Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 2000 a Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 200 a Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 200.

2 Princípio Fundamental da Contagem A análise combinatória é a parte da Matemática que nos auxilia a resolver problemas que envolvem contagens. Vamos iniciar estudando o Princípio Fundamental da Contagem, que é composto pelo Princípio Aditivo e pelo Princípio Multiplicativo. Princípio aditivo Suponha que você, em uma loja de departamentos, queira comprar uma televisão ou um telefone celular, somente um deles. Se existem 4 opções de modelos de televisão e opções de modelo de celular que lhe interessam de quantas maneiras você poderia fazer sua escolha? Observe que cada uma das escolhas é exclusiva, de modo que a escolha de uma das televisões ou um dos celulares exclui as demais. Televisão ou Celular Logo, existem sete maneiras possíveis de a escolha ser realizada. Nesse exemplo, fez-se uso do princípio aditivo. Veja o conceito: Considerando que um evento pode ocorrer de acordo com duas decisões exclusivas. Se a primeira pode ocorrer de m maneiras e a segunda de n maneiras, então existem m+n maneiras de ocorrer o evento. Conclusão: Adicionamos as quantidades de escolhas quando estamos diante de opções excludentes de modo que uma mudança de escolha está associada a uma nova hipótese de escolha. 169

3 Princípio multiplicativo Suponha agora que você queira comprar uma televisão e um telefone celular. Se existem 4 opções de modelos de televisão que lhe interessam e opções de modelo de celular, de quantas maneiras você poderia fazer sua escolha? Observe que, nesse caso, é necessário escolher uma das televisões e um dos telefones. Se existem 4 modelos de televisão e, para cada uma das televisões escolhidas, pode-se escolher três modelos de telefone celular, então o número de maneiras de fazer a escolha é igual ao produto da quantidade de modelos de televisão pela quantidade de modelos de telefone celular: Televisão e Celular Portanto, existem 12 maneiras possíveis de a compra ser realizada. Aqui, fez-se uso do princípio multiplicativo. Veja o conceito: Considere que um evento pode ocorrer de acordo com duas decisões sucessivas. Se a primeira pode ocorrer de m maneiras e, para cada uma delas, existem n maneiras de ocorrer a segunda, então existem m.n maneiras de ocorrer o evento. Conclusão: Multiplicamos as quantidades de escolhas quando estamos diante de opções em que, uma vez realizada uma delas, a outra não é excludente e pode variar de modo que o conjunto das decisões dependa de cada decisão tomada. Fatorial O fatorial de um número natural é uma operação matemática extremamente útil para resolver problemas que envolvam contagens. Para compreendê-la, considere a seguinte situação: Um aluno possui seis aulas em um mesmo dia, cada uma de uma discipli- 170

4 na diferente: português, matemática, biologia, física, química e história. De quantas maneiras é possível se estabelecer a ordem em que as aulas ocorrerão no dia? A resposta depende do número de escolhas que é possível fazer para cada horário. A primeira aula pode ser escolhida de 6 maneiras possíveis, pois existem exatamente 6 diferentes disciplinas. Uma vez escolhida a primeira disciplina, não importa, a segunda aula pode ser escolhida de 5 maneiras, pois a primeira aula já foi escolhida. Escolhidas as duas primeiras aulas, existem 4 opções de escolha para a terceira aula. Escolhidas as três primeiras aulas, existem opções de escolha para a quarta aula. Escolhidas as quatro primeiras aulas, existem 2 opções de escolha para a quinta aula. Escolhidas as cinco primeiras aulas, existe uma única opção de escolha para a sexta aula. Pelo princípio multiplicativo, a quantidade total e maneiras de se estabelecer a ordem das 6 disciplinas é dada por: Vamos representar esse último produto, composto por seis fatores da seguinte maneira: 6! A expressão 6! pode ser lida seis fatorial ou fatorial de 6. Exemplos: 5! ! De uma forma geral, sendo n um número natural tal que n 2, define-se o fatorial de n e representa-se por n! ao número dado por: n! n. (n 1). (n 2). (n ). (...) Para que todos os problemas de análise combinatória possam ser resolvidos, define-se que: 0! 1 e 1! 1 171

