AULAS 07 E 08: ARRANJOS SIMPLES E COMBINAÇÕES SIMPLES EXERCÍCIOS PROPOSTOS

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1 ANUAL VOLUME 2 MATEMÁTICA III AULAS 07 E 08: ARRANJOS SIMPLES E COMBINAÇÕES SIMPLES EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Marcela C13,5 13! ! C13, ! 8! ! 02. Para calcularmos o número binomial 4, 8 é claro que é necessário o conhecimento do valor de k. Neste caso, uma vez que, por hipótese, ele é a quantidade de números ímpares, com algarismos distintos, compreendidos entre 5000 e 9000, que podemos formar com os dígitos 5, 6, 7 e 9, temos dois casos a considerar, a saber: Caso 1: Último algarismo terminando com 9. Note que, neste caso em particular, devemos tomar três decisões: Decisão 3 Decisão 2 Decisão 1 Escolher um Escolher o algarimso x algarimso 9. tal que 5 x 9. Calcular um arranjo dos 2 elementos restantes tomados 2 a 2. Assim, como o número de maneiras de tomarmos as decisões 1, 2 e 3 são, respectivamente, iguais a 1, 3 e A 2,2, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que existem 1 3 A 2,2 = 6 números ímpares, nas condições do problema, terminando com o algarismo 9. Caso 2: Último algarismo não terminando com 9. Note que, neste caso em particular, também devemos tomar três decisões: Decisão 3 Decisão 2 Decisão 1 Escolher um Escolher um algarimso x algarimso ímpar tal que 5 x 9. Calcular um arranjo distinto de 9. dos 2 elementos restantes tomados 2 a 2. Assim, como o número de maneiras de tomarmos as decisões 1, 2 e 3 são, respectivamente, 2, 2 e A 2,2, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que existem 2 2 A 2,2 = 8 números ímpares, nas condições do problema, não terminando com o algarismo 9. Portanto, existem, ao todo, k = = 14 números ímpares, com algarismos distintos, entre 5000 e 9000, formados com os dígitos 5, 6, 7 e 9. 4 Daí, substituindo o valor de k no número binomial, concluímos o seguinte resultado: 8 k ! 210. k ! 4!

2 03. Seja n o número de mulheres na festa. Ora, levando em conta que o número de pessoas na festa foi igual a 37, é claro que 37 n é o número de homens. Além disso, é claro que, para haver aperto de mão, é necessária, independentemente da ordem, uma escolha de dois homens ou de uma mulher e de um homem. Assim, uma vez que, por hipótese, todos se cumprimentaram e que o número de apertos de mãos foi igual a 720, obtemos: 2C C C 720(*) 37n,2 n,1 37n,1 (37 n)! 2 n (37 n) 720 2! (35 n)! 2 2 (37 n) (36 n) n (37 n) n 36n n 37n n n 612 n 17. Nota: Na igualdade onde marcamos com (*), observe que multiplicamos C 37 n,2 por 2. Isto aconteceu, pois, entre homens, houve aperto de mão na entrada e na saída. Resposta: B 04. Para formarmos um triângulo, é claro que, é necessário escolhermos três pontos não colineares, independentemente da ordem. De fato, note que a escolha dos vértices A, B e C, em qualquer ordem, nos fornece o triângulo ABC. Neste caso, levando em conta que, à nossa disposição, há dez pontos co-planares dos quais, quatro são colineares, temos que o número de triângulos formados com esses pontos é dado por: 10! 4! C 10,3 C 4, ! 7! 3! 1! 05. Note que, para formarmos polígonos com os vértices A, B, C, D, E, F, G, é necessária uma escolha, independentemente da ordem, de três ou mais pontos conforme seja a classificação do polígono. Neste caso, temos: Número de triângulos: Basta calcular o número de combinações simples de sete elementos tomados três a três, a saber: 7! C7, ! 4! 06. Número de quadriláteros: Basta calcular o número de combinações simples de sete elementos tomados quatro a quatro, a saber: 7! C7, ! 3! Número de pentágonos: Basta calcular o número de combinações simples de sete elementos tomados cinco a cinco, a saber: 7! C7,5 7. 5! 3! Observando o argumento precedente, veja que o número de triângulos é igual ao número de quadriláteros, o que nos permite assinalar o item A como resposta. B 1 B 2 B 3 C 6,2 C 4,2 C 2,2 6! 4! 654! 432! = 1 1 2! 4! 2! 2! 214! 21 2! = = maneiras. Resposta: D 2

