I INVESTIGAÇÃO DE MÉTODOS DE SELEÇÃO AUTOMÁTICA DE CIRCUITOS USANDO A TEORIA DOS GRAFOS PARA A ANÁLISE DE REDES HIDRÁULICAS

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1 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal I- - INVESTIGAÇÃO DE MÉTODOS DE SELEÇÃO AUTOMÁTICA DE CIRCUITOS USANDO A TEORIA DOS GRAFOS PARA A ANÁLISE DE REDES HIDRÁULICAS Rober Schiaveo de Souza () Engenheiro Civil pela Universidade Federal de Mao Grosso do Sul. Douor em Hidráulica e Saneameno pela Escola de Engenharia de São Carlos/USP. Professor Adjuno do Deparameno de Hidráulica e Transpores do Cenro de Ciências Exaas e Tecnologia da Universidade Federal de Mao Grosso do Sul. Mauro Polizer Engenheiro Civil pela Escola de Engenharia de Lins. Professor Tiular e Pesquisador do Deparameno de Hidráulica e Transpores do Cenro de Ciências Exaas e Tecnologia da Universidade Federal de Mao Grosso do Sul. Fazal Hussain Chaudhry Engenheiro Civil pela Universidade Federal de Punjab - Paquisão, Mesre em Engenharia Hidráulica pela Asian Insiue of Technology - Thayland e PHD em Engenharia Civil pela Colorado Sae Universiy - EUA. Professor Tiular da Escola de Engenharia de São Carlos/USP. Endereço () : Rua José Anonio Pereira,, Ap. -Bairro Mone Caselo-CEP --Campo Grande-MS. Tel: + () - Fax: + () Ramal - rssouza@nin.ufms.br. RESUMO Com o objeivo de permiir que modelos hidráulicos para análise de redes de disribuição de água sejam uilizados para redes de maiores dimensões em micro-compuadores e orná-los mais eficienes principalmene em problemas de oimização de redes, a esparsidade pode ser explorada, uma vez que o sisema de equações resulane é ipicamene esparso, com uma esruura arbirária por causa da dependência da naureza local e da conecividade, ou seja, da dependência da geomeria da rede. Na formulação em ermos de vazões para se ober a hidráulica de uma rede, a esparsidade é dependene não só da geomeria da rede, como ambém da escolha dos circuios necessários para a sua análise, ornando necessário a definição prévia dos mesmos. As dificuldades observadas principalmene quano a convergência (número de ierações e empo compuacional) e quano a memória compuacional podem ser minimizadas aravés de uma escolha adequada deses circuios. Alguns algorimos para a seleção auomáica de circuios em sido desenvolvidos e apresenados e se baseiam em écnicas baseadas na eoria dos grafos. Nese rabalho é realizado um esudo da eficiência dos méodos enconrados na lieraura cienífica para a seleção auomáica dos circuios de uma rede hidráulica quando a esparsidade do sisema resulane é explorada. Preende-se desa forma avaliar e aperfeiçoar os modelos hidráulicos que requerem a seleção de circuios visando a redução da memória e empo compuacional requeridos na obenção da solução final da hidráulica de uma rede. PALAVRAS-CHAVE: Redes Hidráulicas, Teoria dos Grafos, Circuios Naurais, Sisemas de Disribuição de Água. INTRODUÇÃO A análise em regime permanene de sisemas de disribuição de água é um problema de grande imporância na engenharia hidráulica. A solução para problemas de redes é obida quando as vazões saisfazem as equações da coninuidade em cada nó e a equação de circuio em cada canalização. Esas equações são não-lineares ornando necessário a ABES Trabalho Técnicos

