Aula 08 - Erivaldo ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 Aula 08 - Erivaldo ANÁLISE COMBINATÓRIA

2 Arranjo e Combinação Arranjo Combinação A n,p = A n p = n! (n p)! n! C n,p = C p n = p!.(n p)!

3 1) Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar com os algarismos ímpares do nosso sistema de numerção.

4 2) Quantos subconjuntos de três elementos distintos pode-se formar com os elementos do conjunto { 1, 3, 5, 7, 9 }.

5 3) Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar com os algarismos pares do nosso sistema de numerção.

6 4) Quantos números de três algarismos pode-se formar com os algarismos ímpares do nosso sistema de numerção.

7 5) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. O número de triângulos, com vértices em três desses pontos é: A B C D E F G H I J 3 3 C 10 - C 7 - C 3 3 = 10! 3!.7! 7! 3!.4! 3! 3!.0! = = 84

8 6) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 5 pontos. O número de quadriláteros convexos, com vértices em quatro desses pontos é: A B C D E F G C 7 2 H I J K L C 5 2 (2 pontos em cima) e ( 2 pontos em baixo) C 7 2. C 5 2 7! 2!.5!. 5! 2!.3! = 2100

9 7) Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas? Comissões de interesse: (3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H) C 5 3 x C 4 2 C 5 4 C x + C 5 5 5! 3!.2! x 4! 2!.2! + 5! 4!.1! x 4! 1!.3! + 5! 5!.0! 10 x 6 + 5x 4 +1= 81

10 Problemas: 1) (UFSC) Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. Incorreto 5 médicos e 10 enfermeiros 1 médicos e 4 enfermeiros 5! 1!.(5 1)! x 10! 4!.(10 4)! C 5 1 x 4 C ! 1.4! x ! ! 5 x 210 = 1050

11 2) (FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos? 8 de limpeza e 5 de alimentos Escolher 4 itens Tipos de Sacolas: LLAA, AAAL, LLLL, ALLL, AAAA,... 4 C 13 - C C 5 4 = 13! 4!.9! 8! 4!.4! 5! 4!.1! = = 640

12 3)(FUVEST) Uma turma de Educação Física de um colégio é formada de 10 estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente serão designados por h 1, h 2,..., h 10, (h 1 < h 2 <... < h 10 ). O professor escolherá cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos grupos que podem ser escolhidos, quantos o estudante cuja altura é h 7 ocupará a posição central durante a demonstração? Alunos: h 1, h 2, h 3, h 4, h 5, h 6, h 7, h 8, h 9, h 10 5 alunos: h 7 C 6 2. C 3 2 6! 2!.4!. 3! 2!.1! = 45

13 4) (ACAFE) João Apostador passou em frente a uma lotérica e resolveu fazer uma fezinha. Entre todas as loterias disponíveis, escolheu a Mega Sena e fez uma aposta simples. Porém, ao assinalar os números cometeu um equívoco, assinalando 7 números no cartão. Sabendo que os jogos da Mega Sena são compostos de 6 números, e cada aposta com 6 números custa R$ 2,00, o custo do cartão preenchido por João Apostador foi de: a) R$ 12,00, pois é possível formar 6 combinações. b) R$ 4,00, pois como ele assinalou um número a mais, é possível formar apenas duas combinações. c) R$ 42,00, pois como ele assinalou 7 números, é possível fazer 21 jogos diferentes. d) R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações.

14 5) (ACAFE) Considerando ainda o caso da questão anterior, João Apostador conferiu o resultado do sorteio no seu cartão e verificou que havia acertado 4 números (quadra), tendo assinalado 7 no cartão da Mega Sena. O prêmio pago pela quadra naquele dia foi R$ 64,32. Sendo assim, nosso ganhador recebeu: a) R$ 64,32, pois ele acertou apenas 4 números. b) R$ 192,96, pois com aquele cartão ele acertou 3 quadras. c) R$ 128,63, pois com aquele cartão ele acertou 2 quadras. d) R$ 221,60, pois com aquele cartão ele acertou 5 quadras.

15 Aula 08 - Erivaldo FIM