MA12 - Unidade 12. Paulo Cezar Pinto Carvalho. 28 de Abril de 2013 PROFMAT - SBM

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1 MA12 - Unidade 12 Permutações e Combinações Paulo Cezar Pinto Carvalho PROFMAT - SBM 28 de Abril de 2013

2 Permutações Simples De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos? A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de n modos; A escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de n 1 modos;... A escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo. O número total de possibilidades (cada uma das quais é chamada de uma permutação simples dos n objetos) é P n = n(n 1)(n 2) 1 = n!. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 2/13

3 Exemplo Quantos são os anagramas da palavra CALOR? Quantos começam com consoantes? Cada anagrama corresponde a uma permutação dessas 5 letras. O número de anagramas é P 5 = 5! = 120. Para formar um anagrama começado por consoante: A consoante pode ser escolhida de 3 modos; As demais letras podem ser colocadas em qualquer ordem; logo, há P 4 = 4! = 24 possibilidades de ordenação. Logo, há 3 24 = 72 anagramas começados por consoante. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 3/13

4 Exemplo De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria permaneçam juntos? Podemos escolher a ordem das matérias de 3! modos. Feito isso, há 5! modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados, 3! modos para os de Estatística e 2! modos para os de Física. O número total de possibilidades é 3!5!3!2! = = PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 4/13

5 Permutações de elementos nem todos distintos Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO? Se as letras fossem diferentes a resposta seria 8!. Como as três letras O são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto. Isso faz com que na nossa contagem de 8! tenhamos contado o mesmo anagrama 3! vezes. O número de anagramas é 8! 3! = PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 5/13

6 Generalizando O número de permutações de n objetos, dos quais α são iguais a A, β são iguais a B, γ são iguais a C, etc, é. P α,β,γ,... n = n! α!β!γ!... PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 6/13

7 Combinações Simples De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Equivalentemente, quantos são os subconjuntos com p elementos de um conjunto com n elementos? Observação: cada seleção de p objetos (ou seja, cada subconjunto de p elementos) é chamada de uma combinação simples de classe p dos n objetos. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 7/13

8 Combinações Simples De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Equivalentemente, quantos são os subconjuntos com p elementos de um conjunto com n elementos? Começamos escolhendo, em ordem, p elementos, o que pode ser feito de n.(n 1)... (n p + 1) modos. Deste modo, cada subconjunto com p elementos é contado p! vezes, já que ele aparece em cada ordem possível. O número de combinações simples de classe p de n objetos é: C p n = n.(n 1)... (n p + 1) p! = n! p!(n p)!. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 8/13

9 Exemplo Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? Para formar a comissão devemos escolher 3 dos homens e 2 das mulheres. Logo, há C 3 5 C 2 4 = 10 6 = 60 comissões. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 9/13

10 Exemplo Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas? Há comissões com: 3 homens e 2 mulheres, 4 homens e 1 mulher, 5 homens. A resposta é C 3 5 C C 4 5 C C 5 5 = = 81. Um erro comum: Começo escolhendo 3 homens, para garantir pelo menos três homens (C5 3 modos). A seguir, escolho mais 2 pessoas (C6 2 modos). Logo, há C5 3.C 6 2 = = 150 comissões (!). PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 10/13

11 Permutações Circulares De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda? A resposta não é 5! = 120 rodas, porque as rodas ABCDE e EACBD, por exemplo, são na verdade a mesma roda. Como cada roda pode aparecer em 5 posições, a resposta é 120/5 = 24. De modo geral, o número de permutações circulares de n elementos é n! = (n 1)!. n PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 11/13

12 Combinações completas (ou com repetição) Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da equação x 1 + x x n = p? Cada solução da equação coresponde a uma forma de escolher p elementos dentre 1, 2,... n, mas permitindo repetições. O número de soluções é representado por CR p n. Cada solução da equação pode ser representada por uma fila de p sinais + e n 1 sinais, que separam as incógnitas. Reciprocamente, cada fila desta forma corresponde a uma solução. Por exemplo: corresponde à solução (3,1,0,1) da equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5. Para contar a quantidade de tais filas, basta escolher p dentre os n + p 1 lugares para colocar os sinais +. Logo, CR p n = C p n+p 1. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 12/13

13 Exemplo De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em uma sorveteria que os oferece em 6 sabores distintos? Chamando de x k o número de sorvetes do k-ésimo sabor que vamos comprar, devemos determinar valores inteiros e não-negativos para x k, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, tais que x 1 + x x 6 = 3. O número de possibilidades é CR 3 6 = C 3 8 = 56 modos. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 12, Permutações e Combinações slide 13/13