6. Decidibilidade, indecidibilidade e decidibilidade parcial

Transcrição

1 6. Decidibilidade, indecidibilidade e decidibilidade parcial Nos capítulos anteriores, já foram referidos diversos problemas decidíveis. Apenas foi analisado um único problema indecidível ( φ é total ) (Eemplos?) A identificação dos problemas indecidíveis é uma das maiores aplicações da Teoria da Computação, pois permite demonstrar os limites teóricos dos computadores reais. Lembremos que um predicado (problema) M() é decidível se a sua função característica c M () dada por: Mas a Teoria da Computação tem alguma aplicação?! c M () = 1 0, se M () se verifica, se M () nao se verifica for computável. Um algoritmo para computar c M é chamado procedimento de decisão para M() Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.1

2 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Suponhamos que um dado programa P calcula uma dada função total. Então, eiste um índice a tal que P = P a. Além disso, o valor φ a ( a) está definido (pois a função é total). Questão: Será que eiste um procedimento geral que permita decidir se um qualquer programa com o número converge, quando é aplicado ao próprio? Ou seja, os seguintes predicados são decidíveis? " P () " " W " φ () está definida φ U (,) está definida Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.2

3 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Teorema 1 O predicado " W " é indecidível. Prova: Vamos supor que o predicado é decidível. f () = 1, se Então, a função característica W 0, se W Nesse caso a função Seja g g () = φa g está definida em a?, se f( = 0 ) = 0 indefinido, se f( ) = 1 g está definida em a se e só se f (a) = 0 a W a é computável. também é computável Mas W = Dom ( φ ) = Dom (g) a a Logo, g está definida em a se e so se a não pertence ao domínio de g (!!) A suposição sobre a computabilidade de f está errada, donde " W " é indecidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.3

4 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Corolário: Eiste uma função computável h tal que os problemas " Dom (h)" são ambos indecidíveis. " Ran (h)" Prova: Seja h (), se W = indefinida, se W Esta função é computável, pois h() 1 ( ψ U(,) ) e ψ U é computável. Mas Dom (h) W Ran (h) Logo, pelo teorema anterior, podemos concluir que ambos os predicados são Ou seja, não eiste um procedimento geral que nos permita decidir se um número pertence ao domínio ou ao contradomínio de uma função computável. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.4

5 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade E agora, o mais famoso eemplo de indecidibilidade: O problema da paragem φ (y) P (y) y W O problema está definido (ou ou ) é indecidível. Informalmente: se o problema φ (y) está definido fosse decidível, também o seria o problema anterior (mais simples), φ () está definido. Mas o Teorema anterior diz-nos que este predicado não é decidível. φ (y) Prova: Seja g a função característica do predicado g () 1, se (y) esta definido = φ 0, se φ (y) nao esta definido está definido : Se g é computável, também é a função f() = g(,). Mas f é a função característica de " W ", a qual já provámos que não é computável. Então, g não é computável e (y) está definido é indecidível φ Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.5

6 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade O Problema da Paragem ( The Halting Problem) tem grandes implicações práticas: Não eiste nenhum método geral efectivo que permita averiguar se um dado programa, para um determinado conjunto de dados eventualmente pára. Não eiste nenhum procedimento efectivo que verifique se um programa tem ciclos infinitos. O problema indecidível " problemas indecidíveis. W " é a chave para a demonstração de muitos outros Considere-se um dado problema M(). Muitas vezes, a solução deste problema conduz à solução do problema " " W Ou seja, M() é decidível se e só se " W " é decidível. Como já se provou que este problema é indecidível, M() também será indecidível. Diz-se, nesse caso, que " W " é reduzido ao problema M(). Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.6

7 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Teorema O problema " φ = 0" é indecidível Prova: Considere-se a função f definida por: f (, y) (f foi definida considerando que vai ser usado o Teorema s-m-n) Defina-se agora g (y) f(,y). 0, se W = indefinida, se W f é computável ( f (,y) = 0. ψ U (,)), logo, pelo Teorema s-m-n eiste uma função total computável k() tal que f (,y) φ ou seja, φ k() = g (y) k() Suponhamos que " φ = 0" é decidível. Então também a função h() = g(k()) é computável. f foi definida por forma que: g = 0 W Pela definição de f, temos W φ k() = 0 (*) Logo a função g () Mas de (*), nós temos que 1, se = φ = 0, se φ Do Teorema 1 vem que h não é computável, logo g não é computável e o predicado é indecidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I é computável. 1, se h () = φ = 0; i.e. W 0, se φ 0; i.e. W

