Computabilidade e Complexidade (ENG10014)

Transcrição

1 Sistemas de Informação Computabilidade e Complexidade (ENG10014) Profa. Juliana Pinheiro Campos jupcampos@gmail.com

2 Decidibilidade O estudo da decidibilidade objetiva determinar a solucionabilidade de problemas, ou seja, investigar a existência ou não de algoritmos que solucionem determinada classe de problemas. Definimos a noção de algoritmo em termos de MT por meio da tese de Church-Turing. Essa tese afirma que todo algoritmo pode ser expresso mediante uma MT. Vamos estudar alguns problemas solúveis (decidíveis) e não solúveis (indecidíveis).

3 Decidibilidade Infelizmente, muitos problemas interessantes e importantes para a CC são não solucionáveis. Exemplos: Detector universal de loops (problema da parada): Dados um programa e uma entrada qualquer, não existe algoritmo genérico capaz de verificar se o programa vai parar ou não para a entrada. Equivalência de compiladores: Não existe algoritmo genérico que sempre pare capaz de comparar quaisquer dois compiladores de LLC, e verificar se são equivalentes.

4 Decidibilidade Porque estudar a insolubilidade? Para saber que o problema terá que ser simplificado ou alterado antes que possa se encontrar uma solução algorítmica. Para evitar a pesquisa de soluções inexistentes. Para conhecer as capacidades e limitações dos computadores. Para verificar que outros problemas também são insolúveis(utilizando redução).

5 A classe das Lrec está ligada ao conceito de decidibilidade. Um problema de decisão P é decidível se, e somente se, certa linguagem associada a P for recursiva Para problemas de decisão temos que: Se um PD tem solução, então existe uma MT que o decide. Decidibilidade A classe das linguagens recursivas está ligada ao conceito de decidibilidade. Um problema de decisão P é decidível se, e somente se, certa linguagem associada a P for recursiva. Logo, determinar se certo problema é decidível é basicamente, estabelecer se determinada linguagem é recursiva. Se um PD tem solução, então existe uma MT que o decide.

6 Linguagens decidíveis 1) Problema da aceitação: testar se um AFD específico aceita uma dada cadeia. Linguagem que traduz esse problema: A AFD = { <B, w> B é um AFD que aceita a cadeia de entrada w} Essa linguagem contém as codificações de todos os AFDs juntamente com cadeias que os AFDs aceitam. O problema de se testar se um AFD B aceita uma cadeia w é o mesmo que o problema de se testar se <B, w> A AFD.

7 Linguagens decidíveis Mostrar que essa linguagem é decidível é o mesmo que mostrar que o PD é decidível. A AFD é uma linguagem decidível. Prova: apresentamos uma MT M que decide A AFD. M = Sobre a entrada <B, w>, onde B é um AFD e w uma cadeia: 1. Simule B sobre a entrada w. 2. Se a simulação termina em um estado de aceitação, aceite. Se ela termina em um estado de não-aceitação, rejeite.

8 Linguagens decidíveis Representação de MT para PD: <B,w> M w L(B) w L(B) SIM NÃO

9 Linguagens decidíveis 2) Problema da aceitação: testar se um AFN específico aceita uma dada cadeia. Linguagem que traduz esse problema: A AFN = { <B, w> B é um AFN que aceita a cadeia de entrada w} A AFN é uma linguagem decidível. Prova: Apresentamos uma MT N que decide A AFN. Poderíamos projetar N para operar como M, simulando um AFN em vez de um AFD. Ao invés disso, fazemos N usar M como uma sub-rotina.

10 Linguagens decidíveis Como M foi projetada para funcionar com AFDs, N primeiro converte o AFN que ela recebe como entrada para um AFD antes de passá-lo para M. N = Sobre a entrada <B, w>, onde B é um AFN e w uma cadeia: 1. Converta o AFN B em um AFD equivalente C, usando o procedimento estudado em sala. 2. Rode a MT M (apresentada anteriormente) sobre a entrada <C, w>. 3. Se M aceita, aceite. Caso contrário, rejeite.

11 Problema da parada Um dos mais importantes problemas não solucionáveis é conhecido como problema da parada. Ele pode ser usado como base na demonstração de que outros problemas também são não solucionáveis. Problema da parada: o problema de se determinar se uma MT aceita uma cadeia de entrada. A MT = {<M, w> M é uma MT e aceita a cadeia w} A MT é indecidível.

