve o resultado desejado? Método Vetorial, Forma Fatorada Também podemos criar funções de transferência digitais LIT se o numerador e o denominador estiverem representados na forma fatorada. Fazemos isto usando os vetores que contêm as raízes do numerador e do denominador. Assim, G(z) = K*N(z)/D(z) pode ser expresso como um objeto LIT, usando o comando G = zpk(numg,deng,k,t) em que numg é um vetor contendo as raízes de N(z) e deng é um vetor contendo as raízes de D(z), K é o ganho e T é o intervalo de amostragem. A expressão zpk significa zeros (raízes do numerador), pólos (raízes do denominador) e ganho, K. Mostramos isto com G ( z) = 0( z + )( z + 4) ( z 0,5)( z 0,7)( z 0,8) e um intervalo de amostragem não especificado T = []. Observe que ao executar o comando zpk, o MATLAB imprime, na tela, a função de transferência. 4

172 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 'Método Vetorial, Forma Fatorada' % Exibe título. numg=[- -4] % Armazena (s+)(s+4) em numg e % mostra o resultado na tela. deng=[ ] % Armazena (s-0.5)(s-0.7)(s-0.8) em deng e % mostra o resultado na tela. K=0 % Define K. 'G(z)' % Exibe título. G=zpk(numg,deng,K,[]) % Cria e mostra G(z). clear % Apaga variáveis anteriores da área de trabalho. Responda: Você obteve o resultado desejado? Método da Expressão Racional em z, Forma Polinomial. Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normalmente. A instrução z = tf('z') deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma função de transferência LIT na forma polinomial equivalente usando G = tf(numg,deng,t). Método da Expressão Racional em z, Forma Fatorada Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normalmente. A instrução z = zpk('z') deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma função de transferência LIT na forma fatorada equivalente usando G = zpk(numg,deng,k,t). Em ambos os métodos da expressão racional a função de transferência pode ser digitada sob qualquer forma independentemente de se usar z = tf('z') ou z = zpk('z'). A diferença está na função de transferência LIT criada. Usamos os mesmos exemplos anteriores para demonstrar os métodos da expressão racional em z. 'Método da Expressão Racional, Forma Polinomial' % Exibe título. 5

173 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 z=tf('z') % Define z como um objeto LTI na forma polinomial. F=50*(z^+*z+7)/(z^-0.3*z+0.0) % Forma F(z) como uma função de transferência LIT % na forma polinomial. G=0*(z+)*(z+4)/[(z-0.5)*(z-0.7)*(z-0.8)] % Forma G(z) como uma função de transferência LIT % na forma polinomial. clear % Apaga variáveis anteriores da área de trabalho. 'Método da Expressão Racional, Forma Fatorada' % Exibe título. z=zpk('z') % Define z como um objeto LIT na forma fatorada. F=50*(z^+*z+7)/(z^-0.3*z+0.0) % Forma F(z) como uma função de transferência LIT % na forma fatorada. G=0*(z+)*(z+4)/[(z-0.5)*(z-0.7)*(z-0.8)] % Forma G(z) como uma função de transferência LIT % na forma fatorada. pause Responda: Você obteve os resultados esperados? Atividade 4 Nesta Atividade veremos como utilizar o Matlab para converter G ( z) em G () s quando G () s não estiver em cascata com um extrapolador de ordem zero. Isto é o mesmo que determinar a transformada de Laplace de G ( z). Também podemos utilizar o MATLAB para converter G(z) em G(s) quando G(s) não estiver em cascata com um z.o.h. Primeiro criamos uma função de transferência amostrada LIT, como discutido na Atividade anterior. O comando F = dc(h,t,'zoh') transforma H(z) em F(s) em cascata com um z.o.h., onde H(z) = ((z - )/z)*z{f(s)/s}. Se considerarmos F(s) = sg(s), o comando resolve para sg(s), dado H(z). Finalmente sg(s)/s = G(s) conduz ao resultado final. Em resumo, forme H(z), em que H(z)= ((z - )/z)*g(z). Use F = dc(h,t,'zoh') para obter F(s) = sg(s). Divida o resultado por s e obtenha G(s). Convertemos z G ( z) = z 0,3 em G(s). Entraremos com o valor de T, intervalo de amostragem, através do teclado. 6