2 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal uilização de méodos numéricos ieraivos, iniciando com uma solução aproximada que é aperfeiçoada esperançosamene a cada ieração. A confiabilidade dos algorimos aplicados na análise de redes é de grande imporância. Solução com lena convergência ou mesmo fracasso na sua obenção é um inconveniene principalmene nos esudos de oimização onde a rede é avaliada inúmeras vezes. Freqüenemene problemas de análise de redes de disribuição de água não podem ser resolvidos porque envolvem grandes marizes e conseqüenemene quase que impossíveis de serem resolvidos na memória compuacional disponível, além de exigirem excessivo processameno (CHANDRASHEKAR ). Com o objeivo de permiir que os modelos sejam uilizados para redes de maiores dimensões em microcompuadores e orná-los mais eficienes principalmene em problemas de oimização de redes, a esparsidade pode ser explorada, uma vez que o sisema de equações resulane é ipicamene esparso, com uma esruura arbirária por causa da dependência da naureza local e da conecividade, ou seja, da dependência da geomeria da rede. Exisem muias écnicas para raar marizes esparsas (TEWARSON ). Grandes marizes esparsas são geralmene armazenadas em compuador em uma forma condensada. Em ouras palavras, somene os elemenos não nulos de ais marizes com as informações de indexação necessárias são armazenadas. O objeivo de se explorar a esparsidade se resume basicamene em se ober uma economia subsancial de memória e de empo compuacional. Na formulação em ermos de vazões para se ober a hidráulica de uma rede, a esparsidade é dependene não só da geomeria da rede, como ambém da escolha dos circuios necessários para a sua análise, ornando necessário a definição prévia dos mesmos (SOUZA ). As dificuldades observadas principalmene quano a convergência (número de ierações e empo compuacional) e quano a memória compuacional podem ser minimizadas aravés de uma escolha adequada deses circuios. Alguns algorimos para a seleção auomáica de circuios em sido desenvolvidos e apresenados (NIELSEN e EPP e FOWLER ) e se baseiam em écnicas baseadas na eoria dos grafos (SAVULESCO ). Nese rabalho é realizado um esudo da eficiência dos dois méodos enconrados na lieraura cienífica para a seleção auomáica dos circuios de uma rede hidráulica quando a esparsidade do sisema resulane é explorada. Preende-se desa forma avaliar e aperfeiçoar os modelos hidráulicos que requerem a seleção de circuios visando a redução do número de ierações e conseqüene empo compuacional na obenção da solução final da hidráulica de uma rede. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Na formulação em ermos das vazões, o sisema de equações é de ordem (m-n) dependene da escolha dos (m-n) circuios necessários para a sua análise, sendo m o número de rechos de ubulações e n o número de nós da rede. A formulação proposa por NIELSEN() é dada pela equação (), onde D diag[ d (q ),...,d (q )] = com d = K ; H com β = / α ; sendo γ = para LTM (méodo da α q ` α β β = K q ou q = K H eoria linear) e γ = α para NR (méodo de Newon-Raphson); q é o veor de vazões nos rechos; A r é a mariz de incidência (m x r) dos nós de reservaório; A é a mariz de incidência (m x n) dos nós ineriores; h é o veor (r x ) de energia nos nós de reservaórios; C é qualquer mariz de ordem mx(m-n) al que r A C =. Esse sisema é não linear de m-n equações. m m - - q + = q - g C[C DC] C (Dq + A rh r ) equação () ABES Trabalho Técnicos

3 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal Os circuios esão represenados pela mariz C, e consequenemene represenados na mariz dos coeficienes do sisema C D C. Quano menor for o número de rechos que compõem cada circuio, maior a esparsidade do sisema. MÉTODOS DE SELEÇÃO DE CIRCUITOS Dois principais algorimos para a seleção auomáica de circuios enconrados na lieraura cienífica foram implemenados e esudados, e são apresenados nesa seção com base numa simples rede ilusrada na figura. Figura : Rede simples. Méodo de NIELSEN NIELSEN () propôs um algorimo para a seleção auomáica dos m-n circuios em função de uma permuação da mariz de incidência: - Ø- F Gø C = P ŒŒº I œœß equação () onde A P = [F / G]. As colunas de P são exaamene as colunas de A mariz F é não singular e em n colunas, e a mariz G possui (m-n) colunas. A em uma ordem permuada. A Na verdade, cada permuação represena uma seleção disina de circuios da rede. No enano na práica, uma permuação aleaória pode resular em uma escolha de circuios complexos gerando uma mariz C e/ou C D C não esparsa. Em decorrência diso, um conrole da esparsidade do sisema pode ser feio, resringindo a uma permuação da mariz de incidência que resule em um número mínimo de elemenos não nulos da mariz C e/ou C D C. Ese processo no enano consome empo adicional de cálculo e dependendo do ipo de análise que se preende fazer da rede hidráulica pode não ser ineressane. Para a rede simples da figura, os rês circuios óimos são composos pelos rechos,,,, (circuio ); rechos,,, (circuio ); e,,, (circuio ). As marizes C e A represenam os circuios e a geomeria da rede respecivamene, e são dadas por: ABES Trabalho Técnicos

