A aplicação de Programação por Metas para a geração de horários de exames para o Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Viçosa - COLUNI

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1 A aplicação de Programação por Meas para a geração de horários de exames para o Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Viçosa - COLUNI André Lobo Teixeira (UFV) andre.lobo@ufv.br Lana Mara Rodrigues dos Sanos (UFV) lanamara@ufv.br Guilherme Rodrigues Baisa (UFV) guilherme.baisa@ufv.br AUTORES) Resumo: Em diversas insiuições de ensino ocorrem momenos avaliaivos que são de grande imporância e por isso é imprescindível o planejameno dos mesmos. Definir os dias das provas e os locais em que serão realizadas são exemplos de decisões a serem omadas nese ipo de siuação. A execução manual desas ações pode ser rabalhosa, porano modelos maemáicos resolvidos compuacionalmene podem auxiliar nas omadas de decisões e diminuir ese esforço. Nese rabalho é proposo um modelo maemáico de Programação Linear Ineira e Programação Linear por Meas para gerar uma grade de horários de exames para o Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Viçosa COLUNI, buscando-se melhorar a execução dese processo na insiuição. Palavras-chave: Programação Linear Ineira, COLUNI, Programação de Horários de Exames, Programação por Meas. 1. Inrodução O processo de avaliação consise em um imporane momeno do ano leivo de diversas insiuições de ensino no Brasil. Em muias delas, a definição do horário e dia da avaliação fica a cargo do professor da disciplina ou do deparameno em que o mesmo perence, sendo ese úlimo caso comum em universidades. Em algumas insiuições, as avaliações de odas as disciplinas são feias em um mesmo período, muio conhecido como semana de provas. Diane dessa siuação e devido à sua imporância, há a necessidade de um bom planejameno da localização no espaço e empo deses evenos, porque udo deve ser feio de uma forma que não compromea a didáica. Nese rabalho o problema abordado é a elaboração de uma grade de avaliação anual do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Viçosa (COLUNI), o qual aende ao ensino médio. O Problema de Programação de Horários Exames (PPHE) é um problema combinaorial de difícil resolução e que faz pare da classe de Problemas de Programação de Horários (PPH). Considerando que os exames serão realizados por deerminados grupos de alunos, o PPHE geral consise em alocar um conjuno de exames a períodos e salas procurando-se eviar conflios para os alunos (SANTOS E SOUZA, 2007, p.15). Especificamene, no problema de programação de horários de exames do COLUNI é necessário alocar avaliações de disciplinas aos dias de um período avaliaivo de aproximadamene uma semana. Ese processo avaliaivo se repee oio vezes durane o ano. É desnecessária a consideração de salas porque no colégio elas exisem em quanidade e capacidade suficiene. 1

