Métodos Numéricos e Estatísticos Parte II-Métodos Estatísticos

Transcrição

1 Métodos Numéricos e Estatísticos Parte II-Métodos Estatísticos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010

2 Podemos dividir a Estatística em duas áreas: estatística indutiva (ou inferência estatística) e estatística descritiva. Estatística indutiva Se uma amostra é representativa de uma dada população, conclusões importantes sobre a população podem ser inferidas através da análise da amostra. Estatística descritiva É a parte da estatística que procura somente descrever e avaliar um certo grupo sem tirar conclusões (ou inferências) sobre um grupo maior.

3 Estatística descritiva Fornecido um certo conjunto de dados relativo a uma amostra de uma população, podemos sempre apresentá-los, ou organizá-los de duas formas distintas: Recorrendo a gráficos e/ou tabelas; Apresentando medidas de posição e/ou dispersão. Os gráficos constituem uma das formas mais eficientes de apresentação de dados. Enquanto que as tabelas fornecem uma ideia mais precisa e possibilitam uma inspecção mais rigorosa dos dados, os gráficos são mais indicados em situações sempre que se pretende uma visão mais rápida e fácil a respeito das variáveis às quais se referem os dados.

4 Exemplo Distribuição de frequência A organização dos dados em tabelas de frequências (absolutas or relativas), obedecem a certas normas e recomendações. Estas normas são úteis para que as tabelas possam ser interpretadas de uma forma simples, clara e rápida. Muito importante é o facto de que as tabelas tenham significado próprio, i.e., devem ser compreendidas mesmo quando não se lê o texto em que estão apresentadas. Foram anotadas as notas de um exame final de uma disciplina dos alunos de uma certa universidade. Depois de feita a contagem, os dados foram organizados na seguinte tabela Notas Número de alunos Pecentagem 90 a a a < Reprovação por faltas

5 Diagrama de pontos Útil sempre que se pretende apresentar um pequeno conjunto de dados. Permite ver de uma forma rápida e fácil a tendência dos dados, assim como a sua distribuição e variabilidade. Histograma Para alguns conjuntos de dados o número de valores observados é tão elevado que se torna inevitável o seu agrupamento pos classes.

6 Exemplo O barulho é medido em decibéis (db). Um decibel corresponde ao nível do som mais fraco que pode ser ouvido num local silencioso por alguém com boa audição. Um sussurro corresponde a cerca de 70dB, um rádio em volume alto cerca de 100dB. Acima dos 120dB, há desconforto para os ouvidos. O dados abaixo correspondem aos níveis de barulho medidos em 36 horários diferentes num determinado local Para agruparmos este conjunto de dados em classes, surge imediatamente uma primeira questão: quantas classes? Na prática, o número de classes é muita das vezes escolhido, fazendo a raíz quadrada do número de observações. Assim sendo, neste caso, teríamos 6 classes. O menor valor observado é 60, o maior é 125, pelo que a amplitude de cada classe poderia ser obtida a partir de Podíamos então construir a seguinte tabela de frequências classes frequência absoluta [60, 71[ 5 [71, 82[ 6 [82, 93[ 10 [93, 104[ 6 [104, 115[ 5 [115, 126[ 4

7 Se pretendessemos outras informações, poderíamos aumentar a tabela, incluindo outros tipos de frequência, como por exemplo, a frequência relativa e/ou as frequências acumuladas. classes freq. abs. freq. abs. acumulada freq. relat. freq. relat. acumulada 5 5 [60, 71[ [71, 82[ [82, 93[ [93, 104[ [104, 115[ [115, 126[ O histograma pode ser feito a partir das frequências absolutas ou relativas, acumuladas ou não, de cada classe, basta para tal indicar correctamente o que seria usado no eixo vertical.

