Rodada #1 Estatística

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1 Rodada #1 Estatística Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada ESTATÍSTICA: Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de posição e de variabilidade. Probabilidades: conceito, axiomas e distribuições (binominal, normal, Poisson, qui-quadrado). Inferência estatística. Amostragem: amostras casuais e naõcasuais. Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros. Intervalos de confiança. Testes de hipóteses para médias e proporções. Correlação e Regressão. Análise Combinatória para Estatística.

2 a. Teoria em Tópicos Análise Combinatória não faz parte diretamente do conteúdo programático do concurso do ICMS/RO. Entretanto, precisamos ter noção das principais ferramentas de análise combinatória para um bom entendimento da teoria das Probabilidades e de muitos assuntos em Estatística. Assim, nesta primeira rodada, foque apenas em aprender como usar estas ferramentas, mas não se preocupe muito na resolução de exercícios de concursos de Análise Combinatória, beleza? Por esta razão, teremos menos exercícios nesta rodada do que nas rodadas seguintes. Não vamos estudar aqui todas as ferramentas de Combinatória. Vamos apenas estudar aquelas que são importantes para um bom entendimento de Estatística. Deixei de fora, por exemplo, permutação circular e combinação com repetição. 01. Sendo um número natural, define-se fatorial de e indica-se à expressão: Exemplos 2

3 02. leitura correta da expressão é fatorial de n. Muitas pessoas, erradamente, falam n fatorial. Esta leitura incorreta pode gerar ambiguidades. Por exemplo: As pessoas que falam n fatorial vão falar assim (erradamente): 03. Exemplo: Calcular. Resolução Poderíamos simplesmente expandir os dois fatoriais e cortar os fatores comuns. Entretanto, podemos simplificar os cálculos notando que: Em suma, podemos expandir o fatorial até o fator desejado e, em seguida, colocar o símbolo do fatorial no final. Vamos ver mais um exemplo. 3

4 04. Calcule o valor de. Aqui podemos expandir o fatorial de 8 e travar no número 5. Lembre-se de expandir o fatorial de 3. Neste ponto, podemos cancelar 5!. Observe ainda que. 05. Chamamos de Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória a parte da Matemática que estuda as estruturas e relações discretas. Falando na língua do concursês, a Análise Combinatória é a parte da Matemática que se preocupa em realizar contagens dos subconjuntos de um conjunto finito que satisfazem certas condições dadas. 06. A grande maioria dos alunos pensa que a Análise Combinatória é o estudo dos arranjos, combinações e permutações. Isto na verdade é apenas um assunto de Análise Combinatória, que, a bem da verdade, é 99,9% do necessário para uma prova de concurso público. 07. A Análise Combinatória trata de vários outros problemas que estão além dos nossos objetivos e não será visto neste curso. Calma, não será visto porque nunca apareceu nem vai aparecer em prova alguma de concurso (assuntos como permutações caóticas, funções geradoras, etc.) 4

5 08. Vocês perceberão um aspecto um pouco diferente nesta aula: não apresentarei a fórmula dos arranjos. Optei em seguir esta linha, pois não acho que seja didático utilizar fórmulas e casos particulares em demasia. Quem troca o princípio fundamental da contagem por fórmulas de arranjos terá dificuldades imensas em resolver inúmeros problemas de análise combinatória. 09. Combinatória não é difícil; impossível é aprender alguma coisa apenas com truques em vez de métodos. 10. Exemplo 1: Quantos são os resultados possíveis que se obtém ao jogarmos uma moeda não-viciada duas vezes consecutivas para cima? Como podemos ver no diagrama de árvore, são 4 possibilidades. No primeiro lançamento há duas possibilidades (cara ou coroa) e no segundo lançamento há duas 5

6 possibilidades (cara ou coroa) gerando os seguintes resultados: (CARA,CARA), (CARA,COROA), (COROA,CARA), (COROA,COROA). 11. Exemplo 2: Em uma urna, há existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma bola é retirada, observada e é devolvida para a urna. Qual o número de resultados possíveis em 3 extrações sucessivas? 6