2 Para a formulação de um problema de programação de horários, o que ambém inclui os problemas de programação de horários de exames, é amplamene uilizada a Programação Linear Ineira (PLI). Ao se uilizar a PLI, procura-se disribuir recursos limiados da melhor forma possível. A limiação dos recursos é expressa maemaicamene por equações e/ou inequações que são chamadas de resrições do modelo. A melhor forma de disribuir eses recursos é chamada de solução óima, que no caso é a melhor denre odas as soluções possíveis, ou seja, soluções que aendem às resrições. A solução óima é enconrada maximizando ou minimizando uma função, denominada função objeivo (ANDRADE, SCARPIN E STEINER, 2012, p.4). As resrições mais comuns na formulação de um PPHE são para impedir que um mesmo aluno seja designado para fazer mais de um exame ao mesmo empo, que raam da disponibilidade de salas que comporem adequadamene o número de alunos e sobre a disponibilidade de supervisores de exames. Ainda assim, alguns conjunos de resrições para esse ipo de problema são basane dependenes da insiuição de ensino e do sisema educacional adoado pela mesma (CARTER, LAPORTE e LEE, 1996). No problema em quesão, para a elaboração da grade horária a coordenação da escola define objeivos que ao serem imposos como resrições no modelo proposo nese rabalho impossibiliaram de ser gerada uma grade de horários porque o problema não eve solução. Nese momeno se jusificou a aplicação da meodologia de Programação por Meas que será abordada na seção seguine. Em resumo, no presene rabalho será uilizada Programação Linear Ineira e a meodologia de Programação Linear por Meas, em específico o méodo dos pesos, para desenvolver o modelo maemáico para elaboração de uma grade de avaliação anual para COLUNI. Para a resolução do modelo desenvolvido, uilizou-se o sofware IBM ILOG CPLEX Opimizaion Sudio, comumene referenciado como CPLEX. O CPLEX é um pacoe de sofwares para oimização que coném, enre ouros, o CPLEX Opimizer que é uilizado para solucionar modelos de Programação Maemáica. Na seção 2 é abordada a Programação Linear por Meas. Na seção seguine é feia a descrição do problema. Na seção 4 o modelo de PLI é apresenado e é aplicada a Programação Linear por Meas. Os resulados compuacionais se enconram na seção 5 e as conclusões reiradas após a resolução do modelo na seção 6. Os agradecimenos são feios na seção 7 e na seção 8 esão as referências bibliográficas ciadas. 2. Programação Linear por Meas A Programação por Meas surgiu por vola de 1952, sendo que o ermo goal programming, comumene uilizado, foi cunhado 10 anos mais arde em publicações de Charnes e Cooper (CHARNES E COOPER, 1977, p.39). A Programação Linear por Meas pode ser considerada uma generalização do conceio de Programação Linear que visa conornar as limiações dos modelos dese ipo, sendo que eses possuem resrições que podem deixá-los sem solução ou com difícil resolução. Conudo, na práica ais imposições podem não ser ão resriivas, sendo plausível haver olerâncias para essas resrições. Sendo assim, são criadas variáveis para represenar os desvios posiivos e negaivos da mea a ser aingida na resrição (GOMES, 2004). Enão, busca-se minimizar eses desvios das meas que pode ser feio incluindo esas variáveis na função objeivo uilizando um dos imporanes méodos: o méodo dos pesos. Para a resolução do problema do COLUNI foi uilizado o méodo dos pesos, o qual consise 2

3 em formar uma única função objeivo composa da soma ponderada dos objeivos (ARENALES e al, 2007). Surge a necessidade de serem definidas as prioridades de cada mea a ser aingida. Nese momeno é evidene a imporância do decisor na Programação Linear por Meas, sendo ele responsável por definir ais prioridades. A Programação Linear por Meas é amplamene uilizada para resolver problemas de decisão que envolvem diversos objeivos (URÍA e al, 2002). Na seção seguine o problema de programação de horários de exames do COLUNI será descrio com mais dealhes, sendo exposas suas especificidades e quais as meas deerminadas pela coordenação do colégio. 3. Descrição do Problema de Programação de Horários de Exames do COLUNI Localizado no campos da UFV, o Colégio de Aplicação - Coluni dispõe de modernas insalações além de salas de projeções e laboraórios equipados de física, química, biologia e humanidades. Cona com professores que rabalham em regime de dedicação exclusiva, o que permie um melhor aendimeno para o aluno. Durane sua hisória, o COLUNI se ornou uma escola de referência de um ensino de qualidade e segue sendo o melhor colégio público de Minas Gerais, sendo ambém considerado modelo para muias insiuições de ensino. Anualmene é elaborada a grade de avaliações do COLUNI. São 8 períodos de avaliações durane o ano e em cada um deles as provas das 11 disciplinas exisenes aconecem aproximadamene durane uma semana. Geralmene, o número de dias por período disponíveis para a aplicação das provas é menor do que 11, o que implica na alocação de mais de uma avaliação por dia. Exisem doze urmas, sendo quaro urmas para cada um dos rês anos do Ensino Médio. Todas as urmas presam os exames ao mesmo empo e das mesmas disciplinas, podendo aconecer no máximo duas provas por dia. Considerando esas caracerísicas, é necessário disribuir as provas nos dias de cada período de forma que aconeçam as avaliações de odas as disciplinas somene uma vez por período, no máximo aconeçam duas provas por dia e buscando-se aingir os seguines objeivos: 1. As disciplinas são divididas em 4 grupos diferenes. Para um mesmo dia, deseja-se que disciplinas perencenes a um mesmo grupo não sejam alocadas. Os grupos são: 1.1 Maemáica e Física 1.2 Biologia e Química 1.3 Hisória, Geografia, Filosofia e Sociologia 1.4 Poruguês, Inglês e Espanhol 2. Se uma disciplina foi alocada para o penúlimo ou úlimo dia da semana, ena-se eviar a alocação da mesma respecivamene para esses dias nos ouros períodos. Eses são objeivos definidos pela coordenação do COLUNI, os quais visam conribuir com a didáica, favorecendo alunos e professores. O objeivo 1 é eviar alocação conjuna de deerminados pares indesejados para um mesmo dia. O objeivo 2 se jusifica porque os resulados das provas devem ser divulgados aé uma daa limie e o professor da disciplina alocada para os úlimos dias de um período êm menos empo para corrigi-la do que um 3

