Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter. (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica.

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1 15 PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter Semana (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia

2 Combinatória 25 mai Princípio fundamental da contagem e Arranjos 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

3 RESUMO Antes de começarmos a estudar combinações, é fundamental sabermos o que é um fatorial. Fatorial O fatorial é uma operação aplicada apenas a número naturais e é definido da seguinte maneira: Podemos enunciar que o número de possibilidades de ocorrência do evento E é dado por: ne = ne1 ne2 ne n ( ) ( ). ( )... ( ) Ex.: Uma pessoa fará uma viagem e pretende levar 2 camisas, 2 calças e 3 sapatos. De quantas formas diferentes esta pessoa poderá se vestir, escolhendo uma camisa, uma calça e um sapato? n(e) = = 12 n N 1, se n = 0 n! = ( n-1).( n), se n> 0 Arranjos Ex: 0! = 1 3! = = 6 Princípio fundamental da contagem Essa técnica básica de contagem visa calcular o número de possibilidades de ocorrência de um evento E, composto por uma série de sub-eventos independentes: E1, E2, E3... Na composição do evento E, escolhe-se apenas umas das possibilidades de cada um de seus sub-eventos. Representamos os totais de possibilidades pelas quais os eventos podem ocorrer por: n(e): número de possibilidades do evento E n(ei): número de possibilidades do evento Ei São grupamentos nos quais a ordem de seus elementos é relevante. Ex.: Imaginemos o telefone de uma pessoa: Ao inverter dois de seus números temos: Assim, temos dois telefones diferentes. Logo, o número de telefone é um arranjo de números. Quantidade de arranjo simples: Um arranjo simples é aquele que não tem repetição de elementos e é dado pela fórmula A p n n! = ( n p)! Em que A é o total de arranjos, n é a quantidade de elementos disponíveis e p é a quantidades de elementos a serem escolhidos. 74 EXERCÍCIOS DE AULA 1. Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.

4 De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) 20. 8! + (3!)² b) 8!. 5!. 3! c) 8!.5!.3! d) e) 8!.5!.3! 2² 16! Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

5 O coeficiente de melhora da alteração recomendada é: a) b) 62! 10! c) 62! 4! 10!56! d) 62! - 10! e) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria. 76 Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? a) 21 b) 90 c) 750 d) e) 3 125

6 5. O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. EXERCÍCIOS PARA CASA A copa do mundo, dividida em 5 fases, é disputada por 32 times. Em casa fase, só metade dos times se mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas fases? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Pedro possui tintas de quatro cores e deseja pintar a bandeira abaixo.

7 Considerando que não é necessário usar sempre todas as cores e que duas regiões vizinhas não podem ter a mesma cor, o número de maneiras diferentes como Pedro pode pintar essa bandeira é: a) 36. b) 48. c) 72. d) 96. e) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra: 78 O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir jóias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

8 Com base nas informações fornecidas, quantas jóias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que 5 e o quarto e último era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha? a) 13 b) 60 c) 75 d) 78 e) Um fiscal do Ministério do Trabalho faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita mensal a essas empresas? a) 180 b) 120 c) 100 d) 48 e) Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os vigilantes. Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes ocupam os mesmos postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas distintas.

9 a) 35 b) 80 c) 480 d) Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem. O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a: a) 6 b) 24 c) 64 d) 168 QUESTÃO CONTEXTO 80 br/pme/brasil-e-oprimeiro-em-ranking-deempreendedorismo/ Brasil é o primeiro em ranking de empreendedorismo Três em cada dez brasileiros adultos entre 18 e 64 anos possuem uma empresa ou estão envolvidos com a criação de um negócio próprio. Em dez anos, a taxa total de empreendedorismo no Brasil aumentou de 23%, em 2004, para 34,5% no ano passado. Metade desses empreendedores abriu seus negócios há menos de três anos e meio. Gabriella é uma dessas jovens empreendedoras brasileira. Ela possui sua própria confeitaria e é especializada em fazer bolos. Estes podem ter três camadas de recheio ou duas, nos sabores de brigadeiro, doce de leite, côco e morango. Já para corbetura, ela usa chantilly ou glacê. Os bolos podem ser de sabor chocolate, baunilha e côco. Para fazer o cardápio de sua confeitaria, Gabriella precisa saber quais são todos as combinações de bolo que ela consegue confeitar. Ela fez as contas e achou o total de: a) 96 b) 384 c) 480 d) 526 e) 532

10 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. c 2. b 3. a 4. c 5. a 03. Questão contexto c 02. Exercícios para casa 1. b 2. e 3. a 4. b 5. e 6. b 7. c 8. b 81