Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 1

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1 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 1 NÁLISE COMBINTÓRI FTORIL: Sendo n um número natural maior que 1, definimos como fatorial de n e representamos por o número: n (n 1) (n ) (n )... 1 dotamos as seguintes definições especiais: 0! 1 1! 1 TBEL DE FTORIIS DE 0 a 10 0! 1 1! 1! 1! 1! 1! 1 10! ! ! ! ! Nota: notação de fatorial afeta apenas o primeiro número antes do sinal de exclamação. Por exemplo:! ( 1) 1 ( )!! 70 QUESTÕES Questão 01 Calcule:! +!! 10! 8!!! 0! 1!! +!! d)! e)! + 0! R: R: 90 R: R: 0 R: 1 f) (!) ( 1)! R: 80 7! 9! g)! 8! R: 1! h) 8!! R: 99 Questão 0 Simplifique as expressões: (n 1)! R: n (n + )! (n + 1)! R: n + ( n + )! (n)! R: ( n + )(n + 1) n! (n + 1)! d) R: n (n + )! e) (n 1)! R: n (n + 1)(n + ) f) (n + )! (n + )! R: (n + )(n + ) ( n + )! (n + 1)! g) R: ( n + 1) Questão 0 Resolver a equação: x! 1 (x 1)! R: 1 ( n )! (n )! R: x! 0 (x )! R: m! + (m 1)! d) (m + 1)! m! 1 R: (n + 1)! e) 8n (n 1)! R: 8 Questão 0 Resolver a equação: n! R: ( n )! 1 R:, ( n 9)! 1 R: 9, 10 d) ( n + 1)! R: e) ( n )! 10 R: f) ( n )! 70 R: 8 Questão 0 (n 1) Sabendo que an, calcule: (n + 1)! a 10 R: 9 a 1980 R: 1979 Questão 0 Com quantos zeros termina o número 9!? R: 1

2 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues PRINCÍPIO FUNDMENTL DE CONTGEM Por meio do princípio fundamental de contagem, podemos determinar o número de vezes que um acontecimento pode ocorrer de modo diferente sem ter de descrever todos os modos. Se um primeiro acontecimento pode ocorrer de p 1 modos diferentes, um segundo acontecimento de p modos diferentes e, sucessivamente, um enésimo acontecimento de p n modos diferentes, sendo os n acontecimentos independentes, então o número de vezes que os n acontecimentos podem ocorrer de modo diferente é: p p p pn QUESTÕES Questão 01 Uma moça tem saias e blusas. Durante quantos dias poderá sair usando saia e blusa sem repetir o mesmo conjunto? R: 1 dias Questão 0 Se uma pessoa possui pares de sapatos, calças compridas e camisas, de quantas maneiras diferentes poderá se vestir? R: 0 Questão 0 De quantas maneiras diferentes pode se vestir uma pessoa que tenha camisas, calças, pares de meia e pares de sapato? R: 0 Questão 0 Uma sorveteria fornece sorvetes nos dois sabores: abacaxi e baunilha, e três coberturas: chocolate, caramelo e chantily. Com uma bola e uma cobertura, quantos sorvetes diferentes podemos formar? R: Questão 0 Num restaurante há dois tipos de salada, tipos de pratos quentes e tipos de sobremesa. Quantas são as possibilidades para se fazer uma refeição contendo 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa? R: 18 Questão 07 Numa lanchonete há tipos de sanduíche, tipos de refrigerante e tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche que contenha 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete? R: 0 Questão 08 De quantas maneiras você pode retirar cartas de um baralho completo de cartas, sem reposição? R: Questão 09 o lançarmos sucessivamente uma moeda e um dado, quantas são as possibilidades para o resultado? R: 1 Questão 10 o lançarmos sucessivamente moedas, quantas são as possibilidades de resultado? R: 8 Questão 11 Existem vias de locomoção de uma cidade para uma cidade B e vias de locomoção da cidade B a uma cidade C. De quantas maneiras podemos ir de a C, passando por B? R: Questão 1 Para irmos da cidade até a cidade C, obrigatoriamente passamos pela cidade B. Três companhias de ônibus cobrem o percurso entre e B e companhias de aviação ligam B e C. De quantos modos diferentes é possível viajar de até C? R: Questão 1 Três companhias de ônibus e companhias de aviação cobrem o percurso entre as cidades e B. De quantos modos diferentes podemos viajar entre essas duas cidades? R: Questão 1 Para ir de uma cidade a outra cidade B dispomos de quatro empresas de ônibus, três de aviões e duas de navios. De quantos modos podemos viajar de até B? R: 9