174 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004 T=input('Digite o valor de T'); numgz=[ 0]; dengz=[ -.3]; 'G(z)' Gz=tf(numgz,dengz,T) Hz=Gz*tf([ -],[ 0],T); Hz=minreal(Hz); Fs=dc(Hz,'zoh'); Gs=Fs*tf(,[ 0]); 'G(s)' Gs=minreal(Gs) pause % Entra com o intervalo de amostragem. % Define o numerador de G(z). % Define o denominador de G(z). % Exibe título. % Cria e mostra G(z). % Cria H(z)=((z-)/z)*G(z). % Cancela pólos e zeros comuns. % Converte H(z) em F(s)=sG(s). % Cria G(s)=F(s)(/s). % Exibe título. % Cancela pólos e zeros comuns. Responda: Qual G(s) você obteve? Utilize T = 0, s Exercícios. Usando a expansão em frações parciais e a tabela dada, determine a transformada Z para cada G(s) a seguir se T = 0, 5s. Use o Matlab para conferir seus resultados. (a) G () s = ( s + 4) ( s + )( s + 5) ( )( ) ( )( ) s + s + (b) G () s = s s + 3 s + 4 RESOLUÇÃO: 7

175 Controle Aula 4P Professor Marcio Eisencraft - outubro 004. (303) Considerando um período de amostragem T = segundo, pede-se: (a) Obtenha a Transformada z de f ( t) sin( t) = usando a definição. ( ) s + (b) Obtenha a função de transferência pulsada G ( z) para G () s =. s( s + 3)( s + 4) (c) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que você pode usar para resolver o item anterior. 8

176 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft outubro 004 Aula 5P - Simulação de sistemas digitais no Simulink Bibliografia NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, ª. Edição, Bookman Company, 000. Páginas Exercícios de preparação. Dada o seguinte sistema, determine a sua resposta ao degrau, ou seja, calcule c () t para r () t = u() t. Determine os valores de ( t) r nos instantes t = 0; 0,5; ;,5 e segundos. Resolução:. A entrada e a saída do sistema do Exercício é agora amostrada com período de amostragem T = 0, 5segundo. Obtemos assim, o seguinte diagrama de blocos. Obtenha ( z) ( z) C G ( z) =. R Resolução:

177 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft outubro Obtenha a saída amostrada do sistema anterior para uma entrada degrau amostrada. Ou seja, determine c ( kt ) para r ( kt ) = u( kt ). Determine o valor de ( kt ) 0, T, T, 3T e 4T. Compare com os resultados do Exercício. Resolução: r nos instantes Simulação Simule no Simulink os sistemas dos Exercícios e. Obtenha a resposta ao degrau em cada caso e compare com os resultados teóricos obtidos. Não esqueça de acertar o intervalo de amostragem sampling time nos blocos digitais. Resultados e comentários

178 Controle Aula 5P Professor Marcio Eisencraft outubro Resolver Exercício 8(a) da página 599 do [NISE]. 5. Resolver Exercício 8(b) da página 599 do [NISE]. Figura 5 - Tabela de Transformadas [NISE]. 3

179 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 Aula 6P - Exemplo de estabilidade em sistemas digitais NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 00. Páginas DiSTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Feedback and Control Systems. ª edição, McGrawHill, 995. Páginas 7-8. Exercício (Exemplo 3.6 Nise) O míssil mostrado na figura a seguir pode ser controlado aerodinamicamente por meio de torques criados pela deflexão de superfícies de controle sobre o seu corpo. Figura Míssil analisado [NISE]. Os comandos para defletir estas superfícies de controle vêm de um computador que usa dados de rastreamento juntamente com as equações de guiamento programadas para determinar se o míssil segue a trajetória. A informação proveniente das equações de guiamento é usada para desenvolver comandos de controle de vôo para o míssil. Um modelo simplificado é mostrado a seguir. Figura Diagrama de blocos do sistema de controle do míssil [NISE].