8 No scilab, a execução do comando histplot(n,x,normalization=% f), onde n = 6 é o número de classes e x = [ ] é o vector que contém os dados observados, devolve o seguinte histograma das frequências absolutas

9 Medidas de posição Média aritmética Dado um conjunto de n valores numéricos, x 1, x 2,..., x n, a média aritmética desses valores, representa-se por x é dada por n i=1 x = x i n Exemplo Determinemos a média do seguinte conjunto de dados do exemplo anterior. Ora x = No scilab, basta executar o comando mean(x). = 90.7

10 Em alguns casos, queremos determinar a média de um conjunto de dados organizados numa tabela de distribução de frequências, indicando para cada valor distinto de x i, i = 1,..., k, a respectiva frequência absoluta f k. Nesse caso a média será dada por k i=1 x = x i f i, n onde n = k i=1 f i. Exemplo A seguinte tabela fornece informação acerca da idade de jovens que a uma determinada hora frequentam um dado café: Idade Freq. Absoluta Neste caso, a média é dada por x = = Se a tabela está organizada por classes, então para o cálculo da média devemos substituir cada classe pelo seu ponto médio e calcular a média como descrito acima.

11 Mediana É o valor intermédio do conjunto de dados, cujos n valores estão dispostos em ordem crescente. Se n for ímpar, a mediana será o valor que ocupa a posição n+1 ; se n for par, 2 a mediana será a média aritmética dos valores que ocupam as posições n 2 e n Exemplo Determinemos a mediana do conjunto de dados do exemplo anterior. Como n = 54 é par, a mediana será a média dos valores que ocupam as posições 27 e 28. Portanto a mediana será o valor No scilab, depois de definido o vector que contém os dados, x = [ ] basta executar o comando median(x). Moda É o valor que ocorre com maior frequência. Exemplo No exemplo anterior, a moda será o valor 19, uma vez que é o valor que ocorre mais vezes na distribuição.

12 Medidas de dispersão Estas medidas são úteis para complementar as informações fornecidas pelas medidas de posição. Descrevem a variabilidade ocorrendo no conjunto de dados. Variância A variância amostral de um conjunto de dados x 1, x 2,..., x n, é definida por n σ 2 1=1 = (x i x) 2 n 1 Exemplo A variância do conjunto de dados é dada por (3 6)2 +(4 6) 2 +(6 6) 2 +(7 6) 2 +(10 7) 2 4 = 7.5 No scilab, define-se o vector dos dados, x = [ ], e faz-se variance(x).

13 Desvio padrão O desvio padrão amostral de um conjunto de dados x 1, x 2,..., x n, é definido por σ = n σ 2 1=1 = (x i x) 2 n 1 No exemplo anterior, σ = 7.5 = No scilab executa-se o comando st deviation(x). Amplitude A amplitude amostral de um conjunto de dados x 1, x 2,..., x n, é a diferença entre o maior e o menor valor observado. No exemplo anterior, a amplitude é 10 3 = 7. Paro o cálculo no scilab, faz-se max(x)-min(x).

14 Noções básicas de probabilidade Experiência aleatória (E.A.) Chama-se experiência aleatória a toda a experiência cujo resultado exacto é desconhecido antes da sua realização. Exemplo E.A.1: Registo do número de recém-nascidos num grupo de dez com peso à nascença superior a 3.5Kg; E.A.2: Número de novos casos de sida num dado ano num certo país; E.A.3: Medição da concentração de dióxido de carbono num recinto fechado.

15 Espaço de resultados É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. É usualmente, representado por Ω. Pode ser discreto (no caso de ser um conjunto finito ou infinito numerável) ou contínuo (no caso em que é um conjunto infinito não numerável). Exemplo No exemplo anterior: E.A.1: Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} discreto (finito); E.A.2: Ω = {0, 1, 2, 3,......} ; discreto (infinito numerável) E.A.3: Ω = R + 0 (infinito não numerável) contínuo.

16 Acontecimento Acontecimento (ou evento) é qualquer subconjunto do espaço de resultados. O acontecimento A diz-se elementar se for constituído por apenas um elemento de Ω; certo se A = Ω e impossível se A =. Exemplo Na E.A.1, consideremos os evento A = nenhum dos recém-nascidos tem peso superior a 3.5kg. = {0}; B = pelo menos 8 dos recém-nascidos tem peso superior a 3.5kg. = {8, 9, 10}

17 Acontecimentos disjuntos Dois acontecimentos dizem-se disjuntos (ou mutuamente exclusivos ou ainda incompatíveis) sse A B =, i.e., a realização simultânea de A e B é impossível. Inclusão de acontecimentos Diz-se que o acontecimento A está contido no acontecimento B, e escreve-se A B quando Realização de A Realização de B Realização de B Realização de A Uma vez que os acontecimentos não passam de conjuntos, podemos efectuar operações sobre eventos já nossas conhecidas.

