UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I

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2 INDICE UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF Circuitos Concentrados Elementos Concentrados Sentido de referência Sentido de referência para tensão de braço Sentido de referência para corrente de braço Sentido de referência associado Corrente Elétrica e Tensão Leis de Kircchoff Leis das Correntes de Kircchoff Leis das Tensões de Kircchoff... 8 UNIDADE 2 ELEMENTOS DE CIRCUITOS Resistores Fontes Independentes de tensão e corrente Equivalente Thevenin e Norton Divisão de corrente Divisão de tensão Ligação Y - (estrela triângulo) Formas de ondas típicas Capacitores Indutores Potência e Energia Componentes físicos x elementos de circuitos UNIDADE 3 CIRCUITOS SIMPLES Ligação série de elementos Ligação paralela de elementos UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO Definições e propriedades dos circuitos Análise nodal Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito Análise por malhas

3 UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES Teorema de Thevenin Teorema de Norton Teorema da superposição Teorema da máxima transferência de potência UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem Resposta a excitação zero Resposta ao estado zero Resposta completa: Transitório + Regime permanente Resposta ao Degrau Unitário UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM Resposta a Excitação Zero Circuito RLC paralelo Circuito RLC série Resposta ao Estado Zero Excitação por fonte de corrente constante Excitação por fonte de tensão constante Resposta Completa UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE AULAS PRÁTICAS AULA PRÁTICA CIRCUITOS I AULA PRÁTICA CIRCUITOS I BIBLIOGRAFIA

4 UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF Circuitos Concentrados É qualquer ligação de elemento concentrado, de tal forma que as dimensões sejam pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta freqüência de interesse. Se esta relação existir, são válidas as leis de Kircchoff. EXEMPLO a) Circuito de áudio b) Circuitos de computador 1.2. Elementos Concentrados - Não é um circuito concentrado- A corrente elétrica circula através de um elemento e a diferença de potencial entre os terminais do mesmo é bem definida. A partir destas considerações, obtemos um elemento concentrado. quantidades bem definidas Principais elementos concentrados Com dois terminais: 3

5 Com mais de dois terminais: DEFINIÇÕES Braço - Elemento concentrado de dois terminais; Nós São os terminais dos braços; Tensão de braço Tensão entre nós; Corrente de braço Corrente que flui entre os braços 1.3. Sentido de referência Sentido de referência para tensão de braço Dada a polaridade da tensão, por convenção, a tensão de braço num instante t é positiva sempre que o potencial elétrico no ponto A for maior que o potencial no ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referência. 4

6 Sentido de referência para corrente de braço Dado o sentido de referência para a corrente de braço, por convenção, ela é positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas elétricas entrar num terminal (+) e sair num (-) Sentido de referência associado Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal negativo (-), a potência entregue ao circuito é POSITIVA. *P(+), P(-) EXEMPLO: P(+), *P(-) 5

7 1.4. Corrente Elétrica e Tensão Corrente elétrica A proporção básica de um circuito é a de mover ou transferir cargas de um percurso fechado específico. Este movimento de cargas é a corrente elétrica denotada pelas letras: Formalmente a corrente é a taxa de variação de carga no tempo Tensão elétrica As cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m. Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tensão sobre um elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga através dos terminais de um elemento. EXEMPLO: 6

8 1.5. Leis de Kircchoff Leis das Correntes de Kircchoff Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus nós, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço que chegam a um nó e saem desse nó é zero. Convenção Corrente chegando no nó negativa (-) Corrente saindo do nó positiva (+) EXEMPLO: 7

9 NOTAS A LCK, impõe uma dependência linear entre as correntes de braço e as equações são lineares e homogêneas; A LCK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, isto é, independe da natureza do elemento; A LCK expressa a conservação da carga em todos os nós. Não há nem acúmulo nem perda de carga Leis das Tensões de Kircchoff Para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer um de seus percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica das tensões de braço ao redor de qualquer malha fechada é zero. OBS.: 1) Percurso fechado - É o caminho percorrido a partir de um nó passando por outros nós e voltando ao mesmo nó inicial. 2) Malha Fechada É um percurso fechado que não contém braços no seu interior. 8

10 EXEMPLO Usa-se o sentido horário para percorrer o percurso fechado NOTAS A LTK, impõe uma dependência linear entre as tensões de braço de uma malha; A LTK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, não importando se os elementos do circuitos são lineares, não-lineares, ativas, passivos, etc... A LTK é independente da natureza dos elementos. EXEMPLOS 1) Algumas das correntes de braço do circuito abaixo são conhecidas, tais como:. É possível determinar todas as correntes de braço restantes? 9

11 2) Suponhamos que no exemplo 1, nós empregamos sentido de referência associado para a tensão e corrente de braço, com as seguintes tensões:. É possível determinar as demais tensões de braço? 10

12 Como não podem ser calculados, é impossível de se resolver pois o número de incógnitas é maior que o número de variáveis. 11

13 EXERCÍCIOS 1) No circuito abaixo usando os sentidos de referência associados para as direções de referência das variáveis de braço a) Aplicar a LCK aos nós 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao nó 4 é uma conseqüência das outras 3 equações. b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursos fechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equações são conseqüência das 3 equações de malhas. 2) Calcule 12

