Matemática E Intensivo V. 1

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1 Intensivo V. Exercícios 0) 0) Seja o termo geral n, então: Par, temos: a.. Par, temos: a.. Par, temos: a Então a + a + a Sabemos que para uma sequência ser denominada P.A. a diferença entre dois termos consecutivos é constante, então: x x + x x multiplicar toda a equação por x (x + ) x x x + x x x 0) 97 0) C n 0 a r a + (n ). r 0 + (0 ) a 0 00 r 0 7, Note que os termos da P.A. estão em milhões e a razão inicial é 0 para cada anos, então a cada um ano a razão é de 7,. Assim: a + (n ). r (n ). 7, ,n 7, 00, + 7,n 00, 7, 7, 7,n 7, n n 7, Ou seja, a 00, passaram-se 0 anos. Então o mundo terá 00 milhões de pessoas com diabetes em 0. 0) 7 Primeiro vamos descobrir a razão da P.A. a k + (n k). r 8 + (8 ). r r 00 0 r 0 r 0 r r Agora vamos calcular o º termo: a + ( ). r 0 a +. ( ) 0 a 0 + a a 7 0) anos Podemos representar as idades dos irmãos da seguinte maneira: (a, a, a, a ), sendo a o mais velho e a o mais novo. Sabemos que a a ; Sn 8 e n. Então S n ( a a ). n + n 8 ( a + a). 8 a. 8 8a 8 a a 8 Logo, podemos afirmar que o irmão mais novo tem anos. 07) D 0 km m a km 000 m r 00 m a + (n ). r (n ) n n n n n n

2 08) C Primeiro vamos calcular o valor de y. + + y y y y. y 8 Agora vamos calcular o valor de x. x y substituir o valor de y x multiplicar por x x 8x x 8 Agora vamos calcular z. z multiplicar por 8 8 8z 8z + 8z z 8 x + y + z ) C Note que a figura forma uma P.A. (,, 7...). a n 0 r a + (n ). r a 0 + (0 ). a a a ) 8 0 ) E a f() 9,8 + 0,. a f() 9,8 + 0,. a 9,8 + 0, a 9,8 +, a 70 a 7, S ( a a + ). S (70 + 7,). S,. S 8, Note que as perfurações formam uma P.A. (,, 7,0,...). Então a seria a quantidade de perfurações na etapa, logo: a + (n ). r ) B a + ( ). a +. a + 9 a 0 Agora vamos calcular a área dos triângulos. 0. A Δ 0. l ,7 7 cm Então, por regra de três, vamos calcular a porcentagem da placa que foi perfurada. 70 cm 00% 7 cm x x x 0% 70 Logo, o percentual que restará da chapa original é 90%. Sabemos que para ser múltiplo de e ao mesmo tempo o número deve ser múltiplo de. Porém, o primeiro múltiplo de depois do 0 é 0, e o último antes de 00 é 9. a 0 9 r a + (n ). r (n ) n 9 8 n 8 n n ) 9, m Primeiramente vamos calcular quanto vale o último termo. h 0 h + (n ). r h 0 0,70 + (0 ). 0,0 h 0 0, ,0 h 0 0,70 +, h 0, Para calcular a altura do reservatório em relação à represa basta calcular a soma dos 0 termos da P.A. S 0 ( a+ a0). n ( S 0 070, +, ). 0 S 0,8. S 0 9,

