EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E0353 Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente. São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5: A6,5= 720 Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: A6,4= 360 O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos

2 (COM João e SEM João). Portanto número total é = 1800 maneiras! E0306 De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher? O que eu tenho? h1, h2, h3, h4, h5, m1, m2, m3, m4 e m5. O que eu quero? 5 bancos com 2 lugares. abcde Como são 2 lugares cada banco, posso representar como ah am bh bm ch cm dh dm eh em h de homem e m de mulher. Para a posição a, tenho a opção de colocar homem e uma mulher. Vamos considerar colocando homem. Tenho 5 opções de homens e 5 opções de mulheres. Logo, ah am bh bm ch cm dh dm eh em 5 5 Para a posição b, eu teria 5 opções de homens, mas escolhi um para sentar na posição a. Então sobraram 4 opções.

3 ah am bh bm ch cm dh dm eh em Assim, sucessivamente: ah am bh bm ch cm dh dm eh em São modos para homens sentando-se à direita. Mas, existem, também, as possibilidades dos homens sentarem-se à esquerda. Então, para cada posição, temos 2 opções: ah am bh bm ch cm dh dm eh em = Ou, 5!5!. 25 E0300 Quantos anagramas tem a palavra BANANA? BANANA 6 letras, temos 6! = = letras N = 2! = 2.1 = 2 3 letras A = 3! = = 6

4 Temos 720 / / Resposta: A palavra BANANA tem 60 anagramas E0299 Carlos, Eduardo e Pires vão disputar um torneio de xadrez. Sabendo que eles jogam apenas uma vez com cada adversário e o vencedor será aquele que obtiver o maior número de pontos, quantos jogos serão realizados? 4 jogadores fazem os seguintes jogos: CARLOS x EDUARDO CARLOS x MORAES CARLOS x PIRES EDUARDO x MORAES EDUARDO x PIRES MORAES x PIRES São 4 jogadores, que serão separados de 2 em 2. Matematicamente falando, temos C4,2 C6,2 = 4! / 2! (4-2)! 4! / 2! 2! 24 / / 4 6

5 Resposta: Os quatro jogadores fazem 6 jogos. E0298 Dados os algarismos 5,6,7,8 e 9, formando-se números em ordem crescente, qual é a ordem do número ? em breve E0297 Se, numa reunião de 5 presidentes as reuniões acontecessem ao redor de uma mesa circular, de quantas maneiras eles poderiam ser organizadas? Para 5 presidentes, temos 5! = = 120. Porém, como a mesa é circular, devemos dividir pela quantidade de elementos (5). 120 : 5 = 24 Assim, para permutação circular, temos: n! / n 5! / / 5 24 R: 24 maneiras E0296 Quantos anagramas tem a palavra BELA com as letras BE sempre juntas e nesta ordem?

6 Para palavras com letras sempre juntas, unimos as letras: B E L A fica BE L A. A palavra com 4 letras será contada como palavra de 3 letras. Temos, então, para palavras com 3 letras, 3! = = 6. São 6 anagramas: BE L A, BE A L, A L BE, A BE L, L BE A, L A BE. Atenção: este exercício pediu as letras BE sempre juntas e NESTA ORDEM. Caso pedisse apenas sempre juntas, deveríamos multiplicar por 2, por ter 6 anagramas com as letras BE e mais 6 anagramas com as letras EB. Em ambos os casos elas estão juntas. R: 6 anagramas. E0295 De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças? Se não fosse circular, seria n!, ou seja, 5! = = 120. Mas, como é circular, devemos dividir pelo número de crianças: 5 Fica assim: n! / n 5! / / 5 = 24 Resposta: 24 modos. E0294 Quantos anagramas podemos formar com a palavra BOLA tendo as letras BO sempre juntas e nesta ordem? A palavra BOLA tem 4 letras. Logo, 4! = 24 anagramas.

7 Como ele quer as letras BO sempre juntas, temos apenas 3 opções: BO L A, então, 3! = = 6 R: 6 anagramas E0293 Dados os algarismos 5, 6,7,8 e 9, ao formar números em ordem crescente, qual é a posição do número ? E0291 Quantos anagramas tem a palavra BRASIL com as letras BR sempre juntas? Seria 6! para a palavra B R A S I L. Mas, como ele pede BR sempre juntos, unimos as duas letras, ficando BR A S I L, ou seja, fatorial de 5. 5! = = 120. São 120 anagramas com a palavra Brasil com BR sempre juntos. Só que, BR estão juntos, mas RB também.

