Universidade Federal da Bahia DEE - Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Pós-graduação

Transcrição

1 Universidade Federal da Bahia DEE - Deparameno de Engenharia Elérica Programa de Pós-graduação TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA UTILIZANDO VARIÁVEL INSTRUMENTAL: UM ESTUDO DE CASO VICTOR HUGO FALCÃO HAENDEL Salvador, BA - Brasil. Maio de 23 i

2 Orienador: Prof. Dr. Adhemar de Barros Fones Salvador, BA - Brasil. Maio de 23 ii

3 H35 Hael, Vicor Hugo Falcão Técnicas de idenificação em malha fechada uilizando variável insrumenal: um esudo de caso / Vicor Hugo Falcão Hael. Salvador, f. : il. color. Orienador: Prof. Dr. Adhemar de Barros Fones Disseração mesrado Universidade Federal da Bahia. Escola Poliécnica, 23.. Algorímos. 2. Méodos de simulação. I. Fones, Adhemar de Barros. II. Universidade Federal da Bahia. III. Tíulo. CDD: 62.3

4

5 Agradecimenos Agradeço a meus pais pelo apoio presado no decorrer dos anos. Agradeço a Deus por me dar saúde para seguir em frene. Agradeço a minha noiva Taiana Correia pelo incenivo incondicional. Agradeço ao meu orienador, Prof. Dr. Adhemar de Barros Fones, e aos colegas Joselio Lima e Manoel Sobrinho pelo apoio presado durane o rabalho, sem a ajuda deles não eria sido possível elaborar essa disseração. iv

6 Sumário v SUMÁRIO Agradecimenos Sumário Símbolos e abreviauras Figuras Tabelas Resumo Absrac iv v ix xii xiv xv xvi CAPÍTULO I INTRODUÇÃO CAPÍTULO II IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS, ABORDAGEM CLÁSSICA 5 2. Inrodução Eapas do Processo de Idenificação Projeo do Experimeno Análise dos Dados Seleção da Esruura do Modelo Esimação dos Parâmeros Validação do Modelo Méodos Não Paraméricos Méodo da Análise da Correlação Méodo da Análise Especral Méodos Paraméricos Esruuras dos Modelos FIR ARX ARMAX ARMA OE BJ Méodo dos Mínimos Quadrados Méodo do Erro de Predição Méodo da Variável Insrumenal Polarização de Esimadores 29

7 Sumário vi 2.5. Conclusão 32 CAPÍTULO III IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA Inrodução Formas de Idenificação em Malha Fechada Abordagem Direa Abordagem Indirea Abordagem Aravés da União Enradas-Saídas Conclusão 4 CAPÍTULO IV COMPARAÇÃO ENTRE ALGORITMOS DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA Inrodução Abordagem Algorimo Variável Insrumenal Refinado Resumo Preliminares Algorimo Passo Passo Passo Passo Passo Abordagem Algorimo Dupla Filragem Resumo Preliminares Algorimo Passo Passo Conclusão 52

8 Sumário vii CAPÍTULO V ESTUDO DE CASO CASO TEÓRICO Algorimo Variável Insrumenal Refinado Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Esimador VI Sem Modelagem do Ruído Esimador VI Com Modelagem ARARX do Ruído Esimador VI Com Modelagem Box Jenkins do Ruído Análise dos Resulados Algorimo Dupla Filragem Esimador MQ Inicialização Esimação So Esimador VI Esimação So Esimador MQ Inicialização Esimação Gcl Esimador VI Esimação Gcl Esimador MQ Inicialização Esimação G Esimador VI Esimação G Esimador MQ Inicialização Esimação H Esimador VI Esimação H Análise dos Resulados Conclusão 72

9 Sumário viii CAPÍTULO VI ESTUDO DE CASO CASO PRÁTICO Definição do Sisema Definição da Plaaforma Experimenal Idenificação do TEM em Malha Abera Definição da Sinonia do Conrolador Idenificação do TEM em Malha Fechada Algorimo Variável Insrumenal Refinado Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Esimador VI Sem Modelagem do Ruído Esimador VI Com Modelagem ARARX do Ruído Esimador VI Com Modelagem BJ do Ruído Análise dos Resulados Algorimo Dupla Filragem Esimador MQ Inicialização Esimação So Esimador VI Esimação So Esimador MQ Inicialização Esimação Gcl Esimador VI Esimação Gcl Esimador MQ Inicialização Esimação G Esimador VI Esimação G Esimador MQ Inicialização Esimação H Esimador VI Esimação H Análise dos Resulados 6.6 Conclusão CAPÍTULO VII CONCLUSOES FINAIS 2 BIBLIOGRAFIA 5 APENDICE

10 Símbolos e Abreviauras ix SÍMBOLOS E ABREVIATURAS A ARARX ARMAX ARX Ampère; Auo-regressivo com enrada exógeno; Auo-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno; Auo-regressivo com sinal exógeno; A - Polinômio A em - ; BJ Box-Jenkins b, Coeficiene índice zero do polinômio B ; d J ek G Gcl H k Reardo do sisema; Derivada parcial de J em relação à Ruído branco e gaussiano, com média zero e variância 2 ; Função de Transferência da Plana; Função de Sensibilidade Gcl; Função de Transferência do Ruído; Insane aual;

11 Símbolos e Abreviauras x MATLAB MISO MQ MQR MQRE ma MV NARMAX Sofware da Microsof Corporaion Mahemaical Laboraory; Múliplas Enradas e Única Saída Muliple Inpu Single Oupu; Mínimos Quadrados; Mínimos Quadrados Recursivo; Mínimos Quadrados Recursivo com mariz esida; Miliamperes Variável Manipulada de Conrole; Não linear, Auo-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno Nonlinear Auoregressive Moving Average Models wih Exogenous Variables; n a Grau do polinômio A - ; ºC Graus Celcius; P k PWM P - k So SP SPA SBPA mariz de covariância do erro de esimação; Modulação por largura de pulso Pulse Widh Modulaion mariz inversa da mariz P k; Função de Sensibilidade So Sepoin Sinal Pseudo Aleaório; Sinal Binário Pseudo Aleaório; - Operador araso uniário;

12 Símbolos e Abreviauras xi seg SISO T Unidade de empo, segundo ; Única Enrada e Única Saída Single Inpu Single Oupu; Temperaura; a Período de amosragem do sisema; TEM Módulo Termoelérico Thermoelecric Module; r Tempo de resposa ou empo de acomodação do sisema; uk vk W V VI yk Sinal de enrada do sisema; Ruído colorido; Wa; Vol; Variável Insrumenal; Sinal de saída do sisema; 2 Variância; z T Variável no domínio da freuência da ransformada Z Diferença de emperaura; Veor dos parâmeros exaos; ˆ Veor dos parâmeros esimados; k- Veor dos regressores; Mariz dos regressores; T Transposa da mariz k Erro de esimação no insane k;

13 Figuras xii FIGURAS Figura 2. O Sisema em Malha Abera 6 Figura 2.2 Procedimeno para Idenificação de Sisemas 8 Figura 3. O Sisema em Malha Fechada 34 Figura 4. O Sisema em Malha Fechada Arigo VI Refinado 43 Figura 4.2 O Sisema em Malha Fechada Arigo Dupla Filragem 49 Figura 5. Diagrama de Blocos Simulação Algorimo VI Refinado 55 Figura 5.2 Resulados Simulação Inicialização MQ 56 Figura 5.3 Resulados Simulação VI sem Modelagem Ruído 57 Figura 5.4 Resulados Simulação VI com Modelagem ARARX Ruído 58 Figura 5.5 Resulados Simulação VI com Modelagem BJ Ruído 59 Figura 5.6 Diagrama de Blocos Simulação Algorimo Dupla Filragem 6 Figura 5.7 Resulados Simulação So Inicialização MQ 63 Figura 5.8 Resulados Simulação So VI 64 Figura 5.9 Resulados Simulação Gcl Inicialização MQ 65 Figura 5. Resulados Simulação Gcl VI 66 Figura 5. Resulados Simulação G Inicialização MQ 67 Figura 5.2 Resulados Simulação G VI 68 Figura 5.3 Resulados Simulação H Inicialização MQ 69 Figura 5.4 Resulados Simulação H VI 7 Figura 6. Sisema Experimenal Módulo TEM 74 Figura 6.2 Plaaforma Experimenal Módulo TEM 75 Figura Teses em Malha Abera TEM 77 Figura 6.4 Evolução Recursiva dos Parâmeros do TEM 78 Figura Tese em Malha Abera Temperaura Zona Quene TEM 8 Figura Diagrama do Lugar das Raízes Sisema em Malha Fechada 83 Figura Teses em Malha Fechada - TEM 85 Figura 6.8. Resulados Simulação TEM Inicialização MQ 87

14 Figuras xiii Figura 6.9. Resulados Simulação TEM VI sem Modelagem Ruído 88 Figura 6.. Resulados Simulação TEM VI com Modelagem ARARX Ruído Figura 6.. Resulados Simulação TEM VI com Modelagem BJ Ruído 9 Figura 6.2. Resulados Simulação So TEM Inicialização MQ 92 Figura 6.3. Resulados Simulação So TEM VI 93 Figura 6.4. Resulados Simulação Gcl TEM Inicialização MQ 94 Figura 6.5. Resulados Simulação Gcl TEM VI 95 Figura 6.6. Resulados Simulação G Inicialização MQ 96 Figura 6.7. Resulados Simulação G TEM VI 97 Figura 6.8. Resulados Simulação H TEM Inicialização MQ 98 Figura 6.9. Resulados Simulação H TEM VI 99 89

15 Tabelas xiv TABELAS Tabela 5. Comparação enre os modelos de ruído 6 Tabela 5.2 Comparação enre variâncias obidas 7 Tabela 5.3 Comparação enre desvios obidos 7 Tabela 6. Comparação enre as variâncias e desvios - TEM 9 Tabela 6.2 Comparação enre as variâncias - TEM Tabela 6.3 Comparação enre os desvios - TEM

16 Resumo xv RESUMO TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA UTILIZANDO VARIÁVEL INSTRUMENTAL: UM ESTUDO DE CASO O presene rabalho raa da comparação enre dois diferenes méodos de idenificação em malha fechada: o méodo da Dupla Filragem e o algorimo de Variável Insrumenal Refinado. Inicialmene é feio um esudo sobre a eoria clássica de idenificação de sisemas e, poseriormene, sobre a eoria de sisemas em malha fechada. Em seguida, abordam-se mais dealhadamene os méodos de idenificação em malha fechada de ineresse. Os dois méodos são implemenados e realizamse eses uilizando-se simulação compuacional no Malab. Em seguida, uilizase uma plaaforma experimenal, exisene no laboraório, para aplicação dos méodos em esudo. Ao final, considerações são feias sobre os resulados obidos e mosram-se os benefícios do algorimo de Variável Insrumenal Refinado para o sisema práico proposo.