8 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Na última aula vimos alguns problemas indecidíveis em computabilidade: " φ e total" Problema da Introspecção: " W " (ou " P () " ou φ () está definida ) Problema da Paragem: "y W " (ou "P (y) " ou " φ (y) está definida ) Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.8

9 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Do Teorema anterior podemos concluir que eistem limitações inerentes correcção de um programa. De facto, não eiste um método geral efectivo que permita verificar se um programa calcula a função Zero. O seguinte corolário mostra que a questão de saber se dois programas computam a mesma função unária é indecidível. Corolário O problema " φ = φ " é indecidível. y Prova: Seja c um número tal que φc = 0 Se f(,y) é a função característica de " φ = φ " então a função g() = f(,c) é a função característica de " φ = 0 " Mas, pelo Teorema anterior, g não é computável, logo f também não. O predicado " φ = φ " é indecidível. y y Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.9

10 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Teorema Seja c um número qualquer. Os seguintes predicados são indecidíveis: (a) Problema do Input "c W " (ou "P (c) " ou "c Dom ( φ )" ) (b) Problema do Output "c E " (ou "c Ran ( φ )" ) Prova: Usaremos o Teorema s-m-n para reduzir o problema " W " a estes problemas. Considere-se a função f(,y) dada por: f (, y) y, se W = indefinida, se W Seja g (y) = f(,y) g é a função identidade ( y y ) se W g está indefinida se W Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.10

11 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Então, para qualquer c, c Dom(g ) c Ran(g ) W Pelo Teorema s-m-n, eiste uma função computável k tal que φ k() = g Para qualquer c, c W k() c E k() W Seja g a função característica de "c W " Então g'(k()) 1, se c W k() ; i.e. W = 0, se c W ; i.e. W k() Seja g a função característica de "c E " Então g''(k()) 1, se c E k() ; i.e. W = 0, se c E ; i.e. W k() Reduzimos " seriam decidíveis se e só se " W " a cada um destes problemas, logo "c W " e "c E " W " o fosse. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.11

12 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Teorema de Rice Seja B C 1 e B, C 1. Então o problema "φ B " é indecidível. Prova Pela álgebra da decidibilidade, sabemos que "φ B " é decidível se e só se "φ C1 \ B " é decidível. Podemos assumir sem perda de generalidade que f B Escolhe-se uma função g B Considere-se a função f (, y) g(y), se W = indefinida, se W Como f é computável (Tese de Church), o Teorema s-m-n diz que eiste um função total computável k() tal que f(,y) = φ k() (y) Então, vemos que: W φ = g ; i.e. φ k() B k() W φ = f ; i.e. φ k() B Reduzimos o problema " W " ao problema "φ B " Logo "φ B " é indecidível. k() Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.12

13 6.1 Problemas indecidíveis em computabilidade Equações Diophantine Uma equação diophantine é uma equação polinimial com coeficientes inteiros, para a qual são eigidas soluções inteiras. Por eemplo: 2 4 = 0 tem duas soluções = ± 2 { } 2 y = 0 tem infinitas soluções ( 0, 0 ) ; ( 11, ) ; ( 2, 4 ) ; ( 2, 4 ) ; = 0 não tem soluções y 177 = 0 (?) y c = 0 (?) O problema de saber se uma qualquer equação diophantine tem soluções inteiras é indecidível (!!) Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.13

14 Predicados parcialmente decidíveis Apesar do predicado " W " ter uma função característica não, a seguinte função relacionada com aquela é computável: f () 1, se W = indefinida, se W Se continuarmos a associar o valor 1 à resposta Sim, qualquer algoritmo para f dará a resposta Sim sempre que " W " e continua indefinidamente quando " W " Esse procedimento é designado por procedimento de decisão parcial para o problema " W " e este problema diz-se parcialmente decidível. Definição: Um predicado M() é parcialmente decidível se a função f dada por 1, se se verifica f () = M ( ) indefinida, se M ( ) nao ~ se verifica é computável. Esta função é designada por função característica parcial. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.14