8 Assim, temos 120 com BR juntos e 120 com RB juntos. Resposta: 240 anagramas E0290 Quantos anagramas tem a palavra FAROFA? FAROFA Farofa tem 6 letras. Logo, fatorial de 6, que dá 720 anagramas. A letra F aparece 2 vezes: 2! = 2.1 = 2 A letra A aparece 2 vezes: 2! = 2.1 = 2 Assim, temos 6! / 2! 2! 720 / / São 180 anagramas E0289 Num campeonato de futebol, disputaram p equipes em jogos de turno (o time escolhe o estádio a jogar) e returno (o time adversário escolhe o estádio a jogar). Sabendo que ao longo do campeonato foram 1260 jogos, qual o valor de p?

9 E0288 Dados 3,4,5 e 6, qual é a ordem do número 5.634?

10 E0284 Quantos anagramas tem a palavra MELHOR com as letras LH sempre juntas? A palavra MELHOR tem 6 letras. Logo, temos 6! = = 720 anagramas. Mas, neste caso, só servem os anagramas cujas letras LH estejam juntas. Assim, podemos juntá-las, formando uma só letra. Ao invés de 6 letras, teríamos uma palavra com 5. M E LH O R 5! = = 120 Mas, são 120 anagramas com LH juntos. Só que HL também estão juntos e tem, também, 120 anagramas. R: 240 anagramas (120 com LH e 120 com HL) E0283 Quantos anagramas tem a palavra MACACA?

11 Anagramas com palavras de letras repetidas: 1) calcule o fatorial da quantidade de letras 2) calcule o fatorial da quantidade de letras repetidas 3) Divide o primeiro pelo segundo MACACA tem 6 letras: 6! = = 720 letra C, 2 vezes: 2! = 2.1 = 2 letra A, 3 vezes: 3! = = / / 12 = 60 R: 60 anagramas E0282 Num campeonato de futebol, disputaram p equipes em jogos de turno (o time escolhe o estádio a jogar) e returno (o time adversário escolhe o estádio a jogar). Sabendo que ao longo do campeonato foram 1722 jogos, qual o valor de p? Como feito no exercício E0289, temos (n-1) (n) = 1722 n² n = 1722 n² n 1722 = 0 Por Bháskara, achamos x = -41 x = times jogando contra 41. R: são 42 times

12 E0281 Dados 3,4,5 e 6, qual é a ordem do número 4.635? E0279 (UEL-ADAPTADO) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 38 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? L1 L2 Temos dois livros diferentes. Quantas opções eu tenho para dar o livro 1 (L1)? 38. Quantas opções sobraram para que eu entregue o livro 2? 37. Logo, temos = 1406 maneiras. LETRA B E0193 Quantos anagramas tem a palavra ARARUAMA?

13 A palavra ARARUAMA tem as seguintes letras repetidas: A = 4 letras R = 2 letras Permutação com letras repetidas: E0191 Num campeonato de futebol, disputaram p equipes em jogos de turno (o time escolhe o estádio a jogar) e returno (o time adversário escolhe o estádio a jogar). Sabendo que ao longo do campeonato foram 870 jogos, qual o valor de p? Jogo de turno e returno a ordem importa (para saber quem tem o mando de campo). Se a ordem é importante, temos arranjo.. a b Para b, temos p possibilidades de equipes. Para a, temos menos 1 possibilidade, já que foi escolhido uma equipe em b. Logo, p menos 1 é p-1.

14 Assim, temos a multiplicação (p). (p-1). Essa multiplicação dará o número de jogos, ou seja, 870. (p). (p-1) = 870 Pela distributiva, chegamos a p² p = 870. Arrumando a equação, fica: p² p 870 = 0 Pela fórmula de Bháskara, achamos: x = 30 x = -29 Logo, temos 30 equipes que jogaram contra 29 equipes. R: 30 equipes. Método Alternativo: Quando o assunto é quantidade de jogos em que a ordem importa, basta descobrir dois números (um com o seu antecessor) que multiplicados resulta na quantidade de jogos: 2.1=2 3.2= = = = 870. É esse. E0266 Quantos anagramas tem a palavra CARLOS com as letras CA sempre

15 juntas? A palavra CARLOS tem 6 letras. Mas, como o enunciado pede CA juntas, vamos considerar 5 letras: CA R L O S Temos permutação de 5: 5! 5! = ! = 120 anagramas. São 120 anagramas com as letras CA juntas. Mas, há também 120 anagramas com as letras AC, que continuam juntas. Assim, a palavra CARLOS tem 240 anagramas com as letras C e A sempre juntas. E0190 Dados 1,2,5 e 7, qual é a ordem do número 5.127?