180 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 Aqui o computador executa a função de controlador usando a informação de guiamento para desenvolver comandos de entrada para o míssil. Um acelerômetro no míssil detecta a aceleração real, a qual é enviada ao computador. Determine a função de transferência digital a malha fechada para este sistema e determine se o sistema é estável para K = 0 e K = 00 com um período de amostragem T = 0, s. Determine também o intervalo de valores de K para o qual o sistema é estável. Solução A entrada para o sistema de controle é um comando de aceleração desenvolvido pelo computador. O computador pode ser modelado por um amostrador e retentor. O modelo do plano s é mostrado a seguir. Figura 3 - Modelo no domínio s. [NISE]. O primeiro passo na obtenção do modelo no plano z é encontrar G ( z), a função de transferência do percurso direto. A partir da figura anterior, em que = 7 O termo G () s a. A transformada z, ( z) ( s + a) e = s st s G é ( ) Ka ( s + a) Ka z s ( s + a. ) Ka é expandido primeiramente em frações parciais, após o que determina- s mos a transformada Z de cada um dos termos com base na Tabela passada. Portanto,

181 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 Portanto, s Ka a = K = K a + a s s s + a z z Tz = K a + a at ( z ) z z e ( s + a) s ( s + a) = K Tz ( z ) a at ( e ) z ( )( ) at z z e Fazendo T = 0, e a = 7 G ( z) T K at ( z e ) ( z ) =, obtemos: G ( z) K = e a at ( z )( z e ) ( 0,0655z + 0,0783) ( z )( z 0,067) Finalmente, obtemos a função de transferência a malha fechada, T ( z), do sistema com retroação unitária: T ( z) G = + ( z) G( z) = z + at K( 0,0655z + 0,0783) ( 0,0655K,067) z + ( 0,0783K + 0,067) A estabilidade do sistema é obtida determinando-se as raízes do denominador. Para K = 0, as raízes do denominador são 0, ± j0, 78. O sistema é, portanto, estável para K = 0 uma vez que os pólos estão no interior do círculo unitário. Para K = 00, os pólos estão em -0,58 e -4,9. Como um dos pólos está fora do círculo unitário, o sistema é instável para K = 00. Para encontrar o intervalo de valores de K para o qual o sistema é estável devemos encontrar os valores de K para os quais as raízes da equação z ( 0,0655K,067) z + ( 0, ,067) = 0 + K 3

182 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 tem módulo menor do que. A solução analítica deste problema não é muito simples. Vamos explorá-lo numericamente. O programa Matlab a seguir fornece o maior módulo entre as raízes deste polinômio para valores de K entre 0, e 00 com passo de 0,. clear all; numgas=7; % Define o numerador de Ga(s). dengas=[ 7 0]; % Define o denominador de Ga(s). rm =[]; Ga=tf(numgas,dengas) % Cria e mostra Ga(s). Gz=cd(Ga,0.,'zoh') % Obtém e mostra G(z) supondo Ga(s) em % cascata com um z.o.h.. for K=0.:0.:00 % Define a faixa de valores de K para investigar % a estabilidade. Tz=feedback(K*Gz,); % Obtém T(z). r=pole(tz); % Obtém os pólos para este valor de K. rm=[rm max(abs(r))]; % Determina o pólo com o maior valor absoluto % para este valor de K. end; % Fim de for. K = 0.:0.:00; % Valores utilizados plot(k,rm); %faz um gráfico de rm X K grid; yabel('maior modulo de polo'); xlabel('k'); % Linha para marcar transicao de estabilidade hold on; plot([0. 00], [ ], 'r-'); hold off; O gráfico obtido é o seguinte: 4

183 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 Vemos então que aproximadamente para 0 < K < 33 temos um sistema estável, o que bate com os resultados obtidos anteriormente. Este problema pode também ser visto como um problema de LGR em que queremos determinar os pólos em malha fechada do sistema G z ( z). O comando rlocus(gz) pode também ser utilizado para obtermos o mesmo resultado. >> rlocus(gz) >> rlocfind >> rlocfind(gz) Select a point in the graphics window selected_point = i ans = (304) [PHILIPS, p.57] A Figura 3 a seguir é o diagrama de blocos de um sistema de controle que controla a temperatura de um líquido em um contêiner, sendo K um número real. 5

184 Controle Aula 6P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 Figura 3 Sistema de controle de temperatura [PHILIPS]. (a) Determine o conjunto de valores de K para o qual o sistema é estável. (b) Para = K, determine a função de transferência ( z) ( z) ( z) C T =. R (c) Ainda para K = determine a resposta ao degrau deste sistema. (d) Se o amostrador e o extrapolador fossem removidos resultando num sistema de tempo contínuo, qual seria o conjunto de valores de K que garantiriam a estabilidade? 6