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8 Temos 3 possibilidades para a primeira extração (V, P ou A), 3 possibilidades para a segunda extração (V,P ou A) e 3 possibilidades para a terceira extração (V,P ou A). Temos um total de 27 possibilidades. 12. Exemplo 3: Numa sala há 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal (homem-mulher)? Vamos chamar os homens de H1,H2,H3 e as mulheres de M1,M2. Para escolher o homem temos 3 possibilidades e para escolher a mulher temos 2 possibilidades. Existem 3 possibilidades para a primeira etapa (a primeira etapa é escolher o homem), 2 possibilidades para a segunda etapa (a segunda etapa é escolher a mulher). O número de diferentes casais que podem ser formados é igual a. Este é o princípio fundamental da contagem que pode ser assim enunciado. 13. Princípio Fundamental da Contagem 8

9 Se um experimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: - é o número de possibilidades da 1ª etapa. - é o número de possibilidades da 2ª etapa é o número de possibilidades da n-ésima etapa. O número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer é igual a Vamos resolver novamente os exemplos introdutórios com o auxílio do princípio fundamental da contagem. Exemplo 1: Quantos são os resultados possíveis que se obtém ao jogarmos uma moeda não-viciada duas vezes consecutivas para cima? Resolução São duas etapas: lançar a moeda na primeira vez e lançar a moeda na segunda vez. Há 2 possibilidades no primeiro lançamento e 2 possibilidades no segundo lançamento. Portanto, são resultados possíveis. Exemplo 2: Em uma urna, há existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma bola é retirada, observada e é devolvida para a urna. Qual o número de resultados possíveis em 3 extrações sucessivas? Resolução 9

10 São três etapas: observar a cor da primeira bola, observar a cor da segunda bola e observar a cor da terceira bola. Há 3 possibilidades para a primeira etapa, 3 possibilidades para a segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. São, portanto, resultados possíveis. Exemplo 3: Numa sala há 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal (homem-mulher)? Resolução São duas etapas: escolher o homem do casal e escolher a mulher do casal. Existem 3 possibilidades para a escolha do homem e 2 possibilidades para a escolha da mulher. Podemos selecionar o casal de modos diferentes. Os passos básicos para resolver os problemas com o Princípio Fundamental da Contagem são os seguintes: i) Identificar as etapas do problema. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. iii) Multiplicar. 14. Exemplo: Para fazer uma viagem Recife-Petrolina-Recife, posso escolher como transporte ônibus, carro, moto ou avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? Resolução Vejamos novamente os passos: i) Identificar as etapas do problema. 10

11 Escolher o transporte da ida e escolher o transporte da volta. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. Temos 4 possibilidades para a ida e 3 possibilidades para a volta (pois não desejo utilizar o mesmo meio de transporte). iii) Multiplicar. modos. Quais seriam os 12 modos? (ônibus, carro); (ônibus, moto); (ônibus, avião); (carro, ônibus); (carro, moto); (carro, avião); (moto, ônibus); (moto, carro); (moto,avião); (avião, ônibus); (avião, carro); (avião, moto). Obviamente não precisamos descrever quais são os 12 modos. Mas para um exemplo inicial, fica interessante mostrá-los. 15. Permutações Simples De quantas maneiras é possível ordenar objetos distintos? Vamos começar o problema com 4 objetos. O problema pode ser separado em 4 etapas: escolher o primeiro objeto, escolher o segundo objeto, escolher o terceiro objeto e escolher o quarto objeto. Temos 4 objetos possíveis para o primeiro lugar, 3 objetos possíveis para o segundo lugar, 2 objetos possíveis para o terceiro lugar e 1 objeto possível para o último lugar. 11