14 3) Dado o circuito onde. Determine as outras tensões de braço possíveis. 4) Com o mesmo circuito anterior, onde. Determine as outras correntes de braço possíveis. 13

15 UNIDADE 2 ELEMENTOS DE CIRCUITOS Resistores Um elemento com dois terminais, que possuem resistência, é chamado de resistor e se, a qualquer tempo a sua tensão e sua corrente satisfazem uma relação definida como uma curva no plano. Além disso, é necessário que exista uma relação entre a corrente instantânea e a tensão instantânea. Símbolo: Classificação: o Linear: resistor o Não linear: diodo, mosfet, etc. o Não variável no tempo Em circuitos I, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo. Resistor invariável no tempo e linear: é um elemento com dois terminais cuja característica é uma reta passando pela origem no plano. 14

16 Unidades: o o o o Casos particulares: a) Circuito aberto: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tensão nos seus terminais (tensão de braço), e corrente (corrente de braço) é igual a zero. 15

17 b) Curto circuito: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente de braço), sua tensão (tensão de braço) é igual a zero Fontes Independentes de tensão e corrente a) Fonte de tensão: Um elemento de dois terminais é chamado de fonte de tensão ideal ou independente, se ele mantém uma tensão especificada nos terminais do circuito ao qual está ligado, independente da corrente através do circuito (carga). Potência (+): absorvida Potência (-): fornecida independente. É conveniente usar direções de referência para a tensão e a corrente de uma fonte 16

18 OBS.: A fonte de tensão real pode ficar em circuito aberto, mas não em curto, pois a corrente vai a. b) Fonte de corrente: É o elemento de dois terminais que mantém uma corrente especificada terminais, independente da tensão aplicada. em seus OBS.: A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas não pode ficar em circuito aberto, pois sua tensão vai a. 17

19 2.3. Equivalente Thevenin e Norton Equivalente Thevenin fonte de tensão Equivalente Norton fonte de corrente A equivalência só é válida nos terminais, ou seja, produz a mesma tensão e corrente nos terminais. As potências envolvidas no interior do circuito não são equivalentes. A relação entre os equivalentes Thevenin e Norton é dada por: 2.4. Divisão de corrente Seja o circuito com dois terminais abaixo: 18

20 Aplicando: Lei das Correntes de Kircchoff (LCK): Lei das Tensões de Kircchoff (LTK): Pela Lei de Ohm: Resolvendo para V: Logo: 19

21 Circuito com resistores em paralelo: 2.5. Divisão de tensão Seja o circuito abaixo: LTK: Aplicando: LCK: Pela Lei de Ohm: Resolvendo para I: 20

22 Logo: Para um circuito com resistores em série: 21

23 Exercícios: 1) Calcule a vista pela fonte e encontre : 2) Uma carga requer e absorve. Se apenas uma fonte de está disponível, calcule o valor da resistência a ser colocada em paralelo com a carga. 3) Calcule a vista pela fonte e calcule. 4) Encontre os valores de. 22

24 5) Calcule e a potência entregue pela fonte. 6) Calcule e a potência entregue pela fonte Ligação Y - (estrela triângulo) OBS.: Para esta relação ser válida, é necessário que seja respeitada a posição dos resistores no circuito, caso contrário, a transformação não valerá. 23

25 a) Transformação de Y - : Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para triângulo ( ), usamos as seguintes relações de resistências: b) Transforma o de - Y: Quando temos o circuito em triângulo ( ), e necessitamos transformar para estrela (Y) usamos as seguintes relações de resistências: Dica: Para facilitar a transformação e a localização dos resistores corretamente, desenha-se o Y dentro do, assim é possível ter uma visualização exata da posição dos resistores. Exercícios: 1) Determinar a resistência equivalente entre. a) 24

26 b) c) d) 25

27 2) Quando, a potência será de. Determine e o valor de. 3) Determine as correntes indicadas: 4) Calcule : 26

28 5) Calcule : 6) Calcule aplicando as LTK e LCK: 2.7. Formas de ondas típicas a) Constante:, para qualquer tempo. b) Função seno (ou cosseno): 27

29 Onde: c) Função degrau unitário: é definida como: d) Função degrau unitário defasado: 28

30 e) Função de pulso: OBS.: a área de um pulso é sempre. para todo. 29

31 f) Função impulso unitário: Relação entre δ(t) e u(t): 30

32 g) Função rampa unitária: Relação entre e Exercícios: a) Faça os seguintes gráficos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 31

33 2.8. Capacitores Um elemento de dois terminais é chamado capacitor se, a qualquer instante de sua carga e sua tensão satisfazem uma relação definida por uma curva Esta curva é chamada de curva característica do capacitor. Símbolo: Classificação: o Linear o Não linear: capacitância em MOSFETs, diodos, etc. o Variável com o tempo o Invariante no tempo Capacitores lineares e invariáveis no tempo: 32