17 Absrac xvi ABSTRACT CLOSED LOOP IDENTIFICATION TECHNIC USING INSTRUMENTAL VARIABLE: A CASE STUDY The presen work deals wih a comparison beween wo differen closed loop idenificaion mehods: Double Filering and Refined Insrumenal Variable. Iniially, a sudy abou he classic sysem idenificaion heory is done, and hen abou he closed loop idenificaion heory and he closed loop mehods of ineres. Boh mehods are implemened and ess are done using compuer simulaion wih he Malab sofware. Afer ha, an experimenal plaform in laboraory is used, o apply he sudied mehods. Finally, consideraions are made abou he resuls and he benefis of he Refined Insrumenal Variable o he proposed experimenal sysem are shown.

18 Capíulo I Inrodução CAPÍTULO l INTRODUÇÃO Os sisemas de conrole, em geral, necessiam de modelos maemáicos ue os represenem, de forma a possibiliar um melhor esudo e conhecimeno de suas caracerísicas. A escolha de como se ober esse modelo depe de um conjuno de faores, ais como: conhecimeno prévio das leis físico-uímicas ue o rege; grau de profundidade necessário para o aspeco do sisema ao ual se deseja esudar; denre ouros. Geralmene, um modelo fenomenológico bem implemenado represena de forma mais dealhada um deerminado sisema, porém, reuer maior esforço e conhecimeno do processo. Por ouro lado, a modelagem por idenificação é mais simples e rápida, so em muias siuações, os modelos por ela obidos, fidedignos o suficiene para o esudo ue se deseja realizar Aguirre, 27. A idenificação em malha fechada baseada na resposa ao degrau consiui-se um méodo clássico basane abordado na lieraura Ljung, 999 e Aguirre, 27, ais como o méodo proposo por Yuwana & Seborg 982 e o méodo proposo por Fones e al 22 para sisemas de primeira e segunda ordem. Aplicações desa abordagem podem ser enconradas em Wang e al. 2 e em Coelho & Barros 23, os uais desenvolvem diferenes méodos para idenificação de sisemas com araso de empo Fones e al., 2.

19 Capíulo I Inrodução 2 O inconveniene de realizar a idenificação com o conrolador em manual não ocorre na idenificação em malha fechada, na ual o conrolador é configurado para operar no modo auomáico Fernandes Jr. & Brandão, 28. A idenificação em malha fechada é reuerida ambém uando não é possível, ou não é conveniene, operar o sisema em malha abera, seja por uesões de segurança, insabilidade ou resrições do processo Acioli Jr. & Barros, 28. As vanagens da idenificação em malha fechada comparada com a de malha abera são abordadas em Hjalmarsson 25 e den Hof & Schrama 998, desacando as diferenças de comporameno e segurança. Em deerminadas aplicações, um módulo ermoelérico, ambém conhecido como módulo Pelier, é uilizado como auador no conrole de emperaura em orno de um pono de operação Zheng, e al. 24 e Jackson e al. 25. Exisem na lieraura alguns modelos proposos para o módulo ermoelérico Lima, 2 e Neo, 23, com visas à aplicação em conrole Sobrinho, 26. No presene rabalho, será dada ênfase a modelagem aravés da idenificação em malha fechada. Além de apresenados seus aspecos gerais e um hisórico da abordagem clássica em malha abera, serão abordados emas específicos, como a idenificação em malha fechada, a parir de um modelo paramérico e raameno do ruído de medição. Serão esudados, implemenados e comparados dois méodos de idenificação em malha fechada: o méodo de dupla filragem e o algorimo de variável insrumenal refinado. A eoria abordada será ainda aplicada a uma câmara érmica, consiuída basicamene de um módulo ermoelérico e de um dissipador de calor, e os resulados serão analisados.

20 Capíulo I Inrodução 3 Esa disseração esá esruurada da seguine forma: no capíulo II apresena-se uma descrição sobre a eoria clássica de idenificação de sisemas, incluindo-se as eapas do processo de idenificação e os méodos, paraméricos e não paraméricos, exisenes; no capíulo III descreve-se a écnica de idenificação em malha fechada e suas diferenes abordagens, com ênfase na evolução hisórica da meodologia e suas vanagens em relação ao méodo clássico; no capíulo IV faz-se um esudo comparaivo enre os dois ipos de algorimos para idenificação em malha fechada. O primeiro baseia-se no algorimo da variável insrumenal, e o segundo uiliza uma écnica de dupla filragem. Inclui-se uma breve descrição eórica de cada um deles; no capíulo V será elaborado um esudo de caso eórico, onde foram uilizados modelos em Malab. Por meio de simulação, esimam-se os parâmeros do modelo uilizando-se os algorimos de idenificação em malha fechada apresenados nese rabalho. no capíulo VI será apresenado um esudo de caso práico, onde foi uilizada uma plaaforma experimenal, exisene no laboraório, para aplicação desses algorimos. Em seguida, apresenam-se e analisam-se os resulados; no capíulo VII esão as conclusões dese rabalho, incluindo uma análise críica dos resulados. Também serão sugeridos possíveis rabalhos fuuros acerca do ema.

21 Capíulo I Inrodução 4 Denre as principais conribuições desse rabalho, esão: revisão bibliográfica sobre os méodos de idenificação clássico e em malha fechada, assim como dos principais modelos maemáicos uilizados em idenificação; mosrar as vanagens e dificuldades da idenificação em malha fechada em relação a malha abera, em ermos práicos e eóricos; mosrar as vanagens da uilização da écnica de variável insrumenal na idenificação de sisemas, e uais são as resrições ao seu uso.

22 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 5 CAPÍTULO II IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: ABORDAGEM CLÁSSICA 2. Inrodução Idenificação de sisemas é uma área da modelagem maemáica ue esuda écnicas alernaivas à modelagem caixa branca. Uma das caracerísicas dessas écnicas é ue pouco ou nenhum conhecimeno prévio do sisema é necessário e, conseüenemene, ais méodos são ambém referidos como modelagem caixa prea, ou modelagem empírica Aguirre, 27. Para siuações em ue a modelagem fenomenológica é muio complexa, ou não há empo hábil para aplicá-la, essas écnicas apresenam-se como excelene alernaiva. A idenificação de sisemas se propõe a ober um modelo maemáico ue expliue, pelo menos em pare e de forma aproximada, a relação de causa e efeio presene nos dados Aguirre, 27. Os modelos obidos a parir da idenificação podem ser uilizados para: predição, conrole, esimação, simulação, ec. Modelos maemáicos consiuem um eficiene mecanismo para represenar um sisema real, sob um deerminado pono de visa de ineresse. A aplicação da idenificação pode se eser a áreas da ciência das mais diversas, como a economeria, conforme pode ser viso em Ebbes, 27.

23 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 6 Os modelos e/ou sisemas podem ser divididos em classes, ais como: lineares ou não-lineares, varianes com o empo ou não, discreos ou conínuos, parâmeros concenrados ou disribuídos, ec. Andrade, 2. Apesar de grande pare dos sisemas reais serem não-lineares e varianes com o empo, eles podem ser considerados como sisemas lineares e invarianes no empo, sob ceras resrições. No presene rabalho os sisemas abordados serão desse ipo. O campo de idenificação de sisemas não é novo, embora enha obido grande desenvolvimeno a parir dos anos seena, em ue se desacam as publicações de Box e Jenkins 976, Eykhoff 974, Davies 97, Goodwin e Payne 977 e Sage e Melsa 97. O campo ganhou mauridade com o adveno do chamado méodo do erro de predição PEM e da sisemaização dos méodos, apresenados em Ljung 999 e Sodesron e Soica 989. Na Figura 2., em-se a esruura geral do problema de idenificação, em ue esão represenadas: a enrada deerminísica u ; a enrada esocásica e considerada um ruído branco com média zero; a saída y e as funções de ransferência da perurbação esocásica H e do processo G, com represenando o operador deslocameno avanço Andrade, 2. e H u G + + y Figura 2.. O sisema em malha abera

24 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Eapas do Processo de Idenificação O processo de idenificação envolve as seguines eapas seuenciais ue devem ser execuadas recursivamene, e algumas desas de forma ieraiva, aé a obenção de um resulado esperado segundo um criério a ser alcançado: Projeo do experimeno; Colea dos dados de enrada e saída e análise dos dados; Seleção e definição da esruura e da ordem dos modelos candidaos; Escolha do melhor modelo denre os candidaos, e esimaiva dos parâmeros do modelo escolhido; Validação do modelo. Se o modelo é adeuado, deve-se parar. Caso conrário, deve-se volar às eapas aneriores. O fluxograma a seguir sineiza o problema de idenificação:

25 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 8 Início Projeo do Experimeno e Colea dos Dados Conhecimenos Preliminares sobre o Sisema Análise dos Dados Seleção e Definição da Esruura Escolha e Deerminação dos Parâmeros Não Validação do Modelo Modelo Adeuado? Fim Sim Novo Conjuno de Dados Figura 2.2. Procedimeno para idenificação de sisemas

26 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Projeo do Experimeno Para o projeo do experimeno, os seguines iens são de fundamenal imporância: Escolha dos sinais de enrada / exciação e meios necessários para geração de sinais; Definição do período adeuado de amosragem; Definição do empo de duração do experimeno; Definição do modo de experimenação: malha abera ou malha fechada, ou ainda em baelada ou recursivo; Definições sobre a filragem e raameno dos dados. Os sinais de enrada devem ser persisenemene excianes, ou seja, suficienemene ricos para exciar odos os modos de ineresse do sisema. Bons exemplos de sinais persisenemene excianes são os sinais não periódicos, de freuências múliplas e os esocásicos Andrade, 2. Em relação ao período de amosragem, deve-se considerar ue a amosragem de um processo conínuo acarrea sempre em perda de informações e ue os recursos compuacionais são finios. O período de amosragem, porano, deve ser al ue enconre o pono óimo enre a fidedignidade da amosragem em relação ao sisema real e eliminação de amosras redundanes e desnecessárias.