16 E0269 Determine p para que seja máximo: a) O elemento máximo será sempre o do meio. No caso, temos 10. A metade é 5. Assim, para o elemento máximo, p = 10. Vamos conferir:

17 b) Neste caso, temos um número ímpar. A metade de 21 é 10,5. Logo, P = 10 ou P = 11. Faça o mesmo para conferir. Você vai perceber que os elementos P=10 e P=11 são iguais. E0169 Com 7 vitaminas diferentes, quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar? Observe que a ordem dos coquetéis não importa. Logo, temos caso de combinação. Se fosse 7 coquetéis de dois em dois, seria combinação de 7 em 2 (C7,2). Como ele quer 2 ou mais, temos combinação de 7,2 ; 7,3 ; 7,4 ; 7,5 ; 7,6 e 7,7. Calculando as combinações acima, somamos tudo.

18 Resposta:120. E0155 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Determine que lugar ocupa

19 E1199 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Determine que lugar ocupa o 66º lugar.

20 E1198 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Determine que lugar ocupa o 166º algarismo escrito. Observe que não está pedindo o 166º número, até porque só vai até 120. Ele quer o 166º algarismo. Ex: O 1º número é o O segundo número é o Assim, os algarismos que aparecem na sequência são 1,2,4,6,7,1,2,4,7,6 Assim, cada número passado, deixamos para trás 5 algarismos. Se queremos o algarismo 166, dividindo por 5 números, temos 33,2 números deixados para trás. Ou seja, 33 números deixaram 165 algarismos. Como queremos 166, é o próximo algarismo do próximo número (34º). Qual é o 34º número?

21 E1197 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Determine a soma dos números assim formados. Temos 120 número formados (5!). Devemos somá-los. Existem 5!, que dá 120 parcelas de soma.

22 Agrupando-as em 60 pares, juntando a cada número o que se obtém dele e trocando o 1 com o 7, trocando o 2 com o 6, mantendo a posição do 4. A cada par, a soma vale Assim, temos x 60, o que dá E0154 Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada? E0153 De quantos modos se pode dispor doze objetos distintos em três grupos de quatro objetos?

23 E0152 De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 ou 2 grupos de 4?

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25 E0144 Se A é um conjunto de n elementos, quantas são as funções f : A A bijetoras? As funções injetoras com n elementos são: (n). (n-1). (n-2).. 1 = n! E0140 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO possíveis? Não tem letras repetidas. Fatorial de 8! = E1196 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que comecem e terminem por vogal? a.b.c.d.e. f.g. h Vamos começar pelas restrições: a= 4 : só pode ser vogal: temos 4 opções. h = 3 : só pode terminar com vogal. Se escolhemos 1 vogal e a, sobraram 3.

26 b = 6 (deveriam ser 8, mas escolhemos a e h) c=5 d=4 e=3 f=2 g=1 Temos, então: ou 3.4.6! = anagramas começando e terminando por vogais. E1195 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que têm as vogais e as consoantes intercaladas? a.b.c.d.e.f. g. h a = 4 : seja o início com vogais. b = 4 : se o início foi com vogais, temos agora 4 consoantes. c = 3 : Aqui será vogal. Eram 4, mas colocamos 1 em a, ficando 3. d=3 e=2 f=2 g=1 h=1

27 Temos: = 576 anagramas começando com vogais. Mas, teremos mais 576 anagramas começando com consoantes. Assim, temos como total de anagramas = anagramas. E1194 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem? Letras juntas, juntamos as lacunas e as letras. CAP I T U L O a bcde f a: Temos 6 opções, já que juntamos as letras. b: aqui ficaram 5, já que colocamos 1 opção em a. c: 4 d: 3 e: 2 f: 1 Fica: = 720 anagramas. E1193 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?

28 No caso acima, achamos 720 anagramas na ordem cap. Agora, não importa a ordem. Logo, temos 720 para cap, 720 para cpa, 720 para acp, 720 para apc, 720 para pac e 720 para pca, ou seja, temos 720 x 6 = anagramas. Ou, Quando temos anagramas com letras juntas em qualquer ordem, calculamos a quantidade normal e depois multiplicamos pelo fatorial das letras juntas. Neste caso, temos e 3 letras. Multiplicaremos por 3! = 6 O normal é 6! = x 6 = 4320 E1192 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que têm a palavra p em primeiro lugar e a letra a em segundo? pa a.b.c.d.e.f a = 6 opções, já que 2 delas já foram usadas. b=5 c=4 d=3 e=2 f=1 Fica: = 720 anagramas. E1191 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?

29 Neste caso, apareceu a palavrinha OU, ao invés de E. Vamos fazer com a letra p em primeiro lugar: p = Em seguida, vamos fazer com a letra a em segundo: _a = Somando os dois, temos = Perceba que quando começou com p, tivemos 5040 anagramas, incluindo p a, que começa com p. Quando fizemos com a em segundo, tivemos, também, p a, que tem a em segundo. Assim, contamos duas vezes a opção p a. Logo, desses anagramas, temos que uma das opções p a, que foi cotado duas vezes. Mas, quantas são essas opções? pa = 720. Assim, = anagramas. E1190 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO que têm a letra p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro?

