MATEMÁTICA I ANÁLISE COMBINATÓRIA 23! 48! 47! 24! 14! 13! 13! 18! 10! 100! 5! 3! 99! 98! =48. 48! 25 =98 b) ( ) 7! 6! n 1! =12. MÊS: FEVEREIRO NOME:

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1 NOME: MÊS: FEVEREIRO SÉRIE: 3 a TURMA: ENSINO: MÉDIO ANÁLISE COMBINATÓRIA 01) Simplifique: 20! a) b) 18! 14! 13! 13! c) 23! 48! 47! 24! 02) Simplificando a fração 101! 102! 100!, obtém-se: (A) (D) 101! (B) 102! (E) (C) ) Simplifique: 12! a) b) 10! 8! 5! 3! c) 100! 99! 98! 04) Assinale verdadeiro ou falso: 50! a) ( ) 48! 25 =98 b) ( ) 7! 6! =48 5! 05) Encontre o valor de n: n! 2 25n! 24=0. 06) Resolva a equação n 3! n 1! =12. 07) Resolva a equação: x 3! x 2!=15 x 1! 08) Determine o conjunto dos valores de n, tais que n! n 1! =15. n 1! 09) Todos os clientes de um banco dispõem de uma senha de acesso à conta bancária por meio do caixa eletrônico. Cada senha é uma sequência formada por 3 algarismos, escolhidos entre os 10 algarismos de 0 a 9, seguidos de 2 letras, escolhidas entre 26 letras do alfabeto. Se dois clientes não podem ter a mesma senha, pode-se afirmar que o maior número possível de clientes que esse banco pode ter é: (A) (D) (B) (E) (C) ) (UFRJ) Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor. Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. 11) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: (A) (D) (B) (E) (C) ) Em um debate entre candidatos a governador de certo estado compareceram 7 candidatos, sendo 4 homens e 3 mulheres. A organização do evento resolveu que os candidatos ficariam lado a lado, numa disposição não circular, e que os homens não ficariam juntos um do outro, e sim em posição alternada com as mulheres. Para isso, em cada um dos 7 locais a serem ocupados pelos candidatos, foi colocado o nome do respectivo ocupante. Nessas condições, é correto afirmar que o número de maneiras diferentes de esses candidatos serem arrumados em seus respectivos locais no debate é: (A) 121 (D) 144 (B) 124 (E) 169 (C) ) Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é um número natural de cinco algarismos distintos e não nulos. Com o objetivo de acessar esse arquivo, o hacker programou o computador para testar, como senha, todos os números naturais nessas condições. O computador vai testar esses números um a um, demorando 5 segundos em cada tentativa. O tempo máximo para que o arquivo seja aberto é: (A) 12h 30min (D) 12h 26min (B) 11h 15min 36s (E) 7h (C) 21h 14) De acordo com o Conselho Nacional de Trânsito CONTRAN os veículos licenciados no Brasil são identificados externamente por meio de placas cujos caracteres são três letras do alfabeto e quatro algarismos. Nas placas a seguir, as letras estão em sequência e os algarismos também. O número de placas que podemos formar com as letras e os algarismos distribuídos em sequência, como nos exemplos, é: (A) 192 (C) 184 (B) 168 (D) ) (FGV) Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a diretoria de um clube, formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a diretoria, em que Paulo seja vicepresidente e Bento não seja presidente nem tesoureiro. 1 5