185 Controle Aula 7P Professor Marcio Eisencraft - novembro 004 Aula 7P - Exercício. A figura a seguir representa dois computadores ligados entre si por um canal analógico G C () s, um cabo coaxial, por exemplo. TX r * (t) c * (t) Extrapolador G C (s) RX T T Canal Computador A Computador B O sinal r * (t) gerado no Computador A é uma seqüência de impulsos de valor ou -. Este sinal passa por um extrapolador de ordem zero (z.o.h.) e é enviado através do canal analógico G C () s. No Computador B, a seqüência c * (t) é uma versão distorcida da seqüência original r * (t). Considere que os amostradores estão sincronizados e tem um período de amostragem T > 0. Supondo um canal do tipo G () s = C s + sendo a um número real, pede-se: a (a) Determine a função de transferência pulsada do sistema ( z) a. ( z) ( z) C G = em função de T e R (b) Determine o intervalo de valores de a para o qual este sistema é estável. (c) Considerando T = 0, 5 segundos e a =, determine c * (t) nos instantes t = 0, T, T, 3T, 4T quando r * (t) for uma seqüência infinita de s começando em t = 0. (d) Considerando ainda a seqüência r * (t) do item anterior, depois de quantos segundos a diferença entre c * (t) e r * (t) é menor do que %?

186 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Controle Lista de Exercícios Suplementares semestre 004. Para cada lugar das raízes na figura a seguir, diga se o esboço pode ser ou não de um lugar das raízes. Se o esboço não pode ser um lugar das raízes, explique o porquê. Forneça todos os motivos. Figura Exercício um [NISE]. Esboce a forma geral do lugar das raízes para cada um dos diagramas de pólos e zeros a malha aberta mostrados a seguir.

187 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Figura Exercício dois [NISE]

188 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto Esboce o lugar das raízes para o sistema com retroação unitária mostrado na figura a seguir para as seguintes funções de transferência: ( )( ) K s + s + 6 (a) G () s = s + 8s + 5 K (b) () ( s + 4) G s = ( s + ) K (c) () ( s + ) G s = (d) G () s = s K ( s +) 3 ( s + 4) 4. Para o diagrama de pólos e zeros a malha aberta mostrado a seguir, esboce o lugar das raízes e encontre o ponto de saída. 5. Esboce o lugar das raízes do sistema com retroação unitária mostrado na figura a seguir em que 3

189 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 G () s K = e encontre os pontos de entrada e de saída. ( s + )( s + ) ( s + 5)( s + 6) 6. O polinômio característico de um sistema de controle com retroação, que é o denominador da função de transferência a malha fechada, é dado por ( K + ) s K s 3 + 3s Esboce o lugar das raízes para este sistema. 7. A figura a seguir mostra os pólos e zeros a malha aberta. Esboce cada uma das duas possibilidades. Esteja ciente de que pode existir apenas um único lugar verdadeiro das raízes para pólos e zeros a malha aberta específicos. 8. Construa o lugar das raízes para o sistema com retroação unitária mostrado na figura a seguir em que G () s K = ( s + )( s + ) ( s + 3)( s 3) 4

190 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 Para que faixa de K os pólos estarão no semiplano s da direita? 9. Para o sistema com retroação unitária da figura a seguir, em que: G K () ( s + ) s = ( s ) esboce o lugar das raízes e diga para que valores de K o sistema é estável e instável. 0. Esboce o lugar das raízes para o sistema com retroação unitária da figura a seguir em que G K () ( s + ) s = ( s + 3)( s + 4) Dê os valores para todos os pontos críticos de interesse. O sistema é sempre instável? Se não, para que faixa de valores de K?. (03) Considere um sistema com a configuração mostrada a seguir: 5

191 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 O lugar das raízes para este sistema em função do ganho K é mostrado na seguinte figura. Pede-se: (a) Determine G () s. (b) Escreva um conjunto de comandos que você poderia utilizar no Matlab para gerar o gráfico da figura acima. (c) Determine o valor do ganho K que fará o sistema marginalmente estável. (d) Determine o valor de ganho para o qual a função de transferência a malha fechada terá um pólo sobre o eixo real em -0. RESP: (a) G () s = ; (c) 480; (d) 9. ( s + 6)( s + 4)( s + ). (03) Dado o sistema com retroação unitária da figura a seguir: 6