3 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues Questão 1 Oito caminhos conduzem ao cume de uma montanha. De quantos modos uma pessoa pode subir e descer por caminhos diferentes? R: Questão 1 Num hospital existem portas de entrada que dão para um saguão no qual existem elevadores. Um visitante deve se dirigir ao º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? R: 1 Questão 17 Se um quarto tem portas, determine o número de maneiras de se entrar nele e sair dele por uma porta diferente? R: 0 Questão 18 Se os números de telefone de uma localidade têm 7 algarismos, quantos telefones no máximo podem ser instalados, sabendo-se que os números de telefones dessa localidade não podem começar com zero? R: Questão 19 Numa cidade os números dos telefones tem dígitos e começam por. Quantos telefones podem ser instalados, nas condições dadas? R: Questão 0 Dez times de futebol participam de um campeonato. De quantas formas diferentes se pode ter os três primeiros colocados? R: 70 Questão 1 Cinco cavalos disputam um páreo; qual o número de resultados possíveis para os primeiros lugares? R: 0 Questão À diretoria de uma firma, concorrem candidatos à presidência e à vice-presidência. Quantas chapas distintas podem ser formadas com um presidente e um vice? R: 0 Questão diretoria de um clube é composta de 10 membros, que podem ocupar a função de Presidente, Secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos formar, com os 10 membros, chapas contendo Presidente, Secretário e Presidente? R: 70 Questão Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição? R: 0 Questão Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantos modos elas podem se sentar? R: 0 Questão Uma prova consta de dez testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos um aluno que se submete à prova poderá responder todos os testes? R: 1.0 Questão 7 Quantos números de algarismos podemos formar com os algarismos 1,,,, e? R: 1 Questão 8 Quantos números de algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,,,, e? R: 10 Questão 9 Quantos números de algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1,,,,, e 7? R: 8 Questão 0 Quantos números de algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1,,,,, e 7? R: 9

4 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues TÉCNICS DE CONTGEM PERMUTÇÀO: é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos. Permutação simples: P n Permutação com repetição: α, β, θ,... PRn α! β! θ!... QUESTÕES Questão 01 Calcular P. R: 10 Questão 0 Calcular P. R: 70 Questão 0 P P Calcular E R: P Questão 0 P + P Calcular P. R: 8 1 Questão 0 P P Calcular o valor de E P +. P R: 81 Questão 0 Quantos são os anagramas da palavra: CFÉ R: MOR R: MOSC R: 10 Questão 07 Quantos anagramas da palavra EDITOR começam com a letra? R: 70 começam com e terminam com E? R: 10 Questão 08 Quantos anagramas da palavra PERNM- BUCO: terminam com a letra O? R:.880 começam com a letra P e terminam com a letra O? R: 0.0 começam por vogal? R: d) começam por consoante? R: e) têm as letras PER juntas nesta ordem? R: 0.0 f) têm as letras BUCO juntas nesta ordem? R:.00 g) têm as letras PER juntas em qualquer ordem? R: 1.90 h) têm as letras BUCO juntas em qualquer ordem? R: i) têm as vogais juntas e as consoantes juntas em qualquer ordem? R:.0 Questão 09 Quantos números de algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1,,,, 7 e 8? R: 70 Questão 10 Num carro com lugares e mais o lugar do motorista, viajam pessoas, das quais sabem dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas pessoas em viagem? R: 0 Questão 11 Permutando os algarismos,, e 8, formamos números. Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que o- cupa a ª posição? R: 8. Questão 1 Colocando-se em ordem crescente, todos os números de quatro algarismos distintos, obtidos com,, e 7, qual será a posição do número.7? R: 1ª Questão 1 Formados e dispostos em ordem crescente todos os números de algarismos distintos, obtidos com os algarismos 1,, e 7, que lugar ocupa o número.71? R: 18º Questão 1 Quantos são os anagramas da palavra: PT R: 1 RR R: 10 NTÁLI R: 80 d) RITMÉTIC R:.00 Questão 1 Quantos anagramas da palavra MCCO começam pela letra M? R: 0