3 ) Primeiramente vamos calcular quantas bolas há na caixº 0. a 0 a + (n ). r a 0 + (0 ). a a 0 0 Porém n é a quantidade total de bolas, ou seja, é a soma dos 0 termos da P.A. ) a) cm, cm e cm b) V.. 0 cm e S 9 cm G C H F B E D A S 0 ( a+ a0). n 0 0 ( + ). ( + 0). 0 S Verdadeiro. 0 0., logo 0 é múltiplo de. 0. Verdadeiro. 0 > Falso. 0 (7. ) +, logo 0 não é múltiplo de. 08. Verdadeiro. 0 < 0. ) 080 Para calcular a soma dos 7 primeiros termos devemos calcular primeiramente a razão, a e a 7. a a 7 + ( 7). r 9 +. r 9 r r r a a + (n ). r a + 0. a a a a 7 a + (n ). r a 7 +. a a 7 79 Logo: ( S 7 a + 7) ( + ).. S ) 0 a) AB, AD e AE formaram uma P.A., então podemos escrever essa sequência da seguinte maneira: (x r, x, x + r). Sabemos que a soma desses termos é, então: x r + x + x + r x x Volume da pirâmide é: V. AC. BC. BF 0. ( xr). x. (x + r) ( )..( ) 0 x r x x+ r 0. ( r).. ( + r) 0 ( r ). 0 r r r r r AB, AD e AE b) Sendo V o volume, em cm³, e Sl a área total. V.. 0 cm Sl ( ) Sl ( + + 0) Sl. 7 Sl 9 cm Se a sequência (x, x, x + ) é uma PG, então a a. a a x x x + x x (x )(x + ) x x + x x 8 0 8x 8 8 8x x

4 8) 78 Primeiramente vamos calcular a razão, então: q a 8. a 8 8 Agora vamos calcular o 0º termo: a 0 a. q 0 a 0. 9 a 0. 9 a 0. 9 a 0 a ) Como a PG é oscilante, então q < 0. Calculando a razão temos: a k. q n k a a 7. q 7. q q 8 q q 8 q Porém, como visto anteriormente a razão tem que ser negativa, então q. 0) m Se as dimensões estão em PG, então: (L, C h) x q, x, x. q Sabendo que o volume é m, temos: V m. x q x. x. q m x x Sabendo que a altura é m a mais que o comprimento, temos: h + C x. q + x substituindo o valor de x q + q 8 q Logo, a largura será: L x q m. ) E Primeiro vamos calcular o quinto termo da PG oscilante (97,, 08,...). *q a. q 97. ( ) Agora calculando o º termo da PA (,, 7,...): *r 7 a a + ( ). r a +. 7 a + 7 a 9 Por último, vamos calcular o segundo termo da PG (, x, 9,,...): *q a a. q a. a Então temos a seguinte progressão (a,, a ) (,, 9), com isso podemos afirmar que a sequência é uma PG de razão 8. ) 0 0. Verdadeiro. Primeiro vamos calcular a quantidade de termos: a + (n ). r x + (n ). x + n x + n x n x n Agora vamos calcular a soma dos n termos S n ( a a ) + n. n 0 ( + x ) x. 0 ( + x )( x ) 70 x + x x

5 x + x 70 0 x + x 7 0 Calculando as raízes da equação x + x 7 0: x ± + 70 x' x" ± 8 Note que x é o termo de uma PA crescente, ou seja, r > 0. Então x não é um valor negativo, logo x. 0. Falso. Note que a PG apresentada é finita e com a razão igual a. Então, calculando a soma dos termos temos: S S 8 S 8 S Note que a soma é diferente de. 0. Verdadeiro. Primeiro vamos calcular a razão, então: a k. q n k a a. q. q 9. q 9 9. q q 7 q 7 q Então, calculando o primeiro termo: a. q n a a. q a. a a a ) Falso. Primeiro vamos calcular o 0 das duas PA: *PA(, 7, 0,...) r a + (n ). r 0 a + (0 ) *PA (, 0,,...) r Então, para estar nas duas ao mesmo tempo a razão tem que ser. Logo: a 0 r n? a + (n ). r 0 + (n ). 0 + n + n + n 0 n n 0 0. Falso. Temos que a quantidade forma uma PG. a 8? n q 8 a. q n Verdadeiro. Note que as precipitações são representadas pelas barras dos climogramas. Então podemos afirmar que em São Gabriel as chuvas são regulares, já em Cuiabá a chuvão é regular. 0. Falso. Temos PA com: 0 e a 80, então calculando a razão: a + ( ). r r 0 80 r 0 r r 0 Agora calculando o oitavo termo: a 8 a + (8 ). r a a a Falso. Suponha o valor do produto igual a R$00,00. Então, com o primeiro desconto temos: R$ % x 70 x 70 reais