27 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Em Ljung 999, aconselha-se perurbar o sisema com perurbações do ipo degrau, para se enha uma avaliação da consane de empo do sisema e a parir daí definir o período de amosragem conveniene. Isermann 99 recoma ue a razão de 95% do empo de amorecimeno do sisema e o período de amosragem seja de 5 a 5 vezes. Uma escolha práica razoável é / do valor da consane de empo dominane Andrade, 2. Para a definição do empo de duração do experimeno, os seguines faores devem influenciar a escolha: as condições operacionais, os cusos envolvidos e a finalidade ue se pree do modelo a ser produzido. O procedimeno de idenificação pode ser feio em malha abera ou malha fechada, so ue o criério de escolha depe de reuisios de segurança ou econômicos den Hof & Schrama, 998. Os eses em malha abera são em geral mais simples e rápidos, so os eses em malha fechada mais resriivos. Para os processos ue possuem consanes de empo elevadas, e desde ue seus parâmeros não variem muio rapidamene com o empo, a idenificação pode ser execuada em baelada. No enano, a uilização de algorimos recursivos vem ganhando cada vez mais espaço no meio cienífico, devido a sua maior versailidade Andrade, 2. O projeo do experimeno deve definir ambém como os dados de enrada serão gerados, se haverá filragem ou raameno dos dados, como armazená-los junamene com os dados de saída produzidos e ual o meio de manipulá-los.

28 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Análise dos Dados Segundo Ljung 999, os dados de enrada e saída disponíveis devem ser ploados e observados cuidadosamene, enando-se reconhecer neles visualmene a dinâmica do processo. Deve-se buscar, ainda, reconhecer as não linearidades exisenes no sisema e verificar a exisência de realimenação nos dados, observando se há alguma correlação enre os resíduos e as enradas arasadas. Recoma-se ambém a remoção de ências pela subração de médias e de erros grosseiros de medição, caso se faça necessário Andrade, Seleção da Esruura do Modelo A escolha da esruura de modelo a ser uilizada deve ser baseada no conhecimeno da dinâmica do processo e ual o procedimeno a ser uilizado para a obenção dos parâmeros envolvidos, para o caso dos modelos paraméricos. O número de parâmeros esá direamene relacionado com a ordem do modelo. Um modelo com ordem ala erá um número grande de parâmeros a deerminar, o ue pode acarrear em problemas numéricos na esimaiva dos parâmeros. Assim, a ordem do modelo gerado deve ser ão simples uano possível, de forma a represenar bem o sisema real. Exisem criérios para a esimaiva da ordem do modelo, como por exemplo, o criério de Akaike, ue se baseia no número de parâmeros envolvidos, no número de dados disponíveis e na função uadráica do erro Andrade, 2.

29 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Esimação dos Parâmeros Após a escolha da esruura e ordem do modelo, necessia-se esimar os parâmeros do modelo. Os méodos usuais são o dos mínimos uadrados, o da variável insrumenal e o do erro de predição; ou variações desses. Esses méodos são exensões do méodo dos mínimos uadrados, ue se baseia numa regressão ue minimiza um criério de erro uadráico. Quando os parâmeros do predior são lineares, o méodo do erro de predição orna-se euivalene ao dos mínimos uadrados, desde ue não se enha um processo de regressão não linear. Já no méodo das variáveis insrumenais, os dados de enrada são filrados e passam a se chamar insrumenos, garanindo ue os sinais de enrada não sejam correlacionados com o ruído Andrade, Validação do Modelo Na eapa de validação do modelo, verifica-se se o modelo gerado reproduz o comporameno do sisema real, denro da caracerísica ue se desejou modelar. Devem-se levar em consideração as limiações do méodo de esimaiva dos parâmeros. Caso o modelo produzido não seja válido, o procedimeno de idenificação deve ser reiniciado, a parir da eapa de projeo do experimeno, seleção da esruura do modelo ou esimação dos parâmeros. Enre os criérios para a validação do modelo, esá a análise dos resíduos. Caso o resíduo enha caracerísica de um ruído branco, em-se a garania de ue ano o ruído como o sisema foi modelado correamene. Enreano, o fao dele não se comporar como um ruído branco não significa necessariamene ue o modelo produzido seja incorreo. Nesse caso, deve-se calcular a correlação enre as enradas e os ruídos.

30 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 3 Se a correlação exisir, significa ue os resíduos ainda conem informações sobre o sisema ue devem ser incorporadas ao modelo. Já se as enradas e os ruídos são indepenes, odas as informações dos resíduos foram exploradas na consrução do modelo e a esimação foi bem feia. Oura maneira de validação é a comparação direa enre as saídas do modelo e as saídas do sisema real. Caso os parâmeros do modelo enham significado físico, pode-se ambém observar se os valores esimados aproximam-se dos valores eóricos esperados. Imporane frisar ue a validação deve ser feia a parir de um conjuno de dados disino do uilizado para esimação dos parâmeros do modelo, de forma a garanir a indepência da análise Andrade, Méodos Não Paraméricos Os méodos não paraméricos são aueles ue não resulam em um modelo maemáico al como uma função de ransferência, mas sim em uma represenação gráfica ue caraceriza a dinâmica do sisema em esudo Aguirre, 27. Exemplos de modelos não paraméricos são: a resposa de um sisema ao degrau uniário; ao impulso ou a uma senóide. A seguir, serão analisados dois dos méodos não paraméricos mais uilizados: análise da correlação e análise especral.

31 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Méodo da Análise da Correlação Esse méodo faz uma abordagem no domínio do empo. A forma do modelo usado para a análise da correlação é: k y p k u k v 2. Em ue: y é a saída; p k é a função peso do processo; k P p k é a resposa ao impulso; k u é a enrada e v é a perurbação não mensurável, não correlacionada com a enrada. Muliplicando-se a euação anerior por u e omando-se as correlações e correlações cruzadas, observando-se ue, uando a esperança maemáica de um sinal é igual a zero, a covariância é igual à correlação, e são definidas por: R yu N lim y u 2.2 N N N Ru lim u u 2.3 N N Assim: R yu k p k R k 2.4 u R u Pode-se, enão, ober p k, a parir das enradas esimadas de R yu e, para N dados coleados, relacionados pela euação: R yu p k 2.5 Ru

32 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Méodo da Análise Especral Esse méodo faz uma abordagem no domínio da freuência, parindo-se ambém da euação 2.: jw yu w P e w 2.6 u Em ue: jw yu w Ryu e, 2 jw u w Ru e e 2 jw jkw P k e P e 2 k. Assim, a parir das esimaivas de jw coleados, Pe pode ser obido por: yu w e u w para N dados jw yu P e w w u 2.7

33 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Méodos Paraméricos Aui será considerada a paramerização de modelos lineares represenados por: y G u H e G u v 2.8 como: Dados do processo levam ao ajuse de um modelo linear paramérico, y G u H e 2.9 Em ue: G é a função de ransferência do modelo com o operador. H é o modelo do ruído colorido e e é o ruído branco. Primeiramene, serão apresenadas as esruuras dos modelos usuais para a uilização dos méodos paraméricos. A seguir, serão apresenados os méodos para a obenção dos parâmeros das esruuras dos modelos ciadas. Esses méodos são oriundos do méodo dos mínimos uadrados, so ue o erro de predição em o erro ue pode ser minimizado por oura função. No caso da variável insrumenal, modifica-se a esruura da euação associada ao méodo dos mínimos uadrados.

34 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Esruuras dos Modelos A esruura geral dos modelos para os méodos paraméricos são: A B C 2. F D y u e Com: A a... a na na 2. b nb b b nb B 2.2 C D F 2... c... c nc nc 2.3 d... d nd nd 2.4 f... nf f nf 2.5 A seguir são apresenadas as esruuras gerais de modelos para a obenção de ue: G e H. Comparando as euações 2.9 e 2. verifica-se G B A F nk 2.6 C H 2.7 A D Muias são as diferenes esruuras de modelos possíveis, so ue a escolha de ual uilizar, deve ser baseada na ue mais condiz com a realidade do sisema a ual se uer modelar. As esruuras mais usuais são ciadas a seguir, so essas represenações discreas no domínio do empo Aguirre, 27.

35 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica FIR finie impulse response : O modelo FIR pode ser obido a parir de 2., omando-se C D F A e B. Uma caracerísica de modelos FIR é ue são de naureza não recursiva, em ue as resposas para as respecivas funções de ransferência são polinomiais. O modelo FIR pode ser reescrio como a seguir: y B u e 2.8 C Como para essa esruura de modelo, enão o ruído D acrescenado na saída y, e, é branco. Para esruuras de modelo em ue o ruído é acrescenado direamene à saída, raa-se de um modelo do ipo erro na saída. Por ouro lado, ano a função de ransferência do processo B uano a do ruído êm o polinômio A por faor comum. Nesse senido, o modelo FIR ambém é do ipo erro na euação Aguirre, ARX auo-regressive wih exogenous inpu : O modelo ARX perence a uma família de modelos chamada IIR infinie impulse response, ue possuem naureza recursiva e funções de ransferência racionais. Para obenção do modelo ARX, deve-se omar C D F, A e B. A presença de A implica em recursividade. A esruura de modelo pode ser escria como: A y B u e 2.9

36 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 9 Uma vez ue o ruído e k aparece direamene na euação, o modelo ARX é normalmene classificado como perenco à classe de modelos de erro na euação. Pode-se ainda escrever a euação 2.9 da seguine forma: B y u e 2.2 A A O ue coloca em evidência as funções de ransferência do sisema B A G e de ruído H. Ao conrário do modelo FIR, o ruído ue A aparece adicionado à saída v e não é branco, ou seja, nessa A represenação o ruído é modelado como um processo branco filrado por um filro auo-regressivo, com pólos idênicos aos do processo, ue são as raízes do polinômio A Aguirre, 27.

