PE-MEEC 1S 09/ Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado,

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1 Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis 4.3 Distribuição uniforme contínua 4.4 Distribuição normal 4.5 Distribuição exponencial Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas PE-MEEC 1S 09/10 118

2 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Exemplos: Considerar as seguintes variáveis aleatórias: T - tempo de vida de um determinado equipamento X - intensidade da corrente em determinado ponto de um circuito Y - resistência mecânica de uma peça PE-MEEC 1S 09/10 119

3 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Exemplos: Considerar as seguintes variáveis aleatórias: T - tempo de vida de um determinado equipamento X - intensidade da corrente em determinado ponto de um circuito Y - resistência mecânica de uma peça Em qualquer destes exemplos é razoável dizer que os valores possíveis das variáveis são intervalos números reais (de comprimento finito ou infinito) = N. o de valores possíveis é infinito não contável PE-MEEC 1S 09/10 119

4 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade Exemplos: Considerar as seguintes variáveis aleatórias: T - tempo de vida de um determinado equipamento X - intensidade da corrente em determinado ponto de um circuito Y - resistência mecânica de uma peça Em qualquer destes exemplos é razoável dizer que os valores possíveis das variáveis são intervalos números reais (de comprimento finito ou infinito) = N. o de valores possíveis é infinito não contável Definição: Uma variável aleatória é contínua se o seu contradomínio contiver um intervalo de números reais e nenhum desses valores puder ser observado repetidamente. Nota: há v.a. discretas que tomam um número tão elevado de valores que é mais conveniente tratá-las como contínuas (p.ex., o valor do saldo contabilístico de uma conta bancária seleccionada ao acaso). PE-MEEC 1S 09/10 119

5 4.1 (cont.) Como descrever uma v.a. contínua? O método usado para as v.a. discretas (lista dos valores possíveis de X e respectivas probabilidades) não é aplicável pois é impossível elaborar uma lista desses valores. Se pudéssemos listar todos os pequenos intervalos... PE-MEEC 1S 09/10 120

6 4.1 (cont.) Como descrever uma v.a. contínua? O método usado para as v.a. discretas (lista dos valores possíveis de X e respectivas probabilidades) não é aplicável pois é impossível elaborar uma lista desses valores. Se pudéssemos listar todos os pequenos intervalos... Para resolver este problema admite-se que existe uma função, f X (x), tal que para cada intervalo de comprimento pequeno, x, se verifica ( P x x 2 < X < x + x ) f X (x) x 2 ou f X (x) P ( x x 2 < X < x + x 2 ) x PE-MEEC 1S 09/10 120

7 4.1 (cont.) Como descrever uma v.a. contínua? O método usado para as v.a. discretas (lista dos valores possíveis de X e respectivas probabilidades) não é aplicável pois é impossível elaborar uma lista desses valores. Se pudéssemos listar todos os pequenos intervalos... Para resolver este problema admite-se que existe uma função, f X (x), tal que para cada intervalo de comprimento pequeno, x, se verifica ( P x x 2 < X < x + x ) f X (x) x 2 ou f X (x) P ( x x 2 < X < x + x ) 2 x a esta função chama-se função de densidade de probabilidade (por analogia com a densidade de massa) PE-MEEC 1S 09/10 120

8 Esta função pode surgir como limite do histograma quando n

9 Esta função pode surgir como limite do histograma quando n n=200

10 Esta função pode surgir como limite do histograma quando n n=200 n=1000

11 Esta função pode surgir como limite do histograma quando n n=200 n=1000 n=10000

12 Esta função pode surgir como limite do histograma quando n n=200 n=1000 n=10000 n=100000

13 4.1 (cont.) Definição: A função f X (x) é a função de densidade de probabilidade da v.a. contínua X se 1) f X (x) 0, x R 2) + f X (x)dx = 1 3) P(a X b) = b a f X (x)dx, a,b R: a b PE-MEEC 1S 09/10 122

14 4.1 (cont.) Definição: A função f X (x) é a função de densidade de probabilidade da v.a. contínua X se 1) f X (x) 0, x R 2) + f X (x)dx = 1 3) P(a X b) = b a f X (x)dx, a,b R: a b f X (x) P(a X b) a b x PE-MEEC 1S 09/10 122

