Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus. (Fernanda Aranzate)

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João Victor Pacheco Carneiro
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1 1 PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Semana (Fernanda Aranzate) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 04/05 Progressão Geométrica - Soma 19:30 05/05 Exercícios de revisão: P.A. e P.G. 16:30 11/05 Combinatória: princípios básicos 13:30 1/05 Combinatória: permutações e combinações 16:30

3 18/05 Combinatória: tópicos especiais 13:30 19/05 Probabilidade: princípios básicos 16:30 5/05 Probabilidade: probabilidade condicional 13:30 6/05 Exercícios de revisão: combinatóra e probabilidade 13:30

4 Progressão geométrica 04 mai Soma 01. Resumo 0. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Seja a P.G. (a1, a, a3, a4,..., a n ) de razão q 1. Queremos encontrar uma expressão para: = a1 + a + a a n-1 + a n (I) Soma dos termos de um PG infinita Seja a P.G. (a1, a, a3,...) cuja razão q é tal que: -1 < q < 1 Assim q n é um número cada vez mais próximo de zero à medida que o expoente n aumenta. Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:.q = a1.q + a.q a n-1.q + a n.q (II) Então, quando calculamos para n suficientemente grande, temos: Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: = a1 1-q.q = a + a3 + a a n + a n.q (II) Fazendo (II) (I), temos:.(q-1) = a n.q - a1 Como, então:.(q-1) = a1.q n-1. q - a1,isto é.(q-1) = a1.q n - a Exemplo: Calcular a soma da P.G. (,, ) Trata-se de um P.G. infinita, pois q= 1/3 (-1 < q < 1) 1 1 A soma será = a1 = = 3 =. = 1-q Sn = a1 (q n - 1) q-1 Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (1,, 4,8,...) Temos: a1=1 e q=, então: S n a q = = = = = q 1 1 ( n 1) 1( 10 1) EXERCÍCIOS DE AULA 1. Obtenha uma progressão geométrica: a) de modo que a soma de seus três termos seja 1/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64. b) de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros termos é 1 e a soma dos dois últimos é 300.

6 . Um aluno do curso de biologia estudou durante nove semanas o crescimento de uma determinada planta, a partir de sua germinação. Observou que, na primeira semana, a planta havia crescido 16 mm. Constatou ainda que, em cada uma das oito semanas seguintes, o crescimento foi sempre a metade do crescimento da semana anterior. Dentre os valores a seguir, o que MELHOR aproxima o tamanho dessa planta, ao final dessas nove semanas, em milímetros, é: a) 48. b) 36. c) 3. d)30. e) 4 3. Helio comprou em uma loja, uma maquina de lavar roupas, no seguinte plano de pagamento: 10 parcelas, sendo a primeira de R$ 56,00 e o valor de cada parcela, a partir da segunda, correspondendo a 50% do valor da anterior. Helio pagou pela maquina o valor total de: a) R$ 511,75 4. b) R$ 511,50 c) R$ 511,00 d) R$ 510,50 e) R$ 510,00 Considere S = ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) Determine os valores de x que tornam S = a) 1 e 0 b) 1 e 3 c) 3 e 0 d) e 0 e) e 3 5. Numa reserva florestal foram computados coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados triplica. Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de coelhos esteja infectada. a) 9 b) 30 c) 31 d) 3 e) 33

EXERCÍCIOS PARA CASA 1. A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 1 e o produto, 16. Sabendo- -se que a razão é um número inteiro, calcule esses números.

7 EXERCÍCIOS PARA CASA 1. A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 1 e o produto, 16. Sabendo- -se que a razão é um número inteiro, calcule esses números.. Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a oferta, quanto teria recebido pelos 1 dias de trabalho? 3. Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o total de aves dessa criação? 4. Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água? Um cachorro persegue um coelho. A velocidade do coelho é 1/10 da velocidade do cachorro. A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando o cachorro vencer os 100 metros, o coelho terá corrido 1/10 do que percorreu o cachorro e ficará 10 metros a sua frente. Quando o cachorro correr esses 10 metros, o coelho terá percorrido 1/10 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando o cachorro correr esse metro, o coelho terá corrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a pensar que o cachorro nunca alcançará o coelho. Assim também pensou o coelho. Azar dele. Com os recursos estudados é possível determinar em que ponto o cachorro alcançará o coelho. E, então, quantos metros ele deverá correr para alcançar o coelho?

8 6. O professor G. Ninho, depois de formar uma progressão aritmética de 8 termos, começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais, notou que o º, o 4º e o 8º termos formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. G. Ninho observou ainda que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a: a) 4 b) 36 c) 3 d) 8 e) 4 7. Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é a) menor que 84. b) igual a c) maior que 150. d) igual a 104. e) igual a Uma determinada planta aquática se reproduz intensamente. O número de indivíduos, em condições estáveis, é multiplicado por 3 a cada dia. Se, nas condições normais, iniciando com uma dessas plantas, são necessários 60 dias para preencher a superfície de um lago, iniciando com 3 das referidas plantas, a mesma superfície será preenchida no tempo de: a) 31 dias. b) 0 dias. c) 57 dias. d) 59 dias. e) 30 dias.

9 QUESTÃO CONTEXTO Lenda do Criador do Xadrez Fonte: Matemática: ª série, grau. Gelson Iezzi e outros. São Paulo, Atual Ed., p. Ilust. Conta-se que o criador do jogo de xadrez, ao ser chamado por seu rei desejoso de recompensá-lo, fez o seguinte pedido: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, grãos de trigo pela segunda e assim sucessivamente, sempre dobrando, até a última das 64 casas. Tempos depois, o soberano deve ter sido informado por sua assessoria especializada de que jamais conseguiria satisfazer àquele pedido aparentemente despretensioso, mas que significava uma quantidade fabulosa de trigo. Em nosso sistema de numeração, esse número de grãos é representado com 0 algarismos. Qual a quantidade de grãos que o inventor do xadrez teria ganhado? GABARITO 01. Exercícios para aula 1. a) (3/8, 3/4, 3/). c 3. b 4. d 5. c b) (, 10, 50, 50) ou (-3, 15, -75, 375) 03. Questão contexto Exercícios para casa 1. 3, 6, 1. R$4096, segundos ou 1 minuto /9 m 6. a 7. b 8. d

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