PROBABILIDADE PGE950

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1 PROBABILIDADE PGE950 José J. C. Hernández DE - UFPE October 12, 2017 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

2 1 Introdução à Probabilidade 2 Variavel Aleatória 3 Vetores Aleatórios 4 Esperan a de Variaveis Aleatórias José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

3 Teoría da probabilidade fornece um modelo matemático dos fenômenos aleatórios, i.e., aqueles que envolvem incerteza. Associado aos modelos probabilisticos se tem dois conceitos importantes: 1 Experimento aleatorio 2 Espaço amostral José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

4 Experimento Aleatório Entendemos por experimento aleatório o fenômeno que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. Procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplo: O lançamento de um dado, lançamento de uma moeda, Preço de alguma ação na bolsa de valores na próximo quinta. Condições climáticas no próximo domingo. Taxa de inflação do próximo mês. Número de sinistros durante um contrato de seguros. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

5 Espaço Amostral A coleção de todos os possíveis resultados de um experimeto aleatório é denominada espaço amostral. Em todos os problemas estatísticos devemos inicialmente definir qual o espaço amostral ou a população alvo. Com ela, estarão relacionadas as quantidades de interesse. Exemplo: Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hábito de fumar: Ω = {fumante, não fumante} Tempo de duração de uma lâmpada: Ω = {t : t 0} Número de sinistros Ω = {0, 1, 2,... } José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

6 Para construir um modelo prbabilistico primeiro identificamos o conjunto Ω de todos os possiveis resultados de um experimentos aleatório. Esse conjunto é chamado de espaço amostral, e cada elemento w Ω é chamado de amostra. Embora o resultado não seja previsível antes do tempo, temos interesse na chance de um evento em particular acontecer na próxima vez. O conjunto de w s para o qual uma determinada declaração é válida é chamado de evento. Assim, eventos são simplesmente subconjuntos de Ω. Então identificamos uma classe F de eventos, i.e., uma classe F de subconjuntos de Ω (não necessariamente todos os subconjuntos de P(Ω), o conjunto potência de Ω), e uma função P sob F tal que para cada A F, P(A) representa a chance do evento A acontecer. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

7 Assim, é razoável impor a seguintes condições para F e P: 1.- A F A c F, i.e., se podemos disser que A acontece, então podemos disser quando o evento A não acontece. 2.- Se A 1, A 2 F então A 1 A 2 F. 3.- Para todo A F, 0 P(A) 1, P( ) = 0 y P(Ω) = Se A 1, A 2 F y A 1 A 2 =, então P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ). As condições acima, implicam que F é um álgebra e P é uma função de conjuntos finitamente aditiva. 5.- A n F e A n A n+1 para todo n = 1, 2...., então n 1 A n F, e P(A n ) P( n 1 A n ) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

8 Uma familia de conjuntos F com as condições (1), (2)e (5) é chamada de σ-álgebra.. Uma função de conjuntos P definida em uma σ-álgebra F com as condições (3)e (5) é chamado de medida de probabilidade 1. Um tripla (Ω, F, P) com as condições (1) (5) é chamado de espaço de probabilidade, em que F é o σ-álgebra dos eventos e P é a medida de probabilidade sob F com P(Ω) = 1. Este espaço é conhecido como modelo probabiĺıstico de Kolmogorov para fenômenos aleatórios (Kolmogorov, A. N. (1956), Foundations of the Theory of Probability, 2nd edn, Chelsea, New York). 1 Uma medida de probabilidade pode ser definida sob um álgebra e ser extendida a um σ-álgebra José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

9 A condição (5) é equivalente à 5.- Se {A n } é uma coleção enumerável de eventos disjuntos dois a dois de F, então P ( n 1 A n ) = n 1 P(A n ). Demonstração: (5) (5 ): Seja {A n } uma coleção enumerável de eventos disjuntos dois a dois de F. Definamos para todo n o conjunto B n = i>n A i. Note que i=1 A i = B n ( n i=1 A i), e que i n A i B n =. Então P( i=1a i ) = P(B n ) + n P(A i ). Note que B n+1 B n e que n=1 B n =, então P( i=1 A i) = lim n P(B n ) + n 1 P(A n). So resta provar que lim n P(B n ) = 0 (exercicio!) i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

10 (5 ) (5): Seja {A n } uma coleção enumerável de eventos de F tal que A n A n+1. Definamos para todo n o conjunto B 1 = A 1 e B n = A n A n 1, n 2. Note que n=1 A n = n=1 B n, e que {B n } é uma coleção enumerável de eventos disjuntos dois a dois. Então P( n=1 A n) = P(B n ) n=1 n = lim n P(B i ) i=1 = lim n P ( n i=1 B i) = lim n P(A n ) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

11 Exemplos Exemplo 1 (Espaço de probabilidade finito).- Seja Ω = {w 1,..., w n }, 1 n <. Seja F P(Ω) o conjunto potência de Ω, e P(A) = n p i 1 A (w i ), i=1 em que {p i } n i=1 é tal que n i=1 p i = 1. Uma importante aplicação é na amostragem de uma população finita. Seja {U 1,..., U N } uma população finita de N individuos ou objetos. Em um procedimento típico de levantamento de uma amostra escolhemos um subconjunto de tamanho n (1 n N) desta população. Seja Ω a coleção de todos os possiveis subconjuntos de tamanho n. Denotemos por K = ( N n). Neste exemplo, cada wi é uma possivel amostra de tamanho n e p i é a probabilidade de seleccionar a amostra w i. A escolhas dos {p i } é determinado por um esquema de amostragem dado. Por exemplo, em amostragem aleatória simples sem substituição, p i = 1 K, para todo i = 1, 2,..., K. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

12 Exemplo 2 (Filtro de café).- Vamos definir um modelo simples para um filtro de café. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

