Probabilidade. Sumário Introdução Conceitos Básicos... 2

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1 17 Sumário 17.1 Introdução Conceitos Básicos

2 Unidade 17 Introdução 17.1 Introdução Iniciamos, nesta unidade, o estudo de, cuja parte mais elementar é uma das aplicações da Combinatória. A Teoria de, como diz o nome, é o estudo de fenômenos que envolvem a incerteza e se originou como instrumento para modelar jogos de azar, como cartas e dados. é a base para a Estatística, ciência utilizada nas mais diversas atividades humanas, sendo fundamental em várias áreas, como Ciências Humanas, Ciências da Saúde, Economia e Finanças, Ecologia e Teoria dos Jogos, entre muitos outros. Do ponto de vista teórico, atualmente, a Teoria de é utilizada como ferramenta em algumas áreas da Física e, cada vez mais, em áreas da própria Matemática. Por esse motivo, o ensino de no Ensino Médio é importante e atual. Esse assunto é muito vasto, mas aqui só trataremos de alguns conceitos básicos e suas aplicações. Denem-se o conjunto espaço amostral e a noção de probabilidade como sendo uma função numérica com domínio no conjunto das partes desse espaço. Os subconjuntos do espaço amostral são os chamados eventos. As propriedades básicas da função probabilidade são dadas no Teorema 3, que bastarão para resolver os problemas dessa unidade Conceitos Básicos Experiências que repetidas sob as mesmas condições produzem geralmente resultados diferentes são chamadas de aleatórias. Por exemplo, retira-se uma carta de um baralho e verica-se se ela é ou não um curinga; compra-se uma lâmpada e verica-se se ela queima ou não antes de 100h de uso; joga-se um dado até se obter um seis e conta-se o número de lançamentos. Definição 1 Espaço Amostral Chamaremos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Representaremos o espaço amostral por S e só vamos considerar aqui o caso de S ser nito ou innito enumerável. Os subconjuntos de S serão chamados de eventos. Diremos que um evento ocorre quando o resultado da experiência pertence ao evento. 2

3 Unidade 17 Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima. O espaço amostral é S = {cara, coroa} e há 4 eventos:, A = {cara}, B = {coroa} e S. é um evento que não ocorre nunca e é chamado de evento impossível. O evento A ocorre se e somente se o lançamento resulta em cara. S ocorre sempre e é chamado de evento certo. Exemplo 1 Lança-se um dado e observa-se a face que cai voltada para cima. O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e há 64 eventos. Alguns desses eventos são:, que não ocorre nunca; S, que ocorre sempre; A = {2, 4, 6}, que ocorre se e somente se o resultado do lançamento for par. Se o resultado do lançamento for seis, ocorrem os eventos {6}, {5, 6}, {2, 4, 6}, etc. Exemplo 2 Se A e B são eventos em um mesmo espaço amostral S, A B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A ou ocorre o evento B, isto é, ocorre pelo menos um dos eventos A e B; A B é o evento que ocorre se e somente se ocorrem ambos os eventos A e B; A \ B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A mas não ocorre o evento B; A, chamado de evento oposto a A, é o evento que ocorre se e somente se o evento A não ocorre. Exemplo 3 Associaremos a cada evento um número, que chamaremos de probabilidade do evento e que traduzirá nossa conança na capacidade do evento ocorrer. Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A um número P (A) de forma que: Definição 2 i) Para todo evento A, 0 P (A) 1. ii) P (S) = 1 iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é, eventos que não podem ocorrer simultaneamente (isto é, A B = ) então P (A B) = P (A) + P (B). 3

4 Unidade 17 Conceitos Básicos Exemplo 4 Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima. O espaço amostral é S = {cara, coroa} e há 4 eventos:, A = {cara}, B = {coroa}, S. Uma probabilidade que pode ser denida é P 1 ( ) = 0, P 1 (A) = P 1 {cara} = 0, 5, P 1 (B) = P 1 {coroa} = 0, 5 P 1 (S) = 1. Verique que as três condições da denição de probabilidade são satisfeitas. Outra probabilidade que pode ser denida é P 2 ( ) = 0, P 2 (A) = P 2 {cara} = 0, 3, P 2 (B) = P 2 {coroa} = 0, 7 P 2 (S) = 1. Verique que as três condições da denição de probabilidade são satisfeitas. É claro que se desejamos que a probabilidade traduza nossa conança na capacidade do evento ocorrer, P 1 constitui um modelo adequado quando acreditamos ser o resultado cara tão provável quanto o resultado coroa. P 2, por sua vez seria mais adequado se tivéssemos lançado a moeda um número grande de vezes e obtido o resultado cara em 30% dos lançamentos. Encerrando o exemplo, um breve comentário a respeito de notação. Deveríamos ter escrito P ({cara}) e não P {cara}. Entretanto, quando não houver risco de confusão daremos preferência à notação mais simples. Os modelos probabilísticos que usamos mais frequentemente são exatamente os apresentados no exemplo anterior. Um é o modelo equiprobabilístico. Se temos n elementos no espaço amostral e queremos que todos os eventos unitários tenham a mesma probabilidade, devemos atribuir a cada evento unitário a probabilidade 1. Não poderia ser de n outra forma pois se S = {x 1, x 2,..., x n } e P (x 1 ) = P (x 2 ) = = P (x n ) = k, temos, por iii), 1 = P (S) = P {x 1, x 2,..., x n } = P ({x 1 } {x 2 } {x n }) = P ({x 1 }) + P ({x 2 }) + + P ({x n }) = k + k + + k = nk e k = 1 n. Analogamente, é fácil ver que, nesse modelo, se um evento X é formado por j elementos então P (X) = j. Ou seja, a probabilidade de um evento é a n razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos 4