6 ) Com o segundo desconto temos: R$ % x 80 x reais Agora suponha um único desconto de 0% num produto que vale R$00,00. R$ % x 0 x 0 reais Note que com os descontos sucessivos de 0% e 0% o produto passa de R$00,00 para R$,00, e com o desconto único de 0% o produto passa de R$00,00 para R$0,00.. Verdadeiro. Calculando f(0), temos: f(x ) f(x) f(0 ) f(0) f( ) f(0) f(0) + f(0) f(0) f(0) 7 0. Verdadeiro. Primeiramente vamos calcular o valor de x. Note que a sequência é uma PA, então: a a a a x + 0 x x (x + 0) 0 x x 0 x x 0 0 x ( ) ± ( )..( 0 ) ± 9. x x Então x. Do enunciado x < 0, logo (,,,...). Calculando o a 0 temos: a 0 a + (0 ). r a a a Falso. Note que os números ímpares, formam a sequinte PA (,,,..., n ). Então, somando os n primeiros termos temos: a n n n Logo: S n ( a ann ) + S n ( ) ( ) + n n nn n n 0. Verdadeiro. 0 ; a ; q q. q n 0. n n n. 0 n. + 0 n + 0 n + n + 0 n 08. Verdadeiro. * P.A. (x, y, 0) r > 0 * P.G. (x, y, 8) q > 0 y x +0 y 0 x (I) y x. 8 substituindo (I) y (y 0). 8 y y 80 y y Calculando as raízes, temos: ± 970 ± y 0 y y Note que tanto a P.G. quanto a P.A. são crescentes, logo y 0. Não serve. Substituindo y em (I) temos:. 0 x x. Portanto: x. y.. a. Falso. 900 q x x x x. x. 8 ) 0. Falso. Com as raias temos a sequência: (R, R, R,...) q R R Com as áreas temos: πr R R ( πr, πr, πr,... ) q πr R R q 0. Verdadeiro. * Receita (P.G. de razão )

7 ) D novembro de mil dezembro de mil. 0 mil janeiro de 00 0 mil. mil fevereiro de 00 mil. 8. mil * Despesa (P.A. de razão mil): novembro de 00 0 mil; dezembro de mil; janeiro de mil; fevereiro de mil; ou seja, em fevereiro a receita é maior que a despesa. 0. Verdadeiro. (0,,, 7,...). Note que o peso cresce conforme a P.G. (,,,...) de razão. Somando os termos da P.G. temos: S. 8 Note que a fórmula é da soma de uma P.G. infinita, ou seja, o jovem chegará a 8 kg. 08. Verdadeiro. P.A. (x,, y) x y y 0 x (I) P.G. (x,, y) xy substituindo I temos: x(0 x) 0x x x 0x + 0 Calculando a raiz temos: x 0 ± 00 x 0 8 ± x x Como a P.A. é crescente, então x. Substituindo esse valor em I temos: y 0 8. Logo, P.A. (,, 8,...). Calculando o a 0 da P.A. temos: a 0 a + (n ). r a a a 0 9 Portanto, a soma dos 0 primeiros termos é: ( S 0 + 9). 0. P.G. (x, x +, x + ) (x + ) (x ) (x + ) x + x + 9 x + x x x x x x 9 0 x 8x 0 0 8± x ± x x Para x temos P.G. (,, ), logo teríamos o produto com preço negativo, o que não ocorre. Para x temos P.G. (, 8, ), logo a razão dessa sequência é. 7) a) b) 8) C a) Da P.A temos que: a 7 a + r a 7 a + r Sabendo que a P.G é formada pelo a, a 7 e a 7 da P.A temos, para a a: P.G. (a, a + r, a + r) (a + r) a(a + r) a + 0ar + r a + ar r ar 0ar r ar r a r a r Para que r N* temos que o menor valor de a possível é. Logo, r. b) Para a e r temos: a k + (n k)r a 8 a + (8 ). r a 8 +. a a 8 S n a q n ( ) substituindo a, q q e n 0 0. S 0 pela propriedade de potência S 0 S ) C P.G. (lado, altura, área) l l l,, l l l l l. 7