37 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica ARMAX auo-regressive moving average wih exogenous inpu : O modelo auo-regressivo com média móvel e enradas exógenas pode ser obido a parir do modelo geral 2., omando-se D F : A y B u C e 2.2 À semelhança do modelo ARX, o modelo ARMAX perence à classe de modelos de erro na euação. No presene caso o erro na euação é modelado como um processo de média móvel MA, e o ruído adicionado à saída, e, é modelado como ruído branco filrado pelo filro ARMA, C. Por ouro lado, se A em um modelo ARMAX A C F, al modelo pode ser represenado como um modelo erro na saída Aguirre, ARMA auo-regressive moving average : O modelo ARMA é um caso paricular do modelo ARMAX, uando não há sinais exógenos, ou seja, uando u. Nesse caso, a euação 2.2 pode ser reescria como: A y C e 2.22

38 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 2 Nesse caso, pode-se inerprear o processo aleaório e como a enrada do sisema e y como uma versão filrada da enrada e usando-se o filro C. Modelos ARMA são comumene usados como modelos de séries A emporais, ou seja, siuações em ue somene se em um sinal, y. Assim, esima-se C H usando-se y e mais uma realização de e omada A de uma disribuição de probabilidade, ou uilizam-se os próprios resíduos do modelo esimado no lugar de e Aguirre, OE Erro na Saída : Modelos do ipo erro na saída são modelos ue podem ser escrios na forma da euação 2., mas com o polinômio A. Um exemplo simples pode ser obido a parir do modelo geral 2., omando-se A C D, B e F polinômios arbirários, o ue resula em: B y u e 2.23 F So o fao de o ruído branco e ser direamene adicionado à saída jusifica o nome dessa classe de modelos. O modelo FIR é um caso paricular desse modelo para o caso em ue F Aguirre, 27.

39 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica BJ Box-Jenkins : O modelo de Box-Jenkins pode ser obido a parir do modelo geral 2., omando-se A e os demais polinômios arbirários, resulando em: B C y u e 2.24 F D Como no caso dos modelos de erro na saída, nos modelos Box-Jenkins B C as funções de ransferência do sisema e do ruído não em F D parâmeros comuns, ou seja, são indepenemene paramerizadas. As funções de ransferência do processo e do ruído nunca possuem um faor comum no denominador, ou seja, F e D são polinômios co-primos. O modelo Box-Jenkins ambém é do ipo erro na saída Aguirre, 27.

40 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Méodo dos Mínimos Quadrados O méodo dos mínimos uadrados é um dos mais conhecidos e mais uilizados nas mais diversas áreas de ciência e ecnologia. A origem da ideia básica pode ser enconrada nos rabalhos de Gauss sobre esudos asronômicos Aguirre, 27. Consideremos y uma função depene dos parâmeros e, ou seja, y f,. A função define um conjuno de euações, e é possível deerminar f e a parir de y,..., y N e,..., N, podo-se ainda escrever a função como y T. Essa consideração implica em linearidade nos parâmeros. Podemos considerar y como a variável depene, como o conjuno de regressores, ou variáveis indepenes, e como o veor de parâmeros a deerminar. Desde ue T seja não singular, é possível deerminar o veor de parâmeros aravés de T y, so essa a única solução ue saisfaz simulaneamene as N resrições do sisema de euações. No processo de esimação dos parâmeros, é naural ue um erro seja comeido na enaiva de explicação do valor observado y aravés do veor de regressores e de. Porano podemos escrever: T y 2.25

41 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 24 Dada uma solução para, é desejável ue essa solução minimize o erro ao máximo. Para isso, a solução ciada para deve ser al ue minimize o criério da soma do uadrado do erro: V N N N So a solução óima dada por: N N T y 2.27 N N Uma forma euivalene da euação 2.27 é: T T Y 2.28 So considerado o caso mulivariável, com Y uma mariz de dimensão px, uma mariz nxp e uma mariz nx. O esimador de MQ possui a propriedade da orogonalidade: x T y y T x, ou seja, x não em projeção sobre y e vice-versa Aguirre, 27. Ouras propriedades do esimador de MQ relacionadas à polarização serão analisadas na seção 2.4.

42 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Méodo do Erro de Predição O méodo do erro de predição PEM é uma família de méodos ue uiliza o princípio da minimização do erro de predição, y y, so y o valor real medido da saída e y o valor eórico livre de ruído, para calcular o veor de parâmeros Ljung, 999. Normalmene, é uilizada uma norma escalar ou criério para calcular o erro de predição mínimo ue deermina a solução, so essa norma uadráica ou não. Denre os criérios possíveis, um muio uilizado é Ljung, 999: N argmin V 2.29 So V N N l p, a norma escalar uilizada, onde N l p, é uma função escalar ipicamene posiiva, e, nada mais é do ue o erro de esimação filrado por um filro linear. A variedade de méodos conidos no PEM é oriunda da variedade de funções escalares l ou de filros lineares p ue pode ser uilizados para a obenção de Ljung, 999. p

43 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Méodo da Variável Insrumenal Volando a euação 2.25 do méodo dos mínimos uadrados, para a obenção da diferença enre o valor de esimado e calculado, definido como: v y T 2.3 Em ue v é uma perurbação esocásica, subsiuindo-se na euação 2.27: N T N T v N N 2.3 Ou ainda: N N T v N N 2.32 Quando N, em-se: v E E T 2.33

44 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 27 Assumindo-se Z uma mariz de dimensão n z por n y, de sinais de enrada não correlacionada com a perurbação v, esima-se por: N N N N T Z Z y 2.34 Se n z n, enão a euação 2.34 fornece o chamado méodo da variável insrumenal: N T N Z Z y 2.35 N N Caso Z, reorna-se ao méodo dos mínimos uadrados. Os elemenos de Z são chamados de insrumenos, ue basicamene são obidos aravés de filragem de dados Aguirre, 27. Generalizando-se a euação 2.35, pode-se ober o méodo da Variável Insrumenal esido. Esse méodo pode decompor em duas verenes: pode permiir a consrução de um veor aumenado Z ou seja, com dim Z > dim, ou ainda a pré-filragem dos dados. A esimação VI Esida é dada por: argmin N Z N 2 T F. Z F. y Q 2.36

45 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica Onde Z é o veor VI com dimensão n z n z > n e F 28 é um pré-filro assimpóico esável. Quando F e n z = n, o esimador VI básico é obido Södersröm e Soica, 22. Ás vezes, é ineressane a implemenação de algorimos de idenificação em uma forma recursiva. Isso significa ue a esimação dos parâmeros é aualizada assim ue novos dados são disponibilizados. A maioria dos algorimos off-line, ou baelada, podem ser converidos para uma forma recursiva. Como exemplo, em-se a seguir uma represenação recursiva da euação 2.35, a parir de: P Z s T s, 2.37 s em-se ainda: P T P Z A esimaiva de pode ser escria como: P Z s y s P P Z y, 2.39 s ou ainda: P T P Z Z y K. 2.4 T Onde K P Z e y. O veor pode ser viso como o erro de predição, ue descreve a T diferença enre y medido e a predição y baseado nos dados disponíveis no insane, usando o veor de parâmeros.

46 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 29 A predição é óima, do pono de visa esaísico, apenas se o erro da euação for igual a ruído branco. Para complear o algorimo, deve-se subsiuir na euação 2.38 P por uma euação recursiva para P, de forma a eviar a inversão maricial a cada passo. Usando o lema da mariz inversa, pode-se mosrar ue a euação 2.38 é igual a: T P Z P P P T P Z 2.4 As euações 2.4 e 2.4 consiuem o algorimo VI recursivo Södersröm e Soica, 22. Noe ue um algorimo MQ recursivo ambém pode ser obido subsiuindo nas euações Z por. 2.4 Polarização de Esimadores Ao considerar a hipóese de ue há ruído nos dados, e dificilmene haverá uma hipóese mais realisa do ue essa, é evidene ue os parâmeros esimados serão afeados de uma forma ou de oura. Pelo fao de cada ese er realizações diferenes do ruído, é de se esperar ue haja alguma variação enre os parâmeros esimados a parir dos dados de cada ese. Enreano, se o processo for invariane no empo e o ruído for esacionário, é naural ue as diferenças dos diversos conjunos de parâmeros esimados sejam peuenas Aguirre, 27. Nesse conexo, a polarização de um deerminado esimador pode ser definida como o desvio enre o valor esperado de uma deerminada variável aleaória a variável esimada e uma variável deerminísica o valor real.

47 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 3 Seja um veor de parâmeros e seu valor esimado. A polarização é definida como: b E 2.42 Onde E é a esperança maemáica, ou o valor médio. So uma variável aleaória, e um valor deerminísico, a euação 2.42 pode ser reescria por: b E 2.43 Considere inicialmene o esimador de mínimos uadrados, descrio na seção Esse é um esimador linear, do ipo Ay, so ue foi definido na euação A sua polarização pode ser descria como: b MQ T T E v 2.44 Para ue a polarização seja nula, é necessário ue não haja correlação enre o veor de erro v e nenhum dos regressores, ou seja: T v E 2.45 A condição represenada por 2.45 somene será verdadeira se e somene se v for um ruído branco Aguirre, 27.

48 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica 3 Porano, as seguines propriedades podem ser adicionadas ao esimador MQ: Robusez em presença de ruído branco, ou ruído adiivo / de medição; Polarização em presença de ruído colorido, ou ruído dinâmico / muliplicaivo. Para resumir: o méodo de mínimos uadrados é um méodo de simples aplicação para idenificação de sisemas, com propriedades ineressanes, como fácil compuação das esimaivas e propriedades numéricas conhecidas. As resrições a sua aplicação é ue represenam a maior dificuldade de implemenação do méodo, e pode ser visa como principal razão para se considerar méodos mais avançados, como o da variável insrumenal Södersröm e Soica, 22. Considere o esimador de variáveis insrumenais, descrio na seção e definido na euação A sua polarização pode ser descria como: b VI T T Z EZ v 2.46 Para garanir a não polarização do sisema, é necessário ue: Z v E T 2.47 O esimador de variáveis insrumenais evia a polarização garanindo ue o veor de erro, ue pode ser colorido, seja não correlacionado com os insrumenos. Essa condição é menos resriiva do ue a de garanir ue o

49 Capíulo II Idenificação de Sisemas, Abordagem Clássica veor de erro não seja correlacionado com os regressores, como no caso do esimador MQ Aguirre, O preço a ser pago envolve: A escolha correa dos insrumenos; O esimador resulane é assinoicamene não polarizado, ao invés de ser não polarizado propriamene dio. 2.5 Conclusão Nese capíulo, apresenou-se um resumo da eoria clássica de idenificação de sisemas. Foram descrios os eságios do processo de modelagem, iniciando-se com uma descrição geral dos mesmos e, poseriormene, fazo-se um dealhameno de cada um deses eságios. Foram apresenadas algumas esruuras de modelos, com ênfase nas esruuras ARMAX, OE e BJ, os uais serão uilizados na caracerização da câmara érmica. Em seguida, abordou-se a esimação dos parâmeros, descrevo-se o esimador dos mínimos uadrados e esimador de variável insrumenal, o ual será uilizado nese rabalho na sua forma recursiva. Por úlimo, foi feia uma análise da polarização nos esimadores, caracerísica essa ue deve ser levada em cona no projeo de um esimador. Concluiu-se ue a uilização do esimador da Variável Insrumenal pode prevenir a polarização, desde ue sejam escolhidos correamene os insrumenos.