34 Unidades: Parâmetros: a) Carga no capacitor: b) Corrente no capacitor: c) Tensão no capacitor: Características do capacitor: a) Se a tensão num capacitor não variar com o tempo, então a corrente nele será nula. Como a tensão não varia com o tempo a derivada em relação ao tempo será nula: Obs.: Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua. 33

35 Ex.: Capacitor carregado. b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente através dele seja nula. Ex.: Capacitor carregado com tensão constante. Temos que: c) É impossível alterar instantaneamente a tensão nos terminais de um capacitor, pois a corrente tenderia ao infinito. Se alterarmos a tensão, instantaneamente, temos: d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu campo elétrico. e) Um capacitor carregado é equivalente a ligação série de um capacitor descarregado em e uma fonte constante. é a condição inicial de tensão no capacitor em. é a tensão no capacitor se, em. 34

36 2.9. Indutores Símbolo: Comparação do indutor com o capacitor: 35

37 Parâmetros: Classificação: Linear Não linear Invariante no tempo Variável no tempo A grande maioria dos indutores são não lineares, mas, dependendo da aplicação, podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Então, se o indutor for projetado para trabalhar nesta região, teremos um indutor linear. Obs.: Se não há variação de corrente, a tensão nos terminais do indutor é zero. Não variando, é zero, portanto. 36

38 Obs.: Um indutor, para corrente contínua é um curto circuito. a) Energia armazenada: b) Quando a chave é aberta, a corrente I 0 cai a zero num tempo muito curto, fazendo com que haja uma sobre tensão na chave. 37

39 Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão nos seguintes casos: 2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nos seguintes casos: 38

40 3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor é a seguinte, calcule e esboce a forma de onda da tensão: 4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão no indutor para os seguintes casos: 5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para os seguintes casos: 39

41 6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboçar a forma de onda de na fonte de corrente. 7) Seja o circuito abaixo, calcule 40

42 8) A corrente no capacitor é dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com. Calcular e esboçar a forma de onda de para e a potência instantânea e média entregue pela fonte Potência e Energia não armazena energia, mas dissipa. armazena energia em seu campo elétrico. armazena energia em seu campo magnético. Corrente que entra igual a corrente que sai. a) Potência instantânea: b) Energia: é a integral da potência instantânea a partir de até. 41

43 c) Potência média e ativa: Obs.: A expressão alternada, a potência média em um resistor, por exemplo, é dado por só é válida para corrente cotínua. Para corrente Desenvolvendo: = Indutor: 42

44 Obs.: Num sistema periódico, portanto. Obs.: O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor. Exercícios: 1) Seja o seguinte circuito: Esboce a tensão, potência instantânea e média para: c) d) 43

45 2) Calcular e esboçar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tensão é dada por: 44

46 2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos são indispensáveis na análise e síntese de circuitos físicos. a) Faixa de operação: Qualquer elemento ou componente físico é especificado pela faixa de operação, como: Ex.: Um resistor de,, pode ter circulando no máximo a seguinte corrente: Então, a tensão máxima aplicada deverá ser: b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, são sensíveis à temperatura. Esta variação de temperatura acarreta na variação dos parâmetros dos dispositivos. c) Efeito parasita: 45

47 Nos transformadores, além da resistência do fio, existe uma indutância de dispersão. d) Valores típicos dos componentes físicos: Resistores:, valores múltiplos de: Capacitores:. Indutores:. Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo: casos: Esboçar a tensão, potência instantânea e média em cada elemento, nos seguintes c) 46

48 d) 2) Repetir o exercício anterior para o seguinte circuito: 47

49 UNIDADE 3 CIRCUITOS SIMPLES Ligação série de elementos a) Resistores LTK: LCK: Obs.: são percorridos pela mesma corrente. Característica da curva : 48

50 b) Fontes de tensão: Considerando fontes de tensão em série: LTK: LCK: Todas as fontes de tensão são percorridas pela mesma corrente. c) Fontes de corrente: Considerando n fontes de corrente em série: LTK: 49

51 Para não violar a LCK, esta ligação só é possível se as fontes de correntes forem iguais. d) Capacitores: Considerando n capacitores ligados em série: LTK: LCK: Obs.: Todos os capacitores são percorridos pela mesma corrente. 50

52 e) Indutores: Considerando n indutores em série: LTK: LCK: Obs.: Todos os indutores são percorridos pela mesma corrente. f) Resistor e fonte de tensão: 51

53 LTK: Equação Característica Se são conhecidos, a equação relaciona tensão e corrente. Para: g) Resistor e diodo: 52

54 Para: 3.2. Ligação paralela de elementos a) Resistores: LCK: LTK: Como são submetidos à mesma tensão, temos: 53

55 Para resistores: Obs.: A é sempre menor do que a menor das resistências ligadas em paralelo. 54

56 b) Fontes de corrente: LCK: LTK: Obs.: Todas as fontes estão submetidas a mesma. c) Fontes de tensão: 55

57 LCK: LTK: Obs.: Para a ligação das fontes de tensão em paralelo todas as fontes devem ser iguais. Princípio de paralelismo de transformadores: no secundário. d) Indutores: LCK: LTK: Todos os indutores estão submetidos a mesma tensão, então temos: 56