192 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 em que () s K( s + ) ( s + )( s + 3)( s + 4) G =, s pede-se: (a) Esboce o lugar das raízes. (b) Determine o intervalo do ganho K que torna o sistema estável. (c) Determine o valor do ganho para o qual a função de transferência a malha fechada terá um pólo sobre o eixo real em -5. RESP: (b) 0 K 40, 79 ; (c) 7,5. 3. (03) Para o sistema com retroação unitária da figura a seguir: K em que G () s = ( s )( s ) s( s + ), pede-se: (a) Esboce o lugar das raízes; (b) Determine os pontos de intersecção com o eixo j ω (c) Determine a faixa de ganho para manter o sistema estável. (d) Encontre o valor de K para produzir um sistema estável com pólos complexos de segunda ordem com uma relação de amortecimento de 0,5. RESP: (b) s 0; s = j s = j = ; (c) 0 < K < ; (d) 0, (03) Os lugares das raízes são normalmente traçados em função de variações no ganho. Algumas vezes estamos interessados na variação dos pólos a malha fechada à me- 7

193 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 dida que outros parâmetros são modificados. Para o sistema mostrado na figura a seguir, esboce o lugar das raízes à medida que a é variado. Considere a > 0. Dica (uma possibilidade): Determine os pólos do sistema a malha fechada em função de a e monte uma tabela [ a x pólos]. Depois é só localizar as raízes no plano complexo. Lembre-se que algumas propriedades do lugar das raízes ainda valem. 5. (03) Um sistema de controle em malha fechada da velocidade de rotação de um motor elétrico tem a configuração mostrada no diagrama a seguir: (a) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que permita obter este LGR. (b) Este sistema em malha aberta é estável? Justifique. (c) Calcule os pontos de início e término do LGR deste sistema. (d) Obtenha o LGR sobre o eixo real. (e) Obtenha os ângulos e o ponto de encontro das assíntotas. (f) Obtenha os pontos de partida e chegada sobre o eixo real. (g) Obtenha os ângulos de partida dos pólos complexos. (h) Calcule os pontos de intersecção com o eixo imaginário. (i) Determine o intervalo de valores de K para o qual o sistema em malha fechada é estável. 8

194 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft agosto 004 (j) Com os resultados obtidos nos itens anteriores, faça um esboço do LGR para este sistema. p ; pontos de término: z = RESP: (c) pontos de início: = + j; p = j; p3 = 4; p4 = o o o α = 60 ; α = 80 ; α = 300. s 0 =. (f) não há. (g) s = 0; s = j0,778 s = j0,778 ; (i) 4 < K < 5, 078. = 33,3 o. (e) θ e θ o. (h) = 36,87 6. (04) Resolver Exercício E7.8 da página 304 do [DORF]. 7. (04) Resolver Exercício E7.9 da página 304 do [DORF]. o RESP: (b) θ = ±6,565 ; (c) (04) Resolver o Exercício B-6-5 da página 33 do [OGATA]. 9. (04) Resolver o Exercício PM.5 da página 9 do [DORF]. 9

195 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft setembro 004 Controle Lista de Exercícios Suplementares semestre 004. Desenhe um gráfico polar a partir das curvas de magnitude e de fase mostradas a seguir. Figura Diagramas de Bode do Exercício [NISE]. Desenhe as curvas separadas de magnitude e de fase a partir do gráfico polar mostrado na figura a seguir.

196 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft setembro 004 Figura Diagrama polar do Exercício [NISE] 3. Usando o Teorema da Estabilidade de Nyquist, determine a faixa de valores de K para estabilidade cada sistema das figuras a seguir. (a) (b) Figura 3 Sistemas do Exercício Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é: C R ( s) () s ( T s + ) K = T s +

197 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft setembro 004 Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada r() t = R sinωt. 5. Esboce os diagramas de Bode das três seguintes funções de transferência: T s + (a) G () s =, ( T > T > 0 ) T s + T s (b) G () s =, ( T > T > 0 ) T s + T s + (c) G () s =, ( T > T > 0 ). T s + 6. Desenhe o diagrama de Bode de G 0 () ( s + 0,4s + ) s = s( s + 0,8s + 9) 7. Dada mostre que G n () s = G s + ( jω ) n ω ζω ns + ωn = ζ 8. A resposta em freqüência G ( jω) de um filtro passa-baixas é mostrada nos gráficos de Bode a seguir. 3