3 07. Note que, para calcularmos o número de caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos que ligam os pontos A e B, são necessárias duas decisões, a saber: Decisão 1 Decisão 2 Calcular o número de Calcular o número de caminhos que ligam os caminhos que ligam os pontos A e O. pontos O e B. Assim, uma vez que o número de caminhos que ligam os pontos A e O é 6 (ARSO, ARVO, ATSO, ATXO, AUVO, AUXO) e, o número de caminhos que ligam os pontos O e B é 6 (OKLB, OKYB, OMLB, OMNB, OWYB, OWNB), concluímos, pelo princípio multiplicativo, que o número de caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos, que ligam os pontos A e B é dado por 6 6 = Lembrete: O número de combinações simples de N elementos, tomados P a P é dado por: C N,P P N N! CN P P! N P! O número total de comissões que podem ser formadas será: Total = C 10,2 + C 10,3 + C 10,4 + C 10,5 10! 10! 10! 10! 2!8! 3!7! 4!6! 5!5! Resposta: D 09. Para calcularmos o número de maneiras em que esse treinador pode escalar seu time, devemos considerar as duas únicas situações possíveis, a saber: (i) aquela em que o goleiro é escolhido entre um dos dois jogadores que só atuam no gol e o restante, entre os treze que atuam em qualquer posição, e, (ii) aquela em que o time inteiro é escolhido entre os treze que atuam em qualquer posição. Neste caso, temos: Número de escalações na 1ª situação: Nesta situação, temos duas decisões a tomar, a saber: Decisão 1 Decisão 2 Escolher um Escolher os dez goleiro entre os dois outros jogadores entre jogadores que só os 13 que jogam em jogam no gol. quaisquer posições. 3

4 Assim, levando em conta que o número de maneiras em que podemos tomar as Decisões 1 e 2 são, respectivamente, 13! 2 e C 13,10, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que existem 2C13, escalações possíveis na 10! 3! 1ª situação. Número de escalações na 2ª situação: Nesta situação, devemos escolher os onze jogadores entre os treze que atuam em qualquer posição. Assim, uma vez que esse total de maneiras é dado pelo número de combinações simples de 13 elementos tomados 11 a 11, concluímos que 13! existem C13,11 78 escalações possíveis na 2ª situação. 11! 2! Daí, pelo princípio aditivo, segue que, ao todo, existem = 650 maneiras distintas para que o treinador escale seu time. 10. Neste problema, queremos calcular o número n de maneiras distintas que podemos apresentar os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 na tela de um caixa eletrônico (ver figura acima). Para tanto, é necessário tomarmos cinco decisões, a saber: Decisão 1 entre os dez para o botão 1. Decisão 2 entre os oito para o botão 2. Decisão 3 entre os seis para o botão 3. Decisão 4 entre os quatro disponíveis para o botão 4. Decisão 5 entre os dois para o botão 5. Neste caso, levando em conta que, em cada botão, os algarismos devem estar em ordem crescente, temos que o número de A10,2 10! A8,2 8! A6,2 6! maneiras de tomarmos as decisões 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente:,,, P 2! 8! P 2! 6! P 2! 4! A4,2 4! A2,2 2! e. Assim, pelo princípio multiplicativo, concluímos que o valor de n é dado por: P 2! 2! P 2! 0! 10! 8! 6! 4! 2! 10!. 5 2! 8! 2! 6! 2! 4! 2! 2! 2! 0! Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por ! 6! ! 4! 3! 3!

5 12. O resultado pedido corresponde ao número de maneiras que podemos escolher 1 sabor de fruta cítrica e 2 sabores de frutas silvestres ou 3 sabores de frutas silvestres, isto é, ! ! 3! 13. Para resolvermos este problema, é necessário tomar duas decisões, a saber: Decisão 1 Escolher o vigilante da entrada principal. Decisão 2 Escolher três postos para a ocupação dos três vigilantes restantes. Note, entretanto, que a ordem na escolha do vigilante para o seu posto é relevante. De fato, são distintas as disposições: Posto 1 Posto 2 Posto 3 Posto 4 Posto 5 Posto 6 Posto 7 Vigilante 1 Vigilante 2 Vigilante 3 Vigilante 4 e Posto 1 Posto 2 Posto 3 Posto 4 Posto 5 Posto 6 Posto 7 Vigilante 4 Vigilante 2 Vigilante 3 Vigilante 1 pois, na primeira, temos o vigilante 1 na entrada principal e na segunda, o vigilante 4 na entrada principal. Neste caso, uma vez que o número de maneiras de se realizar as decisões 1 e 2 são, respectivamente, 4 e A 6,3, concluímos, 6! pelo princípio multiplicativo, que existem 4A6, maneiras. 3! > 30 Total Homem Mulher Total Então H H H M M C 7,3 C 6,2 = 7! 6! ! 65 4! = = 525 maneiras 3! 4! 2! 4! ! 21 4! 15. A 1 A 2 e C 8,3 C 8,5 = 8! 8! 8765! 8765! ! 5! 5! 3! 3 21! 5! 5! 3 21 = 112 maneiras Resposta: B 5