58 e) Capacitores: LCK: LTK: Todos os capacitores estão submetidos ao mesmo potencial, então temos: 57

59 f) Resistor e fonte de corrente: LTK: LCK: Para: 58

60 g) Resistor e diodo: Para: h) Resistor, diodo e fontes de corrente: Se: 59

61 Se: Conclusões: 1) Para ligação de elementos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos e a tensão é a soma algébrica das tensões em cada elemento. 2) Numa ligação de elementos em paralelo, é válido o princípio da dualidade, aplicado no item 1. Obs.: Caso singular: 60

62 Exercícios: 1) Determine as resistências equivalentes e a corrente em cada resistor. 2) Determine : a) 61

63 b) 3) Para os circuitos abaixo: a) Determine a característica nos pontos. b) Descrever a característica no plano. c) Obter o equivalente Thevenin. d) Obter o equivalente Norton. 4) Descrever analítica e graficamente a característica do circuito abaixo: 62

64 UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO Definições e propriedades dos circuitos Componentes: podem ser: Lineares Não lineares Variantes no tempo Invariantes no tempo. Circuitos com: Componentes lineares circuitos lineares Componentes lineares invariantes circuitos lineares e invariantes no tempo Análise nodal Nesta seção consideremos métodos de análise de circuitos nos quais as tensões são incógnitas. Temos: 63

65 Passos para a análise nodal: a. Contar o número de nós Pela LTK o somatório das tensões em qualquer percurso fechado é zero. A LTK obriga uma dependência linear entre as tensões de braço. b. Escolher uma referência (nesse caso, ) Como o foi adotado como referência, temos: Em geral, escolhemos um nó como referência e chamamos as tensões dos outros nós em relação a esta referência. Concluímos que em um circuito com nós, teremos equações e incógnitas. Exemplos: 1) Pela LCK: 64

66 Logo: 2) Logo: 65

67 Obs.: Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, o determinante pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutância do circuito. Características da matriz condutância: É simétrica em relação à diagonal principal quando no circuito só tiver fontes de corrente. Os elementos da diagonal são positivos e os outros negativos Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito Evitamos o uso do ramo com fonte de tensão, tratando os nós 2 e 3 como super nó. Super nó: Como o somatório das correntes que chegam no nó 2 e 3 são zero, quando tratarmos de corrente, o nó 2 e 3 será um super nó. 66

68 LCK: Logo: Equação do super nó: como temos três incógnitas e dois nós (duas equações são obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equação para termos o número de equações igual ao número de incógnitas. Procedimentos práticos para a análise nodal: a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes e elementos. b) Se o circuito possuir n nós, escolher um como referência e escrever as tensões dos nós em ralação a referência. c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz condutância. d) Se o circuito possuir fontes de tensão, substitua-a por um curto circuito criando um super nó. 67

69 Exercícios: 1) Encontrar as tensões nos nós 2) No circuito abaixo, usar análise nodal para determinar 3) Substituir a fonte de por uma fonte de corrente dependente com seta para cima com valor de, onde ib é a corrente dirigida para baixo na condutância de Determine 4) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão de com referência positiva dirigida para cima. Determine 5) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão dependente, referência positiva dirigida para baixo e definida como Determine 68

70 4.4. Análise por malhas Só é possível se o circuito for uma superfície plana. Somente malhas, não percursos fechados. n malhas, n equações Corrente de malha no sentido horário. Na malha que estamos trabalhando, a corrente é positiva em relação às outras. Exemplos: 1) LTK: Logo: 69

71 2) 3) Como criamos uma super malha, temos 3 incógnitas e somente 2 equações. Para conseguirmos a terceira equação, teremos que conseguir através da fonte de corrente. 70

72 4) 5) 6) Use a análise de malhas para determinar 71

73 7) Use análise de malhas para determinar 8) Use análise de malhas para determinar 9) Use análise de malhas para determinar 72

74 Procedimentos práticos para análise de malhas: a) Só é aplicada a uma rede de circuito planar. b) Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horário, aplicando a LTK. c) Emprega-se valores de resistência ao invés de condutância. d) Se o circuito tiver apenas fonte de tensão, a matriz resultante (matriz resistência) é simétrica em relação diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o resto dos elementos negativos. e) Se o circuito houver fontes de corrente: 1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin. 2) Fonte de corrente em série com resistor, substituir por um circuito aberto. 73

75 UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES Teorema de Thevenin Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de tensão em série com uma resistência de Thevenin, onde é a tensão em circuito aberto e a é a resistência equivalente vista pelos terminais, com todas as fontes internas do circuito zeradas. Obs.: As fontes de tensão são substituídas por um curto circuito. Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo: 74

76 Primeiramente, substituímos a fonte de tensão por um curto circuito. Depois calculamos o Através da análise por malhas podemos achar o valor de Então: 75

77 5.2. Teorema de Norton Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de corrente em paralelo com uma resistência de Norton, onde a fonte de corrente é a corrente nos terminais em curto circuito e é a resistência vista pelos terminais com todas as fontes zeradas. Obs.: As fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto. Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo: Curto circuitando os terminais, temos a resistência equivalente 76