30 Aqui teremos 3 contas: p em primeiro lugar: p = a em segundo lugar: _a = c em terceiro lugar: c = Somando as três, temos = Da mesma forma que o exercício anterior, tem anagramas dentre esses que foram contados mais de uma vez: pa = 720 p_c = 720 _ac = 720 Só aqui temos 720 x 3 = anagramas repetidos = anagramas. Observe que, ao tirar p a, acabamos tirando o p a c _, por isso,

31 tendo que devolver. Mas, quanto é p a c _? pac = 120 Tínhamos anagramas, devolvendo 120, ficamos com anagramas! E1189 Quantos são os anagramas a palavra CAPÍTULO nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p? C A P I T U L O a.b.c.d.e.f.g. h Quero A P C Considerando P: em a: não pode, pois deve ter A à sua esquerda. em b: neste caso, temos: AP = 720 anagramas em c: fica assim: A_P ou _ A P _ = 1200 anagramas. Observe que C não pode estar à esquerda de P.

32 em d: fica: A P ou _ A _ P ou A P = 1440 anagramas em e: fica A _ P _ ou _ A P _ ou A _ P _ ou _ A P _ anagramas = 1440 em f: A P ou _ A _ P ou A P ou _ A _ P ou A P totalizando 1200 anagramas em g: A _ P _ ou _ A P _ ou A _ P _ ou _ A P _ ou A _ P _ ou _ A P _ = 720 anagramas. em h: P não pode ficar em h, pois o C não poderia estar à sua direita. Observe que, juntando todas as opções, temos: a: zero b:

33 c: 1200 d: 1440 e: 1440 f: 1200 g: 720 h: zero Somando, fica: = anagramas. E0143 Quantos anagramas tem a palavra BOTAFOGO? BOTAFOGO tem 3 letras repetidas. Permutação com letras repetidas: Calcula a permutação da palavra normal: 8! Calcula a permutação das letras repetidas: 3! Divide um pelo outro: 8! / 3! ! / 3! Cortando 3! fica = anagramas. E0142 Quantas opções podemos arrumar 5 livros de matemática, 3 de Estatística e 2 de Física mantendo os livros de mesma matérias sempre juntos? Podemos separar em 3 blocos: Matemática Estatística Física

34 5! 3! 2! Ficaria 5! x 3! x 2! = 1440 maneiras, se fossem nessa ordem. Como não são nessa mesma ordem, multiplicamos pelo fatorial de quantidades a serem combinadas, neste caso, 3. 3! x 1440 = 6 x 1440 = E0141 Quantos anagramas tem a palavra CALOR começando por consoantes? CALOR a.b.c.d.e Vamos começar pela restrição. a = 3 : só pode ser consoante. b = 4 : seriam 5, mas foi escolhida a opção em a. c=3 d=2 e=1 Fica assim: ou 3.4! = 72 anagramas E0138 De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente, 8 x 90 como sendo o mesmo que 90 x 8.

35 Fatorando o 720, temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5, que pode ser representado como 24 x 32 x 51 Para calcular a quantidade de divisores, basta pegar os expoentes e somar com 1. Depois, multiplique-os. (Caso queira lembrar, clique aqui) Os expoentes são: 4, 2 e 1. Somando com 1, temos: 5, 3 e 2. Multiplicando-os, fica: = 30 O número 720 tem 30 divisores. Mas, não é isso que pede o enunciado. Ele quer saber quantos produtos podem ser formados com esses divisores. Se são 30 divisores, teremos apenas 15 produtos, pois da metade em diante, os produtos serão repetidos em ordem diferentes. Observe: 1 x 720, 2 x 360, 3 x 240, 4 x 180, 5 x x 120, 8 x 90, 9 x 80, 10 x 72, 12 x x 48, 16 x 45, 18 x 40, 20 x 36, 24 x 30 Esses são os produtos distintos. Daí para frente, começam a se repetir: 30 x 24, 36 x 20, 40 x 18 e assim por diante. R: 15 produtos diferentes.

36 E01188 De quantos modos o número 144 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente, 8 x 90 como sendo o mesmo que 90 x 8. O número 144 tem 15 divisores. Mas, o que o enunciado pede é a quantidade de produtos. Neste caso, sendo a quantidade de divisores um número ímpar, não podemos ter 7,5 produtos. Assim, chegamos 8 produtos diferentes, que são eles: 1 x 144, 2 x 72, 3 x 48, 4 x 36, 6 x 24, 8 x 18, 9 x 16, 12 x 12. R: 8 produtos. E0137 De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser rei? De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser rei? Baralho com 52 cartas não tem repetição e tem 13 cartas de copas e 4 reis. Serão sacadas 2 cartas. Observe que há restrição mas duas posições. Logo, restrição dupla, deveremos dividir o cálculo e somá-lo em seguida.

