Introdução em Probabilidade e Estatística II

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1 Introdução em Probabilidade e Estatística II Lista 4 Exercicio 1 Um praticante de tiro ao alvo vai comprar um lote muito grande de munição e o vendedor garante que a proporção de projéteis em bom estado é 0,90. No entanto, o comprador decide fazer uma experiência para testar a veracidade da armação. Ele decide não comprar o lote se numa amostra de 15 peças, obtiver menos do que 12 peças em bom estado. Nessas condições (a) Formule as hipóteses estatísticas H e A adequadas para o problema. Seja p a proporção de projéteis em bom estado. Em linguagem estatística, para saber se a proporção de projéteis em bom estado é a que fala o vendedor é preciso conduzir um teste de hipóteses para a proporção de projéteis em bom estado. Tamanho da amostra: n O estimador pontual para p, também denominado proporção amostral, é denido como ˆp = X n onde X : denota o número de projéteis em bom estado. que X Bin(n, p). n : denota o tamanho da amostra coletada. Note 1

2 Se consideramos uma amostra independente de 15 peças e denotamos por X o número de projéteis em bom estado, então X Bin(15, p) Hipóteses nula e alternativa: H: p = 0, 9 e A: p < 0, 9. H: A proporção de projéteis em bom estado é 0.9. A: A proporção de projéteis em bom estado é menor que 0.9. (b) Especique e interprete o erro do tipo I. Lembre-se: Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira. Erro II:Não rejeitar H quando H é falsa. Erro I: Aceitar que a proporção de projéteis em bom estado é menor que 0.9 quando na verdade é igual a 0.9. Erro II: Aceitar que a proporção de projéteis em bom estado é 0.9, quando na verdade é menor que 0.9. (c) Especique a região crítica e calcule o nível de signicância do teste.. A região crítica é RC = {0, 1, 2,..., 11}. Se a amostra de tamanho n = 15 tem menos do que 12 peças em bom estado o praticante de tiro não compra o lote, isto é, rejeita a hipotese H. 2

3 Nível de signicância: α α = P(Erro I) = P(Rejeitar H H é verdadeira) = P(X RC p = 0.9) = P(X = 0 p = 0.9) + + P(X = 11 p = 0.9) = 0, 055 = 5, 5%. (d) Se o número de peças em bom estado no lote for igual a 12, qual será a conclusão do comprador? Usando a regra de decisão do teste: como 12 / RC, então não rejeitamos H. (e) Calcule o nível de signicância se fosse utilizada a região crítica 10 ou menos peças em bom estado. A nova região crítica é RC = {0, 1, 2,..., 10}. Se a amostra de tamanho n = 15 tem menos do que 11 peças em bom estado o praticante de tiro não compra o lote, isto é, rejeita a hipotese H. Nível de signicância: α α = P(Erro I) = P(Rejeitar H H é verdadeira) = P(X RC p = 0.9) = P(X = 0 p = 0.9) + + P(X = 10 p = 0.9) = 0, 012 = 1, 2%. Exercicio 2 Sabe-se por experiências anteriores que o analgésico adotado em determinado hospital é ecaz em 70% dos casos. Um grupo de médicos chineses em visita a esse hospital arma que a utilização 3

4 da acupuntura produz melhores resultados. A direção do hospital resolve testar o método alternativo em 30 pacientes, com a nalidade de adotá-lo em denitivo se ele apresentar eciência satisfatória numa proporção de casos maior que a do anestésico atual. Seja p a probabilidade de que o método de acupuntura apresente a eciência satisfatória quando aplicado a um paciente. (a) Formule este problema como um problema de testes de hipóteses especicando as hipóteses nula e alternativa. Seja p a probabilidade de que o método de acupuntura apresente a eciência satisfatória quando aplicado a um paciente. Tamanho da amostra: n = 30 Hipóteses nula e alternativa: H: p = 0, 7 e A: p > 0, 7. H: A acupuntura não apresentou uma melhor eciência, isto é, p = 0.7. A: A acupuntura apresentou uma melhor eciência, isto é, p > 0.7. (b) Interprete os erros do tipo I e II. Lembre-se: Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira. Erro II:Não rejeitar H quando H é falsa. Erro I: Aceitar que a acupuntura apresentou uma melhor eciência quando na verdade se manteve igual a