15 4.1 (cont.) Consequência: para qualquer variável aleatória contínua P(X = x) = x x f X (u)du = 0, x R PE-MEEC 1S 09/10 123

16 4.1 (cont.) Consequência: para qualquer variável aleatória contínua P(X = x) = x x f X (u)du = 0, x R Ou seja, há acontecimentos que podem ocorrer, mas que têm probabilidade zero. A um acontecimento deste tipo chama-se acontecimento quase impossível. Por outras palavras, todas as vezes que se realizar a experiência aleatória correspondente observa-se um acontecimento quase impossível! Faz sentido? PE-MEEC 1S 09/10 123

17 4.1 (cont.) Sim, porque o que está em causa é a probabilidade do acontecimento formado por um único ponto mesmo que o dito ponto seja observado, isso não voltará a acontecer repetidamente (exactamente o mesmo ponto, note-se), logo a frequência relativa do acontecimento {X = x} aproxima-se inevitavelmente de zero P(X = x) = 0 (interpretação frequencista). Note-se que a situação é totalmente diferente com acontecimentos do tipo {x ε X x + ε}. Em geral, se x {contradomínio de X}, P (x ε X x + ε) > 0, ε>0 PE-MEEC 1S 09/10 124

18 4.1 (cont.) Sim, porque o que está em causa é a probabilidade do acontecimento formado por um único ponto mesmo que o dito ponto seja observado, isso não voltará a acontecer repetidamente (exactamente o mesmo ponto, note-se), logo a frequência relativa do acontecimento {X = x} aproxima-se inevitavelmente de zero P(X = x) = 0 (interpretação frequencista). Note-se que a situação é totalmente diferente com acontecimentos do tipo {x ε X x + ε}. Em geral, se x {contradomínio de X}, P (x ε X x + ε) > 0, ε>0 Outra consequência: para qualquer variável aleatória contínua P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) PE-MEEC 1S 09/10 124

19 4.1 (cont.) Exemplo: Uma experiência aleatória consiste em escolher, totalmente ao acaso, um ponto do intervalo [0,2]. Seja X a variável aleatória que representa a distância à origem. Qual será a f.d.p. de X? Calcular P(0.5 < X < 1.5). Resolução: PE-MEEC 1S 09/10 125

20 4.1 (cont.) Exemplo: Uma experiência aleatória consiste em escolher, totalmente ao acaso, um ponto do intervalo [0,2]. Seja X a variável aleatória que representa a distância à origem. Qual será a f.d.p. de X? Calcular P(0.5 < X < 1.5). Resolução: totalmente ao acaso segmentos [0,2] com o mesmo comprimento devem ter a mesma probabilidade f X (x) é constante em [0,2], ou seja f X (x) = { k, 0 x 2 0, c.c. k f X (x) 2 x PE-MEEC 1S 09/10 125

21 4.1 (cont.) k =? + f X (x)dx = dx k dx dx = 1 2 k = 1 k = 1 2 PE-MEEC 1S 09/10 126

22 4.1 (cont.) k =? + f X (x)dx = dx k dx dx = 1 2 k = 1 k = 1 2 P(0.5 < X < 1.5) = [ x ] dx = = PE-MEEC 1S 09/10 126

23 4.1 (cont.) k =? + f X (x)dx = dx k dx dx = 1 2 k = 1 k = 1 2 P(0.5 < X < 1.5) = [ x ] dx = = Graficamente: 1 2 f X (x) Área = x PE-MEEC 1S 09/10 126

24 4.1 (cont.) Observações: Geralmente não é fácil determinar f X (x), a não ser em casos como o anterior. Nesta fase vamos admitir que essa função é conhecida. Tal como se viu anteriormente (Cap. 3) uma descrição alternativa de uma v.a. é dada pela função de distribuição acumulada (ou, simplesmente, função de distribuição). PE-MEEC 1S 09/10 127

25 4.1 (cont.) Observações: Geralmente não é fácil determinar f X (x), a não ser em casos como o anterior. Nesta fase vamos admitir que essa função é conhecida. Tal como se viu anteriormente (Cap. 3) uma descrição alternativa de uma v.a. é dada pela função de distribuição acumulada (ou, simplesmente, função de distribuição). Definição: A função de distribuição (ou função de distribuição acumulada) de uma v.a. contínua, X, é F X (x) = P(X x) = x f X (u)du, com x R PE-MEEC 1S 09/10 127

