Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Exercícios de Análise Combinatória - Atividades de 2007 Versão compilada no dia 11 de Setembro de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Sugiro que o leitor pesquise na Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: No princípio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princípio com Deus. Todas as coisas foram feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas não prevaleceram contra ela. (...) Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre nós (...) A Bíblia Sagrada, João 1:1-15

2 CONTEÚDO ii Conteúdo 1 Permutações 1 2 Combinações 3 3 Arranjos 7 4 Fatorial 12 5 Regra do produto 13

3 Seção 1 Permutações 1 1 Permutações 1. Com as vogais: A,E,I,O,U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A, E e I. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? Ajuda: P (n) = n!, n = 3 Resp: N = = 6 2. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? Ajuda: P (n) = n!, n = 5 Resp: N = = Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR? Ajuda: P (n) = n!, n = 4 Resp: N = = Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. Resp: P (5) = Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, contendo juntos os algarismos 1 e 3. Ajuda: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos. Resp: N = 2 P (4) = 2 24 = Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra? Resp: N = P (n 1) = (n 1)! 7. Quantos anagramas existem com as letras: ABCDEFGHI, desde que (a) comecem por A? Resp: P (8) = 8! (b) comecem por AB? Resp: P (7) = 7! (c) comecem por ABC? Resp: P (6) = 6! (d) comecem por uma das letras A, B ou C? Ajuda: P (8) = 8! Resp: N = 3 P (8) = 3 8! (e) comecem pelas três letras do grupo ABC? Ajuda: P (3) = 3! = 6 Resp: N = P (3) P (6) = = 720 (f) comecem por uma vogal e terminem por uma consoante? Ajuda: 3 são as vogais e 6 são as consoantes. Resp: N = P (3) P (6) = = 720

4 Seção 1 Permutações 2 8. Quantos anagramas existem possíveis com as letras ABCDEFGHI? Resp: P (9) = 9! 9. Existem 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos? Ajuda: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posições para as equipes e os grupos podem permutar as suas posições, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2). Resp: N = P (4) P (3) P (3) P (2) P (2) = Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA? Ajuda: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes. Resp: P r (5; 3 + 2) = 5! 3!2! = Quantos são os anagramas possíveis com a palavra: (a) ULYSSES? (b) ULYSSES começando por U? (c) ULYSSES terminando por S? (d) ULYSSES começando por U e terminando por S? 12. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA? Ajuda: P r (p; p A + p M ) = (p A + p M )!, p A = 2, p M = 1 p A!p M! Resp: N = 3! 2!1! = Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR? Ajuda: N = (p 1 + p 2 + p 3 )!, A = 2, M = 1, R = 1 p 1!p 2!p 3! Resp: N = 4! 2!1!1! = 12

5 Seção 2 Combinações Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA? Ajuda: N = (p 1 + p 2 + p 3 + p 4 )!, A=3, R=2, N =1, U =1 p 1!p 2!p 3!p 4! Resp: N = 7! 3!2!1!1! = O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos Ajuda: n(1) = n(3) = n(5) = 2, n(2) = n(4) = n(6) = n(9) = 1 10! Resp: P r (10, ) = 2!1!2!1!2!1!1! = Quantos são os anagramas possíveis com as letras MATEMATICA? Ajuda: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez, a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez. 10! Resp: P r (10; ) = 3!2!2!1!1!1! = De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular? Ajuda: N = P (n 1) = (n 1)!, n = 5 Resp: N = = De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular? Ajuda: N = P (n 1) = (n 1)!, n = 5 Resp: N = = 24 2 Combinações 1. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

