ACH2043 INTRODUÇÃO À TEORIA DA COMPUTAÇÃO. Seção 5.1 Problemas indecidíveis. Slides originais gentilmente cedidos pela Profa. Ariane Machado Lima

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1 ACH2043 INTRODUÇÃO À TEORIA DA COMPUTAÇÃO Seção 5.1 Problemas indecidíveis Slides originais gentilmente cedidos pela Profa. Ariane Machado Lima 1

2 Na aula passada... A MT é indecidível (usando diagonalização) - insolúvel Uma linguagem é Turing-decidível sse ela e seu complemento forem Turing-reconhecíveis O complemento de A MT NÃO é Turingreconhecível (completamente insolúvel) 2

3 Na aula de hoje Como provar que outros problemas são indecidíveis usando a técnica de redutibilidade 3

4 Redutibilidade Redução: conversão de um problema A em outro problema B de forma que a solução de B seja usada para solucionar A Ex: Se você tem amigos morando em Paris, viajar para Paris pode ser reduzido a Comprar uma passagem aérea de São Paulo a Paris, que pode ser reduzido a Ganhar dinheiro para a passagem, que pode ser reduzido a Encontrar um emprego 4

5 Redutibilidade Exemplos matemáticos: Medir a área de um retângulo pode ser reduzido a medir a altura e a largura do retângulo Resolver um problema de equações lineares pode ser reduzido ao problema de inverter uma matriz Algoritmos: Resolver um problema de ordenação de um arranjo pode ser reduzido ao problema de encontrar o maior elemento do arranjo; ou ao problema de intercalar dois sub-arranjos ordenados. 5

6 Redutibilidade Utilidade: Se A é redutível a B A não pode ser mais difícil do que B Se B for decidível, A também será Se A for indecidível, B também será 6

7 Redutibilidade Utilidade: Se A é redutível a B A não pode ser mais difícil do que B Se B for decidível, A também será Se A for indecidível, B também será Chave para provar que certos problemas são indecidíveis (reduzindo um problema conhecidamente indecidível a ele) 7

8 Ex: Problema da Parada PARA MT = {<M,w> : M é uma MT e M pára sobre a entrada w} Que problema indecidível pode ser reduzido a esse? 8

9 Ex: Problema da Parada PARA MT = {<M,w> : M é uma MT e M pára sobre a entrada w} A MT = {<M,w> : M é uma MT e M aceita w} A MT (que é indecidível) pode ser reduzido a PARA MT Logo, PARA MT é indecidível 9

10 Ex: Problema da Parada Prova (tem que mostrar a redução!): assuma, por contradição, que uma MT R decida PARA MT. Então construímos S que usa R para decidir A MT : S = Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w: 1. Rode a MT R sobre a entrada <M, w>. 2. Se R rejeita, rejeite. 3. Se R aceita, simule M sobre w até ela pare. 2. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. 10

11 Ex: Problema da Parada Prova (tem que mostrar a redução!): assuma, por contradição, que uma MT R decida PARA MT. Então construímos S que usa R para decidir A MT : S = Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w: 1. Rode a MT R sobre a entrada <M, w>. 2. Se R rejeita, rejeite. 3. Se R aceita, simule M sobre w até ela pare. 2. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. 11

12 Vacuidade de uma linguagem de uma MT Como escrever isso em forma de linguagem? 12

13 Vacuidade de uma linguagem de uma MT V MT = { <M>: M é uma MT e L(M) = Ø} Como podemos usar V MT para resolver A MT? Se uma linguagem for vazia, ela não aceita w. Mas e se não for? Ideia: construir uma versão de M que apenas teste w M1 = Sobre a entrada x: 1. Se x w rejeite 2. Se x = w, rode M sobre a entrada w e aceite se M aceita, e rejeite se M rejeita 13

14 Vacuidade de uma linguagem de uma MT V MT = { <M>: M é uma MT e L(M) = Ø} Como podemos usar V MT para resolver A MT? Se uma linguagem for vazia, ela não aceita w. Mas e se não for? Ideia: construir uma versão de M que apenas teste w M1 = Sobre a entrada x: 1. Se x w rejeite 2. Se x = w, rode M sobre a entrada w e aceite se M aceita, e rejeite se M rejeita 14

15 Vacuidade de uma linguagem de uma MT Suponha que R decide V MT, vamos construir S que decide A MT S = Sobre a entrada <M,w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w: 1. Use a descrição de M e w para construir M1 2. Rode R sobre M1 3. Se R aceita,? ; se R rejeita,? 15

16 Vacuidade de uma linguagem de uma MT Suponha que R decide V MT, vamos construir S que decide A MT S = Sobre a entrada <M,w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w: 1. Use a descrição de M e w para construir M1 2. Rode R sobre M1 3. Se R aceita, rejeite; se R rejeita, aceite. Mas como A MT é indecidível, V MT é indecidível 16