4 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal ± ± ± ± C = ± A ± = onde na mariz C as colunas represenam os circuios e as linhas os rechos, e na mariz represenam os rechos e as linhas os nós da rede. A as colunas Méodo de EPP e FOWLER Uma alernaiva para a seleção dos m-n circuios da rede, ou seja, para definir a mariz C, é a seleção auomáica dos circuios naurais, fornecendo direamene os rechos que compõem cada circuio. Os circuios naurais de uma rede de disribuição de água são aqueles que são composos por um número mínimo de rechos. Porano é o criério óimo para a seleção de circuios que resula em um sisema com esparsidade máxima. Um algorimo para seleção auomáica dos circuios naurais de uma rede foi descrio por EPP e FOWLER () e é descrio a seguir. Por definição, um nó é de grau n g, onde n g é o número de ubos conecados à ele. Enão na figura, o nó é de grau, o nó de grau, o nó de grau, e assim por diane. É fácil deerminar os ubos que não perencem aos circuios, começando em um nó de grau, e rabalhando com os nós de grau, aé um nó de grau maior que ser alcançado. Temporariamene "remova" a cauda (ubos e ) da rede. Noe que com esses ubos removidos, o nó agora é de grau. Definindo os nós de grau como os nós chaves, enão para definir um circuio, qualquer nó chave é selecionado (por exemplo o nó ). Os dois nós conecados por ubos ao nó chave são enão conhecidos (ou seja, os nós e ). O menor caminho enre esses dois nós que não passa aravés do nó chave é enão deerminado. No exemplo, o caminho será consiuído pelos ubos, e. Assim os ubos,,,, e definem o primeiro circuio naural. Os ubos e agora são emporariamene removidos da rede e enão o nó agora em grau e o nó em grau e é um nó chave. Assim, o ubo é uma cauda e porano é removido e o algorimo é repeido para um novo nó chave, ou seja, o nó. Se a qualquer momeno somene nós de grau maior do que esão presenes, arbirariamene escolhe-se o nó de grau menor e repee-se o mesmo procedimeno. Desa maneira o conjuno de circuios naurais de uma rede é enconrado. Um algorimo, no enano é necessário para se ober o menor caminho enre dois nós da rede. O menor caminho enre dois nós N e N é uma série de N ubos conecados al que qualquer oura série de ubos inerligando os dois nós coném no mínimo N ubos. Três lisas L, L, L são uilizadas para deerminar o menor caminho, e seu desenvolvimeno é descrio a seguir: ) Enrar com o nó erminal N na primeira posição da lisa L. Colocar o valor de um poneiro P igual a. ) Chamar K = L(P ), ou seja, K em o valor do coneúdo da lisa L da posição P. ) Escolher um nó que esá conecado ao nó K mas que não foi ainda escolhido. Fazer J igual ao número dese nó. ) Se o nó J já esá na lisa L, ir para o passo (). ) Enrar com o número do nó, iso é J na próxima posição disponível de L. ABES Trabalho Técnicos