26 4.1 (cont.) Exemplo (cont.): (número ao caso em [0,2]) cálculo de F X (x) x < 0 : F X (x) = 0 x 2 : F X (x) = x > 2 : F X (x) = x du = 0 0 du + 0 du + x [ u 2 du = du + x 2 ] x 0 = x 2 0 du = 1 PE-MEEC 1S 09/10 128

27 4.1 (cont.) Exemplo (cont.): (número ao caso em [0,2]) cálculo de F X (x) x < 0 : F X (x) = 0 x 2 : F X (x) = x > 2 : F X (x) = x du = 0 0 du + 0 du + x [ u 2 du = du + x 2 ] x 0 = x 2 0 du = 1 F X (x) 1 2 x PE-MEEC 1S 09/10 128

28 4.1 (cont.) Propriedades da função de distribuição de uma v.a. contínua 1. contínua 2. domínio = R 3. não decrescente: x 1 < x 2 F X (x 1 ) F X (x 2 ) 4. lim x F X (x) = 0 lim x + F X (x) = 1 5. contradomínio [0, 1] 6. como F X (x) = x f X (u) du conclui-se que f X (x) = d F X(x) dx 7. se a < b, P(a < X < b) = F X (b) F X (a) PE-MEEC 1S 09/10 129

29 4.2 Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis O valor esperado e a variância são definidos de forma semelhante ao que foi feito para o caso discreto (ver Secção 3.3), com as necessárias adaptações. 1 PE-MEEC 1S 09/10 130

30 4.2 Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis O valor esperado e a variância são definidos de forma semelhante ao que foi feito para o caso discreto (ver Secção 3.3), com as necessárias adaptações. 1 Definição: Seja X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade f X (x), < x < +, O valor esperado de X é A variância de X é E(X) = µ X = µ = + x f X (x)dx V (X) = σ 2 X = σ 2 = + (x µ X ) 2 f X (x)dx O desvio padrão de X é σ X = [V (X)] 1/2 1 somatórios integrais PE-MEEC 1S 09/10 130

31 4.2 (cont.) Notar ainda que E [h(x)] = + h(x) f X (x)dx PE-MEEC 1S 09/10 131

32 4.2 (cont.) Notar ainda que E [h(x)] = + h(x) f X (x)dx Mantêm-se as interpretações e as propriedades (Cap. 3) E (ax + b) = ae(x) + b, a,b R V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 V (ax + b) = a 2 V (X), a,b R PE-MEEC 1S 09/10 131

33 4.2 (cont.) Outros parâmetros de localização Moda: de uma v.a. contínua X é o valor, ou valores, onde a função densidade de probabilidade é máxima (m 0 ) m 0 : f X (m 0 ) = max x f X (x) Obs.: A moda pode não ser única. Podem ainda definir-se modas relativas (correspondentes a máximos relativos). PE-MEEC 1S 09/10 132

34 4.2 (cont.) Outros parâmetros de localização Moda: de uma v.a. contínua X é o valor, ou valores, onde a função densidade de probabilidade é máxima (m 0 ) m 0 : f X (m 0 ) = max x f X (x) Obs.: A moda pode não ser única. Podem ainda definir-se modas relativas (correspondentes a máximos relativos). Exemplo: f X (x) 2 3 m 0 = 1 3 x PE-MEEC 1S 09/10 132

35 4.2 (cont.) Mediana: de uma v.a. contínua X é um ponto central em termos de probabilidade, ou seja, tal que, P(X m e ) = P(X m e ) = 0.5 m e : P(X m e ) = P(X m e ) = 1 2 F X (m e ) = 1 2 esta equação tem sempre pelo menos uma solução. Se F X (x) for invertível em ]0,1[ então a solução é única e pode ser escrita como m e = F 1 X (1/2). PE-MEEC 1S 09/10 133