5 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues RRNJO: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. rranjo simples: n, p (n p)! QUESTÕES Questão 01 Calcular: 8, R: 10 R: 70 R: 1080 Questão 0 Calcular: R: R: 1 + R: 9 Questão 0 Resolver a equação: x 1 R: x R: x n 1 0 R: 7 d) 0 R: x, x, n, 1 n, e) + R: n + n f) 9 n R: 7 Questão 0 Dispondo de sete cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com três listras verticais de cores diferentes? R: 10 Questão 0 Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,,,,,? R: 10 Questão 0 Quantos números pares de algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1,,,,,, sem repeti-los? R: 0 Questão 07 Quantas palavras de letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras de nosso alfabeto? R: 0 Questão 08 Com os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, quantos: números de algarismos podemos escrever? R: 0 números pares de algarismos podemos escrever? R: números ímpares de algarismos podemos escrever? R: 1.80 d) números de algarismos que terminam com o algarismo podemos escrever? R: e) números de algarismos e divisíveis por podemos escrever? R: Questão 09 Quantos números de algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1,,,,,, 7, 8, e 9, incluindo sempre o algarismo? R: 18 Questão 10 Com os algarismos 1,,,, e são formados números de algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por? R: 0 Questão 11 Quantos são os números compreendidos entre.000 e.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,,,,,, 7, 8 e 9? R: Questão 1 Quantos números compreendidos entre e 8.000, podemos formar com os algarismos ímpares, sem os repetir? R: 9 Questão 1 Quantos números naturais compreendidos entre 100 e.000, podemos formar utilizando somente os algarismos 1,,,, e, de modo que não figurem algarismos repetidos? R: 0

6 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues COMBINÇÃO: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. Combinação simples: C n, p p! (n p)! QUESTÕES Questão 01 Calcular: C R: 8 C 10 R: C R: C + C + C d) C 17 + P 11 R: 1 Questão 0 C x + C Simplificar a expressão C R: x + x x 1 Questão 0 Resolva as equações: 1 C + C R: n n m Cm x x C C 0 R: 8 Cp + d) 8 C p + 1 R: x 1 R: 1 Questão 0 Se p n 0 e Cp 1 n, calcule o valor de ( n + p)!. R: Questão 0 Quantas saladas de frutas com frutas cada podemos preparar com 7 frutas diferentes? R: Questão 0 Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de saladas, contendo espécies diferentes, podem ser feitas? R: 10 Questão 07 De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores? R: Questão 08 Quantas comissões com membros podemos formar com 10 alunos? R: 10 Questão 09 Numa sala, temos rapazes e moças. Quantos grupos podemos formar de rapazes e moças? R: 00 Questão 10 diretoria de uma firma é constituída de 7 diretores brasileiros e japoneses. Quantas comissões de brasileiros e japoneses podem ser formadas? R: 10 Questão 11 Um empresa tem diretores e gerentes. Quantas comissões de pessoas podem ser formadas contendo no mínimo 1 diretor? R: Questão 1 Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcamse pontos. Quantos triângulos obteremos unindo quaisquer desses pontos? R: 0 Questão 1 Num plano temos 1 pontos, dos quais e somente estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 1 pontos? R: 10 Questão 1 Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de triângulos que se pode obter com vértices nos pontos dados. R: Questão 1 Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de polígonos convexos que se pode obter com vértices nos pontos dados. R: 99

7 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 7 Questão 1 Qual o número de diagonais de um hexágono? R: 9 Questão 17 Calcule o número de diagonais do dodecágono. R: Questão 18 Em uma reunião de confraternização em que cada pessoa presente cumprimentou todos os seus colegas, registraram-se 10 apertos de mãos. Determine o número de pessoas presentes à essa reunião. R: 1 Questão 19 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar dessas substâncias se, entre as dez, somente duas não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? R: 10 Questão 0 Um representante tem 9 amostras distintas para distribuir a médicos, B e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando amostras ao médico, amostras ao médico B e duas amostras ao médico C? R: 10 Questão 1 Uma urna contém 1 bolas, das quais 7 são pretas e são brancas. De quantos modos podemos tirar bolas da urna, das quais duas são brancas? R: 0 Questão Uma urna contém 10 bolas brancas e pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, sendo pelo menos delas pretas? R: 080 Questão De quantos modos podemos guardar 1 bolas distintas em caixas, se a primeira caixa deve conter bolas, a segunda caixa deve conter bolas, a terceira caixa deve conter bolas e a quarta caixa deve conter 1 bola. R: TESTES DE VESTIBULRES Questão 01 (FMBC SP) 101! + 10! Simplifique 100! ! d) 101! e) 10.0 Questão 0 (UFP) (n + 1)! + Simplificando, obtém-se: (n + )! 1 n + n n + 1 d) n + Questão 0 (CESCE SP) n 1, Se, então n é igual a: 11 1 d) e) 1 n, Questão 0 (UNICRUZ RS) Calculando m sabendo que C m 8 obtemos para resultado: d) 1 e) Questão 0 (Fuvest SP) O número de anagramas da palavra FU- VEST que começam e terminam por vogal é: 8 9 d) 10 e) 1