17 Classe da linguagem gerada por uma MT Dada um MT M, a linguagem gerada por ela poderia ser reconhecida por um modelo mais simples? Por ex: se a linguagem é regular Como escrever esse problema em termos de linguagem? 17

18 Determinação de se a linguagem gerada por uma MT é regular REGULAR MT = { <M> M é uma MT e L(M) é regular} 18

19 Determinação de se a linguagem gerada por uma MT é regular REGULAR MT = { <M> M é uma MT e L(M) é regular} REGULAR MT é indecidível Ideia da Prova: 19

20 Determinação de se a linguagem gerada por uma MT é regular REGULAR MT = { <M> M é uma MT e L(M) é regular} REGULAR MT é indecidível Ideia da Prova: Supomos que existe uma MT R que decide REGULAR MT e usamos R em uma MT S para decidir A MT Decidir se uma MT M2 é regular, onde M2 reconhece uma linguagem regular (Σ*) sse M aceita w 20

21 Determinação de se a linguagem gerada por uma MT é regular S que decide A MT usando R S = Sobre a entrada <M,w>, onde M é uma MT e w é uma cadeia: 1. Construa a MT M2: M2 = Sobre a entrada x: 1. Se x tem a forma 0 n 1 n, aceite 2. senão, rode M sobre a entrada w e aceite se M aceita w, rejeite se M rejeita 2. Rode R sobre a entrada <M2> 3. Se R aceita, aceite; se R rejeita, rejeite Mas A MT é indecidível, então REGULAR MT também é 21

22 Determinação de propriedades da linguagem gerada por uma MT Da mesma forma, os seguintes problemas são indecidíveis (para uma dada MT M) Determinar se L(M) é livre-de-contexto Determinar se L(M) é sensível ao contexto Determinar se L(M) é decidível (recursiva)... Na verdade, determinar qualquer propriedade de L(M) (Teorema de Rice) 22

23 Equivalência entre MTs 23

24 Equivalência entre MTs EQ MT = {<M1, M2> M1 e M2 são MTs e L(M1) = L(M2)} Podemos usar EQ MT para resolver V MT! Ideia: se uma MT M for equivalente a outra que rejeita qualquer cadeia, então L(M) = Ø Assuma que R é uma MT que decide EQ MT Vamos construir S que decide V MT usando R 24

25 Equivalência entre MTs S = Sobre a entrada <M> onde M é uma MT: 1. Rode R sobre a entrada <M, M1>, onde M1 é uma MT que rejeita todas as entradas. 2. Se R aceita, aceite; se R rejeita, rejeite. Mas V MT é indecidível, então EQ MT também é 25

26 Reduções via histórias de computação História de computação: sequência de configurações de uma MT, da inicial à de aceitação ou rejeição Uma história de computação deve ser finita Apenas uma para MTs determinísticas, e possivelmente várias para MTs nãodeterminísticas Aqui consideramos apenas MTs determinísticas 26

27 Vacuidade de autômatos linearmente limitados Autômatos linearmente limitados (ALL) são os modelos que reconhecem linguagens sensíveis ao contexto A ALL = {<M,w> M é um ALL que aceita a cadeia w} A ALL é decidível 27

28 Autômatos linearmente limitados A ALL é decidível Se ALL tem q estados, g símbolos de fita e uma fita de comprimento n, então só existem qng n configurações distintas (estado atual, posição da cabeça, conteúdo da fita) Se uma configuração se repetir, o ALL está em loop. Como é uma MT que decide A ALL? 28

29 Autômatos linearmente limitados A ALL é decidível L = Sobre a entrada <M,w>, onde M é um ALL e w é uma cadeia: 1. Simule M sobre w por qng n passos ou até que ela pare. 2. Se M parou, aceite se ela aceitou e rejeite se ela rejeitou. Se M não parou, rejeite. 29

30 Vacuidade de autômatos linearmente limitados Mas o problema da vacuidade de ALLs é indecidível V ALL = {<M> M é um ALL e L(M) = Ø} Para provar, vamos usar histórias da computação e redução a partir de A MT 30

31 Vacuidade de autômatos linearmente limitados Podemos construir um ALL B que reconheça apenas histórias de computação de aceitação de uma cadeia w em uma MT M Se L(B) for vazia, então M não aceita w, caso contrário aceita Como seria esse B? 31

32 ALL B: Vacuidade de autômatos linearmente limitados Fita contém inicialmente uma história de computação, ou seja, C1 até Cl, cada configuração separada por # Deve verificar 3 propriedades: 1. C1 é a configuração inicial de M sobre w C1 = q 0 w 1 w 2...w n, onde q 0 é o estado inicial de M 2. Cada Ci+1 é originada de Ci Ci e ci+1 são idênticas exceto pelas posições sob e adjacentes à cabeça em Ci (estas, atualizadas conforme a função de transição) 3. Cl é uma configuração de aceitação para M Cl contém q aceita 32

