Introdução as Probabilidades e ao Cálculo Combinatório

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1 Aula # 13 e 14 DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Introdução as Probabilidades e ao Cálculo Combinatório Professor: Dr. Wilfredo Falcón Urquiaga Professor Titular Engenheiro em Telecomunicações e Eletrônica Doutor em Ciências Técnicas falconcuba2007@gmail.com

2 PROBABILIDADE A palavra probabilidade deriva do latim Probare, que significa testar, provar. Probabilidade as vesses é substituída por algumas palavras como sorte, risco, azar, incerteza, duvidoso, dependendo do contexto. É utilizada em circunstâncias onde não temos a certeza de que algo irá ocorrer e são associadas chances a cada ocorrência possível. O conceito de probabilidade está totalmente dentro da nossa vida cotidiana. Quando pensamos ou falamos expressões do tipo: ''Será que vai chover amanhã?", "É muito provável que o avião chegue atrasado hoje", "Existe uma pequena chance deste time ganhar este jogo!". A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.

3 UM EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO Pode-se predizer o resultado antes de realizar o experimento. Exemplo: Si colocamos agua ao fogo numa panela, á agua vai ferver e com o tempo vai evaporar. ALEATÓRIO Quando repetido o experimento inúmeras vezes em condições semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. Exemplo: Si lançamos uma moeda não podemos predizer se o resultado vai ser cara o coroa.

4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS NO CALCULO DE PROBABILIDADES Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo1: Se o experimento é lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, o espaço amostral é o conjunto E = {cara, coroa}. Exemplo 2: Se o experimento é lançar um dado de seis faces e observar a face de cima, o espaço amostral é o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

5 CONCEITOS FUNDAMENTAIS NO CALCULO DE PROBABILIDADES Evento: É cada um dos possível resultados de um experimento aleatório. Pode ser qualquer subconjunto de um espaço amostral. Exemplo: Se o experimento é lançar uma moeda um evento pode ser cara e outro coroa. Se lançamos dois moedas ao mesmo tempo um evento pode ser as dois moedas iguais {cara, cara} ou {coroa, coroa}.

6 EXERCICIO: Uma bolsa tem bolas brancas e pretas. Se extraem sucessivamente três bolas. Calcular: a) Espaço Amostral E = {(b,b,b); (b,b,p); (b,p,b); (p,b,b); (b,p,p); (p,b,p); (p,p,b); (p,p,p)} b) Evento A: extrair três bolas do mesmo cor. A = {(b,b,b); (p,p,p)} c) Evento B: extrair ao menos uma bola branca. B = {(b,b,b); (b,b,p); (b,p,b); (p,b,b); (b,p,p); (p,b,p); (p,p,b)} d) Evento C: Extrair só uma bola preta. C = {(b,b,p); (b,p,b); (n,p,b)}

7 INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE Um evento que pode ocorrer de x formas de um total de n Possíveis, tem uma probabilidade P(e) de ocorrência: Exemplo 1: Calcule a probabilidade de obter na face de acima no lançamento de um dado, o número 1. Temos uma possibilidade de 6 possíveis, então: Exemplo 2: Calcule a probabilidade de obter na face de acima no lançamento de um dado, o número 3 ou 4. De 6 possíveis resultados, 2 podem ser nosso evento, então:

8 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Numa bolsa você tem 4 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e 10 bolas verdes. Qual é a probabilidade de extrair da bolsa (sim olhar) uma bola vermelha? Cor da Bolas Quantidade Probabilidade Vermelha 4 4/20 = 0,2 Amarela 6 6/20 = 0,3 Verde 10 10/20 = 0,5 Total = 20

9 INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE Se um evento não pode ocorrer sua probabilidade é 0, e quando temos certeza absoluta da ocorrência de um evento então a probabilidade é 1.

10 INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE A probabilidade de não ocorrência de um evento (P(-e)) é igual à 1 menos a probabilidade de ocorrência do evento (P(e)). P(-e) = 1 P(e)

11 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Analises Combinatório: Estuda as diferentes formas de agrupar e ordenar os elementos dum conjunto, sim considerar a natureza dos elementos. É o ramo das matemáticas que estuda os grupos que podem-se formar com elementos de conjuntos, considerando quantidade de elementos do conjunto, ou a ordem dos elementos, ou ambos valores á vez.