8 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 8 Questão 0 (FGV SP) Quantos números de algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a? d)! 0 Questão 07 (FGV SP) Um aluno deve responder a 8 das 10 questões de um exame, sendo as três primeiras obrigatórias. O número de alternativas possíveis para o aluno é: igual a 1 igual a superior a d) inferior a 10 Questão 08 (UFSCar SP) Quatro rapazes e uma moça formam uma fila. De quantas maneiras esta fila pode ser formada, de modo que a moça fique sempre em primeiro lugar? 1 18 d) Questão 09 (UNIMONTES) O valor do algarismo das unidades na soma S 1! +! +! ! é: 1 d) e) 9 Questão 10 (UFSCar / 000) câmara municipal de um determinado município tem exatamente 0 vereadores, sendo que 1 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente vereadores situacionistas e oposicionistas é: d) 9 e) Questão 11 (UNIMONTES / 000) Quantas combinações podem ser feitas para que rapazes e moças possam se sentar em bancos de dois lugares cada, de maneira que, em cada banco, fiquem um rapaz e uma moça? d) 0 Questão 1 (Mack SP / 001) Três homens e três mulheres devem ocupar três bancos, cada banco com dois lugares numerados, de modo que, em cada um deles, fiquem um homem e uma mulher. Dessa forma, o número de formas de se ocupar os bancos é: d) e) 88 Questão 1 (NEWTON PIV / 001) Quantos números de algarismos distintos existem? 1 d) 8 Questão 1 (PUC MG / 001) O número natural que torna verdadeira a (n + )! (n )! igualdade é: n(n + 1)! (n 1)! d) 8 Questão 1 (UNIMONTES / 001) Definição: Um segmento de reta, limitado pelos pontos e B, diz-se orientado, quando indicamos qual dos dois pontos é tomado como origem e qual por extremidade do segmento. Esse segmento diz-se orientado no sentido que vai da origem até a extremidade. Tomando-se 8 pontos distintos de uma circunferência, o número total de segmentos orientados determinados por esses pontos é: 8 0 d) 1

9 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 9 Questão 1 (UNIMONTES / 001) Se é um conjunto formado por elementos e B um conjunto formado por elementos, o número de funções de em B é: 8 7 d) Questão 17 (FTEC / 001) Em uma olimpíada, a delegação de um país se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com atletas. Os alojamentos da Vila Olímpica eram para pessoas, e um deles foi ocupado por atletas de e atletas de B. O número de maneiras distintas de formar esse grupo de atletas era: d) 0 e) 1 Questão 18 (UNIMONTES / 00) Considere dez pontos distintos de um plano, sendo que quaisquer três deles não pertencem a uma mesma reta. O número exato de retas diferentes, determinados por eles, é: 8 d) Questão 19 (Mack SP / 00) O número de filas diferentes que podem ser formadas com homens e mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos é: d) 8 e) 10 Questão 0 (Mack SP / 00) 1 professores, sendo de matemática, de geografia e de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo de cada disciplina. O número total de formas distintas de se compor essa comissão é: d) 8 e) Questão 1 (IT / 00) Quantos anagramas com letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham das letras a, b e c? d) 17 e) 11 Questão (PES UNIMONTES / 00) Quantos múltiplos de de quatro algarismos distintos, podem ser formados com,,, e 9? d) Questão (UNIMONTES / 00) Numa reunião estão 10 pessoas, entre elas, José e Marta. Quantas diretorias com presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro podem ser escolhidas entre as 10 pessoas, sem que nem José nem Marta ocupem algum cargo? d) 00 Questão (Mack SP / 00) Considere todos os números de cinco algarismos distintos, escritos com 1,,, e. Se esses números são ordenados em ordem crescente, o algarismo das unidades do número que ocupa a trigésima posição é: 1 d) e) Questão (PUC MG / 00) Sobre a reta r, tomam-se três pontos; sobre a reta s, paralela à r, tomam-se cinco pontos. Nessas condições, o número de triângulos distintos e com vértices nesses pontos é: 7 d) 8