36 ALL B: Vacuidade de autômatos linearmente limitados Fita contém inicialmente uma história de computação, ou seja, C1 até Cl, cada configuração separada por # Deve verificar 3 propriedades: 1. C1 é a configuração inicial de M sobre w C1 = q 0 w 1 w 2...w n, onde q 0 é o estado inicial de M 2. Cada Ci+1 é originada de Ci Ci e ci+1 são idênticas exceto pelas posições sob e adjacentes à cabeça em Ci (estas, atualizadas conforme a função de transição) 3. Cl é uma configuração de aceitação para M Cl contém q aceita COMO? 36

37 ALL B: Vacuidade de autômatos linearmente limitados Fita contém inicialmente uma história de computação, ou seja, C1 até Cl, cada configuração separada por # Deve verificar 3 propriedades: 1. C1 é a configuração inicial de M sobre w C1 = q 0 w 1 w 2...w n, onde q 0 é o estado inicial de M 2. Cada Ci+1 é originada de Ci Ci e ci+1 são idênticas exceto pelas posições sob e adjacentes à cabeça em Ci (estas, atualizadas conforme a função de transição) 3. Cl é uma configuração de aceitação para M Cl contém q aceita COMO? ZIGUE-ZAGUEANDO NA FITA 37

38 Vacuidade de autômatos linearmente limitados Redução de A MT a V ALL Suponha que existe uma MT R que decida V ALL : S decide A MT : S = Sobre a entrada <M,w>, onde M é uma MT e w uma cadeia: 1. Construa o ALL B a partir de M e w 2. Rode R sobre <B> 3. Se R rejeita, aceite; se R aceita, rejeite. Mas A MT é indecidível, então V ALL também é 38

39 Reduções via histórias de computação A mesma estratégia pode ser usada para provar a indecidibilidade de outros problemas Por exemplo... 39

40 Se uma GLC gera todas as cadeias TODAS GLC = {<G> G é uma GLC e L(G) = Σ*} é indecidível Prova por histórias da computação e redução a partir de A MT Para uma dada MT M e uma cadeia w, construímos uma GLC G que reconheça todas as cadeias que NÃO sejam histórias de computação de M sobre w Se M aceita w, G gera todas as cadeias MENOS a história de computação de M sobre w Se M não aceita w, G gera todas as cadeias Se G gerar todas as cadeias, então saberemos que M aceita w, caso contrário M não aceita w Se TODAS GLC fosse decidível, A MT também seria. Logo, TODAS GLC é indecidível 40

41 Se uma GLC gera todas as cadeias TODAS GLC = {<G> G é uma GLC e L(G) = Σ*} é indecidível Prova por histórias da computação e redução a partir de A MT Para uma dada MT M e uma cadeia w, construímos uma GLC G que reconheça todas as cadeias que NÃO sejam histórias de computação de M sobre w Se M aceita w, G gera todas as cadeias MENOS a história de computação de M sobre w Se M não aceita w, G gera todas as cadeias Se G gerar todas as cadeias, então saberemos que M aceita w, caso contrário M não aceita w Se TODAS GLC fosse decidível, A MT também seria. Logo, TODAS GLC é indecidível 41

42 Se uma GLC gera todas as cadeias Vamos construir um autômato a pilha equivalente a G (para aceitar cadeias que NÃO sejam histórias de computação de M sobre w), ou seja, cadeias que apresente AO MENOS UMA das seguintes propriedades (testadas não-deterministicamente): 1. não começa com C1 C1 = q 0 w 1 w 2...w n, onde q 0 é o estado inicial de M 2.alguma Ci+1 não é originada de Ci 3. não termina com uma configuração de aceitação 42

43 Se uma GLC gera todas as cadeias Vamos construir um autômato a pilha equivalente a G (para aceitar cadeias que NÃO sejam histórias de computação de M sobre w), ou seja, cadeias que apresente AO MENOS UMA das seguintes propriedades (testadas não-deterministicamente): 1. não começa com C1 C1 = q 0 w 1 w 2...w n, onde q 0 é o estado inicial de M 2.alguma Ci+1 não é originada de Ci como? 3. não termina com uma configuração de aceitação 43

44 Se uma GLC gera todas as cadeias Vamos construir um autômato a pilha equivalente a G (para aceitar cadeias que NÃO sejam histórias de computação de M sobre w), ou seja, cadeias que apresente AO MENOS UMA das seguintes propriedades (testadas não-deterministicamente): 1. não começa com C1 C1 = q 0 w 1 w 2...w n, onde q 0 é o estado inicial de M 2.alguma Ci+1 não é originada de Ci como? Fita: #C1#C2 R #C3#C4 R #...#Cl# 3. não termina com uma configuração de aceitação 44