13 Exemplo 3.- Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e considere as classes de conjuntos F 1 = {, Ω, {1}}, F 2 = {, Ω, {1}, {2, 3, 4}}. Então, F 2 é um álgebra (e também um σ-álgebra), mas F 1 não é um álgebra dado que {1} c / F 1. Exemplo 4.- Seja Ω um conjunto não vazio, e denotemos por A o número de elementos do conjunto A Ω. Definamos F 3 = {A Ω : ou A é finito ou A c é finito}. Provar que F 3 é um álgebra. Se Ω = então F 3 não é um σ-álgebra. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

14 Definição: Seja C uma classe de subconjuntos de Ω. 1 O álgebra gerado por C, denotado por A(C), é definido como A(C) = F, F I(C) em que I(C) = {F : C F e F é um álgebra}. 2 O σ-álgebra gerado por C, denotado por σ(c), é definido como σ(c) = F, F I(C) em que I(C) = {F : C F e F é um σ-álgebra}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

15 Exemplo 5: Seja Ω = (0, 1]. Se I = (a, b] com 0 < a < b 1, definamos I = (a, b] = b a. Consideremos a classe de conjuntos da forma A = n i=1 I i, em que I i = (a i, b i ] e I i I j = para i j. 1 Provar que esta classe de conjuntos é fechada por uniões finitas. Denotemos por B 0 esta classe de conjuntos incluindo o vazio. Então B 0 é um álgebra. 2 Provar que B 0 não é um σ-álgebra. Observação: Denotemos por B = σ(b 0 ). B é dita a σ-álgebra de Borel, e B B é um Boreliano. É possivel demonstrar que B P(Ω), Ω = (0, 1] (Ver P. Billingsly: Probability and Measure. John Wiley (1986), pag 26). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

16 Propriedades de uma medida de probabilidade Teorema: Se P é uma medida de probabilidade sobre o σ-álgebra F, então P(A) = 1 P(A c ), para todo A F Seja A, B F. Se A B, então P(A) P(B). P(A B) min{p(a), P(B)} max{p(a), P(B)} P(A B). P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Seja {A n } n 1 F, então ( ) P A n Demonstração: n=1 P(A n ). n=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

17 Partição Dado um espaço amostral Ω, uma partição Π = {A α : α I} de Ω é uma coleção de eventos que satisfazem as seguintes condições: 1 Para todo α β, A α A β =, 2 α I A α = Ω. Teorema: Seja {A n } n 1 uma partição do espaço amostral Ω. Para todo evento B F temos P(B) = P(B A n ) Demonstração: n=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

18 Princípio da Inclusão-Exclusão Se os eventos A 1, A 2, A 3,..., A n não são disjuntos par-a-par, então como computamos ( n P A i )?. i=1 Teorema (H. Poincaré): Seja I um conjunto genérico de índices que é um subconjunto não-vazio qualquer de {1, 2,..., n}. Para eventos arbitrários {1, 2,..., n}, ( n ) ( ) P A i = ( 1) I +1 P A i, i=1 =I {1,2,...,n} em que o somatório é sobre todos os 2 n 1 conjuntos de índices excluíndo apenas o conjunto vazio. Demonstração: Usar indução matemática. i I José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

19 Independencia Definição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e {A 1,..., A n } uma coleção finita de eventos. 1 A 1..., A n são ditos independentes se P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ), para todo {i 1,..., i k } {1,..., n}. 2 A 1..., A n são ditos independentes dois a dois se para todo i, j, i j. P(A i A j ) = P(A i )P(A j ), Observação: Note que uma coleção finita de eventos {A 1,..., A n } pode ser independente respeito de uma pedida P mas pode não ser independente respeitos de outra P. Além disso independencia dois a dois não implica independencia. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

20 Definição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Uma coleção de eventos {A θ : θ Θ} F é dita de independente, se para cada subcoleção finita {θ 1..., θ k } Θ, 1 k < P(A θ1 A θk ) = P(A θ1 ) P(A θk ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

21 Definição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Uma coleção de eventos {A θ : θ Θ} F é dita de independente, se para cada subcoleção finita {θ 1..., θ k } Θ, 1 k < P(A θ1 A θk ) = P(A θ1 ) P(A θk ). Definição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e Θ um conjunto não vazio. Para cada θ Θ seja A θ F uma coleção de eventos. Então a familia {A θ : θ Θ} F é dita de independente, se para cada escolha A θ A θ temos que os eventos {A θ : θ Θ} são independentes. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

22 Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Se as classes A 1, A 2,..., A n são classes independentes, então podemos concluir que σ(a 1 ),..., σ(a n ) são independentes? Em geral a resposta é falsa. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

23 Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Se as classes A 1, A 2,..., A n são classes independentes, então podemos concluir que σ(a 1 ),..., σ(a n ) são independentes? Em geral a resposta é falsa. Definição: Uma classe P de subconjuntos de Ω é dito um π-sistema se for fechada por interseção finita, i.e., se A, B P então A B P. Definição: Uma classe L de subconjuntos de Ω é dito um λ-sistema se: 1 Ω L 2 Se A L, então A c L 3 Se A 1, A 2, L tal que A n A m =, n m, então n=1 A n L. Observação: Uma σ-álgebra é um λ-sistema. A recíproca não é verdade. Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e L = {, Ω, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}}. L é um λ-sistema, mas não é um σ-álgebra. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

24 Lema (Dynkin): Uma classe C de subconjuntos de Ω que é um π-sistema e um λ-sistema é um σ-álgebra. Demonstração: A classe C é um álgebra pois é um π-sistema e valem 1 e 2 do λ-sistema. Seja A 1, A 2, C, e definamos os conjuntos B n = A n A c n 1 Ac 1. Note que os B n são disjuntos, e que n 1 A n = n 1 B n. Portanto o resultado segue. Lema: Se P é um π-sistema e Z é um λ-sistema, então Demonstração: Exercicio! Se P Z σ(p) Z. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