8 0) B l l l l Calculando a altura do triângulo temos: l. h Sabendo que o raio da circunferência em relação à altura é:. h r Calculando a área da circunferência temos: A π. r A π. A π P.A. ( PP, PP, Pi Pi), como r, então P.A. (,,..., P P ). i i Calculando o último termo da P.A. temos: a + (n ). r Pi P + (n ). i Pi P + n i Pi P n i Agora calculando a soma: S n ( a ann ) + n n PP n ( + ). n+ n n + n n + n 0 Calculando as raízes temos: n n ± + ± 9 9 n 7(não serve, pois n é quantidade de termo). Logo Pi P. 8. i Portanto, a P.A. é (,, 9,,, 8), ou seja, i 7. P.G. ( AA, AA,... Aj Aj), seja a distância d, a razão, e j 7, então P.G. (d, d,..., d). Calculando a soma temos: S n a q n ( ) A ij a q n ( ) d ( ) q q d d Portanto, P.G. (,,, 8,, ), então a maior distância entre duas árvores consecutivas é. ) C Seja a expressão + x + x +..., note que os termos x, x,... formam uma P.G. infinita de razão, então calculando a soma infinita dessa P.G. temos: x a S q x Reescrevendo a expressão temos + x, portanto + x 0 x. Então, os valores negativos possíveis para x são {, }. Logo + ( ). ) a) 0 b) 9 ( 8 ). Reescrevendo a sequência temos:,,,,... a) a ¹, a,..., a 0 Calculando o produto, temos: P 0 ¹.... pela propriedade de potência. a m + m. P Note que no expoente temos a soma dos 0 primeiros termos de uma P.G. de razão, então: S 0 a q n ( ) q 0 S 0 0 S 0 0 S () S 0 0 Então temos: 0 P 0 s 0 0 8

9 ) D b) Calculando o produto infinito temos: P ¹... pela propriedade de potência. a m + m. P Note que os expoente formam a soma de uma P.G. de razão, então: a S q P s ² 9 Note que a ordem importa, logo temos A 7 : A 7! 7 7! ( 7 )!! 7...! 0! ) ) D n 8 p A 8! 8 ( 8 )! 8!! !! Note que os números ímpares do conjunto são e 7. Então temos: apartamentos terminados com o número : p. p possibilidades apartamentos terminados com o número 7: p. p 7 possibilidades 8) A! Para sobremesa: C!( )!!! Logo, as possibilidades de compor uma refeição são: possibilidades. Primeiramente vamos contar todas as possibilidades de senha: p. p. p. p possibilidades Agora vamos calcular as possibilidades indesejáveis: p. p possibilidades p p possibilidades p. p possibilidades Logo, temos possibilidades. Porém, no cálculo das senhas possíveis calculamos também a senha. Então, descontando das senhas possíveis as senhas indesejáveis, temos: (7 ) 7 possibilidades 9) 8 0. Falso. João Pedro k João k Pedro k Note que João + Pedro 80 k + k 80 9k 80 k Logo, João. 0 80; Pedro Então, João ficou com 80 latinhas e Pedro com Verdadeiro. Logo, temos + 0 possibilidades. ) E p. p. p. p. p 8 possibilidades círculo círculo círculo círculo círculo x 7) E! Para carne: C!( )!!!! Para massa: C!( )!!! 8! Para salada: C 8!( 8 )! 8! 7! 8 0 Calculando o perímetro: P (base) + (altura) P x P 0 + x P 0 x P 0 x x P 0 9