18 Operações sobre eventos A B Realização simultânea de A e de B A B Realização de pelo menos um dos eventos A ou B A \ B Realização de A sem que se realize B A Não realização de A Esta operações gozam das propriedades

19 Associatividade: Comutatividade: Distributividade: Idempotência: Absorção: Modulares: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A B = B A A B = B A (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) A A = A A A = A A B A B = A A B A B = B A Ω = A A Ω = Ω A = A = A Leis de De Morgan: Dupla negação: A = A A B = Ā B A B = Ā B

20 Probabilidade clássica de Laplace Considere-se uma E.A. com espaço de resultados Ω constituído por n elementos distintos, em número finito e igualmente prováveis. Suponha-se ainda que a realização do acontecimento A passa pela ocorrência de m dos n eventos de Ω. Então, a probabilidade de realização de A é dada por P(A) = no de casos favoráveis à ocorrência de A n o de casos possíveis = m n Exemplo No lançamento de um dado não viciado, seja A =saída de um número par. Ora A = {2, 4, 6}, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo P(A) = 3 6 = 0.5.

21 Probabilidade clássica de Laplace Considere-se uma E.A. com espaço de resultados Ω constituído por n elementos distintos, em número finito e igualmente prováveis. Suponha-se ainda que a realização do acontecimento A passa pela ocorrência de m dos n eventos de Ω. Então, a probabilidade de realização de A é dada por P(A) = no de casos favoráveis à ocorrência de A n o de casos possíveis = m n Exemplo No lançamento de um dado não viciado, seja A =saída de um número par. Ora A = {2, 4, 6}, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo P(A) = 3 6 = 0.5. E se o espaço dos resultados da E.A. não for finito?

22 Frequência relativa Seja N o número de vezes que se realiza sob as mesmas condições uma certa E.A. e seja n N (A) o número de vezes que o evento A ocorreu nas N experiências realizadas (i.e., n N (A) representa a frequência absoluta do evento A). Então a frequência relativa do evento A é dada por f N (A) = n N(A) N. A frequência relativa satisfaz as seguintes propriedades 0 f N (A) 1; f N (Ω) = 1; f N (A B) = f N (A) + f N (B) se A B = ; f N (A) estabiliza à medida que N aumenta.

23 Probabilidade frequencista A probabilidade do evento A é o limite da frequência relativa do mesmo: n N (A) P(A) = lim N N = lim f N(A) N

24 Probabilidade frequencista A probabilidade do evento A é o limite da frequência relativa do mesmo: n N (A) P(A) = lim N N = lim f N(A) N E se a E.A. não se puder realizar mais do que uma vez?

25 σ-álgebra de eventos É uma colecção não vazia de eventos, A, que satisfaz Ω A; A A A A; Se A i A, i = 1, 2,..., onde {A 1, A 2,...} é um conjunto numerável, então + i=1 A. Exemplo 1 A 1 = {, Ω}; 2 A 2 = P(Ω), i.e., a colecção de todos os subconjuntos de Ω.

26 Função de probabilidade no sentido de Kolmogorov É uma função P : A [0, 1] que satisfaz os seguintes axiomas P(Ω) = 1; 0 P(A) 1, A A; Se {A 1, A 2,...} é um conjunto contável de eventos mutuamente exclusivos de A (A i A j =, i j), então ( + ) P A i = i=1 + i=1 P(A i )

27 P( ) = 0; P(A) = 1 P(A); A B P(A) P(B); P(B \A) = P(B) P(A B) Um dado evento A Ω diz-se quase certo se P(A) = 1. Um evento A diz-se quase impossível se P(A) = 0.

28 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dem.: P(A B) = P[(A \ B) (A B) (B \ A)] = P(A \ B) + P(A B) + P(B \ A) = [P(A) P(A B)] + P(A B) + [P(B) P(B A)] = P(A) + P(B) P(A B)

29 Probabilidade condicionada A probabilidade do evento A condicionada pela ocorrência do evento B é dada por P(A B) = P(A B), P(B) desde que P(B) 0. Exemplo Na extracção de uma carta de um baralho com 52 cartas (13 de cada naipe), qual a probabilidade dessa carta ser o Ás de copas, sabendo à partida que a carta extraída era de copas? Considerando os eventos A = sair o Ás de copas, cuja probabilidade é P(A) = 1 52 B = sair uma carta de copas, cuja probabilidade é P(B) = A probabilidade pedida é dada por P(A B) = P(A B) P(B) = P(A 1 P(B) = = 1 13.