4 alocado para os primeiros dias. Procura-se, enão, fazer um rodízio das disciplinas alocadas para os úlimos dias dos períodos. A elaboração manual da grade de horários de exames feia pela coordenação do colégio muias vezes é um processo que demanda muio esforço. Porano, um modelo maemáico resolvido compuacionalmene em capacidade de diminuir ese rabalho. 4. Formulação Maemáica Nesa seção será apresenado um modelo de Programação Linear Ineira para o Problema de Programação de Horários de Exames do COLUNI e a seguir, devido à ocorrência de infacibilidade ao se enar resolver o problema, a reformulação do modelo uilizando a meodologia de Programação por Meas. 4.1 Modelo de Programação Linear Ineira para o Problema de Programação de Horários de Exames do COLUNI O Problema de Programação de Horários de Exames do COLUNI consise em disribuir as provas das disciplinas i nos dias d de cada período. A variável binária x ijd é definida para represenar se haverá prova das disciplinas i e j, com i, j I, no dia d do período, sendo I o conjuno de odas as disciplinas. x ijd 1, se háprovadas disciplinas i e j nodia d do período 0,caso conrário As disciplinas e seus respecivos índices i são definos de acordo com a Tabela 1. Tabela 1 - Disciplinas e seus respecivos índices. i Disciplina 1 Filosofia 2 Sociologia 3 Inglês 4 Espanhol 5 Biologia 6 Poruguês 7 Hisória 8 Geografia 9 Química 10 Maemáica 11 Física Sabendo que as variaveis x ijd e x jid represenam o mesmo par de disciplinas, as variáveis de decisão que serão consideradas são as ais que i j. Para o caso i j, a variável 4