12 O total de maneiras é igual a. No caso geral, temos modos de escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar, modos de escolher o objeto que ocupará o segundo lugar,..., 1 modo de escolher o objeto que ocupará o último lugar. Portanto, o número de modos de ordenar objetos distintos é: Cada uma destas ordenações é chamada permutação simples de objetos e o número de permutações simples de objetos distintos é representado por. Desta maneira,. 16. Quantos são os anagramas da palavra BOLA? Resolução Cada anagrama de BOLA é uma ordenação das letras B,O,L,A. Desta maneira, o número de anagramas de BOLA é. 17. Permutações de elementos nem todos distintos Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA? O problema surge quando há letras repetidas como na palavra ARARAQUARA. Nesta palavra a letra A aparece 5 vezes e a letra R aparece 3 vezes. Aparentemente a quantidade de anagramas seria 10! (pois há 10 letras na palavra). Devemos fazer uma correção por conta das letras repetidas. Devemos dividir o 10! por 5! e por 3! que são as quantidades de letras repetidas. Assim, o número de anagramas da palavra ARARAQUARA é igual a 12

13 Observe que ao expandirmos o 10!, podemos travá-lo onde quisermos para efetuar os cancelamentos. Dessa forma, 18. Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e b) 1152 e c) 1152 e d) 384 e e) 112 e 384. Resolução a) H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 Vamos permutar os 4 homens nos lugares indicados e as 4 mulheres nos lugares indicados. Devemos multiplicar o resultado por 2, pois não necessariamente devemos começar por homem: poderíamos ter começado a fila com uma mulher. H1 H2 H3 H4 M1 M2 M3 M4 13

14 b) Em todos os problemas de permutação onde houver pessoas ou objetos que obrigatoriamente fiquem juntos, deveremos colocá-los dentro de caixas. Assim, os 4 homens serão permutados dentro da caixa, pois devem estar juntos. As 4 mulheres serão permutadas dentro da caixa, pois devem estar juntas. Em seguida devemos permutar as duas caixas, pois as caixas não obrigatoriamente estarão na ordem descrita acima. Letra C Percebendo que os dois resultados são claramente os mesmos já que é igual a só poderíamos marcar a letra C. 19. Combinações Simples Imagine que dispomos das seguintes frutas: maçãs, bananas, mamões e abacates. Desejamos fazer uma salada de fruta com 3 destas frutas, então picamos separadamente cada fruta e, em seguida misturamos tudo na seguinte ordem: maçã, banana, mamão no primeiro prato e banana, maçã e mamão no segundo prato. É óbvio que obtemos o mesmo resultado. Agrupamentos como este, que têm a característica de não mudar quando alteramos a ordem de seus elementos, são chamados de combinações. A pergunta aqui é a seguinte: Dispomos de um conjunto com elementos. Queremos formar um subconjunto deste conjunto com elementos. De quantos modos podemos escolher estes elementos? 14

15 Estamos utilizando a linguagem dos conjuntos porque não existe ordem entre os elementos de um conjunto. Por exemplo, os conjuntos são iguais. Vamos ilustrar: temos o conjunto {1,2,3,4,5} e queremos formar um subconjunto com 2 elementos deste conjunto. Temos as seguintes possibilidades: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5} fixando o número 1 {2,3},{2,4},{2,5} fixando o número 2 {3,4},{3,5} fixando o número 3 {4,5} fixando o número 4 Temos um total de =10 subconjuntos com 2 elementos. Repare que corremos o risco de esquecer algum subconjunto, sobretudo se houver um número grande de elementos. É para isto que serve a análise combinatória. Contar agrupamentos sem precisar descrevê-los. Pois bem, tendo um conjunto com elementos, o número de subconjuntos com elementos é igual ao número de combinações de elementos tomados a e é calculado da seguinte maneira: Esta é a fórmula que aparece nos livros. Em breve iremos simplificá-la. No nosso caso, temos 5 elementos no conjunto ( ) e queremos escolher 2 destes 5 elementos ( ). 15