5 Permutações Permutações simples Permutação simples de n elementos distintos é qualquer sequência quando dispomos esses n elementos distintos em uma determinada ordem. Para calcular o número de permutações simples de n elementos, podemos utilizar o mesmo raciocínio estabelecido quando definimos o fatorial de um número natural n. Vamos raciocinar da seguinte maneira: Se n pessoas estão em uma fila, de quantas maneiras a fila pode ser ordenada? Para a primeira pessoa existem n escolhas. Escolhida a primeira pessoa, existem (n 1) escolhas para a segunda pessoa. Escolhidas as duas primeiras pessoas, existem (n 2) escolhas para a terceira pessoa. Escolhidas as três primeiras pessoas, existem (n ) escolhas para a quarta. Se assim continuássemos, é possível perceber que restariam escolhas para a antepenúltima pessoa, 2 escolhas para a penúltima e 1 escolha para a última. Utilizando o princípio multiplicativo, o número total de maneiras de ordenarmos n pessoas em uma fila é dado por: n. (n 1). (n 2). (n ). (...) Portanto, o número de permutações simples de n elementos distintos, representado por P n, é dado por: Exemplo: P n n. (n 1). (n 2). (n ). (...) Quantos anagramas possui a palavra ESTUDAR? Um anagrama da palavra ESTUDAR é qualquer sequência constituída por todas as letras da própria palavra ESTUDAR, dispostas em qualquer ordem. Como a palavra ESTUDAR é composta de 7 letras distintas, a quantidade de anagramas é dada por: 172

6 P 7 7! P P Permutações com repetição Quando calculamos o número de permutações de um determinado conjunto de elementos, é importante identificar se há ou não repetição de algum deles. Quando houver repetição, a permutação não é chamada de permutação simples, mas, sim, permutação com repetição de elementos. Por exemplo, qual é o número de anagramas da palavra BATATA? Observe que na sequência dessas seis letras, existem três iguais a A e duas iguais a T. Poderíamos pensar em permutar as 6 letras, o que nos originaria 6! anagramas. Essa seria a quantidade total de anagramas, caso não houvesse repetição de letras. Entretanto, nesses 6! anagramas, pela repetição de A, teríamos contado o mesmo anagrama exatamente! vezes e, pela repetição de T, outras 2! vezes. a quantidade de anagramas possí-, 2 Dessa forma, representando por P 6 veis com as letras repetidas, temos: P, 2 6 6!!. 2! P, !! P, Assim, a palavra BATATA possui 60 anagramas. 17

7 Raciocinando de forma genérica, a quantidade de permutações de n elementos, dos quais um deles é repetido α vezes, outro é repetido β vezes, outro γ vezes etc. é dada por: P n a!. b!. g!! abg,, n Observação: Utilizamos o conceito de permutação quando desejamos ordenar elementos. Combinações simples O que é uma combinação simples? Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação simples desses n elementos, tomados p a p, n > p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos formado com os n elementos dados. Por se tratar de escolher elementos para formar subconjuntos, a definição anterior explica que: A ordem dos elementos escolhidos não é importante: o agrupamento {A, B} é igual ao agrupamento {B, A}. Os elementos escolhidos devem ser distintos: não é possível se formar o agrupamento {A, A}. A natureza dos elementos escolhidos é importante: os agrupamentos {A, B} e {A, C} são distintos, mesmo que ambos tenham o mesmo elemento A. Exemplo: Considerando um universo de 5 pessoas, de quantas maneiras é possível se formar uma comissão composta por exatamente pessoas? Representando as pessoas por A, B, C, D e E, as escolhas são as seguintes: 174

