Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter. (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica.

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1 15 PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter Semana (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia

2 Combinatória 25 mai Permutação simples e anagramas 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

3 RESUMO Permutação Permutações são grupamentos que se diferem apenas pela posição de seus elementos, Permutação simples São grupamentos que não possuem elementos repetidos e estão dispostos de forma linear. É dado pela fórmula Pn = n! Permutação com elementos repetidos É importante ressaltar que o fato de haver repetições diminui a quantidade de permutações possíveis. O número de permutações de n elementos, dos quais n1, n2,...np são repetidos entre si é dado pela expressão n1, n2... n p n P n! = n!. n!... n! 1 2 p EXERCÍCIOS DE AULA 1. João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. 74 Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min.

4 2. Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por a)10².26² b) 10².52² c) ! 2! d) ! 2!.2! e) ! 2!.2! 3. O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número é a) 24. b) 31. c) 32. d) 88. e) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.

5 Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) José quer dispor 8CDs numa disqueteira tipo torre de 8 lugares. São 5 CDs de diferentes bandas de rock, além de 3 outros de jazz, de bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que tanto os CDs de rock quanto os de jazz estejam numa determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de música? a) 336 b) c) 56 d) 6720 e) EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é: 76 a) 144 b) 576 c) 720 d) e) Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, c, d de um ônibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor. Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes? a) 24 b) 18 c) 16 d) 12 e) 6

6 3. Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe dois painéis possíveis: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y < 60. Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e 12 b) 25 e 12 c) 8 e 24 d) 8 e Observe a malha abaixo. Quantos são os caminhos possíveis de serem realizados partindo do ponto A e chegando ao ponto B, sabendo que só é possível andar para cima e para a direita? 77 a) 64 b) 81 c) 70 d) 16 e) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente: a) 100 dias. b) 10 anos. c) 1 século. d) 10 séculos. e) 100 séculos

7 6. Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, c, d de um ônibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, conforme a ilustração. Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerandose distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes? a) 24. b) 18. c) 16. d) 12. e) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos é a) 2. b) 4. c) 8. d) 16. e) Quantos são os números naturais de 3 algarismos que possuem pelo menos um algarismo 3 ou pelo menos um algarismo 5? a) 448 b) 436 c) 392 d) 294 e) 452

8 QUESTÃO CONTEXTO Uma das brincadeiras mais famosas entre as crianças é o telefone sem fio. Essas são as suas regras: Todos se sentam em um círculo ou em fila, um ao lado do outro, e a brincadeira começa com um dos jogadores elaborando uma frase e dizendo-a bem baixinho no ouvido do participante que estiver ao seu lado. Este repete a frase, como a ouviu, para a próxima pessoa e assim sucessivamente até o último jogador, que deve dizer a frase em voz alta. Raramente ela será a mesma dita pela primeira pessoa da roda, o que garante a diversão do jogo. 10 amigos estão brincando de telefone sem fio: Roberta, Rodrigo, Fernanda, Gabi, Caroline, Guilherme, Hélio, Arthur, Ruth e Yuri. Eles se alinham de maneira que Rodrigo e Bruna sempre fiquem juntos e, quando Roberta começa, sempre Fernanda é a última. De quantas maneiras é possível arrumá-los segundo as especificações acima? 79 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. b 2. e 3. e 4. b 5. c 03. Questão contexto 7! Exercícios para casa 1. c 2. d 3. c 4. b 5. e 6. d 7. c 8. e