6 16. Para respondermos a esse problema, é necessário calcular o número n de perguntas feitas pelo jornalista e o número m de perguntas feitas por cada candidato, a fim de obtermos o resultado de n + 5m, que é, obviamente, a reposta do problema. Neste caso, temos: Número n de perguntas feitas pelo jornalista: O número n de perguntas feitas pelo jornalista é igual ao número de escolhas de dois candidatos entre os cinco disponíveis para o debate. Note que, neste caso, a ordem da escolha é influenciável, pois, o primeiro escolhido responderá à pergunta do jornalista e o segundo escolhido comentará a resposta do primeiro. Assim, concluímos que n = A 5,2 = 5 4 = 20. Número m de perguntas feitas por cada candidato: O número m de perguntas feitas por cada candidato é igual ao número de escolhas de dois candidatos entre os quatro outros disponíveis para o debate. Note que, neste caso, uma vez mais a ordem da escolha é influenciável, pois, o primeiro escolhido responderá à pergunta do candidato perguntador e o segundo escolhido comentará a resposta do primeiro. Assim, concluímos que m = A 4,2 = 4 3 = 12. Portanto, segue que são possíveis, no mínimo, n + 5m = = 80 perguntas pelo jornalista e pelos candidatos sem haver, obviamente, repetição de perguntas. Nota: Observe que sendo, ao todo, cinco candidatos, temos que o total de perguntas possíveis na parte 2 é igual a 5 m. 17. Antes de iniciarmos a solução desse problema, convém tentar entender o motivo de, ao assinalar seis números, existir apenas uma sequência favorável de tamanho 6 e, ao assinalar sete números, existirem sete sequências favoráveis de tamanho 6. Com efeito, uma vez escolhidos seis números (1, 2, 3, 4, 5, 6, por exemplo), como a ordem da escolha não é influenciável, temos que o número de sequências de tamanho 6 que podemos formar com esses números é dado por C 6,6 = 1. Analogamente, uma vez escolhidos sete números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, por exemplo), como a ordem da escolha não é influenciável, temos que o número de sequências de tamanho 6 que podemos formar com esses números é dado por C 7,6 = 7. Nestas condições, vamos aos itens: a) Falso. Com efeito, sabendo que a aposta máxima consiste de uma escolha de 15 números, temos que o valor da aposta é 15! dado por 2C15, reais. 6! 9! 14! b) Falso. Com efeito, sabendo que a aposta com 14 números nos fornece C14, sequências de tamanho 6, 6! 8! concluímos que o valor da aposta é dado por = 6006 reais. 10! c) Verdadeiro. De fato, note que um cartão com dez números assinalados nos fornece C10,6 210 sequências 6! 4! possíveis de tamanho 6. Consequentemente, em dois cartões com dez números assinalados em cada um, temos ao todo, = 420 sequências possíveis de tamanho 6. Quanto a um cartão com nove números assinalados, veja que temos 9! ao todo C9,6 84 sequências possíveis de tamanho 6. Portanto, em 5 cartões com nove números assinalados em 6! 3! cada um, temos 584 = 420 sequências possíveis de tamanho 6. Nestas condições, é claro que o valor da aposta em qualquer situação é o mesmo, a saber: R$ 840,00. 12! d) Falso. Com efeito, uma aposta com 12 números assinalados, nos fornece C12,6 924 sequências de tamanho 6 6! 6! ao custo total de R$ 1848,00. 13! e) Falso. Com efeito, uma aposta com 13 números assinalados, nos fornece C13, sequências de tamanho 6 6! 7! ao custo total de R$ 3432,00, que é diferente de R$ 3696,00 = 2 (R$ 1848,00). 18. Para a escolha dos componentes do grupo A, devem ser selecionados dois times sem importar a ordem e, para a escolha do jogo de abertura, devem ser selecionados dois times importando a ordem, pois o primeiro escolhido jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. Assim, temos uma combinação e um arranjo, respectivamente. 6

7 19. Note que, neste problema, devemos tomar duas decisões, a saber: Decisão 1 Contar o número de indicações de três membros entre os 40 deputados existentes do partido A. Decisão 2 Contar o número de indicações de um membro entre os 15 deputados existentes do partido B. Neste caso, uma vez que o número de maneiras de tomarmos as decisões 1 e 2 são, respectivamente, C 40,3 e C 15,1, 40! concluímos, pelo princípio multiplicativo, que existem C40,3 C15,1 15 maneiras de compor essa comissão de 3! 37! parlamentares. 20. Para encontrarmos o número n de agrupamentos ordenados, formados de 200 aminoácidos, entre os 20 diferentes tipos oferecidos, devemos tomar duzentas decisões iguais do tipo: escolher um aminoácido entre os 20 ofertados. Neste caso, uma vez que cada decisão pode ser tomada de 20 maneiras, temos que n = é o número procurado. Daí, levando em consideração que: n 20 log n log 20 log n 200 (log 2 log10) log n 200 (0,30 1) log n 260 Concluímos, via definição de logaritmo, que n = Paulo H. 11/11/15 REV.:?? _Pro_Aulas07e08_Arranjos Simples e Combinações Simples 7