12 INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE Caso queira, por exemplo, saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, pode-se utilizar as propriedades da análise combinatória para resolver o problema. Também por meio da análise combinatória pode-se resolver o seguinte problema. De quantos modos diferentes pode-se vestir uma mulher que possui cinco vestidos, quatro calções, três casacos e cinco pares de sapatos?

13 INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE O análise combinatória resume-se em cinco procedimentos principais: Princípio fundamental de contagem. Permutação simples ou sim repetição. Fatorial. Permutação com elementos repetidos. Combinação sim repetição. Combinação com repetição.

14 ANÁLISE COMBINATÓRIA COMBINAÇÕES A ordem dos objetos não importa, ou seja, considera-se uma mesma combinação abc que cba. Por exemplo se você faz uma salada de três frutas não importa a ordem em que você adiciona as frutas. PERMUTAÇÕES A ordem dos objetos sim importa, por exemplo uma chave para uma cerradura com três dígitos 375. Se você coloca a combinação 573 a chave é diferente. A Permutação é também uma combinação de objetos.

15 Análise combinatória: Princípio fundamental da contagem ou principio da multiplicação. Quando um evento é composto por X etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa são (m) e as possibilidades da segunda etapa são (n), consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto (m*n).

16 Análise combinatória: Princípio fundamental da contagem ou principio da multiplicação. Exemplo 1: Uma pessoa tem 2 formas de ir de uma cidade A até outra cidade B; e tem 3 formas de sair da cidade B e chegar até a cidade C. De quantas formas poderá realizar a viagem da cidade A até C passando por B? Pode realizar a viagem de 6 formas diferentes 2*3 = 6

17 Análise combinatória: Princípio fundamental da contagem ou principio da multiplicação. Exemplo 2: De quantos modos diferentes se poderá vestir uma mulher que possui cinco vestidos, quatro calções, três casacos e cinco pares de sapatos? Pode-se vestir de 300 formas diferentes. 5*4*3*5 = 300

18 FATORIAL O fatorial de n (n!) pode-se definir como: n! = n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*...*3x2x1 Considera-se que 0! tem valor 1. Fatorial está relacionado com o cálculo de número de formas em que um conjunto de coisas podem-se organizar em ordem, sim repetição. O número de formas em que n coisas podem-se organizar em ordem calcula-se como o fatorial de n.

19 PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO. Definimos permutações simples como sendo o número de maneiras de arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto, de forma que: Os k elementos que formam um grupo são distintos (não se repetem). Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum elemento ou na ordem de colocação. A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de permutações simples:

20 PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO. Sim n = k então o número total de permutação sim repetição é igual a n! Fatorial está relacionado com o cálculo de número de formas em que um conjunto de coisas podem-se organizar em ordem, sim repetição. O número de formas em que n coisas podem-se organizar em ordem calcula-se como o fatorial de n.

21 PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO. FATORIAL Exemplo 1: Eu tenho um conjunto de 3 letras (ABC). De quantas formas pode organizar este conjunto, sim repetir letras? ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA 3! = 3*2*1 = 6 formas Exemplo 2: Eu tenho um conjunto de 7 letras (ABCDEFG). De quantas formas pode organizar este conjunto, sim repetir letras? 7! = 7*6*5*4*3*2 = 5040 Formas diferentes

22 PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO. Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos podem-se formar com os dígitos do sistema decimal? O sistema decimal tem 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Não permite-se repetição de elementos, e dois números com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são diferentes. Exemplo 2: Quantas bandeiras podem-se fazer, de três listas, com 7 cores? Não posso repetir cores e dois bandeiras com três cores iguais porem com ordem de colocação diferente, são diferentes.

23 PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO. Exemplo 3: Quantas palavras podem-se formar com as 5 letras da palavra ANGOL?. Não permite-se repetição de elementos, e dois palavras com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são diferentes. Quando utilizam-se todos os elementos do conjunto, então o número de permutações coincide com n!.

24 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO. Definimos permutações com repetição como sendo o número de maneiras de arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto, de forma que: Os k elementos que formam um grupo podem estar repetidos. Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum elemento ou na ordem de colocação. A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de permutações com repetição:

25 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO. Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos podem-se formar com os dígitos do sistema decimal? Permite-se repetição de elementos, e dois números com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são diferentes. Como podem-se repetir dígitos no grupo de 3 algarismos formados, temos mas grupos que quando procuramos as permutações sim repetição.