8 ABC BCD CDE ABD BCE ABE BDE ACD ACE ADE No total, existem 10 escolhas de três pessoas entre os cinco. Análise combinatória Pode-se dizer, então, que 10 é a quantidade de combinações simples de 5 elementos (5 pessoas disponíveis) tomados a ( pessoas escolhidas). Tal relação pode ser representada por: C 5 10 O número total de escolhas pode ser calculado da seguinte maneira: Como existem 5 pessoas, para a 1.ª pessoa existem 5 escolhas; para a 2.ª pessoa existem 4 escolhas e, para o.ª pessoa, existem escolhas. Logo, utilizando o princípio multiplicativo, para as três pessoas existem: escolhas Entretanto, as escolhas das mesmas três pessoas são iguais, ou seja: ABC ACB BAC BCA CAB CBA correspondem às mesmas escolhas. Essas! 6 escolhas foram consideradas distintas no cálculo das 60 escolhas, de modo que 6 escolhas consideradas no cálculo das 60 escolhas correspondem a apenas uma escolha. Dessa forma, como é possível ordenar as três pessoas de! maneiras e, cada uma dessas maneiras encontra-se repetida no cálculo anterior, devemos dividir o resultado por!: 5. 4.! Para generalizar esse raciocínio, observe o que ocorre quando se divide numerador e denominador da fração por 2!: 175

9 C !!. 2! C 5 5!!. 5-! ( ) Dados 5 elementos distintos, essa última expressão permite calcular a quantidade de escolhas (subconjuntos) de elementos distintos entre os 5 elementos dados. Se n e p são números naturais tais que n > p, então a quantidade de escolhas de p elementos distintos entre n elementos distintos é dada por: C p n n! p!( n-p)! Observação: Pode-se representar a quantidade de combinações simples de n elementos tomados p a p por Cn ou Cnp,. No caso de n < p, define-se C p n p 0, pois não há maneira alguma de escolher mais elementos distintos do que os elementos disponíveis. Exemplo: De quantas maneiras é possível escolher elementos distintos entre 10 elementos distintos dados? C 10 C 10 10!!. 10-! ( ) ! ! C Logo, existem 120 maneiras de se escolher elementos distintos entre 10 elementos distintos dados. 176

10 Arranjos simples No tópico anterior, identificamos que as combinações simples são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos não diferencia um agrupamento de outro. Nos arranjos simples, a ordem dos elementos vai diferenciar um agrupamento de outro. Exemplo: Dado um conjunto formado por 5 pessoas, de quantas maneiras podemos escolher delas para formar uma comissão e definir que uma delas terá o cargo de presidente, outra de vice-presidente e outra de secretária? Para escolher pessoas entre as 5 disponíveis, existem C 5 maneiras. Existem P maneiras de se definir o presidente, o vice e o secretário, uma vez escolhidas as pessoas que terão esses cargos. Logo, para escolher as pessoas e definir os cargos, existem: C P escolhas 21.. Essa é a diferença entre os agrupamentos que são combinações simples dos que são arranjos simples. Para se obter a quantidade de arranjos, devese escolher os elementos distintos e, em seguida, ordená-los. De um modo geral, dado um conjunto com n elementos distintos, chama- -se arranjo simples desses n elementos tomados p a p, a qualquer sequência de p elementos formada com os n elementos. Assim, sendo n e p números naturais tais que n > p, a quantidade de arranjos simples, representada por An ouanp, p é dada por: p p A C. P n n p A p n n! p p!( n-p)!.! A p n n! ( n - p)! 177

11 Exemplo: Dados os algarismos 2,, 4, 5, 6, 7 e 8, deseja-se formar um número formado por 4 algarismos distintos. Quantos números podem ser formados com os algarismos disponíveis? Observe que para formar um número, é necessário escolher 4 algarismos e, em seguida, definir a ordem em que serão utilizados no número formado. Dessa forma, como são 7 algarismos, a quantidade de números é dada por: A 4 7 A A ! 7-4! ( ) !! A Logo, existem 840 números de 4 algarismos distintos formados a partir dos algarismos 2,, 4, 5, 6, 7 e 8. Resolução de questões 1. (Esaf) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80. b) 72. c) 90. d) 18. e)

12 2. (Esaf) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de 15 formandos, onde 10 são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: a) b) 252. c) 284. d) 90. e) 84.. (Esaf) Para entrar na sala da diretora de uma empresa, é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por três algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é: a) b) c) 720. d) 120. e) (FCC) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou? a) 224. b) 210. c) 168. d) 144. e)

13 5. (Esaf) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expôlos em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a a) 20. b) 0. c) 24. d) 120. e) (Esaf) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma sequência de cinco símbolos distintos, formados de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115. b) 120. c) 150. d) 200. e) (Esaf) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2. b) 4. c) 24. d) 48. e)