5 Unidade 17 possíveis. Foi esse o modelo adotado por vários matemáticos como Cardano 1, Pascal e Laplace 2 entre outros, no estudo dos jogos de azar. Outro é o modelo frequencial. Se repetimos a experiência n vezes e o evento A ocorreu em j dessas experiências, adotamos para P (A) a frequência relativa do evento A, isto é, o número de vezes que o evento A ocorreu dividido pelo número total de repetições da experiência, ou seja, P (A) = j n. O teorema a seguir contém as propriedades das probabilidades. Se A e B são eventos, então: i) P (A) = 1 P (A). ii) P ( ) = 0. iii) P (A \ B) = P (A) P (A B). iv) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). v) Se A B então P (A) P (B). Teorema 3 Propriedades da probabilidade i) 1 = P (S) = P (A A) = P (A) + P (A). Daí, P (A) = 1 P (A). ii) P (S) = P (S ) = P (S)+P ( ), pois S e são mutuamente excludentes. Daí, P ( ) = 0. iii) P (A) = P [(A \ B) (A B)] = P (A \ B) + P (A B) pois A \ B e A B são mutuamente excludentes. Daí, P (A \ B) = P (A) P (A B). iv) P (A B) = P [(A \ B) B] = P (A \ B) + P (B) pois A \ B e B são mutuamente excludentes. Como P (A \ B) = P (A) P (A B), resulta P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). v) Como P (A \ B) = P (A) P (A B), se A B resulta P (A \ B) = P (A) P (B). Como P (A \ B) 0, temos P (A) P (B). Demonstração Em um grupo de r pessoas, qual é a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia? Solução. Vamos determinar a probabilidade disso não acontecer. O número de Exemplo 5 1 Cardano, Jerônimo ( ), matemático italiano. 2 Laplace, Pierre Simon ( ), matemático francês. 5

6 Unidade 17 Conceitos Básicos casos possíveis para os aniversários das r pessoas é 365 r. O número de casos favoráveis a que todas aniversariem em dias diferentes é (366 r), havendo r fatores nesse produto. Portanto, a probabilidade de não haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia é de (366 r) 365 r e a de haver pelo menos duas pessoas que tenham o mesmo dia de aniversário é de (366 r) r A tabela abaixo dá, para alguns valores de r, a probabilidade de haver coincidência de aniversários. r 5 0, , , , , , , , , , 97 O resultado é surpreendente. Em um grupo de 23 pessoas, é mais provável haver duas pessoas com o mesmo aniversário do que todas aniversariarem em dias diferentes. Exemplo 6 Em uma loteria de N números há um só prêmio. Salvador compra n (1 < n < N) bilhetes para uma só extração e Sílvio compra n bilhetes, um para cada uma de n extrações. Qual dos dois jogadores tem mais chance de ganhar algum prêmio? Solução. A probabilidade de Salvador ganhar algum prêmio é n N. 6

7 Unidade 17 A probabilidade de Sílvio não ganhar nenhum prêmio é (N 1) n N n. Logo, a probabilidade de Sílvio ganhar algum prêmio é 1 (N 1)n N n. Armamos que Salvador tem mais chance de ser premiado, isto é, armamos que n N ou, equivalentemente, armamos que > 1 (N 1)n N n, (N 1) n N n > 1 n N. A prova dessa armação faz-se por indução. Para n = 2 temos Se (N 1) n N n = multiplicando por obtemos (N 1) n+1 (N 1)2 N 2 = 1 2 N + 1 N 2 > 1 2 N = 1 n N. (N 1) n N n N 1 N > 1 n N N n+1 > 1 n N 1 N + n N 2 > 1 n + 1 N. 7

8 Unidade 17 Conceitos Básicos Exercícios Recomendados 1. Lançam-se dois dados não-tendenciosos. Qual a probabilidade da soma dos pontos ser igual a 7? times são divididos em dois grupos de 12 times cada. Qual é a probabilidade de dois desses times carem no mesmo grupo? 3. Mostre que P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). 4. Se P (A) = 2 3 e P (B) = 4, mostre que: 9 a) P (A B) 2 3 ; b) 2 9 P (A B) 5 9 ; c) 1 9 P (A B) Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de se obter: a) um par; b) dois pares; c) uma trinca; d) uma quadra; e) uma quina; f) uma sequência; g) um full hand, isto é, uma trinca e um par. 6. Um polígono regular de 2n+1 lados está inscrito em um círculo. Escolhemse três dos seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo. 8

9 Unidade Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas carem no mesmo grupo? 8. Em um grupo de 4 pessoas, qual é a probabilidade de haver alguma coincidência de signos zodiacais? 9. Em um armário há 5 pares de sapatos. Escolhem-se 4 pés de sapatos. Qual é a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos? 9