Análise de dados categóricos

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1 Análise de dados categóricos Ivan Bezerra Allaman Introdução Lembrando lá da estatística básica, quando nos referimos a dados categóricos, estamos nos referindo a variáveis que são mensuradas em escala nominal e ordinal. Neste tópico veremos métodos inferenciais aplicados a tabelas de contigências, técnica esta abordado em introdução a estatística e que será brevemente revisado. Tabela de contigência de ordem n x p A tabela de contigência é uma técnica utilizada para avaliar se há associação ou não entre duas variáveis categóricas. Como exemplo poderíamos estudar se há relação entre: Sexo e o hábito de fumar Grau de escolaridade dos pais e grau de escolaridade dos filhos Grau de stress e profissão Escolha partidária política e classe social Etc. Exemplo 1. Um estudo foi realizado com o intuito de estudar a associação entre sexo (masculino e feminino) e tabagismo (fumante e não fumante) em uma população. Coletou-se uma amostra de 300 pessoas adultas dessa população, fazendo-se a classificação segundo a tabela abaixo: Tabagismo Sexo/masculino Sexo/feminino Total - - Fumante 92 (46) 38 (38) Não fumante 108 (54) 62 (62) Total 200 (100) 100 (100) Se observarmos a proporção entre parênteses, tudo nos leva a crer que não há associação entre tabagismo e sexo, pois a proporção de fumantes não se alterou com o sexo, ou seja, seja masculino ou feminino, a proporção de fumantes é menor. Percebam que esta é uma conclusão subjetiva, ou seja, estamos afirmando algo sem fornecer uma probabilidade de certeza. Logo, utilizaremos a estatística de teste qui-quadrado para avaliarmos a associação entre variáveis qualitativas provenientes de uma tabela de contigência. 1

2 Hipóteses As hipóteses que iremos formular são as seguintes: H 0 : As variáveis são independentes, ou seja, não há associação entre elas H a : As variáveis não são independentes, ou seja, há associação entre elas Estatística de teste Utilizaremos a estatística qui-quadrado para testarmos as hipóteses acima. A estatística de teste é a seguinte: com (coluna 1) (linha 1) graus de liberdade. χ 2 = (O E) 2 E Em que O representa a frequência observada na amostra e E a frequência esperada. A frequência esperada é calculada da seguinte forma: E = T otallinha T otalcoluna T amanhodaamostra A função para calcularmos pvalor será a função pchisq Exemplo 2. Retornando ao exemplo 1, a primeira etapa que é formularmos as hipóteses. H 0 : Sexo e tabagismo são variáveis independentes, na população em estudo H a : Existe associação entre as variáveis sexo e tabagismo, na população em estudo Agora vamos organizar os dados no R para que os cálculos sejam facilitados. fumante <- c(mascu = 92, Femi = 38) fumante ## Mascu Femi ## nfumante <- c(mascu = 108,Femi = 62) nfumante ## Mascu Femi 2

3 ## tab <- rbind(fumante, nfumante) tab ## Mascu Femi ## fumante ## nfumante O próximo passo é calcular as frequências esperadas. esp.fumante <- c(mascu = rowsums(tab)[1] * colsums(tab)[1]/sum(tab), Femi = rowsums(tab)[1] * colsums(tab)[2]/sum(tab)) esp.nfumante <- c(mascu = rowsums(tab)[2] * colsums(tab)[1]/sum(tab), Femi = rowsums(tab)[2] * colsums(tab)[2]/sum(tab)) tab.esp <- rbind(esp.fumante, esp.nfumante) tab.esp ## Mascu.fumante Femi.fumante ## esp.fumante ## esp.nfumante Montando um data.frame para visualisar os cálculos da estatística qui-quadrado. da.qui <- data.frame(tabagismo = c('fumante','nfumante','fumante','nfumante'), Sexo = rep(c('mascu','femi'),c(2,2)), Freq.observada = matrix(tab, ncol=1), Freq.esperada = matrix(tab.esp,ncol=1) ) da.qui ## Tabagismo Sexo Freq.observada Freq.esperada ## 1 fumante Mascu ## 2 nfumante Mascu ## 3 fumante Femi ## 4 nfumante Femi OmE <- da.qui[,3] - da.qui[,4] OmE # Freq. observada menos a Freq. esperada ## [1] OmE2 <- OmE^2 # Freq.observada menos a Freq.esperada ao quadrado OmE2 ## [1]