26 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO. Exemplo 2: Quantos números binários de 10 bits podem-se formar com combinações de zeros (0) e uns (1)?. Exemplo: ; ;. Pode ser também: Quantas palavras de 10 letras podem-se formar com as letras A e B? Permite-se repetição de elementos, e dois números com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são diferentes.

27 COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO. Definimos por Combinação sim repetição o número de maneiras de arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto, de forma que: Os k elementos que formam um grupo são distintos (não se repetem). Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum elemento. Dois grupos com os mesmos elementos e com ordem de colocação diferentes, consideram-se UM MESMO GRUPO. A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de possibilidades de arrumar k elementos de um total de n, sim considerar a ordem:

28 COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO. Exemplo 1: Quantas palavras de 3 letras podem-se formar com as letras da palavra ANGOL. Não permite-se repetição de elementos, e dois palavras com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são iguais. E quantos palavras de 5 letras podem-se formar com as letras da palavra ANGOL.

29 COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO. Exemplo 2: Quantos números de 3 algarismos podem-se formar com os dígitos do sistema decimal?. Não permite-se repetição de elementos, e dois números com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são iguais. Exemplo: 734 não é diferente de 347.

30 COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO. Exemplo 3: Um aluno tem reprovadas 5 disciplinas (E, P, M, BD, OP), e só pode fazer prova final de 3 delas. Quantas combinações possíbeis de fazer as 3 provas têm o aluno? Os k elementos que formam um grupo são distintos (não se repetem). Não poso fazer prova de E, E, OP porque repetiria a mesma prova dois vesses. Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum elemento. Dois grupos com os mesmos elementos e com ordem de colocação diferentes, consideram-se UM MESMO GRUPO. E, BD, OP é o mesmo que BD, OP, E.

31 COMBINAÇÂO COM REPETIÇÃO. Definimos por Combinação com repetição o número de maneiras de arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto, de forma que: Os k elementos que formam um grupo podem estar repetidos. Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum elemento. Dois grupos com os mesmos elementos e com ordem de colocação diferentes, consideram-se UM MESMO GRUPO. A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de possibilidades de arrumar k elementos de um total de n, sim considerar a ordem:

32 COMBINAÇÂO COM REPETIÇÃO. Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos podem-se formar com os dígitos 2, 5 e 7. Permite-se repetição de elementos, e dois números com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são iguais. 257, 255, 277, 225, 227, 222, 557, 555, 775, 777

33 COMBINAÇÂO COM REPETIÇÃO. Exemplo 2: Quantas palavras de 3 letras podem-se formar com as letras da palavra ANGOL. Permite-se repetição de elementos, e dois palavras com iguais elementos e diferentes ordem de colocação são iguais. E quantos palavras de 5 letras podem-se formar com as letras da palavra ANGOL.

34 BIBLIOGRAFÍA Cramer, H.; MATHEMATICAL METHODS OF STATISTICS, Vol. I e II, McGraw- Hill,1946. Murteira, B. et all; INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA, 2da Edição, McGraw-Hill, Blog. Wilfredo Falcón Urquiaga (pass:enginf). Reis, E.; ESTATÍSTICA DESCRITIVA; Sílabo, 2000, 5ª ed.. Reis, Elizabeth, P. Melo, R. Andrade & T. Calapez, ESTATÍSTICA APLICADA (Vols. 1 e 2), 2003, 5ª edição, Ed. Sílabo. Reis, E.; Melo, P.; Andrade, R.; Calapez, T, EXERCÍCIOS - ESTATÍSTICA APLICADA (Vols. 1 e 2), 2003, Ed. Sílabo. Feller, W.; AN INTRODUTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS APPLICATION, Vol. I, J. Willey & Son. Murteira, B.,; DECISÃO ESTATÍSTICA PARA GESTORES, Edição UAL. Murteira, B.,; PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA, Vol. I e II, McGraw-Hill,1990.

35 Aula # 13 e 14 DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Introdução as Probabilidades e ao Cálculo Combinatório Professor: Dr. Wilfredo Falcón Urquiaga Professor Titular Engenheiro em Telecomunicações e Eletrônica Doutor em Ciências Técnicas falconcuba2007@gmail.com