25 Teorema: Seja P 1 e P 2 medidas em σ(p), em que P é um π-sistema. Se P 1 e P 2 coincidem em P, então coincidem em σ(p). Demonstração: Seja L = {A Ω : A σ(p) e P 1 (A) = P 2 (A)}. Note que Ω L. Se A L então P 1 (A c ) = 1 P 1 (A) = 1 P 2 (A) = P 2 (A c ). Isto é, L é uma classe fechada por complementação. Agora, seja {A n } n 1 L subconjuntos disjuntos, então P 1 ( n 1 A n ) = n 1 P 1 (A n ) = n 1 P 2 (A n ) = P 2 ( n 1 A n ). Assim, L é uma classe fechada por uniões enumeravies disjuntas, portanto L é um λ-sistema. Como P L, pelo lema anterior temos σ(p) L. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

26 Teorema: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Se as classes A 1, A 2,..., A n F são classes independentes e cada classe é um π-sistema, então σ(a 1 ),..., σ(a n ) são independentes. Demonstração: Denotemos por C i a classe A i com a inclusão de Ω, i.e., C i = A i {Ω}, para i = 1,..., n. Cada C i é um π-sistema e são classes independentes. Para C 2, C 3,..., C n eventos fixados em C 2, C 3,..., C n, respectivamente. Seja L a classe dos eventos C 1 em F que satisfazem a condição de independência. Note que L é um λ-sistema. Além disso, L contém o π-sistema C 1 e σ(c 1 ) = σ(a 1 ). Por el Lema de Dynkin temos que σ(a 1 ) L, então σ(a 1 ), C 2, C 3,..., C n são independentes. Repetindo o mesmos procedimento n vezes obtemos o resultado. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

27 Lemas de Borel-Cantelli Definição: Seja (Ω, F) um espaço mensuravel e {A n } n 1 uma sequência de conjuntos em F. Então lim sup A n = lima n = A n n n k lim inf n A n = lima n = k=1 A n n k k=1 Se os dois limites anteriores são iguais, escrevemos lim A n = lim inf A n = lim sup A n. n n n Dizer que A n tem limite A, denotado por A n A, significa que os limites lim inf n A n e lim sup n A n existem e são iguais a A. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

28 Proposição: Seja (Ω, F) um espaço mensuravel e {A n } n 1 uma sequência de conjuntos em F. Então lima n, lima n F e lima n = {w Ω : w A n para infinitos índices n} lima n = {w Ω : w A n para todo menos um número finito n s} Demonstração: Exemplo: Seja Ω = R e F = B(R). Seja { [ ] 0, 1 A n = [ n, para n ímpar 1 1 n, 1], para n par Então lima n = {0, 1} e lima n =. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

29 Teorema: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e {A n } n 1 uma sequência de eventos em F. Então 1 Se n 1 P(A n) <, então P(limA n ) = 0. 2 Se n 1 P(A n) = e {A n } n 1 independente, então P(limA n ) = 1. Demonstração: (1) lima n = ( ) k=1 n k A n n k A n para todo k. Portanto k P(limA n ) P(A n ) 0. (2) É suficiente provar que P( para todo n. n=k k=1 ( k=n Ac k )) = 0, ou P( k=n Ac k ) = 0 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

30 Exemplo: Escolhemos ao acaso um número x (0, 1). Qual a probabilidade que contenha infinitos 7 s na sua representação decimal? Seja x = a 1 a 2 a 3... a n..., e definamos o evento A n = {x (0, 1) : x = a 1... a n 1 7a n+1...}. Note que P(A n ) = 1 10, e que n 1 P(A n) =. Portanto, pelo Lema de Borel-Cantelli P(limA n ) = 1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

31 Teorema: Seja {A n } n 1 uma sequência de eventos. Então 1 P(lim inf n A n ) lim inf n P(A n ) lim sup n P(A n ) P(lim sup n A n ) 2 Se A n A, então P(A n ) P(A). Demonstração: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

32 Lei zero-um de Kolmogorov Definição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e {A n } n 1 uma sequência de eventos em F. Definimos τ = σ(a n, A n+1,... ), n=1 e dizemos que A é τ-mensuravel se A pertence a esta σ-álgebra caudal definida pela sequência {A n } n 1. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

33 Teorema: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e {A n } n 1 uma sequência de eventos independentes em F. Se A é τ-mensuravel, então P(A) = 0 ou P(A) = 1. Demonstração: Tenemos que os σ-álgebras σ(a 1 ),..., σ(a n 1 ),..., σ(a n, A n+1,... ) são independentes. Se A τ, então A σ(a n, A n+1,... ),e portanto A 1, A 2,..., A n 1, A são independentes, para todo n. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

34 Variáveis Aleatórias Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Uma função X : Ω R tal que para todo B B(R), X 1 (B) F é denominada uma variável aleatória sob (Ω, F, P) (R = [, ]). Experimento: jogar 1 dado duas vezes e observar o resultado (P = par e I= impar) Observação: Como os intervalos geram o σ-álgebra dos Borelianos, então é suficiente pedir que para todo x R, {w Ω : X (w) x} F. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

35 Teorema: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Toda variável aleatória X induze uma medida de probabilidade, denotada por µ X, sob (R, B(R)). Esta medida é definida por µ X (B) = P(X 1 (B)), B B(R) Demonstração: Só tem que demonstrar que µ X é uma medida de probabilidade. Observação: A medida µ X é chamada de distribição de probabilidades de X. Teorema: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e X uma v.a. Se f é uma função Borel mensuravel sob B(R), então f (X ) é uma v.a. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