5 Erro II: Aceitar que a acupuntura não apresentou uma melhor eciência, quando na verdade apresentou sim, isto é, aceitamos que p = 0.7 quando na verdade se tem p > 0.7. (c) Supondo que o critério para rejeitar H seja: número de pacientes, com resultado satisfatório, no mínimo 26, qual é a probabilidade do erro de tipo I? A região crítica é RC = {26,..., 30}. Nível de signicância: α α = P(Erro I) = P(Rejeitar H H é verdadeira) = P(X ( 26 p = 0.7) ) ˆp p = P 1, 992 p = 0.7 p(1 p)/n = P(Z 1, 992) 0, 0233 = 2, 33% (d) Se 24 entre os 30 pacientes tratados com acupuntura apresentarem resultado satisfatório, qual é a sua conclusão? Usando a regra de decisão do teste: como 24 / RC, então não rejeitamos H, isto é, aceitamos que a acupuntura não apresentam resultados satisfatório. (e) Suponha que o método de acupuntura seja, na verdade, ecaz em 85% dos casos. Qual é a probabilidade de que o hospital deixe de adotá-lo? (use o critério do item (c)). 5

6 P(Rejeit. a acup.) = P(X ( 25 p = 0.85) ) ˆp p = P 2, 26 p = 0.7 p(1 p)/n = P(Z 2, 26) 0, = 1, 191% Exercicio 3 Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de um litro. Espera-se ainda que a proporção de garrafas com volume superior a um litro seja igual a 0,5. Para testar a validade dessa última condição, foi analisada uma amostra de 40 garrafas. Sendo p a proporção de garrafas com volume superior a um litro e considerando as hipóteses H: p = 0, 5 e A: p 0, 5. (a) Quais são os signicados práticos dos erros do tipo I e tipo II para esse problema? Lembre-se: Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira. Erro II:Não rejeitar H quando H é falsa. Erro I: Aceitar que a proporção de garrafas com volume superior a um litro é diferente a 0, 5 quando na verdade é 0.5. Erro II: Aceitar que a proporção de garrafas com volume superior a um litro é igual a 0, 5, quando na verdade é diferente a

7 (b) Determine a região crítica que corresponde a um erro do tipo I de 0,10. Queremos achar k 1, k 2 tal que 0.10 = P({X k 1 } {X k 2 } p = 0.5). Usando a aproximação pela normal, procuramos k 1 e k 2 de modo que 0.10 = P({Z z} {Z z}), onde Z N(0, 1) e Z = n(ˆp p). Usando a tabela temos que p(1 p) z = 1, 65, assim k 1 = (0, 5 1, 65 0, 5 40 )40 = 14, 78 e k 2 = (0, 5 + 1, 65 0, 5 40 )40 = 25, 22. Portanto a região crítica é RC = {0,..., 15} {25,..., 40} (c) Na amostra de 40 garrafas foram observadas 25 com volume superior a um litro. Com base nesse resultado, qual é a conclusão a um nível de signicância de 0,10? Como 25 RC, rejeitamos H, isto é, p 0, 5. Exercicio 4 O coordenador de um curso preparatório para certo exame garante que aprova pelo menos 70% de seus alunos. Para vericar essa armação, um grupo de candidatos ao exame observa uma amostra de 25 participantes do curso. 7

8 (a) Formule o problema como um teste de hipóteses. Seja p a proporção de alunos que aprovam o curso preparatório. Tamanho da amostra: n = 25 Hipóteses nula e alternativa: H: p = 0, 7 e A: p < 0, 7. H: Pelo menos 70% dos alunos aprovam o curso preparatório, isto é, p = 0.7. A: Menos de 70% dos alunos aprovam o curso preparatório, isto é, p < 0.7. (b) Construa a região crítica do teste ao nível de signicância de 0,02. Queremos achar k tal que 0.02 = P(X k p = 0.7). Usando a tabela binomial temos que P(X 12 p = 0.7) = 0, 0175 e P(X 13 p = 0.7) = 0, Portanto k = 12. Usando aproximação pela normal temos que k = ( ) 0, 7 0, 3 0, 7 2, = 12, Portanto a região crítica é RC = {0, 1,..., 12} (c) Se o grupo de candidatos observou 15 aprovados dentre os 25 participantes, com base na região crítica do item (b), como deve avaliar a armação do coordenador? 8

9 Como 15 / RC então não rejeitamos a hipótese H, isto é, há evidencia que a proporção de alunos que aprovam o curso preparatório é pelos menos 70%. (d) Se um segundo grupo de candidatos resolve discordar do coordenador se o número observado de aprovados for 13 ou menos, especique a região crítica e calcule o nível de signicância utilizado. A nova região crítica é RC = {0, 1,..., 13}. O nivel de signicância utilizado é α = P(X 13 p = 0.7) = 0, 0442 = 4, 42%. 9