50 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 33 CAPÍTULO III IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA 3. Inrodução Vanagens e Dificuldades A idenificação de sisemas em malha fechada é de grande ineresse para aplicações indusriais, já há algum empo. Esse problema oferece muias possibilidades, assim como algumas falácias, e uma grande variedade de abordagens já foram proposas, muias recenemene Forssell, 999. Na práica, há várias siuações em ue a idenificação em malha abera é difícil ou simplesmene não realizável. Isso inclui, por exemplo, o caso de planas ue possuem um comporameno inegrador, ou insabilidade em malha abera. Ambos os casos reuerem a idenificação em malha fechada. Esse modo de idenificação ambém é reuerido uando um conrolador já é exisene na plana, ou uando uma validação na sinonia aual do conrolador ou reprojeo desse é necessária Landau & Karimi, 997. Méodos de idenificação em malha fechada são muio araivos para as aplicações indusriais, pois não causam paradas na operação do sisema, o ue não ocorre na idenificação em malha abera. Ouras vanagens a serem lisadas são os uesios de segurança na operação e não violações de resrições de produção Coelho & Barros, 23.

51 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 34 Na Figura 3., esá represenada a configuração do processo com realimenação, em ue: G represena o modelo do processo; H o modelo do ruído; C o modelo do conrolador; r a referência; r a carga ou perurbação; u a enrada do processo; e o ruído branco; v o ruído de medição e y a saída Andrade, 2. 2 Figura 3.. O sisema em malha fechada Para o sisema represenado, pode-se escrever uma combinação dos sinais exernos, conforme a euação 3.: r r C r 3. 2 A função de ransferência para o sisema em malha fechada pode ser escria como a euação 3.2: G T G, C I C G C I I 3.2

52 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 35 Assim: 2 r r S Q R T u y, 3.3 com: G C I S C G C I Q G C I G R C G C I G T 3.4 No enano, a grande dificuldade na implemenação da idenificação em malha fechada é a correlação enre o ruído não mensurável e a enrada. Esse é o moivo pelo ual diversos méodos ue funcionam bem em malha abera falham uando aplicados em malha fechada Forssell, 999. Esse problema será raado a parir de rês grupos de abordagem, conforme Forssell, 999: Abordagem direa: ignora-se a realimenação e idenifica-se o sisema como se esivesse em malha abera, a parir da enrada e da saída medidas. Abordagem indirea: idenifica-se uma função de ransferência em malha fechada, e deerminam-se os parâmeros em malha abera usando-se o conhecimeno de conroladores lineares. Abordagem união enradas-saídas: deve-se considerar a enrada e saída em conjuno como saída de um sisema ue possua alguma oura enrada, ou sepoin e ruído. Deve-se usar algum méodo para deerminar os parâmeros em malha abera como uma esimaiva do sisema aumenado.

53 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada Formas de Idenificação em Malha Fechada 3.2. Abordagem Direa Essa forma de idenificação em malha fechada foi proposa por Ljung, 999. Uiliza-se o méodo do erro de predição, para u e y mensuráveis, da mesma forma ue para malha abera, não necessiando do conhecimeno do modelo do conrolador, nem obrigaoriamene das enradas exernas. Isso implica ue esse méodo pode ser aplicado a sisemas com mecanismos de realimenação arbirários ou desconhecidos Forrsell, 999. Para a abordagem direa, rabalha-se com o modelo do processo e do erro euacionados na forma: y G u H e 3.5 O erro de predição para esse modelo é dado por: H y G u 3.6 Que pode ser esimado por: N argmin V, 3.7 em ue: V N N n 2 3.8

54 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 37 A esimaiva dos modelos do processo e do ruído será denoada por G e H, respecivamene, com: G G, 3.9 e H H, 3. Porano, a idenificação em malha fechada segundo a abordagem direa apresena as mesmas caracerísicas da idenificação em malha abera Andrade, Abordagem Indirea A abordagem indirea para a idenificação em malha fechada foi proposa e esudada por Linderberger 972 e 973. Caso o conrolador e alguma enrada exerna ou sepoin seja conhecido, exisem vanagens na uilização da abordagem indirea Forssell, 999. Idenifica-se primeiramene o sisema em malha fechada a parir de r e y, ou c e y mensuráveis, e enão com o conhecimeno do modelo do conrolador C, obém-se o modelo da plana G. Deve-se ressalar ue esse problema de idenificação é basicamene um problema em malha abera, desde ue os sinais exernos r e r não esejam correlacionados com o ruído v Andrade, 2. 2

55 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 38 A função de ransferência enre r e y é esimada inicialmene, e com o conhecimeno do conrolador C a função de ransferência do processo G é enão obida. A função de ransferência ue relaciona r e y é dada por: G R 3. C G A função de ransferência enre e e y é dada por: H S 3.2 C G por: Combinando as euações 3. e 3.2, obém-se a saída do processo y R r S e 3.3 O erro de predição pode ser esimado por: S y R u, 3.4 so os parâmeros esimados por: N argmin 3.5 N

56 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 39 Assim, a esimaiva dos modelos do processo e do ruído, em malha fechada, será denoada por R e S, respecivamene, da seguine forma: R G, 3.6 e S H, 3.7 Por fim, a esimaiva da função de ransferência em malha abera será a solução da euação: R G 3.8 C R Se o conrolador C é esável, implica ue G será esabilizável por C. A ordem do modelo em malha abera deverá ser igual à ordem do modelo em malha fechada mais a ordem do conrolador Andrade, 2. Assim, devido a essa prefixação de ordem pode haver imprecisão na solução, ou evenualmene a uma redução na ordem do modelo gerado.

57 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada Abordagem Aravés da União Enradas Saídas Essa forma de idenificação em malha fechada foi proposa por Phadke e Wu 974 e por Caines e Chan 975. Aui a enrada u e a saída y são consideradas as saídas de um sisema com as enradas 2 r e v. Não é necessário conhecimeno do modelo do conrolador Forssell, 999. As condições de idenificabilidade são as mesmas do caso indireo, conforme mosrado a seguir. Nese caso, assume-se ue a enrada u é gerada perurbando-se 2 r : 2 y C r u 3.9 Ocasionalmene, pode-se considerar ue o conrolador apresene um ruído desconhecido, d : 2 d y C r u 3.2 Assim, adicionando-se os erros na euação 3.9, obém-se: 2 d e S H S C S R H S r r S Q R T u y, 3.2

58 Capíulo III Idenificação de Sisemas em Malha Fechada 4 em ue e é o ruído branco. Para a idenificação do sisema aumenado conforme 3.2, deve-se usar um modelo da forma Forssell, 999: y e G,. r2 H, u d Para a paramerização das funções de ransferência G, e H, podem ser uilizados diversos méodos, com diferenes objeivos. Ao se considerar r, pode-se modelar y e u em conjuno, como em uma 2 série de empo e recuperar a função de ransferência em malha abera H. Pode-se ainda paramerizar G, e esimar os parâmeros de usando um modelo de ruído fixo H *. Oura possibilidade é incluir um pré-filro F r e uilizar o sinal filrado x Fr.r2 ao invés de r 2 na euação 3.22, para filrar a polarização de ruídos nos modelos resulanes Forssell, Conclusão Nese capíulo, apresenou-se um resumo da eoria de idenificação de sisemas em malha fechada. Foram descrios os moivadores do surgimeno da área de esudo, a parir das dificuldades e limiações enconradas na idenificação de sisemas em malha abera. Além das vanagens da uilização da idenificação em malha fechada, foi mosrada a grande dificuldade na sua implemenação: a correlação enre o ruído não mensurável e a enrada. Foram descrios os rês grupos de abordagem academicamene mais aceios: a direa, a indirea e a união enradas-saídas, incluindo suas principais caracerísicas.

59 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 42 CAPÍTULO IV COMPARAÇÃO ENTRE ALGORITMOS DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA 4. Inrodução Com o objeivo de idenificar adeuadamene modelos de processo em malha fechada, em ue há presença de ruído colorido, faz-se a comparação enre duas diferenes abordagens em malha fechada. As meodologias comparadas são a proposa desenvolvida por Marion Gilson e al, 29 e a proposa apresenada por Cláudio Garcia e al, 29. A seguir, faz-se uma breve descrição sobre as ciadas abordagens. 4.2 Abordagem Algorimo Variável Insrumenal Refinado 4.2. Resumo Nessa abordagem, é descria uma nova écnica de variável insrumenal para idenificação de sisemas discreos em malha fechada. São analisados diversos modelos de ruído, a serem uilizados no projeo de pré-filros e insrumenos e a écnica uilizada depe do conhecimeno ou não do modelo do conrolador.

60 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 43 A nova écnica de variável insrumenal refinado visa à idenificação de prediores lineares ARX, em presença de um ruído com modelo ipo ARMA, em malha fechada. O resulado obido com essa écnica deve ser óimo, com variância mínima Preliminares A Figura 4. ilusra a esruura do sisema em malha fechada adoada no rabalho proposo por Marion Gilson e al, considerando o caso SISO. e H r2 + - Cc + r + u G v + + y Figura 4.. O sisema em malha fechada - arigo Algorimo VI Refinado Os sinais r e r correspondem à exciação aplicada à saída do 2 conrolador MV e ao valor de referência SP, respecivamene, so ambos conhecidos. Considera-se o sisema esável em malha fechada. Os sinais de enrada u e de saída do processo y são medidos. O processo é indicado por B G denominador. F, com o grau do numerador menor ue o grau do

61 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 44 O conrolador é denoado por c C, so o operador araso al ue u u. Para faciliar a noação inroduzimos um sinal exerno 2 r C r r c. O ruído colorido e H afea o sisema em malha fechada, em ue e é o ruído branco, com variância d, descorrelacionado com a exciação Marion Gilson e al, 29. Para o sisema em malha fechada, em-se: : y C r u e H u G y S c 4. A esruura de modelo geral escolhida para modelar o sisema é:,,, : H u G y M, 4.2 em ue o veor de parâmeros é dado por T T T. O modelo do processo paramerizado oma assim a forma: n n n n a a b b A B G G......,,, :, 4.3 em ue n denoa a ordem do modelo do processo e o par, B A é assumido como coprimo. O modelo do ruído paramerizado oma assim a forma: m m m m d d c c D C H H......,,, : 4.4

62 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 45 O veor de parâmeros do modelo do processo é dado por: T 2n a... a b... n b n 2m do ruído é dado por d... d c m... c m., e o veor de parâmeros do modelo T O conrolador é enão: C Q c P p p... nc... p nc nc nc, 4.5 com o par P, Q assumido como coprimo. No arigo de Marion Gilson e al, foram descrios dois ipos de algorimos, um uilizando a abordagem direa de idenificação em malha fechada, onde não se em o conhecimeno do conrolador, e ouro uilizando a abordagem indirea, onde o modelo e os parâmeros do conrolador são conhecidos. Será apresenado apenas o algorimo ue se uiliza da abordagem indirea de idenificação em malha fechada, onde o conrolador é conhecido, pois esse é o caso ue será uilizado no presene rabalho, nos capíulos 5 e Algorimo Os seguines passos são necessários para a idenificação uilizando-se do algorimo de variável insrumenal ieraivo, considerando-se o caso em ue o conrolador C c é conhecido.