78 Com isso, podemos calcular o 5.3. Teorema da superposição Para redes lineares é válido o princípio da superposição, que estabelece: A resposta de I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente de corrente ou tensão, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ação de cada uma das fontes atuando isoladamente, isto é, estando as demais fontes zeradas. Obs.: Cuidar as polaridades das fontes de tensão e de corrente. 77

79 Exemplo 3: 1) Para fonte de a fonte de é um curto e a de é um circuito aberto. Logo: 2) Para a fonte de a fonte de é um curto e a de é um circuito aberto. 78

80 Logo: 3) Para a fonte de a fonte de e são um curto circuito. Temos então: 79

81 5.4. Teorema da máxima transferência de potência Um teorema muito útil sobre a potência pode ser desenvolvido com referência a uma fonte de tensão ou corrente. A potência fornecida para é: Sendo: Portanto: Para obter a máxima transferência de potência, faz-se: 80

82 Para verificar se a função é de máximo ou de mínimo: Portanto: Exercícios: 1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos: a) 81

83 b) c) d) 82

84 e) 2) Determine aplicando análise nodal: 3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando análise nodal: 83

85 4) Determine Ix usando: a) Análise nodal. b) Análise de malhas. 5) Determine empregando o princípio da superposição e a potência gerada pelas fontes. 84

86 UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta poderá ser tensão, corrente ou a combinação das duas. Além disso, os circuitos de primeira ordem são caracterizados por possuírem apenas um elemento capaz de armazenar energia, podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto irá resultar, em uma equação diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, já que está sendo considerados circuitos lineares invariantes no tempo. A resposta destas grandezas no circuito será devido a: Fontes independentes, que são as entradas ou excitações; Condições iniciais do circuito Resposta a excitação zero Ocorrerá num circuito que não possui entradas ou excitações. O comportamento de tal circuito será função somente das condições iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito no instante de tempo t=0. Estudaremos então dois circuitos de primeira ordem: Circuito RC Circuito RL Circuito RC (Resistor- Capacitor) Figura 6.1- Circuito RC Para t<0, a chave S1 fechada e S2 aberta, o capacitor está carregado com tensão V0, dado pela fonte V0; Em t=0, a chave S1 é aberta e S2 é fechada (simultaneamente); Fisicamente, devido a carga inicial do capacitor ( ), aparecerá uma corrente na malha RC. A carga vai decrescendo gradualmente até zero. 85

87 calor. Durante este processo a energia no capacitor será dissipada no resistor na forma de Analisando o circuito para t 0: Figura 6.2- Circuito RC para t 0 LTK: LCK: As duas equações de braços dos dois elementos serão: Capacitor Quando Vc(t) 0 Resistor Temos, portanto, quatro equações para quatro incógnitas. Supondo que queiramos a tensão no capacitor como resposta: A expressão das correntes será: 86

88 Observando a equação das correntes chegamos podemos observar que esta será uma equação diferencial, linear, de primeira ordem, homogênea, com os coeficientes constantes. Então chegamos que a solução para a equação das correntes é dada pela seguinte equação: Onde: K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; é a freqüência de amortecimento dada pela expressão: RC=τ=constante de tempo No instante de tempo temos que: OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rápido será a descarga. A resposta geral será da seguinte forma: Pelas equações obtidas pela LKC obtemos: Logo: Com as expressões da,, e obteremos os seguintes gráficos: 87

89 Figura 6.3 Gráfico da corrente no capacitor. Figura 6.4- Gráfico da corrente no resistor. Figura 6.5 Gráfico da tensão no capacitor. A figura 6.5(gráfico da tensão do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva característica é uma exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condições: A ordem da curva em é a condição inicial; A constante de tempo dependerá exclusivamente dos parâmetros do circuito (R, L, C) e da forma como os mesmos estão conectados. 88

90 Figura 6.6- Gráfico da tensão do capacitor Circuito RL (Resistor - Indutor) Figura 6.7 Circuito RL Para, a chave S1 está ao terminal b e o indutor está carregado com a corrente ; Para, S1 é conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente não pode ficar em circuito aberto; O indutor fica conectado ao resistor (R) e a fonte de corrente fica curto circuitada e a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada no resistor na forma de calor. Analisando o circuito para (figura 6.8) Figura 6.8 Circuito RL para 89

91 LTK LCK Portando obtemos A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente até zero. Durante este processo, a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada na forma de calor pelo resistor. As equações de braços serão: Indutor Resistor Como queremos como resposta e sabemos que: Então obtemos Onde esta equação corresponde a uma equação diferencial linear, homogênea, de primeira ordem com os coeficientes constantes então a solução para a equação será da seguinte forma: 90

92 Onde: K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; No instante de tempo temos que: é a freqüência de amortecimento dada pela expressão: OBS.: Todos estes cálculos valem somente para = τ = constante de tempo Com a análise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor: Figura 6.9- Gráfico da corrente no indutor Resposta ao estado zero Circuito RC Para, S1 é fechada. Obtemos então; 91

