Capítulo 7. O Modelo de Regressão Linear Múltipla

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1 Capíulo 7 O Modelo de Regressão Linear Múlipla Quando ornamos um modelo econômico com mais de uma variável explanaória em um modelo esaísico correspondene, nós dizemos que ele é um modelo de regressão múlipla. Grande pare dos resulados desenvolvidos para o modelo de regressão simples pode ser esendido nauralmene para esse caso geral. Exisem pequenas mudanças na inerpreação dos parâmeros, os graus de liberdade para a disribuição mudarão e nós necessiaremos modificar as hipóeses concernenes as caracerísicas das variáveis explanaórias (x).

2 7.1 Especificação do Modelo e os Dados O Modelo Econômico Cada semana, o gerene de uma rede de lanchonees deve decidir quano gasar com propaganda e que promoções deveria oferecer. Como se alera a receia oal à medida que o nível de gasos com propaganda muda? Um aumeno nos gasos com propaganda elevaria a receia oal? Se afirmaivo, o aumeno na receia oal é suficiene para jusificar uma elevação nos gasos com propaganda? O gerene ambém esá ineressado na esraégia de preços. Reduzir os preços aumenará ou diminuirá a receia oal? Se uma redução de preço levar a uma diminuição da receia oal, enão a demanda é inelásica; se uma redução de preço levar a um aumeno da receia oal, enão a demanda é elásica.

3 Nós, inicialmene, assumimos que a receia oal, RT, é linearmene relacionada com o preço (p) e com os gasos em propaganda (a). Assim, o modelo econômico é: RT p a 1 3 (7.1.1) RT = represena a receia oal para deerminada semana p = represena o preço naquela semana a = nível de gasos com propaganda durane aquela semana. Tano RT como a são mensurados em ermos de milhares de unidades moneárias. Vamos assumir que o gerene consruiu uma única série de preços semanal, p, mensurada em unidades moneárias e que represena os preços gerais. Os iens remanescenes em (7.1.1) são os parâmeros desconhecidos 1, e 3, que descrevem a dependência da receia (RT) em relação aos preços (p) e à propaganda (a).

4 No modelo de regressão múlipla, o parâmero inercepo, 1, é o valor da variável dependene quando cada variável explanaória assume o valor zero. Em muios casos, esse parâmero não em uma inerpreação econômica clara, mas ele é quase sempre incluído no modelo de regressão. Ele ajuda a esimação global do modelo e na previsão. Os ouros parâmeros no modelo mensuram a variação no valor da variável dependene dado a mudança de uma unidade em uma variável explanaória, odas as ouras variáveis manidas consanes. Por exemplo, em: = a mudança em RT ($ 1000) quando p é aumenado em uma unidade ($1) e a é manido consane, ou = RT p RT p a 1 3 ( a manido consane) RT p

5 RT p a 1 3 O sinal de pode ser posiivo ou negaivo. Se um aumeno nos preços levar a um aumeno da receia, enão > 0, e a demanda para a rede de lanchonees é inelásica. Inversamene, uma demanda elásica em relação ao preço ocorre se um aumeno nos preços conduzir a uma queda na receia, que é o caso de < 0. O parâmero 3 descreve a resposa da receia a mudanças no nível de gasos com propaganda; iso é, 3 = a mudança em RT ($1000) quando a é aumenado em uma unidade ($1000), e p é manido consane 3 = RT a ( p manido consane) RT a Nós esperamos que o sinal de 3 seja posiivo.

6 7.1. O Modelo Economérico O modelo econômico (7.1.1) descreve o comporameno esperado de muias franquias individuais. Como al, nós deveríamos escrever o modelo como E( RT ) 1 p, 3a onde E(RT) é o valor esperado da receia oal. Dados semanais para a receia oal, preço e propaganda não seguirão uma relação linear exaa. A equação descreve, não uma rea como nos Capíulos 3-6, mas um plano. O plano inercepa o eixo verical em 1. Os parâmeros e 3 mensuram a inclinação do plano nas direções eixo do preço e eixo da propaganda, respecivamene.