5 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal ) Enrar com o valor de K na J-ésima posição da lisa L. ) Enrar com o número do ubo que inerliga os nós K e J na J-ésima posição da lisa L. ) Se o valor de J é igual a N (iso é, J é o ouro nó erminal ), ir para o passo (). ) Se há nós conecados ao nó K mas que ainda não foram escolhidos, ir para o passo (). ) Incremenar o poneiro P de e ir para o passo (). ) Colocar o valor de um poneiro P igual a. ) Fazer K= N. ) Se K é igual a N, ou seja, o nó inicial, enão parar, porque odos os ubos do caminho mínimo foram achados. ) Chamar TUBO[ P ]= L [K], ou seja, L [K] é o P - ésimo inerliga os nós N e N. ) Fazer K= L [K]. ) Incremenar P de e ir para o passo (). No exemplo envolvendo o algorimo descrio aneriormene, achou-se o menor caminho enre os nós e da figura sem conar com os ubos e (esses podem ser considerados removidos da rede). A ordem na qual cada lisa foi preenchida esá mosrada à direia de cada célula na Tabela. Tabela : Seleção dos circuios naurais L L L RESULTADOS E DISCUSSÕES Para esudar a eficiência dos méodos de seleção de circuios mencionados aneriormene, selecionou-se duas redes exemplos. A primeira consiuída de rechos, nós e reservaórios (Fig. ), enquano que a segunda com rechos, nós e reservaório (Fig. ). ABES Trabalho Técnicos

6 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal VR VRP B Figura : Rede exemplo. B VR VRP Figura : Rede exemplo. Onde : Nó inerior Reservaório Válvula de reenção Válvula reduora de pressão Bomba A Tabela apresena o empo de processameno em unidades de empo (u) para a seleção dos circuios. Observa-se que o algorimo proposo por EPP e FOWLER (), além de fornecer os circuios naurais da rede permiindo a obenção de um sisema com esparsidade óima, é muio mais eficiene do que o proposo por NIELSEN (). ABES Trabalho Técnicos

7 º Congresso Brasileiro de Engenharia Saniária e Ambienal Tabela : Tempo de processameno para a seleção de circuios. Tempo (u) Rede Rede EPP e FOWLER NIELSEN EPP e FOWLER NIELSEN.... CONCLUSÕES A seleção dos circuios para a obenção da solução final da hidráulica de uma rede é um procedimeno imporane para se ober maior eficiência no comporameno de convergência do processo ieraivo, principalmene quando a esparsidade do sisema de equações resulane for explorada e a formulação hidráulica em ermos das vazões é uilizada. Ese rabalho eve por finalidade fazer uma revisão e um reexame dos modelos eóricos uilizados para a seleção auomáica dos circuios de uma rede. Um modelo consisene e eficiene para análise de redes pode ser obido quando um algorimo auomáico para a seleção de circuios naurais da rede é uilizado na formulação das vazões. O aperfeiçoameno dos aspecos compuacionais da análise de redes de disribuição de água realizado nese rabalho possibiliará a análise de redes com maior eficiência e servirá como um insrumeno de cálculo para esudanes de engenharia civil e projeisas no meio profissional da engenharia hidráulica. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. CHANDRASHEKAR, M., STEWART, K. H. Sparsiy Oriened Analysis of Large Pipe Newors. Journal of he Hidraulic Division, v., n. HY, p. -,.. EPP, R., FOWLER, A. G. Efficien Code for Seady-Sae Flows in Newors. Journal of he Hydraulics Division, v., n. HY, p. -,.. NIELSEN, H. B. Mehods for Analyzing Pipe Newors. Journal of Hidraulics Engineering, v., n., p. -,.. SAVULESCO, S. C. Grafos, Dígrafos e Redes Eléricas : Aplicação na Pesquisa Operacional. São Paulo : Insiuo Brasileiro de Edições Cieníficas,.. TEWARSON, R. P. Sparse Marices. New Yor, Academics Press,. p.. SOUZA, R. S. Aspecos Compuacionais da Análise de Redes de Disribuição de Água com Componenes Hidráulicos em Regime Permanene. São Carlos. Disseração de Mesrado - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo,. ABES Trabalho Técnicos