93 Figura 6.10 Circuito Rc em resposta ao estado zero Em, S1 abre, e a fonte de corrente é conectada ao circuito ; Para Após um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos: Pois Figura 6.11 Circuito RC com S1 aberta., Pela LTK: A partir disto, obteremos as seguintes considerações: Com a fonte de corrente, a tensão no capacitor não varia instantaneamente; parte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto: Em 92

94 Ou seja, a corrente fluirá toda pelo capacitor À medida que cresce, cresce, aplicando uma e diminuindo a LCK: Quando deixarmos o circuito ligado, cresce até um valor e fica estável O capacitor carregado é um circuito aberto e toda a corrente I passará pelo resistor. Isto ocorrerá quando: Considerando a tensão do capacitor como a resposta almejada, temos: Quando analisamos o circuito para, a tensão no capacitor permanece nula, e a corrente no resistor também. A corrente flui então somente pelo capacitor. Logo após, com a corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tensão. Então teremos um, e tende a crescer diminuindo assim,, pois: 93

95 OBS.: Para, o capacitor estará carregado, e será considerado um circuito aberto quando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor. Quando isto ocorrer, o capacitor será um circuito aberto. Note que para determinarmos a resposta da tensão do capacitor ao estado zero, dependemos dos parâmetros do circuito e ainda da função de entrada que no nosso caso será. Esta resposta é denominada solução em regime permanente (solução particular) e representa a solução do circuito para um tempo infinitamente grande e é conhecida como solução em regime permanente, ou solução para o estado zero do circuito. Então a expressão para a solução particular será determinada exclusivamente a partir da forma da função de entrada ( ). Com estas considerações podemos definir que a solução geral para a equação da tensão no capacitor será do tipo: Onde a no circuito no instante de tempo depende além dos parâmetros do circuito, das condições iniciais Onde é determinado pelas condições iniciais. Já a excitação de entrada. que dependerá dos parâmetros do circuito e ainda da função de A partir disto podemos obter a equação da solução geral pela seguinte expressão: Mas para obtermos será realizado pela expressão geral:, 94

96 E as correntes serão dadas pelas equações Logo Podemos obter então a corrente no resistor. Sabemos que: Então Figura Gráfico da corrente e da tensão do capacitor Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal Considerando o circuito abaixo ao qual é excitado por uma fonte de corrente 95

97 Figura 6.13 Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal. Onde Amplitude; Frequencia angular ; = Fase A solução geral para o circuito será da seguinte forma: Onde a solução homogênea será E a solução particular Onde as constantes e são as constantes a serem determinadas Solução geral Para determinar, faz-se:, 96

98 Resposta completa: Transitório + Regime permanente Figura 6.14 Circuito RC para resposta completa. Para, a chave curto-circuita a fonte; Em, vale a seguinte equação: Para : Temos aqui a resposta à excitação e ao estado zero onde: Resposta a excitação zero; Resposta ao estado zero. Solução para : Solução para : Solução geral: Onde: Resposta completa 97

99 Resposta à excitação zero Resposta ao estado zero Isolando excitação que em TRANSITORIO; Dependerá das condições iniciais e repetina aplicação da tende a desaparecer e por causa disto, é chamado de Esta parcela continua conforme o transitório vai se esgotando, sendo, portanto, chamado de regime permanente e é ligado a forma de onda da excitação. Figura 6.15 Gráfico da tensão em resposta completa Resposta ao Degrau Unitário Para, ; Para,. 98

100 Figura 6.16 Analogia entre a função degrau e uma chave no circuito. Obs.: é análogo a uma chave que atua em t=0 Exemplo: Figura 6.17 Exemplo do circuito utilizando a função degrau. Para, Para, LTK: 99

101 Solução homogênea: Solução particular ( ) O indutor carregado é um curto circuito Para, Para, Para 100

102 EXERCÍCIOS 1) Determine 2) 3) 4) 101

103 5) 6) 7) 8) Determine 102

104 9) Determine para o circuito abaixo 10) Obter. 103

105 UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM 7.1. Resposta a Excitação Zero Circuito RLC paralelo figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo Pelas equações de braço podemos obter: Resistor Capacitor Indutor Aplicando a LTK Pela LCK temos Com isso, podemos perceber que temos 6 incógnitas, duas em cada equação 104

106 Derivando e dividindo por C obtemos: Por conveniência, vamos definir dois parâmetros: Constante de amortecimento: Freqüência angular ressonante: Por quem definimos e? Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos dá uma resposta exponencial, hora senoidal Substituindo na equação Substituindo por S chegamos na equação característica Raízes: Os zeros do polinômio, ou suas raízes, são chamadas de freqüências naturais do circuito; As raízes deste polinômio nos dizem o tipo de comportamento do circuito; De acordo com os valores de e de, teremos quatro tipos de comportamento Circuito superamortecido; Circuito criticamente amortecido; 105

107 Circuito subamortecido; Circuito sem perdas Circuito superamortecido ( ) As freqüências naturais são raízes reais e negativas, cuja resposta é o somatório de duas exponenciais. Onde K1 e K2 são determinadas pelas condições iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a partir da resposta quando t=0 Derivando 106