10 Calculando a área em função do perímetro A base. altura A 0x A 0 P 0 A P Falso. Seja x a quantidade de consultas, então: Plano A 0 + 0x Plano B 00 + x 0) 80 p p p p Note que retângulos vizinhos não podem ter a mesma cor, então as possibilidades são: p. p. p. p 80. Igualando o valor dos dois planos, temos que: 0 + x 00 + x x x 00 0 x 0 x 0 Logo, podemos afirmar que a partir da ª consulta o plano A se torna mais caro que o plano B. 08. Falso. Construindo uma árvore de possibilidades temos: ) B Dado branco Dado azul Dado vermelho Note que na tabela temos todas as possibilidades do lançamento de três dados somarem. Logo, temos 0 possibilidades. Note que se a primeira moeda cair em cara temos possibilidades, caso contrário também temos possibilidades. Logo, o total de possibilidades é 8.. Verdadeiro. comprimento de cada arco C. 7 quantidade de arcos C C πr R D π D πd D π D 0,8, ) a) 0 b) 0 c) 0 a) p. p. p. p 0 possibilidades b) Para ser divisível por o número tem que terminar em ou em 0, porém só temos o nos números disponíveis. Então p. p. p 0 possibilidades. c) Para um número ser divisível por, os dois últimos dígitos tem que ser divisíveis por, então: p. p possibilidades p. p 8 possibilidades p. p possibilidades p. p 9 possibilidades p. p possibilidades Note que temos. possibilidades 0 possibilidades. 0

11 ) C ) A Temos 0 bolas com cores diferentes. Então suponha que nas 0 primeiras tentativas a pessoa tire 0 bolas de cores diferentes. Novamente suponha mais 0 tentativas e 0 bolas diferentes. Note que, com base na suposição, a pessoa terá gasto 0 moedas e tem bolas de cada cor. Então precisamos de mais 0 tentativas; novamente suponha 0 cores diferentes. Com 0 moedas teremos bolas de cada cor, então para conseguir bolas da mesma cor é preciso moedas. Primeiro vamos calcular a possibilidade dos que preferem sentar de frente.! C,!!( )!!!!! Note que podemos permutar os entre eles, então: P! Para os que preferem sentar de frente, temos. 0. Agora para os que preferem sentar de costas: C,. P!.! 0. 0!! Para o restante (os que não tem preferência) P!. Logo, eles podem sentar de maneiras. ) 0. Falso. p. p. p. p 9 cartelas. 0. Falso. Para ser par, o último número tem que ser par. p. p. p p. p. p p. p. p Logo, o total de cartelas com números pares é Falso. Temos Verdadeiro. Para ter um produto ímpar todos os números são ímpares, então: p. p. p. p 8 cartelas Assim, se temos 9 cartelas e destas 8 são ímpar, então o número de cartelas com o produto par é 9 8 cartelas.. Verdadeiro. Da questão anterior temos que P é ímpar para 8 cartelas. Porém, sabemos que para S ser par temos: I + I + I + I P + P Par. ) calças e camisas. Temos as seguintes informações: A calça, y, custa R$0,00; A camisa, x, custa R$,00; A pessoa precisa ter 0 trajes (xy 0); A pessoão pode gastar mais que R$800,00. Note que os números naturais que têm produto igual a 0 são os números e, e 0. Porém, se a pessoa comprar calças e 0 camisas ou 0 calças e camisas ela irá estourar o orçamento de R$800,00. Comprando calças e camisas a pessoa irá gastar: estourou o orçamento. Logo, a pessoa irá comprar calças e camisas gastando: ) a) 90 b) c) 99 a) 0! 8! ! 8! b) 0! 8!! ! 0. 9.! 8!.. 0! + 9! ! ! 8!( ) c) 8! 8! 8! ) a) b) c) 7 a) ( n + )! ( n+ )( n+ ) n! n! n! n² + n + n² + n + 0 n² + n 0 0 n' 8 (não serve) n'' b) ( n+ )! + n! n! ( n+ ). n! + n! n!( n + + ) n! n! n + n n c) (7x )! Note que!, então 7x 7x + 7x x 7

