Elementos de Matemática

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Maria das Neves Leão Bonilha
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1 Elementos de Matemática Exercícios de Lógica para as atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 27 de Abril de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré ulysses@matematica.uel.br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro para as aulas e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de domínio público, mas em inglês existe muito material que pode ser obtido na Internet. Sugiro que o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: Não sabeis que os injustos não herdarão o reino de Deus? Não vos enganeis: nem os devassos, nem os idólatras, nem os adúlteros, nem os efeminados, nem os sodomitas, nem os ladrões, nem os avarentos, nem os bêbedos, nem os maldizentes, nem os roubadores herdarão o reino de Deus. E tais fostes alguns de vós; mas fostes lavados, mas fostes santificados, mas fostes justificados em nome do Senhor Jesus Cristo e no Espírito do nosso Deus. Todas as coisas me são ĺıcitas, mas nem todas as coisas convêm. Todas as coisas me são ĺıcitas; mas eu não me deixarei dominar por nenhuma delas. A Bíblia Sagrada, I Coríntios 6:9-12

2 Seção 1 Exercícios de Lógica e Conjuntos 1 1 Exercícios de Lógica e Conjuntos Definição 1 (Proposição Atômica e Proposição Molecular). Proposição lógica Atômica (A) é uma proposição simples e proposição lógica Molecular (M) é aquela composta de duas ou mais proposições Atômicas. 1. Baseado na definição acima, identifique com as letras A ou M, cada uma das proposições seguintes: (a) Serviremos a comida às 12:00 horas. (b) A música está alta ou a porta está fechada. (c) Se Maria está cantando, ela está feliz. (d) Se x = 0 então x y = 6. (e) x + y < 10. (f) Esta proposição é Atômica ou Molecular. (g) Esta proposição Atômica não é Molecular. (h) Esta proposição Molecular não é Atômica. (i) Alunos estudam Lógica no primeiro ano de Matemática. 2. Montar quatro proposições moleculares com as proposições Atômicas: (a) Maria é linda. (b) João canta bem. 3. Identificar os conectivos nas proposições lógicas: (a) Hoje não é o dia mais feliz da minha vida. (b) O inverno chegou e os dias são mais curtos. (c) Se x = 0 então x y = 6. (d) x + y < 10 pois x < 5. (e) Este menino é meu irmão e eu sou a sua irmã. 4. Escrever proposições lógicas, nas formas: (a) Ou (...) ou (...) (b) (...) ou (...) (c) (...) e (...) (d) Não (...) (e) Se (...) então (...) (f) Se (...), (...) (g) Se não (...) então não (...) (h) Não é verdade que (...)

3 Seção 1 Exercícios de Lógica e Conjuntos 2 5. Use parênteses para identificar as proposições atômicas nas proposições: (a) João veio à aula e Maria não veio. (b) Se x + 2 = 7 então x = 5. (c) Se a 0 e ax + b = 0, então x = b/a. (d) Ou y = 0 e x 0 ou z = 1. (e) Não é verdade que se x + 1 = 7 então x = Escrever as proposições moleculares abaixo usando símbolos lógicos, identificando as proposições atômicas p e q associadas. Por exemplo, a proposição molecular: Jó irá ao teatro ou irá ao cinema, pode ser escrita como p q, onde p : Jó irá ao teatro e q : Jó irá ao cinema. (a) Dava um passo para a esquerda e andava dois passos para frente. (b) As rosas são vermelhas e as violetas são azuis. (c) Se o Brasil está na América do Sul, então está no hemisfério Sul. (d) Estes problemas de lógica não são fáceis para mim. (e) Se a aula de Lógica já começou, então eu estou chegando atrasado. 7. Traduzir para a linguagem comum das pessoas: (a) Se p, então q. (b) p ou q. (c) p e q. (d) Não p. (e) p equivale a q. (f) Se p equivale a q, então r. 8. Substituir as palavras pelos símbolos lógicos correspondentes. (a) p e q. (b) p ou q. (c) Se p então q. (d) p se, e somente se, q. (e) a negação de p. 9. Substituir as palavras pelos símbolos lógicos correspondentes. (a) x = 0 e y = 2. (b) x = 0 ou y = 2. (c) Se x = 0 então y = 2. (d) x y = 0 se, e so se, x = y. (e) x y = 0, sse, x = y. (f) A negação de x = 0.

4 Seção 1 Exercícios de Lógica e Conjuntos Escrever com símbolos lógicos as proposições abaixo, usando as proposições atômicas contidas nas proposições moleculares. (a) Se x = y então x = 7. (b) Se x y então x > 7. (c) x + y = 0 ou x y = 3. (d) Se a 0 e ax + b = 0 então x = b/a. (e) Se x y então x 1 e x Escrever com símbolos e indicar as proposições atômicas correspondentes. (a) Ulysses estuda na sala 12 e Márcia estuda na sala 11. (b) Os CDs antigos de José são bons mas os os CDs novos são ruins. (c) Maria tem 13 anos e Mário tem 15 anos. (d) Hoje é o dia 31 e amanhã é o dia primeiro. (e) João é alto ou Josefa é baixa. 12. Usar símbolos lógicos e exibir as proposições atômicas correspondentes a cada proposição molecular apresentada. (a) Ou Manuel fará a apresentação ou Manuel ajudará nas roupas. (b) Pode-se apresentar o vetor por meio de duas componentes ou estamos em três dimensões. (c) Uma anêmona é um animal ou é uma planta. (d) Temos que chegar cedo, ou outro ficará com o emprego. (e) A área do triângulo ABC é igual à área do triângulo DEF ou a área do triângulo ABC é menor que a área do triângulo DEF. 13. Analisar e indicar os conectivos em cada proposição. (a) Se a parede é de cor negra, ela não refletirá a luz. (b) x > 0 ou x = 0. (c) Se x + y = z então y + x = z. (d) Se x + y = 0 e x > 0 então y < 0. (e) Se x + y = 0 e x = 0 então y = Colocar parênteses de forma adequada para que cada uma das proposições abaixo seja uma conjunção com o conectivo. (a) p q r (b) p q r

5 Seção 1 Exercícios de Lógica e Conjuntos Colocar parênteses de forma adequada para que cada uma das proposições abaixo seja uma disjunção com o conectivo. (a) p q r (b) p q r 16. Traduzir para símbolos lógicos as afirmações. (a) Se x é menor do que dois, então x é igual a um ou x é igual a zero. (b) Se existe x menor que 3 e x é maior que 1, então x é igual a dois. (c) Se y = 4 e se x < y então x < 5. (d) Ou x é maior que cinco e y é menor que sete ou x não é igual a seis. (e) Se x + 3 > 5 e y 4 > 0 então y > Colocar parênteses de forma que cada proposição tenha a característica do conectivo indicado à esquerda da mesma. Condicional p q r p q r p q r Condicional p q r p q r p q r Conjunção p q r p q r p q r Conjunção p q r p q r p q r Disjunção p q r p q r p q r Disjunção p q r p q r p q r 18. Eliminando alguns parênteses, cada afirmação é verdadeira ou falsa? Com parênteses equivale a Sem parênteses V ou F? (p q) r equivale a p q r Verdadeira p (q r) equivale a p q r (p q) r equivale a p q r ( p) q equivale a p q p ( q) equivale a p q ( q) ( p) equivale a q p p (q r) equivale a (p q) r Falsa (p p) equivale a p q (p q) r equivale a p q r p (q r) equivale a p q r

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