6 Seção 2 Combinações 4 2. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? m! Ajuda: C = C(m, p) = p!(m p)! ; m = 8, p = 3 Resp: C = 8! 3!5! = = Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas? m! Ajuda: C = C(m, p) = p!(m p)!, m = 1000, p = 2 Resp: C = 1000! 2!998! = = Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do alfabeto? m! Ajuda: C = C(m, p) = p!(m p)!, m = 10, p = 4 Resp: C = 10! 4!6! = = Quantas combinações com 4 elementos podemos montar com as 10 primeiras letras do alfabeto, sempre começando pela letra A? Ajuda: C = C(m 1, p 1 ).C(m m 1, p p 1 ), m = 10, p=4, m 1 =1, p 1 =1 Resp: C = C(1, 1).C(9, 3) = = Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do alfabeto, tendo sempre estejam juntas as letras A e B? Ajuda: C = C(m 1, p 1 ).C(m m 1, p p 1 ), m = 10, p=4, m 1 =2, p 1 =2 Resp: C = C(2, 2).C(8, 2) = = Em uma sala existem 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? 8. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, não possuindo as letras A e B? Ajuda: C = C(m 1, p 1 ).C(m m 1, p p 1 ), m = 10, p=4, m 1 =2, p 1 =0 Resp: C = C(2, 0).C(8, 4) = = 70 24

7 Seção 2 Combinações 5 9. Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do alfabeto, de modo que somente a letra A ou a letra B esteja presente, mas não as duas? Ajuda: C = C(m 1, p 1 ).C(m m 1, p p 1 ), m = 10, p=4, m 1 =2, p 1 =1 Resp: C = C(2, 1).C(8, 3) = = Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as letras ABCDEFGHIJ, para que as combinações tenham 2 dentre as letras A,B,C? Ajuda: C = C(m 1, p 1 ).C(m m 1, p p 1 ), m=10, p=4, m 1 =3, p 1 =2 Resp: C = C(3, 2).C(7, 2) = = Calcular o valor de m tal que 5 C(m + 1, 3) = 2 C(m + 2, 2). 12. Quantos triângulos podemos traçar com pontos de duas retas paralelas, se em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos? 13. Quantos quadriláteros convexos podemos traçar com pontos de duas retas paralelas, se em uma reta há 6 pontos e na outra reta há 5 pontos? 14. Em uma classe estão 10 homens e 6 mulheres. Seja H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar: (a) com 4 homens e 2 mulheres? (b) com H mas sem M? (c) com M mas sem H? (d) com H e com M? (e) tendo apenas H ou apenas M? (f) sem H e sem M? 15. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades? Resp: N = C(6, 3) C(4, 2) = 30 6 = Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. (a) Quantas comissões terão apenas 1 professor? (b) Quantas comissões terão apenas 2 professores? (c) Quantas comissões terão no mínimo 2 professores? (d) Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?

8 Seção 2 Combinações Quantos números diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construídos com os algarismos 1,2,3,4,5,6, sendo: (a) que cada algarismo aparece somente uma vez? (b) que cada algarismo pode repetir até 3 vezes? (c) os números pares sem repetição? (d) os números ímpares sem repetição? (e) os números pares com repetição? (f) os números ímpares com repetição? 18. Num plano há 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Quantas retas que passam por esses pontos? Resp: C(4, 2) = Em um plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos? n(n 1) Resp: C(n, 2) = Quatro pontos estão em um plano, sendo que 3 deles são não colineares. Quantos triângulos podemos construir com esses pontos? Ajuda: C(3, 2) = 3 triângulos para cada ponto. 21. Qual é o número de diagonais de um poĺıgono regular de n lados? n(n 1) n(n 3) Resp: N = C(n, 2) n = n = Qual é o número de diagonais de um: (a) cubo? (b) prisma regular cuja base tem 5 lados? (c) prisma regular cuja base tem 6 lados? (d) prisma regular cuja base tem n lados? (e) dodecágono? Resp: N = = 54 (f) tetraedro regular? Resp: N = 0 (g) prisma triangular regular? Resp: N = Construir o conjunto de todas as combinações com as vogais A,E,I,O,U, tomadas 2 a 2.