10 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 10 Questão (UNIMONTES / 00) Um amigo mostrou-me livros diferentes de Matemática, 7 livros diferentes de Física e 1º livros diferentes de Química e pediu-me para escolher livros, com a condição de que eles não fossem da mesma matéria. De quantas maneiras eu posso fazer a escolha? d) 70 Questão 7 (PES UNIMONTES / 00) ssinale a única alternativa VERDDEIR: !!!! 0! 1! ! d) ( 7! ) + (! ) 10! Questão 8 (PES UNIMONTES / 00) Se sobre uma circunferência se marcam 8 pontos distintos, então o número de quadriláteros convexos que podem ser formados com vértices nesses pontos é: d) Questão 9 (PES UNIMONTES / 00) Vinte e duas tampinhas, sendo onze amarelas, numeradas de 1 a 11, e onze vermelhas, também numeradas de 1 a 11, foram colocadas em linha reta, de tal forma que duas consecutivas de mesma cor não ficassem juntas. De quantas maneiras diferentes elas podem ser colocadas? (11! ) ( 11!) (11! ) ( 11!) (11) d) ( 11) (11! ) Questão 0 (PES UNIMONTES / 00) De quantas maneiras podemos distribuir canetas (iguais) entre pessoas, de modo que nenhuma fique sem receber pelo menos uma caneta? 7 1 d) Questão 1 (UNIMONTES / 00) Quantos dos anagramas da palavra PING começam com a letra G? 10 d) Questão (UNIMONTES / 00) Doze fabricantes de cachaça do Norte de Minas disputam um campeonato regional para serem escolhidos os cinco que participarão de um campeonato nacional. De quantos modos pode ocorrer essa escolha? d) 9.0 Questão (UNIMONTES / 00) De quantos modos pode ocorrer a classificação, nos primeiros lugares, sem empate, de 1 atletas que disputam uma prova olímpica? d) 00 Questão (PITÁGORS / 00) o final de uma reunião de uma comunidade negra, foram dados 8 apertos de mãos. ssumindo que cada participante era polido com relação aos demais, então o número de pessoas presentes nessa reunião era: d) Questão (UNIMONTES / 007) Com os algarismos significativos, quantos números pares de três algarismos, sem repetição, se podem formar? 18 d) 88 Questão (UNIMONTES / 007) Com os algarismos,,,, 7 e 8, quantos números ímpares de quatro algarismos, distintos, podemos formar? d) 10

11 Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 11 Questão 7 (UNIMONTES / 007) Considere um grupo formado por 7 homens e mulheres do qual se quer extrair uma comissão constituída por pessoas. Quantas são as comissões formadas por homens e mulheres? d) 10 Questão 8 (PITÁGORS / 007) Dado um número natural qualquer n, chamamos de fatorial de n ou n fatorial: i. ao número 1, quando n 0 ou n 1; ii. ao produto de todos os números naturais desde n até 1, para todo n > 1, isto é: n! n (n 1) (n ) ssim:! 1! ! Quantos são os anagramas da palavra PNGÉI, que possuem a sílaba PN juntas e em qualquer ordem? d) GBRITO:, 7, 8, 10, 1, 17,,, 7, 9,,, 8, 9 B,, 1, 19,,, 8, C, 9, 11, 1, 1, 18,,, D 1, 0, 1, 7 E 1,, 1, 0 Verifica-se, portanto, que os fatoriais de números maiores ou iguais a terminam em 0 (zero). Com quantos zeros termina o número 17! (dezessete fatorial)? 7 d) 11 Questão 9 (PITÁGORS / 007) O prefixo PN provém de igual palavra grega pan (forma neutra do adjetivo pãs) que significa todo, toda, tudo. ssim, os jogos PN americanos seriam os jogos de TO- DOS os países americanos, numa união dos países do continente. Outras situações, seria: Pandemônio: confusão total Pantomima: todos os gestos (usado em teatro) Panorama: resultado de uma olhada geral Pangéia (do grego, geo: terra, que designa o único continente que teria constituído originalmente a Terr.