2 16) (UFMG) Observe o diagrama. c) Quantos números ímpares com 3 algarismos distintos podem ser formados? d) Quantos números pares com 3 algarismos distintos podem ser formados? O número de ligações distintas entre X e Z é (A) 39 (C) 35 (B) 41 (D) 45 17) (UFG) Uma senha com seis algarismos tem as seguintes características: seus algarismos são distintos; a soma dos dois últimos algarismos deve ser igual a seis. Com essas características, determine a quantidade de senhas possíveis de serem formadas. 18) (FUVEST) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? (A) 551 (D) 554 (B) 552 (E) 555 (C) ) No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que essa senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque? 20) (UFRJ) A mala do dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condições: I. se o primeiro é ímpar, então o último algarismo também é ímpar; II. se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; III. a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5. Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo dr. Z? 21) Utilizando-se do sistema decimal de numeração (algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), responda ao que se pede. a) Quantos números com 3 algarismos podem ser formados? b) Quantos números com 3 algarismos distintos podem ser formados? 22) De todos os números menores que e maiores que , quantos são os que, lidos da esquerda para direita ou da direita para a esquerda, fornecem o mesmo valor? (Por exemplo: ) (A) 450 (D) 900 (B) 1500 (E) 500 (C) ) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, quantos múltiplos positivos de 5 compostos de três algarismos distintos podemos formar? (A) 32 (D) 60 (B) 36 (E) 72 (C) 40 24) (UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? 25) Quantos números naturais pares maiores que e com 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 26) Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e que podemos representar utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8, de modo que não haja algarismos repetidos. 27) (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. (A) 204 (D) 210 (B) 206 (E) 212 (C) ) a) Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO? b) Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO que começam e terminam por consoante? 29) Considere a palavra UNICAMP. a) Em quantos anagramas as letras UNI aparecem juntas e nessa ordem? b) Em quantos anagramas as letras UNI aparecem juntas? c) Em quantos anagramas as letras UNI não aparecem juntas? 30) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos? 31) (UFU) De quantas maneiras três mães e seus respectivos filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente-se junto ao seu filho? 2 5

3 (A) 6 (D) 36 (B) 18 (E) 48 (C) 12 32) (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em ordem alfabética? (A) 2520 (D) 840 (B) 5040 (E) 680 (C) ) Em quantos anagramas da palavra QUEIJO todas as vogais não aparecem juntas? 34) (ITA) O número de anagramas da palavra vestibulando, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: (A) 12! (D) 12! 8! (B) 8! 5! (E) 12! 7! 5! (C) 12! 8! 5! 35) (FGV) Um processo industrial deve passar pelas etapas A, B, C, D e E. a) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas no início do processo e A deve anteceder B? b) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas, em qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo? 36) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, calcule o número de possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem. 37) (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutandose os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número ocupa, nessa disposição, o lugar: (A) 21ª (D) 92ª (B) 64ª (E) 120ª (C) 88ª 38) (UFSCar) Todas as permutações com as letras da palavra SORTE foram ordenadas alfabeticamente, como em um dicionário. A última letra da 86ª palavra dessa lista é: (A) S (D) T (B) O (E) E (C) R 39) (UFMS) Se S é a soma de todos os números de cinco algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, então: (A) S = (D) S = (B) S = (E) S = (C) S = ) (UESPI) Ao colocarmos em ordem alfabética os anagramas da palavra MURILO, qual a quinta letra do anagrama que ocupa a 400ª posição? (A) M (D) I (B) U (E) L (C) R ) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número será: (A) 76 ª (B) 78ª (C) 80ª (D) 82ª (E) 95ª 42) (UNIFOR) Considere todos os anagramas da palavra FORTAL. Supondo que cada anagrama seja uma palavra, então, colocando todas as palavras obtidas em ordem alfabética, a que ocupará a 244ª posição é: (A) ATLORF (B) FALTOR (C) LAFRTO (D) LAFROT (E) LFAORT 43) Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. a) que lugar ocupa o número 62417? b) qual o número que ocupa o 66º lugar? c) qual a soma dos números assim formados? 44) Entre 8 policiais serão escolhidos 5 para garantir a segurança pessoal de um senador da República durante um evento. Quantos grupos de segurança diferentes podem ser formados se os escolhidos terão funções idênticas? 45) (UFCE) De um grupo de 6 brasileiros e 5 americanos deseja-se formar uma comissão composta por 4 brasileiros e 3 americanos. De quantas maneiras distintas podemos formar tal comissão? 46) Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João, que por sinal é o único que joga como goleiro. Nessas condições, quantos times de 5 pessoas podem ser escalados? 47) (UNICAMP) Uma comissão de 5 pessoas é formada de membros de uma congregação que é composta por 8 homens e 4 mulheres. De quantas maneiras é possível formar a comissão, de modo que ele tenha: a) exatamente duas mulheres? b) pelo menos duas mulheres? 48) (FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? (A) 71 (B) 75 (C) 80 (D) 83 (E) 87 49) (UNICAMP) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? Justifique sua resposta.