36 Definição: 1 O σ-álgebra gerado por uma v.a. X, denotado por σ(x ), é definido σ(x ) = σ({x 1 (B) : B B(R)}). 2 O σ-álgebra σ({x i : i I }) gerado por uma familia de v.a. s {X i : i I } é definido como o menor σ-álgebra que contem todos os conjuntos da forma {X i B}, em que B é um boreliano e i I. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

37 Lema: Seja (Ω, F) um espaço mensuravel e X uma v.a. e seja B a σ-álgebra de Borel. Então X 1 (B) = {X 1 (B) : B B} é uma σ-álgebra. Demonstração: Só tem que verificar as propriedades de σ-álgebra. Seja B = {(, x] : x R}. Sabemos que B = σ(b ). Lema: X 1 (B) = σ(x 1 (B )). Demonstração: Pelo lema anterior X 1 (B) é uma σ-álgebra. Como B B, então σ(x 1 (B )) X 1 (B). Agora definamos a classe de conjuntos F = {B R : X 1 (B) σ(x 1 (B ))}. É fácil provar que F é uma σ-álgebra. Por definição, temos que X 1 (F) σ(x 1 (B ) e B F. Como F é uma σ-álgebra, B = σ(b ) F. Portanto X 1 (B) X 1 (F) σ(x 1 (B ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

38 Função de distribuição acumulada Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição acumulada de X é definida por F X (x) = P(X x) A função de distribuição acumulada F X satisfaz as seguintes propriedades: F 1. Monotonicidade. Se x y, então F X (x) F X (y). F 2. Continuidade à direita. Se x n x, então F X (x n ) F X (x). F 3. Se x n, então F X (x n ) 0. Se x n, então F X (x n ) 1. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

39 Teorema: Se F é uma função não decrecente, continua a direita com lim x F (x) = 0 e lim x F (x) = 1, então existe um espaço de probabilidade (Ω, F, P) e uma v.a. X tal que F (x) = P(X x). Demonstração: Seja (Ω, F, P) = ((0, 1), B, λ), onde λ é a medida de Lebesgue no intervalor (0, 1). Se w (0, 1), definamos a v.a. X (w) = sup{y : F (y) < w}. É suficiente provar que {w : X (w) x} = {w : w F (x)}, para todo x R. 1.- Seja w F (x), como x / {y : F (y) < w}, então X (w) x. 2.- Se w > F (x), pela continuidade pela temos: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

40 Teorema: Se F é uma função não decrecente, continua a direita com lim x F (x) = 0 e lim x F (x) = 1, então existe uma única medida de probabilidade µ sob (R, B), tal que Demonstração: µ((a, b]) = F (b) F (a). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

41 O próximo teorema indica que o conjunto de pontos de descontinuidade de uma função de distribuição F é enumerável. Teorema: Seja D o conjunto de pontos de descontinuidade da função de distribuição F. Então, D é enumerável. Demonstração: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

42 Tipos de Variável aleatória Definição: 1.- Se existe uma função Borel mensuravel f X : R R tal que para todo Boreleano B B(R) P(X B) = f X (x)dx, então dizemos que X é uma v.a. com distribuição absolutamente continua, e f X é chamada de densidade de X. 2.- Se existe uma sequência (finita ou infinita) de números reais distintos x 1, x 2,... tal que para todo Boreleano B B(R) P(X B) = x i B P(X = x i ), B então dizemos que X é uma v.a. com distribuição discreta, com valores x 1, x 2,... e peso P(X = x i ) em x i. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

43 3.- Uma v.a. X é dita singular se a função de distribuição é não nula e F é igual a zero quase certamente. Exemplo (Distribuição de Cantor): José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

44 Principais Distribuições de Probabilidade Seja X uma v.a. discreta. Uniforme discreta: Seja Ω = {1,..., n}, P(X = i) = 1 n. Bernoulli: Seja Ω = {0, 1}, P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. Binomial: Seja Ω = {1,..., n}, P(X = k) = ( n k) p k (1 p) n k. Geométrica: Seja Ω = {1,..., n,... }, P(X = k) = (1 β)β k. Binomial negativa ou Pascal: P(X = k) = ( n r 1) p r (1 p) n r+1. Hipergeométrica: P(X = k) = (D k)( N D n k ). ( N n) Poisson: Seja Ω = {1, 2,... }, P(X = k) = e λ λk k! José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

45 Principais Distribuições de Probabilidade Seja X uma v.a. continua. Uniforme continua: f X (x) = 1 b a. Exponencial: f X (x) = λe λx, x > 0. Qui-quadrado: f X (x) = 1 2 n/2 Γ(n/2) x n/2 1 e x/2, x > 0. Gama: f X (x) = βα Γ(α) x α 1 e βx, x > 0. Beta: f X (x) = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) x α 1 (1 x) β 1, x (0, 1). t-student: f X (x) = Γ((ν+1)/2) νπγ(ν/2) (1 + x 2 /ν) (ν+1)/2, x R. Pareto: f X (x) = αxα m x α+1, x > x m. Normal ou Gaussiana: f X (x) = 1 Cauchy: f X (x) = 1 π a x 2 +a 2 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

46 Vetores Aleatórios Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e n N. Uma função X : Ω R n tal que para todo B B(R n ), X 1 (B) F é denominada um vetor aleatório n-dimensional sob (Ω, F, P) (R n = [, ] n ). Observação: Seja X = (X 1,..., X n ) um vetor aleatório com coordenadas X i, i = 1, 2,..., n. Então cada X i é uma v.a. sob (Ω, F, P). Da mesma forma, se para cada 1 i n é uma v.a. sob (Ω, F, P), então X = (X 1,..., X n ) é um vetor aleatório. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