16 Que é exatamente o número de subconjuntos que havíamos encontrado. 20. A maneira mais fácil de utilizar esta fórmula é a seguinte: O número de combinações sempre será uma fração. No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor número. Quantos fatores há no denominador? Dois!! Pois bem, devemos expandir o outro número, no caso o número 5, em dois fatores. Muito mais fácil, não? 21. Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos diferentes. O total de triângulos distintos que podem ser formados com vértices nesses pontos é: (A) 56 (B) 24 (C) 12 (D) 336 (E) 28 Resolução 16

17 Vejamos o desenho acima. O triângulo ABC é congruente ao triângulo ACB, que é congruente ao triângulo BAC e assim por diante. Portanto, a ordem dos vértices não é relevante na definição do triângulo. Assim, não podemos aplicar o Princípio Fundamental da Contagem. Se assim o fizéssemos, estaríamos contando os triângulos ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA como triângulos diferentes, o que não é verdade. E como fazer essa correção? Vejamos o problema genericamente: temos 8 objetos e devemos escolher três, sem levar em consideração a ordem dos elementos. A resposta desse problema é o número de combinações de 8 objetos tomados 3 a 3, representado por. Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma fração. Colocaremos o fatorial do menor dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. Ficamos assim por enquanto: E o numerador? Devemos expandir o número 8 na mesma quantidade de fatores do denominador (3 fatores). Letra A 17

18 22. Dos 24 municípios situados na área de estudo da Bacia do Araguaia, 2 localizam-se no Mato Grosso, 8, no Tocantins e os restantes, no Pará. Uma equipe técnica deverá escolher três munícipios no Pará para visitar no próximo mês. De quantos modos distintos essa escolha poderá ser feita, sem que seja considerada a ordem na qual os municípios serão visitados? (A) 56 (B) 102 (C) 364 (D) 464 (E) 728 Resolução São 24 municípios no total. Como 2 localizam-se no Mato Grosso e 8 no Tocantins, então há municípios no Pará. Queremos escolher 3 destes 14 municípios sem levar em consideração a ordem deles. A resposta desse problema é o número de combinações de 14 objetos tomados 3 a 3, representado por. Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma fração. Colocaremos o fatorial do menor dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. Ficamos assim por enquanto: 18

19 E o numerador? Devemos expandir o número 14 na mesma quantidade de fatores do denominador (3 fatores). Letra C 23. Com seis tipos de doce e cinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois tipos de doce e dois tipos de fruta? (A) 300 (B) 150 (C) 75 (D) 50 (E) 25 Resolução Obviamente, em um prato de doces e frutas a ordem dos objetos não é relevante. Assim, temos 6 tipos de doces disponíveis dos quais desejamos escolher apenas 2 e temos 5 tipos de frutas das quais desejamos escolher 2. O total de possibilidades é Letra B 19

20 24. Um hospital tem três médicos e cinco enfermeiras. Quantas equipes de plantões com cinco profissionais podem ser formadas contendo no mínimo um médico? (A) 15 (B) 20 (C) 40 (D) 45 (E) 55 Resolução A equipe terá no mínimo um médico. Temos três possibilidades: i) Um médico (dentre 3 disponíveis) e 4 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). ii) Dois médicos (dentre 3 disponíveis) e 3 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). iii) Três médicos (dentre 3 disponíveis) e 2 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). Total de possibilidades: = 55. Letra E 20

21 25. Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005 Resolução Quando alguém realiza uma prova, não é relevante a ordem que resolvemos as questões. Assim, Ana tem 15 questões e deve escolher 10 para resolver. A resposta é Trabalhoso? Quando a quantidade de objetos que queremos escolher for muito grande, podemos utilizar um artifício. Veja bem, a decisão de escolher as 10 questões para responder é a mesma decisão de escolher as 5 questões que não vai responder! Assim, Grosso modo, para trocar o número de cima basta subtrair (15 10 = 5). 21

22 Letra A Ao descobrir que a resposta é poderíamos marcar a resposta sem fazer a conta toda. Veja: Já que 4 x 3 = 12, então podemos cancelar estes números na divisão. 14 dividido por 2 é igual a 7 e 15 dividido por 5 é igual a 3. Percebe-se aqui que o algarismo das unidades é igual a 3 e já podemos marcar a alternativa A. 22