37 A 1ª carta sacada deve ser de copas e a 2ª não pode ser rei. Poderia ignorar a restrição dupla e fazer 13 x 47 (seriam 52 menos a 1ª carta sacada menos os 4 reis) No entanto, quando fosse considerar os 4 reis na 2ª carta sacada, este poderia ter saído na 1ª carta sacada. Assim, devemos dividir a conta em duas opções: A 1ª carta sacada é um rei (tem que ser de copas). A 1ª carta sacada não é um rei. Se a 1ª carta é um rei de copas, temos 1 x 48 (52 cartas menos a 1ª carta sacada menos 3 reis que sobraram). Se a 1ª carta não é um rei de copas, temos 12 (seriam 13, mas foi excluída a possibilidade do rei) x 47. Somando as duas: 1 x 48 = x 47 = = 612 São 612 modos. E0136 De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 x 8, de modo que não haja duas torres iguais em um tabuleiro 8 x 8 na mesma linha ou na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes? Torres iguais: Na 1ª linha, temos 8 opções para colocar 1 torre. Ao colocar a torre na 1ª linha, sobram 7 linhas para a 2ª torre, que não pode ser na mesma linha que a 1ª torre. Na 3ª linha, temos 6 linhas possíveis para colocar outra torre e assim

38 sucessivamente. Veja como fica: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = maneiras, sendo as torres iguais. Torres diferentes. Quando as torres eram iguais, não precisava se preocupar qual torre ficaria na 1ª linha, ou 2ª e assim por diante. Agora, sendo as torres diferentes, teremos os para as torres 1,2,3,4,5,6,7 e 8 respectivamente. Mas, temos mais maneiras para as torres 1,2,3,4,5,6, 8 e 7. Mais para as torres 1,2,3,4,5,7,8, e 6. Perceba que teremos 8! formas diferentes, ou seja, teremos formas diferentes. Assim, temos x maneiras = maneiras. E0135 De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas nãoadjacentes de um tabuleiro 8 8? E se os reis forem iguais? De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 8? A posição do 2.º Rei depende da posição do 1.º Rei. Vamos observar o que acontece quando o 1.º Rei desloca-se na linha A: O 1º Rei ficando na coluna 1, o 2º Rei perde 4 casas, ficando com apenas 60 casas (64 4). O mesmo vai acontecer quando o 1.º Rei ficar na casa A8.

39 Assim, temos 2 x 60 = 120 casas. Mas, na mesma linha A, se o 1.º Rei ficar na 2.ª coluna, o 2.º rei perde 6 casas, podendo ficar em apenas 58 casas. O mesmo vai acontecer com o 1.º Rei ficando em A3, A4, A5, A6 e A7. Assim, temos 6 x 58 = 348 casas. Temos, então, na linha A = 468 casas. Passando para a 2.ª linha (B), estando o Rei na 1.ª Coluna, o 2.º Rei perderá 6 casas, ficando com 58. O mesmo acontece quando o 1.º Rei ficar na casa B8. Assim, temos 2 x 58 = 116 casas.

40 Na 2.ª coluna, o 2.º rei perde 9 casas, ficando com apenas 55 casas. O mesmo acontece quando o 1.º Rei ficar nas casas B3, B4, B5, B6 e B7. Assim, temos 6 x 55 casas = 330 casas. Temos, então, na linha B = 446 casas. Analogamente, teremos 446 casas nas linhas C, D, E, F e G. 446 x 5 = casas. E0134 De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?

41 Assim, temos: 5 5 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 1 1 = E0133 De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? MÉTODO 1: CADEIRA 1 CADEIRA 2 CADEIRA 3 CADEIRA 4 CADEIRA 5

42 5.4.3 = 60 maneiras. MÉTODO 2: ALUNO 1 ALUNO 2 ALUNO 3 VAZIO VAZIO. Neste caso, seria com repetição. 5! / 2! = 120 / 2 = 60 maneiras. E0132 O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. a) Quantas funções f : A B existem? b) Quantas delas são injetoras? a) Quantas funções existem? Para cada elemento de A, existem 7 opções para corresponderem B. Exemplo: a1 em b1 a1 em b2 a1 em b3 a1 em b4 a1 em b5 a1 em b6 a1 em b7 Observe que temos 4 elementos:

43 Em cada elemento, temos 7 opções: = funções. E se elas forem injetivas? Bem, para serem injetivas, as não teremos 7 x 7 x 7 x 7, pois os elementos não podem se repetir. Ou, seja, elementos distintos. Fica: 7 x 6 x 5 x 4 = 840 funções injetivas. E0122 Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? O conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos. E0131 Quantos números inteiros há entre 1000 e 9999 com algarismos distintos? Números entre 1000 e 9999 têm 4 algarismos. a.b.c.d a: não pode ser o zero, pois começa em Logo, temos 9 opções. b: seriam 10 opções, mas já foi uma opção na unidade de milhar (a), restando 9 opções. c: seriam 10 opções, mas já foram 2 (a e b), restando 8 opções. d: seriam 10 opções, mas já foram 3 (a,b e c), restando 7 opções. Temos, então:

44 = E0130 Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras? = palavras E0128 Calcule a quantidade de elementos que um conjunto com 512 subconjuntos tem. n 2 = Fatorando o 512, teremos , que pode ser representado por 2. Logo, o valor de n vale 9, ou seja, o conjunto tem 9 elementos. E0127 Sejam os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões múltipla escolha, com 5 alternativas por questão, calcular quantas vezes a letra A NÃO aparece. São 10 questões. Se não pode cair a letra A, temos apenas 4 opções em cada questão.

45 = Isso aconteceu com uma questão. Como são 10 questões, multiplicamos por x 10 = opções. E0126 Sejam os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões múltipla escolha, com 5 alternativas por questão, calcular quantas vezes a letra A aparece exatamente uma vez. São 10 questões. Podemos calcular cada questão saindo apenas 1 letra A como: = Observe que uma das questões terá 1 opção, que é a letra A. As demais opções não terão a letra A, por isso, têm apenas 4 opções. Isso aconteceu com uma questão. Como são 10 questões, multiplicamos por x 10 = opções. E1186 Calcule a soma: C10,0 + C10,1 + C10,2 + + C10,10. C10,10, fica 210 = E0125 Calcule a equação Cx,0 + Cx,1 + Cx,2 + + Cx,x = 128 Cx,0 + Cx,1 + Cx,2 + + Cx,x = 128 Não sabemos quantas parcelas tem a equação. Mas, sabemos que:

46 2n = 128 Fatorando 128, temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, ou seja, 7 fatores de número 2. Logo, n = 7. Em nosso caso, x = 7. E0124 Quantos subconjuntos possui um conjunto com 10 elementos? 210 = 2048 Um conjunto com 10 elementos terá 2048 subconjuntos. E0123 Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {1,2,3,6,7}? Resolução: Para calcular a quantidade de subconjuntos de um certo conjunto, usamos 2n, em que n é a quantidade de elementos. n 5 2 = 2 = 32 elementos. E0121 Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por questão? Resolução: = gabaritos possíveis.

47 E0089 Na 1 fase de um campeonato de xadrez organizado em uma escola, cada participante joga uma unica vez contra cada um dos outros. Sabendo que foram realizadas 66 partidas nessa fase, quantas pessoas participaram do campeonato?

48 E0083 O campeonato brasileiro de futebol 2009 foi realizado em turno e returno, ou seja, cada equipe participante enfrentou todas as outras equipes duas vezes. Sabendo que ao todo foram realizados 380 jogos, quantas equipes participaram desse campeonato?

49 E0076 A senha de um cofre é formada por 5 dígitos, podendo ser quaisquer algarismos. Certa pessoa sabe que essa senha corresponde a um número par. Se essa pessoa demorar 9 segundos para realizar cada tentativa de validação da senha e não repetir tentativas, em quantas horas, no máximo o cofre estará aberto? 1º) Calcule a quantidade de maneiras. Tem restrição por ser número par (termina com par) Logo, a quantidade do opção na unidade simples é 5. Os demais eu terei 10 opções.

50 = Descobrimos que temos maneiras. Se cada tentativa demora 9 segundos, as maneiras vezes 9 segundos dá segundos. Mas, o enunciado pede em horas. 1 hora tem 3600 segundos. Em regra de três, conseguimos calcular que: 1h = 3600s x = s = 3600x = x = / 3600 x = 125 horas E0075 O sistema de numeração binário é um sistema posicional no qual as quantidades são indicadas a partir de dois números, em geral 0 e 1. Nesse sistema, o número 177 na base decimal, é representado por Os computadores digitais utilizam em seus processos internos o sistema binário, sendo denominado cada dígito binário, sendo denominado cada dígito binário de bite e cada conjunto de 8 dígitos, que forma um caractere, de baite. A partir dessas informações, de quantas maneiras distintas pode ser composto um baite? Tenho disponíveis duas opções: 1 e 0. Quero 8 algarismos = 256 maneiras. São 256 maneiras

51 E0067 Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9? E0544 De quantos modos distintos Lucas pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem? Lucas tem 9 camisetas. Ele quer escolher 4 delas.

52 Não importa qual a ordem que ele vai pegar as 4 camisetas. No final, ele estará com as mesmas peças. Se a ordem não muda a resposta, é combinação. E0541 Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grêmio de um colégio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha? Temos 10 alunos Queremos escolher 2. presidente temos 10 opções aqui presidente. vice-presidente temos 9 opções aqui, já que 1 foi para o cargo de Claro que, por se tratar de multiplicação, a ordem não importa. Poderia ser 10 para o vice e 9 para o presidente.