198 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft setembro 004 o A entrada do sistema é a senóide 0 cos( ω t + 30 ) para cada freqüência de entrada: (a) ω = 0, (b) ω = (c) ω = 0.. Encontre a saída em regime estacionário o o o RESP: (a) 48,8cos( 0,t +, 8 ); (b) 5,58cos( t 90 ); (c),40 cos( 0t 05 ) O aumento da densidade de trilhas em acionamento de disco de computador requer o projeto cuidadoso dos sistemas de controle de posicionamento das cabeças. A função de transferência é () s K G =. s ( +) Para K = 4, calcule a magnitude e a fase da resposta em freqüência deste sistema para ω = 0; 0,; 0,5; ; 5; 0; e trace um diagrama polar. 0. Um sistema com retroação unitária negativa possui uma função de transferência do processo a controlar 4

199 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft setembro 004 G () s Ke = s + em que T = 0, s. Mostra-se que uma aproximação para o tempo de retardo é s T e st =. Usando esta aproximação, obter um esboço do lugar das raízes do sistema + s T para K > 0. Determine a faixa de valores de K para a qual o sistema é estável. st,. A aeronave de Asa Oblíqua (OWA Oblique Wing Aircraft) experimental possui uma asa que pivota em torno de um eixo como mostrado na figura a seguir. A asa permanece em posição normal não oblíqua nas velocidades baixas e pode se deslocar para a posição oblíqua em vôo supersônico. O sistema de controle possui ( s) = ( 0,5s + ) 4 G () s =. s s s( s + ) Esboce o diagrama de Bode assintótico deste sistema. H e 5

200 Controle - Lista de Exercícios Suplementares Professor Marcio Eisencraft setembro 004. Resolver o Exercício P8. da página 358 do [DORF]. 3. Resolver o Exercício P8.5 da página 358 do [DORF]. 4. Resolver o Exercício P8.0 da página 363 do [DORF]. RESP: (b) 30dB em 5rad/s com fase -,5º. 5. Resolver o Exercício PM8. da página 368 do [DORF]. 6. Resolver o Exercício PM8.5 da página 368 do [DORF]. 7. Resolver o Exercício E9. da página 49 do [DORF]. 8. Resolver o Exercício.7(a) e (c) da página 873 do [OPPENHEIM]. RESP: (c) Resolver o Exercício B8.. da página 50 do [OGATA]. o o RESP: (a) 0,9sin( t + 4, 8 ); (b),789 cos( t 55, 30 ) o o (c) 0,9sin( t + 4,8 ),789 cos( t 55, 30 ). ; 0. Resolver o Exercício de Avaliação 0.6 da página 455 do [NISE]. RESPOSTAS NO LIVRO. 6

201 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 Controle Lista de Exercícios Suplementares 3 OBS: Estes exercícios são SUPLEMENTARES. Para se preparar para a prova é importante também ler e resolver os exercícios das notas de aula teórica e prática. Quando for o caso, a referência de onde o exercício foi retirado está indicada. Faça também os exercícios das listas anteriores!. [FRANKLIN, p.65] Use transformadas Z para resolver a equação de diferenças: ( kt ) 3y( kt T ) + y( kt T ) = u( kt T ) u( kt T ) y em que e as condições iniciais são nulas. u ( kt ) kt, k 0 = 0, k < 0. Um controlador implementado num computador digital é modelado pela função de transferência pulsada: ( z) z = ( z) ( z 0,5)( z 0,7) R G ( z) =. C Determine a resposta ao degrau deste sistema, ou seja, determine r ( kt ) para ( kt ) u( kt ) c =, sendo T o intervalo de amostragem. RESP: ( ) ( ) k ( ) k r kt 5 0, , 7 =. 3. Um sistema de controle digital é implementado pelo seguinte diagrama de blocos. C(s) + - T=0,s e Ts s Extrapolador K s + 5 Processo a controlar R(s)

202 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 Determine o conjunto de valores de K real para o qual este sistema é estável. RESP: 5 < < 0, 445 k. 4. A Figura a seguir apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle em que K > 0. Pede-se: (a) Determine a função de transferência do sistema em malha fechada. (b) Escreva uma seqüência de comandos que você poderia utilizar no Matlab para obter o LGR deste sistema. Executando a seqüência do item (b), você obtém o gráfico a seguir: (c) Calcule o valor do ganho K para que, em malha fechada, o sistema apresente pólos complexos conjugados com parte real igual a -0,0. (d) Obtenha a faixa dos valores de K para que o sistema com a malha fechada seja estável. RESP: (a) T () s K = s s + 300s + K ; (c) 0000; (d) 0 < K < 78000

