APOIO 1 - CÁLCULO I - Licenciatura Física - Diurno 1 o SEMESTRE de 2008 Professor Oswaldo Rio Branco. Raízes de um Polinômio com Coeficientes Inteiros

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1 APOIO - CÁLCULO I - Licenciatura Física - Diurno o SEMESTRE de 008 Professor Oswaldo Rio Branco Raízes de um Polinômio com Coeficientes Inteiros Para pesquisarmos as possíveis raízes inteiras, ou racionais, de um polinômio P com coeficientes inteiros contamos com o resultado abaixo que afirma que uma raíz inteira, se existir, divide o termo independente e uma raíz racional, se existir, deve ser procurada entre os números da forma p q, p e q inteiros e primos entre si, tais que p divide o termo independente e q divide o termo dominante Proposição Seja P P (x) a n x n + a n x n + + a x + a o com coeficientes, a i, 0 i n, inteiros Temos os resultados abaixo (i) Se α Z é raíz então α a o (ii) Se α p q Q, mdc(p, q), é raíz então p divide a o e q divide a n um polinômio de grau n Demonstração (i) Segue de P (α) 0 que a n α n + + a α a o Logo, α(a n α n + + a α + a ) a o e portanto ao α Z pois a i e α j são inteiros, i, j, e ao α (a nα n + + a α + a ) Isto é, α divide a o (ii) Neste caso temos, P (α) 0, donde e, multiplicando por q n, p n a n q n + + a p q + a o 0 ( ) a n p n + + a pq n a o q n Assim, colocando p em evidência temos p(a n p n + + a q n ) a o q n Logo, p divide a o q n e portanto, como mdc(p, q), p divide a o Analogamente, por ( ), temos a n p n q + + a pq n + a o q n a n p n, e assim, pondo q em evidência, temos q(a n p n + + a o q n ) a n p n Consequentemente q divide a n p n e então, como mdc(p, q), segue que q divide a n

2 Fórmulas trigonométricas Verifique as fórmulas abaixo, assumindo ou a fórmula ou a, que podem ser encontradas em livros de segundo grau Mantenha-as consigo e familiarize-se A terceira é útil para a demonstração das propriedades de reflexão das cônicas : parábola, elipse e hipérbole As fórmulas 6, 7, e aparecem naturalmente quando da mudança de variável visando o cômputo de determinadas integrais As demais surgem em inúmeras situações, sendo fundamentais quando do estudo das séries de Fourier, que se trata da aproximação de uma função periódica qualquer por uma soma de funções trigonométricas cos(α + β) cosαcosβ senαsenβ sen(α + β) senαcosβ + senβcosα 3 tg(α + β) tgα + tgβ tgαtgβ 4 sec θ + tg θ 5 cossec θ + cotg θ 6 cosθ cos θ sen θ 7 senθ senθcosθ 8 cos θ + cosθ 9 sen θ cosθ 0 Fórmulas de prostaférese ( transformam produto em adição ou subtração) (a) senαcosβ sen(α + β) + sen(α β) (b) cosαcosβ cos(α + β) + cos(α β) (c) senαsenβ cos(α β) cos(α + β) senx tg x + tg, se cos x x 0 cosx tg x + tg, se cos x x 0

3 Progressão Geométrica Dado r > 0 consideremos a soma S n + + r n, a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r Multiplicando S n por r temos rs n r+ +r n + r n e portanto, S n rs n r n Assim, pondo S n em evidência obtemos a fórmula ( ) S n rn r, r Tal fórmula é extremamente útil e dela podemos obter convergência de séries, identidades polinomiais, identidades algébricas, etc () Apliquemo-la em polinômios Considerando x uma variável real temos, por (*), que x n x + x + + xn, x, e assim, ( ) x n (x )( + x + + x n ), x R () Identidade algébrica: sejam a e b dois números reais, a b, por (*) temos a n b n a n ( b a )n a n ( b a ) + + ( b a )n (a b)a n + + bi a i + + ( b a )n (a b) a n + + a n i b i + + b n (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ) a n b n (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ) (3) Calculemos a série geométrica de razão r, < r < Observemos que r n 0 quando n +, isto é, r n tende a zero quando n tende a mais infinito ou, em símbolos, Logo, as somas parciais da série geométrica lim n + rn 0 r n + r + + r n + são as somas finitas de uma progressão geométrica de razão r, S n + r + + r n rn+ r e, como é natural, definimos Portanto, temos r n r n pois r n+ tende a zero quando n tende a + lim S n n + r n+ lim n + r r, 3

4 Por exemplo, temos ( )n Exercício extra A equação geral de uma reta no plano cartesiano é: D : ax + by + c 0; a ou b não nulo Dado um ponto P o (x o, y o ) R, a distância de P o à reta D é : P D ax o + by o + c a + b Prova Seja m r o coeficiente angular de uma reta r qualquer As retas, designadas por S, perpendiculares à reta D, tem coeficiente angular m S tal que m S m D Logo, utilizando o parametro d, uma equação geral de tais retas é: S : bx + ay + d 0, d R Entre tais retas perpendiculares a D queremos a que passe por P o (x o, y o ) Isto é, bx o + ay o + d 0 e, portanto, determinamos d bx o ay o Temos então a reta S Po : bx + ay + (bx o ay o ) 0 Para determinarmos o ponto P (x, y ) D S Po resolvemos o sistema: ( ) { ax + by c bx + ay ay o bx o, Multiplicando a primeira equação por a, a segunda por b, e então somando-as temos : x a +b (b x o aby o ac) e, agora, multiplicando a primeira por b e a segunda por a e somando-as concluímos : y a +b ( abx o + a y o bc) Computemos agora o quadrado da distância de P o (x o, y o ) a P (x, y ): P o P (x o x ) + (y o y ) x o a +b ( b x o aby o ac ) + y o a +b ( abx o + a y o bc ) (a +b ) ( a x o + aby o + ac ) + ( abx o + b y o + bc ) (a +b ) a (ax o + by o + c) + b (ax o + by o + c) (a +b ) (a + b ) (ax o + by o + c) (axo + byo + c) a +b, donde segue a tese segunda prova Reescrevendo (*) na notação matricial temos: a b x c ( ) b a y ay o bx o 4

5 É fácil constatar que dada uma matriz inversível, A B M C D sua inversa é dada por Assim, a solução de (*) é x y M D B AD BC C A a b a + b b a c ay o bx o Logo, x a +b ( ac aby o + b x o ) e y a +b ( bc + a y o abx o ) e a demonstração segue como a anterior 5