23 b. Revisão 01 QUESTÃO 01 - (ALBA 2014/FGV) A sigla de Assembleia Legislativa do Estado da Bahia e ALBA. Embaralhando as letras de ALBA, o número de sequências diferentes que podem ser formadas com essas mesmas 4 letras e (A) 4. (B) 6. (C) 8. (D) 10. (E) 12. QUESTÃO 02 - (CONDER 2013/FGV) O número de maneiras diferentes de se colocar as letras da sigla CONDER em fila, de modo que a fila comece por uma vogal, e (A) 240. (B) 120. (C) 96. (D) 72. (E)

24 QUESTÃO 03 - (SUDENE-PE 2013/FGV) Observe a tabela a seguir: Começando pela letra S na primeira linha e caminhando consecutivamente sempre para a linha de baixo em diagonal para a coluna imediatamente a esquerda ou para a coluna imediatamente a direita ate chegar na última linha, forma se sempre a sigla SUDENE. A quantidade de caminhos possíveis e : (A) 20. (B) 21. (C) 32. (D) 64. (E) 720. QUESTÃO 04 - (PC-MA 2012/FGV) Entre vinte policiais civis ha doze homens e oito mulheres. Deseja-se escolher, entre eles, quatro policiais civis sendo dois homens e duas mulheres. O número total de conjuntos distintos de quatro policias civis que se pode escolher nas condições dadas e : 24

25 (A) (B) (C) 384. (D) 188. (E)

26 c. Revisão 02 QUESTÃO 05 - (DOCAS 2010/FGV) Há seis contêineres diferentes que deverão ser empilhados, três mais pesados embaixo e três mais leves em cima, conforme sugere a figura. O número de maneiras de se fazer essa arrumação, mantendo os três mais pesados embaixo e os três mais leves em cima é a) 18 b) 6 c) 9 d) 36 e) 72 QUESTÃO 06 - (DOCAS 2010/FGV) Marcelo tem 6 camisas diferentes, sendo duas delas camisas sociais. Marcelo tem ainda 5 calças compridas, sendo 3 delas calças jeans. De quantas formas diferentes Marcelo pode usar, ao mesmo tempo, uma das camisas e uma das calças de forma que camisas sociais nunca sejam usadas com calças jeans? a) 30 b) 16 26

27 c) 12 d) 8 e) 24 QUESTÃO 07 - (CAERN 2010/FGV) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em fila sendo que Maria, uma dessas 5 pessoas, jamais seja a primeira da fila? a) 120 b) 112 c) 96 d) 75 e) 88 27

28 d. Revisão 01 QUESTÃO 08 - (CAERN 2010/FGV) Deseja-se criar senhas bancárias de 4 algarismos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas de modo que o último dígito seja ímpar e todos os algarismos da senha sejam diferentes? a) b) c) d) e) QUESTÃO 09 - (CAERN 2010/FGV) Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro são candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser formadas? a) 24. b) 18. c) 16. d) 12. e) 6. 28

29 QUESTÃO 10 - (FUNARTE 2014/FGV) Certa empresa solicita a cada funcionário uma senha de segurança formada por uma vogal e duas consoantes diferentes do nosso alfabeto atual. Exemplos de senhas desse tipo são KPA e BIG. O número de senhas diferentes que podem ser formadas e : (A) 2100; (B) 2205; (C) 3250; (D) 6300; (E)

30 e. Gabarito E A C B D E C C D A 30

31 f. Breves comentários às questões QUESTÃO 01 - (ALBA 2014/FGV) A sigla de Assembleia Legislativa do Estado da Bahia e ALBA. Embaralhando as letras de ALBA, o número de sequências diferentes que podem ser formadas com essas mesmas 4 letras e (A) 4. (B) 6. (C) 8. (D) 10. (E) 12. Resolução: Queremos permutar 4 letras, sendo duas delas repetidas. Letra E. QUESTÃO 02 - (CONDER 2013/FGV) O número de maneiras diferentes de se colocar as letras da sigla CONDER em fila, de modo que a fila comece por uma vogal, e (A) 240. (B)