47 Função de distribuição acumulada para vetores aleatórios Seja X : Ω R n um vetor aleatório. A função de distribuição acumulada de X é definida por F X (x) = F X (x 1,..., x n ) = P(X 1 x 1,..., X n x n ), x R n F é também chamado de função de distribuição conjunta das v.a. s X 1,..., X n. Note que cada uma das v.a. X i estão definidas no mesmo espaço de probabilidade (Ω, F, P). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

48 A função de distribuição acumulada F X satisfaz as seguintes propriedades: F 1. Monotonicidade. A função de distribuição acumulada F X é não decrescente em cada uma das variáveis. Por exemplo Se x y, então F X (x, x 2,..., x n ) F X (y, x 2,..., x n ). F 2. Continuidade à direita em cada uma das variáveis. Se y n x 1, então F X (y n, x 2,..., x n ) F X (x 1, x 2,..., x n ), valendo o mesmo resultado para cada uma das variáveis. F 3. Para todo i = 1, 2,..., n, então lim F X (x 1,..., x n ) = 0. x i e lim F X (x 1,..., x n ) = 1. x i José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

49 Observação: Uma função que satisfaz F 1, F 2 e F 3 não é necessariamente uma função de distribuição de algum vetor aleatório X. Por exemplo: seja F 0 a seguinte função { 1, se x 0 e y 0 e x + y 1 F 0 (x, y) = 0, caso contrario mas note que que é uma contradição. Então temos que garantir a condição 0 P(0 < X 1, 0 < Y 1) = 1 F 4. P(a 1 < X 1 b 1,..., a n < X n b n ) 0, para todo intervalo I k = (a k, b k ], k = 1, 2,..., n. Uma função satisfazendo F 1, F 2, F 3 e F 4 é a função de distribuição de um vetor aleatório. (Breiman, Probability (1968)). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

50 Definição: Uma função F : R n R + que satisfaz as propriedades F 1, F 2, F 3 e F 4 é chamada função de distribuição n-dimensional. Definição: 1.- Seja X = (X 1,..., X n ) um vetor aletório. Se existe uma função Borel mensuravel f X : R n R + tal que F (x 1,..., x n ) = x1 xn f X (t 1,..., t n )dt 1 dt n, então dizemos que X é um vetor aleatório com distribuição absolutamente continua, e f X é chamada de densidade ou densidade conjunta de X. 2.- Se o vetor aletório X = (X 1,..., X n ) toma somente um número finito ou enumerável de valores, é chamado de vetor aleatório discreto. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

51 Teorema: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Todo vetor aleatório X : Ω R n induze uma medida de probabilidade, denotada por µ X, sob (R n, B(R n )). Esta medida é definida por µ X (B) = P(X 1 (B)), B B(R) Demonstração: Só tem que demonstrar que µ X é uma medida de probabilidade. Observação: A medida µ X é chamada de distribição de probabilidades de X. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

52 Independencia de variáveis aleatórias Definição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e seja {X α : α A} uma coleção de v.a. s definidas sob (Ω, F, P). Então a coleção {X α : α A} é chamada independente se a familia de σ-álgebras {σ(x α ) : α A} é independente, em que σ(x α ) = {X 1 (B) : B B(R)}. Note que a coleção {X α : α A} é independente se, e somente se para toda {α 1,..., α k } A, and B i B(R), I = 1, 2,..., k, 1 k <, temos k P(X α1 B α1,..., X αk B αk ) = P(X αi B αi ). i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

53 Proposição: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Seja A um conjunto não vazio. Seja G α F um π-sistema para cada α A. Se as classes {A α : α A} são independentes, então {σ(a α ) : α A} são também independentes. Corolario: Uma coleção de variaveis aleatórias {X α : α A} sob um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é independente se, e somente se para todo {α 1,..., α k } A e x 1,..., x k R a distribuição acumulada F α1,...,α k do vetor aleatório (X α1,..., X αk ) é dada por F α1,...,α k (x 1,..., x n ) = k P(X α1 x i ) = i=1 k F αi (x i ). Demonstração: Seja G α = {X 1 (, x] : x R}, α A. Aplicar proposição anterior. i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

54 Observação: Se a distribuição de (X α1,..., X αk ) é absolutamente continua, então independencia de {X α1,..., X αk } é equivalente a f α1,...,α k (x 1,..., x k ) = k f αi (x i ), onde f α1,...,α k é a densidade conjunta e f αi é a densidade marginal de X αi, i = 1,..., k. i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

55 Exemplo: Dizemos que o vetor aleatório (X, Y ) possui distribuição normal bivariada quando tem densidade dada por { [ ( ) 2 1 f (x, y) = exp 1 x µ1 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 2(1 ρ 2 ) σ 1 ( ) ( ) ( ) ]} 2 2ρ x µ1 y µ2 σ 1 σ 2 + y µ2 σ 2, onde σ 1, σ 2 > 0, 1 < ρ < 1, µ 1, µ 2 R. Note que se ρ = 0, então X e Y são independentes e X N(µ 1, σ 2 1 ), Y N(µ 2, σ 2 2 ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

56 Proposição: 1 Se F (x, y) é a distribuição conjunta de X e Y, então a função de distribuição de X é F X (x) = lim F (x, y). y F X assim obtida chama-se função de distribuição marginal de X. 2 Se f (x, y) é a densidade conjunta de X e Y, então X tem densidade dada por f X (x) = f (x, y)dy, f X assim obtida chama-se densidade marginal de X. Demonstração: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

57 Voltando ao exemplo da normal bivariada (X, Y ). Pode-se verificar que f X (x) = f (x, y)dy = 1 σ 1 2π exp { (x µ 1) 2 2σ 2 1 i.e., X N(µ 1, σ 2 1 ). Analogamente, temos que Y N(µ 2, σ 2 2 ). Observações: }, x R, A densidade não é única, podemos mudar f em um conjunto de medida nula e ainda ter uma densida da v.a. Se conhecemos a distribuição conjunta de (X, Y ) é possivel calcular as distribuições de X e Y. O contrario não é verdade em geral. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