108 Circuito Criticamente Amortecido ( ) As freqüências naturais são reais, negativas e iguas. Resposta: - Surge devido à descarga de corrente do indutor sobre o capacitor aumentando sua tensão Circuito Subamortecido ( ) As freqüências naturais são raízes imaginárias, complexas, conjugadas. 107

109 Cuja resposta é: Onde e dependem das condições iniciais Circuito sem perdas ( ) As freqüências naturais são imaginárias. 108

110 Resposta Exemplo: Dado o circuito abaixo determinar zero para cada caso. para a resposta à excitação a) b) c) 109

111 a) Cálculo de e - Circuito superamortecido Cálculo das freqüências naturais Determinação de K1 e K2 A tensão no capacitor para é Derivando em Como, temos 110

112 Logo Circuito RLC série Figura 7.2- Circuito RLC série LTK LCK 111

113 Derivando a equação e dividindo por L Substituindo por S Equação característica As raízes deste polinômio nos dão o comportamento do circuito, em relação ao amortecimento. Raízes Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de e são os valores que determinam o tipo de amortecimento do sistema. Circuito superamortecido ( ) Circuito criticamente amortecido ( ) Circuito subamortecido ( ) Circuito criticamente amortecido ( ) 112

114 EXERCÍCIOS 1) Seja o circuito Determine e esboçar a forma de onda. 2) Seja o circuito Determine para a) b) c) d) 3) Seja o circuito Determine 4) Repita o exercício 2 para 113

115 5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada a bastante tempo, sendo aberta em. Calcular a tensão a partir deste instante 7.2. Resposta ao Estado Zero Excitação por fonte de corrente constante Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente LTK LCK Polinômio Solução geral 114

116 Onde são os quatro casos de amortecimento e é para t tendendo para o infinito, regime permanente. Supondo que o sistema seja superamortecido a pode ser expressa por Já a é igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor é um curto circuito, então a tensão no capacitor será igual a zero. Solução Geral Determinação das constantes K1 e K2, logo Derivando em função do tempo para Onde S1 e S2 são as raízes do polinômio EXEMPLO 115

117 Excitação por fonte de tensão constante Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tensão LTK LCK Derivando e dividindo por L Solução geral Como Então toda tensão da fonte é aplicada no indutor 116

118 7.3. Resposta Completa É determinada pela resposta transitória mais a resposta em regime permanente. Figura 7.5- Circuito RLC série LTK LCK A equação de segundo grau que descreve este circuito é Como logo é um sistema superamortecido. Pela equação característica 117

119 Determinação de K1 e K2 Como Derivando para Portanto Logo Resposta completa EXERCÍCIOS 1) Considere, refaça o exercício anterior para 2) Encontre 118

120 3) Determine 4) Determine 119

121 UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Figura 7.6- Circuito RL Equação Aplicando Laplace Resolvendo por frações parciais Pela tabela das transformadas de Laplace temos: 120

122 EXERCÍCIOS 1) Resolver por Laplace 2) Refazer o exercício anterior com 121

123 9. AULAS PRÁTICAS AULA PRÁTICA CIRCUITOS I Tempo de descarga do capacitor A principal característica do capacitor é a propriedade de armazenar energia na forma de campo elétrico. Ao aplicarmos em um capacitor uma tensão contínua, esse se carrega com uma tensão cujo valor depende do intervalo de tempo em que se desenvolverá o processo. Figura 1 No circuito da figura 1, uma fonte de tensão de 30 volts é ligada em série com um capacitor para t<0, assim deixando o capacitor carregado com tensão 30 V. Em t=0 o capacitor é ligado em série com a resistência e esta começa a dissipar a tensão carregada no capacitor transformado-a em calor. Ao observar a tensão no capacitor consegue-se notar o decaimento da mesma de forma exponencial, segundo a fórmula abaixo: 122

124 Tarefa pratica 1 Completar a tabela abaixo utilizando a montagem descrita na figura 1 respondendo as questões abaixo: a) Calcule o tempo de descarga do capacitor para cada valor de capacitância; b) Esboce a curva de descarga para as três capacitâncias (Vxt); Valor de capacitor Tempo de descarga calculado* Tempo de descarga no experimento * Esboço da curva *Interprete como tensão final 1.2 V c) Compare e discuta a diferença entre os valores de tempo obtidos nos três casos. Explique o por quê. 10. Qual o valor de resistência escolhido pelo grupo? Qual a influência deste valor na experiência? 123

125 Retificadores Um exemplo da utilização de capacitores é como filtro na saída de pontes retificadoras de onda completa (Figura 2). Figura 2- Ponte retificadora de onda completa com filtro capacitivo. Tarefa prática Montar o circuito da figura 3, retificador de onda completa, e desenhar a forma de onda de tensão obtida na saída da ponte retificadora utilizando o osciloscópio. 124

126 Figura 3- Ponte retificadora de onda completa 2.2. Montar o circuito da figura 2, retificador de onda completa com filtro capacitivo, e desenhar a forma de onda de tensão obtida na saída da ponte retificadora alternando a capacitância. Utilize o osciloscópio. Valor de capacitor Esboço da curva a) Qual é a diferença da forma de onda da tensão com e sem capacitor? 125