4 OmE2dE <- OmE2/da.qui[,4] # Freq.obs menos a Freq.esp ao quadrado dividido por Freq.esp OmE2dE ## [1] da.qui <- data.frame(da.qui, OmE, OmE2, OmE2dE) da.qui ## Tabagismo Sexo Freq.observada Freq.esperada OmE OmE2 OmE2dE ## 1 fumante Mascu ## 2 nfumante Mascu ## 3 fumante Femi ## 4 nfumante Femi chi.calc <- sum(da.qui[,7]) chi.calc ## [1] Agora nos resta encontrar o pvalor com 1 graus de liberdade. Este grau só serve para tabelas do tipo 2x2. alpha <-.05 pvalor <- pchisq(chi.calc, 1, lower.tail = FALSE) pvalor ## [1] # Portanto, ifelse(pvalor < alpha,'rejeita-se H0','Não rejeita-se H0') ## [1] "Não rejeita-se H0" Correção de continuidade de Yates Quando existe alguma frequência esperada entre 5 e 10, há uma necessidade de se fazer uma correção na estatística qui-quadrado. Esta correção só é necessário quando a tabela tem dimensões 2 x 2. Nestes casos a correção é feita da seguinte forma: χ 2 = ( O E 0, 5) 2 E 4

5 Exemplo 1. Considere a seguinte amostra quanto a classificação de 38 indivíduos à ansiedade e tabagismo. fumante <- c(ansioso = 15, Nansioso = 7) fumante ## Ansioso Nansioso ## 15 7 nfumante <- c(ansioso = 6, Nansioso = 10) nfumante ## Ansioso Nansioso ## 6 10 tab1 <- rbind(fumante, nfumante) tab1 ## Ansioso Nansioso ## fumante 15 7 ## nfumante 6 10 Tem-se as seguintes hipóteses: H 0 : Ansiedade e tabagismo são variáveis independentes, na população em estudo. H a : Existe associação entre as variáveis ansiedade e tabagismo, na população em estudo. Vimos que a estatística de teste utilizada é a qui-quadrado. Vamos primeiro avaliar as frequências esperadas. esp.fumante <- c(ansioso = rowsums(tab1)[1] * colsums(tab1)[1]/sum(tab1), Nansioso = rowsums(tab1)[1] * colsums(tab1)[2]/sum(tab1)) esp.nfumante <- c(ansioso = rowsums(tab1)[2] * colsums(tab1)[1]/sum(tab1), Nansioso = rowsums(tab1)[2] * colsums(tab1)[2]/sum(tab1)) tab1.esp <- rbind(esp.fumante, esp.nfumante) tab1.esp ## Ansioso.fumante Nansioso.fumante ## esp.fumante ## esp.nfumante Três das quatro células apresentaram frequências entre 5 e 10. Logo, a correção de continuidade é necessária. 5

6 Montando um data.frame para visualisar os cálculos da estatística qui-quadrado. da1.qui <- data.frame(tabagismo = rep(c('fumante','nfumante'),2), Sexo = rep(c('ansioso','nansioso'),c(2,2)), Freq.observada = matrix(tab1, ncol=1), Freq.esperada = matrix(tab1.esp,ncol=1) ) da1.qui ## Tabagismo Sexo Freq.observada Freq.esperada ## 1 fumante Ansioso ## 2 nfumante Ansioso ## 3 fumante Nansioso ## 4 nfumante Nansioso calc.qui <- sum((abs(da1.qui[,3] - da1.qui[,4])-.5)^2/da1.qui[,4]) calc.qui ## [1] Agora nos resta encontrar o pvalor com 1 graus de liberdade. Este grau só serve para tabelas do tipo 2x2. alpha <-.10 pvalor <- pchisq(calc.qui, 1, lower.tail = FALSE) pvalor ## [1] # Portanto, ifelse(pvalor < alpha,'rejeita-se H0','Não rejeita-se H0') ## [1] "Não rejeita-se H0" Tabelas de grandes dimensões São tabelas com dimensões acima de 2x2. As técnicas apresentadas acima servem para qualquer dimensão de tabela. Exemplo Vamos usar os dados provenientes do livro Estatística Aplicada às Ciências Sociais. sgrande <- read.table(' h = T) # percebam # Quanto as frequências observadas tem-se: tab2 <- table(sgrande[,c(2:3)]) tab2 6