5 x iid represena se haverá somene a prova da disciplina i no dia d do período. No problema em quesão, deseja-se eviar que exames de disciplinas de um mesmo grupo sejam alocadas para um mesmo dia de um deerminado período. Desa maneira, devem ser considerados subconjunos I k, com k {1,2,3,4 }, do conjuno I que são: I 1 {10,11} I 2 {5,9 } I {1,2,7,8 3 } I } 4 {3,4,6 Porano, é possível definir o modelo de PLI sendo considerados os devidos parâmeros: D Conjuno dos dias d do período disponíveis para a aplicação de prova; D Número de elemenos do conjuno D ; I Conjuno de disciplinas; I Número de elemenos do conjuno I ; T Número de períodos. I I xijd 1 1,..., T }, d D 1 i 1 i j j dd T 1 i j1 x jid ij( D 1) 1 I x ijd ji1 1 { ( 1) { 1,..., T }, i I ( 2) x i, j I ( 3) x ij 1 D i, j I ( 4) F 0 ( 5) x {0,1} ( 6) ijd A resrição ( 1) impede que mais de duas avaliações sejam alocadas para um mesmo dia d de um mesmo período. A resrição ( 2) garane que a avaliação da disciplina i previsa para um período aconeça uma e somene uma vez em algum dos dias d do período em quesão. A resrição ( 3) assegura que se uma avaliação de uma disciplina i for alocada para o penúlimo dia de um dos T períodos, ela não será alocada para o penúlimo dia de nenhum dos ouros períodos. A resrição ( 4) faz o mesmo que a ( 3), no enano para os úlimos dias dos períodos. A resrição ( 5) faz com que nenhum par de disciplinas de mesmo grupo seja alocado a qualquer dia d, ou seja, serão iguais a zero as variáveis x ijd que enham i e j perencendo simulaneamene a algum dos subconjunos I k aneriormene definidos. F é definida a seguir: T F xijd xijd xijd xijd d D 1 j I1 i I1 j I 2 i I 2 j I 3 i I 3 j I 4 i I 4 i j i j i j i j 5

6 O modelo aneriomene descrio foi implemenado na linguagem C++ com auxílio das biblioecas do Concer do CPLEX. Foram considerados T 8 períodos e que cada um eria 6 dias disponíveis para aplicação de provas, o caso mínimo viso que exisem 11 disciplinas e pode-se alocar no máximo duas provas por dia. Desa forma, não se obeve solução pois o espaço facível é vazio. Diane desa siuação, a meodologia de Programação Linear por Meas pode auxiliar nas decisões, sendo as resrições relaxadas. Na seção seguine esa meodologia será aplicada ao problema para que se possa enconrar uma solução. 4.2 Aplicação de Programação Linear por Meas As resrições ( 1) e ( 2) não podem ser relaxadas por serem as resrições fores do problema. As resrições que serão relaxadas são as ( 3), ( 4) e ( 5), sendo criadas as variáveis ineiras não-negaivas w, v e u respecivamene para cada uma delas. Esas variáveis represenam o quano foram violadas esas resrições. A resrição ( 5) passará a ser F u, ou seja, a variável u represena quanos pares de disciplina de mesmo grupo foram alocados. A variável w será somada ao lado direio das resrições relaivas às repeições no penúlimo dia. Já a variável v ambém será somada ao lado direio, mas das resrições de repeições nos úlimos dias. Agora o objeivo se ornou minimizar eses desvios. O méodo dos pesos é uilizado para formular a função objeivo. Cada variável de folga erá seu peso associado e seguindo o seguine criério: P 1 P2 P3 Com essa formulação baseada em pesos, é possível definir as prioridades, ou seja, uma hierarquia denre os objeivos que cabe ao decisor definir. A função objeivo definida é a seguine: min P w P v P u 1 f Porano, o modelo com a aplicação de Programação Linear por Meas para o Problema de Programação de Horários de Exames do COLUNI é o seguine: min P w P v P u ( 7) f I I xijd 1 1,..., T }, d D 1 i 1 i j j dd T 1 i j1 x jid ( D 1) 1 I x ijd ji1 x ij w 1 i j I { ( 8) { 1,..., T }, i I ( 9), ( 10) xij D 1 v i, j I ( 11) F u ( 12) 6