32 (C) 96. (D) 72. (E) 60. Resolução: Esta palavra CONDER não possui letras repetidas. Queremos calcular o número de anagramas que comecem por vogal. Vamos resolver este problema em duas etapas: escolher a primeira letra e permutar as letras restantes. Para a primeira letra, há duas possibilidades: O ou E. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o total de anagramas que começam por vogal é Letra A. QUESTÃO 03 - (SUDENE-PE 2013/FGV) Observe a tabela a seguir: Começando pela letra S na primeira linha e caminhando consecutivamente sempre para a linha de baixo em diagonal para a coluna imediatamente a esquerda ou para a coluna imediatamente a direita ate chegar na última linha, forma se sempre a sigla SUDENE. 32

33 A quantidade de caminhos possíveis e : (A) 20. (B) 21. (C) 32. (D) 64. (E) 720. Resolução: São 5 etapas: escolher a letra U, a letra D, a letra E, a letra N e, finalmente, a letra E. Primeira etapa: estamos começando pela letra S. Quando vamos escolher a letra U, temos 2 possibilidades. Segunda etapa: já escolhemos a letra U. Com a letra U já escolhida, temos 2 possibilidades para escolher a letra D. Terceira etapa: já escolhemos a letra D. Com a letra D já escolhida, temos 2 possibilidades para escolher a letra E. Quarta etapa: já escolhemos a letra E. Com a letra E já escolhida, temos 2 possibilidades para escolher a letra N. Quinta etapa: já escolhemos a letra N. Com a letra N já escolhida, temos 2 possibilidades para escolher a letra E. Pelo princípio fundamental da contagem, o total de caminhos é. Letra C. 33

34 QUESTÃO 04 - (PC-MA 2012/FGV) Entre vinte policiais civis ha doze homens e oito mulheres. Deseja-se escolher, entre eles, quatro policiais civis sendo dois homens e duas mulheres. O número total de conjuntos distintos de quatro policias civis que se pode escolher nas condições dadas e : (A) (B) (C) 384. (D) 188. (E) 94. Resolução: Como o problema não especificou funções específicas para os policiais, a ordem deles não é relevante. Assim, podemos usar combinações. Temos 12 homens dos quais 2 serão escolhidos, e 8 mulheres das quais 2 serão escolhidas. O total de possibilidades é igual a: Outra dica importante para notar que o problema deve ser resolvido usando combinações é que o enunciado pediu o número total de CONJUNTOS. Lembre-se que não existe ordem entre os elementos de um conjunto. Letra B. QUESTÃO 05 - (DOCAS 2010/FGV) Há seis contêineres diferentes que deverão ser empilhados, três mais pesados embaixo e três mais leves em cima, conforme sugere a figura. 34

35 O número de maneiras de se fazer essa arrumação, mantendo os três mais pesados embaixo e os três mais leves em cima é a) 18 b) 6 c) 9 d) 36 e) 72 Resolução: Devemos permutar os três contêineres que estão na primeira linha e permutar os três contêineres que estão na segunda linha. A resposta é: Letra D. QUESTÃO 06 - (DOCAS 2010/FGV) Marcelo tem 6 camisas diferentes, sendo duas delas camisas sociais. Marcelo tem ainda 5 calças compridas, sendo 3 delas calças jeans. De quantas formas diferentes Marcelo pode usar, ao mesmo tempo, uma das camisas e uma das calças de forma que camisas sociais nunca sejam usadas com calças jeans? a) 30 b) 16 35