7 Para permiir a diferenciação enre a receia oal observada e o valor esperado da receia oal, nós acrescenamos um ermo de erro aleaório, e RT E( RT ) Esse erro aleaório represena odos os faores que fazem a receia oal semanal diferir do seu valor esperado. Esses faores podem incluir o clima, o comporameno dos concorrenes, um relaório de uma agência imporane sobre os efeios morais do consumo de gorduras, ec. Denoando as s observações semanais pelo índice, nós emos RT E( RT ) e p a e (7.1.) a O Modelo Geral No modelo de regressão múlipla geral, uma variável dependene y é relacionada com um número de variáveis explanaórias aravés de uma equação linear que pode ser escria como: y x x x e (7.1.3) K K Os coeficienes 1,,, K são parâmeros desconhecidos.

8 k O parâmero mede o efeio de uma mudança na variável x k sobre o valor esperado de y, E(y ), odas as ouras variáveis manidas consanes. O parâmero 1 é o ermo de inercepo. A variável x 1 = 1. A equação da receia oal pode ser visualizada como um caso especial de (7.1.3) onde: K = 3, y = RT, x 1 = 1, x = p e x 3 = a. Assim, nós podemos escrever (7.1.) como: y x x e (7.1.4) b As Hipóeses do Modelo Para fazer o modelo esaísico em (7.1.4) compleo, hipóeses sobre a disribuição do erro aleaório, e, precisam ser feias. 1. E[e ] = 0. Cada erro aleaório em uma disribuição de probabilidade com média zero. Nós esamos assumindo que nosso modelo, em média, é correo.. var(e ) =. A variância é um parâmero desconhecido e ele mede a incereza do modelo esaísico. Ela é a mesma para cada observação. Erros com essa propriedade são chamados de homocedásicos. 3. cov(e, e s ) = 0. A covariância enre dois erros aleaórios correspondenes a duas observações diferenes é zero. Assim, qualquer par de erros não é correlacionada.

9 A segunda hipóese é que nenhuma das variáveis explanaórias é uma função linear exaa de qualquer uma das ouras. Essa hipóese é equivalene a assumir que nenhuma variável é redundane. Como veremos, se essa hipóese é violada, uma condição chamada mulicolinearidade exaa, o procedimeno de mínimos quadrados falha. 4. Em algumas ocasiões, nós assumiremos adicionalmene que os erros aleaórios e possuem disribuição de probabilidade normal; iso é,. e ~ 0, N As propriedades esaísicas de y decorrem das do e. E( y ) x x Essa hipóese diz que o valor médio de y muda para cada observação e é dado pela função de regressão.. var(y ) = var(e ) =. 3. cov(y, y s ) = cov(e, e s ) = 0. y ~ N ( x x ), é equivalene a assumir que e ~ N 0, Adicionalmene às hipóeses sobre o ermo de erro (e conseqüenemene sobre a variável dependene), nós fazemos duas hipóeses sobre as variáveis explanaórias. A primeira é que as variáveis explanaórias não são aleaórias.

10 Hipóeses do Modelo de Regressão Múlipla RM1. y 1 x K xk e, 1,, T RM. E( y ) x x E( e ) 0 1 K K RM3. var(y ) = var(e ) =. RM4. cov(y, y s ) = cov(e, e s ) = 0 RM5. Os valores de x k não são aleaórios e não são funções lineares exaa de ouras variáveis explanaórias. RM6. y N x x e N ~ ( 1 K K ), ~ (0, )

11 7. Esimação dos Parâmeros do Modelo de Regressão Múlipla Nós discuiremos esimação no conexo do modelo da equação 7.1.4, o qual é y x x e (7..1) Procedimeno de Esimação de Mínimos Quadrados Com o princípio de mínimos quadrados, nós minimizamos a soma de quadrados das diferenças enre os valores observados de y e seu valor esperado: 1 33 E y x x Maemaicamene, nós minimizamos a soma de quadrados da função S( 1,, 3 ), que é uma função dos parâmeros desconhecidos, dado os dados,,, S y E y 1 3 T 1 T 1 y x x (7..)