203 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro O circuito da figura representa um amplificador com desacoplamento DC, implementado com um amplificador operacional. Os Diagramas de Bode em módulo e fase representam a resposta em freqüência, obtida em VO s ensaio de laboratório, para a função G() s =. A partir desses Diagramas, calcule a V s tensão de saída quando a tensão de entrada for: i i ( ) () o ( t) 0cos( 0 t + ) v = o RESP: v () t 50,cos( 00t 80 ) S =. 3

204 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro Um sistema de controle em malha fechada da velocidade de rotação de um motor elétrico tem a configuração mostrada no diagrama a seguir: (a) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que permita obter este LGR. (b) Este sistema em malha aberta é estável? Justifique. (c) Calcule os pontos de início e término do LGR deste sistema. (d) Obtenha o LGR sobre o eixo real. (e) Obtenha os ângulos e o ponto de encontro das assíntotas. (f) Obtenha os pontos de partida e chegada sobre o eixo real. (g) Obtenha os ângulos de partida dos pólos complexos. (h) Calcule os pontos de intersecção com o eixo imaginário. (i) Determine o intervalo de valores de K para o qual o sistema em malha fechada é estável. (j) Com os resultados obtidos nos itens anteriores, faça um esboço do LGR para este sistema. o o o RESP: (c) início: -+j; --j; -4;. término: -. (e) s 0 = ; θ = 60 ;80 ;. (f) Não há; (g) 33,3 e 36,87 ; (h) 0; j0, 778 e j0, 778; (i) 4 K 5, 087. i A figura a seguir mostra um motor CC e sua modelagem em termos de função de transferência. 4

205 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 Nesta figura, () t rotor em radianos. e a é a tensão aplicada à armadura em volts e ( t) Pode-se mostrar que um bom modelo para G ( s) é G () s = s K ( s + α ) θ é a posição angular do em que K e α são constantes que dependem dos outros parâmetros do circuito. Para 5 α = e K =, pede-se: 0 t 0cos πt θ t em regime permanente. (a) Considerando ( ) = ( ), determine ( ) e a (b) Esboce o diagrama de Bode de módulo e fase para este sistema. Use as escalas a seguir para ajudá-lo. m m θ t = 8,333cos πt 9,99 0 o 3 RESP: (a) () ( ) m 5

206 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro A figura a seguir representa dois computadores ligados entre si por um canal analógico G C () s, um cabo coaxial, por exemplo. TX r * (t) c * (t) Extrapolador G C (s) RX T T Canal Computador A Computador B O sinal r * (t) gerado no Computador A é uma seqüência de impulsos de valor ou -. Este sinal passa por um extrapolador de ordem zero (z.o.h.) e é enviado através do canal analógico G C () s. No Computador B, a seqüência c * (t) é uma versão distorcida da seqüência original r * (t). Considere que os amostradores estão sincronizados e tem um período de amostragem T > 0. Supondo um canal do tipo G () s = C s + sendo a um número real, pede-se: a (a) Determine a função de transferência pulsada do sistema ( z) a. (b) Determine o intervalo de valores de a para o qual este sistema é estável. ( z) ( z) C G = em função de T e R (c) Considerando T = 0, 5 segundos e a =, determine c * (t) nos instantes t = 0, T, T, 3T, 4T quando r * (t) for uma seqüência infinita de s começando em t = 0. (d) Considerando ainda a seqüência r * (t) do item anterior, depois de quantos segundos a diferença entre c * (t) e r * (t) é menor do que %? RESP: (a) G( z) c at e = ; (b) > 0 a at ( z e ) c T a ; c T (c) ( 0 ) = 0; ( ) = 0,75; ( ) = 0,; ( 3 ) = 0,37; ( 4 ) = 0, 3935 (d) t > 4, 65 s c T c T 9. A Figura apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle, e a Figura, o seu lugar das raízes para K > 0. Com base nas duas figuras, resolva os itens abaixo. a) Determine a função de transferência do sistema em malha fechada. 6

207 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 b) Determine o intervalo de valores de K no qual o sistema apresenta resposta superamortecida, ou seja, todos os seus pólos são reais, negativos e diferentes entre si. c) Obtenha a faixa dos valores de K para que o sistema com a malha fechada seja estável. RESP: (a) T () s = Figura K s s + 5s + K ; (b) 650 < K < 6750 ; (c) < K. 0. Considerando um período de amostragem T = segundo, pede-se: (a) Obtenha a Transformada z de f ( t) sin( t) = usando a definição. ( ) s + (b) Obtenha a função de transferência pulsada G ( z) para G () s =. s( s + 3)( s + 4) (c) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que você pode usar para resolver o item anterior. 7