58 Distribuições de funções de variáveis e vetores aleatórios Seja X = (X 1,..., X n ) um vetor aleatório em (Ω, F, P). Consideremos o problema de determinar a distribuição de Y = g(x 1,..., X n ), onde g : R n R n é uma fun c cao Borel mensuravel. Por exemplo: g(x 1,..., x n ) = x x n, g(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 /x 2 ). Pelo menos podemos afirmar que P(Y B) = P(X g 1 (B)) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

59 Mudança de Variavel Suponha que desejamos calcular a integral R f (x, y)dxdy usando novas variáveis u e v. Para tanto, precisamos escrever dxdy em termos de du e dv. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

60 Definição: Seja T : S R uma transformação, onde isto é, (x, y) = T (u, v) = (X (u, v), Y (u, v)), x = X (u, v) y = Y (u, v). El Jacobiano da transformação T é definida por X X (x, y) J(u, v) = (u, v) = u v = X u Y u Y v Y v X Y v u Teorema: Suponha que T seja uma transformaçõ de classe C 1 tal que T (S) = R. Suponha também que o Jacobiano de T seja não nulo no interior de S. Se f é contínua sobre S, então f (x, y)dxdy = f (X (u, v), Y (u, v)) J(u, v) dudv R S José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

61 Exemplo: Utilize a mudança de coordenadas x = u 2 v 2, y = 2uv para calcular a integral ydxdy, R em que R é a região delimitada pelo eixo x e pelas parábolas y 2 = 4 4x e y 2 = 4 + 4x, y 0. Solução: (0,1) T S (1,0) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

62 Note que f (x, y) = y e que x = u 2 v 2, y = 2uv, então (x, y) J(u, v) = (u, v) = 2u 2v 2v 2u = 4(u2 + v 2 ). Portanto temos R ydxdy = S 2uv J(u, v) dudv = uv J(u, v) dudv = uv4(u2 + v 2 )dudv = = 2. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

63 Voltando ao problema P(Y B) = P(X g 1 (B)). Seja X = (X 1, X 2 ) um vetor aleatório bidimensional com função de densidade conjunta f (x 1, x 2 ). Seja Y = (Y 1, Y 2 ) = g(x 1, X 2 ), então Y 1 = g 1 (X 1, X 2 ), Y 2 = g 2 (X 1, X 2 ). Vamos supor que as funções g 1, g 2 satisfazem as seguintes condições: 1 As equações y 1 = g 1 (x 1, x 2 ) e y 2 = g 2 (x 1, x 2 ) tem única solução dada por x 1 = h 1 (y 1, y 2 ) e x 2 = h 2 (y 1, y 2 ). 2 As funções g 1, g 2 tem derivadas parciais continuas em todo ponto (x 1, x 2 ) e o Jacobiano é diferente de zero, i.e., J(u, v) = g 1 u g 2 u g 1 v g 2 v = g 1 u g 2 v g 1 g 2 v u 0. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

64 P(Y B) = P(X g 1 (B)) = g 1 (B) f (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = B f (h 1(y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) = B f (h 1(y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) (y 1,y 2 ) (x 1,x 2 ) dy 1 dy 2 1 dy 1 dy 2 = B f (h 1(y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) J(x 1, x 2 ) 1 dy 1 dy 2 = B f (h 1(y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) J(h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) 1 dy 1 dy José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

65 Teorema da função inversa Teorema: Seja f : A R n R n uma função de classe C 1, i.e., derivadas parciais continuas. Suponha também que para a A o Jacobiano de Df (a) é inversível, i.e., Df (a) 0, em que f (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f n (x 1,..., x n )) e então f 1 f x 1 (a) 1 x n (a) Df (a) =..... f n f x 1 (a) n x n (a) Df 1 (b) = [Df (a)] José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

66 Portanto, a distribuição conjunta de Y 1 e Y 2 tem função densidade de probabilidade dada por f Y1,Y 2 (y 1, y 2 ) = f X1,X 2 (x 1, x 2 ) J(x 1, x 2 ) 1, onde x 1 = h 1 (y 1, y 2 ), x 2 = h 2 (y 1, y 2 ). Exemplo: Seja X e Y v.a. independentes gamma com parâmetro (α, λ) e (β, λ), respectivamente. Calcular a densidade de probabilidade conjunta de U = X + Y e V = X /(X + Y ). f X (x) = { λe λx (λx) α 1 Γ(α), x 0 0, x < 0 f Y (y) = { λe λy (λy) β 1 Γ(β), x 0 0, x < 0 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

67 Vetores Gaussianos Seja µ = (µ 1,..., µ n ) M 1,n (R) um vetor linha e Σ M n (R) uma matriz simétrica definida positiva. Um vetor aleatório Y = (Y 1,..., Y n ) é um vetor Gaussiano de média µ e matriz de covariância Σ se a função de densidade é dada por { 1 f Y (y 1,..., y n ) = (2π) n det(σ) exp 1 } 2 (y µ)σ 1 (y µ) T. Exemplo: Seja X 1,..., X n N(0, 1), então X = (X 1,..., X n ) é um vetor Gaussiano, com µ = (0,..., 0) e Σ = I n, matriz identidade de dimensão n. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

68 Seja Y = (Y 1,..., Y n ) um vetor Gaussiano de média µ = (µ 1,..., µ n ) e matriz de covariância Σ. Seja A M n (R) uma matriz inversível e b M 1,n (R) um vetor linha. Definimos o novo vetor aleatório Z = YA + b M 1,n (R) Lema: O vetor aleatório Z é um vetor Gaussiano. Somente temos que calcular f Z (z) = det(a) 1 f Y ((z b)a 1 ) e conferir que tem distribuição de uma Gaussiana. Lema: Todo vetor Gaussiano Z se pode escrever como Z = YA + µ, onde µ é a média do vetor Z, A é uma matriz inversível e X é um vetor de Gaussianas independentes. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