12 Dados as observações amosrais y, minimizar a função da soma de quadrados é basicamene um exercício de cálculo. Com o propósio de fornecer expressões para as esimaivas de mínimos quadrados, é conveniene expressar cada uma das variáveis em ermos de desvios em relação a suas médias; iso é, seja * * * y y y, x x x, x 3 x 3 x3 As esimaivas de mínimos quadrados b 1, b e b 3 são: b y b x b x b * * * * * * * y x x 3 y x 3 x x 3 * * * * x x 3 x x 3 b * * * * * * * y x 3 x y x x 3x * * * * x x 3 x x 3 3 (7..3) Encaradas como uma maneira geral de uilizar dados amosrais, referimo-nos às fórmulas em (7..3) como regras ou procedimenos de esimação e são chamadas de esimadores de mínimos quadrados dos parâmeros desconhecidos. Como seus valores não são conhecidos aé os dados serem observados e as esimaivas calculadas, os esimadores de mínimos quadrados são variáveis aleaórias.

13 Quando aplicadas a uma amosra de dados específica, as regras produzem as esimaivas de mínimos quadrados, que são valores numéricos. Observações semanais sobre receias, preços e gasos

14 7.. Esimaivas de Mínimos Quadrados Uilizando os Dados da Rede de Lanchonees Para os dados da Rede de Lanchonees, nós obemos as seguines esimaivas de mínimos quadrados: b b b , 79 6,64,984 (R7.1) A função de regressão que nós esamos esimando é E y x x (7..4) A rea da regressão ajusada é yˆ b b x b x ,79 6,64x,984x 3 (R7.) Em ermos das variáveis econômicas originais RT ˆ 104,79 6,64 p,984a (R7.3)

15 Baseados nos resulados, o que nós podemos dizer? 1. O coeficiene negaivo de p sugere que a demanda é elásica em relação ao preço e nós esimamos que um aumeno em $1 no preço levará a uma queda na receia semanal de $6.64. Ou, colocando posiivamene, uma redução no preço de $1 levará a um aumeno na receia de $ O coeficiene da propaganda é posiivo e nós esimamos que um aumeno no gaso com propaganda de $1.000 resulará em uma elevação da receia oal de $ O inercepo esimado implica que se ano o preço como o gaso com propaganda forem zero, a ganho de receia oal seria de $ Isso é obviamene incorreo. Nesse modelo, assim como em ouros, o inercepo é incluído no modelo para melhorar a capacidade de previsão dele e dar uma especificação maemáica mais complea. A equação esimada ambém pode ser uilizada para a previsão. Suponha que o gerene eseja ineressado em prever a receia oal para um preço de $ e um gaso com propaganda de $ A previsão é dada por RT ˆ 104,785 6,6419, ,34 (R7.4) Assim, o valor previso da receia oal para os valores específicos de p e a é aproximadamene $

16 Observação O sinal negaivo do preço implica que a redução desse aumenará a receia oal. Se omarmos isso lieralmene, porque nós não deveríamos ir reduzindo o preço aé zero? Obviamene que não conseguiríamos maner a elevação da receia oal. Isso apona para um imporane pono: modelos de regressão esimados descrevem a relação enre as variáveis econômicas para valores semelhanes dos enconrados na amosra de dados. A exrapolação dos resulados para valores exremos não é geralmene uma boa idéia. Em geral, predizer valores da variável dependene para valores das variáveis explanaórias disanes dos valores amosrais é um convie para o desasre