12 9) n! +.( n)! 8 ( n)! nn ( )( n )! + ( n)( n )! 8 ( n )! ( n)![ n( n ) + ( n)] 8 ( n )! n² n + n 8 n² + n 8 0 n² + n 0 0 n' (não convém) n'' 0) Verdadeiro M 0! M M M Note que M é o produto de números inteiros, logo M será inteiro. ) A ) A n²(n )! n n²(n )! n n n ( n )!( n ) n(n )(n )! n! n! C..!!!( )!!!!. ) ) C C 8! !!( 8 )!!... C ) Falso !..!. 7 0!( )!.! 8! A ! ( 8 )!! ) B 7) D Cardiologistas: C!!! 0 Anestesistas: C!!! Instrumentadores: C!!! Logo, a equipe é formada de maneiras. Note que a ordem não interfere, pois trabalhamos com conjuntos. Escolhendo o quarto de duas camas temos: C!!! 0 Observe que iremos tirar estudantes dos, então só existe uma forma dos que sobram irem para o ourto quarto. Então temos 0. 0 maneiras de eles se hospedarem no hotel. Analogamente acontece caso a escolha comece pelo quarto de três camas, pois C C. 8) m 0. Soma: Funcionários escolhendo trabalho: C 8 8!!! Copiadoras e trabalhos: C 7 7!!! Trabalhos: P! 0 Maneiras: ) A Logo Note que podemos escolher,, ou frutas, logo: C + C + C + C!!! +!!! +!!! +! 0!! ) 00 Escolha para presidência: de C. Escolha para-vice presidência: de C. Escolha para o restante: de C 0. Logo, a comissão pode ser formada de maneiras.

13 ) C Note que o posto principal não pode ficar desocupado, logo temos postos e vigias.! A! ( )!!...! 0! ) A Com o posto de entrada: C x, A x, 0x + 0 x! x! 0x + 0!, e coloque 0!( x )! ( x )! em evidência. xx ( )( x)( x )! xx ( )( x )( x )! 0(x ) ( x )! ( x )! xx ( )( x ) x(x )(x ) 0(x ) como x, podemos dividir a equação por (x ). xx ( ) x(x ) 0 multiplicando por x(x ) x(x ) 0 x² x x² + x x² + 0x x' (não convém) x'' ) C ) A Logo, a equação tem única solução. Analisando a soma (P par e I ímpar): caso : P + P + P P caso : P + P + I I caso : P + I + I P caso : I + I + I I Temos então casos possíveis ( ou ). Note que o conjunto C é composto por I e 7P. C + C 7. C!!! + 7!!!.!!! Primeiro vamos considerar as senhas com repetição: p. p. p. p possibilidades Agora vamos verificar os casos com repetição: Caso : todos os números iguais: possibilidades (,,, ). ) E ) E Caso : números iguais (n note que n pode admitir os outros valores, ou seja, n {,, }, e pode ocupar posições (n, n, n). Logo, temos para o número :. possibilidades. Como temos quatro números, então. 8 possibilidades.). Assim as senhas possíveis são ( + 8) 0. MAGNITUDE consoantes e vogais Conjunto de letras, sendo consoantes e vogais. C. C!!!.! 0. 0!! C n 0 ( n )! 0!.!( n )! ( n)( n)( n )! 0 multiplicando a ( n )! equação por (n )(n ) 0 n² n + 0 n² n 0 0 n' (não convém) n'' 7 7) B Note que para os números escolhidos serem maiores que 00 e menores que 800 temos: p. p possibilidades p. p possibilidades 7 p. p possibilidades 8) A Logo, a quantidade é + +. Primeiro vamos analisar todas as possibilidades, incluindo se começar com zero. p. p. p. p 0 possibilidades Verificando as que começam com zero: 0 p. p. p possibilidades De ser ímpar: p. p. p. p possibilidades ou Logo, o total de números é: 0 ( + ) 0.