15 Eemplos de Predicados parcialmente decidíveis 1. O problema da Paragem "P (y) " é parcialmente decidível, pois a sua função característica parcial é computável: f (, y) 1, se = P ( y) indefinida, senao ~ f é computável pela Tese de Church ou considerando que f(, y) 1 ( ψ (, y) ) 2. Qualquer predicado decidível é parcialmente decidível; 3. Para qualquer função computável g() o problema " Dom(g)" pois a sua função característica parcial 1 (g ()) ) Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.15 U é parcialmente decidível, 4. O problema " W " não é parcialmente decidível, pois a sua função característica parcial não é computável. f () 1, se W = indefinida, se W Se f for computável, tem um índice m. Então vejamos o que acontece quando aplicamos f a m: m Dom(f) m Dom ( φ ) m W f (m) indefinido m Dom(f) m m

16 Predicados parcialmente decidíveis Teorema Um predicado M() é parcialmente decidível se e só se eiste uma função computável g() tal que: M() verifica-se se e só se Dom(g) Prova: a) Se M() é parcialmente decidível com função característica parcial f(), então pela própria definição de f temos que M() é verdade se e só se Dom(f) Fazemos então g() f(). Como f é computável, g é computável. b) Seja g uma função computável tal que M() se verifica se e só se Queremos provar que M() é parcialmente decidível De facto, a função característica parcial deste predicado definida por: Dom(g) f () 1, se Dom (g) = indefinida, se Dom (g) Esta função é computável, pois g é computável e f() = 1 (g ()) Logo, M() é parcialmente decidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.16

17 Predicados parcialmente decidíveis Teorema Um predicado M() é parcialmente decidível se e só se eiste um predicado decidível R(, y) tal que: M() se e só se y R(, y) Prova: a) Se M() é parcialmente decidível tem um procedimento de decisão parcial dado pelo programa P. Defina-se um predicado R(,y) por: R(, y) P() em y passos Este predicado é decidível (ver aulas anteriores). Além disso, M() verifica-se se e só se P(), ou seja, se e só se y R(, y) b) Seja R(, y) um predicado decidível tal que: M() se e só se y R(, y) Queremos provar que M() é parcialmente decidível. menor y tal que R(, y) se verifica Considere-se a função g( ) µ y R(, y) = indefinido Esta função é computável: g( ) = µ y (sg(c R (, y)) = 0) Logo, M() verifica-se se e só se decidível. Dom(g), se eiste y, se y nao eiste. Pelo teorema anterior, M() é parcialmente Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.17

18 Predicados parcialmente decidíveis O Teorema anterior pode ser usado para estabelecer algumas propriedades dos predicados parcialmente decidíveis que nos ajudam a reconhecê-los. Teorema: Se M(, y) é um predicado parcialmente decidível, então também o é o predicado y M(, y) Prova: Recorrendo ao teorema anterior, seja R(, y, z) um predicado decidível tal que M(, y) se e só se z R(, y, z) Então, y M(, y) y z R(, y, z) y z Utilizando a técnica de codificar o par de números y, z pelo único número u = 2 3 a pesquisa do par y, z, tal que R(, y, z) reduz-se à pesquisa do número u tal que R(, (u) 1, (u) 2 ) ou seja, y M(, y) u R(, (u), (u) ) 1 2 O predicado S(, u) R(, (u) 1, (u) 2 ) é decidível (por substituição) logo, pelo Teorema anterior, o predicado y M(, y) é parcialmente decidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.18

19 Predicados parcialmente decidíveis A repetida aplicação do Teorema anterior leva-nos ao Corolário: Corolário: Se M(, y) é parcialmente decidível (y = y 1, y 2,...,y m ), então também o é o predicado y 1... y m M(, y 1,..., y m ) Eemplos: 1. Os seguintes predicados são parcialmente decidíveis: E y (n) (n fio) (n) E z... z t (P (z,..., z ) em t passos) y 1 n y 1 n Podemos então aplicar o corolário. predicado decidível 2. W W y t (P (y) em t passos) predicado decidível Podemos aplicar o corolário. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.19