127 b) O valor do capacitor interfere na forma de onda de saída? Por quê? Utilização do capacitor como filtro Devido ao seu comportamento quando submetido a tensões em determinadas freqüências o capacitor é muito utilizado em circuito de filtros. Um exemplo simples da utilização dele como filtro é na alimentação de microcontroladores. 126

128 Figura 5 - Retirada da folha de especificação do microcontrolador KA2 da Freescale Fora utilização para filtro de ruídos em alta freqüência, o capacitor é utilizado para sinais conhecidos tais como onda quadrada, dente de serra, senoidal, pois dependendo da freqüência da onda conseguem-se sinais específicos e úteis para a eletrônica em geral. Tarefa de casa Repita a tarefa um, utilizando um indutor em série com uma fonte de corrente. Utilize um simulador de circuitos, por exemplo, LTspice ( Obtenha o gráfico da corrente em função do tempo ( ) para três valores diferentes de indutância. 127

129 Osciloscópio Botões Botões de seleção: utilizados para interagir com as opções dos menus do osciloscópio; Regulador de níveis de medida: utilizado para selecionar as faixas de escala do osciloscópio no momento em que se faz a análise da medida obtida; Medidas: Seleciona quais medidas que irão ser mostradas no momento de aquisição da medida; Auto set: Calcula e mostra a escala adequada à forma de onda; Run/Pause: Pausa e continua o processo de leitura; Trigger menu: seleciona se irá ser feita uma interpretação da amplitude do sinal ou da diferenças de tempos (utiliza o botão 1 para regulagem); SEC/Div: Seleciona a base para a escala de tempo; VOLTS/Div: Seleciona a base para a escala de tensão. Modo de utilização do osciloscópio: Ligue a ponteira do osciloscópio no local aonde deve ser feita a medida; Ligue o osciloscópio; Selecione auto set; Selecione a base de tempo ideal da amostra (depende do valor do capacitor e do resistor) selecionando no botão 7; Selecione a base de tensão ideal da amostra ( ) selecionando no botão 8; Selecione Trigger Menu (6) e selecione a analise no tempo; Selecione medidas, escolha os valores de aquisição e utilize o botão 2 para leitura dos dados no tempo quando a curva estiver parada (5). 128

130 9.2 2 AULA PRÁTICA CIRCUITOS I Circuito RLC 1. Introdução teórica: O circuito RLC, onde: R é resistência, L indutância e C capacitância, é um circuito elétrico oscilante. Pela lei das malhas de Kircchoff temos: (1) Assim: Substituindo na equação (1), temos: + Derivando a equação e dividindo por L, temos: Temos então: e 129

131 Tipo de amortecimento Superamortecido ( Criticamente amortecido ( Sub-amortecido ( Sem perdas 2. Laboratório A partir do circuito abaixo obter: Variando a capacitância obtenha os três tipos de amortecimento. Dados R interna da fonte R década 50 (Ω) 40 (Ω) 130

132 Frequência Tensão de alimentação Indutor 80 (Hz) (V) (H) a) Sub-amortecido C = ω 0 = α = GRÁFICO b) Super amortecido C = ω 0 = α = GRÁFICO c) Criticamente amortecido C = ω 0 = α = GRÁFICO 131

133 10. BIBLIOGRAFIA [1] - JOHNSON, D. E.; Hilburn, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. ed. 4, p. 542, LTC, [2] - ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Elétricos. v. 1, p. 286, Edgard Blüncher, [3] - MARIOTTO, P. A. Análise de Circuitos Elétricos. p. 400, Prentice Hall, COLABORADORES Programa de Educação Tutorial de Engenharia Elétrica (PET-EE) O que é o programa? O PET é desenvolvido por grupos de estudantes, com tutoria de um docente, organizados a partir de cursos de graduação das Instituições de Ensino Superior do país, sendo um grupo por curso orientados pelo princípio da indissociabilidade entre ensino, pesquisa e extensão e da educação tutorial. A Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) possui atualmente dez grupos PET ativos, os quais buscam atuar constantemente tanto na comunidade acadêmica quanto fora dos limites do campus da UFSM, promovendo atividades integradas de ensino, pesquisa e extensão. Os principais objetivos do programa são: contribuir para a elevação da qualidade de formação acadêmica dos alunos de graduação; estimular a formação de profissionais e docentes de elevada qualificação técnica, científica, tecnológica e acadêmica; formular novas estratégias de desenvolvimento e modernização do ensino superior no país; e estimular o espírito crítico, bem como a atuação profissional pautada pela ética, pela cidadania e pela função social da educação superior. Atividades do grupo Programa de Apoio as Disciplinas (PAD) O PAD foi criado para estimular a utilização de laboratórios e a motivação dos alunos e professores através da solução de problemas práticos e auxílio na elaboração de atividades práticas. Através do PAD o PET-EE vem contribuindo com a organização de planos de aulas e material didático de apoio para realização de aulas práticas e utilização dos laboratórios. Assim, busca-se atuar, positivamente, de forma direta na graduação, onde alunos e professores trabalham em conjunto para o crescimento, desenvolvimento e integração do curso como um todo. Revisão 1 132