63 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada Passo Traa-se da inicialização, ou esimação inicial dos parâmeros do modelo. Aplica o méodo básico de variável insrumenal: N T N y, 4.6 so dado por: T y... y n u... u n 4.7 A Variável Insrumenal escolhida, por exemplo, pode ser a ue uiliza a versão arasada do sinal de exciação r. Esse méodo gera B, e F,, do ual pode-se exrair a função de ransferência B, G,. Deve-se definir inicialmene o modelo do F, ruído como C, D, e i primeira ieração.

64 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada Passo 2 Geram-se as Variáveis Insrumenais filradas, i L,, i y,, i u e, i f, de acordo com a esruura do modelo escolhida, em ue:,,, r G C G y i c i i, 4.8,, r G C u i c i, 4.9,...,,...,,, i i i i i i f n u u n y y L 4. E, i f pode ser enido como uma esimaiva filrada do veor de regressores livre de ruído, baseado nas esimaivas de y e de u, ue são respecivamene a saída e a enrada do sisema sem ruído. Deermina-se enão a esimação da Variável Insrumenal usando-se essas variáveis esimadas e o pré-filro projeado: N i f i f N i T f i f i y,,,, 4. e,,,, y L y L i i f i i f 4.2

65 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 48 i i Dessa forma, são calculados B, e F,. A função de ransferência correspondene é enão: i i B, G,. i F, Passo 3 Obém-se a esimaiva óima do veor de parâmeros do modelo do ruído i, baseado na seuência de ruído esimada. Uiliza-se um dos esuemas de idenificação de modelo do ruído descrios para esimar i e a função de i ransferência associada H, Passo 4 Para as esruuras de modelo Box Jenkins e Erro na Saída, deve-se repeir o passo 2. Para-se uando F,, B,, H, e L, convergirem. O arigo não cia a condição de convergência uilizada. Uma possível opção seria uma norma do erro de esimação Passo 5 Calcula-se a mariz de covariância do erro de esimação P associado aos parâmeros esimados, a parir de: P 2 T f, f,, 4.3 em ue 2 é a variância da amosra dos resíduos de esimação.

66 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada Abordagem Algorimo Dupla Filragem 4.3. Resumo Nessa abordagem, é proposo um algorimo de dois passos para idenificação conjuna enrada-saída de sisemas em malha fechada. As propriedades dese novo méodo são discuidas e sua convergência é analisada. Comparações de desempenho são realizadas com dois ouros méodos de dois-passos. É proposa uma variane para um deses úlimos, provo duas maneiras diferenes de gerar modelos. A influência da aplicação do sinal de enrada GBN no valor de referência ou na saída do conrolador ambém é avaliada, bem como, o efeio da ampliude do sinal de ese na ualidade do modelo. Os méodos de doispassos são comparados com écnicas de idenificação direa. A validação dos modelos é feia analisando-se a validação cruzada dos modelos obidos, ano em malha abera como fechada Preliminares A Figura 4.2 ilusra a esruura do sisema em malha fechada adoada na abordagem, considerando o caso SISO: e H Modelo de Perurbação r2 + - Conrolador C + r + u Processo G v + + y Figura 4.2. O sisema em malha fechada - arigo Méodo Dupla Filragem

67 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 5 Os sinais r e 2 r correspondem à exciação aplicada à saída do conrolador MV e ao valor de referência SP, respecivamene, so ambos conhecidos. Assume-se ue o sinal e seja ruído branco com variância, descorrelacionado com a exciação. Os sinais de enrada u e de saída do processo y são medidos. Da Figura 4.2, deduz-se ue: 2 r y r C u e H u G y 4.4 Considerando-se a seguine função de sensibilidade: C G S, 4.5 e inserindo-a em 4.4 resula em: 2 2 e H C S r C S r S u e H S r S G C r S G y 4.6 É conveniene raar os sinais de exciação em uma forma padrão, segundo a expressão: 2 r C r r 4.7

68 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 5 A descrição adoada é gerada ao se subsiuir 4.7 em 4.6: e H C S r S u e S H r S G y 4.8 Assume-se ue o sisema em malha fechada seja inernamene esável, iso é, as uaro funções de ransferência presenes em 4.8 são esáveis analíicas em z. Além disso, assume-se ue o produo C G seja esriamene próprio Algorimo O algorimo consise nos seguines passos: Passo Idenificação das funções de sensibilidade, uilizando as seguines esruuras de modelo:,,,, L r G y W r S u y cl u 4.9 Recoma-se o uso de esruuras FIR ou OE de ala ordem,, L W para o passo de idenificação descrio em 4.9. Enão, os sinais praicamene livres de ruído são gerados a parir de: r S u e r G y cl 4.2

69 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 52 Viso ue os modelos de sensibilidade obidos são de ala ordem, os sinais filrados de enrada e saída são similares àueles ue ocorreriam no sisema em malha fechada caso não houvesse perurbações ou ruído, pois eles são capazes de filrar inclusive os especros de maior freuência do ruído Passo 2 A seguir, deve-se idenificar os modelos do processo e da perurbação, a parir dos resulados obidos no Passo : y G, u H, 4.2 y A euação 4.2 gera as seguines esimaivas: G G, e H H, 4.22 N N A bibliografia ciada inclui uma prova de ue, sob condições fracas, a esimaiva de G converge para G. 4.4 Conclusão Nesse capíulo, foram descrios em linhas gerais a definição do sisema em malha fechada e o algorimo de idenificação usado por Marion Gilson e al em seu arigo Refined Insrumenal Variable mehods for closed-loop sysem idenificaion e por Claudio Garcia e al em seu arigo Inovações nos méodos de idenificação em dois passos para malha fechada.

70 Capíulo IV Comparação de Algorimos de Idenificação em Malha Fechada 53 Na descrição das diferenes abordagens e algorimos, noa-se ue o méodo proposo por Marion Gilson e al é mais exenso e complexo em relação ao méodo proposo por Claudio Garcia e al, possuindo mais passos a serem implemenados e procedimenos mais rabalhosos, o ue provavelmene irá reuerer maior esforço compuacional pelo sofware de simulação e um programa mais exenso. Ambos os méodos uilizam sisemas discreos, ou discreizados. No enano, no méodo proposo por Marion Gilson e al, é possível uilizar exciação simulânea com sinal persisenemene exciane no SP e na MV, enuano ue no méodo proposo por Claudio Garcia e al a exciação é uilizada de forma alernada, so ora no SP, ora na MV. Sobre a comparação do desempenho dos méodos, isso deperá dos sisemas proposos e será abordado nos capíulos seguines capíulos 5 e 6.

71 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico 54 CAPÍTULO V ESTUDO DE CASO CASO TEÓRICO 5. Algorimo Variável Insrumenal Refinado Seguindo a abordagem da meodologia de Variável Insrumenal Refinado proposa por Marion Gilson e al 29, projeou-se em Malab o diagrama de blocos do sisema proposo, e implemenou-se dois algorimos de esimação Variável Insrumenal Refinado com predior linear ARARX, so um para modelos de ruído ARARX e ouro para modelos de ruído Box Jenkins. Foi uilizado o mesmo sisema conido no exemplo da bibliografia ciada: 2,997,92 G = 5. 2,8858 +,948,75 9,25 C C = 5.2 +,5 H = 5.3,85 O objeivo principal dessa eapa é esar os algorimos desenvolvidos, anes de implemená-los no proóipo real. O sisema discreo será exciado com dois sinais persisenemene excianes simulâneos, um no SP e ouro na MV, conforme Marion Gilson e al 29.

72 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico 55 O diagrama de blocos em Simulink enconra-se ilusrado na Figura 5.: Figura 5.. Diagrama de Blocos Simulação Algorimo VI Refinado Durane a execução do algorimo consruído, primeiramene execua-se um esimador Mínimos Quadrados MQ para inicializar o programa, já ue para a consrução da variável insrumenal precisa-se previamene de um veor de regressores. Os resulados abaixo foram obidos para uma relação sinal / ruído igual a, em ue a ampliude de ruído colorido corresponde a % do valor da saída de processo. O número de ierações escolhido para esse caso foi de, so esse número suficiene para convergência dos parâmeros de odos os gráficos.

73 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Durane a inicialização, são coleados os dados da simulação ocorrida no Simulink, e inicializado os veores de enrada, saída, exciação e ruído com os valores coleados. São definidos os valores iniciais para os parâmeros necessários aos algorimos, como empo de amosragem e sinonia do conrolador, além de zerados os veores ue serão uilizados nos esimadores. Após isso, roda-se um esimador mínimos uadrados e obêm-se os valores iniciais para os parâmeros da plana, e ploa-se os resulados: a MQ =,7459 a MQ =, b MQ =,998, b MQ =,762 a real =,8858 a real =,948 2 b real =,997 b real =, Evolucao do parâmeros Parâmeros calculados a2 b b a Número ierações Figura 5.2. Resulados Simulação Inicialização MQ Para o caso eórico, os valores reais dos parâmeros são conhecidos. Noa-se ue os valores convergidos ainda diferem subsancialmene dos reais.

74 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Sem Modelagem do Ruído Após a esimação uilizando a écnica dos mínimos uadrados, uma variável insrumenal é consruída a parir desses parâmeros. É monado um regressor VI e novos parâmeros são esimados e ploados: a VI =,7783 a VI =, b VI =,998, b VI =,794 a real =,8858 a real =,948 2 b real =,997 b real =, Evolucao do parâmeros a2 Parâmeros calculados b b a Número ierações Figura 5.3. Resulados Simulação VI sem Modelagem Ruído Dessa vez, a parir da consrução e uilização de uma variável insrumenal, noou-se uma melhora nos resulados obidos, na comparação com os valores reais conhecidos dos parâmeros.