14 8. (Esaf) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com os vértices em qualquer dos 25 pontos é igual a: a) b) c) d) e) (Esaf) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por três supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com um supervisor e quatro técnicos. Quantas equipes diferentes podem ser escaladas? a) b) 780. c) 840. d) 60. e) (Esaf) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado a Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) b) c) d) e)

15 Dica de estudo Em análise combinatória, existem duas ferramentas básicas de contagem: a atitude de ordenar, correspondendo ao que chamamos de permutação; e o procedimento intuitivo de escolher, correspondendo ao que denominamos combinação. Quando essas duas atitudes são reunidas, ou seja, quando devemos escolher e ordenar elementos distintos, estamos empregando o conceito de arranjos simples. Com base nessas ideias, pratique muitos exercícios para adquirir agilidade nos processos de contagem. Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.) LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 2. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Gabarito 1. Vamos analisar inicialmente as opções para Pedro e Paulo se não houvesse qualquer tipo de restrição. Pedro, por exemplo, tem 10 lugares para sentar. Uma vez escolhido o lugar de Pedro, existem 9 opções para Paulo. Logo, existem opções de escolha. Entretanto, como deve haver ao menos uma cadeira vazia entre eles, vamos encontrar a quantidade de maneiras em que eles ficariam juntos. Podemos colocar Pedro na primeira cadeira à esquerda e Paulo na cadeira imediatamente à direita de Pedro. A partir daí, podemos variar o deslocamento de Pedro e Paulo, de modo que Pedro sempre fique à esquerda, até que não existam mais cadeiras. 182

16 Assim, se Pedro se deslocar da primeira cadeira até a nona, sempre com Paulo ao seu lado direito, existirão 9 maneiras de ambos se sentarem juntos com Pedro à esquerda. Esse número de vezes deve ser multiplicado por dois, porque Paulo também pode ficar do lado esquerdo e Pedro do lado direito de Paulo, imediatamente à direita. Assim, são maneiras de ambos ficarem juntos, ou seja, sem sequer uma cadeira vazia entre eles. Como são 90 maneiras possíveis e, destas, 18 delas eles ficam sem uma cadeira vazia, conclui-se que em maneiras restantes Pedro e Paulo ficarão com ao menos uma cadeira vazia entre eles. Resposta: B 2. A turma é formada por 15 formandos. Desses 15 formandos, uma comissão de 6 pessoas deve ser formada. Se Marcela deve necessariamente participar, então, das 6 pessoas que devem compor a comissão, uma já deve ser considerada escolhida, pois sua presença é obrigatória. Assim, restam apenas 5 pessoas a serem escolhidas. Como Mário não deve participar, somente as 1 pessoas restantes podem ser escolhidas para a comissão. Portanto, a quantidade de comissões em que Marcela participa e Mário não participa, é dada por: 1! 5 5!. 1-5! C ! ! ( ) Resposta: A. Considerando o primeiro cadeado, existem 10 opções de escolha para o primeiro algarismo. Escolhido o primeiro algarismo, existem 9 opções de escolha para o segundo, pois os algarismos devem ser distintos. Escolhidos os dois primeiros algarismos, existem 8 opções de escolha para o terceiro. Utilizando o princípio multiplicativo, o número máximo de tentativas para abrir o cadeado é dado por: Para o segundo cadeado, as condições são as mesmas. Assim, o número máximo de tentativas para abrir o segundo cadeado também é igual a