36 4.2 (cont.) Mediana: de uma v.a. contínua X é um ponto central em termos de probabilidade, ou seja, tal que, P(X m e ) = P(X m e ) = 0.5 m e : P(X m e ) = P(X m e ) = 1 2 F X (m e ) = 1 2 esta equação tem sempre pelo menos uma solução. Se F X (x) for invertível em ]0,1[ então a solução é única e pode ser escrita como m e = F 1 X (1/2). Exemplo: f X (x) 3 3 Exercício: (a) Escrever f X (x). (b) Mostrar que E(X) = 4/3 e verificar que m 0 > m e > E(X) (assimetria à direita). Área = 1 2 m e = x PE-MEEC 1S 09/10 133

37 4.2 (cont.) Quartis e outros que tais: 1. o quartil: q 1 : F X (q 1 ) = 1/4 ou q 1 = F 1 X (1/4) 3. o quartil: q 3 : F X (q 3 ) = 3/4 ou q 3 = F 1 X (3/4) Quantil de ordem α (com 0 < α < 1): x α : F X (x α ) = α ou x α = F 1 X (α) PE-MEEC 1S 09/10 134

38 4.2 (cont.) Quartis e outros que tais: 1. o quartil: q 1 : F X (q 1 ) = 1/4 ou q 1 = F 1 X (1/4) 3. o quartil: q 3 : F X (q 3 ) = 3/4 ou q 3 = F 1 X (3/4) Quantil de ordem α (com 0 < α < 1): x α : F X (x α ) = α ou x α = F 1 X (α) Graficamente: F X (x) 1 α x α 2 x PE-MEEC 1S 09/10 134

39 4.3 Distribuição uniforme contínua É a distribuição contínua mais simples. Um exemplo é a variável considerada anteriormente, relativa à escolha de um ponto ao acaso em [0,2]. PE-MEEC 1S 09/10 135

40 4.3 Distribuição uniforme contínua É a distribuição contínua mais simples. Um exemplo é a variável considerada anteriormente, relativa à escolha de um ponto ao acaso em [0,2]. Definição: Uma v.a. contínua tem distribuição uniforme contínua de parâmetros a e b, com a < b, se 1 f X (x) = b a, a x b 0, c.c. abreviadamente, X U nif(a, b) Tem-se ainda µ X = E(X) = a + b 2 (obviamente?) e σ 2 X = V (X) = (b a)2 12 PE-MEEC 1S 09/10 135

41 4.3 (cont.) Demonstração: (Completar!) E(X) = b a x b a dx = E(X 2 ) = b a x 2 b a dx = V (X) = No exemplo X Unif(0,2) com a = 0 e b = 2 vem E(X) = 1 (óbvio por simetria!) e V (X) = 1/3 PE-MEEC 1S 09/10 136

42 4.4 Distribuição normal Factos sobre a distribuição normal: A distribuição normal apareceu pela primeira vez (embora sem nome) num trabalho de De Moivre em 1733, como um limite da distribuição binomial quando n. Simular PE-MEEC 1S 09/10 137

43 4.4 Distribuição normal Factos sobre a distribuição normal: A distribuição normal apareceu pela primeira vez (embora sem nome) num trabalho de De Moivre em 1733, como um limite da distribuição binomial quando n. Simular n = 20 p = PE-MEEC 1S 09/10 137

44 4.4 Distribuição normal Factos sobre a distribuição normal: A distribuição normal apareceu pela primeira vez (embora sem nome) num trabalho de De Moivre em 1733, como um limite da distribuição binomial quando n. Simular n = 20 p = 0.45 n = 100 p = PE-MEEC 1S 09/10 137

45 4.4 Distribuição normal Factos sobre a distribuição normal: A distribuição normal apareceu pela primeira vez (embora sem nome) num trabalho de De Moivre em 1733, como um limite da distribuição binomial quando n. Simular n = 20 p = 0.45 n = 100 p = n = 200 p = PE-MEEC 1S 09/10 137

46 4.4 Distribuição normal Factos sobre a distribuição normal: A distribuição normal apareceu pela primeira vez (embora sem nome) num trabalho de De Moivre em 1733, como um limite da distribuição binomial quando n. Simular n = 20 p = 0.45 n = 100 p = n = 200 p = n = 500 p = PE-MEEC 1S 09/10 137