69 Exemplo: Seja X N(0, 1), e Y = ξx, onde ξ é uma v.a. que assume valores { 1, 1} com probabildiades 1/2. Sejam ξ, X v.a. independentes. 1 Provar que Y tem distribuição normal. 2 A distribuição conjunta de X e Y não é uma Gaussiana. 3 Mostrar que X e Y não são independentes. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

70 Esperança de Variáveis Aleatórias Um dos conceitos mais fundamentais da teoria da probabilidade e das estatísticas matemáticas é a esperança de uma variável aleatória. A esperança representa um valor central da variável aleatória. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória X : Ω R é chamada de variável aleatória simple se X assume apenas um número finito de valores. Toda variável aleatória simples se pode escrever X (w) = n a i 1 Ai (w), i=1 onde a i R, A i F e A 1,..., A n é uma partição de Ω. Oservação: Note que, se X = n i=1 a i1 Ai é uma variável aleatória simple, então σ(x ) = { i I A i : I {1, 2,..., n}}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

71 Propriedades: Denotemos por S o espaço de variáveis aleatórias simples. Temos as seguintes principais propriedades: 1 S é um espaço vetorial. 2 Se X, Y S, então XY S desde que XY = i,j a i b j 1 Ai B j 3 Se X, Y S, então X Y, X Y S. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

72 Noções de convergencia: Primeiro, lembre-se que um evento A acontece com probabilidade 1 se P(A) = 1, isto é P(A c ) = 0. Considere uma sequência de variáveis aleatórias X, X 1, X 2,..., todas definidas no espaço de probabilidade (Ω, F, P). Definição: A sequência {X n } converge ou converge pontualmente para X se lim n X n(w) = X (w), para todo w Ω. Exemplo: Seja ([0, 1], B, λ) e X n (x) = x3 n. Definição: A sequência {X n } converge quase certamente ou com q.c. probabilidade 1 para X, denotado por X n X, se P( lim n X n(w) = X (w)) = 1 Exemplo: Seja ([0, 1], B, λ). Modificar X n (x) = x3 n. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

73 O seguinte resultado mostra que qualquer variável aleatória X pode ser aproximada por v.a. simples. Teorema: Seja X 0 uma variável aleatória definida no espaço (Ω, F, P), então existe uma sequência de v.a. s simples {X n } S tal que 0 X n X. Demonstração: Definamos a v.a. n2 n ( ) k 1 X n = 1 { k 1 2 n X < k 2 n } + n1 {X n}. k=1 2 n Note que X n S para todo n 1. Também X n X n+1 e se X (w) < então para n grande X (w) X n (w) < 1 2 n. Se X (w) =, então X n (w) = n. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

74 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

75 Esperança ou valor medio Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e X : Ω R uma variável aleatória. Queremos definir a esperança de X, denotado por E(X ). Esperan a de funções simples: Seja X uma v.a. simple da forma X = n a i 1 Ai, i=1 onde a i <, e n i=1 A i = Ω. Definimos a esperança de X S como E(X ) = n a i P(A i ). i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

76 Exemplos: Toda variável aleatória finita X é simples. X Bernoulli(p) Lançar n vezes uma moeda e contar o número de caras. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

77 Propriedades: Damos as principais propriedades da esperança: 1. Se X 0, então E(X ) E(aX + by ) = ae(x ) + be(y ) 3. Se X Y, então E(X ) E(Y ) 4. E(X ) E( X ) 5. Se X e Y são independentes, então E(XY ) = E(X )E(Y ) 6. (E( XY )) 2 E(X 2 )E(Y 2 ) 7. Se X = 1 A, então E(X ) = P(A). Exemplos: Seja S n = X X n, onde os X i são i.i.d. e X 1 Bernoulli(p). Seja T n = Sn n. Calcule E(T n) e E((T n E(T n )) 2 ) para todo n N. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

78 8. Se X, X n S e X n X ou X n X, então lim n E(X n ) = E(lim n X n ). Demonstração: Suponha que X n 0, então provaremos que E(X n ) 0. Como X 1 S, então sup X 1 (w) = K <, w Ω Assim temos que 0 X n K, para todo n. Dado ɛ > 0, temos 0 X n = X n 1 {Xn>ɛ} + X n 1 {Xn ɛ} K1 {Xn>ɛ} + ɛ1 {Xn ɛ}, então 0 E(X n ) KP(X n > ɛ) + ɛ. Como X n 0, então {X n > ɛ}, e pela continuidade de P temos P(X n > ɛ) 0. Assim teriamos que lim sup E(X n ) ɛ, para todo ɛ > 0 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

79 Caso Geral: Agora ampliamos a definição da esperança além das funções simples. O programa é definir esperança para todas as variáveis aleatórias positivas e, em seguida, para todas as variáveis aleatórias integrais. O termo integrable será explicado mais tarde. É conveniente e útil supor que nossas variáveis aleatórias tomam valores na reta real estendida R. Na modelagem estocástica, por exemplo, muitas vezes lidamos com os tempos de espera para um evento acontecer ou tempos de retornar para um estado ou conjunto. Se o evento nunca ocorrer, é natural dizer que o tempo de espera é infinito. Se o processo nunca retornar a um estado ou conjunto, é natural dizer que o tempo de retorno é infinito. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

