Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de abril de 2018 Londrina

Transcrição

1 Análise Combinatória Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de abril de 2018 Londrina 1 / 11

2 Análise Combinatória A Análise Combinatória é a parte da Matemática em que se estuda as técnicas de contagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. São basicamente dois tipos de agrupamentos: um que se leva em conta a ordem dos elementos; outro em que a ordem dos elementos é irrelevante. 2 / 11

3 Definição Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m maneiras e, para cada uma destas, a segunda pode ser realizada de n maneiras, então, o número de maneiras de se realizar a ação é m n. Exemplo 1 Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, pede-se: a) quantos números naturais de três algarismos podem ser escritos? b) quantos números naturais de três algarismos diferentes podem ser escritos? 3 / 11

4 Análise Combinatória Definição Denomina-se permutação de n elementos dados a toda sucessão de n termos formada com os n elementos dados. Duas permutações dos mesmos objetos são diferentes se a ordem dos objetos numa delas é diferente da ordem em que os objetos estão colocados na outra. Exemplo 2 Forme todas as permutações dos algarismos 1, 2 e 3. 4 / 11

5 Elementos distintos O número de permutações de n elementos distintos é dado por: P n = n! Exemplo 3 Quantos são os anagramas da palavra BRASIL? 5 / 11

6 Elementos repetidos Quando se tem n elementos, dos quais se têm n 1 repetições de um tipo, n 2 repetições de outro tipo, n 3 repetições de outro tipo e assim por diante, o número de permutações que se pode formar é dado por: P n 1,n 2,...,n 3 n = n! n 1!n 2!... n k!, (n 1 + n 2 + n n k = n) Exemplo 4 Quantos são os anagramas da palavra ELEGER? 6 / 11

7 Análise Combinatória Definição Denominam-se arranjos de n elementos distintos tomados k a k às sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos importa a ordem na contagem dos elementos. Exemplo 5 Formar os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 tomados 2 a 2. 7 / 11

8 Pelo princípio fundamental da contagem, conclui-se que a quantidade de arranjos que podem ser formados são: A n,k = n! (n k)! Exemplo 6 a) Calcule A 5,2 e A 8,5. b) Serão eleitas duas pessoas para representarem os alunos do curso Ciências Econômicas. Uma será o representante principal e a outra será suplente. Dez alunos estão interessados. Quantos são os possíveis resultados da eleição. 8 / 11

9 Análise Combinatória Definição Denominam-se combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos, a ordem do agrupamento na contagem não importa. Exemplo 7 Formar as combinações dos algarismos 1, 3 e 5 tomados 2 a 2. 9 / 11

10 Temos que o número de combinações é igual ao número de arranjos dividido por k!, assim: C n,k = n! k!(n k)! Exemplo 8 a) Quantas são as combinações de 6 elementos tomados 2 a 2? b) Numa festa compareceram 36 pessoas. Se cada uma delas cumprimentou todas as outras ao chegar, quantos cumprimentos foram realizados? 10 / 11

11 1 Uma moeda será lançada 6 vezes e a cada vez será anotado o resultado obtido, cara ou coroa, formando assim uma sequência de 6 resultados. Quantas sequências diferentes podem ser formadas? 2 Qual número de maneiras em que um comitê de quatro pessoas pode ser selecionado dentre os 45 membros de um diretório acadêmico? 3 Quantas placas de licença de automóveis podem ser formadas por 3 letras e 4 algarismos sendo as letras apenas vogais e sendo os algarismos distintos? 4 Se um grupo de teatro de uma escola quer apresentar quatro de dez peças de meia hora de duração numa noite entre as 20 e as 22 horas, de quantas maneiras pode ser arranjada a programação? 5 Quantas maneiras há de escolher cinco dentre 36 declarações de imposto de renda para a malha fina? 11 / 11