17 7..3 Esimação da Variância de Erro Os resíduos de mínimos quadrados para o modelo na equação 7..1 são: eˆ y yˆ y b x b x b (7..5) Um esimador de, que é o que vamos uilizar, é eˆ ˆ (7..6) T K onde K é o número de parâmeros sendo esimados no modelo de regressão múlipla. No exemplo da rede de lanchonees, nós emos K = 3. A esimaiva para nossa amosra de dados na Tabela 7.1 é eˆ 1805,168 ˆ 36,84 T K 5 3 (R7.5)

18 7.3 Propriedades Amosrais do Esimador de Mínimos Quadrados As propriedades amosrais do esimador de mínimos quadrados nos dizem como as esimaivas variam de amosra para amosra. O Teorema de Gauss-Markov: Para o modelo de regressão múlipla, se as hipóeses RM1-RM5 são manidas, enão os esimadores de mínimos quadrados são os melhores esimadores lineares não endenciosos (BLUE Bes Linear Unbiased Esimaors) dos parâmeros no modelo de regressão múlipla. Se nós formos capazes de assumir que os erros são normalmene disribuídos, enão y ambém será uma variável aleaória normalmene disribuída. Os esimadores de mínimos quadrados ambém erão disribuição de probabilidade normal, já que eles são funções lineares de y. Se os erros não forem normalmene disribuídos, enão os esimadores de mínimos quadrados serão aproximadamene normalmene disribuídos em grandes amosras, onde TK for maior que, alvez, 50.

19 7.3.1 As Variâncias e Covariâncias dos Esimadores de Mínimos Quadrados Como os esimadores de mínimos quadrados não são endenciosos, quano menor for a variância, maior será a probabilidade de eles produzirem esimaivas próximas dos verdadeiros valores dos parâmeros. Para K = 3, nós podemos expressar as variâncias e covariâncias em uma forma algébrica que seja proveiosa para elucidar o comporameno do esimador de mínimos quadrados. Por exemplo, nós podemos mosrar que: var( b ) x x r3 (1 ) (7.3.1) onde r 3 é o coeficiene de correlação simples enre os T valores de x e x 3, r 3 x x x x 3 3 x x x x 3 3 (7.3.)

20 Para ouras variâncias e covariâncias exisem fórmulas de naureza similar. É imporane compreender os faores que afeam a variância de b : 1. Quano maior for, maior será a variância dos esimadores de mínimos quadrados. Isso é esperado já que mede a incereza global na especificação do modelo. Se for grande, enão os valores dos dados podem ser foremene dispersos da função de regressão, exise uma menor quanidade de informação nos dados sobre os valores dos parâmeros E y x x. Quano maior for o amanho da amosra T, menor será a variância. A soma no denominador é T 1 ( x x ) Quano maior for o amanho da amosra T, maior será essa soma e, assim, menor será a variância. Um maior número de observações produz uma esimação do parâmero mais precisa.

21 3. Para esimar de forma precisa, nós gosaríamos de possuir uma grande variação de x, T 1 ( x x ) A inuição aqui é que é mais fácil mensurar, a variação em y esperada dada uma mudança em x, quando exise uma maior variação nos valores de x que nós observamos. 4. No denominador da var(b ) exise o ermo, onde r 3 é a correlação enre os valores amosrais de x e x 3. Lembre-se que o coeficiene de correlação mensura a associação linear exisene enre duas variáveis. Se os valores de x e x 3 forem correlacionados, enão o ermo será menor do que 1. 1 r 3 1 r 3 Quano maior for a correlação enre x e x 3, maior será a variância do esimador de mínimos quadrados b. A razão para isso é que a variação em x acrescena uma maior precisão para a esimação quando ela não esá associada à variação nas ouras variáveis explanaórias. Idealmene, variáveis independenes apresenam uma variação que é independene da variação de ouras variáveis explanaórias. Quando a variação em uma variável explanaória esá associada à variação em oura variável explanaória, é difícil disinguir separadamene seus efeios. No Capíulo 8, nós discuimos mulicolinearidade, que é a siuação onde as variáveis explanaórias esão correlacionadas enre si. A mulicolinearidade conduz a um aumeno das variâncias dos esimadores de mínimos quadrados.