80 Seja S + o conjunto de variáveis aleatórias simples não negativas, e defina S + = {X 0 : X : (Ω, F) (R, R)}, o conjunto de variáveis aleatórias não negativas. Se X S + e P(X = ) > 0, definimos E(X ) =. Se X <, pelo teorema de aproximação podemos achar uma sequência de funções simples {X n } n 1 E +, tal que 0 X n X. A sequência {E(X n )} é não decrescente pela monoticidade da esperança de funções simples. Desde que o limite de sequências monotonas sempre existe, definimos a esperança de X como E(X ) = lim n E(X n). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

81 A seguinte proposição mostra que a definição de esperança está bem definida sob S +. Proposição:A esperança está bem definida sob S +, i.e., se {X n } e {Y n } são duas sequências de v.a. simples tal que X n X e Y n X, então lim E(X n) = lim E(Y n). n n Demonstração: Como min{x n, Y m } S +, m, então min{x n, Y m } Y m lim m E(min{X n, Y m }) lim m E(Y m), n. Como min{x n, Y m } X n, então lim m E(min{X n, Y m }) = E(X n ). Portanto lim E(X n) lim E(Y m). n m José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

82 Propriedades: Damos as principais propriedades da esperança de v.a. s não negativas: Seja X, Y S + 1. Se X 0, então E(X ) E(aX + by ) = ae(x ) + be(y ) 3. Se X Y, então E(X ) E(Y ) 4. E(X ) E( X ) 5. Se X e Y são independentes, então E(XY ) = E(X )E(Y ) 6. (E( XY )) 2 E(X 2 )E(Y 2 ) 7. Se X = 1 A, então E(X ) = P(A). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

83 8. Teorema da convergência monótona: Se X, X n S + e X n X ou X n X, então lim E(X n) = E( lim X n). n n Demonstração: Vamos supor que X n X. Como {X n } S +, para cada X n, existe {Y m (n) } m 1 tal que Y m (n) X n, m. Seja { } Z m = max Y m (n) S +. n m Note que Z m Z m+1, para todo m N. Se n m, temos 1 Y (n) m Y (m) m max 1 j m Y (j) m 2 Z m max 1 j m X j = X m Z m X m Tomando m temos que 3 Y (n) m Portanto, X = lim m Z m. = Z m X n = lim Y m (n) lim Z m lim X m = X. m m m José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

84 Como a esperança é monotona em S +, temos ( ) E(X n ) = lim m E pela definição Y (n) m lim m E(Z m ) por (3) lim m E(X m ) por (3) Como Z m S + para todo m e Z m X, pela definição de esperança temos ( ) E(X ) = E lim Z m = lim E(Z m). m m Portanto teriamos Tomando n temos finalmente E(X n ) E(X ) lim m E(X m). lim E(X n) E(X ) lim E(X m). n m José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

85 Exemplos: Seja o espaço de probabilidade (Ω, F, P) = ([0, 1], B[0, 1], λ), onde λ é a medida de Lebesgue no intervalo [0, 1]. Definamos X n = n 2 1 (0, 1 n). Note que para todo w [0, 1] temos que 1 1 (0, (w) 0, n. Então n) X n 0 em todo [0, 1] e E(lim n X n ) = E(0) =, mas Portanto E(X n ) = n 2 1 n = n +. 0 = E( lim n X n) lim n E(X n) = +. O teorema da convergência monótona falha porque X n 0 mas não de forma monótona, isto é, ou X n 0 ou X n 0. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

86 Agora se a v.a. X não for necessariamente positiva vamos definir a parte positiva e negativa e X : X + = max{x, 0} Note que: 1. X + 0 e X Se X 0, então X + = X. 3. Se X 0, então X = X. 4. X = X + + X. 5. X = X + X. X = max{ X, 0} José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

87 Definição: Dizemos que uma v.a. X é quase-integravel se uma das E(X + ), E(X ) é finito. Neste caso definimos E(X ) = E(X + ) E(X ). Se E(X + ) < e E(X ) <, X é chamada de integravel. Neste caso E X = E(X + ) + E(X ) <. O conjunto das v.a. s integraveis será denotado por L 1 (P), i.e., L 1 (P) = {X : Ω R : E X < }. Se E(X + ) < e E(X ) =, então E(X ) =. Se E(X + ) = + e E(X ) <, então E(X ) = +. Se E(X + ) = + e E(X ) =, então E(X ) não existe. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

88 Propriedades da esperança matemática: Damos as principais propriedades da esperança de v.a. s não negativas: Seja X, Y v.a. s 1. Se X é integravel, então P(X = ± ) = 0 2. Se E(X ) existe, então E(cX ) = ce(x ). 3. Se ou E(X + ) < e E(Y + ) < ou E(X ) < e E(Y ) <, então X + Y é quase-integrável e E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). 4. Se X, Y L 1 e X Y, então E(X ) E(Y ). 5. Seja {X n } uma sequência de v.a. tal que X n L 1 para algúm n. Se X n X, então E(X n ) E(X ). 6. Se X L 1, então E(X ) E X. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

89 7. Se {X 1,..., Xn} sa?o variáveis aleatórias independentes, então ( n ) n E X i = E(X i ). 8. (Desigualdade de Jensen) i=1 9. Se ou E(X + ) < e E(Y + ) < ou E(X ) < e E(Y ) <, então X + Y é quase-integrável e i=1 E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88

90 Variância, covariância e momentos Seja X uma v.a. tal que X 2 L 1, que se costuma denotar por X L 2. Definimos a variância de X como Var(X ) = E(X E(X )) 2 = E(X 2 ) (E(X )) 2. Definimos a covariância de X e Y em L 2 como Note que se X = Y, então Cov(X, Y ) = E[(X E(X ))(Y E(Y ))]. Cov(X, X ) = Var(X ). Se X e Y são independentes, então Cov(X, Y ) = 0. O contrario não é verdade (ver exercicio 37 da lista 1). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, / 88