47 4.4 (cont.) O resultado de De Moivre (aproximação normal da distribuição binomial) permaneceu praticamente desconhecido durante os 80 anos seguintes, até que em 1812 Laplace o generalizou e publicou no livro Théorie analytique des probabilités (este resultado é conhecido como Teorema de De Moivre-Laplace). Independentemente, esta distribuição foi estudada por Gauss (1809) e utilizada para modelar erros de medição em astronomia. O termo distribuição normal (típica, habitual) só apareceu muito mais tarde (cerca de 1875). É também conhecida como distribuição Gaussiana, ou de Gauss, ou ainda de Laplace-Gauss. Verifica-se que é uma boa aproximação para muitos fenómenos naturais (físicos, biológicos, psicológicos...) e não só (económicos, sociais...). É de importância fundamental em estatística indutiva. PE-MEEC 1S 09/10 138

48 4.4 (cont.) Definição: Uma v.a. contínua tem distribuição normal de parâmetros µ, com µ R, e σ 2, com σ > 0, se f X (x) = f X (x;µ,σ) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R abreviadamente, X N(µ,σ 2 ) Tem-se ainda E(X) = µ (obviamente?) 2 e V (X) = σ 2 2 E(X) = + xf X(x; µ, σ)dx pode ser calculado recorrendo à transformação z = (x µ)/σ. Idem para E(X 2 ). PE-MEEC 1S 09/10 139

49 4.4 (cont.) Os gráficos de f X : PE-MEEC 1S 09/10 140

50 4.4 (cont.) Definição: Uma v.a. normal com µ = 0 e σ 2 = 1 é designada por normal reduzida (ou padrão, ou estandardizada), e é geralmente representada como Z N(0,1). PE-MEEC 1S 09/10 141

51 4.4 (cont.) Definição: Uma v.a. normal com µ = 0 e σ 2 = 1 é designada por normal reduzida (ou padrão, ou estandardizada), e é geralmente representada como Z N(0,1). Propriedade: Se X N(µ,σ 2 ) e Y = ax + b, em que a e b são constantes (a 0) então Y N(aµ + b,a 2 σ 2 ) PE-MEEC 1S 09/10 141

52 4.4 (cont.) Definição: Uma v.a. normal com µ = 0 e σ 2 = 1 é designada por normal reduzida (ou padrão, ou estandardizada), e é geralmente representada como Z N(0,1). Propriedade: Se X N(µ,σ 2 ) e Y = ax + b, em que a e b são constantes (a 0) então Y N(aµ + b,a 2 σ 2 ) Demonstração: o que se pretende mostrar é que [ ] 1 f Y (y) = 2πa 2 σ exp (y (aµ + b))2 2 2a 2 σ 2 PE-MEEC 1S 09/10 141

53 4.4 (cont.) O mais conveniente é começar por manipular as funções de distribuição e a seguir derivar para obter funções de densidade (o método é geral para obter a distribuição de uma v.a. que é função de outra com distribuição conhecida): F Y (y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P ( X y b ) a ( ) y b = F X a PE-MEEC 1S 09/10 142

54 4.4 (cont.) O mais conveniente é começar por manipular as funções de distribuição e a seguir derivar para obter funções de densidade (o método é geral para obter a distribuição de uma v.a. que é função de outra com distribuição conhecida): F Y (y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P ( X y b ) a ( ) y b = F X a logo f Y (y) = df Y (y) dy = d dy F X ( ) y b a = 1 a f X ( ) y b a PE-MEEC 1S 09/10 142

55 4.4 (cont.) O mais conveniente é começar por manipular as funções de distribuição e a seguir derivar para obter funções de densidade (o método é geral para obter a distribuição de uma v.a. que é função de outra com distribuição conhecida): F Y (y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P ( X y b ) a ( ) y b = F X a logo f Y (y) = df Y (y) dy agora é fácil verificar que 1 a = d dy F X [ 1 exp 2πσ 2 ( ) y b = 1 a a f X (y b a ] µ)2 2σ 2 ( ) y b a coincide com a expressão de f Y (y) do slide anterior. PE-MEEC 1S 09/10 142