30 Como P( B) é uma função de probabilidade no sentido de Kolmogorov, então 1 P(Ω B) = 1; 2 0 P(A B) 1, A A 3 Sendo {A 1, A 2,...} é um conjunto contável de eventos mutuamente exclusivos de A, então [( + ) ] + P A i B = P(A i B). i=1 i=1

31 Lei das probabilidades compostas Sendo {A i } i=1,...,n uma colecção de n eventos tal que P(A i ) > 0 e P(A 1 A 2... A n 1 A n ) > 0, então P(A 1 A 2... A n 1 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P[A 3 (A 1 A 2 )]... P[A n A 1 A 2... A n 1 ]. Esta lei é útil sempre que pretendermos calcular a probabilidade de sequências de eventos em experiências aleatórias.

32 Exemplo Considere-se um lote de 100 molas de um sistema de suspensão automóvel. Destas, 20 são consideradas defeituosas (D) por violarem a lei de Hooke quando se aplica uma força superior a N. Extrairam-se uma a uma, sem reposição, três molas deste lote. Determinemos qual a probabilidade das 3 molas extraídas não serem defeituosas. Para tal consideremos o evento D 1 D 2 D 3 =1 a, 2 a e 3 a molas não defeituosas. A probabilidade pedida é então dada por P(D 1 D 2 D 3 ) = P(D 1 ) P(D 2 D 1 ) P[D 3 (D 1 D 2 )] = =

33 Partição de Ω Uma colecção de n eventos P Ω = {A i } i=1,...,n diz-se uma partição de Ω sse A i A j =, i j; n i=1 A i = Ω; P(A i ) > 0, i = 1,..., n. Lei da probabilidade total Seja B um evento e P Ω = {A i } i=1,...,n uma partição de Ω. Então P(B) = n P(B A i )P(A i ). i=1

34 Exemplo Testes realizados em dois dispositivos (A e B) de retenção de crianças em automóveis, revelaram que, em caso de acidente grave, o dispositivo A é eficaz em 95% dos casos, enquanto que o dispositivo B é eficaz em 96%. Adimitindo que no mercado só passarão a existir estes dois tipos de dispositivos, instalados em automóveis exactamente na mesma proporção, calculemos a probabilidade do dispositivo de retenção instalado num automóvel seleccionado ao acaso vir a ser eficaz em caso de acidente grave. Resumindo Evento probabilidade A =dispositivo do tipo A P(A) = 0.5 B =dispositivo do tipo B P(B) = 0.5 E =dispositivo eficaz em caso de acidente grave (DEAC) P(E) =? E A =DEAC dado que é do tipo A P(E A) = 0.95 E B =DEAC dado que é do tipo B P(E B) = 0.96 Pela lei da probabilidade total, a probabilidade pedida é então dada por P(E) = P(E A) P(A) + P(E B) P(B) = = 0.955

35 Eventos independentes Dois eventos A e B dizem-se independentes (e denota-se por A B sse P(A B) = P(A) P(B).

36 1 Sendo A e B dois eventos independentes tais que P(A) > 0 e P(B) > 0, então P(A B) = P(A); P(B A) = P(B); I.e, o conhecimento de B não afecta a reavaliação da probabilidade de A e vice-versa. 2 Sejam A e B dois eventos tais que A B = P(A) > 0 e P(B) > 0. Então A e B não são independentes. 3 Para qualquer evento A tem-se A ; A Ω. 4 Se A e B são independentes, então A B; A B; A B.

37 Teorema de Bayes Seja B um evento e P Ω = {A i } i=1,...,n uma partição de Ω. Então P(A i B) = P(B A i)p(a i ). P(B) Recorrendo à lei de probabilidade total, podemos ainda escrever P(A i B) = P(B A i )P(A i ) n j=1 P(B A j)p(a j ). Exemplo Retomando o exemplo anterior, calculemos a probabilidade de o dispositivo ser do tipo A sabendo que foi eficaz em caso de acidente grave. Considerando o evento A E =dispositivo do tipo A dado que foi eficaz em caso de acidente grave, a probabilidade pedida é dada por P(A E) = P(E A)P(A) P(E) = =