14 9) 70) D Todas as comissões possíveis: C 9 9!!! ! 9. 7.!... As comissões sem moças: C 0! 0!!!.! Logo, a quantidade de comissões possíiveis são. Note que se forem trocados exatamente 990 comprimentos temos então: C x 990 x! 990!( x )! xx ( )( x )! 990 ( x )! x(x ) 990. x² x n (não convém) n Como foram trocados mais de 990 cumprimentos, então o número mínimo é de. 7) 0 7) B 7) C 7) A FORTE P! 0, BORBOLETA P 9 9!!! !.!, P Total de estacas 7 P 7 7!! 7..! 7.! Total de bandeiras, P!!!...!...!. 0 7) A Se as mulheres tem que ficar juntas, vamos calcular as posições entre elas como!. Note que sobraram homens, e considerando as mulheres como um único elemento temos então 7 "pessoas", ou seja 7!. Logo, os 0 clientes podem ser posicionados de!. 7! maneiras. 7) Falso 77) C 78) C SORTE letras, considerando todos os anagramas: P! 0. Considerando os anagramas em que as vogais estão juntas temos: P!. 8 permutação entre as duas vogais Logo, a quantidade de anagramas com as vogais separadas são: Como os filmes de ficção devem passar consecutivamente, então para eles: P!. Considerando eles (os filmes de ficção) como um só, temos filmes para permutar entre os dias, então: P! Logo, temos. possibilidades para dias. Multiplicando por (considerando os dias como um só) temos. 70. Considerando todos os anagramas temos:!. Considerando as vogais juntas temos: 8!. Considerando a permutação das vogais:!. Logo,! 8!!. 79) 0 PC ( )!! 0 todas as crianças P! dentre as crianças que ficam juntas Logo, temos 0. 0 possibilidades. 80) n 7 P C (n )! (n )! 70 Note que 70! Então n n 7. 8) Falso Primeiro vamos verificar de quantas maneiras podemos ordenar pessoas. P! 0 Em metade das possibilidades a senhorita estará passando pela porta frente do cavalheiro. Assim, a resposta é 0.

15 8) E 8) B 8) D Considerando os dois amigos na cabeceira da mesa, temos:!.! Considerando os dois amigos frente a frente na lateral, temos:!..! 0 Somando as possibilidades, temos: Organizando as sandálias!. Organizando os sapatos!. Organizando os sapatos e as sandálias!..!. Temos as seguintes opções: de baixo para cima 7 da esquerda para a direita ( + 7 )!! !!. 7!!. 7! ! ) D 87) C Note que temos 7 posições ocupadas, logo, como estão organizados em ordem alfabética, temos na 7º posição o anagrama: RAOPV. Para que o número seja múltiplo de a soma dos seus algarismos tem que ser múltiplo de. Logo, temos os seguintes grupos de algarismos: serve não serve não serve serve serve Note que temos grupos que servem e neles podemos permutar os algarismos..! ) a) 70; 0 b) 8ª; a) Total de números:! 70 Iniciados por, temos: p p p p p 0 b) Como eles estão em ordem crescente, temos: *O número p p p p p 0 posições p p p p p 0 posições p p p p p 0 posições p p p p p 0 posições 89) A Note que já temos 80 posições ocupadas, logo,como estão em ordem crescente, podemos afirmar que o número está na posição 8. Dos cálculos feitos anteriormente temos que os números iniciados pelo número ocupam as posições a partir da, logo, como estão em ordem, temos: º º 8) E Da figura, podemos afirmar que nas fileiras F, F e F os namorados podem ocupar lugares, e na fileira F podem ocupar par de lugar. Logo temos:!. 7 permutação entre os namorados. Note que depois da escolha dos namorados sobraram 9 lugares. Então temos:. 9!. Total de permutações da palavra PROVA! 0. Colocando em ordem alfabética, temos: A p p p p posições O p p p p posições P p p p p posições Primeiro vamos analisar somente as possibilidades em que o e aparecem juntos:! ( ) p p p p p 0. 0 p Agora vamos calcular as possibilidades em que o e o aparecem juntos: ( ) ( ).!.. 9!! Logo, temos 0 9 posições em que o e aparecem juntos e o e o não.