53 O importante é multiplicar as duas opções: 10 x 9 = 90 modos R: 90 modos distintos E0542 Determine o número de anagramas formados a partir da palavra SOSSEGADA. Não considerando as letras repetidas, teríamos 9! = Porém, como temos letras repetidas, vamos dividir pelo fatorial da quantidade de letras repetidas: S : aparece 3 vezes, logo, 3! = 6 A: aparece 2 vezes, logo, 2! = 2 Assim, devo dividir os anagramas por 3! x 2! = 6 x 2 = : 4 = A palavra SOSSEGADA tem anagramas. E0543 Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos. a) Quantos triângulos podemos construir com vértices em três desses pontos? b) Quantos pentágonos convexos podemos construir com vértices em cinco desses pontos? Item A: Ao colocar 8 pontos na circunferência, o ligar três desses pontos faremos um triângulo. Podemos obter o triângulo ABC, ABD, ABE Perceba que o triângulo ABC é o mesmo ACB, BCA, CAB Assim, a ordem dos

54 pontos não muda a resposta. Estamos com um caso de combinação. R: 56 triângulos Item B: Quantos pentágonos convexos podemos construir com vértices em cinco desses pontos? Faremos, agora, combinação com 5 pontos (pentágono). C8,5 Claro que você pode fazer o cálculo como foi feito no item A. No entanto, repare as duas combinações deste exercício. C8,3 C8,5 Observe que 3 da primeira somado com o 5 da segunda, dá o 8 das duas. Quando isso acontece, a combinação será a mesma. Assim, se C8,3 deu 56, C8,5 também será. Você pode fazer o cálculo para provar. R: 56 pentágonos. E0539 Determine o número de anagramas formados a partir de: a) LUA b) GATO c) ESCOLA d) REPÚBLICA

55 e) FESTA f) PERNAMBUCO a) LUA Tem 3 letras: 3! = = 6 anagramas b) GATO 4 anagramas 4! = = 24 anagramas c) ESCOLA 6! = = 720 anagramas d) REPÚBLICA 9! = = e) FESTA 5! = = 120 f) PERNAMBUCO 10! = = E0540 Em uma mesma prateleira de uma estante há 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria. a) De quantos modos podemos arrumar esses livros nessa prateleira, se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos? b) De quantos modos distintos podemos arrumar esses livros nessa prateleira de modo que nas extremidades apareçam livros de Álgebra e os livros de Trigonometria fiquem juntos?

56 Resolução: Item A: Podemos dividir os 10 livros em três grupos: Álgebra, Geometria e Trigonometria. Álgebra: são cinco opções: Geometria: são 3 opções: Trigonometria: são 2 opções: Ao todo, temos 10 livros: L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, L8, L9, L10 Porém, como queremos que os livros de um mesmo assunto estejam juntos. É o método TUDO JUNTO. A1, A2, A3, A4, A5 G1, G2, G3 T1, T2 Para a 1ª lacuna, temos 5 opções de ágebra. Para a 2ª lacuna, temos 4 opções. Para a 3ª temos 3 opções, para a 4ª temos 2 opções e para a 5ª temos 1 opção. Assim, fica: = 120 opções. A 6º lacuna é para Geometria. Temos 3 opções. Para a 7ª lacuna temos 2 opções e para a 8ª temos 1 opção. Fica: = 6 opções.

57 A 9ª lacuna é para o livro de Trigonometria. São 2 opções. Para a 10ª lacuna temos 1 opção. Fica: 2.1 = 2 opções. Assim, temos em cada grupo grupo 1 grupo 2 Álgebra grupo 3 Geometria Trigonometria Isso veio de: 5!. 3!. grupo 1 Álgebra 2! grupo 2 grupo 3 Geometria Trigonometria Ao multiplicarmos as opções, temos: = 1440 opções. No entanto, temos 1440 opções para a os grupos na ordem Álgebra, Geometria e Trigonometria. Mas, há mais 1440 opções na ordem Álgebra, Trigonometria e Geometria. e mais 1440 opções para cada ordem. Quantas ordens podemos fazer entre os 3 assuntos? 3 opções 2 opções 1 opção de assunto de assunto de assunto Ao todo temos = 6 opções de assuntos.