20 Predicados parcialmente decidíveis Teorema: Um predicado M() é decidível se e só se M() e não M() forem ambos parcialmente decidíveis. Prova: a) Se M() é decidível, também não M() é decidível e, nesse caso, M() e não M() são parcialmente decidíveis, pois todos os predeicados decidíveis são parcialmente decidíveis. b) Sejam agora M() e não M() predicados parcialmente decidíveis com procedimentos de decisão parcial F e G. Queremos provar que M() é decidível. F( ) M( ) verifica - se G( ) "nao ~ M( )" verifica - se Além disso, F( ) ou G( ) mas nunca ambos O seguinte algoritmo permite decidir M(): para um dado, correr os programas F() e G() simultaneamente ou alternadamente um passo de cada. Se F() parou, M() verifica-se. Se G() parou não M() verifica-se. Logo M() é decidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.20

21 Predicados parcialmente decidíveis Prova alternativa da alínea b) Sejam M() e não M() predicados parcialmente decidíveis Então, eistem predicados decidíveis R(, y) e S(, y) tal que: M( ) y R(, y) e nao ~ M( ) y S(, y) y (nao ~ R(, y)) Defina-se f( ) = µ y (R(, y) ou (nao ~ R(, y))) f () é computável e está definida para todo o. Então M( ) R(, f( )) Como R(, f()) é decidível, M() é decidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.21

22 Predicados parcialmente decidíveis O seguinte Teorema fornece uma prova alternativa para o Problema da Paragem ser indecidível. Corolário: O predicado " P y (ou "y W " ou " φ (y) indefinida " ) não é parcialmente decidível. Prova: O problema " P ( y ) " é parcialmente decidível, pois a função f (, y) 1, se = P ( y) indefinida, senao ~ é computável. " P ( y ) " " nao ~ P ( y ) " Se o predicado " P( y ) " fosse parcialmente decidível, pelo Teorema anterior, o Problema da Paragem seria decidível, o que já vimos ser falso. Logo, o predicado " P ( y ) " não é parcialmente decidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.22

23 Predicados parcialmente decidíveis O resultado final deste capítulo fornece um mecanismo útil para provar que uma função computável. Teorema: Seja f() uma função parcial. Então f é computável se e só se o predicado " f ( ) y " for parcialmente decidível. Prova: a) Seja f uma função computável por um programa P. Então, temos f ( ) y t (P( ) y em t passos) decidível parcialmente decidível Então " f ( ) y " também é parcialmente decidível. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.23

24 Predicados parcialmente decidíveis Prova (cont.) b) Suponhamos agora que " f ( ) y " é parcialmente decidível Queremos provar que f é computável Seja R (, y, t) um predicado decidível tal que f ( ) y t R(, y, t) Então temos o seguinte algoritmo para computar f(): Procurar um par de números y, t, tais que R(, y, t) se verifica. Se, e quando esse par for encontrado, f ( ) y. Então, pela Tese de Church, f é computável. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.24

25 Predicados parcialmente decidíveis Prova alternativa (formal) de b) Como " f ( ) y " seja R (, y, t) um predicado decidível tal que f ( ) y t R(, y, t) Então y (f ( ) y) y t R(, y, t) y t Seja z = 2 3 é parcialmente decidível, y (f ( ) y) z R(, (z), (z) ) 1 2 Seja S(, z) R(, (z) 1, (z) 2 ) S(, z) é decidível (por substituição) Então z S(, z) z R(, (z) 1, (z) 2 ) é parcialmente decidível Logo, " y (f ( ) y)" é parcialmente decidível Defina-se M( ) z R(, (z), (z) ) e g( ) = µ z S(, z) 1 2 g() é computável e M() verifica-se se e só se Dom (g) y t e g( ) = z = 2 3 com y = (z) 1 e t = (z) 2 e f ( ) y Logo, f é computável. Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 6.25