22 É comum apresenar as variâncias e covariâncias dos esimadores de mínimos quadrados numa mariz, com as variâncias na diagonal principal e as covariâncias fora da diagonal principal. Para um modelo com K=3, a mariz é b1 b1 b b1 b3 b b b b b var cov, cov, cov b, b, b cov b, b var b cov b, b cov 1, 3 cov, 3 var ˆ (7.3.3) Uilizando a esimaiva = 36,84, as variâncias e covariâncias para b 1, b, b 3 no exemplo da rede de lanchonees são 4,06 19,863 0,16111 cov ˆ b1, b, b3 19,863 10,184 0,0540 0, ,0540 0,0787 (7.3.4) Assim, nós emos b1 ˆ b1 b b ˆ b1 b3 b ˆ b b var ˆ 4,06 cov, 19,863 var ˆ 10,184 cov, 0,16111 var ˆ 0,0787 cov, 0,

23 7.3. As Propriedades dos Esimadores de Mínimos Quadrados Admiindo Disribuição Normal dos Erros Se nós acrescenarmos RM6 que os erros aleaórios e êm disribuição de probabilidade normal, enão a variável dependene y é normalmene disribuída, y N x x e N ~ ( 1 K K ), ~ (0, ) Como os esimadores de mínimos quadrados são funções lineares da variável dependene, segue que os esimadores de mínimos quadrados são normalmene disribuídos ambém, bk ~ N k, varbk (7.3.6) Nós podemos ransformar a variável aleaória normal b k na variável normal padronizada z, bk k z ~ N 0,1, para k 1,,, K var b k (7.3.7) Quando nós subsiuímos pelo seu esimador, nós obemos a esimaiva da var(b k ), o qual nós denoamos como var ˆ b. Quando a var(b k ) é subsiuída pela ˆ k var bk em (7.3.7), nós obemos uma variável aleaória com disribuição ao invés de uma variável normal; iso é, bk k ~ (7.3.8) TK var ˆ b k ˆ

24 Nesse capíulo, exisem K coeficienes desconhecidos no modelo geral e o número de graus de liberdade para a esaísica é (T-K) var ˆ A raiz quadrada do esimador da variância k é chamada de erro padrão de b k, o qual pode ser escrio como b ep( b ) var( ˆ b ) k k (7.3.9) Conseqüenemene, nós expressaremos usualmene a variável aleaória como b k k ep( b ) k ~ T K (7.3.10)

25 7.4 Esimação de Inervalos As esimaivas de inervalos de parâmeros desconhecidos são baseadas numa senença probabilísica que é bk k Pc c 1 ep( bk ) (7.4.1) Onde c é o valor críico para a disribuição com (TK) graus de liberdade, al que P( c ) = /. Rearranjando a equação 7.4.1, nós obemos P bk cep( bk ) k bk cep( bk ) 1 (7.4.) Os limies do inervalo definem um esimador de inervalo de 100(1-)% de confiança para k. [ b ep( b ), b ep( b )] (7.4.3) k c k k c k Se esse esimador de inervalo é uilizado em muias amosra exraídas da população, enão 95% deles conerão o verdadeiro parâmero k.

26 Reornando à equação usada para descrever como a receia da rede de lanchonees depende do preço e dos gasos com propaganda, nós emos T 5 K 3 ˆ b 104, 79 e p b var b 6, ˆ b 6, 64 e p b var b 3,191 ˆ b,984 e p b var b 0, Nós usaremos essas informações para consruir esimaivas de inervalos para 3 a resposa da receia para uma mudança no preço a resposa da receia para uma mudança no gaso da propaganda Os graus de liberdade são dados por (T-K) = (5-3) = 49. O valor críico é c =,01. Uma esimaiva de inervalo de 95% para é dado por ( 13,06, 0, 3) (7.4.4) Essa esimaiva de inervalos sugere que a diminuição de $1 no preço levará a um aumeno da receia enre $30 e $ Esse é um amplo inervalo de confiança e não é muio informaivo.