58 Se cada opção tem 1440, logo, 1440 x 6 = modos. R: 8640 modos. Ou ainda: Quero dividir em 3 opções: 3! = = 6 cada opção é subdividida em 5, 3 e 2: 5! x 3! x 2! = 120 x 6 x 2 Temos 6 x 120 x 6 x 2 = R: 8640 modos. Item B: De quantos modos distintos podemos arrumar esses livros nessa prateleira de modo que nas extremidades apareçam livros de Álgebra e os livros de Trigonometria fiquem juntos? Nas extremidades devem ficar os livros de Álgebra 5 4 Para a 1ª lacuna teremos 5 opções para Álgebra e para a última lacuna serão 4, já que colocamos 1 livro na primeira lacuna. Os livros de Trigonometria devem ficar juntos. É a regra do TUDO JUNTO. Juntando as lacunas de Trigonometria, que são 2 opções, temos 5 trig Sendo que para aquela lacuna, temos 2 opções. 4

59 5 2 4 Usamos 1 na primeira lacuna, 1 na segunda lacuna e 1 na última lacuna, ou seja, 3 livros. Como são 10, ainda faltam 7. Então, na terceira lacuna teremos 7 opções Multiplicando as opções acima, temos R: São modos. E0541 Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grêmio de um colégio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha? Temos 10 alunos Queremos escolher 2. presidente temos 10 opções aqui presidente. vice-presidente temos 9 opções aqui, já que 1 foi para o cargo de Claro que, por se tratar de multiplicação, a ordem não importa. Poderia ser 10 para o vice e 9 para o presidente.

60 O importante é multiplicar as duas opções: 10 x 9 = 90 modos R: 90 modos distintos E0072 Qual é a quantidade de números pares com 4 algarismos distintos que podemos formar com os números 1,2,4,5,7,8 e 9? Para ser um número par, o último número deve terminar com par. Dos algarismos disponíveis, o último algarismo do número só pode ser 2,4 ou 8. Assim, temos, nos 4 algarismos: Multiplicando as possibilidades: 4 x 5 x 6 x 3 = 360 Assim, existem 360 números pares formados com 4 algarismos. E0071 No sistema decimal, quantos números de 5 algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0, 2 e 4 apareçam agrupados? E0070 Com os algarismos 2,3,5,6,7 e 8, escrevem-se, em ordem crescente, todos os números naturais de 6 algarismos distintos possíveis. Nessa sequência, a) qual é a posição do número ? b) e quantos números estarão sucedendo o número ? CENTENA DE MILHAR Temos na ordem, 2,3,5,6,7 e 8, totalizando 6 algarismos.

61 Para cada algarismo, damos a quantidade n! / n. Neste caso, temos 6 algarismos, n vale 6. Vai dar 6! / 6 = 720 / 6 = Quero o 6. Deixo para trás 120 x 3 = 360 números DEZENA DE MILHAR Sobraram, na ordem, 2,3,5,7 e 8, totalizando 5 algarismos. Para cada algarismo, damos a quantidade n! / n. Neste caso, temos 5 algarismos, n vale 5. Vai dar 5! / 5 = 120 / 5 = Quero o 8. Deixo para trás 24 x 4 = 96 números UNIDADE DE MILHAR Sobraram, na ordem, 2,3,5 e 7 totalizando 4 algarismos. Para cada algarismo, damos a quantidade n! / n. Temos 4 algarismos, n vale 4. Vai dar 4! / 4 = 24 / 4 = Quero o 7. Deixo para trás 06 x 3 = 18 números

62 CENTENA Agora, temos na ordem, 2,3 e 5, totalizando 3 algarismos. Para cada algarismo, damos a quantidade n! / n. Neste caso, temos 3 algarismos, n vale 3. Vai dar 3! / 3 = 6 / 3 = Quero o 3. Deixo para trás 02 x 1 = 2 números DEZENA Temos na ordem, 2 e 5, totalizando 2 algarismos. Para cada algarismo, damos a quantidade n! / n. Neste caso, temos 2 algarismos, n vale 2. Vai dar 2! /2 = 2 / 2= Quero o 2, não deixando nenhum número para trás. UNIDADE Hora de somar o que ficou para trás e somar com 1 CENTENA DE MILHAR: 360 números DEZENA DE MILHAR: 96 números UNIDADE DE MILHAR: 18 números CENTENA: 2 números

63 DEZENA: 0 Somando: = 476 números ficaram para trás. Logo, o número que estamos procurando é o próximo, ou seja, 477.º b) e quantos números estarão sucedendo o número ? Vimos no início que, ao todo, são 720 números, pois são 6 algarismos e 6! = 720. Se o número está na posição 477, faltam 243 números. Logo, 243 sucedem ao número 477.º E0067 Calcule 6! + 3! 2! / 5!

64 E0069 7! 9! / 8! 5!

65 E0074 Para colorir um mapa-múndi, cada um dos seis continentes será pintado com uma cor diferente. De quantas maneiras distintas esse mapa pode ser pintado, dispondo-se para isso de 12 cores distintas? Tenho 12 cores disponíveis e quero utilizar = maneiras.