9 Seção 3 Arranjos Com as letras: A,B,C,D,E,F,G,H, determinar o número das permutações possíveis que começam por ABC. Resp: N = P (5) = Determinar o número de combinações com 4 elementos tomados com repetição de 7 livros. Ajuda: C r = C r (m, p) = C(m + p 1, p), m = 7, p = 4 Resp: C r = C r (7, 4) = C( , 4) = C(10, 4) = Qual é o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2? Ajuda: C r = C r (m, p) = C(m + p 1, p), m = 4, p = 2 Resp: C r = C r (4, 2) = C( , 2) = C(5, 2) = 10 3 Arranjos 1. Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Resp: N 1 = A(9, 1) = 9 2. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ajuda: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9, 1). Resp: N 2 = A(10, 2) A(9, 1) = = 90 9 = Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ajuda: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2). Resp: N 3 = A(10, 3) A(9, 2) = = Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ajuda: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9, 3). Resp: N 4 = A(10, 4) A(9, 3) = = 4536

10 Seção 3 Arranjos 8 5. Quantos números distintos menores que podem ser formados com algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Resp: N = N 1 + N 2 + N 3 + N 4 = = No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos? Ajuda: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é Resp: N = = Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados? m! 5! Ajuda: A = A(m, p) =, m = 5, p = 3 Resp: A = (m p)! 2! = Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantos números com 4 algarismos podem ser montados? m! Ajuda: A = A(m, p) = (m p)!, m = 10, p = 4 Resp: A = 10! 6! = Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? m! Ajuda: A = A(m, p) = (m p)!, m = 26, p = 3 Resp: A = 26! 23! = = Com as 26 letras do nosso alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos? m! Ajuda: A = A(m, p) =, m = 26, p = 3, n = 10, q = 4 (m p)! Resp: A = 26! 23! 10! = !

11 Seção 3 Arranjos Com um baralho contendo 52 cartas distintas, podemos formar: (a) quantos pares distintos? (b) quantas trincas distintas? (c) quantas quadras distintas? (d) quantos pares distintos com pelo menos um Ás? (e) quantos pares distintos com pelo menos um (f) quantas trincas distintas com pelo menos um Ás? (g) quantas trincas distintas com pelo menos um Ás e um Rei? Ás e um Rei? 13. Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Resp: A r (10, 4) = 104 = Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto? Resp: A r (26, 3) = 263 = Quantas placas são possíveis em nosso sistema de trânsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 números? Resp: N = A r (26, 3) A r (10, 4) = No sistema decimal de numeração, quantos números podemos construir com 1 algarismo? Resp: N 1 = A r (10, 1) A r (10, 0) = 10 1 = No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 2 algarismos (repetidos ou não)? Ajuda: São 10 = A r (10, 1) os números com 2 dígitos iniciados por 0. Resp: N 2 = A r (10, 2) A r (10, 1) = = = No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 3 algarismos (repetidos ou não)? Ajuda: Existem 100 = A r (10, 2) números com 3 dígitos iniciados por 0. Resp: N 3 = A r (10, 3) A r (10, 2) = = No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos (repetidos ou não)? Ajuda: São 100 = A r (10, 3) os números com 4 dígitos iniciados por 0. Resp: N 4 = A r (10, 4) A r (10, 3) = = 9000

12 Seção 3 Arranjos No sistema decimal de numeração, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)? Ajuda: São A r (10, n 1) os números com n 1 dígitos iniciados por 0. Resp: N4 = A r (10, n) A r (10, n 1) = 10 n 10 n 1 = 9 10 n Num sistema de numeração com a base tendo b algarismos, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)? Ajuda: São A r (b, n 1) os números com n 1 dígitos iniciados por 0. Resp: N 4 = A r (b, n) A r (b, n 1) = b n b n 1 = (b 1) b n No sistema decimal de numeração, existem quantos (a) números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)? (b) números ímpares com 4 algarismos (repetidos ou não)? (c) números pares diferentes com 4 algarismos? (d) números ímpares diferentes com 4 algarismos? Resp: N = 5 A(8, 3) (e) números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)? (f) números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)? 23. Quantos números de 3 dígitos podem ser formados com 5 algarismos? Ajuda: A r (m, p) = m p, m = 5, p = 3 Resp: A r = 5 3 = Quantos números menores do que , podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4? Ajuda: N = A r (4, 1) + A r (4, 2) + A r (4, 3) + A r (4, 4) Resp: N = = = Quantos arranjos com os elementos A,B,C,D,E,F,G tomados 4 a 4, começam com duas letras dentre A, B e C? Ajuda: N = A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 7, p = 4, m 1 = 3, p 1 = 2 Resp: N = A(3, 2) A(4, 2) = 3! 1! 4! 2! = Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos números podem ser formados tendo nas duas posições iniciais algarismos que são números ímpares? Ajuda: N = A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 10, p=6, m 1 =5, p 1 =2