4 50) Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos. a) Qual é o número de segmentos de reta que podemos traçar com extremidades em dois desses pontos? b) Quantos triângulos podemos construir com vértices em três desses pontos? 51) Sobre uma reta r, marcam-se 7 pontos e sobre uma outra reta s, paralela a r, marcam-se 4 pontos. O número de triângulos que se pode obter, unindo 3 quaisquer desses pontos, é: (A) 304 (D) 330 (B) 152 (E) 126 (C) ) Assinale a alternativa na qual se encontra a quantidade de modos distintos em que podemos dividir 15 jogadores em 3 times de basquetebol, denominados Vencedor, Vitória e Confiança, com 5 jogadores cada um. (A) 3003 (D) (B) 9009 (E) (C) ) (UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se pode fazer tal distribuição? (A) (B) 7! 4! 4! 24! (C) (D) 28! 7! 4 7! 21! 54) Seis retas paralelas distintas de um plano se interceptam com outras cinco retas paralelas distintas desse plano (conforme figura). Calcule o número de paralelogramos cujos lados estão contidos nessa rede. 55) 12) (FUVEST) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores? (A) 10 (D) 13 (B) 11 (E) 14 (C) 12 13) (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram da forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? (A) 16 (D) 19 (B) 17 (E) 20 (C) 18 57) Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que começam por vogal? 58) (AFA) O número de anagramas da palavra ALAMEDA que não apresenta as 4 vogais juntas é: (A) 96 (C) 816 (B) 744 (D) ) (FUVEST) A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinaladas as casas de João (A), de Maria (B), a escola (C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o norte ou para o leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria? 60) (UnB) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado na figura II. Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os itens que se seguem. 4 5

5 0. Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursos possíveis será igual a Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é igual a ) A equação x + y + z = 7 tem somente: (A) 144 soluções naturais distintas. (B) 72 soluções naturais distintas. (C) 45 soluções naturais distintas. (D) 36 soluções naturais distintas. (E) 18 soluções naturais distintas. 62) Cinco moedas iguais devem ser colocadas em três cofrinhos diferentes. Sabendo que nos cofrinhos podem ser colocadas de zero a cinco moedas, o número de maneiras distintas que isso pode ocorrer é: (A) 36 (D) 25 (B) 32 (E) 21 (C) 30 63) (UFRJ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro Combinatória é fácil e 5 exemplares de Combinatória não é difícil. Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Combinatória não é difícil nunca estejam juntos. 64) Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da inequação x y z 5? GABARITO 28) 45) a) 5040 b) ) a) 120 b) 720 c) ) ) E 32) D 33) ) C 35) a) 6 b) 48 36) ) C 38) B 39) B 40) B 41) A 42) C 43) a) 81º b) c) ) 56 45) ) ) a) 336 b) ) A 49) ) a) 45 b) ) E 52) D 53) C 54) ) D 56) B 57) ) B 59) ) C C E 61) D 62) E 63) ) 56 01) a) 380 b) 13 c) 2 02) E 03) a) 132 b) 56 c) 99 04) a) V b) V 05) n = 0 ou n = 1 ou n = 4 06) n = 1 07) x = 1 08) n = 3 09) C 10) ) D 12) D 13) C 14) B 15) 80 16) B 17) ) A 19) ) ) 35) a) 900 b) 648 c) 320 d) ) E 23) B 24) ) ) ) E 5 5