12 Problema da parada A MT é indecidível, mas é Turing-reconhecível. A MT U a seguir reconhece A MT. U = Sobre a entrada <M, w>, onde M é uma MT e w uma cadeia: 1. Simule M sobre a entrada w. 2. Se M em algum momento entra no seu estado de aceitação, aceite; se M em algum momento entra em seu estado de rejeição, rejeite. Essa máquina entra em loop sobre a entrada <M, w> se M entra em loop sobre w e é por isso que essa máquina não decide A MT.

13 Problema da parada Prova: O problema da parada é indecidível.supomos que A MT é decidível e encontramos uma contradição. Se A MT é decidível então existe H que é um decisor para A MT. Para a entrada <M, w>, H pára e aceita se M aceita w e H pára e rejeita se M falha em aceitar w. Aceite, se M aceita w H(<M,w>) = Rejeite, se M não aceita w (rejeita ou entra em loop)

14 Problema da parada Construímos uma nova MT D com H como uma subrotina. D chama H para determinar o que M faz quando a entrada para M é sua própria descrição <M>. Uma vez que D tenha determinado essa informação, ela faz o oposto. Ou seja, ela rejeita se M aceita e aceita se M não aceita. O que segue é uma descrição de D: D = Sobre a entrada <M>, onde M é uma MT: 1. Rode H sobre a entrada <M, <M>>. 2. Se H aceita, rejeite e se H rejeita, aceite.

15 Problema da parada Em resumo, Aceite, se M não aceita <M> D(<M>) = Rejeite, se M aceita <M> O que acontece quando rodamos D sobre <D>? Aceite, se D não aceita <D> D(<D>) = Rejeite, se D aceita <D>

16 Problema da parada Independentemente do que D faz, ela é forçada a fazer o oposto, o que é obviamente uma contradição. Consequentemente, nem a MT D nem a MT H podem existir. Logo, A MT é indecidivel. Resumindo, H aceita <M, w> exatamente quando M aceita w D rejeita <M> exatamente quando M aceita <M> D rejeita <D> exatamente quando D aceita <D>. Essa é a contradição!

17 Uma linguagem Turing-irreconhecível Vimos que A MT é indecidível, mas é Turingreconhecível. Algumas linguagens não são nem Turing-reconhecíveis. Teorema: Uma linguagem é decidível se e somente se ela e o seu complemento são Turing-reconhecíveis. ( ) Se uma linguagem A é decidível, ela é Turingreconhecível (pois toda Lrec é LRE), e o complemento de uma Lrec também é uma Lrec.

18 Uma linguagem Turing-irreconhecível ( ) Se A e A são Turing-reconhecíveis, então existem os reconhecedores M1 e M2 para A e A respectivamente. É possível construir uma MT M que é um decisor para A: M = sobre a entrada w: Rode M1 e M2 sobre a entrada w em paralelo. Se M1 aceita, aceite. Se M2 aceita, rejeite. Rodar as duas máquinas em paralelo significa que M tem duas fitas, uma para simular M1 e a outra para simular M2. Nesse caso, M alternativamente simula um passo de cada máquina, o que continua até que uma delas aceite.

19 Uma linguagem Turing-irreconhecível M decide A pois toda cadeia ou está em A ou está em A. Consequentemente, ou M1 ou M2 tem que aceitar w. Uma vez que M para sempre que M1 ou M2 aceita, M sempre pára, e portanto, é um decisor. Corolário: A MT não é Turing-reconhecível. Sabemos que A MT é Turing-reconhecível. Se A MT também fosse Turing-reconhecível, A MT seria decidível. Como sabemos que A MT não é decidível, portanto A MT não pode ser Turing-reconhecível.

20 Redutibilidade O estudo da solucionabilidade de um problema pode ser feito usando o princípio da redução. Esse principio consiste em investigar a solucionabilidade de um problema a partir de outro, cuja classe de solucionabilidade é conhecida. Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro. Método principal de provar que problemas são computacionalmente insolúveis.

21 Redutibilidade A redutibilidade sempre envolve 2 problemas de decisão A e B. Suponha que é possível modificar o problema A de tal forma que ele se porte como um caso do problema B. Nesse caso, dizemos que A é redutível a B e: Se B é decidível então A também é decidível Se A é indecidível então conclui-se que B também é indecidível.