7 ## p.a.p ## local naousa usa ## encmorro ## montv ## pqfig Vamos avaliar se existe associação entre programa de alimentação popular (p.a.p) e local. Portanto, tem-se as seguintes hipóteses: H 0 : As variáveis p.a.p e localidade são independentes. H a : Existe associação entre as variáveis p.a.p e localidade. O cálculo das frequências esperadas começa a ficar oneroso devido a dimensão da tabela. Logo, fiz uma função para ajudar na sua tarefa. # Quanto as esperadas. exp.freq <- function(x){ if(!is.table(x)) stop('o objeto deve ser uma tabela') t.linhas <- rowsums(x) t.colunas <- colsums(x) t.total <- sum(x) categories <- attr(x, 'dimnames') ncategories.linhas <- length(unlist(categories[1])) ncategories.colunas <- length(unlist(categories[2])) expfreq <- matrix(na, ncol = ncategories.colunas, nrow = ncategories.linhas) for(i in 1:ncategories.linhas){ for(j in 1:ncategories.colunas){ expfreq[i,j] <- t.linhas[i] * t.colunas[j]/t.total } } colnames(expfreq) <- unlist(categories[2]) rownames(expfreq) <- unlist(categories[1]) return(expfreq) } Portanto, usando a função tem-se as seguintes frequências esperadas. tab2.exp <- exp.freq(tab2) tab2.exp ## naousa usa ## encmorro ## montv ## pqfig Logo, tem-se a seguinte tabela auxiliar: 7

8 # Quardando os resultados em um data.frame da2.qui <- data.frame(local = rep(c('enc. morro','monte V', 'Pq. figu.'),2), Pap = rep(c('não usa','usa'),c(3,3)), O = matrix(tab2, ncol=1), E = matrix(tab2.exp,ncol=1) ) da2.qui ## Local Pap O E ## 1 Enc. morro Não usa ## 2 Monte V Não usa ## 3 Pq. figu. Não usa ## 4 Enc. morro Usa ## 5 Monte V Usa ## 6 Pq. figu. Usa da2.qui$'(o-e)' <- round(da2.qui[,3] - da2.qui[,4], 2) da2.qui$'(o-e)^2' <- round((da2.qui[,3] - da2.qui[,4])^2, 2) da2.qui$'(o-e)^2/e' <- round((da2.qui[,3] - da2.qui[,4])^2/da2.qui[,4], 2) da2.qui ## Local Pap O E (O-E) (O-E)^2 (O-E)^2/E ## 1 Enc. morro Não usa ## 2 Monte V Não usa ## 3 Pq. figu. Não usa ## 4 Enc. morro Usa ## 5 Monte V Usa ## 6 Pq. figu. Usa Calculando a estatística de teste e os graus de liberdade. calc.qui2 <- sum((da2.qui[,3] - da2.qui[,4])^2/da2.qui[,4]) calc.qui2 ## [1] # Agora nos resta encontrar o qui-quadrado tabelado. Lembrando que neste caso os graus de liberdade é da n.colum <- 2 # número de colunas n.linhas <- 3 # número de linhas gliberdade <- (n.colum-1)*(n.linhas-1) gliberdade ## [1] 2 Calculando o pvalor. alpha <-.10 pvalor <- pchisq(calc.qui2, gliberdade, lower.tail = FALSE) pvalor 8

9 ## [1] # Portanto, ifelse(pvalor < alpha,'rejeita-se H0','Não rejeita-se H0') ## [1] "Não rejeita-se H0" Podemos ainda fazer um gráfico proveniente de uma tabela de contingência Opção 1. plot(tab2) tab2 encmorro montv pqfig usa p.a.p naousa local Opção 2. barplot(tab2, legend=t, args.legend=list(x='topleft')) 9

10 pqfig montv encmorro naousa usa Opção 3. barplot(tab2, beside = T) naousa usa 10