75 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Com Modelagem ARARX do Ruído Na próxima eapa do algorimo, uilizando a écnica proposa por Marion e al, busca-se modelar o ruído medido a parir da esruura de modelo ARARX e projea-se um pré-filro a parir desse modelo. Faz-se enão nova esimação dos parâmeros, com os valores do esimador pré-filrado. O objeivo é minimizar ao máximo os efeios do ruído medido no valor esimado. Os valores convergidos e ploados esão a seguir: a VI =,896 a VI =,999 2 b VI =,998, b VI =,96 a real =,8858 a real =,948 2 b real =,997 b real =, Evolucao do parâmeros 2 Parâmeros calculados - -2 a2 b b a Número ierações Figura 5.4. Resulados Simulação VI com Modelagem ARARX Ruído Os resulados obidos são ainda melhores do ue no caso anerior, em comparação aos valores reais dos parâmeros.

76 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Com Modelagem Box Jenkins do Ruído Nesse caso, inicia-se o algorimo novamene, obo os mesmos resulados para 5.. e Em seguida, busca-se modelar o ruído medido a parir da esruura de modelo Box Jenkins e projea-se um pré-filro a parir desse modelo. O procedimeno a seguir é idênico ao Os valores convergidos e ploados esão a seguir: a VI =,8986 a VI =,995 2 b VI =,2, b VI =,57 a real =,8858 a real =,948 2 b real =,997 b real =, Evolucao do parâmeros a2.5 Parâmeros calculados b b Número ierações a Figura 5.5. Resulados Simulação VI com Modelagem BJ Ruído Noa-se visualmene a menor variância na obenção dos parâmeros do modelo com a uilização do modelo do ruído Box Jenkins.

77 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Análise dos Resulados De forma a avaliar o desempenho dos modelos de ruído proposos, os resulados obidos serão avaliados a parir de duas méricas: a variância e o desvio em relação ao valor real dos parâmeros. Os dados enconram-se na abela 5.: Variância MQ VI VI + ARARX VI+BJ a,85,92,475,8 a2,58,63,3,25 b,,,, b,,,3, Desvio MQ VI VI + ARARX VI+BJ a,399,75,48,28 a2,374,6,5,47 b,,,,5 b,4,8,4,55 Tabela 5.. Comparação enre os modelos de ruído A parir dos resulados acima, conclui-se ue, para o caso eórico considerado, a escolha do modelo de ruído mais adeuado para o sisema proposo vai deper da mérica priorizada. Caso o objeivo seja a mínima variância dos parâmeros, o modelo de ruído BJ mosrou-se mais adeuado. Caso seja o menor desvio em relação aos valores reais, o ARARX será a melhor opção.

78 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Algorimo Dupla Filragem Seguindo a abordagem da meodologia de Dupla Filragem, proposa por Cláudio Garcia e al 2, projeou-se em Malab o sisema proposo no arigo e implemenou-se o referido algorimo de esimação Dupla Filragem. Foi uilizado o mesmo sisema conido no exemplo da bibliografia ciada: 2 +,5 G = 5.8 2,5 +,7,222 C C = 5.9 2,2 H = 5. 2,9249 +,9249 O diagrama de blocos em Simulink enconra-se ilusrado na Figura 5.6: Figura 5.6. Diagrama de Blocos Simulação Algorimo Dupla Filragem

79 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico 62 As mesmas condições iniciais para o caso anerior Algorimo VI Refinado são válidas para o presene caso, no ue diz respeio a inicialização do programa e relação sinal / ruído. Para os eses no sisema da Figura 5.6, foi considerada a exciação com sinal persisenemene exciane somene no SP, conforme Cláudio Garcia e al 2. Segundo a meodologia da Dupla Filragem, anes de se esimar os parâmeros das funções de ransferência da plana e do ruído, devem ser esimados as funções de ransferência de So e Gcl funções de sensibilidade, necessárias a devida filragem dos sinais medidos para obenção dos sinais reais esimados. Devido a esse fao, não faz senido se comparar valores reais com os valores esimados para So e Gcl, viso ue são variáveis viruais. No méodo da Dupla Filragem, diferenemene do méodo da Variável Insrumenal Refinado, são as funções de sensibilidade proposas as responsáveis pela minimização ou filragem do ruído na esimação dos parâmeros, e não a esruura de modelo escolhida para o ruído. As definições de So e Gcl enconram-se no capíulo 4. Para uma plana G com dois pólos e um zero, foi necessário o projeo de uma função de sensibilidade So com rês pólos e rês zeros e uma função de sensibilidade Gcl com cinco pólos e rês zeros. O número de ierações escolhido para esse caso foi de, so esse número suficiene para convergência dos parâmeros de odos os gráficos.

80 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Esimação So O processo de inicialização é similar ao do algorimo de Variável Insrumenal Refinado iem 5... Nesse caso, roda-se um esimador de mínimos uadrados para obenção dos parâmeros iniciais de So, enre os sinais r e u, e ploa-se os resulados: a a a 3 2 = 2,7773 = 2,6669 =,8883 b b 2 b 3 =,827 b = 2,6656 =,8855 =, Evolucao do parâmeros Parâmeros calculados a2 b b3 b2 a3 b a Número ierações Figura 5.7. Resulados Simulação So Inicialização MQ Os parâmeros de So convergiram para o número de ierações proposo, apesar de alguma variância no ransiório.

81 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Esimação So Em seguida, foi consruída uma variável insrumenal a parir dos resulados aneriores e uma nova esimação foi feia com um esimador de variável insrumenal. Novos parâmeros foram esimados e ploados: a a a 3 = 2,687 2 = 2,3363 =,775 b b 2 b 3 =,6342 b = 2,333 =,786 =, Evolucao do parâmeros 4 Parâmeros calculados a2 b b3 b2 a3 b a Número ierações Figura 5.8. Resulados Simulação So VI Com a uilização da variável insrumenal, obeve-se uma maior variância na obenção dos parâmeros, ficando os valores convergidos próximos ao caso anerior.

82 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Esimação Gcl Durane a inicialização de Gcl, roda-se um esimador de mínimos uadrados enre os sinais r e y. Os resulados enconrados esão a seguir: a a a a a = 2,483 2 =,3953 =,264 =,228 =, b b b b 2 3 =, =,7 =,6638 =, Evolucao do parâmeros.5 a2 b Parâmeros calculados a3 a5 b3 b a4 b a Número ierações Figura 5.9. Resulados Simulação Gcl Inicialização MQ Os parâmeros de Gcl convergiram para o número de ierações proposo, o havido pouca variância no ransiório.

83 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Esimação Gcl Foi consruída uma variável insrumenal a parir dos resulados obidos pela esimação mínimos uadrados de Gcl. Uma nova esimação foi feia com um regressor VI. Os resulados esão a seguir: a a a a a =,7567 =,4243 =,8944 =,545 =,2 b b b 2 3 =, b =,225 =,86 =, Evolucao do parâmeros Parâmeros calculados b a3 a2 b a5 b3 a4 b Número ierações a Figura 5.. Resulados Simulação Gcl VI Visualmene, a uilização da VI foi benéfica do pono de visa da variância e convergência.

84 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Esimação G Nessa eapa, a parir dos valores obidos para So e Gcl, serão calculados os valores de u e y filrados, com a presença do ruído de medição nas variáveis minimizado ao máximo. Roda-se a seguir um esimador MQ enre o u e o y filrados. Os resulados esão a seguir: a a 2 =,7858 =,9395 b =,954 b =,83 a a real 2real =,5 =,7 b b real real = =, Evolucao do parâmeros a2 Parâmeros calculados b b -.5 a Número ierações Figura 5.. Resulados Simulação G Inicialização MQ Visualmene, observa-se uma convergência com baixa variabilidade e desvio para os parâmeros esimados da função de ransferência da plana G.

85 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Esimação G Foi consruída uma variável insrumenal a parir da esimação MQ e esimou-se mais uma vez os parâmeros, com um esimador VI. Os resulados esão a seguir: a a 2 =,74 =,85 b =,58 b =,4566 a a real 2real =,5 =,7 b b real real = =, Evolucao do parâmeros Parâmeros calculados a2 b b a Número ierações Figura 5.2. Resulados Simulação G VI Com a uilização da VI, observou-se uma diminuição no desvio dos parâmeros de G em relação ao seu valor real, o a variância aumenado um pouco.

86 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Mínimos Quadrados Inicialização Esimação H Para a esimação de H, roda-se inicialmene o esimador mínimos uadrados enre o y filrado e enre o erro de esimação de y, calculado a parir da diferença enre os veores y medido e y filrado. Os resulados esão a seguir: a =,837 b =, 29 a 2 =,9422 a real =,9249 b real =, 2 a =,9249 2real Evolucao do parâmeros.5 a2 Parâmeros calculados b a Número ierações Figura 5.3. Resulados Simulação H Inicialização MQ Os resulados da esimação MQ obiveram uma boa convergência e baixa variância, a parir da análise visual.

87 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Esimador Variável Insrumenal Esimação H Foi consruída uma variável insrumenal a parir do resulado anerior, o havido nova esimação uilizando o esimador VI. Os resulados são como segue: a =,95 b =, 282 a 2 =,27 a real =,9249 b real =, 2 a =,9249 2real Evolucao do parâmeros 3 Parâmeros calculados 2 - a2 b -2 a Número ierações Figura 5.4. Resulados Simulação H VI Novamene os resulados obidos iveram uma boa convergência e baixa variância, a parir da análise visual.

88 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Análise dos Resulados Os resulados obidos serão avaliados a parir das méricas variância e desvio em relação ao valor real dos parâmeros para os modelos da plana e do ruído. Os dados enconram-se nas abelas a seguir: So Gcl G H Variância MQ VI Desvio MQ VI a, ,95 a,2858,24 a2,229 64,598 a2,2395,485 G a3,487 96,297 b,934,58 b,8 296,889 b,462,434 b, ,3964 a,932,244 b2,466 85,823 H a2,73,878 b3,9 2,96 b,9,82 a,29,29 Tabela 5.3. Comparação enre desvios obidos a2,37,7 a3,5, a4,4,4 a5,, b,9,59 b,4,2 b2,5,22 b3,2, a,37,6 a2,2,45 b,8,35 b,25,343 a,24,3 a2,,2 b,6,7 Tabela 5.2. Comparação enre variâncias obidas Conclui-se da análise dos resulados ue a uilização de variáveis insrumenais aumenou a variância na esimação dos parâmeros, no enano diminuiu o desvio em relação aos valores reais para as funções de ransferência G e H.