13 Seção 3 Arranjos 11 Resp: N = A(5, 2) A(5, 4) = 5! 3! 5! 1! = Dentre os arranjos com as cinco letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos possuem a letra E? Ajuda: N = (p p 1 +1).A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 5, p = 3, m 1 = 1, p 1 =1 Resp: N = ( ) A(1, 1) A(4, 2) = Dentre os arranjos com as cinco letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos possuem juntas as letras A e B? Ajuda: N = (p p 1 + 1).A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 5, p = 3, m 1 = 2, p 1 =2 Resp: N = ( ) A(2, 2) A(3, 1) = Dentre os arranjos com as seis letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4 a 4, quantos possuem a letra A? Ajuda: N = (p p 1 + 1).A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 6, p = 4, m 1 = 1, p 1 = 1 Resp: N = ( ) A(1, 1) A(5, 3) = Dentre os arranjos com as seis letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4 a 4, quantos possuem juntas 2 dentre as 3 letras A, B e C? Ajuda: N = (p p 1 + 1).A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 6, p = 4, m 1 = 3, p 1 = 2 Resp: N = ( ) A(3, 2) A(3, 2) = Dentre os arranjos com as quatro letras: A,B,C,D, tomados 3 a 3, quantos possuem a letra A? Ajuda: N = (p p 1 + 1).A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 4, p = 3, m 1 = 1, p 1 = 1 Resp: N = ( ) A(1, 1) A(3, 2) = Dentre os arranjos com as quatro letras: A,B,C,D, tomados 3 a 3, quantos começam pelas letras A e B? Ajuda: N = A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 4, p = 3, m 1 = 2, p 1 = 2 Resp: N = A(2, 2) A(2, 1) = 4

14 Seção 4 Fatorial Dentre os arranjos com as quatro letras: A,B,C,D, tomados 3 a 3, quantos possuem as letras A e B juntas? Ajuda: N = (p p 1 + 1).A(m 1, p 1 ).A(m m 1, p p 1 ), m = 4, p = 3, m 1 = 2, p 1 = 2 Resp: N = ( ) A(2, 2) A(2, 1) = 8 4 Fatorial 1. Se C(n, 2) = 28, qual é o valor de n? Resp: n = 8 2. Existe um número n natural tal que C(n, 3) = C(n, 2)? 3. Usando o desenvolvimento binomial de (1 + 1) n, demonstrar que: C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) C(n, n) = 2 n 4. Se A(n, 2) = 42, qual é o valor de n? Resp: n = 7 5. Justificar a afirmação: Se n é um número primo tal que p < n, então n é um divisor de C(n, p). 6. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que: (a) (p + 1) C(n, p + 1) = (n p) C(n, p) (b) n C(n 1, p) = (n p) C(n, p) (c) n = (2n) n! (d) (2n 1) = (2n)! 2n n! (e) (4n 2) = (2n)! n! A(n, p) (f) A(n, k) = se k < p. A(n k, p k) (g) P r (n; k + (n k)) = C(n, k) se k < n. (h) 1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) n (n!) = (n + 1)! 1. (i) 1 k! 1 (k + 1)! = k para todo k natural. (k + 1)! (j) 1 2! + 2 3! + 3 4! n (n + 1)! = 1 Ajuda: Usar o ítem 6i. (n + 1)! (k) A(n, p) = p [A(n 1, p 1) + A(n 2, p 1) A(p 1, p 1)]

15 Seção 5 Regra do produto 13 5 Regra do produto 1. Numa festa, três meninos devem ser apresentados a 5 meninas. De quantas maneiras possíveis eles podem ser apresentados? Ajuda: N = p q, p = 3, q = 5 Resp: N = 3 5 = Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C? Ajuda: N = p q, p = 4, q = 3 Resp: N = 4 3 = Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala? Ajuda: N = p q, p = 3, q = 3 Resp: N = 3 3 = 9