7 x {0,1} ( 13) ijd w, v, u ( 14) As resrições ( 8) e ( 9) são manidas pois raam das resrições fores do problema, respecivamene ocorrência de no máximo duas provas por dia e odos exames devem ser alocados uma e somene uma vez por período. Agora, as resrições ( 10), ( 11) e ( 12) possuem suas respecivas variáveis de folga w, v e u. Na função objeivo (7) busca-se minimizar as violações das resrições, considerando as prioridades dos objeivos que cada uma represena. 5. Resulados Compuacionais O modelo maemáico foi implemenado na linguagem C++ e foram uilizadas as biblioecas do Concer do IBM ILOG CPLEX Opimizaion Sudio V12.1. O compuador uilizado foi um noebook Dell inspiron N4050 com processador Inel(C) Core i5-2450m CPU 2.50 GHz, 4GB de memória RAM e sisema operacional Microsof Windows 7 Home Basic 64 bis. Foram considerados odos os 8 períodos com 6 dias disponíveis para aplicação de prova e os seguines pesos para as variáveis de folga: P P P Os pesos foram assim definidos por se considerar mais imporane a não alocação de disciplinas de mesmo grupo. A seguir, deve-se buscar minimizar a variável v anes da variável w, em visa que a primeira represena as repeições no úlimo dia e, logicamene, devem ser eviadas repeições neses dias anes dos penúlimos dias de cada período. A solução foi obida em menos de 1 segundo e os valores enconrados para as variáveis de folga foram: w 1 v 0 u 0 Percebe-se que as variáveis u e v assumiram valor zero, o que significa que nenhum par de disciplinas de mesmo grupo foi alocado e que não houve repeições nos úlimos dias. Já nos penúlimos dias noa-se que houve repeições, porque o valor de w enconrado foi 1. A grade de horários gerada se enconra na Tabela 2. Tabela 2 Grade horária de exames para o COLUNI gerada pelo modelo apresenado. Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Período 1 Período 2 Período 3 Período 4 7

8 Período 5 Período 6 Período 7 Período 8 6. Conclusão Um modelo maemáico resolvido compuacionalmene diminui o esforço da coordenação do colégio na produção de uma grade de horários de exames e a aplicação da meodologia de Programação Linear por Meas foi fundamenal para conornar a infacibilidade do problema causada por resrições muio rígidas do modelo. Para rabalhos poseriores, buscar-se-á definir resrições de repeição para odos os dias a fim de melhorar a solução, as quais serão relaxadas e inseridas na função objeivo com seus devidos pesos, que serão maiores para os úlimos dias e menores para os primeiros. 7. Agradecimenos Os auores agradecem à professora Lana Mara Rodrigues dos Sanos pela orienação, ao Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico (CNPq) pelo supore oferecido e à coordenação do COLUNI pelas informações fornecidas. 8. Referências Bibliográficas ANDRADE, P. R. L.; SCARPIN, C. T.; STEINER, M. T. A. Geração da Grade Horária do Curso de Engenharia de Produção da UFPR Aravés de Programação Linear Binária. In: Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 2012, Rio de Janeiro. Anais elerônicos Rio de Janeiro: Ediora, p ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R. E YANASSE, H. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. Rio de Janeiro: Ediora Campus, CARTER, M. W.; LAPORTE, G.; LEE, S. Y. Examinaion Timeabling: Algorihmic Sraegies and Applicaions. Journal of he Operaional Research Sociey, v. 47, n. 3, p , março CHARNES, A.; Cooper, W. W. Goal programming and muliple objecive opimizaions. European Journal of Operaional Research, v. 1, n. 1, p , março, COLUNI: Colégio de Aplicação. Viçosa, Disponível em: <hp:// Acesso em: 21 abril GOMES, C. F. S. Aplicação da programação por meas e méodo lexicográfico ao méodo STEM - Nova proposa de algorimo de formulação linear muliobjeivo. XXXVI SBPO, São João del-rei - MG, p , novembro de IBM ILOG. CPLEX 12.1 User s Manual

9 SANTOS, H. G.; SOUZA, M. J. F. Programação de Horários em Insiuições Educacionais: Formulações e Algorimos p. URÍA, M. V. R.; CABALLERO, R.; RUIZ, F.; ROMERO, C.(2002). Mea-goal programming. European Journal of Operaional Research, vol. 136, n.2,