56 4.4 (cont.) Ou seja, uma transformação linear de uma v.a. normal altera os parâmetros (obviamente de acordo com as regras que já conhecíamos) mas não altera o tipo de distribuição (questão: será que acontece o mesmo para as distribuições discretas e contínuas anteriores?). Assim, para muitos cálculos podemos usar apenas uma distribuição normal (escolhemos a mais simples: normal padrão). Qualquer variável aleatória normal pode ser transformada em normal padrão: Se X N(µ,σ 2 ) e Z = X µ σ então Z N(0,1) Justifique! PE-MEEC 1S 09/10 143

57 4.4 (cont.) Funções de distribuição: Z N(0,1): P(Z x) = x 1 e u2 /2 du 2π } {{ }? Φ(x) Como e u2 /2 não tem primitiva elementar, o valor do integral só pode ser obtido por métodos numéricos. X N(µ,σ 2 ): F X (x) = P(X x) = P ( X µ σ x µ ) σ = = P ( Z x µ ) σ ( ) x µ = Φ σ PE-MEEC 1S 09/10 144

58 4.4 (cont.) Os gráficos de F X : PE-MEEC 1S 09/10 145

59 4.4 (cont.) Cálculo de probabilidades: Programas em computador ou calculadora (não é necessário usar a normal padrão) Tabelas (é necessário usar a normal padrão) (ver). Resultado útil: Φ(x) = 1 Φ( x), x R PE-MEEC 1S 09/10 146

60 4.4 (cont.) Alguns valores de probabilidades (quaisquer que sejam µ e σ) µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ PE-MEEC 1S 09/10 147

61 4.4 (cont.) Cálculos: X N(µ,σ 2 ), µ,σ P(µ σ < X < µ + σ) = P ( µ σ µ σ < X µ σ < µ + σ µ ) σ = = Φ(1) Φ( 1) = = P(µ 2σ < X < µ + 2σ) = Φ(2) Φ( 2) = = P(µ 3σ < X < µ + 3σ) = Φ(3) Φ( 3) = = PE-MEEC 1S 09/10 148

62 4.4 (cont.) Exercício: A empresa ACME fabrica um tipo de lâmpada de xénon cuja duração média é de 300 dias, com um desvio padrão de 50 dias. O engenheiro responsável pelo departamento de qualidade acredita que a vida útil daquelas lâmpadas é normalmente distribuída. Para decidir qual a duração que deve ser anunciada como garantida, ele pretende calcular os seguintes valores: (a) (b) A probabilidade de uma lâmpada ter uma vida útil superior a um ano. O tempo de vida útil que é excedido por 95% daquelas lâmpadas. Vamos ajudá-lo? PE-MEEC 1S 09/10 149

63 4.4 (cont.) Exercício: A empresa ACME fabrica um tipo de lâmpada de xénon cuja duração média é de 300 dias, com um desvio padrão de 50 dias. O engenheiro responsável pelo departamento de qualidade acredita que a vida útil daquelas lâmpadas é normalmente distribuída. Para decidir qual a duração que deve ser anunciada como garantida, ele pretende calcular os seguintes valores: (a) (b) A probabilidade de uma lâmpada ter uma vida útil superior a um ano. O tempo de vida útil que é excedido por 95% daquelas lâmpadas. Vamos ajudá-lo? Soluções: e dias PE-MEEC 1S 09/10 149

64 4.5 Distribuição exponencial Exemplo: O call center de uma empresa de telecomunicações recebe em média 5 chamadas por hora, admitindo-se que as chamadas seguem um processo de Poisson. O gestor do call center está agora interessado em conhecer como varia o intervalo de tempo entre chamadas. Pretende nomeadamente saber: (a) A probabilidade daquele intervalo de tempo ser superior a 20 minutos. (b) O valor esperado, mediana e desvio padrão dos intervalos de tempo entre chamadas. PE-MEEC 1S 09/10 150

65 4.5 Distribuição exponencial Exemplo: O call center de uma empresa de telecomunicações recebe em média 5 chamadas por hora, admitindo-se que as chamadas seguem um processo de Poisson. O gestor do call center está agora interessado em conhecer como varia o intervalo de tempo entre chamadas. Pretende nomeadamente saber: (a) (b) A probabilidade daquele intervalo de tempo ser superior a 20 minutos. O valor esperado, mediana e desvio padrão dos intervalos de tempo entre chamadas. Resolução: Definição das variáveis aleatórias: X t - N. o de chamadas que chegam em t horas. X t Poisson(5t) T - Intervalo de tempo entre chamadas (em horas). T? Notar que T é uma v.a. contínua PE-MEEC 1S 09/10 150