17 Como os dois cadeados são independentes e, portanto, são necessárias duas operações, o número máximo de tentativas para abrir ambos os cadeados é dada por: Resposta: B Se a senha é composta por um número par de quatro algarismos distintos cujo primeiro algarismo era 8, então o algarismo das unidades só pode ser igual a 0, 2, 4 ou 6, de modo que existem 4 opções de escolha para o algarismo das unidades. O algarismo das centenas não pode ser igual a 8, pois este já é o primeiro algarismo, e também não pode ser igual ao último algarismo, visto que este também já foi escolhido. Logo, existem 8 opções de escolha para o algarismo das centenas. Escolhido o algarismo das centenas, existem 7 opções de escolha para o algarismo das dezenas. Assim, utilizando o princípio multiplicativo a quantidade de senhas que poderiam ser obtidas é dada por: Resposta: A 5. A ordem cronológica é única. Logo, pode-se resolver a questão preocupando-se em ordenar os quadros que podem ficar em uma ordem não necessariamente cronológica, que são os quadros de Portinari. Imagine que os lugares para que os seis quadros sejam colocados na parede já estejam definidos. Iniciando-se com os quadros de Portinari, existem quadros para 6 lugares na parede. Vamos representar os quadros de Portinari por P 1, P 2 e P. Assim, existem 6 opções de lugares para o quadro P 1. Escolhido o lugar de P 1, restam 5 opções de lugares para P 2. Escolhidos os lugares de P 1 e P 2, existem 4 opções de escolha pra P. Utilizando o princípio multiplicativo, o número total de maneiras com que os quadros de Portinari podem ser colocados na parede é dado por:

18 Restam ainda os quadros de Gotuzo. Entretanto, como os quadros de Gotuzo devem ficar dispostos em ordem cronológica. Existe uma única opção de escolha para cada um deles, já que ainda existem lugares na parede para estes quadros serem colocados em ordem cronológica. Tal ordem é única. Portanto, a resposta é dada por: Resposta: D Observe que a senha possui 5 símbolos distintos. Como o operador sabe quais são os símbolos, mas não sabe a ordem, a quantidade de tentativas diferentes é igual à quantidade de permutações simples de 5 elementos distintos, ou seja: P 5 5! Logo, o maior número de tentativas é igual a 120. Resposta: B 7. O problema pode ser resolvido por permutações simples, já que desejamos ordenar elementos distintos. Vamos representar as duas moças por M 1 e M 2. Para que as moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, podemos considerá-las como um único elemento. Assim, a quantidade de maneiras em que as moças fiquem juntas, na ordem M 1 M 2, é dada por: P 4 4! Entretanto, as moças podem ficar juntas nas ordens M 1 M 2 ou M 2 M 1, ou seja, é possível permutar as duas moças, mantendo-as juntas, mas mudando a distribuição nos assentos. Assim, se para cada disposição em que as moças ficam juntas há ainda duas maneiras de ordená-las, a quantidade de modos de distribuir as cinco pessoas lado a lado é dada por: Resposta: D P 4. P 2 4!. 2! Se não houve alinhamento de três ou mais pontos, o número de triângulos seria igual ao número de combinações simples de 25 pontos tomados a : 185

19 25!!. 25-! C ! ! ( ) 2 00 Como há alinhamento de exatamente 10 pontos, da quantidade total de triângulos que poderia ser formada sem o alinhamento, deve-se subtrair a quantidade de maneiras de escolher pontos entre os 10 alinhados, pois nenhuma dessas escolhas corresponde a um triângulo. A quantidade de maneiras de escolher pontos entre os 10 é dada por: 10!!. 10-! C ! ! ( ) 120 Assim, a quantidade de triângulos que realmente podem ser construídos com os pontos disponíveis é dada por: Resposta: A C 25 - C A quantidade de maneiras de escolher 1 supervisor entre supervisores disponíveis é dada por: 1! C 1!. -1!. 2! 12.! ( ) A quantidade de maneiras de escolher 4 técnicos entre 10 técnicos disponíveis é dada por: 10! 4 4!. 10-4! C ! ! ( ) 210 A quantidade de maneiras de escolher 1 supervisor entre disponíveis e 4 técnicos entre 10 disponíveis é dada por: Resposta: D C 1 4. C

20 10. Se a terceira caixa deve ser a de número 20 e as quatro caixas devem ter números distintos, já que não há reposição de qualquer caixa retirada, existem 89 maneiras de se escolher a primeira caixa. Escolhida a primeira caixa, existem 88 maneiras de se escolher a segunda caixa. Escolhidas a primeira e a segunda caixas, existem 87 maneiras de se escolher a quarta caixa. Utilizando o princípio multiplicativo, a quantidade total de maneiras de se retirar as quatro caixas, de modo que a terceira seja a de número 20, é dada por: Resposta: A 187

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