27 Ouro modo de descrever essa siuação é afirmar que a esimaiva ponual de b = 6,64 não é muio confiável. Um inervalo mais esreio só pode ser obido pela redução da variância do esimador. Um modo é ober maiores quanidades de dados e dados mais precisos. Alernaivamene, nós podemos inroduzir algum ipo de informação não amosral nos coeficienes. Uma esimaiva de inervalos de 95% para 3, a resposa da receia para os gasos com propaganda, é (,65, 3,3) (7.4.5) Esse inervalo é relaivamene esreio e informaivo. Nós esimamos que uma elevação nos gaso com propaganda de $1000 levará a um aumeno na receia oal de $.650 à $3.30.

28 7.5 Tese de Hipóese para um Único Coeficiene Tese da Significância de um Único Coeficiene Para saber se os dados coném alguma evidência de que y esá relacionado com x k, nós esamos a hipóese nula conra a hipóese alernaiva H : 0 0 k H : 0 1 k Para conduzir o ese, nós uilizamos a esaísica do ese (7.3.10), o qual, se a hipóese nula for verdadeira, é ep b k b k ~ ( TK) Para a hipóese alernaiva de desigualdade, nós uilizamos um ese bicaudal e rejeiamos H 0 se o valor calculado for maior ou igual a c, ou menor ou igual a c.

29 No exemplo da rede de lanchonees nós esamos, seguindo nosso formao padrão de ese, se a receia esá relacionado com o preço: 1.. H H : 0 0 : A esaísica do ese, se a hipóese nula for verdadeira, é ep b b ~ ( TK) 4. Com 49 graus de liberdade e um nível de significância de 5%, os valores críicos que levam a er uma probabilidade de 0,05 em cada calda da disribuição são c =,01 e c =,01. Assim, nós rejeiamos a hipóese nula se,01 ou se,01. Na noação em módulo, nós rejeiamos a hipóese nula se, O valor calculado da esaísica é 6,64 3,191,08 Como,08 <,01, nós rejeiamos a hipóese nula e aceiamos a alernaiva. O valor-p é dado por P[ (49) >,08] = 0,01 = 0,04. Uilizando ese procedimeno nós rejeiamos H 0 porque 0,04 < 0,05.

30 Para esar se a receia esá relacionada com os gasos com propaganda, nós emos 1.. H H : : A esaísica do ese, se a hipóese nula for verdadeira, é ep b 3 b 3 ~ ( TK) 4. Nós rejeiamos a hipóese nula se, O valor da esaísica do ese é,984 0, ,88 Como 17,88 > c =,01, os dados admiem a conjunura de que a receia esá relacionada com os gasos em propaganda.

31 7.5. Tese de Hipóese Unicaudal para um Único Coeficiene 7.5.a Tese para a Elasicidade da Demanda Em relação à elasicidade da demanda, nós desejamos saber se: 0: uma queda no preço leva a uma redução na receia oal (a demanda é inelásica em relação ao preço) < 0: uma queda no preço leva a um aumeno na receia oal (a demanda é elásica em relação ao preço) 1.. H H : 0 (demanda é uniária ou inelásica) 0 : 0 (demanda é elásica) 1 3. Para consruir uma esaísica de ese, consideramos como hipóese nula a igualdade = 0. Se a hipóese nula for verdadeira, enão a esaísica é b k ep( b ) k ~ TK

32 4. A região de rejeição consise nos valores da disribuição que são improváveis de ocorrer se a hipóese nula for verdadeira. Definindo improvável em ermos de nível de significância de 5%, respondemos essa quesão enconrando um valor críico c al que P[ (T-K) c ] = 0,05. Enão, nós rejeiamos H 0, se c. Dado uma amosra de T=5 observações, os graus de liberdade são T K = 49 e o valor críico é c = 1, O valor da esaísica do ese é b 6,64,08 ep b 3,191 (R7.10) Como =,08 < c = 1,68, nós rejeiamos H 0 : 0 e concluímos que H 1 : < 0 (a demanda é elásica) é mais compaível com os dados. A evidência amosral dá base para a proposição de que uma redução no preço rará um aumeno na receia oal. O valor-p é dado por P[ (49) <,08] e rejeia-se H 0 se o valor-p é menor do que 0,05. Uilizando um sofware, nós enconramos que P[ (49) <,08] = 0,01. Como 0,01 < 0,05, chega-se na mesma conclusão.