36 c) 12 d) 8 e) 24 Resolução 1: Marcelo tem três opções, a saber: i) Vestir uma camisa social e uma calça não-jeans. Ele possui 2 camisas sociais e 2 calças não-jeans. Ele pode se vestir assim de maneiras diferentes. ii) Vestir uma camisa não-social e uma calça jeans. Ele possui 4 camisas não-sociais e 3 calças jeans. Ele pode se vestir assim de maneiras diferentes. iii) Vestir uma camisa não-social e uma calça não-jeans. Ele possui 4 camisas não-sociais e 2 calças não-jeans. Ele pode se vestir assim de maneiras diferentes. O total de casos é igual a = 24. Resolução 2: Vamos desconsiderar a restrição do problema: Marcelo possui 6 camisas e 5 calças. Ele pode se vestir de maneiras diferentes. Vamos excluir os casos em que Marcelo usa camisa social e camisa jeans simultaneamente. Ele possui 2 camisas sociais e 3 calças jeans. Ele pode se vestir assim de maneiras diferentes. Vamos, do total de casos, subtrair essas 6 maneiras. A resposta é 30 6 =

37 Letra E. QUESTÃO 07 - (CAERN 2010/FGV) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em fila sendo que Maria, uma dessas 5 pessoas, jamais seja a primeira da fila? a) 120 b) 112 c) 96 d) 75 e) 88 Resolução: Vamos utilizar o mesmo raciocínio da segunda resolução da questão anterior. Vamos desconsiderar a restrição do problema: devemos permutar 5 pessoas em fila. O total de possibilidade SERIA igual a: Destas 120 possibilidades, devemos excluir aquelas em que Maria é a primeira da fila. De quantas maneiras podemos arrumar a fila, de modo que Maria seja a primeira? Maria Neste caso, Maria está fixa e devemos permutar os 4 elementos restantes. O total de casos que nos interessa é igual a =

38 Letra C. QUESTÃO 08 - (CAERN 2010/FGV) Deseja-se criar senhas bancárias de 4 algarismos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas de modo que o último dígito seja ímpar e todos os algarismos da senha sejam diferentes? a) b) c) d) e) Resolução: Vamos esquecer, a priori, a restrição de que o último dígito deve ser ímpar. A senha deve ser formada por 4 algarismos distintos. Assim, há 10 possibilidades para o quarto dígito, 9 possibilidades para o terceiro dígito, 8 possibilidades para o segundo dígito e 7 possibilidades para o primeiro dígito. O total de senhas SERIA igual a. Em metade dessas senhas, o último dígito é par e em metade das senhas o último dígito é ímpar. Assim, o total de senhas com 4 algarismos distintos com o último dígito ímpar é igual a 5.040/2 = Letra C. 38

39 QUESTÃO 09 - (CAERN 2010/FGV) Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro são candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser formadas? a) 24. b) 18. c) 16. d) 12. e) 6. Resolução: Nesta questão a ordem é importante. Isso porque cada uma das pessoas escolhidas tem uma função específica: um será representante e o outro será auxiliar desse representante. Se o problema não indicasse essa função, deveríamos usar. Mas isto está errado! Como a ordem é importante, vamos resolver usando o princípio fundamental da contagem. Existem 4 possibilidades para escolher o representante e 3 possibilidades para escolher o seu auxiliar. O total de duplas que podem ser formadas é igual a 4 x 3 = 12. Letra D. QUESTÃO 10 - (FUNARTE 2014/FGV) Certa empresa solicita a cada funcionário uma senha de segurança formada por uma vogal e duas consoantes diferentes do nosso alfabeto atual. Exemplos de senhas desse tipo são KPA e BIG. O número de senhas diferentes que podem ser formadas e : 39

40 (A) 2100; (B) 2205; (C) 3250; (D) 6300; (E) Resolução: Nosso alfabeto atual é formado por 26 letras, sendo 5 vogais e 21 consoantes. A primeira etapa é escolher a vogal: 5 possibilidades. A segunda etapa é escolher a primeira consoantes: 21 possibilidades. A terceira etapa é escolher a segunda consoante, que é diferente da primeira: 20 possibilidades. O número de senhas diferentes que podem ser formadas é igual a 5 x 21 x 20 = Letra A. 40