66 4.5 (cont.) (a) o tempo que esperamos pela próxima chamada é superior a 20 minutos se e só se não houver chamadas nos próximos 20 minutos (20 minutos = 1/3 horas) (X 1/3 Poisson(5/3)) P ( T > 1 ) = P(X 3 1/3 = 0) = e 5/3 (5/3) 0 0! = e 5/ PE-MEEC 1S 09/10 151

67 4.5 (cont.) (a) o tempo que esperamos pela próxima chamada é superior a 20 minutos se e só se não houver chamadas nos próximos 20 minutos (20 minutos = 1/3 horas) (X 1/3 Poisson(5/3)) P ( T > 1 ) = P(X 3 1/3 = 0) = e 5/3 (5/3) 0 0! (b) Precisamos de t genérico (X t Poisson(5t)) = e 5/ P (T > t) = P(X t = 0) = e 5t (5t) 0 então F T (t) = P(T t) = 1 e 5t, t > 0 0! = e 5t e a função densidade de probabilidade é f T (t) = df T(t) dt = 5e 5t, t > 0 PE-MEEC 1S 09/10 151

68 Finalmente: E(T) = 4.5 (cont.) + 0 5te 5t dt = = 1/5 horas = 12 minutos PE-MEEC 1S 09/10 152

69 Finalmente: E(T) = E(T 2 ) = 4.5 (cont.) te 5t dt = = 1/5 horas = 12 minutos 5t 2 e 5t dt = = 2/25 horas 2 V (T) = 1/25 horas 2 σ T = 1/5 horas = 12 minutos PE-MEEC 1S 09/10 152

70 Finalmente: E(T) = E(T 2 ) = 4.5 (cont.) te 5t dt = = 1/5 horas = 12 minutos V (T) = 1/25 horas 2 σ T = 1/5 horas = 12 minutos 5t 2 e 5t dt = = 2/25 horas 2 m e : F T (m e ) = e 5m e = 0.5 m e = log(0.5)/ horas 8.3 min. PE-MEEC 1S 09/10 152

71 4.5 (cont.) Definição: A v.a. X que representa o intervalo de tempo até à próxima ocorrência (ou entre ocorrências sucessivas) de um processo de Poisson com taxa λ > 0 tem uma distribuição exponencial de parâmetro λ, com função de densidade de probabilidade dada por abreviadamente, X Exp(λ) Tem-se ainda f X (x) = f X (x;λ) = λe λx, x 0 µ X = E(X) = 1 λ (obviamente?) e σ2 X = V (X) = (1 λ 2 PE-MEEC 1S 09/10 153

72 4.5 (cont.) Definição: A v.a. X que representa o intervalo de tempo até à próxima ocorrência (ou entre ocorrências sucessivas) de um processo de Poisson com taxa λ > 0 tem uma distribuição exponencial de parâmetro λ, com função de densidade de probabilidade dada por abreviadamente, X Exp(λ) Tem-se ainda f X (x) = f X (x;λ) = λe λx, x 0 µ X = E(X) = 1 λ (obviamente?) e σ2 X = V (X) = (1 λ 2 Observação importante: funciona no sentido inverso, ou seja, se os intervalos de tempo entre ocorrências forem v.a. independentes e identicamente distribuídas Exp(λ) então o n. o de ocorrências em t unidades de tempo é Poisson(λt). PE-MEEC 1S 09/10 153

73 4.5 (cont.) Propriedade da falta de memória ou amnésia: Se X Exp(λ), λ > 0 P(X < t 1 + t 2 X > t 1 ) = P(X < t 2 ), t1 >0,t 2 >0 Demonstração: (exercício) PE-MEEC 1S 09/10 154

74 4.5 (cont.) Observações: O facto de esta distribuição não ter memória significa que não é indicada para modelar situações do tipo tempo de vida, em que há desgaste ou envelhecimento. A distribuição exponencial é a única distribuição contínua sem memória. Existe uma única distribuição discreta sem memória: é a distribuição geométrica. PE-MEEC 1S 09/10 155