33 A oura hipóese de ineresse é se um aumeno nos gasos com propaganda razem um aumeno na receia oal que é suficiene para cobrir os gasos feios. Isso ocorrerá se 3 > 1. Elaborando o ese, nós emos: 1. H0: 3 1. H1: Nós calculamos um valor para a esaísica como se a hipóese nula fosse 3 = 1. Uilizando (7.3.10) nós emos, se a hipóese nula for verdadeira, b3 1 ~ ep( b ) 3 T K 4. Nesse caso, se o nível de significância for = 0,05, nós rejeiamos H 0 se c = 1,68 5. O valor da esaísica do ese é: b, ,89 ep b 0, Como 11,89 é muio maior do que 1,68, nós rejeiamos H 0 e aceiamos a alernaiva 3 > 1 como a mais compaível com os dados. Também, o valor-p nesse caso é essencialmene igual a zero (menor do que 101). Assim, nós possuímos evidências esaísicas de que uma elevação nos gasos com propaganda serão jusificados pelo aumeno na receia.

34 7.6 Mensuração da Qualidade do Ajusameno O coeficiene de deerminação é R SQR yˆ SQE eˆ 1 1 (7.6.1) SQT y y y SQT y y Para o exemplo da rede de lanchonees, a Tabela de Análise da Variância inclui as seguines informações: Tabela 7.4 Tabela Parcial ANOVA Fone GL Soma de Quadrados Explicada 11776,18 Não Explicada ,168 Toal ,35 Uilizando a soma de quadrados, nós emos R ˆ 1805,168 e 1 1 0,867 y y 13581,35 (R7.1)

35 R A inerpreação de é que 86.7% da variação na receia oal é explicada pela variação no preço e pela variação no nível de gasos com propaganda. Uma dificuldade com o R é que ele pode ser aumenado pela inclusão de novas variáveis, mesmo se as variáveis acrescenadas não apresenarem qualquer jusificaiva econômica. Algebricamene, isso é um fao de que à medida que se acrescena mais variáveis, a SQE diminui (ela pode permanecer inalerada, mas isso é raro aconecer) e assim o R sobe. Se o modelo coném T1 variáveis, o R = 1. Uma medida alernaiva para mensurar a qualidade do ajusameno é chamada de R ajusado, e em, geralmene, como símbolo R ; ele é usualmene apresenado pelos programas de regressão. Ele é calculado como SQE /( T K) R 1 SQT /( T 1)

36 Para o exemplo da rede de lanchonees, o valor da medida descriiva é. R 0,8617 Essa medida nem sempre sobe quando uma variável é acrescenada. Enquano é resolvido um problema, essa medida corrigida da qualidade do ajusameno infelizmene inroduz ouro. Ela perde sua inerpreação; não significa mais a porcenagem R da variação explicada. É imporane uma noa final. O parâmero de inercepo é onde o plano da regressão cruza o eixo y, como mosrado na Figura 7.1. Se, por razões eóricas, você esiver cero que o plano da regressão passa pela origem, enão e podemos omii-lo do modelo. 1 0 Se o modelo não coném um parâmero de inercepo, enão a medida R dada em (7.6.1) não é mais apropriada. A razão para isso é que, sem um ermo de inercepo no modelo, ˆ ˆ y y y y e 1 SQT SQR SQE Nessas condições não faz senido falar da proporção da variação oal que é explicada pela regressão.

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