= (365 k + 1). (365 k)! = 1.

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1 Exemplo 6: (O problema do aniversário) Existem k pessoas numa sala. Supondo que o aniversário de cada pessoa é igualmente provável e que não há gêmeos na sala, qual a probabilidade de que duas ou mais pessoas celebrem o aniversário no mesmo dia? Solução: Se A denota o evento nenhuma das k pessoas fazem aniversário no mesmo dia, então queremos calcular P(A c ). Nesse exemplo, Ω = {1,..., 365} k. Do exemplo 4 temos Ω = 365 k e do exemplo 5 temos Logo, A = 365! = (365 k + 1). (365 k)! P(A c ) = 1 P(A) = 1 A (365 k + 1) = 1. Ω 365 k

2 Figure 1: (Blitzstein, J.K. e Hwang,J. Introduction to probability, p.12.) Probabilidade de que num grupo de k pessoas duas ou mais celebrem aniversário no mesmo dia. Essa probabilidade excede 1/2 para k = 23.

3 Exemplo 7: (Coeficiente Binomial) Quantas eventos de tamanho k existem em um espaço amostral Ω de n elementos? Solução: Seja A um evento de tamanho k. O evento A pode ser obtido de k! maneiras distintas (Porque?). Como há n!/(n k)! maneiras possíveis de construir sequências de tamanho k com entradas todas distintas, segue que existem ) n! (n k)!k! = eventos de tamanho k em um espaço amostral de n elementos. ( n k

4 Exemplo 8: (Full House em uma mão de Poker) Uma mão de 5 cartas é extraída de um baralho de 52 cartas. Se o baralho foi embaralhado de forma que cada carta tenha a mesma chance de aparecimento, qual é a probabilidade de se obter um Full House? Solução: Uma mão é chamada Full House se há 3 cartas do mesmo valor e 2 outras cartas do mesmo valor. Seja A o evento a mão é um Full House. Do Princípio da Multiplicação segue que ( ) ( ) 4 4 A = Logo, P(A) = 13( ( 4 3) 12 4 ) 2 ) ( 52 5

5 Exemplo 9: Qual é o número de soluções para a equação x 1 + x x n = k, onde x 1,..., x n são inteiros não negativos? Em outras palavras, de quantas maneiras diferentes podemos distribuir k bolas não numeradas em n urnas indistinguíveis? Solução: Cada solução pode ser vista como uma sequência de s e s. Essa sequência deve ter exatamente (n 1) s e k s distribuídas entre as duas s exteriores. Assim existem n 1 + k lacunas entre as paredes exteriores e devemos escolher onde colocar as k s. Logo o número total de sequências com essas propriedades é ( ) n 1 + k. k

6 Identidades úteis Exemplo 10: Para inteiros não negativos n e k com k n, temos ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 1 n = e n = k. k n k k 1 k Prova: A primeira identidade é imediata. Para provar a segunda, pense em quantas formas possíveis podemos escolher um time de k pessoas, com 1 capitão, de uma população de n pessoas. Exemplo 11: (Identidade de Vandermonde) Para inteiros não negativos m, n e k, temos ( ) m + n = k k ( m j=0 j )( n k j Prova: Pense em como escolher k pessoas a partir de dois grupos, um com m pessoas e o outro com n pessoas. ).

7 Definição axiomática de probabilidade Seja Ω um espaço amostral. Probabilidade P: função que atribuí a eventos A Ω um número P(A) [0, 1] e satisfaz os seguintes axiomas: 1. P(Ω) = 1 e P( ) = 0 2. Para eventos (A i ) i 1 disjuntos (isto é A i A j = se i j): P( i=1 A i) = P(A n ). n=1 Dos Axiomas 1 e 2 segue que para eventos A 1,..., A n disjuntos: P( n i=1 A i) = n P(A i ) i=1 De fato, considere A n+1 = A n+2 =... =.

8 Teorema 1. (Propriedades da Probabilidade) Para eventos A e B de um espaço amostral Ω, temos: 1. P(A c ) = 1 P(A) 2. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 3. Se A B, então P(A) P(B). Prova: 1. Basta observar que Ω = A A c e usar Axioma Escreva B = A (A c B) e aplique Axioma Escreva A B = A (B A c ), escreva B como na prova do item 3 e use Axioma 2. Item 2 é um caso particular do princípio de Inclusão-Exclusão: Teorema 2. (Inclusão-Exclusão) Para eventos A 1,..., A n, temos: P( n i=1 A i) = P(A i ) P(A i A j ) + P(A i A j A k ) i i<j i<j<k + ( 1) n+1 P(A 1 A 2... A n )

9 Exemplo 10: (O problema de pareamento) A partir de uma urna com n bolas numeradas de 1, 2,..., n, selecionamos ao acaso e sem reposição todas as bolas, uma de cada vez. Dizemos que ocorre um pareamento na i-ésima seleção, se nessa seleção for selecionada a bola de número i. Qual é a probabilidade de que ocorra pelo menos um pareamento? Solução: Para cada 1 i n, seja A i o evento ocorreu um pareamento na i-ésima seleção. Queremos calcular P( n i=1 A i). Para k bolas i 1,... i k distintas vale que P(A i1... A ik ) = (n k)! n! Logo, pelo princípio de Inclusão-Exclusão, temos P( n i=1 A i) = n 1 ( ) ( ) n (n 2)! n (n 3)! n + + ( 1) n n! 3 n! n! 1 e 1, para n grande o suficiente.

10 Teorema 3. (Continuidade da Probabilidade) 1. Se A 1 A 2... é uma sequência de eventos crescentes de um espaço amostral Ω, então P( i=1 A i) = lim n P(A n ). 2. Se A 1 A 2... é uma sequência de eventos decrescente de um espaço amostral Ω, então P( i=1 A i) = lim n P(A n ). Prova: 1. Defina B 1 = A 1, B 2 = A 2 A c 1, B 3 = A 3 A c 1 A c 2,.... Note que (B i ) i 1 são disjuntos e i=1 A i = i=1 B i.. Do Axioma 2 segue que, P( i=1 A i) = P( i=1 B i) = i=1 P(B i ) = lim n n i=1 P(B i ) = lim n P(A n ). 2. Basta aplicar o item 1. a sequência crescente A c 1 A c 2...

11 Teorema 4. (Cota da União) Para eventos A 1,..., A n de um espaço amostral Ω, P( n i=1 A i) n P(A i ). Prova: Considere B 1 = A 1, B 2 = A 2 A c 1, B 3 = A 3 A c 1 A c 2,... e observe que (B i ) n i=1 são disjuntos tais que B i A i pra todo i. i=1 Teorema 5. (Desigualdade de Bonferroni) Para eventos A 1,..., A n de um espaço amostral Ω, P( n i=1 A i) 1 n i=1 P(A c i ). Prova: Aplique a cota da união para B 1 = A c 1,..., B n = A c n e tome o complementar.