208 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 z sin RESP: (a) ( ) ( T ) F z = ; (b) ( z) z cos( T ) z + = 0,075z( z 0,438) ( z )( z 0,049787)( z 0,083) G.. [PHILIPS, p. 68] Considere o sistema da Figura a seguir. Note que o ganho do sensor não é unitário. Figura Sistema de controle [PHILIPS]. (a) Faça um esboço do lugar das raízes para este sistema. (b) Encontre o intervalo de valores de K para o qual o sistema é estável. (c) Encontre o(s) valor(es) de K para os quais o sistema é estável e criticamente amortecido. RESP: (b) k > 4 ; (c) k = 3, 49.. [PHILLIPS, p. 34] Considere o sistema de terceira ordem com função de transferência: G () s C = R ( s) 50 = () s ( s + )( s + )( s + 0) A resposta em freqüência G ( jω) foi calculada num computador, fornecendo os resultados da tabela a seguir: 8

209 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 (a) Verifique os valores para ω = e ω = 0. (b) Definimos a banda passante de um sistema como a freqüência na qual o ganho do sistema G( jω ) = 0,707 G( 0). Calcule aproximadamente a banda de passagem deste sistema usando a tabela acima. (c) Escreva uma seqüência de comandos Matlab para traçar o diagrama de Bode deste sistema. (d) A entrada do sistema é r() t 0cos( ωt) =. Escreva a resposta em regime permanente para cada uma das seguintes freqüências de entrada (não é preciso nenhum cálculo): (i) ω = 0, ; (ii) ω = ; (iii) ω = 0. (e) Repita o item (d) para uma entrada r( t) 00 cos( ωt) RESP: (b) 0,85rad/s; =. o (d) (i) c() t = 4,388cos( 0,t 8, 669 ) (ii) c( t) o 7,75 cos( t 9, 7449 ) o () t = 0,0556 cos( 0t 34, ); o (e) (i) c() t = 43,88cos( 0,t 8, 669 ) (ii) c( t) o 77,5 cos( t 9, 7449 ) () t = 0,556 cos( 0t 34, o ) c 86 c 86 = (iii) = (iii) 3. [FRANKLIN, p.65] Um filtro de tempo discreto com freqüência de amostragem Hz tem função de transferência pulsada: 9

210 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro 004 z z + ( ) H z =. z z + 3 (a) Sejam r ( kt ) e ( kt ) quação de diferenças relacionando r ( kt ) e ( kt ) (b) Este filtro é estável? Justifique. 6 c respectivamente a entrada e a saída deste filtro. Escreva uma e- 6 c. RESP: (a) c( kt ) c( ( k ) T ) c( ( k ) T ) = r( kt ) r( ( k ) T ). 4. [PHILIPS, p.57] A Figura 3 a seguir é o diagrama de blocos de um sistema de controle que controla a temperatura de um líquido em um contêiner, sendo K um número real. Figura 3 Sistema de controle de temperatura [PHILIPS]. (a) Determine o conjunto de valores de K para o qual o sistema é estável. (b) Para = K, determine a função de transferência ( z) ( z) ( z) C T =. R (c) Ainda para K = determine a resposta ao degrau deste sistema. (d) Se o amostrador e o extrapolador fossem removidos resultando num sistema de tempo contínuo, qual seria o conjunto de valores de K que garantiriam a estabilidade? K ; (b) T ( z) ; (c) c( t) 0,5 ( 0,64) RESP: (a) < <, 639 K >. 0,63 = z + 0,64 5. Resolver Exercício 6(d) página 599 do [NISE]. RESP: ( z) z = 0, ( z + 0,5334)( z + 0,04405) G. ( z )( z 0,36788)( z + 0,079773z + 0,004788) 6. Resolver Exercício página 599 do [NISE]. k ( ) u( kt ) = ; (d) 0

211 Controle - Lista de Exercícios Suplementares 3 Professor Marcio Eisencraft novembro Resolver Exercício 3 página 600 do [NISE]. 8. Resolver Exercício 4 página 600 do [NISE]. 9. Resolver Exercício 0 página 600 do [NISE]. 0. Resolver Exercício E9.5 página 47 do [DORF]. M RESP: (a) G = 4 db; φ G = 6 o ; (b) db.