22 Redutibilidade Problema A Decidível Indecidível Redução de A Problema B

23 Redução de um problema a outro Um PD A é redutível a um PD B, se existe um algoritmo R que, recebendo x como entrada, produz um resultado y tal que a resposta a A para x é idêntica ou complementar (a resposta complementar a sim é não, e a não é sim) à resposta a B para a entrada y, qualquer que seja a entrada x. Dizemos que o algoritmo R pode ser usado para reduzir o problema A ao problema B.

24 Redução de um problema a outro Assim, o problema de decisão A pode ser solucionado mediante o algoritmo R e um algoritmo para o PD B. Chamamos R de máquina redutora MT para A x R y MT para B SIM NÃO

25 Linguagens indecidíveis Mostramos que PD são indecidíveis por contradição: Supomos que o PD é decidível e mostra que um PD indecidível conhecido é redutível a ele. Logo ele não pode ser decidível, pois se fosse o que se reduz a ele também seria (pelo princípio da redução). 1) Real problema da parada: o problema de determinar se uma MT pára (aceitando ou rejeitando) sobre uma dada entrada.

26 Linguagens indecidíveis PARA MT = {<M,w> M é uma MT e M para sobre a entrada w} é indecidível. Supomos que PARA MT é decidível. Se PARA MT é decidível, então existe uma MT R que a decide. Mostramos que A MT é redutível a PARA MT. Assim, é possível construir uma MT S que decide A MT. Com R, você pode testar se M pára sobre w. Se R indicar que M não pára sobre w, rejeite. Se R indica que M pára sobre w, você pode fazer a simulação sem qualquer perigo de entrar em loop.

27 Rode a MT R sobre a entrada <M,w>. Se R rejeitar, rejeite. Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w até que ela pare. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. Linguagens indecidíveis Prova: Supomos que a MT R decida PARA MT. Construímos a MT S para decidir A MT : S = Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT M e uma cadeia w: 1. Rode a MT R sobre a entrada <M,w>. 2. Se R rejeitar, rejeite. 3. Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w até que ela pare. 4. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite.

28 Rode a MT R sobre a entrada <M,w>. Se R rejeitar, rejeite. Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w até que ela pare. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. Linguagens indecidíveis Se a MT R existe, podemos decidir A MT ; mas sabemos que A MT é indecidível. Em virtude dessa contradição, podemos concluir que R não existe. Logo, PARA MT é indecidível. 2) Testar vacuidade: determinar se a MT M não aceita nenhuma cadeia. V MT = {<M> M é uma MT e L(M) = } é indecidível.

29 Rode a MT R sobre a entrada <M,w>. Se R rejeitar, rejeite. Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w até que ela pare. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. Linguagens indecidíveis Supomos que V MT é decidível. Assim, existe uma MT R que decide V MT. Mostramos que A MT se reduz a V MT, usando R para construir a MT S que decide A MT. Modificamos <M> para garantir que M rejeite todas as cadeias exceto w, e que sobre a entrada w ela funcione normalmente. Usamos R para determinar se a máquina modificada reconhece a linguagem vazia. A única cadeia que a máquina agora aceita é w, e, portanto, sua linguagem será não vazia se e somente se ela aceita w. Se R aceita quando é alimentada com uma descrição de máquina modificada, sabemos que a máquina modificada não aceita nada e que M não aceita w.

30 Rode a MT R sobre a entrada <M,w>. Se R rejeitar, rejeite. Se R aceitar, simule a máquina M com a entrada w até que ela pare. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. Linguagens indecidíveis Prova: Supomos que a MT R decida V MT e construímos S que decide A MT da seguinte forma. S = Sobre a entrada <M, w>, uma codificação de uma MT e uma cadeia w: 1. Construa a seguinte MT M1. M1 = Sobre a entrada x: Se x w, rejeite. Se x = w, rode M sobre a entrada w e aceite se M aceita. 2. Rode R sobre a entrada <M1>. 3. Se R aceita, rejeite. Se R rejeita, aceite. Se R existisse, S seria um decisor para A MT. Um decisor para A MT não pode existir, portanto sabemos que V MT é indecidível.

31 Referências Sipser, M.; Introdução à Teoria da Computação. Ed. Thomson, ISBN: Diverio, T. A.; Menezes, P. B.. Teoria da Computação: Máquinas Universais e Computabilidade. Porto Alegre: Sagra Luzzato, 2000.