EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: ANÁLISE COMBINATÓRIA 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO

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1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: ANÁLISE COMBINATÓRIA 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO ======================================================================= 1) (CESCEA) Um automóvel é oferecido pelo fabricante com 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões standard, luxo e superluxo, quantas são as alternativas para o comprador? 2) (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, qual é o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente? 3) (UFMG) Um teste é composto de 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 80% dos acertos, qual é o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas? 4) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Neste caso, qual é o número de maneiras diferentes de se fazer a programação da semana? 5) ( UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de Segunda a Sexta-feira, estas cinco atividades: a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; c) passeia com o cachorro da família; d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas de jardim de sua casa. Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, qual é o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades? 6) (UFCE) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre e que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos? 7) (UnB DF) Seis pessoas A, B, C, D, E e F - ficam em pé uma ao lado da outra para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em ficar em pé uma ao lado da outra, qual é o número de possibilidades para as seis pessoas se disporem? 8) (FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismo num mesmo número, podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 9) (MACK-SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles o restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, qual é o número de modos diferentes para se montar a composição? 10) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez.

2 Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. Qual é o número de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante a viagem? 11) (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor? 12) (UFMG) Dadas duas retas paralelas, marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a outra. Qual é o número de triângulos que podemos formar ligando esses 11 pontos? 13) (UFMG) Numa competição esportiva, dez atletas disputam os três primeiros lugares Admitindo que não haja empate, quantos resultados são possíveis para as três primeiras colocações? n! (n -1)! 6 14) (PUC-MG) Qual é o valor de n na equação? (n 1)! - n! 25 15) (CESCEM-SP) As placas dos automóveis são formadas por duas letras e quatro algarismos. Qual é o número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, Sem repetir nenhum algarismo? 16) (UFBA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro. Qual é o número de resultados possíveis para essa eleição? 17) (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar esse mapa com as cores vermelha, azul e verde do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantos modos distintos isso pode ser feito? 18) (ITA-SP)- Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, qual será a posição do número ? 19) (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra sucesso começam com s e terminam com o? 20) ( FEI-SP) Quantas diagonais possui um dodecágono? 21) (PUC MG) - Os habitantes de certa ilha têm predileção por uma loteria na qual o jogador deve escolher pelo menos 5 das 35 letras que compõem o alfabeto utilizado no lugar. Vence o jogo quem acertar as 5 letras sorteadas independentemente da ordem do sorteio. Pela aposta em uma quina, o jogador paga um pin, unidade monetária da ilha. Caso um apostador decida aumentar suas chances de ganhar marcando 7 letras, quanto deverá pagar pelo jogo, em pins? 22) (PUC MG) - As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M = {3, 4,6,7,8}. Nessas condições, qual é o número máximo de apartamentos desse hotel? 23) (PUC MG) - Com os elementos de A = {0,2,5,6}, é possível formar x números naturais compreendidos entre 100 e 1000, sem que haja algarismos repetidos em um mesmo número. Sendo assim, qual é o valor de x? 24) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. Qual é o número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha? 25) (UFMG) Na figura a seguir, qual é o número de ligações distintas entre X e Z?

3 26) (UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se pode fazer tal distribuição? 27) (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? 28) (UFMG) - A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão? 29) (UFMG) - A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? 30) (CEFET - MG) - Em um bar vende-se três tipos de cervejas: S, B e K. Qual é o número de maneiras diferentes que uma pessoa pode comprar quatro garrafas dessas cervejas? 31) (CEFET - MG) - Um teste possui 10 questões com apenas duas opções de respostas: (V) verdadeira ou (F) falsa. Para se obter pelo menos 70% de acertos, qual é o número de maneiras diferentes de marcar o gabarito? 32) (CEFET - MG) - De um pequeno aeroporto saem 7 vôos por dia, com diferentes destinos, sendo 3 pela manhã e 4 à tarde. Por motivos técnicos, dois desses sete vôos só podem sair à tarde. Qual é o número de ordens possíveis para as decolagens? 33) (CEFET - MG) - Num plano, existem vinte pontos dos quais três nunca são colineares, exceto seis que estão sobre uma mesma reta. Qual é o número total de retas determinado pelos vinte pontos? 34) (CEFET - MG) - Para se compor uma diretoria são necessários 6 membros, sendo um presidente e um vice-presidente. Sabendo-se que 9 pessoas se candidataram aos cargos, qual é o número de maneiras distintas para se pode formar essa diretoria? 35) (CEFET - MG) -A senha de um banco é constituída de 4 algarismos escolhidos entre os 10 de 0 a 9, seguidos de 3 letras dentre as 26 do alfabeto. Um cliente, ao determinar sua senha, decidiu que a parte numérica começaria por algarismo par e terminaria por algarismo ímpar, e que a parte literal teria início e término com vogal. Qual é o número de possibilidades que esse cliente poderia criar para sua senha?

4 36) (CEFET - MG) - O Conselho de Administração de um sindicato é constituído por dez pessoas, das quais uma é o presidente. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos pelos conselheiros, sendo que o presidente do conselho e o da diretoria não devem ser a mesma pessoa. Calcule o número de maneiras diferentes para compor os cargos. 37) No cartão da mega sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, calcule a quantidade de cartões que o apostador deve apostar. 38) Calcule o número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T. 39) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Calcule o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação. 40) Se os telefones de uma certa vila devem ter números de 5 algarismos, todos começando com 23 e todos múltiplos de 5,.calcule o número máximo de telefones que a vila pode ter. 41) Sabendo que x IN, determine o conjunto verdade ou solução da equação ( x 2)!(2x 2)! (2x 1)! ( x 1) x! 40 42) São dados 10 pontos num plano, dos quais 8 sobre uma mesma reta r e os outros 2 não alinhados com qualquer um dos oito pontos sobre a reta r. Quantos diferentes triângulos e retas podem ser formados usando os pontos dados como vértices? 43) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, Determine o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem.

5 ******************************************************************************** RESPOSTAS : 1) 42 2) 56 3) 576 4) 720 5) 60 6) 66 7) 144 8) 840 9) ) 24 11) 55 12) ) ) n = 5 15) ) 72 17) 60 18) 76 a 19) 60 20) 54 21) 21 22) 50 23) 18 28! 24) 61 25) 41 26) 27) (5!) 3 14!.3! 28) 29) 55 30) 15 31) ) (7!) 4!.6! 33) ) ) ) ) 28 38) ) ) ) S ={3} 42) 18 retas e 64 triângulos 43) 7 modos.