89 Capíulo V Esudo de Caso Caso Teórico Conclusão Nesse capíulo, foram proposos dois sisemas eóricos, um para cada algorimo proposo de idenificação em malha fechada, o da Variável Insrumenal Refinado e de Dupla Filragem. O objeivo aui foi realizar eses eóricos de forma a faciliar o processo de elaboração e eses dos algorimos de idenificação a serem uilizados no caso práico, apresenado o capíulo 6. Comparando-se os resulados obidos enre as duas diferenes abordagens para os sisemas eóricos proposos, o algorimo de Variável Insrumenal Refinado obeve, no geral, melhores resulados ue o de Dupla Filragem, no ue diz respeio às méricas de variância e desvio em relação ao valor real dos parâmeros.

90 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 73 CAPÍTULO VI ESTUDO DE CASO CASO PRÁTICO 6. Definição do Sisema Um módulo ermoelérico TEM, Thermoelecric Module é um disposiivo semiconduor composo de dois erminais nos uais se aplica correne elérica, com a finalidade de provocar bombeameno de calor enre as faces dese disposiivo, fenômeno conhecido como efeio Pelier. Módulos ermoeléricos são largamene uilizados para conrole de emperaura em deerminadas aplicações na engenharia. Para efeuar-se ese conrole é necessário um modelo maemáico ue caracerize saisfaoriamene a dinâmica do sisema Sobrinho, 26.

91 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 74 O módulo ermoelérico consise de duas placas de cerâmica enre as uais são colocadas cera uanidade de semiconduores do ipo P e N conecados elericamene em série, conforme mosra a figura 6.: Figura 6.. Sisema Experimenal Módulo TEM Quando o conjuno é submeido a uma fone de alimenação conínua, uma correne elérica flui num deerminado senido, provocando um bombeameno de calor de um lado para o ouro, fenômeno conhecido como efeio Pelier. Desa forma, uma deerminada uanidade de calor é reirada de uma das placas esfriando-a, enuano a oura placa recebe calor ornandose mais uene. Se o senido da correne elérica é reverido, o senido do fluxo de calor é ambém reverido Sobrinho, 26. O TEM uilizado é o modelo CP.-3-6L, de fabricação da Melcor Corporaion, com correne máxima de 3,A, ensão máxima de 3,75V e capacidade máxima de bombeameno de calor de 6,3 W. Ese modelo pode alcançar, em condições experimenais de campo, uma diferença de emperaura de 4ºC enre a face fria e a face uene.

92 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico Descrição da Plaaforma Experimenal Para a execução de eses no sisema, foi necessário desenvolver uma plaaforma experimenal, ou câmara érmica, formada pelo módulo ermoelérico, por um dissipador de calor e por um isolane érmico. Na Figura 6.2 é apresenada a disposição dos elemenos da plaaforma experimenal proposa. Sensor de emperaura do módulo ermoelérico; 2 Sensor de emperaura ambiene; 3 Supore de madeira; 4 Parede de isopor. Figura 6.2. Plaaforma Experimenal Módulo TEM Foram insalados dois sensores de emperaura, um para medir a emperaura no lado uene do TEM e a oura para medir a emperaura ambiene, pois sua variação durane o experimeno é considerada perurbação. Foi insalada ainda uma placa de comunicação na plaaforma, com a função de injear a correne no TEM, receber os valores medidos de emperaura e comunicar os dados com um compuador, ue possui o sofware Malab insalado.

93 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 76 Mais informações sobre os componenes da plaaforma experimenal uilizada podem ser enconradas em Sobrinho 26. A plaaforma experimenal apresenada será submeida a eses uilizando as duas abordagens proposas Variável Insrumenal Refinado e Dupla Filragem. 6.3 Idenificação do TEM em Malha Abera De forma a verificar o comporameno do sisema real a um sinal persisenemene exciane, faz-se a idenificação em malha abera do sisema uilizando-se um algorimo de Mínimos Quadrados recursivo. Os parâmeros do modelo obido serão, na seção de resulados, uilizados a íulo de comparação com os eses em malha fechada. No enano, esses valores não devem ser considerados como valores reais da variável, servindo apenas como referência. Primeiramene, colocou-se o sisema no pono de operação proposo, so a correne de,5a, o ue proporcionou uma elevação de emperaura na face uene do TEM para 42,3ºC, esando a emperaura ambiene em orno de 27ºC. Após o sisema aingir a condição de regime, aplicou-se um PRBS, com largura de pulso ue varia de 4 a 2 vezes o período de amosragem, especro ese capaz de exciar as principais dinâmicas do sisema.

94 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 77 Abaixo, na figura 6.3, em-se a ploagem dos resulados obidos a parir dos eses descrios acima. Figura Teses em Malha Abera - TEM

95 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 78 na figura 6.4: A evolução recursiva dos parâmeros do modelo proposo esá mosrada 2 Evolucao do Parameros a, a2, b, b, e V a l o r a V a l o r a 2 V a l o r b V a l o r b V a l o r e x x x x empo s x 4 Figura 6.4 Evolução Recursiva dos Parâmeros do TEM Com a conversão dos parâmeros resulando no seguine sisema ARX: A =,35 +,35 B =,47, ]

96 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 79 ou ainda, 2 y k.,35 +,35 = u k.,47,47 + e k 6.2 Aravés de conhecimeno de rabalhos aneriores com o mesmo TEM Lima, 2, Neo, 23 e Sobrinho, 26, sabe-se ue esse sisema é mais bem modelado em 3ª ordem, a parir de um modelo fenomenológico. Sabe-se ainda ue um dos polos esá próximo da origem do plano z, so não dominane e de difícil idenificação. Buscou-se enão a modelagem de um sisema de 2ª ordem, de forma a represenar as ouras dinâmicas. No enano, após a idenificação em malha abera, a análise dos polos e zeros do sisema mosrou um zero na proximidade de ouro polo, o ue gerou uma sobre paramerização no modelo obido. Isso se deveu, provavelmene, a limiações na plaaforma escolhida, ou no algorimo uilizado. 6.4 Definição da Sinonia do Conrolador Anes de se iniciar os eses no TEM em malha fechada, deve-se projear um conrolador PI, a ser uilizado nos eses no sisema em malha fechada. Para isso, uilizou-se o méodo do lugar das raízes. Deve-se aplicar um degrau em malha abera no módulo, de forma a colocar o módulo ermelérico em orno do pono de operação. Para idenificar o empo de amosragem, aplica-se um novo degrau a parir desse pono de operação aingido. Modela-se enão o sisema com um modelo de primeira ordem, obo-se a função de ransferência em malha abera do TEM.

97 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 8 De forma a minimizar os efeios de não linearidades, definiu-se como pono de operação,5a de correne, meade da escala do gerador de correne, o ue corresponde a 42,3º C de emperaura no lado uene. Durane esa fase de eses, a emperaura ambiene, ue é variável de perurbação, permaneceu consane em orno de 27º C durane os eses. Quando o sisema aingiu a condição de regime, aplicou-se um degrau na correne de u =, 5 A, gerando uma elevação de emperaura no lado uene de y = 2, 4 º C. Considera-se para o caso um empo moro de seg: Figura Tese em Malha Abera Temperaura Zona Quene TEM

98 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 8 Baseando-se nos resulados, deerminou-se um modelo de ª ordem da plana pelo méodo gráfico, perencene à classe de méodos deerminísicos: 48 G s = 398s +, 6.3 y em ue K p = = 48 e τ 398s. u Para a deerminação da consane de empo τ, observou-se o momeno de empo em ue o sinal de emperaura aingiu 63,2% do seu valor final. O empo de amosragem calculado será /3 avos do empo de acomodação, ue é o empo necessário para ue a emperaura ainja 2% do seu valor final, o ue gera um valor de 53,67 seg. Para o projeo do conrolador PI, a euação do conrolador é como segue: s + T i C s = K c. 6.4 s Como o pólo da plana esá alocado em -/398, o zero do conrolador foi colocado em 3,98. =, so assim T i = seg. O moivo dessa 398 T i escolha será explicado no final da seção. O zero do conrolador, porano, esá em,. Baseado em eses de desempenho no Simulink, chegou-se a um K =, 4. Tem-se enão Cs: s +, C s =, s c

99 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 82 A lei de conrole é como segue: + + = d e T e K u u i c. 6.6 Considerando a implemenação discrea da lei de conrole, uilizando-se do algorimo de posição, em-se: = + + = h k i i c c ik e h T K k e K u k u. 6.7 Esa euação no insane k- é dada por, = + + = h k i i c c ik e h T K k e K u k u Subraindo-se 6.7 de 6.8, em-se:.. + = k h e T K k e K k e K k u i c c c, 6.9 ue corresponde a lei de conrole discrea denominada de algorimo velocidade. Esa euação pode ainda ser escria como segue: + =.. k e k e h T K K K k u i c c c. 6. Para a sinonia proposa, êm-se enão os seguines parâmeros do conrolador: [ ] =,392.,4 k e k e k u. 6.

100 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 83 Caso o objeivo da sinonia fosse o convencional, deveria se colocar o zero do conrolador próximo ao polo da plana, como por exemplo, a 5% de disancia. No enano, para fins de persisência de exciação do sinal aplicado, o ue é benéfico à idenificação do sisema, escolheu-se uma sinonia mais lena e oscilaória. Abaixo, em-se o diagrama de lugar das raízes do sisema em malha fechada, mosrando a posição dos polos resulanes com a sinonia proposa polos complexos. Figura 6.6 Diagrama do Lugar das Raízes Sisema em Malha Fechada

101 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico Idenificação do TEM em Malha Fechada Para os eses no TEM em malha fechada, serão uilizadas as duas abordagens implemenadas, ou seja, a da Variável Insrumenal Refinado e a da Dupla Filragem. Além disso, serão uilizados os mesmos algorimos desenvolvidos para o caso eórico capíulo 5 e a sinonia de conrolador PI calculada no ópico 6.4. Assim como em malha abera, o sisema foi levado inicialmene ao pono de operação, com a emperaura ambiene conrolada. Depois da esabilização, foi aplicado um PRBS no Sepoin, com largura de pulso ue varia de 4 a 2 vezes o período de amosragem:

102 Capíulo VI Esudo de Caso Caso Práico 85 Figura Teses em Malha Fechada - TEM